Các bài toán về chia hết nâng cao lớp 6

Các bài toán về chia hết nâng cao lớp 6 nghiên cứu sâu về dạng toán chia hết trong các đề thi học sinh giỏi tích hợp hay

Trang 1

p − =(p−1)(p+ = 2 (21) k k +2)= 4 (k k +1) 8 (1)

Mặt khác p−1; p p; +1 là ba số tự nhiên liên tiếp nên có một số chia hết cho 3 , mà p không chia

hết cho 3 nên p −1 hoặc p +1 chia hết cho 3 Từ đó suy ra 2

Trích đề HSG trường THCS Việt Tiến (Việt Yên) năm 2021 - 2022

Trang 2

a) p và 10p +1 là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng 3k+1; 3k+2

Nếu p=3k+2thì 10p +1=10 3( k+ +2) 1=30k+21 3 (loại vì 10p +1 là số nguyên tố)

Trích đề HSG Trường THCS Minh Đức năm 2021 - 2022

Do đó, từ ( )* suy ra: 5(13x+18 ) 37y , mà (5;37) 1= nên 13x+18y 37

2b+ + − chia hết cho 7 3c d a 2

Trang 3

Nên: 1001 +  + a 98 b 7 c 7, Hay abcd−(2b+3c+ −d a) 7

Vì abcd−(2b+3c+ −d a) 7 nên abcd 7khi 2b+ + −3c d a 7

Trích đề HSG Liên trường năm 2021 - 2022

Trích đề HSG huyện Lâm Thao năm 2018-2019

Lời giải

Ta có: 4 13b suy ra10a+40 13b suy ra 10a b+ +39 13b

Mà 39 13b suy ra 10a b+ 13

nhau trong ba chữ số 1, 2,3 một cách tùy ý thì số đó luôn chia hết cho 396

Trích đề HSG cấp trường năm 2018-2019

Lời giải

Trang 4

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 4

Ta nhận thấy, vị trí của các chữ só thay thế ba dấu sao trong số trên đều ở hàng chẵn và vì ba chữ số

đôi một khác nhau, nên tổng của chúng bằng 1 2 3 6+ + =

Mặt khác: 396=4.9.11trong đó 4;9;11 đôi một nguyên tố cùng nhau nên cần chứng minh

155*710*4*16

A = chia hết cho 4, 9, 11 Thật vậy:

Vì A tận cùng là 16 chia hết cho 4 nên A 4

Trích đề HSG huyện Lâm Thao năm 2018 - 2019

khác nhau trong ba chữ số 1, 2,3 một cách tùy ý thì số đó luôn chia hết cho 396

Lời giải

Ta nhận thấy, vị trí của các chữ só thay thế ba dấu sao trong số trên đều ở hàng chẵn và vì ba chữ số

đôi một khác nhau, nên tổng của chúng bằng 1 2 3 6+ + =

Mặt khác: 396=4.9.11 trong đó 4;9;11 đôi một nguyên tố cùng nhau nên cần chứng minh

Trang 5

Trích đề HSG huyện Tam Nông năm 2018-2019

a) Để 510*; 61*16 chia hết cho 3 thì (5 1 *+ + chia hết cho 3 , từ đó tìm được ) *=0;3; 6;9

b) Để 261*chia hết cho 2 và chia cho 3 dư 1 thì * chẵn và (2 6 1 *+ + + chia 3 dư 1, từ đó tìm )

Trang 7

a +b a b+ với ( n ; n lẻ) Thì ta có thể giải được một cách dễ dàng, tuy nhiên với học sinh lớp 6

thì chưa thể sử dụng những hằng đẳng thức đó Vì vậy, ta có thể sử dụng Đồng dư thức để có được lời

giải phù hợp với trình độ của học sinh lớp 6

A = + chia hết cho 7 b) 1962 1964 1966

Trang 8

Vậy A chia hết cho 6

Trang 9

 + + với mọi số tự nhiên n (2)

Từ (1) và (2) n n(2 +1)(7n+1) 2.3 ( Do 2 ; 3 là hai số nguyên tố cùng nhau)

Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: a a, +1, a+2

Tổng của ba số tự nhiên liên tiếp là

a+ + + + =a a a+ +a a + + = a+ (Tính chất chia hết của một tổng)

Lời giải

Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là a a, +1, a+2, a+3

Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp là:

a+ + + + + + =a a a a+ + +a a a + + + = a+

Do 4 chia hết cho 4 nên 4a chia hết cho 4 mà 6 không chia hết cho 4 nên (4a +6) không chia hết

cho 4  Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 4

Bài 33

Trang 10

++ là số tự nhiên

Trang 11

++ là số tự nhiên

+

− là số nguyên thì

7

2n −1 là số nguyên Suy ra 2 –1 n U( ) 7 = –7; –1;1;7

Trang 13

Chứng minh rằng 10 b+ chia hết cho 13

Trích đề HSG huyện Lâm Thao năm 2018- 2019

Trang 14

Chứng minh rằng C chia hết cho 21 và 105

Trích đề HSG huyện Vũ Thư, năm 2018- 2019

Trích đề HSG huyện Việt Yên năm 2018-2019

Trang 15

Tổng trên có 504 số hạng chia hết cho 65 nên S chia hết cho 65

Vậy S chia hết cho 65

Mặt khác p−1, ,p p+1 là 3 số tự nhiên liên tiếp nên có một số chia hết cho 3 , mà p không chia

hết cho 3 nên p −1 hoặc p +1chia hết cho 3

Trích đề thi chọn HSG huyện Kim Sơn năm 2021-2022

− Vậy A 27

Trích đề thi chọn HSG huyện Tiên Du năm 2021-2022

Suy ra: abcdeg 11

Vậy nếu (ab cd+ +eg) 11 thì abcdeg 11

Trang 16

Trích đề đề xuất HSG huyện năm 2021 - 2022

Vậy A chia hết cho 2023

rằng ad + bc chia hết cho a c–

Trích đề HSG huyện Thiệu Hoá năm 2021 - 2022

Trang 17

 (a d+bc) (a− (điều phải chứng minh) c)

Mặt khác, ta thấy rằng p–1, p, p +1 là ba số nguyên liên tiếp, trong ba số nguyên liên tiếp có 1 số

chia hết cho 3 mà p không chia hết cho 3 nên p −1 hoặc p +1 chia hết cho 3

a) Tìm hai số tự nhiên x y, sao cho (2x+1 ) (y− =5) 12

b) Tìm tất cả các số B =62xy427 biết rằng số B chia hết cho 99

Trang 18

Có 21 chia 9 dư 3 suy ra x+ =y 6 hoặc x+ =y 15

Để B chia hết cho 11 thì (7 4+ + + − + +x 6) (2 y 2)=11 k hay 13+ − =x y 11 2k ( ) (kN)

(Một số chia hết cho 11 thì tổng các chữ số ở vị trí lẻ trừ tổng các chữ số ở vị trí chẵn là bội của 11)

Để B chia hết cho 11 thì y− =x 2 hay y= +x 2

Mà 2x+3y chia hết với 17 suy ra 9x+5ychia hết cho 17

Vậy 9x+5y chia hết cho 17

Trang 19

Mà 9x+5y chia hết với 17 suy ra 2x+3ychia hết cho 17

Vậy 2x+3y chia hết cho 17

Trích đề HSG huyện Tân Uyên năm 2010-2011

Vậy S chia hết cho 33

2

n + +n không chia hết cho 5

Trích đề HSG huyện Anh Sơn năm 2018-2019

Trích đề HSG huyện Thanh Chương năm 2019-2020

Trang 20

b) Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 4

Trích đề HSG huyện Lương Tài năm 2015 -2016

Lời giải

a) Ta có : 3 là lẻ nên 3100là lẻ, 19 lẻ nên 19990lẻ nên ( 100 990)

3 +19 2 b) Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là a;(a+1 ;) (a+2 ;) (a+3) (a )

Ta có : a+(a+ +1) (a+ +2) (a+ =3) 4a+ 6

Vì 4a 4, 6 không chia hết cho 4 nên 4a + không chia hết cho 6 4

Trích đề HSG huyện Đông Hưng năm 2021-22

Trang 21

b) Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 4

Trích đề HSG Huyện Lương Tài năm 2021-2022

D Tìm số dư khi chia D cho 31

Trích đề HSG Hoài Nhơn năm 2015-2016

Trích đề HSG Trường Hưng Mỹ năm 2018 - 2019

Lời giải

Trang 22

Ta có: abcabc=abc.1001=abc.11.91 11

Vậy abcabc bao giờ cũng chia hết cho 1 1 (đpcm)

Trích đề HSG huyện Hiệp Hoà năm 2021-2022

Trang 23

+ Với 3a b+ =16 suy ra a=3,b=7,c=6 hoặc a=4,b=4,c( )0;8

+ Với 3a b+ =24 suy ra a=5,b=9,c=2 hoặc a=6,b=6,c=4

Vậy với n  − − 2; 1; 0;1 thì A chia hết cho 2 1 n +

Trích đề HSG trường THCS Việt Tiến (Việt Yên) năm 2021 - 2022

Trang 24

+

=+ Tìm giá trị của n để A là một số nguyên

Trích đề HSG Trường THCS Minh Đức năm 2021 - 2022

+ −

=

+

176

Gọi số đã cho là A Theo bài ra ta có:

A chia 7 dư 3 , chia 17 dư 12 , chia 23 dư 7 nên A=7a+3=17b+12=23c+7(a b c, ,  )

Trang 25

Do 2698 2737 nên 2698 là số dư của phép chia A cho 2737

đem chia cho 3 dư 2 , chia cho 4 dư 3 , chia cho 5 dư 4 , chia cho 10 dư 9 Hỏi số cây trồng được là

bao nhiêu?

Lời giải

Gọi số cây trồng được của một tổ học sinh lớp 6 là a với a 

Vì a chia cho 3 dư 2 nên a − chia hết cho 3 2

các túi Họ tính rằng nếu đóng vào mỗi túi 8 cuốn thì vừa hết, nếu đóng vào mỗi túi 12 cuốn thì thừa

Trang 26

ra 4 cuốn còn nếu đóng vào mỗi túi 14 cuốn thì thừa 6 cuốn Hỏi cửa hàng mới nhập về bao nhiêu

cuốn sách? Biết rằng số sách nhập về trong khoảng từ 230 đến 300 cuốn

Lời giải

Gọi số sách nhập về là a với a  và 230 a 300

Vì đóng mỗi túi 12 cuốn thì thừa 4 cuốn nên a − chia hết cho 12 4

Vì đóng mỗi túi 14 cuốn thì thừa 6 cuốn nên a − chia hết cho 14 6

Và a chia cho 25 dư 16 nên a −16 chia hết cho 25

Vì a chia cho 13 dư 10 nên a −10 chia hết cho 13

Trang 27

5 Tìm số dư trong phép chia a cho 36

Vậya chia cho 36 dư 23

Vì a chia cho 7 dư 5 , chia cho 13 dư 4 suy ra a+9 7;a+9 13

mà (7,13 ) = nên 9 1 a + chia hết cho 7 13 

suy ra a+ =9 91ksuy ra a= 91k− =9 91k− +91 82= 91(k−1)+8 (2 k )

Vậy a chia cho 91 dư 82

Trang 28

Nên khi chiaA cho 1292 ta được dư 1267

người đều thừa 15 người Nếu xếp mỗi hàng 41 người đều vừa đủ Tính số học sinh của trường đó,

biết số học sinh của trường chưa đến 1000

Lời giải

Gọi số học sinh của trường là x

Theo đề ta suy ra x −15chia hết cho 20; 25;30 suy ra x− 15 BC(20, 25, 30)

(20, 25,30) 300

BCNN = và x 1000 do đó x 315; 615;915

Vì x 41 nên x =615 Vậy số học sinh của trường là 615 em

Lời giải

Ta có: 36 9.4= mà ƯC(4,9)=1

Vậy để 34 5x y chia hết cho 36 thì 34 5x y chia hết cho 4 và 9

34 5x y chia hết cho 9 khi 3 4+ + + +x 5 y 912+ +x y 9 1( )

34 5x y chia hết cho 4 khi 5y 4 =y 2,y= 6

Với y =2thay vào (1) +14 x 9 = x 4

Với y =6thay vào (1) 18 9 0

9

x x

Trang 29

Trích đề HSG huyện Khoái Châu năm 2018-2019

Bạn Loan tính tổng các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến m và cũng nhận thấy tổng đó chia hết cho 29 Tìm

10001 không chia hết cho 13 B 13khi 7 13x  = x 8

 + + chẵn, trái với (2) nên b  Vậy a=0;b=8

28

Trang 30

Gọi số tự nhiên phải tìm là x

Từ giả thiết suy ra (x+20 25,) (x+20 28,) (x+20 35)  +x 20BC 25, 28, 35( )

a − Ư(2)= − 1;1; 2; 2−  a 0; 2; 1;3− 

c) Lập luận được K chia hết cho 9 vì tổng các chữ số là 9 và chia hết cho 8 vì 28

10 8 và ba chữ số tận cùng là 008 Vậy K chia hết cho 72

Trang 31

 −  chia cho 4 dư 1

3 chia cho 6 dư 4 và chia hết cho 11

Mặt khác xlà số tự nhiên nhỏ nhất x 11nên lần lượt cho n =1; 2;3;

Ta thấy n = thì ta được số 418 thỏa mãn 7

Vì a chia cho 9 dư 5 nên ta có a=9k+5 (kN)thì 2a=9k1+1 (k1N)suy ra (2a −1 9)

Vì a chia cho 7 dư 4 nên ta có a=7m+4 (mN)thì 2a=7m1+1 (m1N)suy ra

(2a −1 7)

Vì a chia cho 5 dư 3 nên ta có a= +5t 3 (tN) suy ra 2a=5t1+1 (t1N)suy ra (2a −1 5)

Suy ra (2a −1)chia hết cho cả 9 ; 7 và 5 Mà 9;7;5 nguyên tố cùng nhau và a là số tự nhiên

nhỏ nhất nên 2a− =1 BCNN(9;7;5)=315

Vậy a =158

Trích đề HSG huyện Nga Sơn năm 2021-2022

Trang 32

Trích đề KS HSG thị xã Sơn Tây năm 2021-2022

Trích đề HSG huyện Lý Nhân năm 2021-2022

Lời giải

Trang 33

chia cho 6 dư 4 và chia hết cho 11.

Trích đề HSG huyện Lý Nhân năm 2021-2022

Lời giải

Gọi số tự nhiên cần tìm là a

Ta có: a chia cho 3 dư 1 suy ra a −1 3suy ra a − +1 3 3 suy ra a +2 3

a chia cho 4 dư 2 suy ra a −2 4 suy ra a − +2 4 4 suy ra a +2 4

a chia cho 6 dư 4 suy ra a −4 6suy ra a − +4 6 6 suy ra a +2 6

Trang 34

Ta có: a chia cho 11 dư 6 suy ra a −6 11 suy ra a − +6 33 11 suy ra a +27 11

a chia cho 19dư 11 suy ra a −11 19 suy ra a −11 38 19+ suy ra a +27 19

Gọi số phải tìm là ab Với a b, là các chữ số a khác 0

Viết thêm chữ số 9 vào bên trái ta được số 9ab

Trang 35

Trích đề HSG huyện Hương Sơn năm 2018-2019

Bài giải

2014xy=201400+xy=42.4795 10+ +xy 42suy ra 10+xy 42

Do 0xy100 suy ra xy 32; 74

Vậy ( ) ( ) ( )x y =; 3; 2 ; 7; 4

Trích đề HSG huyện Hoằng Hóa năm 2018-2019 Bài gải

Với x = thì 2 2

2 +117 121= khi đó y =2 121 nên y =11 (là số nguyên tố)

Trang 36

Với x2,xlà số nguyên tố nênx lẻ nêny2 =x2+117là số chẵn

Nên y chẵn, kết hợp với y nguyên tố nên y=2(ktm)

Vậy x=2;y=11

còn chia cho 7 thì dư 3

Trích đề HSG huyện Vĩnh lộc năm 2017-2018 Bài giải

Mà alà số nhỏ nhất và chia cho 7 dư 3 suy ra a =122

Trích đề đề xuất HSG huyện năm 2021 - 2022

Từ (3) và (4)  =b 45

Vậy b =45

Trích đề HSG huyện Thanh Miện năm 2021 - 2022

Trang 37

Với y=  =5 x 0 hoặc x = suy ra số cần tìm là 75015 hoặc 75915 9

Trích đề HSG huyện Bình Giang năm 2021 - 2022

Lời giải

183

B=x y chia cho 2;5 đều dư 1thì y =1

 B=x1831

Để B=x1831 chia cho 9 dư 1 thì 1 8 3 1x + + + + chia cho 9 dư 1

 13x + chia cho 9 dư 1, mà x là chữ số  = x 6

Trích đề HSG huyện Thanh Miện năm 2021-2022

Do n là số chính phương nên khi phân tích n ra thừa số nguyên tố thì lũy thừa của các thừa

số nguyên tố phải có số mũ chẵn suy ra k 3

Trang 38

cả 5 và 9 Tìm số nhà của hai bạn biết số nhà của bạn An lớn hơn số nhà của bạn Bình

Suy ra a chia cho 143dư 125

Trích đề HSG huyện Lục Ngạn năm 2021-2022

Lời giải

Trang 39

Gọi a là số tự nhiên nhỏ nhất cần tìm ( aN*)

Vì a chia cho 5 dư 1 nên a+4 5 (1)

Vì a chia cho 7 dư 3 nên a+4 7 (2)

a là số tự nhiên nhỏ nhất suy ra a+ =4 35suy ra a=31

khác nhau trong ba chữ số 1; 2;3 một cách tuỳ ý thì số đó luôn chia hết cho 396

Trích đề HSG Trường THCS Ái Thượng năm 2021-2022

Lời giải

Ta thấy, vị trí của các chữ số thay thế ba dấu sao trong số trên đều ở hàng chẵn và vì ba chữ số đó đôi

một khác nhau, lấy từ tập hợp 1; 2;3 nên tổng của chúng luôn bằng 1 2 3 6

Mặt khác 396 4.9.11trong đó 4;9;11 đôi một nguyên tố cùng nhau nên ta cần chứng minh

Trang 40

Trích đề HSG Huyện Đông Hưng năm 2021-2022

Lời giải

Với a  , ta có:

a chia 4 dư 3 nên a −3 4; suy ra a − −3 7.4 4 hay a −31 4

a chia 9 dư 4 nên a −4 9 suy ra a − −4 3.9 9 hay a −31 9

mà (4 ; 9)= suy ra 1 a −31 4.9 hay a −31 36 Do đó a chia 36 dư 31

Trang 41

61*16 chia hết cho 3 thì 6 1 * 6 1 14 *+ + + + = + từ đó tìm được *1 ; 4 ; 7

b) Để 261* chia hết cho 2 và chia cho 3 dư 1 thì *chẵn và 2 6 1 *+ + + chia 3 dư 1, từ đó tìm được

* = 4

Trích đề HSG Hoài Nhơn năm 2015-2016

a chia cho 5 dư 3 nên a −3 5 suy ra (a −3)−5 5hay a −8 5

a chia cho 6 dư 2 nên a −2 6 suy ra (a −2)−6 6hay a −8 6

a chia cho 7 dư 1 nên a −1 7 suy ra (a −1)−7 7 hay a −8 7

Do đó a− 8 BC(5; 6; 7)

Để a nhỏ nhất lớn hơn 10 thì a− =8 BCNN(5; 6; 7)=210

8 210

a − =

Trang 42

Vậy số tự nhiên phải tìm là 218

5

n M n

n

−

=

− có giá trị là số nguyên thì n− 5 U(3)=    1; 35

Vậy n 2; 4; 6;8

Trích đề HSG cấp trường Hà Huy Tập năm 2018-2019

(loại)

573

(loại)

1

TM

13

(loại)

Sau khi thử các trường hợp ta có (x y ; ) (  5; 1 ; 2; 3 ;− ) ( − ) (−28;1) 

Trang 43

Dạng 3: Dùng phương pháp phản chứng; nguyên lí Dricle để cm chia hết hoặc không chia hết

số các số liên tiếp nhau trong dãy trên chia hết cho 2023

Trích đề HSG huyện Lâm Thao năm 2022 - 2023

Nếu tồn tại B i = i( 1; 2;3; ; 2023) nào đó chia hết cho 2023 thì bài toán được chứng minh

Nếu không tồn tại B i chia hết cho 2023 ta làm như sau

Ta đem B i chia cho 2023 sẽ được 2022 số dư (các số dư thuộc 1; 2;3; ; 2022) Theo nguyên lý

Dirichlet phải có ít nhất hai số có số dư bằng nhau, giả sử hai số đó làB m; và B suy ra n

B −B nm chia hết cho 2023, mà B n−B m là một số hoặc là tổng số các số liên tiếp ta được diều

phải chứng minh

số chia hết cho 2016 hoặc tồn tại một vài số chia hết cho 2016

Trích đề HSG huyện Vĩnh Tường năm 2015 - 2016

Lời giải

Nếu một trong 2016 số tự nhiên đó có số 2016 Thì 2016 chia hết cho 2016 Bài toán được chứng

minh

Nếu tất cả 2016 số từ a a a1; 2; 3; ;a2015;a2016không có số nào chia hết cho 2016 Thì mỗi số đó khi chia

cho 2016 sẽ nhận được 2015 số dư 1; 2;3; ; 2014; 2015

Có 2016 số mà có 2015 số dư nên tồn tại 2số có cùng số dư khi chia cho 2016

Suy ra hiệu của hai số chia hết cho 2016 (đpcm)

hết cho 2015

Trích đề HSG huyện Sông Lô năm 2015 - 2016

Lời giải

Xét 2016 số : 2; 22; 222;; 2222 số cuối cùng có 2016 chữ số 2

Các số này khi chia cho 2015 ta được 2016 số dư Mà một số tự nhiên bất kỳ khi chia cho 2015 chỉ

có thể có số dư là :0; 1; 2;; 2014 có 2015 khả năng dư

Do đó theo nguyên tắc Đrichlê tồn tại hai số trong các số trên có cùng số dư khi chia cho 2015 Hiệu

của chúng có dạng 222 2000 0  chia hết cho 2015

Định dạng
Số trang	175
Dung lượng	8,64 MB