Sở giáo dục và đào tạo kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12 thpt Gia lai Năm học: 2008 2009
- Môn thi: TOáN
Đề chính thức Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề BàI
Câu 1: (3 điểm)
Giải phương trình: log3 x x
3 2x 2x
3 3x
2
2
.
Câu 2: (3 điểm)
Chứng minh rằng với mọi số nguyên a, b, luôn tìm được số nguyên dương n sao cho số f(n) = n3 + an2 +bn + 2009 không phải là số chính phương
Câu 3: (4 điểm)
Cho dãy số (xn); n = 0, 1, 2, ; thoả mãn x0 = 2; xn+1 =
2 x
1 2x
n
n
,n = 0, 1, 2,…
a) Tìm
n
x
n
lim
b) Chứng minh rằng x1 + x2+…+ x2008 < 2009
Câu 4: (4 điểm)
Tìm tất cả đa thức P(x) thoả mãn điều kiện:
P(x2 + y2) = (P(x))2 + (P(y))2 ; x,y R
Câu 5: (6 điểm)
Cho tam giác ABC (BC = a, CA = b, AB = c) nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R
và ngoại tiếp đường tròn tâm I, bán kính r
a) Đặt d = OI Chứng minh rằng: d2 = R2 2Rr ( Hệ thức Euler)
b) Giả sử rằng AIO 900 Chứng minh rằng: AI < ab bc ca
3