Cho điểm A 0;a .Xác định a đẻ từ A kẻ được hai tiếp tuyến tới C sao cho hai tiếp điểm tương ứng nằm về hai phía trục ox.. Hãy tìm đa thức ấy.. Xét tập hợp gồm năm đường thẳng song song v
Trang 1SỞ GD VÀ ĐT ĐỒNG THÁP
Trường THPT Cao lãnh 2
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2009 - 2010
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Ngày thi: 21 tháng 9 năm 2009
(Đề thi gồm có: 01 trang)
Câu 1: (3.0 điểm)
1.1 Cho hàm số
1 x
2 x y
(C) Cho điểm A (0;a) Xác định a đẻ từ A kẻ được hai tiếp tuyến tới (C) sao cho hai tiếp điểm tương ứng nằm về hai phía trục ox
1.2 Giải phương trình nghiệm nguyên dương sau:
Câu 2: (3.0 điểm)
sin
2 sin 2 sin
sin
2 2 2
2
x
x x
x
2.2 Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta luôn có:
3 3 3 3 4 3 3
3 3
3 3
C tg B tg A tg C
tg B
tg A
tg
Câu 3: (3.0 điểm)
3.1 Giải bất phương trình: x2 3x2 2x2 3x1x1
3.2 Tìm m để phương trình: 2
m x 2x 2 1 x(2x)0 (2) có nghiệm x 0; 1 3
Câu 4: (3.0 điểm)
4.1 Cho đa thức P (x) = x5 + x4– 9x3 + ax2 +bx + c
Biết rằng P (x) chia hết cho (x - 2)(x + 2)(x + 3) Hãy tìm đa thức ấy
4.2 Cho dãy số (un) xác định bởi:
n
n
u u
u
3 1
3 2
1
1
với n 1
Xác định số hạng tổng quát (un) theo n
Câu 5: (3.0 điểm)
5.1 Cho tam giác ABC Xét tập hợp gồm năm đường thẳng song song với AB, sáu đường thẳng song song với BC và bảy đường thẳng song song với CA Hỏi các đường thẳng này tạo ra bao nhiêu hình bình hành, bao nhiêu hình thang?
5.2 Với n là số nguyên dương, chứng minh hệ thức: n
n n
n n
2
Câu 6: (2.0 điểm)
Cho
;3 3
1 , ,b c
5
7
c c b
b b a a
Câu 7: (3.0 điểm)
7.1 Trên mặt phẳng với hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxy cho các đường thẳng
0 3 :
; 0 6 :
; 0 4
3
1 xy d xy d x
rằng A và C thuộc d3, B thuộc d1, D thuộc d2
7.2 Cho hình chóp tam giác đều SABC có đường cao SO = 1 và đáy ABC có cạnh bằng 2 6 Các điểm M, N theo thứ tự là trung điểm của cạnh AC, AB Tính thể tích hình chóp SAMN và bán
Trang 2SỞ GD VÀ ĐT ĐỒNG THÁP
Trường THPT Cao lãnh 2
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2009 - 2010 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN
Ngày 21-9-2009
(Hướng dẫn chấm và biểu điểm gồm có trang)
3.0 Câu 1
2.0 1.1 Phương trình tiếp tuyến.
0.25 Phương trình tiếp tuyến qua A (0;a) có dạng y =kx+a (1)
0.25 Điều kiện có hai tiếp tuyến qua A:
) 3 ( k ) 1 x ( 3
) 2 ( a kx 1 x
2 x
2
có nghiệm x 1
0.25 Thay (3) vào (2) và rút gọn ta được:( a 1 ) x2 2 ( a 2 ) x a 2 0 ( 4 )
0.25 Để (4) có 2 nghiệm x 1 là:
2 a
1 a 0 6 a 3 '
0 3 ) 1 (
1 a
0.25 Hoành độ tiếp điểm x1; x2 là nghiệm của (4) Tung độ tiếp điểm là
1 x
2 x y
1
1 1
1 x
2 x y 2
2
0.5 Để hai tiếp điểm nằm về hai phía của trục ox là : 0
) 2 x )(
1 x (
) 2 x )(
2 x ( 0 y y
2 1
2 1
2
0.25
3
2 a 0 3
6 a 9 0 1 ) x x ( x
x
4 ) x x ( 2 x
x
2 1 2
1
2 1 2
3
2
thoả mãn đkiện bài toán 1.0 1.2 Giải phương trình nghiệm nguyên dương
(1) x y 5 x 3x z 5y
0.25 Áp Dụng BDT Cauchy cho 3 số ; ta đđược:VT VP Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: x2 y2 5 z
x y xy xy
0.25 Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình là: x y z, , 3, 2, 9
3.0 Câu 2
2.0 2.1 Giải phương trình lượng giác.
0.5
2
sin 2 0 sin sin 2
2 sin sin 2
sin 2 sin
x
1.0 hay
4
1 cos
0 2 sin 2
sin sin
0 2 sin 2
sin sin
0 2 sin
2 2
2 2
2
x
x x
x
x x
x
0.5 VËy
Z k k x
k x
, 2 3 2
2 3
1.0 2.2 CMR
0.25 Tõ
3 3 3 3
A C
B , ta suy ra:
Trang 30.25 Hay 3 3 3 3
3.0 Câu 3
1.5 3.1 Giải bất phương trình : x2 3x2 2x2 3x1x1
ĐS *BPT có tập nghiệm S=(-;1/2] {1}
1.5 3.2 Tìm tham số m.
ĐS Do đó, ycbt bpt
2
m
t 1
có nghiệm t [1,2]
t 1;2
2
m maxg(t) g(2)
3 Vậy m
2 3
3.0 Câu 4
1.5 4.1 Tìm đa thức.
ĐS Vậy đa thức phải tìm là P (x) = x5 + x4– 9x3- x2 +20x - 12
1.5 4.2 CMR
ĐS Suy ra:
6 1
3 2 3
tan 3 502 tan
3 2007 tan
u
3.0 Câu 5
1.0 5.1.
0.5 Số hình bình hành là: C52.C62 C52.C72 C62.C72 675 (hình)
5 1 6 2 7 1 7 1 5 2 6 1 7 1 6 2
5 C C C C C C C C
2.0 5.2 CMR
0.5 Đặt S là vế trái hệ thức cần chứng minh, lưu ý 0 n 1
n
n C
C và C n k C n nk
0.5 Ta thấy: 2S n C1n 2n C n2 2 n C n n1 2n C n n 2 1
0.75 Từ 1x n1x n 1x2n,xR So sánh hệ số của x n trong khai triển nhị thức Newton của
n n
x
1
x 2
1 ta suy ra: C1n 2 C n2 2 C n n 2 C2n n 2 0.25 Từ (1) và (2) có đpcm
2.0 Câu 6
a c
c c b
b b a
a c b a F
, , Giả sử amaxa,b,c
2
2
F a b c F a b ab
5 7 1
2 1
1 5
7 ,
b
a a
b ab
b a
b
a
2
x
0.25
BĐT ( 2) đúng, từ (1), (2) có bất đẳng thức cần chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
a,b,c3;1;1 và các hoán vị
Trang 41.5 7.1 Tìm tọa độ.
0.5 Ta có: B(b;3b4)d1;Dd;6dd2 Vì A,Cd3//Oy nên B và D đối xứng nhau qua d3 0.5 Suy ra
4
2 6
4 3
6
d
b d b
d
b Do đó B (2; 2), D(4;2), dẫn tới tâm hình vuông ABCD là I (3; 2)
0.25 Mặt khác A(3;a)d3 và IA2 IB2 nên a22 1a 3 hoặc a = 1
0.25 Bài toán có hai nghiệm hình: A(3; 3), (2; 2), (1; 3),B C D(4; 2); (1; 3), (2; 2), (3; 3),A B C D(4; 2)
1.5 7.2 Tính thể tích và tìm bán kính mặt cầu nội tiếp.
0.5 * Ta có:
2
3
3
SAMN SO S V
0.5 * Gọi r là bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp SAMN Sử dụng công thức:
0.5 S SAMN rS AMN S ASN S SMN
3
1
, ta tính được:
2 2 4
3
r
Chú ý: Nếu học sinh có hướng giải quyết khác mà đúng và hợp lôgích thì vẫn chấm
điểm tối đa như hướng dẫn này Sai phần trên thì không chấm phần dưới.