Số thực
Tập hợp và ánh xạ
Trong mục này ta điểm qua một số khái niệm và phép toán mà phần lớn đã có trong chương trình trung học, chủ yếu để ôn tập.
Trong môn học này, tập hợp là một khái niệm ban đầu không được định nghĩa.
Một tập hợp có thể được hiểu là một nhóm các đối tượng có đặc điểm chung, trong đó các đối tượng này được gọi là các phần tử của tập hợp Tập hợp giúp phân loại và tổ chức các đối tượng dựa trên đặc tính chung, từ đó dễ dàng tiến hành phân tích và nghiên cứu Các phần tử trong tập hợp có thể là các số, đồ vật, hoặc bất kỳ đối tượng nào phù hợp với tiêu chí xác định của tập hợp đó Hiểu rõ về khái niệm tập hợp là nền tảng quan trọng trong môn Toán học và các lĩnh vực khoa học khác.
Trong toán học, ký hiệu x∈A được sử dụng để chỉ rằng phần tử x thuộc tập hợp A, trong khi x∈/A thể hiện rằng x không thuộc tập hợp A Tập hợp không chứa phần tử nào được gọi là tập hợp rỗng, ký hiệu là ∅, có vai trò quan trọng trong lý thuyết tập hợp Để mô tả một tập hợp, người ta thường liệt kê các phần tử của nó, phương pháp này phù hợp cho các tập hợp có ít phần tử, giúp dễ dàng hiểu và xác định nội dung của tập hợp.
Ví dụ 1.1.1 Nếu tập hợp A chứa đúng 4 phần tử x, y, z và t thì ta viết A {x, y, z, t}.
Tập hợpB gồm các ngày trong tuần được viết là
B ={Thứ Hai, Thứ Ba, Thứ Tư, Thứ Năm, Thứ Sáu, Thứ Bảy, Chủ Nhật}.
Tổng quát, để mô tả một tập hợp, ta cần xác định các tính chất đặc trưng của các phần tử trong tập hợp đó, chỉ ra những đặc điểm mà chỉ các phần tử đó mới có Nếu tập hợp A bao gồm các phần tử thỏa mãn tính chất P, nghĩa là các phần tử của A làm đúng mệnh đề P, thì ta ký hiệu tập hợp này là {x | x có tính chất P} Cách viết này giúp mô tả tập hợp một cách rõ ràng và chính xác dựa trên đặc điểm chung của các phần tử của nó, là một phương pháp rõ ràng trong lý thuyết tập hợp và toán học.
Ví dụ 1.1.2 Tập hợpC gồm các sinh viên năm nhất học môn Vi tích phân 1 có thể được viết là:
C={sinh viên năm nhất|học môn Vi tích phân 1}.
1.1 SỐ THỰC 5 Để minh họa trực quan tập hợp ta có thể dùng biểu đồ như trong Hình 1.1.1.
Hình 1.1.1: Biểu đồ minh họa một tập hợp chứa 4phần tử.
Nếu mọi phần tử của tậpA cũng là phần tử của tậpB thì ta nói Alà tập con củaB và kí hiệu A⊂B.
Ví dụ 1.1.3 Cho A={x, y, z}và B={x, y, z, t} thìA⊂B
Hai tập hợp A và B bằng nhau khi và chỉ khi mỗi phần tử của A đều thuộc về B và ngược lại, mỗi phần tử của B đều thuộc về A, thể hiện rằng A = B Thuật ngữ này giúp xác định hai tập hợp có elements hoàn toàn trùng khớp nhau, mang ý nghĩa quan trọng trong toán học và lập trình Ký hiệu A = B dùng để biểu thị rằng hai tập hợp này là identical hoặc trùng nhau, đảm bảo tính toàn diện của các phần tử trong cả hai tập hợp.
Các phép toán trên tập hợp
Hợp hay hội của hai tập hợp Avà B là tập hợp gồm tất cả các phần tử của A và tất cả các phần tử củaB, kí hiệuA∪B.
Ví dụ 1.1.4 ChoA={a, b, x, z}vàB ={a, c, x, y}thìA∪B={a, b, c, x, y, z}.
Giao của hai tập hợpA vàB là tập hợp gồm tất cả các phần tử của Amà cũng là phần tử củaB, kí hiệuA∩B.
Ví dụ 1.1.5 Cho A={a, b, x, z} vàB ={a, c, x, y}thì A∩B ={a, x}
Hiệu của tậpAvà tậpB là tập gồm tất cả các phần tử củaAmà không là phần tử của B, kí hiệuA\B.
Ví dụ 1.1.6 Cho A={a, b, x, z} vàB ={a, c, x, y}thì A\B={b, z} NếuB ⊂A thì A\B được gọi là phần bù củaB trong A.
Ví dụ 1.1.7 Cho A={a, b, c, x, y, z} vàB ={a, b, x, z}thì A\B={c, y}
Tích của tập hợpA với tập hợpB là tập hợp gồm tất cả các cặp có thứ tự(x, y) với x∈A vày∈B, kí hiệuA×B.
Người ta có thể diễn đạt được cặp có thứ tự như là một trường hợp của tập hợp.
Trong tập hợp A×B = {(a, x), (a, y), (b, x), (b, y)}, ánh xạ là một khái niệm quan trọng về mối quan hệ giữa các tập hợp, thể hiện sự liên kết giữa các phần tử của chúng Cụ thể, ánh xạ f từ tập hợp X đến tập hợp Y là một hàm số ánh xạ mỗi phần tử x thuộc X sang đúng một phần tử y thuộc Y, đảm bảo sự tương ứng chính xác giữa các phần tử trong hai tập hợp.
Người ta có thể diễn đạt được ánh xạ như là một trường hợp của tập hợp.
Trong toán học, ánh xạ thường được ký hiệu dưới dạng f : X → Y, với x7→ y = f(x) Tập X được gọi là tập hợp nguồn hoặc miền xác định của ánh xạ, trong khi tập Y là tập hợp đích của ánh xạ Một phần tử y được gọi là ảnh của x, còn phần tử x được gọi là tiền ảnh của y Đối với tập con A của X, tập hợp tất cả các ảnh của các phần tử trong A qua ánh xạ f được gọi là tập ảnh của A qua f, ký hiệu là f(A) Ảnh của miền xác định X, còn gọi là miền giá trị của ánh xạ f, là tập hợp tất cả các giá trị y có thể nhận được từ các phần tử x trong X qua phép ánh xạ Tương tự, với tập con B của tập Y, tập hợp các tiền ảnh của các phần tử trong B gọi là tập tiền ảnh của B.
B qua ánh xạf là tiền ảnh của B quaf và được kí hiệu bởi f −1 (B).
Một ánh xạ đơn ánh là một hàm trong đó hai phần tử khác nhau trong tập xác định sẽ có hai ảnh khác nhau trong tập bất kỳ Cụ thể, điều này được biểu thị bằng kí hiệu: đối với mọi x₁, x₂ thuộc tập X, nếu x₁ khác x₂ thì f(x₁) khác f(x₂) Ánh xạ đơn ánh đảm bảo rằng mỗi phần tử trong miền có ảnh riêng biệt, góp phần quan trọng trong việc xác định tính injective của hàm.
Trong toán học, một ánh xạ được gọi là toàn ánh khi mọi phần tử của tập đích đều là ảnh của ít nhất một phần tử trong tập xác định, tức là f : X → Y thỏa mãn điều kiện f(X) = Y Điều này có nghĩa là mọi phần tử y trong tập Y đều có tiền ảnh x trong X sao cho y = f(x) Bên cạnh đó, một ánh xạ là song ánh khi nó đồng thời là đơn ánh và toàn ánh, đảm bảo tính duy nhất của ánh xạ và phạm vi chứa tất cả các phần tử của tập đích.
Hình 1.1.2: Biểu đồ minh họa các loại ánh xạ.
Giả sửf :X →Y là một song ánh thì với bất kỳ y∈Y tồn tại duy nhất một x∈X sao cho f(x) =y, khi đó ánh xạg:Y →X xác định bởig(y) =xđược gọi là
1.1 SỐ THỰC 7 ánh xạ ngược củaf, và thường được kí hiệu là f −1 Xem Hình 1.1.3.
Hình 1.1.3: Biểu đồ minh họa ánh xạ ngược.
Cho ánh xạf :X→Y vàg:Y →Z thì ánh xạ hợp g◦f được định nghĩa bởi g◦f :X→Z,(g◦f)(x) =g(f(x)).
Ví dụ 1.1.9 ChoX ={a, b}, Y ={c, d, e},Z ={i, j, k},f :X→Y, vàg:Y →Z.Giả sửf(a) =cvà g(c) =i, thì (g◦f)(a) =g(f(a)) =g(c) =i.
Quy tắc suy luận toán học
Nội dung mục này đã có một phần ở trung học, nên người học có thể chưa đọc ngay, để lại tra cứu sau khi cần.
Trong toán học, các kết quả được trình bày dưới dạng các mệnh đề rõ ràng Mỗi mệnh đề toán học chỉ mang một trong hai giá trị: đúng hoặc sai, đảm bảo tính chính xác và minh bạch của các kết quả Toán học không chấp nhận mâu thuẫn, vì không thể có một mệnh đề đồng thời đúng và sai cùng lúc, điều này giữ vững tính logic và tính hợp lý của lĩnh vực này.
Với mệnh đề A thì mệnh đề đúng khi và chỉ khiA sai được gọi là mệnh đề phủ định của mệnh đềA, thường được kí hiệu làA.
Ví dụ 1.1.10 Phủ định của mệnh đềx∈A là mệnh đềx∈/A
Với hai mệnh đề Avà B, mệnh đề mới “A hayB” là đúng khi và chỉ khi có ít nhất một trong hai mệnh đềA vàB là đúng.
Mệnh đề “Avà B” đúng khi và chỉ khi cả hai mệnh đề “Avà” và “B” đều đúng, đảm bảo tính logic chính xác và hợp quy luật Phủ định của “A hay B” là “phủ định A và phủ định B”, thể hiện rằng ít nhất một trong hai mệnh đề không đúng Trong khi đó, phủ định của “A và B” là “phủ định A hoặc phủ định B”, đảm bảo tính chính xác theo quy tắc phủ định trong logic học Việc hiểu rõ các quy luật này giúp nâng cao khả năng phân tích và chứng minh các mệnh đề trong logic chính xác và hiệu quả.
Giả sử mỗi phần tửx thuộc tậpD tương ứng với một mệnh đềT(x) Mệnh đề
“tồn tại phần tử x thuộcD mà mệnh đề T(x) là đúng” được viết bằng kí hiệu là
∃x∈D, T(x) Mệnh đề “với mọi phần tử x thuộcD mệnh đề T(x) là đúng” được viết bằng kí hiệu là ∀x∈D, T(x) 1
Phủ định của mệnh đề “tồn tại phần tử x thuộc D mà mệnh đề T(x) là đúng” chính là “với mọi phần tử x thuộc D, mệnh đề T(x) là sai.” Đây là quy tắc phủ định cơ bản trong logique, giúp chuyển đổi từ một khẳng định tồn tại sang một khẳng định về tính chất chung của tất cả các phần tử trong tập D Hiểu rõ quy tắc phủ định này rất quan trọng trong lý thuyết tập hợp và các lĩnh vực liên quan đến logic toán học.
“với mọi phần tử x thuộc Dmệnh đề T(x) là đúng” là mệnh đề “tồn tại phần tử x thuộcD mệnh đềT(x)là sai”.
Trong các văn bản toán học, các “mệnh đề” được trình bày rõ ràng trong các đoạn riêng biệt, như Mệnh đề 1.1.12 dưới đây, và chúng đều được xác nhận là đúng Các định lý và hệ quả cũng là những mệnh đề có tính chính xác cao, đóng vai trò quan trọng trong việc phát triển lý thuyết toán học Việc phân biệt rõ ràng các mệnh đề, định lý và hệ quả giúp nâng cao độ chính xác và rõ ràng trong các tài liệu toán học.
Suy diễn và chứng minh
Toán học phát triển dựa trên một số nhỏ khái niệm và mệnh đề nền tảng, từ đó sử dụng các quy tắc suy luận để dẫn đến những mệnh đề mới Quá trình này đảm bảo các lý luận toán học có tính chặt chẽ, chính xác, giúp xác định tính đúng hoặc sai của các mệnh đề một cách rõ ràng Việc tuân thủ quy tắc suy luận toán học là yếu tố then chốt để thẩm định độ tin cậy của các kết quả trong toán học.
Cho hai mệnh đềA vàB.
Mệnh đề “A dẫn tới B” hay “A kéo theo B” (ký hiệu là A ⇒ B) đúng khi và chỉ khi A đúng và B đúng hoặc A sai Mệnh đề này sai khi và chỉ khi A đúng và B sai Trong suy luận toán học, nếu bắt đầu từ một giả thiết đúng, ta phải dẫn đến một kết luận đúng; ngược lại, nếu giả thiết sai, quá trình suy luận có thể dẫn đến kết luận sai Hiểu rõ về mệnh đề “A ⇒ B” giúp nâng cao kiến thức về logic toán học và đảm bảo tính chính xác trong các suy luận khoa học.
Nếu mệnh đề “A dẫn tới B” đúng, thì A là điều kiện đủ để đạt được B, còn B là điều kiện cần thiết cho A Điều này có nghĩa là khi A xảy ra, B sẽ chắc chắn xảy ra, nhưng để A xảy ra thì B phải có mặt; nếu không có B, A không thể tồn tại.
Phủ định của “A dẫn tới B” là “A và không B”, mang ý nghĩa “có A nhưng không có B” Khi cả hai mệnh đề “A dẫn tới B” và “B dẫn tới A” đều đúng, thì A và B được coi là hai mệnh đề tương đương, thể hiện bằng ký hiệu A ⇐⇒ B Đây là khái niệm quan trọng trong logic học giúp kiểm tra tính tương đương của các phát luận.
Lưu ý rằng mệnh đề A⇒B (nếu có A thì có B) không tương đương với mệnh đề đảo của nó là B⇒A Thay vào đó, mệnh đề A⇒B chỉ tương đương với mệnh đề phản đảo của nó là ¬B⇒¬A (nếu không có B thì không có A) Hiểu rõ sự khác biệt này giúp chúng ta áp dụng logic chính xác trong xây dựng và phân tích các mệnh đề điều kiện.
Ví dụ 1.1.11 Mệnh đề “học chăm chỉ thì đạt môn Vi tích phân” tương đương với
Rớt môn Vi tích phân không chỉ đơn thuần là do học không chăm chỉ, mà còn có thể xuất phát từ nhiều yếu tố khác Tuy nhiên, việc học chăm chỉ vẫn là yếu tố quan trọng để đạt được thành công trong môn học này Không phải ai học chăm chỉ cũng đều vượt qua môn Vi tích phân, vì vậy cần có phương pháp học hiệu quả và phù hợp Ngược lại, có người học chăm chỉ nhưng vẫn gặp khó khăn và rớt môn, chứng tỏ rằng việc học cần đi đôi với kỹ năng và chiến lược học tập đúng đắn.
Mệnh đề “nếux= 2 thìx 2 = 4” tương đương với “nếux 2 6= 4 thì x6= 2”, không tương đương với “nếux6= 2 thì x 2 6= 4”
1 Kí hiệu ∃ (tiếng Anh là Exists) đọc là “tồn tại”, kí hiệu ∀ (tiếng Anh là for All) đọc là “với mọi”.
Trong toán học, một chứng minh là phương pháp xác nhận tính đúng đắn của một mệnh đề A bằng cách trình bày một chuỗi các suy luận hợp lý, bắt đầu từ các mệnh đề đã được xác nhận là đúng và kết thúc tại A Chứng minh giúp đảm bảo rằng mệnh đề A hoàn toàn hợp lý dựa trên các kiến thức đã có, góp phần củng cố tính chặt chẽ của lập luận toán học Việc xây dựng chứng minh rõ ràng và logic là yếu tố quan trọng để xác minh các định lý và giả thuyết trong lĩnh vực toán học.
Nếu có tồn tại một phần tử x trong tập D và mệnh đề T(x) sai, thì mệnh đề " với mọi phần tử x thuộc tập D, T(x) là đúng" sẽ bị phản ví dụ và trở thành sai Điều này nhấn mạnh rằng để khẳng định một mệnh đề đúng cho tất cả các phần tử trong tập D, chúng ta cần kiểm tra tính đúng của T(x) đối với mọi phần tử trong D Phần tử phản ví dụ chính là yếu tố làm cho mệnh đề chung bị sai nếu T(x) không đúng tại đó Vì vậy, việc xác định tính đúng của mệnh đề tổng quát phụ thuộc vào việc kiểm tra từng phần tử trong tập D để đảm bảo toàn bộ mệnh đề đều đúng.
Trong toán học, chứng minh là quá trình xác nhận một mệnh đề là đúng đắn dựa trên việc kiểm tra tất cả các trường hợp có thể xảy ra Điều này đảm bảo tính chính xác và đáng tin cậy của kết luận, tránh việc đưa ra những kết luận chưa được kiểm chứng đầy đủ Chứng minh giúp người học và nghiên cứu phát triển tư duy logic và phân tích chính xác các giả thuyết trong toán học.
Các tập hợp số thường gặp
Số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ
Qua quá trình phát triển lâu dài, con người đã hình thành các khái niệm về số lượng để mô tả thế giới xung quanh Từ việc đếm các đối tượng trong đời sống hàng ngày, chúng ta đã xây dựng khái niệm về các số tự nhiên Các số tự nhiên giúp ghi nhận và thể hiện các lượng vật thể một cách chính xác và rõ ràng Sự tiến bộ này đóng vai trò quan trọng trong việc tổ chức và hiểu biết về thế giới xung quanh chúng ta.
Các tiên đề về số tự nhiên được đưa ra vào cuối thế kỷ 19, xác định sự tồn tại duy nhất của tập hợp gồm các phần tử đặc biệt như 0, 1, cùng các phép toán cộng, trừ, nhân, so sánh và các tính chất quen thuộc từ trung học Các tiên đề này khẳng định rằng tập hợp các số tự nhiên là vô hạn, nghĩa là có thể đánh số và đếm các phần tử của nó bằng các số tự nhiên từ 1 trở đi Một tập hợp được xem là hữu hạn nếu ta có thể liệt kê tất cả các phần tử của nó, còn nếu không thể, thì tập hợp đó được coi là vô hạn Tiên đề đã thừa nhận một cách rõ ràng rằng tập hợp các số tự nhiên là vô hạn, mở ra các khái niệm cơ bản trong lý thuyết số và toán học hiện đại.
Phép quy nạp hay nguyên lý quy nạp toán học là một phương pháp chính xác để mở rộng các kết quả từ những trường hợp đơn lẻ trong tập hợp số tự nhiên Phương pháp này dựa trên nguyên tắc rằng nếu một mệnh đề đúng cho số tự nhiên bắt đầu n0 và đúng với mọi số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng n0, thì mệnh đề đó cũng đúng cho tất cả các số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng n0 Đây là công cụ quan trọng trong toán học để xác nhận tính đúng đắn của các phát biểu tổng quát về tập hợp số tự nhiên.
Trong đoạn này, ta giới thiệu về phép quy nạp trong toán học, cụ thể là mệnh đề 1.1.12 Giả sử tồn tại một số tự nhiên n₀ bất kỳ, và với mỗi số tự nhiên n ≥ n₀, ta có một mệnh đề T(n) phụ thuộc vào giá trị của n Để chứng minh tính đúng đắn của mệnh đề T(n) cho mọi số tự nhiên n ≥ n₀, cần đảm bảo hai điều kiện quan trọng Đầu tiên, xác nhận rằng T(n₀) đúng, tạo nền tảng ban đầu cho phép quy nạp Thứ hai, chứng minh rằng nếu T(n) đúng thì T(n+1) cũng đúng, qua đó mở rộng kết quả cho tất cả các n ≥ n₀ Phép quy nạp là phương pháp mạnh giúp xác nhận các mệnh đề toán học phức tạp dựa trên nguyên lý mở rộng từ nền tảng ban đầu.
(b) với mọi số tự nhiênk≥n 0 , nếu T(k) là đúng thì T(k+ 1) là đúng, thìT(n) là đúng với mọi số tự nhiên n≥n0
Ví dụ 1.1.13 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên nthì n M, cho thấy dãy không giới hạn và tiến ra vô cực Điều này khẳng định rằng giới hạn của dãy là vô cực, viết là n → ∞, phù hợp với các quy tắc về giới hạn trong phân tích toán học.
Cho M ∈R bất kì Lấyp là một số nguyên dương lớn hơnM Nếun≥pthì n 2 ≥p 2 =p×p > M×1 =M.
Vậy theo định nghĩa n→∞lim n 2 =∞.
Ghi chú 1.1.29 Các khái niệm “vô cùng”, “vô cực”, “vô hạn”, các kí hiệu∞ và
Dấu vô cực (−∞) được sử dụng để mô tả các giới hạn, thể hiện các quá trình vượt ra ngoài phạm vi của số thực Tuy nhiên, nó không phải là một số thực và do đó, các phép toán thông thường trên số thực không áp dụng cho vô cực Chính vì vậy, cần hiểu rõ về cách sử dụng và giới hạn của dấu vô cực trong toán học để tránh nhầm lẫn khi thực hiện các phép tính hoặc phân tích các hàm số.
Các kết quả cơ bản về dãy hội tụ
Từ định nghĩa sự hội tụ, ta có thể rút ra các tính chất cơ bản về giới hạn của dãy số, giúp hiểu rõ hơn về hành vi của chúng Những tính chất này thường được sử dụng để khảo sát giới hạn một cách dễ dàng và hiệu quả hơn so với việc trực tiếp áp dụng định nghĩa ban đầu Việc nắm vững các tính chất của giới hạn là nền tảng để phân tích và chứng minh các bài toán liên quan đến dãy số trong toán học.
Mệnh đề 1.1.30 Nếu (a n ) n và (b n ) n là các dãy hội tụ thì:
(a) (an+bn)n là một dãy hội tụ và n→∞lim(a n +b n ) = lim n→∞a n + lim n→∞b n
(b) (an−bn)n là một dãy hội tụ và n→∞lim(a n −b n ) = lim n→∞a n − lim n→∞b n
(c) (anbn)n là một dãy hội tụ và n→∞lim(a n b n ) = lim n→∞a n n→∞lim b n
(d) Nếu ∀n, b n 6= 0 và lim n→∞b n 6= 0 thìa n b n n là một dãy hội tụ và n→∞lim a n bn n→∞lim an n→∞lim bn
Ghi chú 1.1.31 Các trường hợp giới hạn bằng vô cùng không được kể là hội tụ do đó các tính chất trên không áp dụng.
Hàm số
Đồ thị
Trong môn học này, phương pháp Hình học Giải tích do René Descartes khởi xướng từ thế kỷ 17 được sử dụng để mô tả các hình học một cách chính xác và dễ hiểu Phương pháp này dựa trên việc sử dụng tập hợp các số thực \( \mathbb{R} \) để mô hình hóa đường thẳng, và tập hợp \( \mathbb{R}^2 \) để mô hình hóa mặt phẳng Qua đó, các quan hệ trong Hình học Euclid được thể hiện rõ ràng bằng các mối liên hệ giữa các số thực, giúp kết nối giữa hình học cổ điển và đại số một cách hiệu quả.
Cho hàm sốf :D⊂R→R Đồ thị của hàmf là tập hợp tất cả các điểm(x, y) trong mặt phẳngR 2 vớix∈D vày=f(x).
Ví dụ 1.2.2 Đồ thị của hàmf(x) =x 2 ,x∈Rlà tập hợp điểm{(x, y)∈R 2 |y=x 2 } trong R 2
Một đường thẳng trong R² là đồ thị của hàm số dạng y = ax + b (đường thẳng nghiêng) hoặc tập hợp các điểm thẳng x = c (đường thẳng đứng), với a, b, c là các hằng số thực Hệ số góc (hoặc độ nghiêng, độ dốc) của đường thẳng được gọi là tham số a, thể hiện độ dốc của đường thẳng đó Tuy nhiên, khái niệm hệ số góc không áp dụng cho đường thẳng đứng x = c.
Từ hai điểm bất kỳ (x0, y0) và (x1, y1) nằm trên một đường thẳng không thẳng đứng có phương trình y = ax + b, ta xác định rằng y0 = ax0 + b và y1 = ax1 + b Chính vì vậy, hệ số góc của đường thẳng này được tính bằng công thức a = (y1 - y0) / (x1 - x0), thể hiện rõ mối quan hệ giữa các điểm thuộc đường thẳng và đặc điểm của đường thẳng đó.
Công thức tính hệ số góc của một đường thẳng đi qua hai điểm cho trước là cách xác định độ dốc của đường thẳng đó Hệ số góc này không phụ thuộc vào việc chọn điểm A hay điểm B trên đường thẳng, giúp xác định chính xác hướng của đường thẳng trong mặt phẳng (Xem Hình 1.2.1 để hình dung rõ hơn về quy trình tính toán) Công thức này là công cụ quan trọng trong hình học để phân tích và mô tả đặc điểm của các đường thẳng trong không gian hai chiều.
Ví dụ 1.2.3 Hệ số góc của đường thẳng nối hai điểm (4,6) và (0,7) cho bởi
Hệ số góc của đường thẳng là một đặc tính quan trọng trong hình học Euclid, không phụ thuộc vào cách chọn hai điểm để tính Điều này phù hợp với tính chất của tam giác đồng dạng, nơi các đường thẳng song song có cùng hệ số góc Hình 1.2.1 minh họa rõ ràng rằng hệ số góc của đường thẳng vẫn giữ nguyên bất kể điểm nào được chọn làm điểm tính Việc này giúp xác định các đặc điểm chính của đường thẳng trong không gian hai chiều một cách chính xác và nhất quán theo tính chất của hình học Euclid.
Hai đường thẳng được gọi là song song nếu chúng khác nhau nhưng có cùng một hệ số góc hoặc cùng thẳng đứng.
Nhiệt độ theo đơn vị Celsius (x) và Fahrenheit (y) có mối quan hệ tuyến tính rõ ràng, được xác định qua các điểm nổi bật là 0°C tương ứng 32°F ( nhiệt độ đông của nước) và 100°C tương ứng 212°F (nhiệt độ sôi của nước) Để tìm phương trình liên hệ giữa hai đơn vị nhiệt độ này, ta cần xác định phương trình của đường thẳng đi qua hai điểm (0,32) và (100,212) Hệ số góc của đường thẳng này là m= (212−32)/ (100−0), giúp xây dựng công thức quy đổi chính xác giữa nhiệt độ Celsius và Fahrenheit.
5. Điều này có nghĩa là khi nhiệt độ Celsius tăng1 ◦ thì nhiệt độ Fahrenheit tăng 9 5 ◦ Vậy y−32 x−0 = 9
Hàm số sơ cấp
Người đọc đã học môn lượng giác trong chương trình trung học, dựa trên các tính chất quen thuộc của các hàm lượng giác Hình học và lượng giác ra đời từ trước Công nguyên, trong khi môn vi tích phân chỉ mới được phát triển từ thế kỷ 19 dựa trên hệ thống suy diễn từ tập hợp các số thực Một số khái niệm trong hình học và lượng giác như “góc giữa hai đường thẳng”, “góc lượng giác”, và số π chưa được định nghĩa từ tập hợp số thực và chưa phù hợp hoàn toàn với hệ suy diễn của vi tích phân Mặc dù sau này người ta có thể kết hợp hàm lượng giác vào khuôn khổ của vi tích phân, nhưng quá trình này khá phức tạp và không phù hợp với nội dung của môn học này, do đó không được đề cập trong chương trình Người đọc quan tâm có thể tham khảo các tài liệu như [Apo67], [Spi94] để hiểu rõ hơn về các hàm lượng giác trong ngữ cảnh của vi tích phân.
Môn Vi tích phân chủ yếu quan tâm đến các hàm lượng giác để tận dụng các tính chất đặc biệt của chúng, giúp giải các bài toán liên quan hiệu quả hơn Các tính chất của hàm lượng giác như công thức cộng, công thức nhân đôi, và các đồng biến, nghịch biến đều thường được sử dụng để đơn giản hóa các tích phân phức tạp Hiểu rõ các đặc điểm của hàm sin, cos, tan sẽ giúp vận dụng tốt trong quá trình tính toán và giải quyết các bài tập thực hành Những kiến thức này đóng vai trò quan trọng trong việc nâng cao kỹ năng lập luận và phân tích trong môn Vi tích phân.
• sin và cos là hàm số xác định trênR, có giá trị trên[−1,1].
• sin và cos là hàm tuần hoàn có chu kì là2π.
• cos(x+y) =cos(x)cos(y)−sin(x)sin(y).
• sin(x+y) =sin(x)cos(y) +cos(x)sin(y).
• Vớix∈(0, π 2 ) thì cos là hàm giảm, sin là hàm tăng.
• tan= cos sin , cot= tan 1
• Vớix∈(0, π 2 ) thì sinx < x 0\) là một số nguyên dương, thì tồn tại duy nhất một số thực không âm để thỏa mãn \(a^n = x\), điều này có thể chứng minh dựa trên tính đầy đủ của tập hợp số thực Số này được gọi là căn bậc \(n\) của \(x\), ký hiệu là \(\sqrt[n]{x}\) hoặc \(x^{1/n}\) Khi \(n > 0\) và \(m \in \mathbb{Z}\), \(x^{m/n}\) được định nghĩa là \(\sqrt[n]{x^m}\) Ngoài ra, khi \(x > 0\) và \(r \in \mathbb{Q}\), thì \(x^r\) đã được xác định, còn khi \(r \in \mathbb{R}\), việc định nghĩa cần dựa trên quá trình giới hạn, bằng cách xấp xỉ số thực bằng các số hữu tỉ.
Ví dụ 1.2.5 Có thể định nghĩa3
√ 2 bằng cách lấy một dãy số hữu tỉ dươngr n hội tụ về √
Vớir ∈Rcho trước thì hàm f(x) =x r được gọi là một hàm lũy thừa.
Vớia >0 vàa6= 1 cho trước thì hàmf(x) =a x được gọi là một hàm mũ Xem Hình 1.2.3.
Bạn có thể xây dựng một cách chặt chẽ hàm lũy thừa và hàm mũ, đảm bảo chúng đáp ứng các tính chất đã được trình bày trong chương trình trung học Để hiểu rõ hơn về các đặc điểm này, người đọc có thể tham khảo các tài liệu chuyên sâu như [TPTT02], [Apo67] và [Spi94], qua đó củng cố kiến thức một cách vững chắc.
Hình 1.2.3: Đồ thị và dáng điệu của một số hàm mũ Chú ý sự khác nhau giữa trường hợp cơ số lớn hơn1 và trường hợp cơ số nhỏ hơn1.
Hàm mũa x có hàm ngược là hàm lô-ga-rít 1 cơ sốa, kí hiệu là log a Như vậy y=a x ⇐⇒ x=log a y.
Ví dụ 1.2.6 minh họa về một đại lượng A thay đổi theo thời gian, chẳng hạn như dân số của một quần thể hoặc số tiền trong một tài khoản Tại thời điểm ban đầu, t = 0 giây, số lượng của đại lượng A có thể được xác định rõ ràng Hiểu rõ cách biến đổi của đại lượng theo thời gian giúp phân tích xu hướng phát triển và dự đoán giá trị trong tương lai Điều này rất hữu ích trong các lĩnh vực như sinh học, tài chính và quản lý nguồn lực.
Lãi nhập vốn là hiện tượng lượng A tăng lên sau mỗi đơn vị đo thời gian như kỳ hạn nhờ vào lãi suất r, tương tự như tốc độ tăng dân số hoặc lãi suất ngân hàng Lãi này được cộng dồn vào lượng ban đầu, giúp giá trị của A tại thời điểm t xác định rõ hơn Đây là phương pháp tính lãi tích lũy, cho phép chúng ta biết chính xác giá trị của đại lượng A sau một thời gian nhất định.
Sau 1 đơn vị thời gian thì giá trị củaA là
Sau 2 đơn vị thời gian thì giá trị củaA là
A(2) =A(1) +A(1)r=A(1)(1 +r) =A(0)(1 +r) 2 Sau 3 đơn vị thời gian thì giá trị củaA là
1 tiếng Anh là logarithm Đến đây ta có thể dự đoán công thức giá trị củaA saut đơn vị thời gian (cũng làtlần tính lãi nhập vốn) chính là
Các tính toán trên cho thấy ta có thể dễ dàng kiểm tra công thức này là đúng bằng phương pháp quy nạp toán học
Hằng sốelà một số vô tỉ, với biểu diễn thập phân có các chữ số đầu là 2,71828.
1 Hằng số này có thể được định nghĩa là giới hạn của một dãy số hữu tỉ bằng công thức e= lim n→∞
Hàm mũy=e x có hàm ngược được gọi là hàm lô-ga-rít tự nhiên, kí hiệu là ln 2 Vậy y=e x ⇐⇒ x=lny.
Hình 1.2.4: Đồ thị và dáng điệu của hàm mũy=e x và hàm ngược y=lnx.
502 Bad GatewayUnable to reach the origin service The service may be down or it may not be responding to traffic from cloudflared
502 Bad GatewayUnable to reach the origin service The service may be down or it may not be responding to traffic from cloudflared
502 Bad GatewayUnable to reach the origin service The service may be down or it may not be responding to traffic from cloudflared
Ví dụ 1.2.7 Hàm mũf(x) =e x cùng với hàmg(x) =sinxcho hàm hợp(f◦g)(x) f(g(x)) =e sin x và (g◦f)(x) =g(f(x)) =sine x Đây là những hàm sơ cấp
1.2.1 Viết phương trình đường thẳng có tính chất dưới đây:
(a) có hệ số góc là 2và giao với trụcOytại (0,3)
(b) có hệ số góc là−3 và giao với trụcOy tại(0,0)
(c) có hệ số góc là 4và đi qua điểm(1,1)
(d) có hệ số góc là−2 và đi qua điểm(2,−2)
(e) đi qua các điểm(2,3)và(4,5)
(f) đi qua các điểm(2,−4)và(0,3)
(g) đi qua hai điểm(0,8)và(8,0)
(h) có hệ số góc là−1, có giao điểm với trụcOylà(0,−2)
(i) có hệ số góc là−1, đi qua điểm(−4,−4)
(j) đi qua điểm(2,1) song song với đườngy=−4x+ 3
(k) thẳng đứng và đi qua điểm(3,4)
(l) nằm ngang và đi qua điểm(−2,−3).
1.2.2 Giải thích các công thức sau:
1.2.3 Chứng minh các công thức sau:
1.2.5 Dân số nước Việt Nam năm 2019 là 97 triệu người Tốc độ tăng dân số hiện là 1%= 0,01 mỗi năm Nếu tốc độ tăng này không thay đổi thì năm 2029 dân số nước Việt Nam sẽ là bao nhiêu?
1.2.6 Một người gởi3 triệu đồng vào một tài khoản tiết kiệm với lãi suất6%= 0,06một năm, kì hạn (thời điểm tính lãi gộp vốn) là1năm Hỏi sau4năm thì tài khoản có bao nhiêu?Bao lâu thì người đó có được10triệu đồng?
1.2.7 Giá đất đai đã tăng gấp đôi trong 10 năm qua Trong thời gian đó lãi suất tiết kiệm ngân hàng vào khoảng8%/năm Hình thức nào có lợi hơn, đầu tư đất đai hay gởi tiết kiệm?
1.2.8 Năm 2016 GDP (tổng sản phẩm xã hội - Gross Domestic Product) của Việt Nam là
Vốn đầu tư nước ngoài tại Thái Lan đạt 215 tỷ USD, tăng trưởng trung bình 6,7% mỗi năm, phản ánh sức hấp dẫn của nền kinh tế quốc gia này Trong khi đó, GDP của Thái Lan năm 2016 là 409 tỷ USD, với tốc độ tăng trưởng 2,8% mỗi năm, cho thấy nền kinh tế Thái Lan vẫn duy trì đà tăng trưởng ổn định Giả sử hai tốc độ tăng trưởng này giữ nguyên trong tương lai, thị trường đầu tư và quy mô kinh tế Thái Lan dự kiến sẽ tiếp tục mở rộng, tạo thêm nhiều cơ hội phát triển và thu hút vốn đầu tư nước ngoài.
(a) Khi nào thì GDP của Việt Nam đạt GDP năm 2016 của Thái Lan?
(b) Khi nào thì GDP của Việt Nam đuổi kịp GDP của Thái Lan?
(c) Hãy phác họa đồ thị GDP của hai nước trên cùng hệ trục tọa độ.
Giới hạn của hàm số
Tiếp tuyến, vận tốc, tỉ lệ thay đổi
Các khái niệm về giới hạn hàm số và hàm số liên tục đã được giới thiệu từ thời trung học, nhưng trong phần này, chúng ta sẽ đi sâu hơn vào tìm hiểu ý nghĩa của chúng Ý niệm về giới hạn đã tồn tại từ rất lâu, bắt nguồn từ kiến thức của Archimedes hơn 2200 năm về trước, khi ông sử dụng khái niệm giới hạn để chứng minh rằng chiều dài của đường tròn bằng giới hạn của chu vi các hình đa giác đều nội tiếp khi số cạnh tăng lên vô hạn.
Trước khi đi vào định nghĩa chính xác cho giới hạn hàm số, để làm động lực, chúng ta thảo luận các bài toán dẫn tới khái niệm này.
Trong hình học, tiếp tuyến của đường tròn được định nghĩa là đường thẳng giao với đường tròn tại đúng một điểm Tuy nhiên, đối với các đường cong phức tạp hơn, cách xác định tiếp tuyến không còn đơn giản Trong hình 2.1.1 (b), hai đường thẳng l và t qua điểm P trên đường cong C thể hiện những tình huống điển hình: đường l giao với C đúng một điểm nhưng không có vẻ là tiếp xúc, còn đường t có vẻ tiếp xúc nhưng thực chất lại cắt đường cong tại hai điểm Do đó, khái niệm "tiếp tuyến" dù quen thuộc và dễ hiểu trong một số trường hợp, lại chưa thể xác định rõ ràng trong các trường hợp phức tạp hơn.
Dưới đây ta xét một ví dụ để tìm hiểu khái niệm này.
Ví dụ 2.1.1 Tìm phương trình đường tiếp tuyến cho parabol y = x 2 tại điểm
Để xác định hệ số góc của đường tiếp tuyến tại điểm P trên parabol, ta cần tìm một điểm Q(x, x²) gần điểm P Hệ số góc của đường tiếp tuyến bằng giới hạn của hệ số góc của đường thẳng PQ khi điểm Q tiến sát điểm P Cụ thể, hệ số góc của đường thẳng cát tuyến PQ được tính bằng công thức mPQ = (x² - 1) / (x - 1).
Từ Hình 2.1.2 ta thấy khiQ càng gầnP,x càng gần1 thì hệ số góc càng gần tới một số thực nhất định.
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm P có thể ước lượng là 2, đây chính là giới hạn của hệ số góc của các đường cát tuyến PQ khi Q tiến về P Minh họa cho hiện tượng này được trình bày rõ ràng trong Hình 2.1.3, giúp hình dung quá trình tiếp tuyến tiếp cận với các đường cát tuyến xung quanh điểm P.
Nếu hệ số góc của tiếp tuyến đúng thực là2 thì phương trình đường thẳng có hệ số góc bằng2 đi qua điểm (1,1)là y−1 = 2(x−1) hay là y= 2x−1.
Như vậy ý then chốt là: tiếp tuyến tại P chính là “giới hạn” của cát tuyếnP Q khi “Q tiến vềP”
2.1 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 31 x y
Hình 2.1.3: Tiếp tuyến tạiP là giới hạn của cát tuyếnP Q khiQtiến vềP từ bên phải và từ bên trái.
Vị trí của chúng ta thay đổi theo thời gian khi di chuyển, và vận tốc trung bình là tỉ số giữa sự thay đổi vị trí và khoảng thời gian thực hiện, thể hiện tốc độ trung bình trong quá trình di chuyển Trong khi đó, vận tốc tức thời thể hiện tốc độ tại một thời điểm cụ thể, được thể hiện qua bảng đo vận tốc của xe, nơi vận tốc liên tục thay đổi và mỗi lần nhìn đồng hồ đo vận tốc lại cho ra một giá trị khác biệt Vận tốc tức thời chính xác như thế nào và vai trò của nó trong mô tả chuyển động là câu hỏi được nhiều người quan tâm.
Ví dụ 2.1.2 Giả sử một quả bóng được thả rơi từ một vị trí cách mặt đất10 mét. Gọis(t) là quãng đường bóng rơi sautgiây, thì s(t) = 1
2 ã9,8t 2 , với 9,8m/s 2 là hằng số trọng trường Ta tìm vận tốc của quả bóng sau 1giây.
Vận tốc tức thời có thể được ước lượng bằng cách tính vận tốc trung bình trong một khoảng thời gian gần 1 giây Cụ thể, từ 0,95 ≤ t ≤ 1, vận tốc trung bình được xác định bằng tỷ số của lượng thay đổi vị trí chia cho lượng thời gian trôi qua, giúp xác định chính xác tốc độ tại thời điểm gần t = 1 giây.
0,05 = 9,555m/s. Bảng dưới cho ta tính toán vận tốc trung bình trên khoảng thời gian nhỏ dần:
Khoảng thời gian Vận tốc trung bình 0,95≤t≤1 9,555
Ta thấy khi khoảng thời gian ngắn đi thì vận tốc trung bình tiến gần hơn tới một số thực nào đó, có thể là9,8
Vận tốc tức thời tại thời điểm t được hiểu là giới hạn của vận tốc trung bình trên các khoảng thời gian nhỏ dần về không Khi độ dài của các khoảng thời gian này tiến về 0, vận tốc trung bình tiệm cận với vận tốc tức thời Điều này cho thấy vận tốc tức thời phản ánh chính xác hơn về tốc độ của một vật tại chính thời điểm đó Hiểu rõ khái niệm vận tốc tức thời giúp áp dụng tốt trong các bài toán liên quan đến chuyển động và định vị chính xác.
Cả hai bài toán tìm hệ số góc của tiếp tuyến và vận tốc tức thời đều được biến đổi thành một bài toán chung: xác định giới hạn của biểu thức (f(x)−f(a))/(x−a) Việc này giúp hiểu rõ hơn về đặc tính của hàm số tại điểm a, đồng thời hỗ trợ trong việc tính toán hệ số góc của tiếp tuyến cũng như vận tốc tức thời trong các ứng dụng thực tế Trong SEO, việc nhấn mạnh vào "giới hạn của biểu thức (f(x)−f(a))/(x−a)" là chìa khóa để tăng khả năng tìm thấy nội dung qua các công cụ tìm kiếm, đồng thời làm rõ mối liên hệ giữa các bài toán trong phân tích toán học.
2.1 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 33 khix “tiến về”a Số thực này đo tỉ lệ lượng thay đổi của một đại lượngf(x) so với lượng thay đổi của đại lượng xmà nó phụ thuộc vào tại một giá trị nhất định của đại lượng đó là a Nó cho ta một số đo phản ánh đại lượngf(x) thay đổi như thế nào khix thay đổi Đây là một đại lượng then chốt khi ta khảo sát các hiện tượng trong thế giới, là đề tài và công cụ chủ yếu của phép tính vi tích phân, được gọi là đạo hàm mà ta sẽ tìm hiểu chi tiết ở chương tiếp theo Chúng ta thấy rằng để xây dựng khái niệm này cần xây dựng khái niệm “giới hạn” trước Ta làm điều này ngay tiếp theo đây.
Giới hạn của hàm số
Khi hàm số \(f(x)\) xác định gần điểm \(a\), nhưng có thể không xác định tại \(a\), ta nói rằng giới hạn của \(f(x)\) khi \(x\) tiến về \(a\) là một số thực \(L\) Điều này có nghĩa là, nếu \(f(x)\) lấy giá trị gần \(L\) tùy ý khi \(x\) đủ gần \(a\) nhưng khác \(a\), thì ta viết giới hạn là \(\lim_{x \to a} f(x) = L\) Giới hạn này phản ánh cách mà hàm số tiếp cận giá trị của nó khi \(x\) tiến sát điểm \(a\).
Khái niệm giới hạn có thể được diễn đạt đơn giản hơn nhưng ít tổng quát hơn là khi x tiến gần hơn tới một giá trị cụ thể, thì giá trị của hàm số f(x) sẽ gần tới L hơn Điều này giúp hiểu rõ hơn về cách hàm số tiếp cận giá trị khi biến số x thay đổi trong một phạm vi nhỏ Trong toán học, khái niệm giới hạn đóng vai trò quan trọng trong việc phân tích sự liên tục và tính chất của hàm số, đặc biệt khi xem xét hành vi của hàm khi x tiến tới một điểm nhất định.
Chof là một hàm hằng, nghĩa là có một số thực c sao cho chof(x) = c với mọi x ∈ R Điều này cho thấy, khi x tiến tới a, giá trị của f(x) luôn bằng c, tức là lim x → a của f(x) bằng c Có thể diễn đạt ngắn gọn hơn như sau: lim x → a của f(x) = c.
Ví dụ 2.1.4 Chof(x) =x với mọix∈R Rõ ràng, với mọi a∈R, khi x gần tớia thìf(x) =x cũng gần tớia Vậy x→alimx=a.
Trong khái niệm giới hạn, giả thiết x₀ = a được đặt ra nhằm mục đích cho phép ta phân tích các giới hạn tại những điểm mà hàm không xác định được, như ví dụ minh họa dưới đây Điều này giúp rõ ràng hơn trong việc hiểu và vận dụng định nghĩa giới hạn trong toán học, đặc biệt khi hàm số không xác định tại điểm đó Việc xác định giới hạn tại các điểm này rất quan trọng trong việc nghiên cứu tính liên tục và các đặc trưng của hàm số.
Ví dụ 2.1.5 Xét x→1lim x−1 x 2 −1. Khi xgần 1 nhưng khác 1ta có x−1 x 2 −1 = 1 x+ 1, mặc dù hai vế không bằng nhau khix= 1 Do đó x→1lim x−1 x 2 −1 = lim x→1
Có thể dự đoán giá trị của giới hạn này là 1 2 , xem Hình 2.1.4.
Ví dụ minh họa rõ ràng rằng khi tìm giới hạn của hàm số \(f(x)\) khi \(x\) tiến đến \(a\), ta không cần xét giá trị của hàm tại điểm \(a\) Hàm \(f\) thậm chí không cần xác định tại \(a\) để tính giới hạn Điều này có nghĩa giới hạn tại \(a\) phụ thuộc vào cách hàm \(f\) tiếp cận điểm đó, chứ không phải giá trị của hàm tại \(a\) Hình 2.1.5 mô tả rõ hơn về khái niệm này, nhấn mạnh rằng giới hạn không bị ảnh hưởng bởi giá trị của hàm tại điểm đó.
(c) Hình 2.1.5: limx→af(x) =Ltrong cả ba trường hợp (dấu tròn rỗng tại một điểm chỉ rằng điểm đó không thuộc đồ thị).
2.1 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 35 Định nghĩa chính xác của giới hạn Ở mục này khái niệm giới hạn được chính xác hóa và được viết ở dạng kí hiệu, tương tự như cách viết khái niệm giới hạn của dãy ở Định nghĩa 1.1.22 Tuy có vẻ hơi trừu tượng nhưng cách viết này chỉ là lượng hóa khái niệm giới hạn ở trên, giúp ta làm được các lý luận phức tạp hơn. Điểma∈Dđược gọi là một điểm tụ hay một điểm giới hạn của Dnếu mọi khoảng mở củaRchứa ađều chứa một điểm củaD kháca Có thể thấy điều này đồng nghĩa với việc có một dãy các phần tử của Dkhácamà hội tụ vềa Một điểm tụacủa tậpDkhông nhất thiết phải thuộc D, nhưng luôn có phần tử củaD không phải làamà gần atùy ý.
Điểm 0 là một điểm tụ của tập R \ {0}, trong khi đó, điểm 0 không phải là điểm tụ của tập {0} ∪ (1,∞) Định nghĩa 2.1.7 giới thiệu về giới hạn của hàm số f khi tiến gần đến điểm tụ a trong tập D, xác định rằng giới hạn của f(x) bằng số thực L khi x tiến đến a nếu với mọi ε > 0, có tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x ∈ D, nếu 0 < |x - a| < δ thì |f(x) - L| < ε.
|f(x)−L|< Viết hoàn toàn bằng kí hiệu thì
Hình 2.1.6: Giới hạn của hàm số f.
Trong định nghĩa này, "f(x) gần L bất kỳ" được lượng hóa bằng khoảng cách giữa hai số thực f(x) và L, cụ thể là |f(x) − L| nhỏ hơn một số dương cho trước bất kỳ Bên cạnh đó, "x đủ gần a nhưng không bằng" được hiểu là khoảng cách giữa hai số thực x và a, tức là |x − a| nhỏ hơn một số dương δ nào đó nhưng khác 0 Đây chính là định nghĩa-δ phổ biến trong giải tích, giúp xác định sự gần đúng của hàm số khi x tiến đến a.
Sau đây là một số ví dụ để minh họa.
Ví dụ 2.1.8 Kiểm rằng lim x→2(2x−1) = 3.
Bước 1: Phân tích để dự đoán δ Cho trước >0, ta muốn tìm δ >0 sao cho nếu|x−2|< δ thì|(2x−1)−3|< Vì|(2x−1)−3|=|2x−4|= 2|x−2|nên nếu
|(2x−1)−3|< δ thì2|x−2|0, chọnδ =/2 Nếu0 0 ta có f(x) = 1, nên limx→0 + f(x) = limx→0 + 1 = 1 Khi x < 0 ta có f(x) = 0, nên limx→0 + f(x) =limx→0 + 0 = 0
Sau đây là một mệnh đề giúp ta nhận biết sự tồn tại giới hạn của một hàm số tại một điểm thông qua các giới hạn một phía:
Mệnh đề 2.1.23 (a) Nếu limx→af(x) tồn tại và bằng L thì limx→a + f(x) và limx→a − f(x) nếu tồn tại phải bằngL.
(b) Nếu limx→a + f(x) và limx→a − f(x) tồn tại và bằng L thì limx→af(x) tồn tại và bằngL.
Hàm số không có giới hạn tại một điểm khi không tồn tại giới hạn một bên tại điểm đó Ngoài ra, nếu cả hai giới hạn một bên tồn tại nhưng có giá trị khác nhau, thì giới hạn tại điểm đó cũng không tồn tại Điều này giúp xác định rõ các trường hợp hàm số không xác định giới hạn tại một điểm nhất định.
Chứng minh rằng nếu limₓ→a f(x) = L và giới hạn hai phía tồn tại, tức là limₓ→a− f(x) = L và limₓ→a+ f(x) = L, thì theo định nghĩa giới hạn, ta có thể khẳng định rằng cả giới hạn bên trái và bên phải đều bằng L Điều này thể hiện sự liên kết chặt chẽ giữa các giới hạn tại điểm tỉ lệ thuận với tính liên tục của hàm số tại điểm đó Việc xác định giá trị giới hạn bên trái và bên phải là bước quan trọng trong việc chứng minh tính hội tụ của hàm số xung quanh điểm a.
Trong trường hợp giới hạn bên trái và bên phải của hàm số đều tồn tại và bằng L, tức là limₓ→a⁻ f(x) = L và limₓ→a⁺ f(x) = L, ta có thể chọn δ₁, δ₂ > 0 sao cho khi x thuộc miền xác định D và khoảng cách |x−a| nhỏ hơn δ₁ hoặc δ₂ thì |f(x)−L| nhỏ hơn một giá trị tùy ý Lấy δ = min {δ₁, δ₂}, ta có thể chứng minh rằng với mọi x thuộc D sao cho 0 < |x−a| < δ thì |f(x)−L| < ε, qua đó khẳng định rằng limₓ→a f(x) = L, đảm bảo sự liên tục của hàm số tại điểm a.
Ví dụ 2.1.24 Tìm giới hạn của x→0lim
−x x =−1 là hai số khác nhau nên giới hạn lim x→0
Giới hạn của hàm số khi x tiến tới vô cùng được định nghĩa là số thực L sao cho hàm số f(x) gần L khi x đủ lớn Cụ thể, nếu với mọi số dương ε, tồn tại một số M dương sao cho với mọi x > M, thì |f(x) − L| < ε, ta nói rằng x → ∞ giới hạn của f(x) bằng L Điều này có nghĩa là khi x tiến tới vô cùng, f(x) tiến gần đến L, thể hiện khả năng kiểm soát sự biến thiên của hàm số trong giới hạn vô cùng.
Tương tự ta nói x→−∞lim f(x) =L nếuf(x) gầnL tùy ý miễn x đủ nhỏ Chính xác hơn, nếu với mọi số dươngtồn tại một số dương M sao cho nếu x M ⇐⇒ |x|< √ 1
M, vậy trong định nghĩa chỉ cần lấy δ= √ 1
Ví dụ 2.1.30 Ta có thể kết hợp tất cả các loại giới hạn trên: x→∞lim x=∞, x→∞lim x 2 =∞, x→−∞lim x 2 =∞, x→−∞lim x 3 =−∞.
Trong quá trình phân tích, một trong hai thừa số tiến ra vô cùng (∞), trong khi thừa số còn lại tiến về giá trị 2, dẫn đến tích tổng thể rõ ràng tiến về vô cùng (∞) Quá trình này có thể dễ dàng hiểu rõ hơn thông qua ví dụ tương tự như trong Ví dụ 1.1.37 Người ta thường tóm tắt lý luận này bằng cách sử dụng giới hạn, cụ thể là lim x→∞ x³, để thể hiện xu hướng của tích khi x tiến tới vô cùng.
2.1.1 Cho đồ thị hàm trong Hình 2.1.10.
Hãy tìm các giới hạn của hàm, gồm cả giới hạn trái và giới hạn phải nếu có, tại:
2.1 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 45
2.1.2 Cho đồ thị của hàm trong Hình 2.1.11.
Hình 2.1.11 Hãy tìm các giới hạn của hàm, gồm cả giới hạn trái và giới hạn phải nếu có, tại:
2.1.3 Giả sử limx→1f(x) =−3, limx→1g(x) = 5 Hãy tìm:
2.1.4 Hãy giải thích mệnh đề sau có nghĩa là gì? x→2lim x 2 −x−2 x 2 +x−6 = 3
Mệnh đề này là đúng hay sai, tại sao?
2.1.5 Tính các giới hạn sau:
2.1.6 Sử dụng Định lý kẹp, hãy chỉ ra x→0limx 2 cos20πx= 0.
Hãy vẽ đồ thị để minh họa kết quả trên.
2.1.7 Sử dụng Định lý kẹp, hãy chỉ ra x→0limx 3 sinπ x = 0.
Hãy vẽ đồ thị để minh họa kết quả trên.
2.1.9 Nếu2x≤g(x)≤x 4 −x 2 + 2 với mọix, tìm limx→1g(x).
2.1.11 Tìm giới hạn sau nếu tồn tại:
Tìm các giới hạn sau nếu tồn tại
2.1.13 Có sốanào sao cho x→2lim
2x 2 −2ax−a−1 x 3 −3x−2 tồn tại không? Tìm giới hạn đó.
2.1 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 47
0, xlà số vô tỉ.Tìm limx→0f(x).
Chứng minh rằng limₓ→0 f(x) = 0 Hãy vẽ đồ thị của hàm số này (có thể sử dụng phần mềm máy tính) để quan sát rõ ràng rằng, dù giới hạn của hàm tại 0 là bằng 0, nhưng không đồng nghĩa với việc f(x) gần 0 hơn khi x tiến gần 0 Điều này giúp chúng ta hiểu rõ hơn về khái niệm giới hạn và sự khác biệt giữa giới hạn của hàm và giá trị của hàm tại điểm đó, đặc biệt trong ngữ cảnh phân tích hàm số.
