Tong hop cong thuc toan 11 12 day du

Tong hop cong thuc toan 11 12 day du Tong hop cong thuc toan 11 12 day du Tong hop cong thuc toan 11 12 day du Tong hop cong thuc toan 11 12 day du Tong hop cong thuc toan 11 12 day du

I Tam thức bậc hai: HI.Đao hàm:

Giả sử phương trình có 2 nghiệm x,; x; thì:

® Pt có 2 nghiệm trái dau Ss (log, x) xiữg (log, u)'= Em

® PLcó 2 nghiệm cùng dâu “bo (a`)'=a`.Ina (a")'=u'a°.lna

e PL có 2 nghiệm phân biệt cùng đương Quy tắc tính đạo hàm

©‡P>0

® Pt có 2 nghiệm phân biệt cùng âm us v

+ Cho phương trình : ax* + bx? + cx +d =0 2 y= t1 +¢_ ,_adx” +2aex +be-cd Gia sir phuong trinh c6 3 nghiém x,; x,;x, thi: dx+e (dx+e)

Trang |

©o_ Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn

vô cực và tìm tiệm cận (nêu có)

o Lap bang bién thién ghỉ rõ dấu của đạo

hàm, chiều biên thiên, cực trị của hàm SỐ

e Vẽ đồ thị của hàm số:

©- Tìm điểm uốn của đồ thị (đối với hàm

số bậc ba và hàm sô trùng phương)

— Tính y”

— Tìm các điểm tại đó y” =0 và xét dấu W*

©_ Vẽ các đường tiệm cận (nếu có) của đồ

thị

o_ Xác định một số điêm đặc biệt của đô

thị như giao điêm của đô thị với các trục toạ độ

(trong trường hợp đô thị không cắt các trục toạ độ

hoặc việc tìm toạ độ giao điểm phức tạp thì có thể

bỏ qua) Có thể tìm thêm một số điểm thuộc đồ

thị để có thể vẽ chính xác hơn

©o_ Nhận xét về đồ thị: Chỉ ra trục đối

xứng, tâm đối xứng (nếu có) của đồ thị

2 Hàm số bậc ba y=axÌ +bx”+ex+d (a#0):

tiệm cận ngang là y= ^ Giao điểm của hai tiệm

cận là tâm đối xứng của đồ thị hàm số

® Các dạng đô thị:

CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

KHAO SAT HAM SO

M,(x„:f(xạ)) Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm Mạ(xạ:f(x,)) là:

y-Yo=f(xo)(x—Xo) (yo=fŒXo))

Dạng 1: Lập phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): y = f(x)

Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến A của (C): y =f(x) tại điểm Mụ(Xxạ:Yạ)

e Nếu cho xo thì tìm yo = f(Xo)

Nếu cho yo thi tim xọ là nghiệm của phương

trinh f(x) = yo

© Tinh y' =f" (x), Suy ra y'(xo) =f" (Xo)

s Phương trình tiếp tuyến A là:

Y— yo =Ÿ (Xo).(X — Xo)

Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến A của (C): y =f(x), biết A có hệ số góc k cho trước

Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm

© Gọi M(xo: yo) là tiếp điểm Tính F' (xo)

® A có hệ số góc k= Ÿ' (x)=k (1)

ø Giải phương trình (T), tìm được x và tính yọ

=f(xo) Từ đó viết phương trình của A

Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc

Trang 3

- 1

Chú ý: Hệ số góc k của tiệp tuyên A có thê

được cho gián tiếp như sau:

> A tao voi chiều dương trục hoành góc œ thì

Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến A của

(C): y = f(x), biét A di qua điểm A(x„:y„)

Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm

e Gọi M(xụ; yọ) là tiếp điểm Khi đó:

Yo = Í(xu), Yo = f" (Xo)

¢ Phuong trinh tiép tuyén A tai M:

y—Yo=P" (Xo).(X — Xo)

® A đi qua A(x,;:y„)nên:

YA— Yo =Ÿ (Xo)(XxA=Xø) (1)

° Giải phương trình (I), tìm được xọ Từ đó

việt phương trình của A

Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc

® Phương trình đường thăng A đi qua

A(x,:Y„) và có hệ sô góc k: y— ya = K(x — Xa)

« A tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương

trình sau có nghiệm:

f(x) =K(x—x,)+yY,

—_ =k

« Giải hệ (*), tìm được x (suy ra k) Từ đó viết

phương trình tiếp tuyến A

Ψ)

Dang 4: Tìm những điểm mà từ đó có thể vẽ được 2 tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x)

và 2 tiếp tuyến đó vuông góc với nhau

e Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C) © (3)

có 2 nghiệm phân biệt x, Xa

e Hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau

<= f" (x1) (x2) =-1

Từ đó tìm được M

Chú ý: Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C) sao

cho 2 tiếp điểm nằm về hai phía với trục hoành

J đứa phân biệt

f(x,).f(x;) < 0

Điều kiện cần và đủ đề hai đường (C)): y = f(x)

và (C2): y = g(x) tiệp xúc nhau là hệ phương

trình sau có nghiệm:

F(x) =g(x) (*)

f{x)=gt(%)

Nghiệm của hệ (*) là hoành độ của tiếp điểm

của hai đường đó

Để tìm hoành độ giao điểm của (C¡) và (C›)

ta giải phương trình: f{x) = g(x) (*) (gọi là phương trình hoành độ giao điêm)

Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao

- 1

điểm của hai đồ thị

2 Đô thị hàm số bậc ba

y =ax’ +bx? +ex+d (a #0) cat truc hoành tại 3

diém phan biét

<> Phuong trinh ax’ +bx*+cx+d=0 c63

nghiém phan biét

< Ham sé y=axÌ+bx?+cx+d có cực đại, cực

tiểu và Ycp.Ycr <0

Vấn đề 3 BIỆN LUẬN SÓ NGHIỆM

CUA PHUONG TRINH BANG DO

> Nghiệm của phương trình (1) là hoành độ

giao điểm của (C\): y = f(x) và (C2): y = g(x)

e Đề biện luận số nghiệm của phương trình

F(x, m) = 0 (*) bang đồ thị ta biến đôi (*) về một

trong các dạng sau:

Dang 1: F(x, m) =0 © f(x) =m (1)

Khi đó (1) có thể xem là phương trình hoành

độ giao điêm của hai đường: (C): y = f(x) va d: y

=m

s d là đường thắng cùng phương với Ox

e Dựa vào đồ thị (C) ta biện luận số giao điểm

của (C) và d Từ đó suy ra số nghiệm của (l)

ax’ + bx? +x +d=0(a #0) (1) c6 dé thi (C)

> Số nghiệm của (l) = Số giao điểm của (C)

¢ Trường hợp 3: (1) có 3 nghiệm phân biệt =

(C) cat Ox tai 3 điêm phân biệt

f có 2 cực trị “a đu

Bài toán 2: Phương trình bậc ba có 3 nghiệm cùng dấu

s Trường hợp 1: (1) có 3 nghiệm dương phân

biệt © (C) cất Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành

độ dương

f có 2 cực trị

Ycp:Ycr <0 Xcp>0 Xer>0

a.f(0) <0 (hay ad <0)

s Trường hợp 2: (1) có 3 nghiệm có âm phân

Trang 5

Van dé 5 DIEM DAC BIET TREN

DO THI CUA HAM SO

Dang 1: Tìm cặp điểm trên đồ thị (C): y =(x) đối xứng qua đường thắng d:y=ax+b

Van dé 4 HAM SO CO CHU'A DAU

GIA TRI TUYET DOI

Bước 1 Về đồ thị (C) và chỉ giữ lại phần đồ

thị năm phía bên phải trục tung

Bước 2 Lấy đối xứng phân đồ thị ở bước I

qua trục tung ta được đồ thị (C)

2 Đồ thị hàm số y =|f(%)|

Gọi (C):y=f(x) và (C;): y =|f(x)| ta thực hiện

các bước sau:

Bước 1 Vẽ đồ thị (C)

Bước 2 Giữ lại phần đồ thị của (C) nằm phía

trên trục hoành Lấy đối xứng phần đồ thị nằm

phía dưới trục hoành của (C) qua trục hoành ta

được đồ thị (C›)

3 Đồ thị hàm số y =|f(|s| |

Gọi (C,):y=f(|x|), (C;): y=|f(@œ)| và

(C,): y =|†(Ix|)| Dễ thấy để vẽ (C;) ta thực hiện

các bước vẽ (C)) rồi (C›) (hoặc (C›) rồi (C))

Cơ sở của phương pháp: A, B đối xứng nhau

qua d © d là trung trực của đoạn AB

se Phương trình đường thắng A vuông góc với d: y = ax + b có dạng: A: pment ha

a

© Phương trình hoành độ giao điểm của A và

(; f@)=-lx+m — Œ)

a

_® Tìm điều kiện của m dé A cat (C) tai 2

điêm phân biệt A, B Khi đó xa, xp là các

nghiệm của (1)

® Tìm toạ độ trung điểm I của AB

e Từ điều kiện: A, B đối xứng qua d> Ie

đ, ta tìm được m => Xa, Xp => Ya, Ys > A, B

iC) (dì © (m

- 1

Dạng 2: Tìm cặp điểm trên đồ thị | LƯỢNG GIÁC |

(C): y=f(x) đối xứng qua điểm I(a; b)

Cơ sở của phương pháp: A, B đối xứng nhau | Vấn đề 1: ÔN TẬP | qua I = I là trung điêm của AB 1 Góc và 1 :

e Phương trình đường thẳng d qua lía; b), có | | 72L can sen mac

e Phương trình hoành độ giao điểm của (C) A 0 * |# |” =

Tim diéu kién dé d cat (C) tai 2 diém phan Sina | 0 L w M 1

« Từ điều kiện: A, B đối xứng qua I © I là 2 2 2

trung điểm của AB, ta tìm được k => Xạ, Xu V3

VO Xa) (Ya-Ya) E Cos | cosx | -cosx | sinx ~sÏnx

2 Khoảng cách từ điểm M(xø; yọ) đến đường COX

thang A; ax + by +¢ =0: Tan | -tanx | -tanx | cotx | tanx —cotx

d(M, A) = [ax at a ¢| Cot |-cotx | -cotx | tanx | cotx | —tanx

3 Diện tích tam giác ABC: 1.Gnzti6gfBin: | Cong :

s= 1 ABACsinA = 1 Tap act -(ABAC) sin? a+cos*a=1

2 1

1 2a=

Nhận xét: Ngoài những phương pháp đã nêu, bài ”.m cos°a

tập phần này thường kết hợp với phần hình học K7 1

giải tích, định lý Vi-et nên cần chú ý xem lại các pear sin? a

tính chất hình học, các công cụ giải toán trong ® s

hình học giải tích, áp dụng thành thạo định lý 2 Ging thielcong: b

Vi-et trong tam thức bậc hai €os(œ = B) = cos œ.cos [+ sỉn œ.sin

cos(a +B) = cos œ.cos — sin œ.sin sin(œ —) = sins ơ.cos — cos ơ.sin 3

sin(œ +) = sins œ.cos[ + eos œ.sin ð tan(œ +) = _tạn œ —tanB_

1+ tan œ tan

tage — py ©ÌHỦ

1~ tan œ.tanB Trang 7

- 1

3 Công thức nhận đội, nhân ba:

cos 2œ = cos? œ—sin? œ =2cos” œ—l=I—2sin? œ

=(cos œ —sỉn œ)(cos œ + sỉn œ)

Sin2ơ = 2sin œ.cos œ

cos 3œ = 4cosÌ œ—3cos œ

sin 3œ = 3sin œ—4sinÌ œ

cosx +008 y = 2cos**¥ cos ~—#

cos X —cos y = —2sin eV gy AOS

sin x +sin y =—2sin `

sin x —sin y = 2cos — i

6 Công thức biến đổi tích thành tông:

cos acosB = [costa +B) +cos(a—-B)]

sinasinB = ~3[sos(ø +B)-cos(a—B)]

sinacosB = slime +)+sin(a-B)]

> Mat sé chi ¥ can thiét:

sin* x +cos* x =1—2.sin’ x.cos? x

sin® x +cos® x =1—3.sin* x.cos* x

sin* x +cos* x =(sin* x +cos* x)? —2sin* x.cos* x

=(I—2sin? x.cos” x)’ —2sin* x.cos* x

= gần 2x—sin? 2x+l

Trong một số phương trình lượng giác, đôi

khi tạ phải sứ dụng cách đặt như sau:

- Patt la một trong các hàm lượng giác

Giải phương trình theo t và đễ dàng tìm được nghiệm của phương trình đã cho

HI.Phương trình a.sin x +b.cosx =c

Cách giải:

- Nếu a? +bŸ <c: phương trình vô nghiệm

- Nếu a?+b? >c°: Ta chia hai về của phương trình cho xa +bŸ Pt trở thành:

sink + osx: = =

*a?+b? Va? +b? Va? +b?

> cosa.sin X +sin &.cos x =

IV Phuong trinh

a.sin? x +b.sin x.cos x +¢.cos* x =d

Cách giải:

Cách 1:

- Xếtcosx=Ũ«€>x =5+K2n,k eZ

Pt trở thành: a = d.(kiểm tra đúng sai và két luận

có nhận nghiệm cos x =O hay không?)

- Xét cosx #0ex#2.+k2m,k eZ

Chia hai về của phương trình cho cos? x Phuong

trình trở thành:

a.tan” x +b.tanx +¢ =d(1+tan? x)

Dat t=tanx ta dé dang giải được phương trình

Cách 2:

Dùng công thức hạ bậc đưa về phương trình II

Chú ý: Đối với dạng phương trình thuần

nhất bậc 3 hay bậc 4 đối với sin và cos ta cũng

có cách giải hoàn toàn tương tự

V, Phương trình

a(sin x +cos x)+b.sin x.cos x +c =O

Cách giải:

Đặt t=sinx +cosx

Điều kiện: |\< Wi[bo t= v2sin (x +3)

Ta có: t? =sin” x+cos” x+2sinx.cosx

2

= sin x.cos x = ——

PL trở thành: at N“ng =0

Ta dé dang giải được

Chú ý: Đối với dạng phương trình

a(sin x—cos x) + b.sin x.cos x + =0

Bằng cách đặt t =sin x—cosx = V2sin (x -*)

ta sẽ giải được với cách giải hoàn toàn tương tự

như trên

VI.Phương trình A.B=0 Cách giải:

-_ Dùng các công thức biến đổi đưa về

dang A.B=0

A=0 A.B=0= lần

Vấn đề 3: KĨ THUẬT NHẬN BIẾT

© Xuat hién 3 nghĩ đến phương trình II

« Xuất hiện V3va góc lượng giác lớn nghĩ đến dạng biến thê của phương trình III

«Xuất hiện góc lớn thì dùng công thức tổng thành tích để đưa về các góc nhỏ

s _ Xuất hiện các góc có cộng thêm

ko ko kr thì có thể dùng công thức tổng thành

tích, tích thành tổng hoặc cung liên kết, hoặc

công thức cộng để làm mắt các k Z kK kr

« Xuấthiện 2u nghĩ đến phương trình II hoặc cũng có khả năng là các về còn lại nhóm được (sinx+cosx) để triệt x/2 vì

(=sinxeosx = Visin{ x2)

© Khi da don gian cac géc, ma chua dua vé được phương trình quen thuộc thì nghĩ ngay đến khả năng “nhóm nhà, nhóm cửa” Lưu ý, khả năng tách phương trình bậc hai theo sin (hoặc cos) về tích hai phương trình bậc nhất

a _b_e Van dé 1: PHUONG TRINH BAC

II Dinh lí hàm số cosin: I Phương trình bâc hai

a? =b* +c? —2becos A Cho phương trình bậc hai ax? +bx +c=0

IV.Công thức đường trung tuyến: (a#0)c6 A=b*—4ac

mae 2b? + 2c? -a” A<0: phương trình vô nghiệm

„ % A=0: phương trình có nghiệm kép x = "3 4

A _A>0: (3) có hai nghiệm phân biệt

2bc.cos—

VI Các công thức tính điện tích tam giác: Il Dinh lý Vi~et (thuân và đảo)

S= ah, =5besinA =T= =pt Cho phương trình ax°+bx+e=0 có hai

b

nghiệm x,, x; thì

€ P=x,x, rs

iz, [S=X+y

* Nếu biết h thì x, y là nghiệm của

=xy phương trình X?—§X+P=0

IIL Bang xét dau của tam thức bậc hai f(x) = ax’ + bx + € (a#0)

IV = xét dầu một đa thức:

s - Tìm nghiệm của đa thức gồm cả nghiệm

tử và nghiệm mẫu (nếu đa thức là phân thức)

s Lap bang xét dau _ © Xét dau theo quy tic “Thugng cing, 1é đôi, chăn không”

Chú ý: Không nhận những điểm mà hàm số không xác định

e Buéc I: nham | nghiệm x =ơ

® Bước 2: chia ax`+bx”+cx+d cho

(x—øơ) (dùng sơ đô Horner), đưa (4) về phương

trình tích (x—øœ)(ax°+Bx+€) =0

Chú ý: trường hợp nghiệm phương trình bậc lớn

hơn 3 ta cũng có thê giải tương tự

> Cách nhẳm nghiêm hữu tỉ: Nghiệm là

một trong các tỉ sô (ước của d với ước của a)

H Phương trình bậc 4 đặc biệt:

1 Phương trình trùng phương:

ax’ + bx? +c=0(a#0) Dat t=x?, 120 (5) = at +bt+c=0

2 Phương trình đối xứng:

ax” + bx)+ex? + bx+a=0(a#0)

Bước I: Chia 2 về cho x,

peal x + = ]+b( xt2}+0=0

Bước 2: Đặt L=x+ 4 „ đưa (8) về phương trình

x

bac hai theo t

3 Phương trình trùng phương tịnh tiến:

(x+a)(x +b)(x + €)(x + đ)=e với a+c=b+d

Đặt t =(x + a)(x + c), đưa (6) về phương

bb, =d Tiếp theo tiền hành nhắm tìm các hệ số ai; bị; a; ; bạ Bắt đầu từ b¡bạ = d và chỉ thử với các giá

trị nguyên

Chú ý: Phương pháp hệ số bất định này còn

áp dụng rất nhiều ở các dạng toán đòi hỏi nhóm

đặt thừa số chung hay phân chia phân SỐ

III.Phương pháp tham số hằng số biến thiên: Phương pháp: Coi các giá trị tham số, hằng số là biến Còn biến được coi làm hằng số

IV Phương trình a[f(@) +bf(x).g(x)+e[ø(x)]Ï =0

Trong đó bậc f(x) và g(x) < 2

e© - Xét g(x) =0 thỏa phương trình?

© - Xét g(x)#0 chia hai về cho [g(x] dat

3 Phuong trinh — bat phuong trinh vo ty:

* ila) =a Jef f(x)=e`(x)

* f(x) +(x) =vh(x) Dat điều kiện

bình phương hai về

Chú ý: Ở đây ta có thể không đặt điều kiện,

cứ bình phương các về đê mật căn, phương trình

mới là phương trình hệ quả của phương trình đã

cho Do đó khi giải tìm nghiệm ta phải thử lại

& (x) + Je(x) = n(x) + Jes)

Với f(x)+h(x)=g(x)+k(x)

— _ Ta biến đổi phương trình về dạng

— Bình phương, giải phương trình hệ quả

Cách giải: Đặt t= px’ +qx+r điều kiện t>0

Dang 2: Phuong trình dang:

a.(P(x)+Q(x))+B( P(x) + JQ(x))

+2a.,[P(x).Q(x) +7 =0(a? +p* #0)

=> =P(x)+Q(x)+2/P(x).Q(x) Dang 3: Phuong trinh dang:

œP(x)+BQ(x)+y-jP(x).Q(x) Cách giải:

=0 (œByz0) P(x)=0 Q(x)=0

* Nếu P(x)#0chia hai về cho P(x) sau đó đặt

Dang §: Phương trình dang:

vx +a? —b+2avx—b +)x+a?—b—2avx—b

x"+a= bybx —a

Cách giải: Đặt y=bx—a khi đó ta có hệ:

x"~—by+a=0 {* —bx+a=0 Dang 2: Phương trình dạng:

ax+b =r(ux+v)’ +dx+e

trong đó a,u,r 0 và u=ar+d,v=br+e

Cách giải: Đặt uy+v=xax+b khi đó ta có hệ:

pr =r(ux+v) +dx+e ax+b=(uy+v)Ÿ

Dang 3: Phương trình dang:

(a-f(x)+[b+f(x) =

Cách giải: Đặt u =ta-f(x).v=qb+f(x)

Khi đó ta có hệ:

u+v=c u°+v"=a+b ả Nhân lượng liên hiệp:

Dang 1: Phương trình có dạng:

Ta nên biến đổi để nhân cho lượng liên hiệp

tông đê việc chứng minh nghiệm duy nhât được

dễ dàng

e Phương pháp hàm số:

Dạng 1: Chứng minh nghiệm duy nhất

Để chứng minh phuong trinh f(x) = g(x) (*) c6 nghiém duy nhat, ta thực hiện các bước sau:

se Chọn được nghiệm xo của phương trình

« Xét các hàm số y = f(x) (C)) va y = g(x) (Co) Ta can chứng minh một hàm số đồng biến

và một hàm sô nghịch biến Khi đó (C¡) và (C2) giao nhau tại một điêm duy nhât có hoành độ xo

Đó chính là nghiệm duy nhât của phương trình

Chú ý: Nếu một trong hai hàm số là hàm hằng y=C thì kết luận tiền vẫn đúng

Dang 2: Biện luận tham số m

© Dit an phụ theo các phương pháp trên

2 Bất phương trình vô tỷ:

Phương pháp giải bất phương trình cũng

được chia thành các dạng giông như giải phương trình

E(x) Je(x) =a(t (x)-2(x)) d -T <I©‡,vọ hoặc aoe Chú ý: Bài toán nhân liên hiệp thường dùng nêu A<B

ta nhâm được nghiệm của bài toán và nghiệm đó

là nghiệm duy nhât

Trang 13

la, b,|’ * |e, bạ|` ï Jas cy

1 D+z0: Hệ phương trình có nghiệm duy

tất x=D,/D

2 D=0, D, #0 hoặc D, #0: Hệ phương

trình vô nghiệm

3 D=D,=Dy =0; Hệ có vô số nghiệm thỏa

aIX + bịy =c¡ hoặc a¿x + bạy = co

II Hê chứa một phương trình bâc nhất:

Cách 1: Đưa phương trình đối xứng về dạng

tích giải y theo x rồi thế vào phương trình còn lại

Cách 2: Đưa phương trình đối xứng về dạng

f(x)=f(y) ©x=y với hàm f đơn điệu

V Hê đẳng cấp bậc 2:

a,x) +b,xy+e,y°=d,

a;x? +b„xy+ec;y” =d, Cách giải:

« Xéty=0

«Xét y#0 khi đó đặt x = ty và giải

phương trình bậc hai ant

VI Hé bac hai mé rong:

— =0 i fo =0 gy)=0 — [a.f(x,y)+Bg(x, y)=0 f(x,y) =0

{° +by +c)(px +qy +r) =0

Chú ý: Một số bài toán cần phải đặt ân phy dé chuyền về các dạng toán đã biết Ngoài ra phương pháp đánh giá và phương pháp hàm số cũng có thê được dùng đê giải

Trang 14

Đăng ký tài khoản HOCMAI để cập nhật các tài liệu học tập & thông tin giáo dục hữu ích