Toán nâng cao và các chuyên Đề toán 6 nguyễn ngọc Đạm vũ dương thụy

a Viet tập hợp P các chữ số trong số C và tập hợp Q các chữ số trong xố l b Viết tập hợp C các số tự nhiên thuộc .V, nhưng khóng thuộc l3 : tập hợp Í các xố tự nhiên thuộc l3.. Viết tập

NGUYEN NGOC DAM - Vi DUONG THUY

TOAN NANG CAO

VA CAC CHUYEN DE

TOAN 6

(Tái bản lần thứ chín)

NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC VIỆT NAM

737-201 1/CXB/79-1036/GD Mã số : 6TK07t1 - LKT

LOI NOI DAU

Cuốn Toán nang cao va cic chuyén dé Toan 6 thude bo sich Toan nang cao

và các chuyên đề dùng cho học sinh khá, giỏi bac THCS

Cuốn sách được biên soạn theo chương trình mới của Bộ Giáo dục và Đào tạo Nội dung xách gồm hai phần :

Phần thứ nhất : Toán nảng cao gồm những bài tập được sắp xếp theo từng dẻ mục của chương trình Các bài tập được lựa chọn, đa dạng về thể loại phong phú về

cách giải nhằm củng cố nhiều kiến thức, rèn luyện các Kĩ năng phát triển nắng lực

tư duy linh hoạt

Cc tác giả hí vọng cuốn sách sẽ là một tài liệu tham Khảo bố ích cho các em học sinh ham thích học tập môn Toán , cung cấp cho các thẫy giáo những tư liệu cần thiết trong việc dạy học, giúp các bác cha mẹ một tài liệu để hướng dân con em học tập ở nhà

Các tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp về cuốn xách

Thư từ góp ý xin gửi về Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, số 81 Trần Hưng Đạo

- Hà Nội

CÁC TÁC GIA

Kí hiệu : x e A, đọc là x thuộc A hoặc x là phần tử của A

y€A, đọc là y không thuộc A hoặc y không là phần tử của A

3 Dé viết một tập hợp, ta có thé:

~ Liệt bê các phần tứ của tập hợp

~ Chỉ ra các tính chất đặc trưng cho các phần tử cúa tập hợp đó

Cách 3 Gọi x 1a cde s6 tu nhién thude tap hap A, ta có :

A=lxeN:5<x<lÃ)

Vì xố 7 thuộc tập hợp A, nên ta điển vào ô vuông kí hiệu e, còn số 17 khong

thuộc tap hop ¿\, tà điển vào ô vuông kí hiệu é và ta có :

7[e]:\ h 17 [e]A

b) làng cách liệt kế, hãy viết các tập hợp trong đó mỗi tập hợp gồm một phần

tử thuộc tập hợp \ và hai phần tử thuộc tập hợp là

4 Có bà con đường ai, aa ai dị từ :\ đến l3 và có bốn con dường hị bạ, by by

đi từ l3 đến C [lãy viết tập hợp các con đường di từ V đến C qua l3 (a,b, li mot trong

những con dường di từ ,\ đến C qua B)

4 Cho hai so: C = 353535 va D = 478478478

6

a) Viet tập hợp P các chữ số trong số C và tập hợp Q các chữ số trong xố l)

b) Viết tập hợp C các số tự nhiên thuộc V, nhưng khóng thuộc l3 : tập hợp Í các

xố tự nhiên thuộc l3 nhưng không thuộc :\

a) Tập hợp B gồm các số là số liền trước mỗi số của tập hợp A :

b) Tập hợp C gồm các số là số liền sau mỗi số của tập hop A

7 Có bao nhiêu số tự nhiên không vượt quá n, trong đó n e N?

8 Cho các câu sau:

a)X; X+l;x+2tronedóxeN;

b)x-l:x;x+lI trong đó xe NỈ;

€)Xx=2;x~-1;xtrong đóxceN

Câu nào cho ta ba số tự nhiên liên tiếp tang dần ? x phải có thêm diều kiện gì dể

cả bà câu đều là ba số tự nhiên liên tiếp tảng dần ?

9 Cho các câu xau :

a)y+2;y+l;ytrongdóyeN;

b)y+1;y;¡y- long đóy eN”;

€)y=l;y-2;y- 3 trong đó yeN

Câu nào cho ta ba số tự nhiên liên tiếp giảm dần ? y phải có thêm điều kien gi dé

ca ba câu déu là ba số tự nhiên liên tiếp giảm dần ?

Ví dụ 3 Viết các số tự nhiên có hai chữ số, thoả mãn một trong các diểu

- Nếu x= 5 thì y=0;1; ; 9 Có 10 số thoả mãn để bài là : 50 ; 51 :

Vậy có tất cả 18 số thoả mãn đề bài

b) Số xy phải có x > y, đồng thời x # 0, nên :

~ Nếu x = I thì y = 0 Có 1 số thoả mãn đề bài là : 10

~ Nếu x =2 thì y =0; 1 Có 2 số thoả mãn để bài là : 20 ; 21

~ Nếu x= 3 thì y=0; 1; 2 Có 3 số thoả mãn đề bài là : 30: 31 : 32

- Nếu x = 9 thì y=0; 1; ; 8 Có 9 số thoả mãn đẻ bài là : 90; 91; 98

Vậy có tất cả 45 số thoả mãn dễ bài

11 Viết tập hợp các số sau bằng cách liệt kê các phần tử :

a) Tap hop A số tự nhiên có hai chữ số trong đó chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 3 ;

b) Tập hợp B các số tự nhiên có ba chữ số mà tổng các chữ số của mỗi số đều

bang 5

12 Cho s6 97531

a) Viel thêm chữ số 0 vào số đã cho để được số lớn nhất có thể được ;

b) Viết thêm chữ số 0 xen giữa các chữ số của số đã cho để được số nhỏ nhất có thể được

13 a) Có bao nhiêu số có 5 chữ số ?

h) Có bao nhiêu xố có 6 chữ số ?

14 Để viết được các số tự nhiên :

a) Từ I đến 99 phải dùng bao nhiêu chữ số 5 ?

b) Từ 100 đến 999 phải dùng bao nhiêu chữ số 9 ?

17 Khi viết tất cả các số tự nhiên từ I đến 100 thì :

a) Chữ số 0 được viết bao nhiêu lần ?

b) Chữ số I được viết bao nhiêu lần ?

c) Các chữ số 2, 3, , 9, mỗi chữ số được viết bao nhiêu lần ?

18 Trong các số tự nhiên từ 100 đến 10000 có bao nhiêu số mà trong cách viết

của nó có đúng 3 chữ xố iống nhau ?

19 Viết liên tiếp các số tự nhiên từ I đến 60 thành một dãy, dể dược số

A = 12345, 585960 Hỏi phải xoá đi 100 chữ số nào để số còn lại của xố A (van giữ nguyên thứ tự ban đầu của các chữ số) tạo thành số nhỏ nhất ?

Cũng hỏi như trên trong trường hợp số còn lại của ¿\ là số lớn nhất ?

I0

§4 SO PHAN TU CUA MOT TAP HOP

TAP HOP CON

1 Một tập hợp có thể có một phần tử, có nhiều phần tử, có tô số phần tử, cũng có thể không có phần tử nào

2 Tập hợp không có phần tử nào gọi là tập rỗng

#) Mỗi tập hợp có bao nhiêu phần tử ?

b) Viết các tập lợp khác tập hợp rồng vừa là tập hợp con của tập hợp A vừa là

tập hợp con của tập hợp B

¢) Dùng kí hiệu C để thể hiện mối quan hệ giữa các tập hợp \, B và tập hợp nói

trong câu b) Dùng hình vẽ mình họa các tập hợp đó

Giới a) Tập hợp ¿\ có 3 phần tử, tập hợp

lồ có 6 phần tử ;

b) Vì số 5 là phần tử duy nhất vừa thuộc

¿\ vừa thuộc l3 Vì vậy chỉ có một tập hợp C

BAI TAP

20 Cho hai tập hợp :

M=({0;:2;4; ;96;98; 100] ;

Q= {xe N'Ix 1 s6 chan, x < 100]

a) Mỗi tập hợp có bao nhiêu phần tử ?

b) Dùng kí hiệu c để thể hiện mối quan hệ giữa M và Q

21 Cho hai tập hợp :

R=tmeNIlI69<m <8ã5| :

S={neNIl69<n<09lI]

a) Viết các tập hợp trên ;

b) Mỗi tập hợp có bao nhiêu phần tử ?

€) Dùng kí hiệu để thể hiện mối quan hệ giữa hai tập hợp đó

22 Viết các tập hợp sau và cho biết mỗi tập hợp có bao nhiều phần tử :

năm điểm 10

Ding kí hiệu c để thể hiện mối quan hệ giữa các tập hợp học sinh dạt số các điểm 10 của lớp 6A, rồi tính tổng số điểm 10 của lớp đó

24 lạn Nam đánh số trang của một cuến xách bằng các số tự nhiên từ I đến

256 Hoi ban Nam phải viết tất cả bao nhiều chữ xố ?

2§ Để đánh số trang của một cuốn sách bạn Việt phải viết 282 chữ số Hỏi cuốn sách đó có bao nhiêu trang ?

12

§5 PHEP CONG VA PHEP NHAN

1 Tính chất giao hoán của phép cộng tà phép nhân :

a+b=b+a; ab=ba

Khi đổi chỗ các số hạng trong một tổng thì tổng không đổi

Khi đổi chỗ các thừa số trong một tích thì tích bhông đổi

9 Tính chất kết hợp của phép cộng và phép nhân :

(a+b)+c=a+(b+*+e); (a.b).c= a.(b.c)

Muốn cộng một tổng hai số uới một số thứ ba, ta có thế cộng số thứ nhất tới tổng của xố thứ hai uà số thứ ba

Muốn nhân một tích hai số uới một số thứ ba, ta có thể nhân số thứ nhất

uới tích của số thứ hai uà số thứ ba

8 Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng :

a(b +c) =ab+ac

Muốn nhân một số uới một tổng, ta có thể nhân số đó uới từng số hạng

của tổng, rồi cộng các hết quá lại

b) Số 999 có tổng các chữ số bằng 27, vì thế nếu tách riêng số 999, rồi kết hợp

1 với 998 ; 2 với 997 ; 3 với 996, thành từng cập dể có tổng bằng 999, thì mỗi

tổng như vậy đều có tổng các chữ số là 27 Vì có 499 tổng như vậy, cộng thêm với

xố 999 cũng có tổng các chữ số bằng 27 Do đó tổng các chữ xố của xố nêu trên là :

27.500 = 13500

13

Vi du 6 Tim s6 c6 hai chit s6, bit rang nu viel chữ xố 0 xen giữa hai chữ số của xổ đó thì dược số có ba chữ số g:

Ap 9 lấn số có hai chữ xố bạn dầu

Giải Gọi số có hai chữ số phải tìm là ab trong đó a, b là các xố tự nhiên từ |

đến 9 Theo để bài, ta có :

a0b = Yab hay 100a+b=9(10a + b)

hay 100a + b= 90a + 9b, hay 10a = &b, do dé

Sa = 4h Bang phép thir true tiép ta thay rang trong cde s6 tu nhién tir 1 dén 9 chi c6 a= 4

28 Chia các số tự nhiên từ 1 đến 100 thành hai lớp : lớp số chẵn và lớp xố Ie

Hỏi lớp nào có tổng các chữ số lớn hơn và lớn hơn bao nhiêu ?

29 Điển các chữ số thích hợp vào các chữ để được phép tinh đúng :

a) lab + 36 = abl :

b) abe + ace + dbe = bee

30 C6 9 tấm bìa ghi các chữ số (hình 3)

14

32 Cho một bảng vuông gồm 9 ô vuông như hình 5

Hãy điển vào các ô của bảng các số tự nhiên từ 1 đến 10

(mỗi số chỉ được viết một lần) sao cho tổng các số ở mỗi

hàng, mỗi cột, mỗi đường chéo bằng nhau

34 Trên một tờ giấy kẻ ô vuông kích thước 50.50 6

vuông Trong mỗi ô người ta viết một số tự nhiên Biết rằng

cứ bốn ô tạo thành một hình như hình 6 thì tổng các số trong

bốn ô đó đều bằng 4 IHlãy chứng tỏ rằng mỗi số đó đều

bing 1

rT T,.7

36 Cho bảng gồm 16 ô vuông như hình 7 Hãy điển vào

các ô của bảng các số tự nhiên lẻ từ I đến 31 (mỗi số chỉ

viết một lần) sao cho tổng các số trong cùng một hàng, cùng

một cột, cùng một đường chéo đều bằng nhau

37 Cho dãy số 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, (dãy số

Phi-bô-na-xi) trong đó mỗi số (bất đầu từ số thứ ba) bằng

tổng hai số đứng liền trước nó Chọn trong dãy số đó 8 số liên tiếp tuỳ ý Chứng tỏ ràng tổng của 8 số này không phải là một số của dãy đã cho

190 viên bí, hộp thứ hai có 201 viên bị Hãy tìm thuật chơi để dâm báo người bốc bì

đầu tiên là người thắng cuộc

§6 PHÉP TRÙỪ VÀ PHÉP CHIA

1 Điều biện để thực hiện phép trừ là số bị trừ lớn hơn hoặc bằng số trừ

2 Diéu kién dé'a chia hét cho b (a, b € N ; b # 0) la có số tự nhiên q sao cho

a=b.q

3 Trong phép chia có dư :

Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư (a = b.q * r)

Số dư bao giờ cũng khác 0 Số dư bao giờ cũng nhỏ hơn số chia

Ví dụ 7 Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, biết rằng khi chia số này cho 29 thì dư Š,

còn khi chia cho 31 thì dư 28

Gid số tự nhiên cẩn tìm là a và gọi q, q, theo thứ tự là thương của phép chia số cho 29 và cho 31 Ta có a = 29q + Š và a = 3lq¡ + 28 Suy ra 29(q - qị) = 2q¡ + 23 Vì

2q¡ + 23 là số tự nhiên lẻ, nên 29(q - qy) là số tự nhiên lẻ, vì thế q - qị 2 1

16

Để a là số tự nhiên nhỏ nhất thì qị là số tự nhiên nhỏ nhất, khi đó 2q, + 23 =

46 Một phép chia có thương là 6, dư là 3 Tổng

của số bị chỉa, số chia và số dư là 195 Tính số bị chia và

xố chia

47 Tổng của hai số có ba chữ xố là 836 Chữ xố

hàng trăm của số thứ nhất là 5, của số thứ hai là 3

Nếu gạch bó các chữ số 5 và 3 thì sẽ dược hai số có

hai chữ số mà xố này gấp 2 lần số kia Tìm hai số đó

48 Hãy thay dấu * bởi chữ số thích hợp để hoàn

thành các phép tính đã cho trong sơ đồ bên (h.9) "8 2+9.=.#

49 Một học sinh khi giải một bài toán đáng lẽ -

.*£ _ *_- 2 =7 phải chia một số cho 2 và cộng thương tìm được với oe

3 Nhưng do nhầm lân em đó đã nhân số dó với 2, và *6 -_ *® -*) = ** xau đó lấy tích tìm được trừ di 3 Mặc dù vậy kết quả Hình 9

vân đúng Hỏi số cần phải chia cho 2 là số nào ?

50 Tìm số có ba chữ số, biết rằng chữ số hàng trảm bằng hiệu của chữ số hàng chục với chữ số hàng đơn vị Chia chữ số hàng chục cho chữ số hàng đơn vị thì được thương là 2 và dư 2 Tích của số phải tìm với 7 là một số có chữ số tận cùng là I

§I Thay các chữ bởi các chữ số thích hợp :

48labc :abc = 1481

§2 Tim số tự nhiên a < 200, biết rằng khi chia a cho số tự nhiên b thì được thương là 4 va du 35

§3 Viet sO A bat ki có ba chữ xố, viết tiếp ba chữ số đó một lần nữa ta được số

B có sáu chữ số Chia số B cho 13 ta được số C Chia số C cho 11 ta được số D Lai

chia số D cho 7 Tìm thương của phép chỉa

này

%4 Khi chia số M gồm sáu chữ số giống nhau cho số N gồm bốn chữ số giống

nhau thì được thương là 233 và số dư là một số r nào đó Sau khi bỏ một chữ số của

số M và một chữ số của số N thì thương không đổi và số dư giảm di 1000 Tìm hai

số M vàN

§7 LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN

NHÂN HAI LŨY THỪA CÙNG CƠ SỐ

Vi du 8 Hay chitng to rang :

a) 10: 100; 1000 ; 10000 ; 100 0 ;

—

n số 0 b)5; 25: 125; 625; 3125

§6 Trong hai số sau, số nào lớn hơn ?

60 Trong cách viết ở hệ thập phân số 2? có bao nhiêu chữ xố ?

§8 CHIA HAI LŨY THỪA CÙNG CƠ SỐ

1 Khi chia hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số uà trừ các số mũ :

a" ;ạn z ạm-n" (az0;m>n)

Trường hợp m = n thì a": a" =1 (a z0)

2 Quy ước a” = 1 (a z0)

63 Tìm số tự nhiên a, biết rằng với mọi n e NÑ, ta có a"=l,

64, a) Một số chính phương có thể tận cùng bởi các chữ số 2, 3, 7, 8 được không ? b) 'ổng (hiệu) sau có là số chính phương không ?

§9 THỨ TỰ THỰC HIỆN CÁC PHÉP TÍNH

1 Thứ tự thực hiện phép tính trong biểu thức có dấu ngoặc :

()>[]i)

9 Thứ tự thực hiện pháp tính trong biểu thức không có dấu ngoặc :

Luy thừa — Nhân tà chia -> Cộng tà trừ

trong mười giá trị :0; l ; 2: ; 9

Số abcd trong hệ thập phân có giá trị bằng :

a.10Ê + b.I0Ể + c.10 + d

Trong hệ ghi số cơ số g (g là số tự nhiên lớn hơn 1) thì cứ g đơn vị ở một hàng làm thành mot don vi ở hàng trên liền trước Mỗi chữ số trong hệ ghi số cơ số g

nhận một trong g giá trị: 0; 1;2; ; g - l

S6 abcd trong hệ cơ số g được kí hiệu là abed(,, và có giá trị (trong hệ thập

b) LIM 15) sang hệ cơ số 2

§10 TINH CHAT CHIA HET CUA MOT TONG

1 Tính chất 1 Nếu tất cả các số hạng của một tổng đêu chia hết cho cùng

một số thì tổng chỉa hết cho số đó :

aim,bim,cim =a+b+c:m

9 Tính chất 3 Nếu chỉ có một số hạng của tổng không chia hết cho một xố

các số hạng con lai déu chia hét cho số đó thì tổng không chia hết cho số đó :

a) Chứng tỏ rằng mỗi tổng (hiệu) sau :

a+c; b+c; a-b

đều chia hết cho 5

b) Mỗi tổng (hiệu) sau :

a+b+c; atb-c; a+c-b

có chia hết cho § hay không ?

Gidi Data = Sk, + 3, b= Sky + 3, ¢ = 5k; + 2 (Kị, kạ, kạ 6N)

a)a +e = Sky + 3+ Sky + 2 = 5k, + Sky + 5 Tong nay c6 cdc sé hang déu chia hết cho 5 nén téng chia hết cho 5

“Tương tự b + c chia hét cho 5

a - b= Sk, + 3 - Sky - 3 = 5kị — 5kạ Hiệu này có số bị trừ và số trừ cùng chia

hết cho 5, nên chia hết cho 5

b)a + b+c= 5K, + 3 + Sky +34 Sky +2 = Sky + 5k: + 5k; + 8 Tổng có bà xổ

hang 3k), Sk, Sk cling chia hết cho Š, nhưng 8 không chia hết cho Š nên a + b+ c⁄ Š Tương tựa +b—cZ5;a+c-bZ§

a) Trong ba số tự nhiên liên tiếp, có một và chỉ một số chia hết cho 3 ;

b) Trong hai số tự nhiên chắn liên tiếp, có một và chỉ một số chia hết cho +

a

81 Chứng tỏ rằng : Nếu số abcd 7 99 thi ab+cd | 99 va ngược lại

82 Chứng tỏ rằng nếu số abcd ‡ I01 thì ab - cử =0 và ngược lại

83 Chứng tỏ rằng :

ậ) Mọi số tự nhiên cĩ ba chữ số giống nhau đều chia hết cho 37 ;

b) Hiệu giữa số cĩ dang labl và số được viết bởi chính các chữ số đĩ nhưng

theo thứ tự ngược lại thì chia hết cho 90

84 Một số cĩ ba chữ số chia hết cho 12 và chữ số hàng trảm bảng chữ số hàng chục Chứng tỏ rằng tổng ba chữ số của số đĩ chia hết cho 12

§11 DẤU HIỆU CHIA HẾT CHO 2, CHO §

1 Dấu hiệu chỉa hết cho 9

Các xố cĩ chữ số tận cùng là chữ số chẵn thì chia hết cho 9 tà chỉ những

xố đĩ mới chia hết cho 2

9 Dấu hiệu chia hết cho 5

Các số cĩ chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 thì chỉa hết cho ư uà chỉ những số

đĩ mới chia hết cho 5

Ví dụ I3 Dùng ba chữ số 9, 0, 5 để ghép thành các số cĩ ba chữ xố thoả mãn

một trong các điểu kiện sau :

ä) Số đĩ chia hết cho Š ;

b) Số đĩ chia hết cho 2 và cho §

Giải a) Một số chía hết cho 5 thì số đĩ tận cùng bằng 0 hoac 5 Vay cĩ ba số

cĩ ba chữ số chia hết cho Š là : 950 ; 590 ; 905

b) Một số vừa chia hết cho 2 và cho 5 phải tận cùng bằng 0 Vậy cĩ hai xố cĩ

ba chữ số chia hết cho 2 và cho § là : 950 ; 590

26

a) (ấn + 7)(4n + 6) chỉa hết cho 2 với mọi số tự nhiên n :

b) (#n + 1)(6n + 5) không chia hết cho 2 với mọi xố tự nhiên n

93 Cho sáu chữ xố : 2, 3, 5, 6, 7, 9

a) Có bao nhiều số có ba chữ sổ các chữ xố trong mỗi số đều khác nhau, được lập thành từ các chữ số trên ?

b) Trong các số được thành lập có bao nhiêu số nhỏ hơn 400 ? Bao nhiều số là

xố lẻ ? Bao nhiêu số chia hết cho Š ?

§12 DẤU HIỆU CHIA HẾT CHO 3, CHO 9

1 Dấu hiệu chỉa hết cho 9

Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 tà chỉ những

số đó mới chỉa hết cho 9

9 Dấu hiệu chia hết cho 3

Các số có tổng các chữ số chỉa hết cho 3 thì chia hết cho 3 tù chỉ những

xố đó mdi chia hét cho 3

b) 5*793*4 chia het cho 9 (hai dấu * kí hiệu cùng một chữ số)

9§ Điển chữ số vào dấu * để được số chi

a) Chia-hết cho 9 ;

b) Chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9

97 Phải thay các chữ số x, y bởi chữ số nào để số 123x44y chia hết cho 3 ?

98 Tổng (hiệu) sau có chia hết cho 3, cho 9 không ?

€) Tổng của chữ số hàng trăm và chữ số hàng đơn vị là số chia het cho 9 ;

d) Tổng của chữ số hàng tram và chữ số hàng chục là số chia hết cho 4

§13 ƯỚC VÀ BỘI

1 Nếu số tự nhiên a chỉa hết cho số tự nhiên b thì a gọi là bội của b, b gọi

là ước của a

9 Muốn tìm bội của một số tự nhiên, ta nhân số đó lần lượt uới 0, 1, 2,

Bội của b có dạng tổng quát là b.k uới k € N

3 Muốn tùm ước của một số tự nhiên a, ta lần lượt chia số đó cho 1, 2, 3, , a

để xét xem số đó chia hết cho những số nào, khỉ đó các số ấy là ước của a

{1; 5: 13 ; 65} Tap hop A các số x là ước của 65 mi

a) Ước của 132 ; b) Bội của 12

Những số nào thuộc cả hai tập hợp đó ?

104 Iìm các số tự nhiên x sao cho :

Ilãy nẻu nhận xét về tổng các ước của 6 và tổng các ước của 28

106 Cho ba số tự nhiên a, b, c Tìm mối quan hệ giữa a và c biết :

a) a là bội của b, b là bội của c ;

b) a là ước của b, b là ước của c

107 Có bao nhiêu số vừa là bội của Š vừa là ước của 50

108 Hãy chứng tó rắng : Mọi xố tự nhiên có 6 chữ xố và các chữ xố này giỏng

nhau đều có ước là 37037

199 l3a lớp 6.\, 613 và 6C chia nhau một số bút máy đựng trong 6 hộp Sổ hút dựng trong mỗi hộp như sau : hộp thứ nhất 31, hộp thứ hai 20, hộp thứ bà 19 họp

30

thứ tư 18, hộp thứ năm 16, hộp thứ sáu 15 Hai lớp 6A và 6B đã nhận dược 5 hộp và

xố bút máy mà lớp 6A nhận gấp 2 lần số bút máy lớp 6B nhận Hỏi mỗi lớp nhận bao nhiêu bút máy ?

110 Cho các chữ số 1, 2, 3, 4 Hãy lập các số có 4 chữ số trong mỗi số các chữ

số đều khác nhau từ 4 chữ số trên Hãy chứng tỏ rằng trong các số dã lập được không có số nào là bội của một trong các số còn lại

§14 SỐ NGUYEN TO HOP SO

BẢNG SỐ NGUYÊN TỐ

1 Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, không có ước khác 1 uà chính nó

2 Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1, có ước khác 1 uà chính nó

3 Số 0 uà số 1 không là số nguyên tố cũng không là hợp số Các số nguyên

nguyên tố hay không ?

Giải a) Mọi số tự nhiên m lớn hơn 2 đều có thể viết được dưới một trong các

dạng 4n - I; 4n; ‡n+ 1; 4n +2(ne€ N’) Vì m là số nguyên tổ lớn hơn 2, do đó m

Không có dạng 4n ; 4n + 1 Vậy số nguyên tố m được viết dưới dạng 4n + 1 hoặc 4n - l b) Không phải mọi số tự nhiên có dạng #n + [ hoặc 4n - 1 (n € N’) đều là số

nguyên tố Chẳng hạn 4.5 + I = 21 không là số nguyên tố

112 a) Thay các chữ số vào dấu * để 13* là số nguyên tố,

b) Tìm các số tự nhiên k để mỗi số 7k và 11k là số nguyên tố Với giá trị nào của k thì 7k và LIK đồng thời là hai số nguyên tố ?

113 Chứng tỏ rằng mọi số nguyên tố lớn hơn 3 đều được viết dưới dạng 6n + l hoặc 6n - l(n€ N’)

Có phải mọi số có dạng 6n + 1 hoặc 6n - 1 (n € N”) đều là số nguyên tố hay

115 Tìm ba số tự nhiên lẻ liên tiếp đồng thời là ba số nguyên tố

116 Cho pị > p là hai-số nguyên tố lẻ liên tiếp Chứng tỏ rằng re là hợp số

117 Tìm tất cả các số tự nhiên n để mỗi số sau đều là số nguyên tố :n + l:n + 3; n+7:n+9;n+13;:n+ lễ

118 Chứng tỏ rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 và 2p + I cũng là số

một tích các thừa số nguyên tố Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích

được ra thừa số nguyên tố

Dù phân tích một số ra thừa số nguyên tố bằng cách nào thì cuối cùng ta cling được cùng một kết quả

Vi du 17 Cho số tw nhien A = a*b’c* trong đó a, b, c là các số nguyên tổ dôi

một Khác nhau, còn x, y, Z là các số tự nhiên khác 0 Chứng tỏ rằng số ước số của V dược tính bởi công thức :

(x+ 1)(y + 1)(Z + l)

Giải Số ước số của ¿\ chỉ chứa thừa số nguyên tổ a là x, chỉ chứa thừa xố

nguyên tố b là y, chỉ chứa thừa số nguyên tố c là z, chỉ chứa thừa số nguyên tố ab là

xy, chỉ chứa thừa số nguyên tố ac là xz, chỉ chứa thừa số nguyên tố bc là yz, chỉ chứa thừa số nguyên tố abc là xyz Vì A là ước của chính nó Do đó số ước số của

121 Cho số tự nhiên B = a‘b* trong đó a, b là các số nguyên tố khác nhau, x, y

là các số tự nhiên khác 0 Biết BỶ có 15 ước Hỏi BỀ có bao nhiêu ước ?

122 Tìm số tự nhiên a, biết 105 : a và 16 < a < 50

123 Một trường có 805 học sinh Cần phải xếp mỗi hàng bao nhiều học sinh dé

xố học xinh ở mỗi hàng là như nhau, biết rằng không xếp quá 35 hàng và cũng

khong ft hon 15 hang

125 Tìm số tự nhiên n, biết rằng số n có 30 ước và khi phân tích thành thừa số

nguyên tố thì có dạng :n= 2Š.3Ÿ trong đó x + y =8 lẺ 2 ỳ

§16 ƯỚC CHUNG VÀ BỘI CHUNG

Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó

Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đó

Ví dụ 18 Tìm số tự nhiên a, biết rằng khi chia 39 cho a thì dư ‡ còn khi chia

48 cho a thì dư 6

Giải Chia 39 cho a thì dư 4, nên a là ước của 39 - ‡ = 35 và a > + Chia 48 cho

ä thì dư 6 nên a là ước của ‡8 - 6 = 42 và a > 6 Do đó a là ước chung của 35 và 42 đồng thời a > 6

b) BC (8, 12, 24) ; BC (5, 15, 35)

127 Tìm giao của hai tập hợp :

A=lIneN:n là ước của I8]

B= ({meN: ma ude của 36]

128 Tìm số tự nhiên a, biết rằng khi chia 264 cho a thì du 24, con khi chia 363 cho a thi du 43

129 Có 100 quyển vở và 90 bút bị Cô giáo chủ nhiệm muốn chia số vở và bút thành một số phần thưởng như nhau gồm cả vở và bút để phát thưởng cho học xinh

34

Như vậy thì còn lại 4 quyển vở và 18 bút bi không thể chia đều cho các học sinh

Tính số học sinh được thưởng

130 Gọi G là tập hợp các số là bội của 3 ; II là tập hợp các số là ước của I8 Tim GO EL

131 Có một số sách giáo khoa Nếu xếp thành từng chồng 10 cuốn thì vừa hết,

thành từng chồng 12 cuốn thì thừa 2 cuốn, thành từng chồng I8 cuến thì thừa 8 cuốn Biết rằng số sách trong khoảng từ 715 đến 1000 cuốn 'tính số sách đó

§17 ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT

1 ƯCLN của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung

của các số đó

9 Muốn tìn ƯCLN của hai hay nhiều số, ta thực hiện ba bước sau :

Bước 1 : Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố

Bước 2 : Chọn các thừa số nguyên tố chung

Bước 3 : Lập tích các thừa số đó, mỗi thừa xở lấy tới số mũ nhỏ nhất của nó Tích đó là ƯCLN phái tìm

Chủ ý : Hai hay nhiều số có UCLN là 1 gọi là các số nguyên tổ cùng nhau

Trong các số đã cho, nếu số nhỏ nhất là ước của các xố còn lại thì ƯCLN của các số đã cho là số nhỏ nhất đó

8 Muốn tìm tóc chung của các xố đã cho, ta tìm các ước của ƯCLN của các

Các số tự nhiên cần tìm là a = 36, b = 396 va a = 180, b = 252 hode a = 396

b = 36 va a = 252, b= 180

BAI TAP

132 Tim UCLN cua cdc s6 66 9 chữ số được viết bởi các chữ xố l 2 3 9 và

trong mỗi xố các chữ số đều khác nhau

133 Tìm hai số tự nhiên Biết rằng tổng của chúng bảng 66 ỨCI.N của chúng

bảng 6, đồng thời có một số chia hết cho 5

134 Tìm hai số tự nhiên, biết hiệu của chúng bảng 84 và ỨCI.N của chúng

bảng 12

135 Iìm hai số tự nhiên, biết tích của chúng bảng 864 và UCLN cua ching

bảng 6

136 Một lớp học có 28 nam và 24 nữ Có bao nhiều cách chia số học sinh của

lớp thành các tổ sao cho số nam và nữ được chia dều cho các tổ

137 Người ta muốn chia 240 bút bí, 210 bút chì và 180 tập giấy thành một sổ phần thưởng như nhau Hỏi có thể chia được nhiều nhất là bao nhiêu phần thưởng

mỗi phần thưởng có bao nhiều bút bi, bút chì, tập giấy ?

138 Biết rằng 3n + 1 và ấn + 4 (n e N) là hai sổ không nguyên tố cùng nhau Tìm ƯCLN của 3n + 1 và ấn + 4

139 Chứng tỏ rằng : ,

a) Hai số tự nhiên liên tiếp bất kì nguyên tố cùng nhau ;

b) Hai số tự nhiên lẻ liên tiếp bất kì nguyên tổ cùng nhau

140 lông của 30 số tự nhiên liên tiếp là 1994 Giá sử d là ƯCI.N của các sổ

3 Muốn tìm BCNN của hai hay nhiều số, ta thực hiện ba bước sau :

Bước 1 : Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố

Bước 2 : Chọn các thừa số nguyên tố chung tà riêng

Bước 3 : Lập tích các thừa số đó, mỗi thừa số

nó Tích đó là BCNN phải tìm

Chủ ý : Nếu các số đã cho từng đôi một nguyên tố cùng nhau thì BCNN

v cới xố mũ lớn nhất của

Gidi a) Goi x là số phải tìm thì x - 1 chía hết cho 2, cho 3, cho 4, cho Š, cho 6

nên x- † là bội chung của 2, 3, 4, Š, 6

BCNN (2 3, 4, 5 6) = 60

Vay x - [ nhân các giá trị : 60, 120, 180 240, 300 do đó x nhận các giá trị :

61 121 181 241, 301

“Trong các xố trên, số nhỏ nhất chia hết cho 7 là số 301

b) Vì x - [ là bội của 60 nén x - | = 60n hay x = 60n + Ï (n € N’) : 7 Tạ có :

a) LA boi cua 5Š được không ?

h) Là bội của 9 được không ?

144 Tim BCNN(30, 45) va UCLN(30, 45) Thử lại rằng tích của BCNN(30 45)

và UCLN(30, 45) bang tích hai số 30 và 45

145 Ba em An, Bio, Ngoc cùng học một trường nhưng ở 3 lớp khác nhau zVn

cứ Š ngày trực nhật một lần, Báo 1Ø ngày một lần, còn Ngọc § nụ

đầu ba em trực nhật vào cùng một ngày Hỏi mấy ng

Vào cùng một ngày nữa ? Đến ngày đó mỗi em đã trực nhật mấy lần ?

9 Hỏi bạn Nam nghĩ số nào ?

147 l3a xe ô tô khởi hành cùng một lúc, từ cùng một bến Thời gian cá dì lẫn về

của xe thứ nhất là 40 phút, của xe thứ hai là 50 phút, của xe thứ ba là 30 phút Khi trở về bến mỗi xe được nghỉ 10 phút rồi tiếp tục chạy Hỏi sau bao lâu :

a) Xe thứ nhất và xe thứ hai cùng rời bến lần thứ hai ?

b) Xe thứ hai và xe thứ ba cùng rời bến lần thứ hai ?

©) Cả ba xe cùng rời bến lần thứ hài ?

148 Một bộ phận của máy có hai bánh xe rằng cưa khớp với nhau lánh xe thứ

có I8 rằng cưa, bánh xe thứ hai có 12 răng cưa Hỏi mỗi bánh xe phải quay báo nhiều vòng để cho hai răng cưa đã khớp với nhau lần dấu sẽ khớp với nhau lần thứ hai 2 Khi đó mỗi bánh xe đã quay được bao nhiều vòng ?

ÔN TẬP CHƯƠNG I

149 Cho ba chữ số khác nhau và khác 0 lập tất cá các số có ba chữ xố từ ba chữ số đó, trong mỗi số các chữ số đều khác nhau Biết rằng tổng các xố lập dược là 28R6, hiệu giữa số lớn nhất và số nhỏ nhất trong các số lập được là 495

150 a) Cho mot số tự nhiên Nếu dem nhân số đó với 2, cộng thêm 50 vào tích nhân tổng với 5, trừ tích di 200, rồi chia hiệu cho 10 thì được 30 Tìm số dó

b) Cho một số tự nhiên Nếu đem số đó trừ đi 3, nhân hiệu với 6, trừ tich đi số

tự nhiên đó, cộng 48 vào hiệu, rồi chia tổng cho 3 thì được 75 Tìm số đó

151 Cho một số tự nhiên gồm 4 chữ số Lấy chữ số hàng nghìn nhân với 2 rồi

cộng với 5 Nhân tổng với 5 rồi cộng với chữ số hàng trăm Nhân tổng tìm dược với

10 rồi cộng với chữ số hàng chục Lại nhân tổng tìm được với 10 rồi cộng với chữ số hàng dơn vị Lấy kết quả tìm được trừ đi 2500 Chứng tỏ rằng hiệu này đúng bằng số

153 Chứng tỏ rằng một số tự nhiên có hai chữ số chia hết cho 17 khi và chỉ khi

tổng của ba lần chữ số hàng chục và hai lần chữ số hàng đơn vị của số đó chia hết

cho 17

154 Một số có ba chữ số có tổng các chữ số bằng 7 Chứng tỏ rằng số đó chia hết cho 7 khi và chỉ khi chữ số hàng chục bằng chữ số hàng đơn vị

155 a) Hay viet thêm vào bên phải số 579 ba chữ số để số nhận được chia hết cho §, 7, 9

b) Hãy viết thêm vào bên trái, bên phải số 15 một chữ số để được số có 4 chữ

xố chia hết cho 15

156 Biel rang : BCNN(a, b).UCI.N(a, b) = a.b

a) BCNN của hai số là 600, ƯCLN của chúng nhỏ hơn 10 lần BCNN Số thứ nhất là 120, tìm số thứ hai

b) ƯCLN của hai số là 12, BCNN của chúng lớn gấp 6 lần ƯCLN Số thứ nhất

là 24 tìm số thứ hai

c) Tổng của hai số bằng 60, tổng giữa ƯCLN và BCNN của chúng là 84 Tìm

hai xổ dó

157 Cho a = 123456789 ; b = 987654321

a) Tim UCLN (a, b) ;

b) Tìm số dư trong phép chia BCNN (a, b) cho 11

39

158 Trong một buổi chào cờ, học xinh lớp 6 và lớp 7 xếp thành hàng như nhau : mỗi hàng từ 8 đến 15 người Khối lớp 6 có 144 học sinh, khối lớp 7 có 108 -

học sinh Hỏi :

a) Mỗi hàng phải xếp bao nhiêu học sinh để không thừa học sinh nao ?

b) Tất cả học sinh của hai khối xếp dược bao nhiêu hàng ?

159 Số học sinh của một trường là một số có ba chữ số lớn hơn 900 Mỗi lần xếp hàng 3, 4, § đều vừa dủ không thừa một học sinh nào Hỏi trường đó có bao

nhiêu học sinh ?

160 Một vườn hình chữ nhật, chiều dài 120m, chiều rộng 48m Người ta muốn trồng xung quanh vườn sao cho mỗi góc vườn có một cày và khoảng cách giữa hai cay liên tiếp bảng nhau Tính khoảng cách lớn nhất giữa hai cây liên tiếp khi đó

tổng số cây trồng dược là bao nhiêu ?

161 Ba 6 t6 chờ khách cùng khởi hành lúc 6 giờ sáng từ một bến xe và di theo

ba hướng khác nhau Xe thứ nhất quay vẻ bến sau I giờ 5 phút và sau 10 phút lại di

xe thứ hai quay vẻ bến sau 56 phút và lại đi sau 4 phút xe thứ hai quay về bến sau

48 phút và sau 2 phút lại di Hay tính khoảng thời gian ngắn nhất để bà xe lại cùng xuất phát từ bến xe lần thứ hai trong ngày ?

162 Một số tự nhiên khi chia cho 3 du 1, chia cho 4 du 2, chia cho 5 dư 3, chia cho 6 du 4 va chia hét cho 11

a) Tim s6 nho nhat thoả mãn tính chất trên ;

b) Tìm dạng chung của các số có tính chất trên

163 Trong một kim tự tháp ở Ai Cập, người ta tìm thấy trên một ngồi mộ có

520 Sau khi nghiên cứu người ta nhận thấy rằng số 2520 chia hết cho bất

cứ xố nào từ ] đến 10, và không có số nào nhỏ hơn 2520 lại có tính chất dó

l:m hãy chứng tỏ rằng số 2520 chính là BCNN của mười số từ I đến 10

164 Tìm ƯCI.N của số 11111111 và 1I 11

Có bào nhiêu số có 4 chữ số có tính chất sau : số đó chỉa hết cho TT và tổng các

chữ xố của nó cũng chia hết cho 11

166 Tìm số viết trong hệ thập phân, biết rằng nếu viết số đó trong hệ cơ số Š thì dược số có ba chữ xố, còn viết trong hệ cơ số 8 thì cũng được xổ có ba chữ sổ viết bởi chính các chữ xố đó nhưng theo thứ tự ngược lại

40