- Bằng trực giác ta nhận thấy số điểm trên một mặt phẳng nhiều hơn số điểm trên một đường thẳng nhưng trong tiên đề I3 công nhận trên đường thẳng có 2 điểm mà I4công nhận trên mặt phẳng
CƠ SỞ HÌNH HỌC
Tiên đề
Trong logic mệnh đề, mệnh đề là một khái niệm cơ bản không được định nghĩa Tất cả những câu phản ánh đúng hay sai một thực tế khách quan đều được coi là những mệnh đề Ta gán cho mệnh đề phản ánh đúng giá trị bằng 1, mệnh đề phản ánh sai giá trị bằng 0 Các giá trị 1, 0 gọi là giá trị chân lý của mệnh đề
1.1.2 Tiên đề Định nghĩa 1.1 Tiên đề là một mệnh đề được thừa nhận là đúng.
Phương pháp tiên đề
Phương pháp tiên đề đã được Euclide - nhà toán học cổ Hy Lạp phát hiện và sử dụng đầu tiên khi trình bày hình học sơ cấp trong tác phẩm "Cơ bản" của mình từ thế kỷ III trước Công nguyên Phương pháp tiên đề là phương pháp xây dựng lý thuyết toán học được thực hiện theo quy trình sau:
- Cung cấp các khái niệm cơ bản, là những khái niệm đầu tiên, không định nghĩa Các khái niệm cơ bản bao gồm các đối tượng cơ bản và các quan hệ cơ bản
- Cung cấp hệ tiên đề
- Trình bày các kết quả thu được từ các khái niệm cơ bản và hệ tiên đề, cùng với các hệ quả của nó bằng các phép suy luận logic
Tất cả các khái niệm không cơ bản phải được định nghĩa thông qua khái niệm cơ bản và quan hệ cơ bản cùng các kết quả trước nó
Ví dụ 1.1: Lý thuyết nhóm là một lý thuyết toán học được xây dựng theo phương pháp tiên đề, cụ thể như sau:
- Khái niệm cơ bản bao gồm: Tập hợp và phép toán * trên tập hợp
- Hệ tiên đề gồm 3 tiên đề:
(1) Phép toán * có tính chất kết hợp, tức là (a*b)*c = a*(b*c)
(2) Tồn tại phần tử e sao cho a*e = e*a = a
(3) Tồn tại phần tử nghịch đảo đối với phép toán *, tức là với mọi phần tử a, tồn tại phần tử b sao cho a*b = e
- Tiếp đến là tất cả các định lý nhận được bằng suy luận logic từ các yếu tố đã biết, khái niệm khác được định nghĩa thông qua các khái niệm đã biết
Tương tự, Lý thuyết modul, Hình học Affine và Euclide… và hầu hết các lý thuyết toán học đều được xây dựng theo phương pháp tiên đề.
Mô hình của hệ tiên đề
Định nghĩa 1.2: Tập hợp H khác rỗng gọi là một mô hình của hệ tiên đề K nếu trên H mọi tiên đề của K đều là một mệnh đề đúng
Ví dụ 1.2: Mỗi nhóm bất kỳ là một mô hình của Lý thuyết nhóm, chẳng hạn tập các số hữu tỉ Q, tập các số thực R đều là mô hình của Lý thuyết nhóm
Chú ý: Mỗi hệ tiên đề có thể có nhiều mô hình khác nhau.
Yêu cầu của một hệ tiên đề
Tiên đề là những mệnh đề công nhận là đúng, không chứng minh Vì vậy để đảm bảo giá trị của lý thuyết toán học, không phải một tập các mệnh đề nào cũng có thể sử dụng là một hệ tiên đề cho nó Hệ tiên đề cần đạt các yêu cầu sau:
1.4.1 Tính phi mâu thuẫn của hệ tiên đề Định nghĩa 1.3
Hệ tiên đề K gọi là phi mâu thuẫn nếu từ K và các kết quả suy ra từ K bằng suy luận logic không suy ra hai kết quả trái ngược nhau Đây là điều kiện tiên quyết của một hệ tiên đề Điều kiện này giúp cho lý thuyết toán học không mâu thuẫn và có ý nghĩa Định lý 1.1
Một hệ tiên đề là phi mâu thuẫn nếu tồn tại một mô hình của hệ tiên đề đó
Ví dụ 1.3 Xét hệ tiên đề sau về khái niệm cơ bản bao gồm đối tượng cơ bản là “điểm”,
“đường thẳng”, quan hệ cơ bản là “điểm thuộc đường thẳng”
Hệ tiên đề K gồm 3 tiên đề:
K1: Qua hai điềm có duy nhất một đường thẳng
K2: Hai đường thẳng khác nhau có duy nhất một điểm chung
K 3 : Có ít nhất 4 điểm trong đó không có 3 điểm nào thuộc cùng một đường thẳng Để chứng minh hệ tiên đề là phi mâu thuẫn, ta có thể xây dựng một mô hình, chẳng hạn là hình tứ diện ABCD, với A, B, C, D là các điểm, các cạnh của tứ diện là 6 đường thẳng Ta nhận thấy, các tiên đề của hệ K đều đúng trên ABCD Do đó tứ diện ABCD là một mô hình của hệ tiên đề K, hay K là một hệ tiên đề phi mâu thuẫn
1.4.2 Tính độc lập của hệ tiên đề Định nghĩa 1.4 Tiên đề a của hệ tiên đề K gọi là độc lập với K\ a tiên đề còn lại nếu nó không là hệ quả của K\a tiên đề đó
Hệ tiên đề K gọi là độc lập nếu mọi tiên đề của K đều độc lập Hệ tiên đề độc lập là hệ tiên đề tối thiểu mà lý thuyết toán học cần có để xây dựng Định lý 1.2 Tiên đề a của hệ tiên đề K độc lập với các tiên đề của K nếu tồn tại một mô hình của K\a tiên đề mà trên đó a không thỏa mãn
Ví dụ 1.4 Quay lại hệ tiên đề K trên, ta có tiên đề K 1 độc lập với các tiên đề còn lại vì có hình tứ diện ABCD không có cạnh AB là một mô hình của K 2 và K 3 nhưng không thỏa mãn K1
1.4.3 Tính đầy đủ của hệ tiên đề Định nghĩa 1.5 Hệ tiên đề gọi là đầy đủ nếu có thể xác định được tính đúng sai của một kết quả bất kỳ suy ra từ hệ tiên đề đó bằng suy luận logic
Tính đầy đủ của hệ tiên đề giúp lý thuyết toán học có đủ căn cứ trong quá trình lập luận xây dựng lý thuyết đó Định lý 1.3 Hệ tiên đề đầy đủ khi mọi mô hình của nó đều đẳng cấu, tức là có một song ánh từ mô hình này tới mô hình kia
1.5 Hệ tiên đề Hilbert của hình học Euclide
David Hilbert (1862–1943), nhà toán học người Đức, đã có đóng góp quan trọng trong việc xây dựng nền tảng hình học thông qua việc phát triển hệ tiên đề cho Hình học Euclide Năm 1899, Hilbert công bố tác phẩm Grundlagen der Geometrie
(Nền tảng của Hình học), trong đó ông trình bày một hệ thống tiên đề chặt chẽ và đầy đủ cho Hình học Euclide Hệ tiên đề này được xây dựng dựa trên sáu khái niệm cơ bản chưa được định nghĩa: điểm, đường thẳng, mặt phẳng, quan hệ “thuộc", quan hệ "ở giữa" và quan hệ "bằng" Hilbert đã phân loại các tiên đề thành năm nhóm: tiên đề về sự liên thuộc, về thứ tự, về toàn đẳng, về song song và về liên tục Cách tiếp cận này giúp loại bỏ những thiếu sót trong các hệ tiên đề trước đó của Euclide và Pasch, đồng thời khẳng định tính chặt chẽ và độc lập của các tiên đề trong Hình học Euclide Công trình của Hilbert đã có ảnh hưởng sâu rộng trong việc phát triển phương pháp tiên đề trong toán học, không chỉ trong Hình học mà còn trong các lĩnh vực khác Hilbert đã nhận giải thưởng Lobachevsky vào năm 1903 Giải thưởng này được trao bởi Hội Toán học Kazan để vinh danh những đóng góp xuất sắc trong lĩnh vực toán học
Sau đó, phương pháp tiên đề trở nên thịnh hành và xuất hiện nhiều hệ tiên đề khác của hình học Euclide Nhiều công trình khoa học khác về cơ sở hình học đã bổ sung, tạo ra nhiều hệ tiên đề tương đương với hệ tiên đề Hilbert như Hệ tiên đề Porogelov hay Hệ tiên đề Wayle
Các khái niệm cơ bản gồm các đối tượng cơ bản là “điểm”, “đường thẳng”,
“mặt phẳng” và các quan hệ cơ bản là “thuộc”, “ở giữa”, “bằng”
Hệ tiên đề được chi thành 5 nhóm với 20 tiên đề
Nhóm I là nhóm tiên đề “liên thuộc” chứa 8 tiên đề
Nhóm II là nhóm tiên đề về “thứ tự” chứa 4 tiên đề
Nhóm III là nhóm tiên đề về “bằng nhau” chứa 5 tiên đề
Nhóm IV là nhóm tiên đề về “liên tục” chứa 2 tiên đề
Nhóm V là nhóm tiên đề về “song song” chứa 1 tiên đề
Nhóm I – Các tiên đề về liên thuộc
Nhóm tiên đề này mô tả quan hệ cơ bản: “Thuộc” hay “đi qua”
I 1 Với 2 điểm bất kỳ tồn tại đường thẳng đi qua
I 2 Với 2 điểm phân biệt có không quá một đường thẳng đi qua
I 3 Mỗi đường thẳng có ít nhất 2 điểm Có ít nhất 3 điểm không cùng thuộc một đường thẳng
I 4 Cho bất cứ 3 điểm bao giờ cũng có một mặt phẳng thuộc mỗi điểm đó Mỗi mặt phẳng thuộc ít nhất một điểm
I5 Cho bất cứ 3 điểm nào không thuộc cùng một đường thẳng, không có quá một mặt phẳng thuộc mỗi điểm đó
I6 Nếu hai điểm A,B thuộc đường thẳng a, đồng thời thuộc mặt phẳng α thì mọi điểm khác của a cũng thuộc α
I 7 Nếu hai mặt phẳng cùng thuộc một điểm thì chúng sẽ cùng thuộc ít nhất một điểm thứ hai
I8 Có ít nhất 4 điểm không cùng thuộc một mặt phẳng
Một số định nghĩa và định lý suy ra trực tiếp từ nhóm tiên đề I Định lý 1 Hai đường thẳng phân biệt có nhiều nhất là một điểm chung Định nghĩa 1 Nếu mọi điểm thuộc đường thẳng a đều thuộc mặt phẳng (P) thì đường thẳng a gọi là thuộc mặt phẳng (P) hoặc mặt phẳng (P) thuộc đường thẳng a Định lý 2 Một mặt phẳng và một đường thẳng không thuộc mặt phẳng đó có nhiều nhất là một điểm chung Định lý 3 Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng Định nghĩa 2 Hai đường thẳng gọi là cắt nhau nếu có 1 điểm thuộc cả hai đường thẳng đó, điểm chung đó gọi là giao điểm của hai đường thẳng Đường thẳng và mặt phẳng gọi là cắt nhau nếu có duy nhất một điểm thuộc cả đường thẳng và mặt phẳng Điểm chung đó gọi là giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng Hai mặt phẳng gọi là cắt nhau nếu có một đường thẳng chung Đường thẳng chung đó gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng Định lý 4 Qua một đường thẳng và một điểm không thuộc đường thẳng hoặc qua hai đường thẳng cắt nhau bao giờ cũng có một và chỉ một mặt phẳng Định lý 5 Mỗi mặt phẳng chứa ít nhất 3 điểm không thẳng hàng
- Chỉ có tương quan “thuộc” giữa điểm và đường thẳng, giữa điểm với mặt phẳng là tương quan cơ bản, còn các tương quan khác đều được định nghĩa
- Nhóm I chỉ nêu ra những yêu cầu tối thiểu đủ để lí luận khi chứng minh các định lý Chẳng hạn, bằng trực giác ta có thể nhận biết là trên một đường thẳng hay một mặt phẳng có vô số điểm nhưng tiên đề I3 chỉ công nhận trên một đường thẳng có ít nhất hai điểm và tiên đề I 4 chỉ công nhận trên một mặt phẳng có ít nhất một điểm Sở dĩ như vậy vì sau này, bằng lý luận ta chứng minh được trên một đường thẳng hay trên một mặt phẳng thuộc vô số điểm
- Bằng trực giác ta nhận thấy số điểm trên một mặt phẳng nhiều hơn số điểm trên một đường thẳng nhưng trong tiên đề I3 công nhận trên đường thẳng có 2 điểm mà I4 công nhận trên mặt phẳng có 1 điểm, điều này không mâu thuẫn vì các tiên đề chưa khẳng định số điểm của mặt phẳng nhiều hơn đường thẳng
Nhóm II- Nhóm tiên đề thứ tự
Nhóm tiên đề này mô tả quan hệ cơ bản “ở giữa”
II 1 Nếu điểm B ở giữa điểm A và điểm C thì A, B, C là 3 điểm khác nhau cùng thuộc một đường thẳng và điểm B cũng ở giữa C và A
II2 Cho bất cứ 2 điểm A, C nào bao giờ cũng có ít nhất một điểm B thuộc đường thẳng AC sao cho C ở giữa A và B
II3 Trong bất cứ 3 điểm khác nhau thuộc một đường thẳng không có quá một điểm ở giữa hai điểm kia
Cho 3 điểm A, B, C không cùng thuộc một đường thẳng và một đường thẳng a thuộc mặt phẳng ABC nhưng không thuộc bất cứ điểm nào trong A,B,C Nếu đường thẳng a có một điểm chung với đoạn AB thì nó còn có một điểm chung nữa hoặc với đoạn AC, hoặc với đoạn BC
Hệ tiên đề Weyl của hình học Euclide
Hermann Klaus Hugo Weyl (1885-1955) là nhà toán học người Đức Ông là nhà toán học đã áp dụng không gian vectơ để xây dưng hình học Euclide mới Vẫn là loại hình học dùng phương pháp tiên đề, nhưng thay vì xét trên mặt phẳng, loại hình học này lại xét trong không gian Đối tượng cơ bản được đưa ra trong hệ tiên đề của hình học này là điểm và vectơ (thay vì là đường thẳng, mặt phẳng) Đây là loại hình học được nhiều người tiếp nhận một cách thích thú và nó tỏ ra có ích cho toán học Với nó, ta có thể mở rộng số chiều của không gian một cách dễ dàng và có thể sử dụng tốt lý thuyết tập hợp và lý thuyết phản xạ Đồng thời các nhà hình học có thể áp dụng cấu trúc của đại số để phát triển hình học theo những hướng mới hơn
Các khái niệm cơ bản của hệ tiên đề này là điểm và vectơ, phép cộng vectơ, phép nhân vectơ với một số, tích vô hướng của 2 vectơ, phép đặt vectơ vào một điểm
Hệ tiên đề gồm 5 nhóm với 16 tiên đề
Nhóm I - Nhóm tiên đề về phép cộng vectơ
Nhóm tiên đề này mô tả ánh xạ
Vectơ x y gọi là tổng của 2 vectơ x và y Phép toán này thỏa mãn 4 tiên đề :
I 1 Phép cộng vectơ có tính chất giao hoán, tức là x y V x y y x , ,
I2 Phép cộng vectơ có tính chất kết hợp, tức là x y z V x y , , ,( ) z x (y z)
I3 Tồn tại vectơ 0 là vectơ thỏa mãn x V x , 0 x
I 4 Với mọi vectơ x bất kỳ, tồn tại vectơ x' sao cho x x ' 0
Vec tơ x' gọi là vectơ đối của vectơ x
Nhóm II- Nhóm tiên đề về phép nhân vectơ với một số gồm 4 tiên đề
Nhóm tiên đề này mô tả ánh xạ
(Với R là trường số thực) Phép toán này thỏa mãn 4 tiên đề :
II 1 Phép nhân vectơ với một số có tính chất phân phối với phép cộng hai vectơ
II2 Phép nhân vectơ với một số có tính chất phân phối với phép cộng hai số
II3 Phép nhân vectơ với một số có tính chất kết hợp
Nhóm III - Nhóm tiên đề về số chiều
III 1 Có n vectơ độc lập tuyến tính
III 2 Mọi hệ n+1 vectơ đều phụ thuộc tuyến tính
Nhóm IV - Nhóm tiên đề tích vô hướng
Nhóm tiên đề này mô tả ánh xạ
Phép toán này thỏa mãn 4 tiên đề :
IV 1 Tích vô hướng của 2 vectơ có tính chất giao hoán, tức là x y V x y y x , ,
IV 2 Tích vô hướng của 2 vectơ có tính chất phân phối :
IV4 Với vectơ x bất kỳ, ta có x 2 0;x 2 0 khi và chỉ khi x 0
Nhóm V - Nhóm tiên đề đặt vectơ
Gọi E là tập hợp điểm, nhóm tiên đề này mô tả ánh xạ
Khi đó điểm M gọi là điểm đầu, điểm N gọi là điểm cuối của vectơ MN.
Phép đặt vectơ thỏa mãn 2 tiên đề sau:
V1 Với mỗi điểm cố định A thuộc tập hợp E và vectơ x bất kỳ thuộc V, tồn tại duy nhất điểm B thuộc E sao cho AB x
V2 Với 3 điểm bất kỳ A, B, C thuộc tập hợp E, luôn có : AC AB BC
Từ đó định nghĩa được các khái niệm trong hình học Euclid, chẳng hạn :
-Đường thẳng : Cho 2 điểm phân biệt A,B Đường thẳng AB là tập hợp những điểm M sao cho AM AB, R.
-Đoạn thẳng : Cho 2 điểm phân biệt A,B Đoạn thẳng AB là tập hợp những điểm M sao cho AM AB, [0,1].
-Độ dài đoạn thẳng : d A B( , ) AB AB 2
1.6.2 Ưu nhược điểm của hệ tiên đề Weyl
Hệ tiên đề Weyl khắc phục được nhược điểm của hệ tiên đề Hilbert về mở rộng số chiều không gian nhờ sử dụng mô hình của không gian vectơ Đây là một không gian nền để xây dựng các không gian hình học khác Tuy nhiên, hình học vectơ kém phát triển trí tưởng tượng không gian và trực giác hình học cho người học
Do đó, hình học nước ta kế thừa cả hai hệ tiên đề trên để khai thác hợp lý những ưu điểm của từng hệ tiên đề trong xây dựng hình học phổ thông.
Hệ tiên đề Porogelov
Các khái niệm cơ bản của hệ tiên đề Porogelov là điểm, đường thẳng, mặt phẳng, điểm thuộc đường thẳng, điểm thuộc mặt phẳng, điểm đi trước một điểm và phép dời hình Hệ tiên đề gồm 5 nhóm tiên đề:
Nhóm 1- Nhóm tiên đề liên thuộc: Giống nhóm 1 của hệ tiên đề Hilbert với 8 tiên đề
Nhóm 2 - Nhóm tiên đề thứ tự: Tường quan cơ bản là “đi trước” Điểm A đi trước điểm B trên một đường thẳng có hướng xác định kí hiệu là A < B
2.1 Nếu A < B theo một hướng nào đó thì B < A theo hướng ngược lại
2.2 Trên một đường thẳng với một trong hai hướng đã xác định nếu có A < B thì không có B < A
2.3 Trên một đường thẳng với một trong hai hướng đã xác định nếu có A < B và B <
2.4 Với một trong hai hướng đã được xác định trên một đường thẳng, mỗi điểm B thuộc đường thẳng đó có hai điểm A và C sao cho A < B < C
2.5 Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) chia mặt phẳng này ra hai phần, mỗi phần là một nửa mặt phẳng sao cho nếu A và B là hai điểm thuộc cùng một nửa mặt phẳng thì đoạn AB không cắt đường thẳng d, còn nếu A và B thuộc hai nửa mặt phẳng khác nhau thì đoạn AB cắt đường thẳng d (có điểm chung với d)
Nhóm 3 - Nhóm tiên đề về phép dời hình
Khái niệm cơ bản của nhóm này là “Phép dời hình”
3.1 Mỗi phép dời hình bảo toàn tương quan liên thuộc
3.2 Mỗi phép dời hình bảo toàn tương quan thứ tự trên đường thẳng
3.3 Tập hợp các phép dời hình lập thành một nhóm
3.4 Nếu với phép dời hình, một tiaa biến thành chính nó và một điểm thuộc tia giữ nguyên thì mọi điểm thuộc tia giữ nguyên
3.5 Với mỗi cặp điểm A và B có một phép dời hình biến A thành B và biến B thành
3.6 Với mỗi cặp tia h, k chung gốc, có một phép dời hình biễn h thành k và biến k thành h
3.7 Cho 𝛼 và 𝛽 là hai mặt phẳng, trên đường thẳng d bất kỳ thuộc mặt phẳng 𝛼 lấy một điểm A tùy ý và trên đường thẳng d’ bất kỳ thuộc mặt phẳng 𝛽 lấy một điểm B tùy ý Khi có có duy nhất một phép dời hình biến điểm A thành điểm B, biến nửa đường thẳng xác định bởi A và đường thẳng d thành nửa đường thẳng xác định bởi B và đường thẳng d’, biến nửa mặt phẳng xác định bởi d và mặt phẳng 𝛼 thành nửa mặt phẳng xác định bởi d’ và mặt phẳng 𝛽
Nhóm 4 - Nhóm tiên đề liên tục
Nếu tất cả các điểm của một đường thẳng được chia thành hai lớp không rỗng sao cho với một trong hai hướng đã được xác định trên đường thẳng, mỗi điểm của lớp thứ nhất luôn đi trước mỗi điểm thuộc lớp thứ hai thì khi đó hoặc ở lớp thứ nhất có một điểm mà tất cả các điểm còn lại của lớp này đều đi trước điểm đó hoặc là ở lớp thứ hai có một điểm và điểm này đi trước tất cả các điểm còn lại của lớp thứ hai
Nhóm 5 - Nhóm tiên đề song song
Nhóm này chỉ có 1 tiên đề, nội dung như tiên đề V của hệ tiên đề Hilbert
Nhận xét: Các tiên đề của hệ tiên đề Porogelov dựa trên các khái niệm hình học trực quan như điểm, đường thẳng , mặt phẳng…Các tiên đề trong hệ này được chứng minh là độc lập với nhau Hệ tiên đề Pogorelov là đầy đủ cho hình học Euclide, nghĩa là tất cả các định lý của hình học Euclide đều có thể được suy ra từ các tiên đề này.
Hệ tiên đề của hình học phổ thông Việt Nam
Ở đây ta chỉ xét hệ tiên đề của hình học trực quan trong mặt phẳng và trong không gian 3 chiều Để đảm bảo tính sư phạm, phù hợp với đối tượng học sinh, hệ tiên đề của hình học phổ thông (được gọi là những tính chất thừa nhận), bao gồm một số tiên đề và định lý của hệ tiên đề Hilbert
1.8.1.Hệ tiên đề của hình học phẳng
Hình học phẳng sử dụng các hình cơ bản là điểm, đường thẳng, các số đo cơ bản là độ dài đoạn thẳng và số đo góc, quan hệ cơ bản là điểm thuộc đường thẳng, điểm nằm giữa 2 điểm
Hệ tiên đề bao gồm 6 nhóm với 13 tiên đề, cụ thể như sau :
Nhóm I - Nhóm tiên đề liên thuộc, gồm 2 tiên đề
I1 Có những điểm thuộc đường thẳng và những điểm không thuộc đường thẳng đó
I2 Qua hai điểm phân biệt có một và chỉ một đường thẳng
Nhóm II - Nhóm tiên đề mô tả quan hệ “ở giữa”, gồm 3 tiên đề
II 1 Trong 3 điểm thẳng hàng, có một và chỉ một điểm ở giữa 3 điểm kia
II 2 Bất kỳ đường thẳng a nào trong mặt phẳng cúng chia mặt phẳng thành 2 nửa mặt phẳng đối nhau Nếu 2 điểm thuộc cùng một nửa mặt phẳng thì đoạn thẳng nối 2 điểm không cắt đường thẳng a Nếu 2 điểm thuộc hai nửa mặt phẳng khác nhau thì đoạn thẳng nối 2 điểm cắt đường thẳng a
II 3 Bất kỳ điểm O nào trên đường thẳng cũng chia đường thẳng thành 2 tia đối nhau Điểm O ở giữa 2 điểm bất kỳ khác O thuộc 2 tia đó
Nhóm III - Nhóm tiên đề về khái niệm độ dài, gồm 3 tiên đề
III 1 Mỗi đoạn thẳng có độ dài xác định là một số dương
III 2 Nếu điểm M ở giữa hai điểm A, B thì AB = AM + MB
III 3 Với bất kỳ số m lớn hơn 0, trên tia Ox cũng tồn tại điểm A sao cho OA = m Nhóm IV- Nhóm tiên đề mô tả khái niệm số đo góc, gồm 3 tiên đề
IV1 Mỗi góc có số đo xác định là một số dương ; số đo (độ) của góc bẹt là 180 0
IV 2 Nếu tia Oy ở giữa hai tia Ox và Oz thì 𝑥𝑂𝑧 = 𝑥𝑂𝑦 + 𝑦𝑂𝑧
IV3 Với bất kỳ số m nào sao cho 0 < m < 180, trên một mặt phẳng đã cho có bờ là đường thẳng chứa tia Ox cũng xác định được một và chỉ một tia Oy sao cho 𝑥𝑂𝑦 𝑚 0
Nhóm V - Tiên đề về 2 tam giác bằng nhau
Nếu hai tam giác ABC và A’B’C’ có 𝐴 = 𝐴′ ; AB = A’B’ và AC = A’C’ thì hai tam giác đó bằng nhau
Nhóm VI - Tiên đề Euclide
Cho điểm A không thuộc đường thẳng a Có duy nhất một đường thẳng qua A song song với đường thẳng a
1.8.2 Hệ tiên đề của hình học không gian
Hình học không gian sử dụng các hình cơ bản là điểm, đường thẳng, mặt phẳng, các số đo cơ bản là độ dài đoạn thẳng và số đo góc, quan hệ cơ bản là điểm thuộc đường thẳng, điểm nằm giữa 2 điểm
Hình học không gian sử dụng hệ tiên đề gồm 6 tiên đề sau :
1 Có ít nhất 4 điểm không cùng thuộc một mặt phẳng
2 Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng
3 Nếu 1 đường thẳng đi qua 2 điểm phân biệt của mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng
4 Nếu 2 mặt phẳng có 1 điểm chung thì chúng còn có 1 điểm chung khác nữa
5 Trên mỗi mặt phẳng các kết quả của hình học phẳng đều đúng
6 Mỗi đoạn thẳng trong không gian đều có độ dài xác định.
Một số đặc điểm của sách giáo khoa hình học phổ thông của Việt Nam
Phần hình học phẳng biên soạn theo quan điểm coi hình hình học là tập hợp điểm Mặt phẳng là tập hợp điểm cho trước, các hình hình học phẳng là những tập con của mặt phẳng Những kiến thức về lý thuyết tập hợp coi như đã biết Ngôn ngữ và một số kí hiệu của lý thuyết tập hợp được sử dụng Vì lí do sư phạm, để tránh hệ thống kí hiệu cồng kềnh trong sách giáo khoa, đôi khi có một số kí hiệu được dùng chỉ nhiều khái niệm khác nhau (chẳng hạn AB có thể là đường thẳng AB hay độ dài đoạn thẳng AB)
Vì vậy cần nắm vững nội dung chứa đựng trong kí hiệu Tuy có sử dụng kiến thức về số để định nghĩa quan hệ hình học nhưng hệ thống kiến thức hình học vẫn mang tính độc lập tương đối Không gian toán học của hệ thống kiến thức là không gian động Các hình hình học chủ yếu được định nghĩa theo phương pháp kiến thiết Ngoài phần các hình, một nội dung khác cũng được nghiên cứu là phép biến hình
Hình học phẳng ở cấp trung học cơ sở là một hệ thống tương đối hoàn chỉnh Vì lí do sư phạm, không thể đòi hỏi một cấu trúc logic chặt chẽ, thỏa mãn yêu cầu của một hệ tiên đề Có một số khái niệm phải công nhận mặc dù các khái niệm này có thể định nghĩa được (chẳng hạn quan hệ ở giữa, số đo góc…)
Hình học phẳng ở trung học cơ sở được xây dựng trên nền tảng là lý thuyết tập hợp, có sự công nhận trường số thực, với dụng ý nếu thêm khái niệm mặt phẳng cùng với các tiên đề mới liên quan tới mặt phẳng thì có hình học không gian Vì vậy hình học phẳng có vị trí rất quan trọng, là cơ sở ban đầu cho toàn bộ kiến thức hình học phổ thông
Hình học không gian kết hợp nghiên cứu quan hệ không gian với hình không gian: Sau khi học quan hệ liên thuộc, học sinh sẽ học khái niệm hình chóp Với mô hình hình chóp, học sinh có thể hình dung được quan hệ chéo nhau giữa hai đường thẳng Sau khi học về quan hệ song song, học sinh được học về hình hộp, hình lăng trụ Sau khi học về quan hệ vuông góc, học sinh được học về hình lăng trụ đứng và hình chóp đều Lợi ích của cách tiếp cận này là học sinh có điều kiện hiểu sâu hơn về các quan hệ hình học, tuy nhiên lại không hiểu một cách hệ thống về các tính chất các hình Quan hệ vuông góc được trình bày bằng cả hai phương pháp : Hình học trực quan và hình học vectơ, giúp học sinh có thêm nhiều công cụ đê giải các bài toán liên quan
Bài 1.Tại sao cần phải có các khái niệm cơ bản trong việc xây dựng lý thuyết hình học ?
Bài 2.Trong hệ tiên đề Hilbert người ta công nhận mỗi đường thẳng có ít nhất 2 điểm, mỗi mặt phẳng có ít nhất ba điểm, điều đó có ý nghĩa gì đối với yêu cầu của một hệ tiên đề ?
Bài 3 Chứng minh nhóm tiên đề liên thuộc của hệ tiên đề Hilbert của hình học Euclide là phi mâu thuẫn
Bài 4 Chứng minh tiên đề I3 độc lập với các tiên đề còn lại trong nhóm I của hệ tiên đề Hilbert
Bài 5 Chứng minh các mệnh đề sau tương đương với tiên đề V của hệ tiên đề hình học phổ thông: a) Tổng các góc trong 1 tam giác là 180 0 b) Có duy nhất 1 đường thẳng vuông góc với 1 đường thẳng cho trước và đi qua 1 điểm cho trước c) Đường thẳng vuông góc và cắt 1 cạnh của góc nhọn bao giờ cũng cắt cạnh còn lại
Bài 6 Chứng minh hai đường thẳng song song định ra trên một cát tuyến hai góc so le trong bằng nhau
Bài 7 Hãy dùng hệ tiên đề của hình học không gian ở trường phổ thông để chứng minh các định lí sau đây: Định lý 1: Hai đường thẳng phân biệt có không quá 1 điểm chung Định lý 2: Có nhiều điểm khác ngoài mặt phẳng Định lý 3: Cho mặt phẳng (P) và ba điểm phân biệt A, B, C không nằm trên (P) và không thẳng hàng Nếu mặt phẳng (P) cắt đoạn thẳng AB thì (P) cắt đoạn thẳng BC hoặc đoạn thẳng CA Định lý 4: Định lí về việc mỗi mặt phẳng chia không gian thành hai nửa không gian (tương tự như mỗi đường thẳng trong mặt phẳng chia mặt phẳng đó thành hai nửa mặt phẳng) Hãy phát biểu định lí và chứng minh Định lý 5: Trường hợp bằng nhau c.c.c của hai tam giác Định lý 6: Trường hợp bằng nhau g.c.g của hai tam giác Định lý 7: Trong một tam giác bất kỳ, đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn và ngược lại
Bài 8 Cho tam giác ABC, trên 3 cạnh của tam giác lấy 3 điểm M, N, P Chứng minh
M, N, P là 3 điểm không thẳng hàng
Bài 9 Chứng minh đường vuông góc nhỏ hơn đường xiên
Bài 10 Chứng minh trong một tam giác, độ dài một cạnh luôn nhỏ hơn tổng độ dài hai cạnh và lớn hơn hiệu độ dài hai cạnh.
ĐA GIÁC VÀ ĐA DIỆN
Đa giác
2.1.1 Các định nghĩa a) Đường gấp khúc Định nghĩa 2.1 Đường gấp khúc n cạnh là hình hợp bởi n đoạn thẳng A1A2,A2A3,…,
A n A n+1 , trong đó hai đoạn thẳng liên tiếp không cùng nằm trên một đường thẳng
Các điểm A i gọi là đỉnh thứ i của đường gấp khúc (i=1,2,…,n+1), các đoạn thẳng
AiAi+1 gọi là các cạnh của đường gấp khúc.(Hình 2.1) b)Đa giác Định nghĩa 2.2 Đa giác n cạnh là đường gấp khúc n cạnh (n≥3) A 1 A 2 … A n+1 sao cho đỉnh đầu và đỉnh cuối trùng nhau, cạnh đầu và cạnh cuối không cùng nằm trên một đường thẳng Đa giác đó kí hiệu là A1A2 … An Đa giác n cạnh còn gọi là một n – giác
Các điểm A i gọi là các đỉnh của đa giác, các đoạn thẳng gọi là các cạnh của đa giác Góc
Ai-1AiAi+1 gọi là góc ở đỉnh Ai của đa giác c)Đa giác đơn
Hình 2.1 Định nghĩa 2.3 Đa giác đơn là đa giác mà bất kỳ hai cạnh không liên tiếp nào cũng không có điểm chung Trong hình 2.2, đa giác a, d là đa giác đơn, các đa giác b và c không là đa giác đơn d)Đa giác lồi Định nghĩa 2.4 Đa giác lồi là đa giác nằm về một phía đối với đường thẳng chứa bất kỳ một cạnh nào của đa giác đó
Các đa giác lồi là đa giác đơn Trong hình 2.2, đa giác d là đa giác lồi, các đa giác còn lại không phải là đa giác lồi
2.1.2 Miền trong, điểm trong của đa giác Định lý 2.1 (Định lý Jordan)
Cho H là một đa giác bất kỳ trong mặt phẳng P Khi đó tập hợp P H\ H 0 H * , có các tính chất: i) Bất kỳ 2 điểm nào thuộc cùng một tập đều có thể nối với nhau bởi 1 đường gấp khúc không có điểm chung với H ii) Một đường gấp khúc bất kỳ nối 2 điểm thuộc hai phần đều có điểm chung với H iii) Tập H 0 không chứa đường thẳng nào, Tập H * có chứa những đường thẳng
Chứng minh: Xét trường hợp đa giác lồi: Đa giác lồi là giao của các nửa mặt phẳng sao cho đa giác nằm ở 1 phía so với mọi đường thẳng chứa cạnh của đa giác nên nếu đa giác chứa 2 điểm A, B bất kỳ thi luôn chứa đoạn thẳng AB
Nếu đa giác bất kỳ, ta chia đa giác đó thành hợp của các đa giác lồi, có điều phải chứng minh Định nghĩa 2.5 Tập H 0 gọi là miền trong của đa giác H Điểm thuộc H 0 gọi là điểm trong của đa giác H
Tập H * gọi là miền ngoài của đa giác H Điểm thuộc H * gọi là điểm ngoài của đa giác
H0 H H gọi là miền đa giác H
2.1.3 Các tính chất của đa giác Định nghĩa 2.6 Cho góc ABC Phần góc 180 0 gọi là phần I của góc; Phần còn lại gọi là phần II Nếu phần I của góc thuộc miền trong của đa giác thì đỉnh B gọi là đỉnh lồi của đa giác Nếu phần I của góc thuộc miền ngoài của đa giác thì đỉnh B gọi là đỉnh lõm của đa giác Định lý 2.2 Mỗi đa giác đơn có ít nhất 1 đỉnh lồi
Từ các đỉnh của đa giác H kẻ các đường thẳng song song, chọn đường thẳng cao nhất, giả sử nó qua đỉnh A của đa giác sao cho miền đa giác nằm dưới đường thẳng đó Khi đó phần I của góc ở đỉnh A thuộc miền trong của H, hay đỉnh A là đỉnh lồi của đa giác 2.1.3 Phân hoạch một đa giác - Đa giác đồng phân a) Phân hoạch một đa giác Định nghĩa 2.7 Đa giác H gọi là được phân hoạch bởi các đa giác Hi, i=1,2,…,n nếu : i) H i 0 H j 0 , i j ii) H i n 1 H i
Nếu đa giác được phân hoạch thành những tam giác thì cách phân hoạch đó gọi là tam giác phân Đoạn thẳng nối 2 đỉnh không kề nhau của đa giác gọi là đường chéo của đa giác đó Định lý 2.3
Bằng một đường chéo thích hợp mọi n- giác đơn có thể phân chia thành 2 đa giác có số cạnh bé hơn n
Lấy BAC là một góc nào đó của Đ sao cho A là đỉnh lồi
Trường hợp 1 Miền tam giác ABC không chứa đỉnh nào khác của đa giác Đ
Khi đó BC chia đa giác Đ thành hai đa giác, đa giác thức nhất là tam giác ABC, giả sử đa giác thứ hai có k cạnh, gồm (k-1) cạnh của Đ và cạnh BC
Do tam giác ABC có số cạnh là 3 nên (k-1) = (n-2) hay k = (n-1) < n ( Hình 2.3) Trường hợp 2 Miền tam giác ABC chứa các đỉnh khác của Đ khác A,B,C
Ta vẽ các đường thẳng qua các đỉnh còn lại của Đ và song song với BC Gọi O là đỉnh nằm trên đường thẳng gần đỉnh A nhất Khi đó đường chéo AO không có điểm chung nào với Đ ngoài hai đỉnh A và O Thật vậy, giả sử có điểm M nằm giữa A và O và M thuộc Đ Vì M không là đỉnh của Đ nên M thuộc cạnh KL nào đó của Đ Do đó có 1 đường thẳng qua K hoặc L nằm gần A hơn so với đường thẳng qua O Suy ra có một trong 2 đỉnh K, L nằm ngoài tam giác ABC, hay một trong hai cạnh AB và AC
Hình 2.3 Hình 2.4 phải cắt cạnh KL, trái giả thiết Đ là đa giác đơn Do đó ta chia đa giác Đ theo đường chéo AO thành hai đa giác
Giả sử một đa giác nhỏ có k cạnh, trong đó có (k-1) cạnh của Đ, do đa giác còn lại có số cạnh lớn hơn hoặc bằng 3 nên(k 1) (n2) k (n1)
Theo định lý trên, bằng phương pháp quy nạp ta có hệ quả sau
Một đa giác đơn bất kỳ đều có tam giác phân b)Đa giác đồng phân Định nghĩa 2.8 Hai đa giác đơn gọi là đồng phân nếu chúng được phân hoạch thành các đa giác đôi một tương ứng bằng nhau
Ví dụ 2.1: Luôn tồn tại một hình chữ nhật đồng phân với một tam giác cho trước
(Hình 2.5) và ngược lại, luôn có một tam giác đồng phân với hình chữ nhật cho trước (Hình 2.6)
2.1.4 Diện tích đa giác a) Hàm diện tích Định nghĩa 2.9
Gọi D là tập hợp các đa giác đơn trong mặt phẳng Ánh xạ S D : R gọi là hàm diện tích nếu thỏa mãn :
Hình 2.5 Hình 2.6 i) Nếu H 1 = H 2 thì S(H 1 ) = S(H 2 ) ii) Nếu H được phân hoạch thành các đa giác H 1 , H 2 ,…,H n thì
S(H) = S(H 1 )+ S(H 2 ) + …+ S(H n ) iii) Nếu V là hình vuông có cạnh bằng 1 thì S(V) =1
Khi đó S(H) gọi là diện tích của đa giác H b) Diện tích hình chữ nhật Định lý 2.4
Diện tích hình chữ nhật bằng tích độ dài hai cạnh
Trước hết ta có nhận xét, với N là số nguyên dương, một hình vuông có cạnh 1 có thể phân hoạch thành N 2 hình vuông có cạnh 1
N Theo tính chất i) diện tích các hình nhỏ này bằng nhau nên bằng 1 2
Bây giờ giả sử cho hình chữ nhật ABCD, với AB = a; AD =b, đặt 1 q N thì theo tiên đề Archimedes, ta có các số nguyên m, n sao cho: mq a (m1)q và
Trên tia AB đặt các đoạn thẳng AB 1 mq và AB 2 (m1)q
Trên tia AD đặt các đoạn thẳng AD 1 nq và AD 2 (n 1)q
Dựng các hình chữ nhật AB C D 1 1 1 và AB C D 2 2 2 Theo tính chất của diện tích, ta có:
Cũng theo tính chất của hàm diện tích, ta có
Như vậy là mnq 2 S ABCD( ) ( m1)(n1) q 2 (2)
Mặt khác từ (1) ta có mnq 2 ab(m1)(n1) q 2 (3)
S ABCD ab m n q mnq mq nq q
Lấy N đủ lớn thì ta có S(ABCD) = ab
Do hình tam giác đồng phân với hình chữ nhật có 1 cạnh bằng đáy của tam giác và cạnh còn lại bằng nửa chiều cao tam giác nên ta có hệ quả
Diện tích tam giác bằng nửa tích của một cạnh với chiều cao tương ứng với nó
- Diện tích đa giác đơn:
Ta đã biết mọi đa giác đơn đều có tam giác phân Theo tính chất hàm diện tích thì diện tích đa giác bằng tổng diện tích tam giác trong tam giác phân đó
Từ định lý trên ta cũng suy ra: Nếu hàm diện tích tồn tại thì nó là duy nhất d) Sự tồn tại của hàm diện tích Định lý 2.5 Hàm diện tích luôn tồn tại
Ta xây dựng hàm S như sau:
Nếu là tam giác với một cạnh là a và chiều cao tương ứng là h a , ta đặt ( ) 1
Vì a h a bh b ch c nên định nghĩa trên là đúng đắn
Nếu H là một đa giác đơn thì ta chọn một tam giác phân nào đó của nó và đặt S(H) bằng tổng các S( i ) với i là tất cả các tam giác của các tam giác phân đó
Ta chứng minh, S(H) không phụ thuộc vào cách tam giác phân của H Thật vậy:
- Nếu tam giác ABC được phân hoạch thành các tam giác ABD1, AD1D2,…, ADnC thì theo định nghĩa, ta có S ABC ( ) S ABD ( 1 ) S AD D ( 1 2 ) S AD C ( n )
- Xét tứ giác ABCD, gọi I là giao của 2 đường chéo Ta có dù tứ giác được phân hoạch theo đường chéo AC hay BD thì
S ABCD S IAB S IBC S ICD S IDA
- Giả sử định lý đúng với k – giác bất kỳ, tức là diện tích của một k – giác không phụ thuộc cách phân hoạch của k – giác đó
Diện tích các hình phẳng
2.2.1 Hình và diện tích của hình
Ta đã biết trong không gian Euclide, một hình là một tập hợp các điểm Chằng hạn một đường thẳng, một đa giác, một đường tròn…đều là các hình Trong số các hình, ta xét những hình đơn giản để làm cơ sở xây dựng định nghĩa diện tích của một hình khả diện a) Hình đơn giản Định nghĩa 2.10 Hình H được gọi là hình đơn giản nếu nó được phân hoạch thành hữu hạn các tam giác Khi đó tổng diện tích các tam giác gọi là diện tích của hình đơn giản H Theo định nghĩa này, đa giác hay hợp của một số hữu hạn các đa giác không có điểm chung là những hình đơn giản b)Hình khả diện Định nghĩa 2.11 Một hình X gọi là khả diện nếu với mọi 0 cho trước, tồn tại các hình đơn giản H và G sao cho H X G và S H( )S G( )
Diện tích của hình khả diện:
Cho X là một hình khả diện Ta lấy các hình đơn giản Hn nội tiếp trong X và các hình đơn giản Gm ngoại tiếp X
Khi đó S(Hn) < S(Gm) Dãy S(Hn) tăng và bị chặn trên nên có giới hạn Tương tự, dãy S(G m ) giảm và bị chặn dưới nên cũng có giới hạn Do ( )S H S G( ) nên các giới hạn này bằng nhau Định nghĩa 2.12 Diện tích của hình khả diện H là lim n S H n
với Hn là các hình đơn giản “nội tiếp” trong hình H
2.2.2 Các tính chất của diện tích
Tính chất 1: Hai hình bằng nhau thì có diện tích bằng nhau
Vì hai hình H và H’ bằng nhau thì có một phép đẳng cự biến H thành H’ Phép đẳng cự bảo toàn diện tích nên diện tích của chúng bằng nhau
Tính chất 2: Nếu X và Y là hai hình khả diện thì các hình X Y; X Y; X \ Y 0 đều khả diện và S X( Y)S X( )S Y( )S X( Y)
Ví dụ 2.2 Cho tam giác ABC Trên phần kéo dài của các cạnh AB, BC và AC lấy các điểm D, E, F (B nằm giữa A và D; C nằm giữa B và E ; A nằm giữa C và F) sao cho
BD = AB ; CE = BC và AF = AC Gọi s là diện tích của ABC
Tính diện tích DEF theo s
Sử dụng tính chất cơ bản của diện tích Xét ABE có AC là trung tuyến nên
AED có EB là trung tuyến nên S ABE = S BED = 2s S AED = S ABE + S BED = 4s
BCF có BA là trung tuyến nên
CEF có EA là trung tuyến nên
SACE = SAEF = s SCEF = SACE + SAEF = 2s
AFD có FB là trung tuyến nên
SDBF = SBAF = s SAFD = SDBF + SBAF = 2s
S DEF = S AED + S AFE + S AFD = 4s + s + 2s = 7s Vậy S DEF = 7s
Cho ABC Trên các tia AB, BC, CA lấy các điểm M, N, P theo thứ tự sao cho
BM = AC, CN = AB, AP = BC Chứng minh rằng: S APB S BMC S CNA =(S ABC ) 3
Kẻ đường cao BH, AK, CF của ABC Ta có:
Nhân từng vế của 3 đẳng thức, ta có:
Chứng minh rằng nếu các đường cao ha, hb, hc của tam giác thỏa mãn
thì tam giác đó là tam giác vuông
Trong tam giác ABC ta có:
Do đó tam giác ABC vuông
Chứng minh rằng nếu một tam giác có số đo các cạnh nhỏ hơn 1 thì diện tích tam giác nhỏ hơn 3
Ta có tam giác đều có cạnh bằng 1 thì diện tích là 3
Suy ra nếu tam giác đều có cạnh nhỏ hơn 1 thì diện tích nhỏ hơn 3
Giả sử tam giác ABC có cạnh AB lớn nhất, AB < 1 Trên nửa mặt phẳng chứa tam giác ABC có bờ là đường thẳng chứa cạnh AB ta dựng tam giác đều ABC’ có cạnh
4 và AC ≤ AC’, BC ≤ BC’
Từ C và C’ của ABC và ABC’ kẻ hai đường cao tương ứng có độ dài là h và h’
4 (vì cạnh AB của tam giác đều ABC’ nhỏ hơn 1) Vậy S ABC < 3
Cho điểm O nằm trong tam giác ABC Các tia AO, BO, CO cắt các cạnh của tam giác tại A’, B’, C’ Chứng minh rằng: a) ' ' ' 1
Hướng dẫn: Phần c), d) sử dụng các bất đẳng thức: a b 2 b a và a b 2 4 ab
Xảy ra dấu bằng khi a = b.
Đa diện
2.3.1 Khái niệm đa diện, khối đa diện Định nghĩa 2.13
Hình đa diện hay còn gọi là đa diện, là hình hợp bởi các miền đa giác phẳng thỏa mãn các tính chất sau đây:
- Hai miền đa giác hoặc không có điểm chung, hoặc có 1 điểm chung, hoặc có 1 cạnh chung
- Mỗi cạnh của một miền đa giác đều là cạnh chung của đúng 2 miền đa giác
- Với mỗi 2 miền đa giác Đ và Đ’ đều có dãy các miền đa giác Đ = Đ , Đ , … Đ = Đ’ sao cho 2 đa giác liên tiếp trong dãy có cạnh chung
Mỗi miền đa giác gọi là một mặt của đa diện; các cạnh, đỉnh của đa giác tương ứng gọi là các cạnh, đỉnh của đa diện
2.3.2 Định lý Jordan cho đa diện Định lý 2.8
Cho đa diện D nằm trong không gian E Khi đó tập hợp E D D\ 0 D * thỏa mãn các điều kiện:
- Bất kỳ hai điểm thuộc cùng một phần đều có thể nối với nhau bởi một đường gấp khúc không có điểm chung với D
- Mọi đường gấp khúc nối hai điểm thuộc hai phần khác nhau đều có điểm chung với
- Tập D 0 không chứa đường thẳng nào, tập D * chứa đường thẳng Định nghĩa 2.14: Tập D 0 được gọi là miền trong và tập D * gọi là miền ngoài của đa diện D Mỗi điểm thuộc D 0 gọi là một điểm trong của D, mỗi điểm thuộc D * gọi là một điểm ngoài của D Tập hợp gồm có D và các điểm trong của nó gọi là khối đa diện
2.3.3 Đa diện lồi Định nghĩa 2.15: Một đa diện được gọi là đa diện lồi nếu khối đa diện nằm về một phía đối với mặt phẳng chứa một mặt bất kỳ của đa diện
Hình 2.9 là một đa diện lồi, còn hình 2.10 biểu diễn một đa diện không lồi
502 Bad GatewayUnable to reach the origin service The service may be down or it may not be responding to traffic from cloudflared
2.3.3 Mối liên hệ giữa số đỉnh, mặt, cạnh của hình đa diện lồi Định lý 2.9 Cho Đ là một đa diện lồi Gọi d k là số đỉnh chung của k cạnh, m k là số mặt có k cạnh của Đ, c là số cạnh, m là số mặt của Đ Khi đó:
- Tổng độ lớn của tất cả các góc phẳng của hình đa diện bằng 2 ( c m ).
502 Bad GatewayUnable to reach the origin service The service may be down or it may not be responding to traffic from cloudflared
Ta có điều phải chứng minh
Hình 2.9 Hình 2.10 Định lý 2.10 (Định lý Euler): Trong hình đa diện lồi có số đỉnh, số mặt và số cạnh tương ứng là Đ, M và C, ta luôn có Đ + M - C = 2
Ta chứng minh bằng quy nạp theo số đỉnh của đa diện
Với hình tứ diện, ta thấy khẳng định là đúng vì Đ + M – C = 4 + 4 – 6 = 2
502 Bad GatewayUnable to reach the origin service The service may be down or it may not be responding to traffic from cloudflared
- Nối D với 1 đỉnh của đa diện cũ (ví dụ DS, DB, DC) Khi đó số cạnh tăng lên 1, số đỉnh tăng thêm 1 nên Đ + M – C =2
- Bỏ đi cạnh nối 2 đỉnh cũ (ví dụ BC) thì số cạnh bớt 1, số mặt bớt 1 so với đa diện cũ nên Đ + M – C =2
Từ đó với mọi đa diện lồi Đ + M – C =2 Định nghĩa 2.16: Đ + M – C gọi là đặc số Euler của đa diện
Ví dụ 2.7 Chứng minh rằng số các góc phẳng của tất cả các mặt của hình đa diện gấp đôi số cạnh của hình đa diện đó
Số góc phẳng của một mặt k – giác của hình đa diện là k Do đó số góc phẳng của tất cả các mặt k – giác của đa diện là k.mk, k= 3,4,…
Vậy số góc phẳng của tất cả các mặt của hình đa diện là
Ví dụ 2.8 Tồn tại hay không một hình đa diện có 7 cạnh?
Giả sử tồn tại một hình đa diện có 7 cạnh, hay c = 7
Mà m4 và m là số tự nhiên nên m4 Hình đa diện có 4 mặt là hình tứ diện, khi đó số cạnh là 6, mâu thuẫn với giải thiết là c = 7 Vậy không tồn tại hình đa diện có 7 cạnh
Chứng minh rằng không tồn tại hình đa diện lồi không có mặt tam giác nào và góc tam diện nào
Giả sử tồn tại một hình đa diện lồi không có mặt tam giác nào và góc tam diện nào Tức là m 3 d 3 0 Từ đó suy ra:
Cộng hai vế của hai bất đẳng thức cuối ta có d m c 0 mâu thuẫn với đặc số Euler của hình bằng 2
Ví dụ 2.10.Chứng minh rằng không tồn tại hình đa diện lồi sao cho các mặt của nó đều lớn hơn 5 cạnh
Giả sử tồn tại hình đa diện lồi sao cho các mặt của nó đều lớn hơn 5 cạnh.Khi đó
2c6m6 km k 6m Mặt khác ta luôn có
Từ đó 6c6m6d d m c 0 Điều này mâu thuẫn
2.3.5 Đa diện đều Định nghĩa 2.17: Đa diện lồi có các mặt là đa giác đều cùng số cạnh, mỗi đỉnh là đỉnh chung của cùng một số cạnh được gọi là đa diện đều Định lý 2.11
Có không quá 5 loại đa diện đều
Giả sử đa diện đều có mặt là đa giác p cạnh và mỗi đỉnh là đỉnh chung của q cạnh ( ,p q3) Khi đó ta có: Đq = 2C = Mp
Do C 0 (2 p )(2 q ) 4 ( , ) p q (3,3);(3,4);(4,3);(3,5);(5,3) Đo đó có 5 loại đa diện đều như sau:
Hình 2.12- Hình hai mươi mặt đều
2.3.5 Đa diện nửa đều Định nghĩa 2.18: Đa diện nửa đều là đa diện cấu tạo bởi 2 hoặc 3 loại đa giác đều sắp xếp theo cùng một cách và cùng một thứ tự xung quanh mỗi đỉnh
2.3.6 Thể tích khối đa diện a) Phân hoạch khối đa diện Định nghĩa 2.19
Hình đa diện D được gọi là phân hoạch thành n hình đa diện 𝐷 , 𝐷 , … , 𝐷 nếu:
- Các đa diện 𝐷 , 𝐷 , … , 𝐷 không có điểm trong chung
Hai đa diện gọi là đồng phân nếu chúng được phân hoạch thành các hình đa diện đôi một bằng nhau
Tương tự như phân đa giác, ta có các kết quả sau:
- Bất kỳ đa diện nào cũng phân hoạch được thành các hình tứ diện
- Hai đa diện đồng phân với đa diện thứ 3 thì đồng phân với nhau b)Hàm thể tích Định nghĩa 2.20: Hàm thể tích là hàm số V cho ứng với mỗi đa diện một số thực dương duy nhất sao cho:
+ Nếu D được phân hoạch thành 𝐷 , 𝐷 , … , 𝐷 thì
+ Nếu U là hình lập phương có cạnh bằng 1 thì V(U) = 1
Ta cũng chứng minh được định lý sau: Định lý 2.12 Hàm thể tích tồn tại và duy nhất c) Một số công thức tính thể tích
Thể tích hình hộp chữ nhật: Định lý 2.13 Thể tích của hình hộp chữ nhật là abc, trong đó a, b, c là kích thước của
Cách chứng minh tương tự như chứng minh công thức diện tích hình chữ nhật
Thể tích hình hộp bất kỳ Định lý 2.14 Thể tích hình hộp bằng diện tích đáy nhân với chiều cao
Chứng minh:Trước hết ta chứng minh một hình hộp bất kỳ luôn đồng phân với một hình hộp chữ nhật Thật vậy, giả sử có hình hộp ABCD A’B’C’D’, ta có thể dựng hình hộp chữ nhật đồng phân với hình hộp ban đầu bằng cách phân hoạch như hình 2.14
Thể tích hình hộp ban đầu bằng thể tích hình hộp chữ nhật DGHC.EFKG với đáy có diện tích bằng diện tích đáy S của hình hộp ban đầu, DE = h Nên ta có V = S.h
Thể tích hình lăng trụ Định lý 2.15 Thể tích hình lăng trụ là tích của diện tích đáy và chiều cao
Chứng minh: Trường hợp lăng trụ có đáy là tam giác, ta dựng hình hộp có đáy bằng gấp đôi đáy của lăng trụ Khi đó V = Sh
Trường hợp lăng trụ có đáy không phải tam giác, ta phân hoạch nó thành các lăng trụ có đáy là tam giác nên có điều phải chứng minh
Thể tích hình chóp Định lý 2.16 Thể tích của chóp là 1
3Sh với S là diện tích đáy và h là chiều cao tương ứng
Trước hết ta xét hình tứ diện
Thật vậy, Ta luôn phân hoạch được hình hộp chữ nhật thành 6 hình tứ diện vuông bằng nhau Điện tích đáy của hình tứ diện bằng 1
2 diện tích đáy hình hộp
Chiều cao tứ diện bằng chiều cao hình hộp nên ta có thể tích V của tứ diện được tính theo thể tích V’ của hình hộp như sau:
Với hình chóp đáy bất kỳ đỉnh S, ta phân hoạch đáy thành các tam giác, từ đó phân hoạch hình chóp thành các tứ diện đỉnh S, có kết quả cần chứng minh
Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy AB = 2a và góc tạo bởi mặt bên và đáy có số đo là 𝜑 Mặt phẳng (P) đi qua AB và tạo với đáy một góc 𝛼 cắt hình chóp theo một thiết diện Tính diện tích thiết diện nhận được
Gọi O là tâm của đáy, M là trung điểm của đoạn thẳng AB Do hình chóp SABCD là chóp tứ giác đều nên SM và OM đều vuông góc với AB
Mặt phẳng (P) đi qua AB và tạo với đáy một góc 𝛼 cắt hình chóp theo thiết diện là hình thang cân ABEF (Bạn đọc tự chứng minh)
Gọi N là trung điểm của EF, ta có NM vuông góc với AB do tính chất hình thang cân
Vì vậy góc giữa (P) và (ABCD) là NMO Xét tam giác SMO vuông tại O, ta có:
Tam giác SAM vuông tại M có 2 2 1 2 cos 1
Xét tam giác SOK vuông tại O Do NH song song với SO nên
NH KH NH KH NH KH
Tam giác NHM vuông tại H nên NH HM.tan (2a KH ) tan
2 2 1 1 ;(1) tan tan cos cos tan tan
( ) (2 1 tan ) tan tan tan tan
1 tan tan tan (tan tan )cos
1 cos (tan tan )cos cos (tan tan )
SN SK KN SM KN a a
Từ (1) và (2) ta suy ra diện tích hình thang cân ABEF là:
(tan tan ) cos tan tan
