Đề Thi Học Sinh Giỏi TOÁN 12 - Tỉnh Nghệ An - Bổ Túc THPT [2009 - 2010] ppsx

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.. Cho tứ diện ABCD và M là một điểm bất kỳ nằm trong tứ diện.. Gọi dA, dB, dC, dD theo thứ tự là khoảng cách từ M đến các mặt phẳng BCD, AC

SỞ GD& ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12

NĂM HỌC 2009 - 2010

Môn thi: TOÁN HỌC - BỔ TÚC THPT

Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (5,0 điểm).

Cho hàm số y x 2

x



 có đồ thị (C)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

b Tìm m để đường thẳng (d) y = 2x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A và B sao cho

AB = 2 5

Câu 2 (5,0 điểm).

a Giải phương trình: 1 2

12.C x x 55.A x

b Giải phương trình: sin4x + cos4x = cos4x

Câu 3 (5,0 điểm).

a Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y x  4x2

2

4

x

x





Câu 4 (5,0 điểm).

Cho tứ diện ABCD và M là một điểm bất kỳ nằm trong tứ diện Gọi dA, dB, dC, dD

theo thứ tự là khoảng cách từ M đến các mặt phẳng (BCD), (ACD), (ABD), (ABC) Gọi

hA, hB, hC, hD theo thứ tự là khoảng cách từ các điểm A, B, C, D đến các mặt phẳng (BCD), (ACD), (ABD), (ABC)

b Chứng minh rằng 1

256

Hết

-Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

Đề thi chính thức

HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM ĐỀ CHÍNH

THỨC

(Hướng dẫn và biểu điểm chấm gồm 04 trang)

Môn: TOÁN 12 - BỔ TÚC THPT

-CÂU NỘI DUNG ĐIỂM 1 5,0 1a 3,0 TXĐ: R \ 0 0,25 Sự biến thiên y’ =  22 x , y’ < 0  x 0 hàm số nghịch biến trên các khoảng ;0 ; 0;   0,5 Giới hạn và các đường tiệm cận 0 2 lim x x x      ; 0 2 lim x x x      Vậy đường tiệm cận đứng có phương trình x =0 0,5 2 2 lim lim 1 1 x x x x x            ; 2 2 lim lim 1 1 x x x x x            Vậy đường tiệm cận ngang có phương trình y =1 0,5 Bảng biến thiên x - 0 +

y’ - ||

-y +

1 1

-

0,5

Giao điểm của đồ thị với trục hoành (-2;0)

Đồ thị không cắt trục tung Đồ thị nhận điểm I (0;1) làm tâm đối xứng

(d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt khi A,B chỉ khi phương trình 2

x

x

có hai nghiệm phân biệt x1, x2 khác 0 Hay phương trình 2x2 + (m-1)x - 2 = 0 có hai

nghiệm phân biệt x1, x2 khác 0

0,25

m





 

Vậy (d) luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B

0,25

Theo Viet ta có 1 2

1 2

1 2 1

m

x x



   







0.25

Giả sử hoành độ điểm A là x1 , hoành độ điểm Blà x 2, suy ra A(x1; 2x1+m), B(x2 ; 2x2+m) 0,25

AB2 =  2  2  2

=  2

5 x x 4x x

=

2

1

2

m

AB =

2

1

2

m

    

1

m

Vậy m =1 là giá trị cần tìm

0,25

4 2

( 3)( 2)( 1)

4.3.2.1

x x

5 104 0

8

x

x

 



 .Kết hợp (*) suy ra: x=8 là nghiệm của pt 0.75

1

1 sin 2 1 2 sin 2

2 3

sin 2 0 sin 2 0

2 x k 

2

x k  k Z

y’ = 1

-2 4

x x

0 4

x

x x





2

x

 

miny y   2 2

Vậy

   2 2 2

m y y 

 2    2

lim

x



2

2 2

lim

x





2

lim

x





2

3 lim

x

x







16



f(x)

Gọi V, VA, VB, VC, VD theo thứ tự là thể tích của các tứ diện ABCD, MBCD, MCDA, MABD, MABC Ta có V= VA+ VB+ VC+ VD

0,75

A BCD A

Suy ra A B C D A B C D 1

0.75

Theo bất đẳng thức Côsi ta có A B C D 44 A B C D

4

1 4 A B C D

1

256

1

256

A

B

C

D M

hA

4

hay M là trọng tâm tứ diện ABCD

0,25

Chú ý: Học sinh giải theo cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.