Cho tứ diện ABCD, M là một điểm bất kì nằm trong tam giác ABC.. Tìm vị trí điểm M sao cho MA’.MB’.MC’ đạt giá trị lớn nhất.. Cho tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng 1.. Gọi M, N lần
Trang 1SỞ GD& ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12
NĂM HỌC 2009 - 2010
Môn thi: TOÁN HỌC - THPT BẢNG A
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (4,0 điểm).
2009x x 1 x = 1.
Câu 2 (4,0 điểm).
Tìm m để hệ phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:
2
x y m
y x xy m x
Câu 3 (2,0 điểm).
Cho ba số dương , , x y z Chứng minh rằng:
9
x y z x y y z x z
Câu 4 (2,0 điểm).
Cho dãy số xn thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:
i, x = 21
2
n n
x
n n
Tính limun với un = (n+1)3 xn
Câu 5 (3,0 điểm).
Cho tứ diện ABCD, M là một điểm bất kì nằm trong tam giác ABC Các đường thẳng qua M song song với AD, BD, CD tương ứng cắt các mặt phẳng (BCD), (ACD), (ABD) tại A’, B’, C’ Tìm vị trí điểm M sao cho MA’.MB’.MC’ đạt giá trị lớn nhất.
Câu 6 (3,0 điểm).
Cho tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng 1 Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của BD và AC Trên đường thẳng AB lấy điểm P, trên đường thẳng DN lấy điểm
Q sao cho PQ song song với CM Tính độ dài đoạn PQ và thể tích khối tứ diện AMNP.
Câu 7 (2,0 điểm).
Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn: f(x).f(y) – sinx.siny = f(x+y) với mọi
số thực x, y Chứng minh rằng 2f(x) + x2≥ 2 với mọi số thực x thuộc ;
2 2
.
Hết
-Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Đề thi chính thức
Trang 2SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12
NĂM HỌC 2009 - 2010
HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC
(Hướng dẫn và biểu điểm chấm gồm 04 trang)
Môn: TOÁN 12 THPT - BẢNG A
Xét hàm số f(x) = 2
2
1
x
2
1
1
x
x
vì x2 1 x> 0 và
2
1 1
x 1 < ln2009 nên f x ( ) 0 x hàm số f(x) đồng biến trên Mặt khác f (0) 0
1
Vậy phương trình 2
2009x x 1 x 1 có duy nhất một nghiệm x = 0 0.5
Từ y = m - x thay vào phương trình còn lại ta được : x3 mx2 m 0 (1) 0,5
Để hệ pt có 3 nghiệm phân biệtPhương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt
Đồ thị hàm số y = f(x) có hai điểm cực trị nằm về hai
Ta có f x ( ) 3 x2 2 mx ;
0
3
x
x
1
3 3 0
2
3
2
m
f f
m
Vậy 3 3
2
m hoặc 3 3
2
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương
( xy + yz + zx)(9 + x2y2 + z2y2 +x2z2) ≥ 36xyz 0.5
Trang 3Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có :
xy + yz + zx ≥ 33 x y z (1)2 2 2 0.5
Và 9+ x2y2 + z2y2 +x2z2≥ 1212x y z hay 9 + x4 4 4 2y2 + z2y2 +x2z2≥ 123 xyz (2) 0.5
Do các về đều dương, từ (1),(2) suy ra:
(xy + yz + zx)(9 + x2y2 + z2y2 +x2z2) ≥ 36xyz (đpcm)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z =1
0,5
Ta có x2 = 1
Với n ≥ 3 Ta có : x1 + 2x2 + …+ nxn = n3xn (1)
x1 + 2x2 + …+( n-1)xn = (n-1)3xn-1 (2) 0.50
Từ (1), (2) suy ra : n xn= n3xn- (n-1)3xn-1 0.25
xn= 3 2
1
1 3
1
n
n
x
xn=
2
x
( 1)
n
x
n n
Su Do đó limun= 2
2
lim n
n
Trong mặt phẳng (ABC) :
AM ∩ BC = {A1}
BM ∩ AC = {B1},
CM ∩ AB = {C1}
Trong (DAA1) :
Kẻ đường thẳng qua M
song song với AD cắt DA1 tại A’
0.5
Xét tam giác DAA1 có MA’ // AD nên 1
1
ABC
S
1
ABC
S
1
ABC
D
C
A1 B
A
A’
M
Trang 4Ta có ' ' ' 3 ' ' '
DA DB DC DA DB DC
Suy ra MA’.MB’.MC’ ≤ 1
27DA.DB.DC (không đổi)
0,5
Vậy giá trị lớn nhất MA’.MB’.MC’ là 1
27DA.DB.DC, đạt được khi
DA DB DC AA BB CC
Hay M là trọng tâm tam giác ABC
0.5
Trong mặt phẳng (ACM) kẻ NI // CM (I AM)
Trong mặt phẳng (BCD) kẻ BK // CM (K CD)
0,5
Trong (ABD) DI cắt AB tại P
Trong (AKD) DN cắt AK tại Q
PQ là giao tuyến của (DNI) và (ABK) , do NI // CM, BK // CM nên PQ // CM
0.25
Gọi E là trung điểm PB, ME là đường trung bình tam giác BPD nên ME // PD hay ME // PI
Mặt khác từ cách dựng ta có I là trung điểm AM nên P là trung điểm AE
Vậy AP = PE = EB
0.25
3
AP
AB
MC là đường trung bình tam giác DBK nên BK = 2CM = 3
0.25
3
PQ AP
BK AB ⟹PQ = 1
3BK =
3
AMNP
AMCB
VAMCB = 1
2 VABCD (Do M là trung điểm BD) 0.25
0.5
A
D M
C K
B
P
Trang 5ABCD là tứ diện đều có độ dài cạnh bằng 1 nên VABCD = 2
12 (đvtt)
Suy ra VAMCB = 1 2 2
.
2 12 24 Vậy VAMNP = 1
6 V AMCB = 2
144 (đvtt) 0.25
f(x) f(x).f(y) – sinx.siny = f(x+y) với mọi số thực x,y (1)
Với x = y = 0 ta có f2(0) – f(0) =0 (0) 0
(0) 1
f f
0,25
Nếu f(0) = 0, từ (1) chọn y = 0 ta có f(x) = 0 với mọi x, điều này không xảy ra với
x = y =
2
Với f(0) = 1, từ (1) chọn y = -x ta có f(x).f(-x) + sin2x = 1 x
Chọn x =
2
f f
0 2
0 2
f f
0.25
Nếu
2
f
= 0 từ (1) chọn y = 2
f x x x R
Nếu
2
f
= 0 từ (1) chọn y = -2
f x x x R
Từ (*) và (**) suy ra f(x) = cosx Thử lại thấy hàm số f(x) = cosx thỏa mãn x 0.25
Ta cần chứng minh 2cosx + x2≥ 2 ;
2 2
x
.
Xét hàm số g(x) = 2cosx + x2– 2 trên ;
2 2
Do g(x) là hàm số chẵn nên chỉ cần
chứng minh g(x) ≥ 0 0;
2
x
0,25
g’(x) = - 2sinx + 2x, g”(x) = -2cosx + 2 ≥ 0 0;
2
x
, g”(x) = 0 x = 0 suy ra g’(x)
đồng biến trên 0;
2
x
nên g’(x) ≥ g’(0) = 0, g’(x) = 0 x=0 Vậy hàm số g(x) đồng biến trên 0;
2
x
nên g(x) ≥ g(0) = 0 hay 2cosx + x2≥2 (đpcm) Dấu đẳng thức xảy ra
khi và chỉ khi x = 0
0,25
Chú ý: Học sinh giải theo cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.