Đề Thi Học Sinh Giỏi Toán - THPT Đặng Thúc Hứa - Nghệ An [2009 - 2010] doc

Chứng minh dãy số un hội tụ và tính lim un.. 2 Cho hình chóp S.ABC , M là một điểm bên trong tam giác ABC... Tính xác suất để trong 3 ván người chơi đó thắng ít nhất là 2 ván.. Chứng min

SỞ GD & ĐT NGHỆ AN

TRƯỜNG THPT ĐẶNG THÚC HỨA

GV: Trần Đình Hiền

KỲ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG NĂM HỌC : 2009 - 2010

MÔN THI : TOÁN - LỚP 12

Thời gian làm bài : 180 phút

Câu I:

1 sin 2 cos sin

x



2) Cho x,y > 0 thỏa mãn 2 5

4

x y 

Chứng minh rằng : cos( ) sin

sin

y x

x y

x y

Câu II:

1) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm :

2

2







2) Tính tổng :

2008 2008 2008 2008 2008 2008

k

S

(k N, 0 k 2008)

Câu III:

1) Cho x,y 0 và x2

+ y2 = 1 Tìm GTNN, GTLN của

P

2) Cho dãy số (un) với u1 = 1 và 1 1 2

2

n

u



  , với n N, n 2 Chứng minh dãy số (un) hội

tụ và tính lim un

Câu IV:

1) Cho tam giác ABC có A(1; 2), B(2; - 1) và cos 1 ; cos 1

A B  Tìm tọa độ đỉnh C

2) Cho hình chóp S.ABC , M là một điểm bên trong tam giác ABC Qua M vẽ những đường thẳng lần lượt song song với các cạnh SA, SB, SC cắt các mặt SBC, SCA, SAB theo thứ tự tại A’, B’, C’ a) Chứng minh rằng: MA' MB' MC'

SA  SB  SC có giá trị không đổi khi M thay đổi khi M di động trong tam giác ABC

b) Xác định M để MA’.MB’.MC’ có giá trị lớn nhất

Câu V:

Cho hàm số f: R  R thỏa mãn điều kiện ( ) ( ) ( ) 2, ,

3

f x f y f xy

x y x y R



Hãy tính giá trị f(2009)

………… Hết …………

I.1) Đặt t = cosx - sinx, | |t  2,

sinxcosx =

2 1

2

t



; PT t =0; 1

III.1) Đặt t = xy, 0 t 1

2 P

2

= f(t) = ?

I.2) BĐT sin( 2 ) s

2

inx

x y

 Xét hs f x( ) sinx

x

 , hàm số nghịch biến trên

k’(0;+)

III.2) C/m: un > 0 n N*, và c/m un+1 2 C/m: un+1- un < 0

Dãy số giảm bị chặn dưới suy ra hội tụ

Giải sử L = limun Giải PT 1 1

2

L

   

 L 2

II.1) HPT chuyển về đt và đường tròn(C) HPT

có nghiệm d I( , ) R

IV.1) Tính SinA, sinB = ?, sin C = sin(A + B) =

?

Áp dụng ĐL sin suy ra AC = ?, BC = ? Gọi C(x;y) Giải HPT

II.2)

2

2008 2010





IV.2) C1) Định lí Talet C2: Tỷ số thể tích ' ' ' ' ' '

SA B C SABC

V SA SB SC

V  SA SB SC

V Cho x = y = 0 f(0) = ? Cho y = 0 f(x) = ?

SỞ GD & ĐT NGHỆ AN

TRƯỜNG THPT ĐẶNG THÚC HỨA

GV: Trần Đình Hiền

KỲ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG NĂM HỌC : 2009 - 2010

MÔN THI : TOÁN - LỚP 12

Thời gian làm bài : 180 phút

Câu I:

1) Giải phương trình : x 2 3 x x3x2 4x1

2) Tìm m để phương trình :  4 4 

4 sin xcos x (32 ) cos 2m x1 -m0 có đúng 2 nghiệm thuộc

6 4

 

 

 .

Câu II:

1) Tính tổng S = 2010  

2 2010 0

k k

k C





2) Gieo đồng thời 3 con xúc xắc Người chơi thắng cuộc nếu có ít nhất 2 con xúc xắc xuất hiện mặt

6 chấm Tính xác suất để trong 3 ván người chơi đó thắng ít nhất là 2 ván

3) Cho a,b,c 0 thỏa mãn a2

Câu III:

1) Chứng minh rằng: a) sin tan  , 0;

4

x x x  

    ; b) 12 12 1 42 , 0;



       2) Cho tam giác ABC có 3

2

a

a

h   b c Chứng minh rằng tam giác ABC đều

3) Cho phương trình: x n x n1    x 1 0 Chứng tỏ rằng với mỗi n nguyên dương phương trình

có đúng 1 nghiệm dương xn và tìm lim xn

Câu IV:

1) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành Gọi C’ là trung điểm của cạnh SC Mặt phẳng () qua AC’ cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại B’ , D’ Đặt ;

D D

3  x y  2

2) Cho tam giác ABC đều cạnh a, trên đường thẳng d vuông góc với mp(ABC) tại A lấy điểm S, đặt

SA = x, (x > 0) Gọi H, K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và SBC Gọi P là giao điểm của hai đường thẳng d và HK

a) CMR: HK (SBC)

b) Tìm x để thể tích khối tứ diện SBCP nhỏ nhất

3) Cho hai đường tròn (C1): x2 + y2- 2x - 2y - 14 = 0, (C2): x2 + y2- 4x + 2y - 20 = 0 Viết phương trình đường thẳng  sao cho đường thẳng  cắt (C1) tại A,B và cắt (C2) tại M,N thỏa mãn

AB MN 

Câu V:

Tìm đa thức P(x) , biết  2  2

………… Hết ……….

SỞ GD & ĐT NGHỆ AN

TRƯỜNG THPT ĐẶNG THÚC HỨA

GV: Trần Đình Hiền

KỲ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG NĂM HỌC : 2009 - 2010

MÔN THI : TOÁN - LỚP 12

Thời gian làm bài : 180 phút

Câu I:

1) a) Lập công thức tính các tổng:

sina ; cos

  , trong đó (an) là cấp số cộng với công

sai d Từ đó tính cos cos3 cos5

P      

b) Tính sin2 sin2 2 sin2 3

A     

2) a) Giải phương trình: tanx + tan2x = - sin3x.cos2x.

b) Tìm m để phương trình m(sinx + cosx + 1) = 1 + sin2x có nghiệm thuộc đoạn 0;

2



 

 

 .

3) a) Cho tam giác ABC có A > B > C Tìm GTNN của hàm số sin sin 1

A

y

b) Cho x,y,z > 0 thỏa mãn xz - zy - xy = 1 Tìm GTLN của

P

Câu II:

1) a) Cho khai triển P = (1x) (1 x)2   (1 x)2009 a0 a x1  a2009x2009 Tính a10 b) Tính tổng S C332C43 3C53 2008C20103

2) Chọn ngẫu nhiên một vé xổ số có 5 chữ số Tính xác suất để số vé không có số 1 hoặc không có

số 5

3) Chứng minh rằng phương trình sau có đúng 1 nghiệm: x5- x2- 2x - 1 = 0

Câu III:

1) Cho hàm số

3 1

( )

nÕu nÕu

x



 



Tính f’(x) và chứng minh f’(x) liên tục tại điểm x = 0

2) Cho dãy số (xn) với 0 < x1 < 1 và

2

1

n

x

n

     

  Chứng minh rằng dãy số (xn) có giới hạn là a

và khi đó lim n(a - xn) = a2

3) Cho hàm số y = f(x) = x3 - 3x + 2 có đồ thị (C) Giả sử M,N,P là ba điểm thẳng hàng và cùng thuộc đồ thị (C) Các tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M,N,P cắt đồ thị (C) lần lượt tại M’,N’,P’ Chứng minh M’, N’, P’ thẳng hàng

Câu IV:

1) Cho hai elíp:

a  b  a  b  , (a > b > 0) Từ điểm M trên (E2) kẻ hai tiếp tuyến đến (E1) , hai tiếp tuyến này cắt (E2) tại N, P Chứng minh đường thẳng NP là tiếp tuyến của (E1)

2) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Dựng đoạn thẳng MN với M AC’, N B’D’ và MN// A’D

3) Cho tứ diện SABC có SA = SB = SC = a và SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau.

a) Xác định mặt phẳng (P) sao cho tổng diện tích hình chiếu của các mặt của tứ diện SABC lên mặt phẳng (P) đạt GTLN

b) Gọi,, lần lượt là góc tạo bởi mp(P) với (SBC), (SCB), (SAB) Chứng minh+  + <

Câu V: Tìm hàm số f , biết f x( ) f x 1 1 x

x



   

  , với x ≠ 0, 1.

…………Hết………….