58 Đề toán vào lớp 10 chuyên các tỉnh năm 2025

58 Đề toán vào lớp 10 chuyên các tỉnh năm 2025...........................................................................................................

Tailieumontoan.com



Điện thoại (Zalo) 039.373.2038

58 ĐỀ TOÁN VÀO 10 CHUYÊN NĂM 2025

(Liệu hệ tài liệu word có đáp án SĐT (zalo) : 039.373.2038)

Link nhóm Zalo cộng đồng: https://tailieumontoan.com/zalo KÊNH YOUTUBE:https://www.youtube.com/@tailieumontoan507

Tài liệu sưu tầm, ngày 20 tháng 3 năm 2025

 b) Cho a, b, c dương thỏa abc(a + b + c) = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao BE, CF cắt nhau tại H, AH cắt BC tại D

Gọi M là trung điểm của HC, N là trung điểm của AC, AM cắt HN tại G Đường

thẳng qua M vuông góc với HC và đường thẳng qua N vuông góc với AC cắt nhau

tại K

a) Chứng minh tứ giác AFDC nội tiếp

b) Tính giá trị của biểu thức

c) Giả sử tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R), AO cắt BC tại P, BO cắt AC tại

Q, CO cắt AB tại T Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P AP BQ CT = + + theo

đến 4 Chọn ngẫu nhiên hai thẻ từ hộp Hỏi có bao nhiêu cách để chọn được hai thẻ

vừa khác màu vừa khác số

b) Một công ty phân bón cần sản xuất ra một loại phân bón chứa 30% potassium

Họ có hai loại nguyên liệu: loại A chứa 24% potassium và loại B chứa 40%

potassium Tính khối lượng của mỗi loại nguyên liệu cần sử dụng để được hỗn hợp

500 kg chứa 30% potassium

Bài 4: Cho tam giác nhọn ABC ( ABAC ) nội tiếp đường tròn ( O ), các đường cao AD BE CF, ,

của tam giác ABC cắt nhau tại diểm H Dường tròn dường kính AH cắt ( )O tại diểm K K( khác

)

A Các tiếp tuyến tại B C, của ( )O cắt nhau tại điểm S Giao điểm của hai đường thẳng SO BC,

là M Đường thẳng SK cắt ( )O tại điểm L L( khác K) Chứng minh rằng:

(1) 2

SB =SL SK

(2) MB là tia phân giác của KML và SKB=MKC

(3) Dường thẳng KD di qua trung diểm của SM

Bài 5: Cho đa giác đều A A1 , 2 ,  ,A2026 Tại mỗi đỉnh A k, người ta ghi một số nguyên a k ( k =

1, 2, , 2026) sao cho a i a j; i j, 1; 2; ; 2026 , i j và giá trị tuyệt đối của hiệu hai số ghi trên

hai đỉnh kề nhau là một số không lớn hơn 5 Tìm giá trị lớn nhất của a i−a j ; i j, 1, 2,  , 2026

(Dành cho thí sinh thi chuyên Toán, Tin hoc)

Thời gian làm bài: 150 phát (Không kể thời gian giao đề)

í

ï + - + + =ïïî

2) Một sân trường hình chữ nhật A B CD (hình minh họa bên) Nhà trường muốn thiết kế hai nhà vệ sinh

dành cho giáo viên và học sinh ở hai vị trí E và B sao cho AE = 40 m, DE = 10 m,A B = 80 m Trên

cạnh CD người ta muốn chọn một vị trí F để khoan giếng cấp nước cho hai nhà vệ sinh Hỏi tổng doạn

đường ống nước ngắn nhất từ giếng khoan đến hai nhà vệ sinh là bao nhiêu mét?

Câu 3 (3,0 điểm)

1) Cho tam giác A BC nhọn, không cân (A B < A C) nôi tiếp đuờng tròn ( )O Kẻ các duờng cao

, ,

A D BE CF ( D E F, , là chân các đường cao) cắt nhau tai điểm H Đường thẳng EF cắt đường tròn

( )O tại P Q, (F nằm giữa P và E ), đường thẳng EF cắt B C tại điểm M

a)Chứng minh: MP MQ = ME MF.

b) Gọi N là điểm đối xứng của O qua đường thẳng B C Chứng minh: N là tâm đường tròn ngoại tiếp

tam giác HBC

c) Đường thẳng đi qua H , song song với A B và cắt A C tại điểm X Đường thẳng đi qua H , song song

với A C và cắt A B tai điểm Y Chứng minh: Đường trung trục của đoạn thẳng X Y đi qua điểm O

2) Một logo như hình vẽ bên Phần tô đậm là giao của các cặp hình tròn ngoai tiếp các tam giác

V V V tính diện tích phần tô đậm ( theo đơn vị cm2 ), biết rằng tam giác A BC đều có

cạnh bång 20 cm,G là trọng tâm của tam giác A BC (lấy p = 3, 14, kết quả làm tròn đến hàng phần chục)

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 2

Website: tailieumontoan.com

Câu 4 (2,0 điểm)

1) Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: 3x2- y2 - 2xy- 2x - 2y + 8 = 0

2) Cho số nguyên dương n và biểu thức 2 2 2

2) Cho đa giác đều 2025 cạnh Người ta sơn các đỉnh của đa giác bằng hai màu xanh hoặc đỏ Chứng

minh tồn tại ba đỉnh được sơn cùng một màu tạo thành một tam giác cân

- HẾT -

ĐỀ THI TUYỂN SINH 10 TỈNH BẮC NINH

MÔN TOÁN CHUYÊN Lời giải đề thi vào 10 môn Toán chuyên tỉnh Bắc Ninh

năm học 2025-2026

Lớp Toán thầy Khánh chuyên Sư phạm

1 Đề bài Câu 1 (2,0 điểm)

(1) Không dùng máy tính, chứng minh rằng biểu thức 1 1

+ + + + đạt giá trị nhỏ nhất, (3) Bạn Nga dùng một dây vải màu để buộc một gói quà có dạng hình trụ (như hình vẽ) Hình trụ có bán kính đáy 5 cm và diện tích xung quanh 2

376,8 cm Biết rằng cần 10 cm dây vải dùng để thắt nơ, giao điểm của hai vòng dây vải là tâm các đường tròn đáy của gói quà Hỏi bạn Nga cần phải chọn dây vải có chiều dài ít nhất là bao nhiêu (lấy   3,14 )?

Câu 4 ( 1,5 điểm)

(1) Cho p là số nguyên tố khác 2, hai số tự nhiên a b, thoả mản a b+ chia hết cho p, và a b− chia hết cho p −1 Chứng minh rằng b a

a +b chia hết cho 2 p

(1) Hai bạn Minh và Huy chơi một trò chơi như sau: Minh chọn ngẫu nhiên một số trong tập hợp

7;8;9;10;12; Huy chọn ngẩu nhiên một số trong tập hợp 5;6;8;9;13;14 Bạn nào chọn dược số lớn hơn thì sẽ là ngırời thắng cuộc Nếu hai số chọn được bằng nhau thì kết quả là hoà Tính xác suất để bạn Minh không thua cuộc

(2) Cho hình thoi ABCD có

ˆ

60

A = và AC =6 cm Chứng minh rằng, với 25 điểm bất kì trong hình thoi này thì luôn tồn tại hai điểm có khoảng cách không vượt quá 1 cm

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM HỌC 2025-2026 Môn thi: TOÁN (chuyên) Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) (Dành cho thí sinh thi vào Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn) Bài 1:

Rút gọn biểu thức P và tìm tất cả các giá trị của x để P là số nguyên

Bài 2: Trên cùng một mặt phẳng tọa độ, cho Parabol 2

Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O), các đường

phân giác của tam giác cắt nhau tại I Đường thẳng vuông góc với AI tại I lần lượt cắt các đường thẳng BC, AB, AC tại các điểm D, E, F Đường tròn (O) cắt tia AI tại điểm N (khác A) và cắt đoạn thẳng DN tại điểm K (khác N)

a) Chứng minh rằng tứ giác BEIK nội tiếp

b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt đường tròn (O) tại điểm P (khác A) Chứng minh rằng các đường thẳng PN, BC, IK đồng quy

Bài 5: Trên tia phân giác của góc nhọn xAy lấy điểm O (khác A) và vẽ đường tròn

(O) tiếp xúc với các tia Ax, Ay lần lượt tại B, C Trên các tia Ax, Ay lần lượt lấy các điểm D, E sao cho AB < AD < AE Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng DE Các đoạn thẳng AM, BC cắt nhau tại N Chứng minh rằng ON vuông góc với DE

1 0

x −kxy+y + =

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH QUẢNG NINH

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH TRUNG HỌC

PHỔ THÔNG NĂM HỌC 2025 - 2026 Môn thi: TOÁN (chuyên) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể

thời gian phát đề Câu 1 (2,0 điểm)

Câu 2 (2,0 điểm)

a) Giải phương trình 2 2

x + x x − 5x − = − 2 1 b) Giải hệ phương trình

2

xy x y yx y x 0 8x y 3y 2x 6

A = 2(p + 1)(5q + 29) có thể viết được dưới dạng tích của từ hai số nguyên liên tiếp trở lên

Câu 4 (3,5 điểm) Cho đường tròn (O), đường kính BC (điểm O là tâm của đường

tròn) Điểm A thay đổi thuộc đường tròn (O) sao cho AB  AC và A khác B Điểm H là hình chiếu vuông góc của Á trên đường thẳng BC Điểm D là điểm đối xứng với H qua C, điểm E là điểm đối xứng với H qua A Tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD cắt các đường thẳng EB, ED lần lượt tại M và

N

a) Chứng minh A là trực tâm tam giác BED

b) Chứng minh M thuộc đường tròn (O)

c) Khi điểm A thay đổi và thỏa mãn các giả thiết của bài toán, tìm vị trí điểm A để AM.AN lớn nhất

Câu 5 (0,5 điểm) Bạn Bình có 18 thẻ gỗ, mỗi thẻ được đánh một số bất kì từ 1 đến

2526 (mỗi số trên mỗi thẻ là một số tự nhiên) Chứng minh rằng bạn Bình có thể chọn ra 3 thẻ sao cho ba số trên 3 thẻ đó là độ dài ba cạnh của một tam giác

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH

Đề chính thức

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

NĂM HỌC 2025-2026 Môn thi: TOÁN (Chuyên) Thời gian: 150 phút, không kể thời gian phát đề I-PHẦN GHI KẾT QUẢ

Câu 1 Tìm m để phương trình 2 ( )

2 1 3 0

x − m+ x− = có hai nghiệm là các số nguyên

Câu 2 Cho các số a b, thỏa mãn a b+ =2 Tính 3 3

Biết điểm trung bình của 40 bài kiểm tra trên là 7,6 Tìm m n,

Câu 5 Cho đa thức ( ) 3 2

1

P x =x +ax +bx+ Biết P x( ) chia cho 2

1

x − dư 2x +5 Tìm a b,

Câu 6 Cho  là góc nhọn thoả mãn cot =2 Tính 2

cos 4sin cos 3

Câu 9 Tìm m để đường thẳng ( )d :y=(m+2)x m− cắt parabol ( ) 2

Câu 11 Một hình nón có thể tích 3

96

V = dm Biết tỷ số giữa đường cao và đường sinh của hình nón là 4

5 Tính diện tích xung quanh của hình nón

Câu 12 Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có 3 chũ số đôi một khác nhau Bạn An chọn ngẫu nhiên một

số trong tập hợp A Tính xác suất bạn An chọn được số chẵn

Câu 14 (1 điểm) Tìm tất cả các số nguyên tố p q, sao cho p q+ và p+ 4q đều là các số chính phương

Câu 15 (2 điểm) Cho tam giác ABC nhọn (ABAC) nội tiếp đường tròn ( )O Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Đường thẳng AI cắt đường tròn ( )O tại D (khác A ), đường thẳng qua I

vuông góc với AD cắt đường thẳng BC tại S Gọi J là điểm đối xứng của I qua O

a) Chứng minh D là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC và SDJ là tam giác vuông

b) Gọi P là hình chiếu vuông góc của S trên đường thẳng OI Gọi M là trung điểm BC và Q là giao điểm (khác M ) của MI với đường tròn ngoại tiếp tam giác OMS Chứng minh ba điểm A P, , Q thẳng hàng

Câu 16 (1 điểm) Cho các số x y z, , thoả mãn 0 x y z, ,  1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

-Hết -

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Bài 6 (0,50 điểm)

Cho đa giác A A1 2A2024 là đa giác đều 2024 đỉnh, trong đó đỉnh A2009 được tô đỏ, các đỉnh còn lại được tô xanh

Đổi màu các đỉnh của đa giác theo quy tắc:

Mỗi lần chọn 4 đỉnh của 1 hình chữ nhật rồi đổi màu đồng thời 4 đỉnh ấy (đỏ thành xanh và

xanh thành đỏ)

Hỏi sau một số hữu hạn lần đổi màu như vậy, có thể thu được kết quả đỉnh A2009 và A997 cùng màu hay không ? Vi sao ?

-HẾT -

LỜI GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2025 - 2026

Kì thi tuyển sinh vào 10 thành phố Hà Nội

Môn thi: Toán (vòng 2)

Câu 1

1 Giải bơi của một trường Trung học cơ sở ban đầu chỉ có học sinh khối 6,7 và 8 đăng kí tham gia với số liệu học sinh được cho như trong biểu đồ cột kép ở hình bên Ngay trước khi giải đấu diễn ra, có thêm 6 học sinh nam khối 9 và một số học sinh nũ khối 9 đăng kí

bổ sung Biết rằng tỉ lệ học sinh nữ so với tổng số học sinh đăng kí tham gia giải trước

và sau khi các học sinh khối 9 đăng kí bổ sung là không thay đổi Tìm số học sinh nữ khối 9 đã đăng kí thi đấu

2 Cho a b c, , là các số thực khác 0 , thỏa mãn a b c+ + 0 và ab bc ca+ + = 0 Tính giá trị của biểu thức P 21 2 1 2 1

Câu 2

1 Cho a b c, , là các số nguyên thỏa mãn 2 2 2

3a −bc b,3 −ca c,3 −ab đều chia hết cho 4 Chứng minh abc chia hết cho 8

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2

Câu 4

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB AC), nội tiếp đường tròn ( )O Hai đường cao AD CF,của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC Tia MH cắt đường tròn ( )O tại điểm T Kẻ đường kính AK của đường tròn ( )O

1 Chứng minh ba điểm T H K, , thẳng hàng

2 Đường thẳng qua B và vuông góc với đường thẳng AM tại điểm E, cắt đường thẳng

AD tại điểm G Đường tròn ngoại tiếp tam giác MDG cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ADC tại hai điểm D và N Chứng minh đường thẳng NE song song với đường thẳng BF

3 Kẻ dây cung AX của đường tròn ( )O sao cho đường thẳng AX song song với đường thẳng BC Chứng minh ba đường thẳng MX TD, và AN dồng quy

Câu 5

Hai trường trung học cơ sở A và B tổ chức chung một buổi liên hoan cho các học sinh tiêu biểu Biết rằng trong buổi liên hoan này:

(i) Mỗi học sinh trường A quen với đúng 5 học sinh khác cũng của trường A;

(ii) Mỗi học sinh trường A quen với đúng 4 học sinh trường B;

(iii) Mỗi học sinh trường B quen với đúng 3 học sinh trường A;

(iv) Tổng số học sinh của hai trường tham dự không vượt quá 80

1 Số học sinh trường A tham dự buổi liên hoan có thể là 25 học sinh được không? Vì sao?

2 Tổng số học sinh của hai trường tham dự buổi liên hoan có thể nhiều nhất là bao nhiêu?

Vì sao?

Câu V (3,0 điểm) Cho đường tròn (𝑂), đường kính 𝐴𝐵 Xét dây cung 𝐶𝐷 không đi qua 𝑂, không

vuông góc với 𝐴𝐵 và 𝐶𝐷 cắt 𝐴𝐵 tại 𝐼 Gọi 𝐻, 𝐾 lần lượt là hình chiếu vuông góc của 𝐼 lên 𝐴𝐶 và 𝐴𝐷

1 Chứng minh hai tam giác 𝐼𝐻𝐾 và 𝐵𝐶𝐷 đồng dạng

2 Chứng minh 𝑆△𝐴𝐶𝐷 > 4𝑆△𝐻𝐼𝐾

3 Tiếp tuyến tại điểm A của (𝑂) cắt 𝐶𝐷 tại 𝑇 Hai đường thẳng 𝐵𝐶 và 𝐵𝐷 cắt tia 𝑇𝑂 lần lượt tại 𝐸

và 𝐹, 𝐴𝐹 cắt (𝑂) tại 𝑃, 𝐴𝐸 cắt (𝑂) tại 𝑄 Chứng minh tứ giác 𝐶𝐷𝑃𝑄 là hình chữ nhật

Câu VI (1,0 điểm) Cho tập hợp 𝑆 = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12}

1 Bạn Hà chọn ngẫu nhiên một số 𝑎 thuộc 𝑆 và nhỏ hơn 8 , bạn Nam chọn ngẫu nhiên một số 𝑏 thuộc 𝑆 và lớn hơn 7 Sau đó các bạn Hà, Nam ghép hai số đã chọn thành số 𝑎𝑏 Tính xác suất

𝑎𝑏 chia hết cho 3

2 Tìm số nguyên dương 𝑘 nhỏ nhất sao cho với mọi cách lấy 𝑘 số thuộc 𝑆 luôn tồn tại hai số 𝑥, 𝑦 với 𝑥 > 𝑦 trong 𝑘 số đã lấy sao cho 𝑥 + 𝑦 chia hết cho 𝑥 − 𝑦

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

1 Chứng minh rằng hai tam giác CJM và CIA đồng dạng

2 Gọi P là giao điểm khác I của đường thẳng CI và đường tròn ngoại tiếp tam giác AID, đường thẳng PM cắt đường thẳng JD tại N Chứng minh rằng bốn điểm N M J C, , , thuộc một đường tròn

3 Gọi T là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BNC Chứng minh khi B C, thay đổi trên ( )O thì T

luôn thuộc một đường cố định

Câu 5 (1,0 điểm)

Cho bảng vuông 7 7 gồm 49 ô vuông đơn vị như hình vẽ Có 37 con robot được đặt vào tâm của các ô vuông đơn vị sao cho không có 2 con robot cùng nằm trong một 0 Các con robot được lập trình để di chuyển đồng loạt, với cùng tốc độ, theo nguyên tắc như sau: Ban đầu, mỗi con đều di chuyển sang tâm của một ô vuông đơn vị bất kỳ chung cạnh với ô vuông nó đang đứng Sau đó, mỗi khi chạm vào tâm của ô vuông đến, nó sẽ quay một góc 90 và di chuyển tiếp theo hướng đó sang tâm của ô tiếp theo và cứ tiếp tục di chuyển như thế (một ví dụ về cách di chuyển của một con robot như hình vẽ) Chứng minh rằng dù ban đầu có đặt các con robot như thế nào thì vẫn luôn có một thời điểm mà có hai con robot ở chung một ô vuông

-Hết -

Môn thi: TOÁN (Chuyên)

Thời gian làm bài: 150 phút

P x =x +ax b+ với a b, là các hệ số nguyên Chứng minh rằng nếu P(1+ 2)=2024 thì

cả các số nguyên dương n để sau hữu hạn lần chỉ thực hiện biến đổi ( )T , ta có thể đưa hết tất cả các viên

bi có trên bảng lúc đầu về nằm trong cùng một ô vuông đơn vị của bảng

-Hết -

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN

Đề chính thức

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU

NĂM HỌC 2025-2026 Môn thi: TOÁN Thời gian: 150 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1 (2,0 điểm)

a) Biết rằng ( 2 )( 2 )( 2 ) ( 2 )

1 + 1 2 + 1 3 +  1 n + 1 chia hết cho 12972, vói n là số nguyên dương Chứng

minhn 649

b) Tìm các số nguyên dương a b, thỏa mãn các điều kiện sau: a b − là số nguyên tố, ab là số chính

phương và a b+ − chia hết cho 5 3

Câu 2 (7,0 điểm)

a) Giải phương trình

2 2

2

4

5( 2)

x x

x

− b) Giải hệ phương trình

Kết thúc năm học, thầy giáo chọn ngẫu nhiên bốn trong năm bạn lớp 9A gồm: An , Bình, Cường,

Dũng, Thảo để dự hội nghị tuyên dương

a) Tính xác suất để trong bốn bạn được chọn có bạn An

b) Ban tổ chức chuẩn bị bốn phần quà khác nhau dành riêng cho mỗi bạn lớp 9A tham dự Tại hội

nghị, do quên ghi tên trên quà nên ban tổ chức đã phát ngẫu nhiên quà cho bốn bạn, mỗi bạn nhận một phần quà Tính xác suất của biến cố "có ít nhất một bạn nhận đúng phần quà của mình"

Câu 4 (7,0 điểm)

Cho ABC nhọn (ABAC) nội tiếp đường tròn tâm O , bán kính R Các đường cao AD BE CF, ,

của ABC cắt nhau tại H Đường kính AK của đường tròn ( )O cắt EF tại N

a) Chứng minh tứ giác BKNF nội tiếp và AKD=AHN

b) Đường thẳng qua C song song với AB cắt đường thẳng BE tại M Gọi Q là giao điểm của BC

và HK, đường thẳng EF cắt QM tại P Chứng minh BPC vuông

c) Giả sử A C, và đường tròn ( )O cố định, ACR 3, điểm B di động trên cung lớn AC Xác định

vị trí của điểm B để tổng chu vi của các tam giác AEF, BFD CED, lớn nhất

Trên bảng có dãy số 1; 2;3;  ; 2025 ta thực hiện như sau: Nếu trên bảng có 4 số a b c d; ; ; sao cho

d= + + thì ta xóa 4 số đó và viết 3 số a b c a b b c c+ ; + ; +a lên bảng Giả sử tại một thời điểm trên

bảng còn n số: a a1 ; 2 ;  ;a n Chứng minh rằng a14+a24+a34+ +a n4− 9 chia hết cho 12 và n 1520 Giám thị coi thi không giải thích gì thêm