Đề Thi Học Sinh Giỏi TOÁN 12 - THPT Lê Quý Đôn - Thái Bình [2009 - 2010] pps

1/ Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với AB tại B... 1/ Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với AB tại B.

Sở Giáo dục - Đào tạo Thái Bình

Trường THPT Lê Quý Đôn

*********

Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12

Năm học 2009 – 2010 Môn: Toán

Thời gian làm bài: 180 phút

Bài 1: (6 điểm)

1/ Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số: 2 3 m 3

y x x

x

    có 3

điểm cực trị

Khi đó chứng minh rằng cả 3 điểm cực trị này đều nằm trên đường cong có phương trình: y  3( x  1)2

2/ Cho đồ thị (C) có phương trình: y x   4 x2  2 x  1

Tìm trên trục tung điểm A sao cho qua A kẻ được ít nhất một tiếp tuyến đến đồ thị (C)

Bài 2: (3 điểm)

Cho các góc của tam giác ABC thoả mãn: sin2 A  sin2 B 2005sin C

Biết góc A, B nhọn Tính góc C

Bài 3: (4 điểm)

Trong hệ trục toạ độ 0xy cho 3 điểm A(0;a), B(b;0), C(-b;0) với a>0, b>0 1/ Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với AB tại B

2/ Gọi M là một điểm bất kỳ trên đường tròn ở câu 1/ Gọi d1, d2, d3 lần lượt là khoảng cách từ M tới AB, AC và BC Chứng minh rằng: d d1 2  d23

Bài 4: (5 điểm)

1/ Giải phương trình: 2004x  2006x  2.2005x

2/ Với giá trị nào của m bất phương trình:

nghiệm đúng với mọi x    0;2

Bài 5: (2 điểm)

Xét các số thực x, y thoả mãn:

Hãy tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của P x y  

-Đáp án và biểu điểm

Bài 1: 1/ Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số:

y x x

x

    có 3 điểm cực trị

Khi đó chứng minh rằng cả 3 điểm cực trị này đều nằm trên

đường cong có phương trình: y  3( x  1)2

3 đ

1/ + TXĐ: D R \ 0   

2

y ' 2x 3

+ Hàm số có ba cực trị  y ' 0  có ba nghiệm phân biệt x , x , x1 2 3 và

đổi dấu qua các nghiệm đó

1 2

phương trình f(x) 2x  3  3x2   m 0 có ba nghiệm phân biệt

1 2 3

CĐ CT

f(0) 0







1 2

 Xét f(x)     m 0 m 0 

x 1







1 2

Hàm số đạt cực đại tại x 0   fCĐ  f(0)   m

Hàm số đạt cực tiểu tại x 1   fCT  f)(1)    1 m

CĐ CT

Do đó hàm số có 3 cực trị    1 0

1 2

* Gọi 3 điểm cực trị là A(x ;y ), B(x ;y );C(x ;y )1 1 2 2 3 3 với x , x , x1 2 3 là

ba nghiệm của f(x) 2x  3  3x2   m 0

+ Chứng minh:

Với hàm số

u(x)

v(x)

0

0 (x )

0

u '(x ) y

v '(x )

2

Từ đó

1

2

2

2

Chứng tỏ toạ độ 3 điểm cực trị thoả mãn phương trình:

2/ Cho đồ thị (C) có phương trình: y x   4 x2  2 x  1

Tìm trên trục tung điểm A sao cho qua A kẻ được ít nhất một tiếp tuyến đến đồ thị (C)

3 đ

4

4

+ Tính

2

4x 1

y ' 1



 

+ Lấy điểm M(x ;y ) (C)0 0   y0  x0  4x20  2x0  1

 Tiếp tuyến (d) của (C) tại M có phương trình dạng:

0

2 0

2

1 2

+ Gọi A d 0y    A(0;a)

2 0

2

0 2





+ Xét hàm số:

0

0 (x ) 2

a f



  TXĐ: R.

Có

0

3x



(x ) (x )

    

0

(x )

-0

(x )

f

1 2



1

1

2

Với 0 1

2

2

Bài 2 Cho các góc của tam giác ABC thoả mãn:

Biết góc A, B nhọn Tính góc C

3 đ

+ Do C là góc của tam giác nên0 sin C 1   2005sin C sin C  1

2

4R sin A 4R sin B 4R sin C

cosC 0 (2)

+ Chứng minh: sin A sin B sin C 2.cos A.cos B.cosC2  2  2  1

2

Do đó: 2005sin C sin C 2 2.cos A.cos B.cosC  2   (*)

cos A.cos B.cosC 0

1 2

2

Bài 3: Trong hệ trục toạ độ 0xy cho 3 điểm A(0;a), B(b;0), C(-b;0) với

a>0, b>0

1/ Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với AB tại B

2 đ

Giả sử đường tròn (C): (x   )2   (y  )2  R2 thoả mãn đầu bài

+ Có AB, AC đối xứng nhau qua 0y  I( ; ) 0y nên =0     1 2

+ (C) tiếp xúc với AB tại B

2

2 2

b

R AB







 



 

2

4 2 2

b a b

a





 



 

Vậy đường tròn (C) có phương trình:

2

1 2

2- Gọi M là một điểm bất kỳ trên đường tròn ở câu 1/ Gọi d , d , d1 2 3

lần lượt là khoảng cách từ M đến AB, AC và BC

2 đ

+ Phương trình đường thẳng AB: x y

Phương trình đường thẳng AC: x y

 Phương trình BC: y=0

1 2

+ Gọi

2

2

b

a

Khi đó:

2

Từ (1)  a x2 20  a y2 20  2.a.b y2 0  a b2 2  0

Thay (3) vào (2) ta có:

2 2 2 2

2 2

 Bài 4 1- Giải phương trình: 2004x  2006x  2.2005x 2 đ

Giả sử x0 là một nghiệm của phương trình

1 2

Nên f(t) liên tục trên  2004;2005  và có f(2005) f(2004) 

x 1 x 1 0

x 1 x 1



1 2

Thử lại x0  0,x0  1 thoả mãn.

Kết luận: Nghiệm phương trình: x=0, x=1

1 2

2- Với giá trị nào của m bất phương trình:

nghiệm đúng với   x   0;2

3 đ

Điều kiện:

2

2 2

4



Bpt (1)

2

0 t 1

t 0

   





1 2

2 4

2 4 2 4



 



2

2



 

Do đó để bất phương trình đã cho nghiệm đúng   x   0;2

2

2



 

 nghiệm đúng   x   0;2

2

2



 

4

 

 

x 0;2

M in f(x) 1 m

Max f(x) 4 m





 





 



Bảng biến thiên:

-1

0

1 2

 

 

x 0;2

x 0;2

M in f(x) 0













KÕt luËn: 2 m 4  

1 2

Bµi 5: XÐt c¸c sè thùc x, y tho¶ m·n:

H·y t×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña P x y  

2 ®

Gi¶ thiÕt (1): x y 3    x 1   y 2  

XÐt hÖ: x y P

 











2 2

P

u v

1 P

2 9

  







(II)

1 2

HÖ (I) cã nghiÖm khi vµ chØ khi hÖ (II) cã nghiÖm u,v: u 0, v 0 

2 2

' 0

b 0 a



 





 



2



2