Không gian R n
Vectơ, điểm, chiều dài, khoảng cách, tích trong
Một không gian vectơ là tập hợp R^n được trang bị các phép toán nhất định, trong đó các phần tử còn gọi là các vectơ Để nhấn mạnh việc xem phần tử x dưới góc độ vectơ, người ta thường dùng ký hiệu ~x hoặc x, đặc biệt khi n = 2 hoặc 3 Các phép toán chính trong không gian vectơ gồm phép cộng và phép nhân (kỹ thuật nhân vô hướng), trong đó phép cộng hai vectơ x = (x₁, x₂, , xₙ) và y = (y₁, y₂, , yₙ) được định nghĩa như sau: x + y = (x₁ + y₁, x₂ + y₂, , xₙ + yₙ).
Phép nhân của vectơ xvới số thực α cho vectơ αãx= (αx 1 , αx 2 , , αx n ).
Hai phộp toỏn +và ãcú cỏc tớnh chất mà ta dễ dàng kiểm tra được từ cỏc tớnh chất của số thực:
Mệnh đề 1.1.2 Với mọi x, y∈R n , với mọi α, β∈R:
(c) với0 là vectơ có tất cả các thành phần bằng0, nghĩa là 0 = (0,0, ,0)(thường được gọi là điểm gốc tọa độvà thường được kí hiệu là bằng chữ cái O 2 ), thì x+ 0 = 0 +x=x,
(d) tồn tại vectơ đối −x= (−1)ãx= (−x 1 ,−x 2 , ,−x n ) sao chox+ (−x) = 0,
1 từ vector trong tiếng Anh chỉ một đoạn thẳng có hướng, hay một đại lượng có hướng di chuyển
2 trong tiếng Anh “origin” nghĩa là “gốc”
Về sau để kí hiệu đơn giản hơn ta thường bỏ đi dấu chấm để kí hiệu phép nhân ở trờn, vớ dụ viết2x thay vỡ 2ãx. x
Hình 1.1.1: Hình ảnh minh họa cho tọa độ của một điểm(x, y, z)trongR 3
Trong các trường hợp riêng như R, R2, R3, các tính chất của vectơ phù hợp nhưng có điểm khác biệt quan trọng, đó là trong vật lý, vectơ thường được hình dung là một đoạn thẳng có hướng với điểm gốc rõ ràng, trong khi định nghĩa của chúng là các phần tử của không gian mà không đi kèm điểm đầu Tuy nhiên, trong các hình vẽ minh họa, đặc biệt ở các không gian chiều thấp, ta vẫn thường vẽ vectơ như một đoạn thẳng có mũi tên chỉ hướng để dễ hình dung Không gian vectơ Rn có một tập hợp các vectơ đặc biệt, đóng vai trò quan trọng trong việc phân tích và ứng dụng các phép toán vectơ trong toán học và vật lý.
(e1= (1,0, ,0), e2 = (0,1, ,0), , en= (0,0, ,1)) có tính chất dễ thấy là với một vectơx= (x1, x2, , xn) bất kì trongR n thì x n
Bộ (e1, e2, , en) được gọi là cơ sở vectơ chính tắc của Rn, thể hiện rằng mọi vectơ trong không gian Rn có thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ này Số chiều của không gian vectơ Rn chính là n, bởi vì Rn có một cơ sở gồm đúng n phần tử, đảm bảo mọi phần tử trong không gian đều có thể được xây dựng từ cơ sở bằng phép cộng vectơ và nhân với số thực Điều này cho thấy Rn có đúng n chiều, đồng thời các vectơ trong không gian này tự do, độc lập tuyến tính.
Mỗi vectơ có một chiều dài, hay độ lớn, được gọi là chiều dài Euclid , kí hiệu là
|x|, còn được gọi là chuẩn của vectơ (đặc biệt khin >3), kí hiệu là kxk, cho bởi kxk=|x| q x 2 1 +x 2 2 +ã ã ã+x 2 n
Trong trường hợp n= 1 độ lớn này chính là giá trị tuyệt đối của số thực.
Chiều dài vectơ có các tính chất:
Mệnh đề 1.1.4 Với mọi x∈R n , với mọi α∈R thì:
(b) kxk= 0 khi và chỉ khi x= 0,
Hai phần tử x,y bất kì của R n lại có một khoảng cách giữa chúng, kí hiệu là d(x, y), được gọi là khoảng cách Euclid , cho bởi d(x, y) =p
Trong trường hợp n = 1, khoảng cách giữa hai điểm chính là chiều dài của đoạn thẳng số thực từ điểm x đến điểm y Khi n = 2 hoặc n = 3, khoảng cách giữa x và y bằng chiều dài của vectơ từ x đến y, như minh họa trong Hình 1.1.2 và 1.1.3 Công thức tính khoảng cách này dựa trên bình phương của hiệu số toạ độ x và y, cụ thể là (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)², giúp đo lường chính xác khoảng cách giữa hai điểm trong không gian.
Hình 1.1.2: Khoảng cách Euclid, trường hợp hai chiều.
Ta thấy d(x, y) =ky−xk, nghĩa là khoảng cách từx tới y đúng bằng chiều dài vectơy−x Mặt khác, chiều dài vectơx chính bằng khoảng cách từ0 tớix.
Khoảng cách có các tính chất sau: y x z
Hình 1.1.3: Khoảng cách Euclid, trường hợp ba chiều.
Mệnh đề 1.1.5 Với mọi x, y∈R n thì:
Trong R, tích vô hướng của hai vectơ là một phép toán tổng quát hóa từ tích số thực và tích vô hướng trong R², R³, được gọi là tích vô hướng Euclid hoặc tích trong Euclid Phép tích vô hướng này được định nghĩa bằng công thức \( \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = x_1 y_1 + x_2 y_2 + \dots + x_n y_n \) Các tính chất của phép toán tích vô hướng bao gồm tính chất giao hoán, tuyến tính theo từng phần tử và tính chất không đổi khi thay đổi vectơ theo các phép biến đổi phù hợp.
Mệnh đề 1.1.6 Với mọi x, y, z∈R n , với mọi α∈R thì:
(b) xãx= 0 khi và chỉ khi x= 0,
Ta có ngay quan hệ giữa tích vô hướng và độ lớn Euclid: kxk=√ xãx.
Mệnh đề 1.1.7 Với hai vectơ bất kì x và y trong không gian Euclid R n thì
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi có số thực α sao cho x=αy hayy=αx.
Chứng minh Giả sửx= (x1, x2, , xn) và y= (y1, y2, , yn) Ta có xãy=x 1 y 1 +x 2 y 2 +ã ã ã+x n y n trong khi kxk ã kyk q x 2 1 +x 2 2 +ã ã ã+x 2 n ã q y 1 2 +y 2 2 +ã ã ã+y 2 n , như vậy bất đẳng thức
|xãy| ≤ kxk ã kyk chính là Bất đẳng thức Bunyakowsky 1 cho số thực Bất đẳng thức Bunyakowsky khẳng định rằng với mọi bộ số thựcx= (x1, x2, , xn)và y= (y1, y2, , yn) thì
|x 1 y1+x2y2+ã ã ã+xnyn| ≤ q x 2 1 +x 2 2 +ã ã ã+x 2 n ã q y 2 1 +y 2 2 +ã ã ã+y n 2 , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khix vày tỉ lệ với nhau, xem Bài tập 1.1.15.
Ta có một tính chất quan trọng sau của khoảng cách:
Mệnh đề 1.1.8 (Bất đẳng thức tam giác) Với ba phần tử bất kì x,y vàz trong không gian Euclid R n thì
Tính chất này được gọi là bất đẳng thức tam giác là vì nó tổng quát hóa bất đẳng thức tam giác trong hình học Euclid phẳng.
Chứng minh Để thu được dạng (a) ta có thể làm bằng vài cách Một cách đơn giản
1 còn được gọi là Bất đẳng thức Cauchy–Schwarz x y z
Bất đẳng thức tam giác khẳng định rằng trong một tam giác, tổng chiều dài của hai cạnh bất kỳ luôn lớn hơn hoặc bằng chiều dài của cạnh còn lại Đặc biệt, khi bình phương hai vế, ta có biểu thức kx + yk ≤ kxk + kyk, thể hiện rõ mối quan hệ giữa các cạnh trong tam giác Nguyên tắc này được sử dụng để xác định tính hợp lệ của các tổng chiều dài và đảm bảo tính chính xác trong các phép tính hình học.
⇐⇒xãx+ 2xãy+yãy≤xãx+yãy+ 2kxk kyk
⇐⇒xãy≤ kxk kyk, là đúng do Mệnh đề 1.1.7.
Một cách để thu được dạng (b) là dùng quan hệ giữa khoảng cách và chiều dài rồi dùng dạng (a): d(x, z) +d(z, y) =kz−xk+ky−zk ≥ k(z−x) + (y−z)k=ky−xk=d(x, y).
Trong tập hợp R^n, mỗi phần tử đóng vai trò khác nhau tùy theo ngữ cảnh: nó có thể là một vectơ khi tập trung vào các phép toán vectơ hoặc là một điểm khi quan tâm đến khoảng cách Điều này khiến một phần tử của R^n được gọi là vectơ trong một tình huống và là điểm trong tình huống khác, không cần dùng ký hiệu riêng biệt để phân biệt chúng.
Hình học trong R n
Cho hai vectơ u = (u1, u2, , un) và v = (v1, v2, , vn) trong R n Ta đã biết ở Mệnh đề 1.1.7 thì
|uãv| ≤ kuk kvk. Nếuu vàv khác 0thì ta thu được uãv kuk kvk
Từ đó ta định nghĩa góc giữa hai vectơ u vàv là số thựcθ∈[0, π]thỏa cosθ= uãv kuk kvk.
Ta được công thức uãv=kuk kvkcosθ.
Trong toán học, ta niễu vuông góc hay trực giao với v, kí hiệu là u⊥v, khi góc giữa chúng là π/2, đảm bảo cả hai vectơ đều khác không hoặc một trong số chúng bằng vectơ không Điều này có nghĩa là u và v vuông góc đồng nghĩa với tích vô hướng bằng zero, tức là u⊥v ⇐⇒ u·v = 0.
Hai vectơ cùng phương khi góc giữa chúng bằng 0 hoặc π, điều này xảy ra nếu cả hai vectơ đều khác không hoặc một trong hai là vectơ zero Trong trường hợp này, các vectơ có hướng cùng hoặc ngược chiều, phản ánh tính chất cùng phương trong không gian vector Đây là khái niệm cơ bản trong đại số tuyến tính, giúp xác định mối quan hệ hướng giữa các vectơ Hiểu rõ đặc điểm này rất quan trọng trong việc phân tích và xử lý các bài toán liên quan đến vectơ trong toán học và kỹ thuật.
|uãv|=kuk kvk, tức là dấu bằng xảy ra trong Mệnh đề 1.1.7, là khi cú một vectơ là bội của vectơ kia.
Hai vectơ được coi là cùng hướng khi góc giữa chúng bằng 0, điều này xảy ra nếu cả hai vectơ đều khác không hoặc một trong hai là vectơ không Trong trường hợp cả hai vectơ cùng hướng hoặc một trong số chúng là vectơ không, chúng là bội không âm của nhau, thể hiện sự đồng hướng một cách rõ ràng và dễ hiểu trong hình học vectơ.
Nếu vectơ v6= 0thì vectơ kvk v = kvk 1 v là một vectơ cùng hướng với v nhưng có chiều dài bằng1, được gọi là vectơ đơn vị theo hướng của v.
Trong trường hợp v6= 0, vectơ đơn vị theo chiều của v được xác định bằng cách nhân vô hướng của u với vectơ đơn vị theo hướng của v Thành phần của u theo hướng v được tính bằng tích vô hướng của u và vectơ đơn vị của v, thể hiện qua công thức kukcosθ = uãv / (|u| * |v|) Chiếu vuông góc của u lên v, ký hiệu p_v u, là vectơ cùng phương với v, được tính bằng p_v u = (uãv / |v|^2) * v, thể hiện thành phần của u theo hướng v.
Véc tơ chiếu của u lên v có độ lớn bằng trị tuyệt đối của thành phần của u trên v, cùng phương và chiều với v nếu thành phần đó là dương Nếu thành phần của u trên v là âm, véc tơ chiếu sẽ ngược chiều với v Trong trường hợp thành phần này bằng zero, véc tơ chiếu sẽ là véc tơ không và vuông góc với v, thể hiện mối liên hệ chính xác giữa véc tơ u và v trong không gian vector.
Ta có thể kiểm được ngay rằng(u−p v u)⊥v bằng cách nhân vô hướng hai véctơ này (Bài tập 1.1.6), như vậy đây thực sự là phép chiếu vuông góc.
Trong trường hợp v là một vectơ đơn vị thì công thức của phép chiếu vuông góc
1 p viết tắt từ projection, nghĩa là chiếu
Hình 1.1.5: Chiếu của một vectơ lên một vectơ khác. trở nên đơn giản hơn: pvu= (uãv)v.
Tích có hướng của hai vectơ
Cho hai vectơ trong R 3 , u= (u1, u2, u3) vàv= (v1, v2, v3) Tích có hướng của hai vectơ này, kí hiệu làu×v 1 , được định nghĩa là vectơ u×v= (u 2 v 3 −u 3 v 2 , u 3 v 1 −u 1 v 3 , u 1 v 2 −u 2 v 1 ).
Tích có hướng phụ thuộc vào thứ tự của hai vectơ, với công thức u×v = −v×u Khi hai vectơ vuông góc, tích có hướng của chúng (u×v) vuông góc với cả hai vectơ u và v Tích có hướng sẽ bằng vectơ 0 khi và chỉ khi hai vectơ cùng phương, thể hiện mối quan hệ rõ ràng giữa hướng và độ dài của các vectơ trong không gian Từ đó, ta có thể miêu tả trực quan tích có hướng như trong hình 1.1.6, giúp hiểu rõ hơn về tính chất của phép tính này trong hình học không gian.
Hình 1.1.6 minh họa trực quan về vectơ vuông góc u×v, chỉ rõ rằng u×v là vectơ có hướng xác định theo quy tắc bàn tay phải Theo quy tắc này, dùng bàn tay phải uốn lòng bàn tay theo chiều từ u sang v để ngón cái chỉ hướng của u×v; hoặc, nếu ngón cái chỉ chiều của u, ngón trỏ chỉ chiều của v, thì ngón giữa sẽ nằm vuông góc với ngón cái và ngón trỏ, chỉ hướng của u×v Đây là nguyên tắc quan trọng trong xác định hướng của vectơ pháp tuyến trong các bài toán hình học.
1 một số tài liệu ở trung học có thể kí hiệu là [u, v] Đường thẳng
Trong không gian R^n, một đường thẳng được định nghĩa là tập con có dạng {a + tv | t ∈ R}, trong đó a và v là các vector trong R^n với v ≠ 0 Điều này có nghĩa là đường thẳng bao gồm tất cả các điểm x sao cho vector x - a cùng phương với vector v, thể hiện rằng các điểm nằm trên đường thẳng này Vector v được gọi là vector chỉ phương của đường thẳng, thể hiện hướng đi của đường thẳng trong không gian.
Đường thẳng nối điểm a và điểm b chính là đường thẳng đi qua điểm a và có vectơ chỉ phương là b−a Mọi điểm nằm trên đường thẳng này đều có dạng a + t(b−a), với t ∈ R, thể hiện rõ mối liên hệ giữa điểm và vectơ chỉ phương Hình 1.1.7 minh họa rõ đặc điểm của đường thẳng đi qua điểm a và b, giúp hình dung dễ dàng hơn về dạng và cách xác định các điểm nằm trên đường thẳng này.
O x−a v Hình 1.1.7: Minh họa đường thẳng đi qua điểmavới vectơ chỉ phươngv. Đoạn thẳng nốiavàb được định nghĩa là tập hợp gồm các điểma+t(b−a) (1−t)a+tb,t∈[0,1] Xem Hình 1.1.8. a x b
O x−a b−a Hình 1.1.8: Minh họa đoạn thẳng nối điểmavà điểmb.
Ví dụ 1.1.9 TrongR 2 , xét đường thẳng đi qua hai điểm(x 0 , y 0 ) và(x 1 , y 1 ) Vectơ chỉ phương là(x1, y1)−(x 0 , y0) = (x1−x 0 , y1−y0) Phương trình tham số của đường thẳng là
1 −x 0 , ta thu được phương trình y=y0+ y1−y0 x1−x0
Trên mặt phẳng, một đường thẳng không vuông góc với trục y sẽ có phương trình dạng y = mx + b Trong đó, m là hệ số góc hay độ nghiêng của đường thẳng, phản ánh mức độ dốc của nó Hệ số góc m là một hằng số thực, giúp xác định rõ hướng và sự nghiêng của đường thẳng trong hệ trục tọa độ.
Trong không gian \( \mathbb{R}^n \), mặt phẳng \( P \) đi qua ba điểm phẳng \( p_1, p_2, p_3 \) được định nghĩa bởi tính chất: điểm \( x \in \mathbb{R}^n \) thuộc \( P \) khi và chỉ khi vectơ \( v = x - p_1 \) có thể viết thành tổ hợp tuyến tính của hai vectơ \( v_1 = p_2 - p_1 \) và \( v_2 = p_3 - p_1 \), tức là tồn tại hai số thực \( s, t \) sao cho \( v = s v_1 + t v_2 \) Điều kiện để xác định một mặt phẳng rõ ràng là ba điểm đã cho không thẳng hàng, nghĩa là vectơ \( v_1 \) và \( v_2 \) không cùng phương, đảm bảo rằng những điểm này xác định một mặt phẳng duy nhất.
Ta cũng nói phương trình x=p 1 +sv 1 +tv 2 , s∈R, t∈R là một phương trình tham số của mặt phẳngP.
Trong trường hợp R3, đặt N = v1 × v2, ta thấy N vuông góc với v1 và v2, cũng như mọi tổ hợp tuyến tính của chúng, tức là vuông góc với mọi vectơ s v1 + t v2 (Bài tập 1.1.7) N được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng P, ký hiệu là N ⊥ P, xác định mặt phẳng bởi tập hợp các điểm p sao cho véc-tơ p - p₁ vuông góc với N, nghĩa là p ∈ P ⇔ (p - p₁) ⋅ N = 0 Ngược lại, nếu một véc-tơ v vuông góc với N thì v phải là tổ hợp tuyến tính của v1 và v2 (Bài tập 1.1.16).
Xét một mặt phẳng đi qua điểm (x₀, y₀, z₀) với vectơ pháp tuyến (a, b, c) ≠ 0, chứa tất cả các điểm (x, y, z) thỏa mãn điều kiện vectơ ((x, y, z) − (x₀, y₀, z₀)) vuông góc với vectơ (a, b, c) Công thức phương trình mặt phẳng được xác định dựa trên tích vô hướng giữa vectơ chỉ đường của các điểm trên mặt phẳng và vectơ pháp tuyến, giúp xác định chính xác vị trí của mặt phẳng trong không gian Đây là phương pháp phổ biến để tìm phương trình mặt phẳng đi qua một điểm cố định với vectơ pháp tuyến cho trước, phù hợp cho các ứng dụng trong hình học giải tích và thiết kế đồ họa không gian.
((x, y, z)−(x0, y0, z0))ã(a, b, c) = 0, hay a(x−x 0 ) +b(y−y 0 ) +c(z−z 0 ) = 0, có thể viết lại là ax+by+cz+d= 0, v1 × v2 = N
Hình 1.1.9: Mặt phẳng và pháp tuyến của mặt phẳng trong trường hợpR 3 với d=ax 0 +by 0 +cz 0 Đây là các phương trình không có tham số của mặt phẳng.
Ví dụ 1.1.10 Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm (1,1,2), (1,2,0),
Ta có một phương trình tham số của mặt phẳng là
(x, y, z) = (1,1,2) +sv 1 +tv 2 = (1−t,1 +s,2−2s+t), với s∈R, t∈R Ta có một pháp tuyến của mặt phẳng làN =v1×v2 = (1,2,1), từ đó thu được một phương trình không có tham số của mặt phẳng:
Tập mở và tập đóng trong R n
Với khoảng cách và độ dài Euclid, chúng ta có thể xây dựng các cấu trúc thích hợp để định nghĩa giới hạn và liên tục trong toán học Các khái niệm này là nền tảng quan trọng trong phân tích, giúp hiểu rõ hơn về tính liên tục của hàm số và các quá trình biến đổi Những khái niệm như giới hạn, liên tục, và các định lý liên quan sẽ được trình bày rõ ràng, dễ hiểu Những kiến thức này là các phần căn bản, người học nên đọc kỹ lại để nắm vững, đặc biệt khi áp dụng trong các lĩnh vực nghiên cứu toán học cao cấp.
Cho x∈R n và >0 Các tập hợp
Trong không gian ℝⁿ, quả cầu mở B₀(x, ε) và quả cầu đóng S(x, ε) lần lượt định nghĩa là tập hợp các điểm y sao cho khoảng cách từ y đến x nhỏ hơn hoặc bằng ε Quả cầu mở gồm các điểm cách x ít hơn ε, còn quả cầu đóng bao gồm các điểm có khoảng cách bằng ε từ x Mặt cầu S(x, ε) chính là biên của quả cầu, phản ánh các điểm cách x đúng ε Các khái niệm này phát triển từ các khái niệm về khoảng, hình tròn, và quả cầu trong các không gian 1D, 2D, và 3D, mở rộng ra trong không gian ℝⁿ để phục vụ các nghiên cứu hình học và phân tích toán học nâng cao.
Trong phép tính vi phân, việc khảo sát sự biến đổi của hàm số gần một điểm cụ thể là rất quan trọng Để thực hiện điều này, ta sử dụng các khái niệm phân loại điểm để hiểu rõ hơn về tính chất của hàm, từ đó giúp xác định các đặc điểm như điểm cực trị, điểm cực tiểu hoặc cực đại của hàm số Các khái niệm phân loại điểm trong vi phân đóng vai trò thiết yếu trong phân tích hàm và ứng dụng của chúng trong các lĩnh vực khoa học và kỹ thuật.
Điểm trong của tập D⊂Rⁿ được định nghĩa là điểm x mà tồn tại một quả cầu có tâm tại x nằm hoàn toàn trong D Điểm biên của tập D là điểm x sao cho mọi quả cầu B(x, r) đều chứa ít nhất một điểm thuộc D và một điểm không thuộc D Trong khi đó, điểm tụ hoặc điểm giới hạn của tập D là điểm x sao cho bất kỳ quả cầu B(x, r) nào cũng chứa ít nhất một điểm thuộc D khác với chính x.
Trong ví dụ này, chúng ta xét tập hợp D = {0} ∪ (1,2) trong R Điểm 0 không phải là điểm trong của D mặc dù thuộc D, vì nó là điểm rìa của tập hợp Mọi điểm trong khoảng (1,2) đều là điểm trong của D, thể hiện rõ tính chất nội tại của các điểm này trong tập hợp Điểm 0 không phải là điểm tụ của D, trong khi đó, điểm 1, điểm 2 cùng với các điểm thuộc khoảng (1,2) đều là điểm tụ của D, phản ánh tính chất định nghĩa điểm tụ trong lý thuyết tập hợp và phân tích thực.
Ví dụ 1.1.12 Quả cầu bỏ đi tâm B(a, r)\ {a}có tâm alà một điểm tụ
Tập hợp tất cả các điểm trong củaDđược gọi là phần trong của D, và được ký hiệu làD.˚
Tập hợp tất cả các điểm biên của Dđược gọi là biên củaD, và được ký hiệu là
Tập hợp Dđược gọi là một tập mở nếu mọi điểm của Dđều là điểm trong của
D, tức làD trùng với phần trong D˚ của nó Đặc trưng của một tập mở là mỗi điểm thuộc tập có một quả cầu chứa điểm đó mà chứa trong tập.
Tập D⊂R n được gọi là một tập đóng nếuDchứa mọi điểm biên của nó, tức là
Quả cầu B(x, r) là một tập mở, điều này có thể thấy rõ qua các ví dụ cụ thể Khi y là một điểm bên trong quả cầu này, ta có thể dễ dàng chọn một quả cầu nhỏ hơn B(y, δ) nằm hoàn toàn trong B(x, r), dựa trên ý tưởng trực quan về không gian thấp chiều Cụ thể, bất kỳ số thực dương δ nào nhỏ hơn hoặc bằng −d(x, y) đều đảm bảo rằng quả cầu B(y, δ) sẽ nằm trọn trong B(x, r), thể hiện rõ tính chất mở của tập hợp này trong không gian metric.
Ta có thể kiểm tra chính xác như sau: nếu z∈B(y, δ), do bất đẳng thức tam giác, thì d(z, x)≤d(z, y) +d(y, x)< δ+d(y, x)≤, nên z∈B(x, )
Người học có thể kiểm các ví dụ khác tiếp theo đây theo cách đã minh họa trên,tuy nhiên đây không là một yêu cầu của môn học.
Ví dụ 1.1.14 Quả cầu đóng B 0 (x, ) và mặt cầuS(x, ) là các tập đóng
Ví dụ 1.1.15 Mặt cầuS(x, ) là biên của quả cầuB(x, )
Ví dụ 1.1.16 cho thấy rằng tập D = [0,1) không phải là tập mở cũng không phải là tập đóng trong R Điều này bởi vì điểm 0 nằm trong D nhưng không phải là điểm interior của D, trong khi điểm 1 không thuộc D nhưng lại là điểm biên của D Do đó, mở và đóng là hai khái niệm riêng biệt và không phủ định nhau trong lý thuyết tập hợp và topology.
Người ta thường dùng thuật ngữ lân cận của một điểm trongR n để chỉ một tập mở củaR n chứa điểm đó.
1.1.1 TrongR 4 , chox= (2,−1,3,0)vày= (2,0,1,−3) Tính khoảng cáchd(x, y)giữax vày, độ lớnkxkcủax, độ lớnkykcủay, độ lớnkx−ykcủax−y, tớch trongxãy củaxvày.
(a) xãy= 1 2 kx+yk 2 − kxk 2 − kyk 2
(b) xãy= 1 4 kx+yk 2 − kx−yk 2
Như vậy tích trong có thể tính được từ độ dài.
1.1.3 (Đẳng thức hình bình hành) Hãy chứng tỏ kx−yk 2 +kx+yk 2 = 2kxk 2 + 2kyk 2
Hãy giải thích ý nghĩa hình học của điều này.
1.1.4 (Công thức Pythagore) Chứng tỏ rằng nếux⊥y thì kx+yk 2 =kxk 2 +kyk 2
Hãy vẽ hình minh họa để thấy đây là tương tự ở số chiều bất kì của công thức Pythagore trong hình học phẳng Euclid.
1.1.5 Tìm vectơ đơn vị cùng chiều với vectơv= (1,2,3,4).
1.1.6 Kiểm tra rằng u− uã kvk v v kvk
1.1.7 Kiểm tra rằng nếua⊥bvàa⊥cthì avuông góc với mọi tổ hợp củabvàc, tức là với mọi s, t∈Rthìa⊥(sb+tc).
1.1.8 TrongR 3 ta thường viết cơ sở tuyến tính chuẩn tắc là
Hãy chứng tỏ các vectơ trong cơ sở có chiều dài bằng1, đôi một vuông góc, và~i×~j=~k,
1.1.9 TrongR 3 , hãy kiểm tra rằng
1.1.10 TrongR 3 , hãy kiểm tra rằng kuìvk 2 =kuk 2 kvk 2 −(uãv) 2
1.1.11 Hãy kiểm tra rằng với mọi vectơa, b, c∈R 3 thì a×(b×c) +b×(c×a) +c×(a×b) = 0. Đây có khi được gọi là Đẳng thức Jacobi.
1.1.12 TrongR 4 , hãy viết phương trình đường thẳng:
(a) Đi qua điểm(2,0,0,−3)với vectơ chỉ phương(−1,0,2,3).
1.1.13 TrongR 3 , hãy viết phương trình mặt phẳng:
(c) Đi qua điểm(2,1,3)và song song (có cùng pháp tuyến và không trùng) với mặt phẳng
1.1.14 Trong không gian EuclidR 3 , choA= (1,0,0), B= (1,1,−1),C= (3,−2,1) Đặt
(f) Viết phương trình tham số đường thẳng quaAvàB.
(g) Viết phương trình tham số mặt phẳng quaA,B,C.
(h) Viết phương trình không tham số mặt phẳng quaA,B,C.
1.1.15 (Bất đẳng thức Bunyakowsky) Bất đẳng thức Bunyakowsky khẳng định rằng với mọi bộ số thựcx= (x1, x2, , xn)vày= (y1, y2, , yn)thì
|x1y 1 +x 2 y 2 +ã ã ã+x n y n | ≤ q x 2 1 +x 2 2 +ã ã ã+x 2 n ã q y 2 1 +y 2 2 +ã ã ã+y n 2 Đẳng thức trong Bất đẳng thức Bunyakowsky xảy ra khi và chỉ khixvày tỉ lệ với nhau. Hãy kiểm bất đẳng thức này bằng cách sau.
(a) Kiểm bất đẳng thức với n= 1vàn= 2.
(b) Vớinbất kì, bình phương hai vế bất đẳng thức, khai triển các tích, nhóm lại để đưa bất đẳng thức về dạng n
(c) Xét điều kiện để xảy ra dấu=trong bất đẳng thức trên.
1.1.16 * Trong R 3 , giả sửv 1 ×v 2 6= 0, hãy kiểm rằng nếu v vuông góc vớiv 1 ×v 2 thìv phải là một tổ hợp tuyến tính củav1 vàv2.
Hàm số nhiều biến
Giới hạn của hàm số
Chof là một hàm số thực nhiều biến, xác định trên một miền và có điểm tụ tại điểm a Hàm f được gọi là có giới hạn là số thực L tại điểm a nếu giá trị của f(x) gần bằng L khi x tiến tới a Điều này nghĩa là, khi x tiến gần đến a, các giá trị của f(x) ngày càng gần với L, phản ánh tính liên tục và ổn định của hàm số tại điểm đó Khái niệm này quan trọng trong việc phân tích giới hạn của hàm số nhiều biến, giúp xác định tính chất của hàm khi tiếp cận những điểm nhất định trong miền xác định.
Giới hạn của hàm số khi x tiến gần a nhưng không bằng a được thể hiện qua ký hiệu x → a, hoặc lim x→a f(x) = L Định nghĩa này tương đương với định nghĩa giới hạn của hàm số một biến, như đã trình bày trong [BMGT1, Mục 2.1], và cho thấy rằng giới hạn của hàm một biến là trường hợp đặc biệt của giới hạn hàm nhiều biến khi n = 1 Trong trường hợp này, ta có thể áp dụng tất cả các quy tắc và tính chất của giới hạn hàm số một biến để phân tích và xử lý các giới hạn của hàm nhiều biến.
Trong bài viết này, chúng ta trình bày chính xác định nghĩa giới hạn bằng ký hiệu “-δ”, tương tự như trường hợp hàm số một biến Định nghĩa 1.2.5 cho biết rằng, với hàm số f xác định trên tập D ⊂ ℝⁿ và điểm a là điểm tụ của D, ta nói giới hạn của f(x) là số thực L khi x tiến tới a nếu khoảng cách giữa f(x) và L nhỏ tùy ý miễn là khoảng cách giữa x và a đủ nhỏ nhưng khác 0.
Trong một số trường hợp có thể hiểu giới hạn một cách thô sơ hơn: khix gần tới ahơn thìf(x) gần tớiL hơn.
Trong ghi chú 1.2.6, chúng ta cho phép điểm là điểm tụ của miền xác định D mà không nhất thiết phải thuộc miền đó, nhằm mở rộng khả năng xét các giới hạn trong các bài toán phân tích toán học.
(x,y)→(0,0)lim x 2 y x 2 + 4y 2 Ở đó chúng ta cho (x, y) dần tới(0,0)mà không bằng (0,0), nơi hàm không được xác định Điều này giải thích điều kiện 00 là một hệ số không đổi.
(a) Tính P x Giá trị củaP x là âm hay dương? Giải thích ý nghĩa của điều này.
(b) TínhPy Giá trị củaPy là âm hay dương? Giải thích ý nghĩa của điều này.
1.3.4 Một mô hình Cobb–Douglas trong Kinh tế cho lượng sản phẩmP (productivity) theo lượng vốnK(capital) và lượng lao động L(labor) bằng công thứcP = 1,2K 0,75 L 0,25 (a) Tính PK(100,200),PL(100,200).
Giá trị PK(100,200) xấp xỉ mức tăng của sản lượng khi lượng vốn tăng thêm 1 đơn vị từ mức 100, trong khi lượng lao động giữ nguyên ở mức 200, thể hiện rõ ràng vai trò của hàm sản lượng cận biên theo vốn (marginal productivity of capital) Hàm PK phản ánh khả năng sinh lời của vốn đầu tư, giúp các doanh nghiệp đánh giá chính xác mức đóng góp của vốn vào sản lượng tổng thể Việc tăng thêm 1 đơn vị vốn sẽ dẫn đến mức tăng sản lượng khoảng PK(100,200), cho thấy sự liên hệ trực tiếp giữa vốn và sản lượng trong mô hình kinh tế Đây cũng là một yếu tố quan trọng trong phân tích hiệu quả sử dụng vốn và hoạch định chiến lược phát triển doanh nghiệp.
1.3.5 Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với đồ thị của hàm đã cho tại điểm cho trước: (a) z=x 3 y+ 2x 4 y 5 tại(x, y) = (1,1).
1.3.7 Tìm xấp xỉ tuyến tính của hàm:
(c) f(x, y) =x−xy+y 2 gần điểm (x, y) = (5,6) Viết phương trình cho mặt phẳng tiếp xúc của đồ thị ở điểm (x, y) = (5,6) Ước lượngf(5,1; 5,9).
(d) f(x, y) =sin(x+ 2y) gần điểm(x, y) = (0,0) Ước lượngf(−0,05; 0,05) So sánh số ước lượng với kết quả thu được bằng máy tính.
(e) f(x, y) =p 1 x 2 +y 2 gần điểm(x, y) = (3,4) Tính xấp xỉ p 2,99 2 1 +4,01 2
1.3.9 Viết xấp xỉ tuyến tính của hàm:
(d) f(x;y;z) = xy 1+x sin 2 (x−y) +y 2 +xyz gần điểm(1; 1; 0) Tính xấp xỉ f(1,01; 0,99; 0,02).
1.3.10 Một tấm kim loại hình chữ nhật kích thước3m− ×4m khi gặp nóng bị giãn ra, mỗi mét chiều dài ước lượng sẽ giãn ra thêm1cm Hãy ước lượng nhanh (không dùng máy tính) lượng gia tăng của diện tích tấm kim loại.
1.3.13 Hàmf(x, y)thỏa phương trìnhfxx+fyy = 0, phương trình Laplace, được gọi là một hàm điều hòa Hãy kiểm các hàm sau có phải là hàm điều hòa hay không.
1.3.14 Hãy kiểm hàm f(x, t) =sin(cx)e −c 2 t , vớic là một hằng số thực, thỏa phương trình truyền nhiệt ft=fxx.
1.3.15 Hãy kiểm hàmu(x, t) = (2cos(ct) + 3sin(ct))sinx, vớiclà một hằng số thực, thỏa phương trình truyền sóng utt=c 2 uxx.
Các tính chất của đạo hàm
Đạo hàm của hàm hợp
Trong phép tính vi phân của hàm nhiều biến, chúng ta đã biết cách tính đạo hàm của hàm hợp, và bây giờ sẽ mở rộng phương pháp này để áp dụng cho các hàm có nhiều biến Phương pháp này giúp xác định đạo hàm riêng của các hàm phức tạp hơn, từ đó nâng cao khả năng phân tích và xử lý các bài toán trong lĩnh vực toán học Hiểu rõ cách tính đạo hàm cho hàm nhiều biến là nền tảng quan trọng trong việc nghiên cứu các hàm phức tạp và ứng dụng trong thực tế.
Sau đây là một ví dụ bài toán đạo hàm của hàm hợp.
Ví dụ 1.4.1 Giả sử f(x, y) = x 2 y 3 , với x(t) = t 4 và y(t) = t 5 Đặt z(t) f(x(t), y(t)) Tìm dz dt
Ta có thể đưa ra một lý luận dựa trên xấp xỉ tuyến tính như sau Vì
∆z≈fx(x, y)∆x+fy(x, y)∆y nên chia hai vế cho ∆t ta được
∆t qua giới hạn khi ∆t→0ta được z 0 (t)≈fx(x, y)x 0 (t) +fy(x, y)y 0 (t).
Định lý 1.4.2 cho phép tính đạo hàm của hàm hợp theo biến độc lập t bằng công thức xấp xỉ chính xác: nếu hàm số f(x, y) và các hàm số x(t), y(t) khả vi liên tục, thì đạo hàm của z(t) = f(x(t), y(t)) theo t được tính bằng tổng các đạo hàm riêng nhân với đạo hàm của biến tương ứng, cụ thể là dz/dt = ∂f/∂x * dx/dt + ∂f/∂y * dy/dt Công thức này giúp xác định đạo hàm của hàm hợp trong các tình huống phức tạp và có ý nghĩa quan trọng trong phân tích toán học và ứng dụng thực tiễn.
Trong toán học, người ta thường hiểu hàm theo nghĩa của hàm hợp để làm cho công thức ngắn gọn và tránh phải đặt thêm biến mới, đồng thời thường viết tắt là df/dt = ∂f/∂t.
Tổng quát hơn, trong trường hợp x vày là hàm của tvà các biến khác nữa, thì các đạo hàm theo ttrở thành các đạo hàm riêng:
Chứng minh này tiến hành chính xác hóa lời giải bằng cách thay các ước lượng xấp xỉ bằng các đẳng thức cụ thể, sử dụng định lý giá trị trung bình để xác nhận tính chính xác của phương trình.
∆z=f(x+∆x, y+∆y)−f(x, y) = [f(x+∆x, y+∆y)−f(x, y+∆y)]+[f(x, y+∆y)−f(x, y)]. Áp dụng Định lý giá trị trung bình Lagrange, có hai số thực 0< θ 1
