Tìm trên đồ thị C một điểm có hoành độ lớn hơn 1 sao cho tại điểm này tiếp tuyến của C tạo với hai đường tiệm cận của C tạo thành một tam giác có chu vi nhỏ nhất.. Chứng tỏ rằng với mọi
Trang 1SỞ GD VÀ ĐT ĐỒNG THÁP
Trường THPT Cao lãnh 2
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2009 - 2010
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
SÁNG Ngày thi: 20 tháng 9 năm 2009
(Đề thi gồm có: 01 trang)
Câu 1: (3.0 điểm)
1 Cho hàm số 2
1
x
x
có đồ thị là (C) Tìm trên đồ thị (C) một điểm có hoành độ lớn hơn 1 sao cho tại điểm này tiếp tuyến của (C) tạo với hai đường tiệm cận của (C) tạo thành một tam giác có chu vi nhỏ nhất
2 Cho hàm số y x3(m1)x2 (m1)x1 Chứng tỏ rằng với mọi giá trị khác 0 của m, đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt A, B, C trong đó B, C có hoành độ phụ thuộc tham số
m Tìm giá trị của m để các tiếp tuyến tại B, C song song với nhau
Câu 2: (5.0 điểm)
2.1 Giải phương trình:
8 1 3
6
3 cos cos 3 sin
x tg x tg
x x x
2.2 Giải hệ phương trình: 2 2 4
x x y y y
2.3 Giải phương trình nghiệm nguyên sau: yx – x2 + y – x – 1 = 0
Câu 3: (3.0 điểm)
3.1 Cho tam giác ABC có ba góc A, B, C thoả mãn:
1 cos cos
3 3 2 2 2 A
B A
B tg
3.2 Tam giác ABC có các góc A, B, C thoả mãn:
C B
B A
C B B A
sin 4 1 sin 4 2 2
sin 4 1 sin 4 2 2
sin sin sin sin
CM ABC đều
Câu 4: (2.0 điểm)
2 1
2010 ( ) :
1
n
u u
1 lim
n n
L
u
Câu 5: (2.0 điểm)
5.1 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số mà trong đó có đúng hai chữ số 1 và 3 chữ số còn lại khác nhau?
5.2 Cho n là số nguyên dương với n2 Chứng minh rằng:
2 2
3 2 2 2 1 2
2 )
1 (
3 2
n n
n
C
Câu 6: (2.0 điểm)
Chứng minh rằng: 12 7 x2 xy2y2 12 7 Trong đó x, y là các số thực thoả mãn:x2xyy23
Câu 7: (3.0 điểm)
7.1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với A(10;5), B(3;2), C(6;-5) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và tìm giao điểm của đường tròn này với đường thẳng y = 5
7.2 Cho tứ diện OABC với OA = a, OB = b, OC = c và OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau Tính diện tích tam giác ABC theo a, b, c Gọi ,, là góc giữa OA, OB, OC với mặt phẳng ( ABC) Chứng minh rằng: sin2sin2 sin2 1./.Hết.
Trang 2SỞ GD VÀ ĐT ĐỒNG THÁP
Trường THPT Cao lãnh 2
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2009 - 2010
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN
(Hướng dẫn chấm và biểu điểm gồm có 05 trang)
3.0 Câu 1
1.5 1.1 Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho chu vi nhỏ nhất.
0.25
Giả sử ; 1
0
2 0 0
x
x x
M với x0 > 1 là một điểm thoả mãn đề bài A và B là giao điểm của tiếp tuyến với đồ thị với các tiệm cận đứng, tiệm cận xiên tương ứng, I( 1; 2) là giao điểm của hai tiệm cận
0
0 , 2 1;2 1
2
;
x
x
2
AI BH
2
IA IB AIB IA IB
0.25 Từ đó
4 2 4
IB
IA Từ định lí cosin cho tam giác AIB có
2 1 8
8 2 45 cos
2 2
2 IA IB IA IB IA IB
0.25 Kết luận: Chu vi tam giác AIB đạt giá trị nhỏ nhất ứng với 4
4 4
2
1 2 2
; 2
1 1
1.5 1.2 Tìm giá trị của m để các tiếp tuyến tại B, C song song với nhau.
ĐS Vậy m = 2 thỏa yêu cầu bài toán
5.0 Câu 2
ĐS Nghiệm x k kZ
6 thoả mãn các điều kiện bài toán.
ĐS Tóm lại hệ Pt(I) có 4 nghiệm x 2
x 1
y 1
2.0
CÁCH KHÁC (I)
2 2
2 2
2 2
2
x y 0 hay x y 1
x y 0 hay x y 1
2
x 2 hay
2
x 1
y 1
1.0 2.3 Giải phương trình nghiệm nguyên sau: yx – x 2 + y – x – 1 = 0 (3).
ĐS Thử lại ta được các nghiệm của (3) là: (x; y) = (- 2; - 3), (0; 1)
3.0 Câu 3
ĐS
3
đều
Trang 30.25 sinAsinB
0.25 Lập phương trình tương tự đối với điều kiện thứ hai của hệ, ta có sinB = sinC
0.25 Suy ra điều cần chứng minh
2.0 Câu 4
ĐS
1
lim
2009
n n
i u i
2.0 Câu 5
1.0 5.1 Số tạo thành có 5 vị trí Xét hai trường hợp
ĐS Theo quy tắc cộng, số các số phải tìm là:134433604704
1.0 5.2 Chứng minh rằng: 12 122 232 3 2 n ( 1).2n2
n n
n
C
1 1
1
n
k
k n n
k
k n n
k
k
C
2.0 Câu 6: Chứng minh rằng: 12 7 x2 xy2y2 12 7.
3 0
2 2
x xy y nên 12 7 x2xy2y2 12 7.
3.0 Câu 7
2.0 7.1 Phương trình đường tròn và giao điểm.
ĐS Vậy có hai giao điểm là M1(10;5) và M2(6;5)
1.0 7.2 Chứng minh rằng: sin2sin2sin2 1
2 2 2 2
2 2 2
2
a c c b b a
c b a c
b a
Chú ý: Nếu học sinh có hướng giải quyết khác mà đúng và hợp lôgích thì vẫn chấm
điểm tối đa như hướng dẫn này Sai phần trên thì không chấm phần dưới.