Bài tập lớn môn học Đại số tuyến tính Đề tài 6 phép quay given trong xử lý hình Ảnh trong không gian Đa chiều

Bài báo cáo này được thực hiện với mục tiêu nghiên cứu sâu về phép quay Givens, bao gồm cơ sở lý thuyết, ý tưởng toán học và các ứng dụng thực tiễn của nó trong việc xử lý hình ảnh trong

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

BÀI TẬP LỚN MÔN HỌC ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

ĐỀ TÀI 6 PHÉP QUAY GIVEN TRONG XỬ LÝ HÌNH ẢNH

TRONG KHÔNG GIAN ĐA CHIỀU

LỚP: L05 GVHD: Cao Trần Tứ Hải NHÓM 6

1

Tp Hồ Chí Minh, ngày 12 tháng 5 năm 2025

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

BÀI TẬP LỚN MÔN HỌC ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

ĐỀ TÀI 6 PHÉP QUAY GIVEN TRONG XỬ LÝ HÌNH ẢNH

TRONG KHÔNG GIAN ĐA CHIỀU

LỚP: L05 GVHD: Cao Trần Tứ Hải NHÓM 6

Tp Hồ Chí Minh, ngày 12 tháng 5 năm 2025

LỜI NÓI ĐẦU

Trong bối cảnh khoa học công nghệ phát triển mạnh mẽ, đại số tuyến tính đã và đang đóng vai trò nền tảng trong nhiều lĩnh vực, từ xử lý hình ảnh, đồ họa máy tính đến các ứng dụng thực tiễn trong y học, công nghiệp và công nghệ thông tin Trong đó, phép quay Givens, một kỹ thuật quan trọng trong đại số tuyến tính, nổi bật với khả năng phân tích ma trận và ứng dụng rộng rãi trong việc xử lý dữ liệu đa chiều Bài báo cáo này được thực hiện với mục tiêu nghiên cứu sâu về phép quay Givens, bao gồm cơ sở

lý thuyết, ý tưởng toán học và các ứng dụng thực tiễn của nó trong việc xử lý hình ảnh trong không gian hai chiều (2D), ba chiều (3D) và đa chiều (n chiều) Thông qua việc tìm hiểu lý thuyết và thực hành lập trình trên phần mềm MATLAB, nhóm không chỉ mong muốn làm rõ khái niệm và cơ chế hoạt động của phép quay Givens mà còn hướng đến việc khám phá các ứng dụng thực tế của kỹ thuật này trong các lĩnh vực như y học (xử lý hình ảnh MRI, CT), công nghiệp (kiểm tra chất lượng sản phẩm), đồ họa máy tính, và định vị GPS Đồng thời, báo cáo thể hiện khả năng vượt trội của MATLAB trong việc lập trình, mô phỏng và xử lý hình ảnh, từ đó phát triển một phần mềm có khả năng thực hiện phép xoay hình ảnh trong không gian đa chiều, đáp ứng các yêu cầu thực tiễn Nhóm xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Thầy Cao Trần Tứ Hải, người đã tận tình hướng dẫn, cung cấp những góp ý quý báu và hỗ trợ nhóm trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thiện đề tài Sự định hướng và đồng hành của thầy đã giúp nhóm vượt qua những khó khăn, đảm bảo hoàn thành báo cáo đúng tiến

độ và đạt được những kết quả đáng khích lệ Báo cáo này không chỉ là thành quả của quá trình học tập và nghiên cứu mà còn là bước đệm để nhóm tiếp tục khám phá những tiềm năng của đại số tuyến tính trong các ứng dụng thực tiễn

3

MỤC LỤC

MỤC LỤC 4

Phần 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT PHÉP QUAY GIVEN 6

1.1 Khái niệm phép quay Given: 6

1.2 Ý tưởng phép quay Given: 6

Phần 2: ỨNG DỤNG PHÉP QUAY 10

2.1 Ứng dụng phép quay trong thực tế 10

2.1.1 Xử lý hình ảnh y học 10

2.1.2 Quản lý chất lượng sản phẩm trong công nghiệp 10

2.1.3 Xác định vận tốc và hướng di chuyển 11

2.1.4 Phân tích và nhận diện khuôn mặt 11

2.1.5 Đo lường và chấm điểm trong thể thao 11

2.1.6 Định vị vệ tinh và điều hướng GPS 12

2.2 Ứng dụng phép quay trong không gian nhiều chiều 12

2.2.1 Xử lý hình ảnh và đồ họa máy tính 12

2.2.2 Mã hóa và nén dữ liệu 13

2.2.3 Vật lý 13

2.2.4 Xử lý dữ liệu địa lý (GIS) 14

2.2.5 Thực tế ảo (VR/AR) 15

2.2.6 Kỹ thuật robot và hệ thống điều khiển 15

Phần 3: ỨNG DỤNG MATHLAB XỬ LÝ HÌNH ANH TRONG KHÔNG GIAN NHIỀU CHIỀU 16

3.1 Giải thích các câu lệnh 16

3.2 Giải thích các bước và dòng lệnh của code 17

KẾT LUẬN 18

PHẦN MỞ ĐẦU

1 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

Phép quay Given, ứng dụng xử lí hình ảnh trong không gian nhiều chiều bằng phép quay Given

2 PHẠM VI NGHIÊN CỨU

Không gian: Việt Nam Thời gian: 2025

3 MỤC TIÊU NGHIÊN CỨU

Thứ nhất: Mô tả được phép quay Given.

Thứ hai: Ứng dụng của phép quay trong xử lý hình ảnh (2 chiều, 3 chiều và n chiều).

Thứ ba: Sản phẩm là một phần mềm có khả năng xử lý (xoay) hình ảnh trong không

gian 2, 3 hoặc n chiều.

4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Đọc và phân tích lý thuyết cũng như thử nghiệm cách viết chương bằng chương trình matlab

5 KẾT CẤU CỦA ĐỀ TÀI

Ngoài mục lục, phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, đề tài gồm 03 phần: Phần 1: Cơ sở lý thuyết phép quay Given

Phần 2: Ứng dụng của phép quay

Phần 3: Ứng dụng matlab xử lí hình ảnh trong không gian nhiều chiều bằng phép quay Given

5

Phần 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT PHÉP QUAY GIVEN 1.1 Khái niệm phép quay Given:

Kỹ thuật quay Givens là một phương pháp để phân tích ma trận [A] thành tích của ma trận [Q] và ma trận [R] bằng cách làm cho các phần tử lần lượt bằng 0 cho đến khi có được

ma trận tam giác phải

1.2 Ý tưởng phép quay Given:

Dùng một ma trận quay đơn giản 2 x 2 đặt dọc theo đường chéo chính của một ma trận đơn vị và làm cho một phần tử của ma trận bằng zero Các phần tử của ma trận quay

để quay một vec tơ ngược chiều kim đồng hồ một góc θ là:

= Nếu ta muốn quay vec tơ [x1 x2]T và muốn làm cho x2 bằng zero rồi quay theo chiều kim đồng hồ một góc θ (hay ngược chiều kim đồng hồ một góc ‐ θ ) trong đó:

thì ma trận quay để thực hiện phép quay này theo chiều kim đồng hồ một góc

θ là:

=

Trong đó:

cos θ = sin θ= ¿

Do đó:

x  x

x2

x  x

x1

Chú ý là như mong muốn:

Nếu A là ma trận mxn, ta sẽ xem điều gì xảy ra khi ta thay các phần tử của [Q] vào

ma trận con xác định bằng các cột và hàng thứ i, các cột và hàng thứ j Nói cách khác ta thay ma trận 2 x 2 này dọc theo đường chéo chính tại một số điểm:

7

dkl k  i, l  j

c k, l  i; k,l  j

s k  i; l  j

s k  j; l  i

Như vậy [G] là ma trận đơn vị m x m ngoại trừ các giá trị đã bị thay thế:

gii = gjj = c

gij = ‐gij = s

Điều này sẽ tạo ra ma trận unita:

nghĩa là

và đòi hỏi:

c2 + s2 = 1

Điều này đúng vì cos2 θ + sin2 θ = 1 Khi ma trận này được áp dụng cho ma trận m x n

ta có:

å dkl alp akp k  i, j

1 bkp  å1 gklalp  å gilalp  caip + sajp k  i

1

å gjlalp  saip cajp k  j

1

Như vậy ma trận mới chỉ bị thay đổi ở hàng i và cột j Ta chọn s và c sao cho các phần

tử ở cột r và hàng j bằng zero:

sin θ = cos θ= ¿

Như vậy ta sẽ có:

9

jr ir

air

jr ir

ajr

Phần 2: ỨNG DỤNG PHÉP QUAY 2.1 Ứng dụng phép quay trong thực tế

Phép quay Given trong xử lí hình ảnh không gian 2D, 3D và n chiều rất hữu ích trong nhiều ứng dụng khác nhau trong cuộc sống :

2.1.1 Xử lý hình ảnh y học

Bối cảnh: Các thiết bị chẩn đoán hình ảnh y tế như MRI, CT Scan hoặc siêu âm thường tạo

ra hàng trăm lát cắt ảnh của cơ thể bệnh nhân từ các góc khác nhau Để bác sĩ có thể quan sát rõ ràng tổn thương hoặc khối u, các ảnh này cần được căn chỉnh về cùng một hệ tọa độ

và đôi khi phải xoay để trùng khớp giữa nhiều lần chụp khác nhau

Áp dụng: Phép quay Givens được dùng để xoay các ảnh 2D hoặc 3D nhằm đồng bộ hóa chúng theo trục cơ thể người, từ đó giúp bác sĩ so sánh, phân tích và theo dõi diễn biến bệnh lý một cách hiệu quả

Ví dụ: 

- Một bác sĩ cần xem xét hình ảnh khối u gan qua các lần chụp CT trong 6 tháng Phần mềm sẽ xoay và căn chỉnh các lát cắt qua Givens Rotation để đánh giá chính xác sự phát triển của khối u, tránh nhầm lẫn do góc chụp hoặc vị trí bệnh nhân khác nhau

- Trong một ca phẫu thuật định vị bằng hình ảnh (image-guided surgery), các lát cắt MRI được căn chỉnh bằng Givens để dựng hình ảnh 3D giúp bác sĩ xác định chính xác đường dao

2.1.2 Quản lý chất lượng sản phẩm trong công nghiệp

Bối cảnh: Trong sản xuất, đặc biệt là ngành điện tử, cơ khí chính xác hoặc thực phẩm đóng gói, chất lượng sản phẩm được kiểm tra liên tục bằng hình ảnh Các vật thể trên dây chuyền có thể xoay, nghiêng hoặc nằm lệch, khiến cho việc kiểm tra bằng hình ảnh trở nên khó khăn nếu không chuẩn hóa

Áp dụng: Phép quay Givens giúp xoay hình ảnh sản phẩm về góc tiêu chuẩn, từ đó hệ thống có thể so sánh với mẫu chuẩn để phát hiện lỗi nhanh chóng và chính xác

Ví dụ: 

- Nhà máy Foxconn tại Trung Quốc, trong dây chuyền sản xuất bo mạch chủ cho iPhone, sử dụng hệ thống kiểm tra tự động bằng thị giác máy tính (machine vision)

để kiểm tra chất lượng PCB (bo mạch in). 

- Trong quá trình vận chuyển hoặc gắn lên băng chuyền, một số bảng mạch có thể bị lệch nhẹ (ví dụ: 10 độ) so với trục tiêu chuẩn Camera chụp ảnh bảng mạch ở nhiều góc độ để phân tích, nhưng hình ảnh bị xoay so với chuẩn sẽ gây lỗi nhận diện trong

hệ thống AI. 

- Hệ thống xử lý ảnh sử dụng phép quay Givens (Givens rotation) – một kỹ thuật tuyến tính phổ biến để xoay tọa độ điểm ảnh – nhằm đưa hình ảnh về trục chuẩn, tức là quay ngược lại 10 độ

2.1.3 Xác định vận tốc và hướng di chuyển

Bối cảnh: Trong các hệ thống giám sát giao thông, thể thao hoặc điều khiển phương tiện bay, việc xác định hướng và tốc độ của đối tượng là cực kỳ quan trọng để phân tích chuyển động hoặc ra quyết định phản ứng kịp thời

Áp dụng: Phép quay Givens được sử dụng để căn chỉnh tọa độ chuyển động giữa các khung hình, từ đó tính ra vector vận tốc chính xác Kỹ thuật này đặc biệt hiệu quả trong các hệ thống theo dõi thời gian thực

Ví dụ: Trong một sân vận động có gắn camera giám sát trận bóng, hệ thống theo dõi bóng

sử dụng phép quay Givens để xác định hướng bóng bay sau mỗi cú đá từ các camera khác nhau, từ đó tính được vận tốc trung bình của cú sút, hỗ trợ việc phân tích chiến thuật

2.1.4 Phân tích và nhận diện khuôn mặt

Bối cảnh: Nhận diện khuôn mặt từ camera giám sát, camera trước điện thoại hoặc webcam thường gặp thách thức khi khuôn mặt không nhìn thẳng vào camera mà bị nghiêng trái/phải hoặc cúi xuống/ngửa lên

Áp dụng: Givens Rotation giúp xoay lại ảnh khuôn mặt về tư thế chuẩn trước khi đưa vào thuật toán nhận dạng, giúp cải thiện độ chính xác và giảm sai số khi người dùng thay đổi

tư thế đầu

Ví dụ: Trên một chiếc điện thoại thông minh có nhận diện khuôn mặt để mở khóa, người

dùng nghiêng mặt một chút Hệ thống sẽ sử dụng phép quay Givens để hiệu chỉnh lại ảnh khuôn mặt sao cho "như nhìn thẳng", từ đó nhận diện chính xác

2.1.5 Đo lường và chấm điểm trong thể thao

Bối cảnh: Nhiều môn thể thao chuyên nghiệp (như tennis, bóng đá, thể dục dụng cụ) sử dụng hệ thống chấm điểm tự động dựa trên video và phân tích chuyển động Tuy nhiên,

11

camera có thể đặt ở nhiều vị trí khác nhau và cần hiệu chỉnh góc nhìn để có thể đánh giá công bằng

Áp dụng: Phép quay Givens giúp chuẩn hóa hình ảnh và vector chuyển động của vận động viên về một góc nhìn tiêu chuẩn, cho phép hệ thống chấm điểm dựa trên các tiêu chí kỹ thuật như góc xoay, độ cao, tốc độ

Ví dụ: Một tình huống phút 89, bàn thắng quyết định trận đấu Camera bên cho thấy chân tiền đạo có vẻ vượt lên so với hậu vệ Tuy nhiên, sau khi hệ thống áp dụng phép quay

Givens để đồng bộ hóa dữ liệu Phát hiện chân cầu thủ vẫn còn ngang hàng với hậu vệ

trong hệ tọa độ thực Không việt vị – bàn thắng được công nhận

2.1.6 Định vị vệ tinh và điều hướng GPS

Bối cảnh: Trong hệ thống GPS, các vệ tinh truyền tín hiệu định vị về trái đất, và các thiết

bị đầu cuối (như điện thoại, thiết bị dẫn đường) tính toán vị trí của người dùng dựa trên tín hiệu từ nhiều vệ tinh Do tín hiệu này phụ thuộc vào góc và hướng phát, việc xử lý tín hiệu cần tính đến các phép quay trong không gian ba chiều

Áp dụng: Givens Rotation được sử dụng trong các thuật toán ước lượng vị trí, định hướng (orientation) và hướng di chuyển, giúp thiết bị điều hướng chính xác hơn trong môi trường phức tạp

Ví dụ: Trong máy bay không người lái (drone), phép quay Givens giúp xác định hướng bay khi thiết bị thay đổi góc nghiêng do gió hoặc chướng ngại vật, đảm bảo đường bay được điều chỉnh chính xác

2.2 Ứng dụng phép quay trong không gian nhiều chiều

Ứng dụng phép quay Given trong không gian nhiều chiều

2.2.1 Xử lý hình ảnh và đồ họa máy tính

- Bối cảnh:

Trong thiết kế đồ họa 2D/3D, trò chơi điện tử và mô phỏng kỹ thuật, các đối tượng cần được xoay, phóng to, thu nhỏ hoặc thay đổi góc nhìn liên tục để tạo hình ảnh chân thực và động

- Ứng dụng phép quay:

• Phép quay dùng để xoay các mô hình 3D trong không gian bằng ma trận quay hoặc quaternion

• Dùng trong biến đổi hệ tọa độ khi ánh xạ góc nhìn camera hoặc thay đổi tư thế

nhân vật.

• PCA (Principal Component Analysis) – một phép quay tuyến tính giúp xoay dữ liệu về hướng có phương sai lớn nhất, ứng dụng trong nén và trích xuất đặc trưng hình ảnh

- Ví dụ:

• Trong trò chơi, khi nhân vật quay đầu sang trái, mô hình 3D phải được xoay bằng

ma trận quay 3D tương ứng

• PCA dùng để giảm chiều ảnh khuôn mặt giúp tăng tốc độ nhận dạng

2.2.2 Mã hóa và nén dữ liệu

- Bối cảnh:

Dữ liệu hình ảnh, video, âm thanh có dung lượng lớn, cần được nén để truyền tải nhanh hơn hoặc lưu trữ hiệu quả Đồng thời, dữ liệu cũng cần được mã hóa để bảo mật

- Ứng dụng phép quay:

• PCA xoay không gian dữ liệu để chọn ra trục chính chứa nhiều thông tin nhất, từ

đó loại bỏ các chiều ít quan trọng

• Phép quay tuyến tính được dùng trong một số thuật toán mã hóa để làm thay đổi cấu trúc dữ liệu đầu vào, tăng cường độ an toàn

• Biến đổi DCT (Discrete Cosine Transform) hoặc Fourier là dạng biến đổi cơ sở, tương đương với các phép quay trong không gian hàm

- Ví dụ:

• Trong nén JPEG, ảnh được chuyển đổi qua DCT (biến đổi tương tự phép quay) trước khi lượng tử hóa

• Mã hóa dữ liệu bằng biến đổi tuyến tính (ví dụ ma trận xoay) để tránh bị giải mã bởi người thứ ba

2.2.3 Vật lý

- Bối cảnh:

Trong các mô hình vật lý cổ điển và hiện đại, việc mô tả chuyển động quay, biến đổi hệ quy chiếu hoặc các hệ tọa độ là thiết yếu

- Ứng dụng phép quay:

• Mô tả chuyển động quay của vật thể trong cơ học cổ điển bằng ma trận quay hoặc 13

vectơ quay.

• Trong thuyết tương đối, biến đổi Lorentz là một dạng phép quay trong không gian Minkowski (4 chiều: 3 không gian + 1 thời gian)

• Mô phỏng vật lý sử dụng các phép quay để mô tả quỹ đạo hoặc va chạm giữa các vật thể trong không gian nhiều chiều

- Ví dụ:

• Tính quỹ đạo quay của một vệ tinh xung quanh Trái đất cần sử dụng ma trận quay 3x3

• Trong vật lý lượng tử, quay spin của hạt (như electron) dùng ma trận quay SU(2) trong không gian phức nhiều chiều

2.2.4 Xử lý dữ liệu địa lý (GIS)

- Bối cảnh:

Trong hệ thống thông tin địa lý (GIS), dữ liệu vị trí thường có nhiều chiều (kinh độ,

vĩ độ, độ cao, thời gian, tốc độ ) và phải được chuyển đổi giữa các hệ tọa độ khác nhau

- Ứng dụng phép quay:

• Phép quay giúp chuyển đổi dữ liệu từ hệ tọa độ địa lý sang hệ tọa độ cục bộ hoặc

hệ tọa độ 3D phục vụ mô phỏng

• Dùng để điều chỉnh góc nhìn hoặc hướng bay khi mô phỏng bản đồ 3D, mô hình địa hình

• Kết hợp các phép quay với tịnh tiến để dựng mô hình không gian thực tế từ ảnh vệ tinh hoặc lidar

- Ví dụ:

• Chuyển đổi tọa độ GPS (WGS84) sang hệ UTM sử dụng phép quay và biến đổi tuyến tính

• Trong mô phỏng bay 3D, bản đồ cần xoay theo hướng di chuyển của thiết bị để hiển thị chính xác

2.2.5 Thực tế ảo (VR/AR)

- Bối cảnh:

Trong VR (Virtual Reality) và AR (Augmented Reality), người dùng tương tác trong môi trường ảo ba chiều (hoặc nhiều chiều hơn trong mô phỏng) Mắt người hoặc thiết bị đeo (headset) liên tục thay đổi vị trí và hướng nhìn

- Ứng dụng phép quay:

 Thiết bị (như Oculus Rift, HTC Vive) sử dụng các cảm biến để thu thập góc quay đầu (yaw, pitch, roll)

 Các phép quay trong không gian 3 chiều được biểu diễn bằng ma trận quay 3x3 hoặc quaternion

 Hình ảnh 3D hoặc mô hình sẽ được xoay tương ứng theo hướng nhìn người dùng

- Ví dụ:

 Khi bạn xoay đầu sang phải, toàn bộ khung cảnh VR cũng xoay tương ứng

 Phép quay giúp "cập nhật ma trận biến đổi" sao cho người dùng luôn thấy cảnh vật đúng hướng

2.2.6 Kỹ thuật robot và hệ thống điều khiển

- Bối cảnh:

Robot công nghiệp, robot bay (drone), hoặc cánh tay robot phải di chuyển và xoay trong không gian 3D (và đôi khi là không gian nhiều bậc tự do hơn - n chiều)

- Ứng dụng phép quay:

 Mỗi khớp nối hoặc phần của robot được điều khiển bởi ma trận quay để thay đổi tư thế (pose) hoặc hướng

 Robot bay cần giữ tư thế ổn định trong không gian (ví dụ như giữ hướng mũi drone khi quay gió)

 Hệ thống điều khiển cần tính toán chuỗi phép quay giữa các bộ phận (inverse kinematics)

- Ví dụ:

 Cánh tay robot có thể cần quay khớp vai 45°, sau đó quay khớp khuỷu 30° → phải tính tổng hợp các phép quay

 Drone cần quay theo yaw 90° để chuyển hướng sang bên trái, điều này cần xử lý bằng ma trận quay hoặc quaternion để xác định tư thế mới

Phần 3: ỨNG DỤNG MATHLAB XỬ LÝ HÌNH ANH TRONG KHÔNG GIAN NHIỀU CHIỀU

15