Đề tài direction field và mô hình quần thể Đa loài sử dụng slope field plotter Để vẽ direction field

-Trong bài tập lớn này, nhóm chúng em tập trung tìm hiểu về Direction Field và các mô hình quần thể đa loài, cũng như cách sử dụng công cụ Slope Field Plotter để vẽ direction field.. 2 D

Khoa Khoa Học và Ứng dụng

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 1

ĐỀ TÀI

Direction Field và Mô hình Quần thể Đa Loài

Sử dụng Slope Field Plotter để vẽ Direction Field

GV hướng dẫn: ThS VÕ TRẦN AN

Nhóm sinh viên thực hiện:

1 2412000 Đường Thanh Mai 100%

2 1914618 Giang Quốc Phong 100%

5 2414150 Đoàn Nguyễn Gia Kiệt 100%

Thành Phố Hồ Chí Minh 2024

1 LỜI NÓI ĐẦU

-Trải qua 2 tháng học tập tại Trường Đại học Bách Khoa TP.HCM, chúng em là thành viên nhóm 4 lớp L25 Giải tích 1 xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy Võ Trần An, hiện đang trực tiếp giảng dạy tại trường Đại học Bách Khoa TP.HCM – Đại học Quốc Gia TP.HCM Sinh viên Đại học Bách Khoa nói chung và bọn em nói riêng xin chân thành biết ơn thầy đã hướng dẫn và truyền đạt những kiến thức nền tảng giúp chúng em hoàn thành tốt đề tài cũng như đào sâu hơn về mộ học Giải tích 1 Trong quá trình thực hiện, không thể tránh khỏi những sai sót, bọn em rất mong nhận được sự đánh giá, góp ý tích cực từ thầy

để nhóm có thể phát triển tư duy và các kỹ năng mềm để hoàn thiện báo cóa hơn Một lần nữa nhóm chúng em xin chân thành cảm ơn

-Bộ môn Giải tích 1 có thể là một môn học vô cùng xa lạ với chúng em nhưng nó lại có vai trò tối quan trọng đặc biệt là các sinh viên thuộc khối ngành khoa học kỹ thuật và công nghệ chúng em Vì vây, việc dành thời gian học tập và áp dụng vào thực tiến cho môn học này là điều cần thiết nhằm nâng cao lối tư duy và xây dựng nền tảng kiến thức vững chắc cho khởi đầu của một môi trường đại học và tạo tiền cho những năm học tiếp theo

-Sự trỗi dậy mạnh mẽ của công nghệ thông tin song song với toán học

đã góp phần đáng kể trong việc nâng cao hiệu quả học tập của các môn toán học nói chung và giải tích 1 nói riêng Việc ứng dụng tin học vào việc xử lý các dữ liệu phức tạp như giải các bài toán và vẽ đồ thị đã giúp tiết kiệm thời gian và tăng tính chính xác Direction Field và Slope Field và ứng dụng của chúng trong Giải Tích 1 là rất cần thiết và có ý nghĩa thực tiễn

-Trong bài tập lớn này, nhóm chúng em tập trung tìm hiểu về Direction Field và các mô hình quần thể đa loài, cũng như cách sử dụng công cụ Slope Field Plotter để vẽ direction field Nói sơ qua thì đây là dạng bài toán ứng dụng của phương trình vi phân nhằm biễu diễn tốc độ thay đổi của quần thể theo thời gian

-Sau đây là phần trình bày nội dung nghiên cứu của chúng em

Mục lục

2.1 Khái niệm về Direction Field 3

2.1.1 Định nghĩa 3

2.1.2 Ứng dụng trong giải phương trình vi phân cấp 1 4 2.1.3 Ứng dụng vào thực tiễn 4

2.1.4 Cách giải phương trình vi phân cấp 1 bằng phương pháp Direction Field 4

2.2 Mô hình quần thể đa loài 5

2.2.1 Khái niệm 5

2.2.2 Ý nghĩa của mô hình quần thể đa loài 7

2.2.3 Ví dụ minh họa 7

3 CÔNG CỤ SLOPE FIELD PLOTTER VÀ ỨNG DỤNG 13 3.1 Slope Field Plotter (công cụ vẽ trường độ dốc) 13

3.1.1 Slope Field Plotter (công cụ vẽ trường độ dốc) là gì? 13

3.1.2 Cách sử dụng công cụ Slope Filed Plotter 13

3.2 Vẽ minh họa Direction Field cho phương trình vi phân cấp 1 17

2 DIRECTION FIELD VÀ MÔ HÌNH

QUẦN THỂ ĐA LOÀI

2.1 Khái niệm về Direction Field

2.1.1 Định nghĩa

- Direction field là tập hợp những đoạn thẳng nhỏ đi qua các điểm xác định trên đồ thị có hệ số góc thỏa mãn phương trình vi phân

đã cho

- Chúng ta có thể áp dụng Direction field vào các phương trình vi phân có dạng:

y = ax + by

Với:

+ y’ là đạo hàm cấp 1 của y

+ a là hệ số đứng trước x ; b là hệ số đứng trước y

- Tại mỗi điểm x0 và y0 cho trước, ta được một giá trị đạo hàm cấp

1 (hay còn được gọi là hệ số góc) Qua đó ta sẽ phác họa được một phần nhỏ của đồ thị y Lặp lại nhiều lần quá trình trên cho đến khi lập được đồ thị của phương trình y

Hình 1: Minh họa Direction field cho phương trình y = ax + by

- Từ đó ta nhận xét rằng đồ thị nghiệm của phương trình vi phân tạo bởi phương pháp Direction field là tập hợp những đoạn thẳng rất nhỏ có hướng và góc xác định tại các điểm x0 và y0 cần xét trên

đồ thị

2.1.2 Ứng dụng trong giải phương trình vi phân cấp 1

- Thông thường, việc giải hầu hết các phương trình vi phân bằng cách tìm ra một công thức rõ ràng là bất khả thi Do đó, trong phần này, chúng ta sẽ chỉ ra được rằng mặc dù không có một công thức rõ ràng nào nhưng phương trình vi phân vẫn sẽ được giải quyết một cách chính xác thông qua phương pháp Direction field (trường định hướng)

- Tóm lại, Direction field là một phương pháp biểu diễn đồ thị nghiệm của phương trình vi phân cấp 1 mà không cần phải giải phương trình

- Hầu hết mục đích của việc giải phương trình đơn giản chỉ là để biết được hình dạng đồ thị nhằm suy ra nghiệm của phương trình Thay vào đó chúng ta có thể dùng phương pháp Direction field

2.1.3 Ứng dụng vào thực tiễn

- Y tế: Kiểm soát sự lây lan của dịch bệnh

- Sinh học: Tìm hiểu sự phát triển của các quần thể đa loài

- Địa chất học: Đo sự thay đổi của các tầng địa chất, phát hiện động đất, sóng thần,

- Hải dương học: Đo dòng chảy, độ mặn, nhiệt độ, của nước

- Kĩ thuật môi trường: Theo dõi một tầng nước ngầm

2.1.4 Cách giải phương trình vi phân cấp 1 bằng phương pháp

Direction Field

a Cơ sở lý thuyết

- Slope field ( trường độ dốc ) biểu diễn phác họa các nghiệm của phương trình vi phân cấp 1 của một hàm vô hướng

- Slope ( độ dốc ) được thể hiện bằng một đường thẳng nhỏ có hướng, biểu thị cho những con số

- Với từng nghiệm thuộc hệ trục tọa độ Oxy củay′ , độ dốc của đường thẳng được vẽ ngay tại điểm đó theo quy ước sau:

+ y′ = 0 biểu diễn là một đường thẳng nằm ngang, song song trục Ox

+ y′ = 1 biểu diễn là một đường thẳng hướng lên 1 góc 45◦

+ y′ = −1 biểu diễn là một đường thẳng hướng xuống 1 góc 45◦

+ y′ = 2 biểu diễn là một đường thẳng hướng lên 1 góc hơn 45◦

+ y′ = −2 biểu diễn là một đường thẳng hướng xuống 1 góc hơn

45◦

+ y′ = ±∞ hay y′ = 10 biểu diễn bằng một đường thẳng thẳng đứng, song song trục Oy

b Ví dụ minh họa

- Từ phương trình vi phân cấp 1: y′ = x + y , ta có bảng giá trị và hình minh họa direction field như sau:

x -2 -1 0 -1 0 1 0 1

y 2 1 0 2 1 0 2 1

y’ 0 0 0 1 1 1 2 2

Hình 2: Minh họa Direction field cho phương trình y’=x+y

2.2 Mô hình quần thể đa loài

2.2.1 Khái niệm

- Mô hình quần thể đa loài có dạng là một cặp các phương trình vi phân được liên kết với nhau

- Mô hình Predator-Prey System được giới thiệu như một ứng dụng thực tế của hệ phương trình vi phân Mô hình này mô tả sự tương tác giữa hai loài sinh vật: loài săn mồi (predator) và loài con mồi (prey)

- Giả định, một hòn đảo biệt lập mà loài săn mồi sinh sống trên đó chỉ có một nguồn thức ăn duy nhất là hươu là con mồi Cuộc sống tiếp diễn binh thường cho đến khi số lượng quần thể hươu nai thay đổi Đặt x(t) là quần thể hươu tại thời điểm t và y(t) là số lượng kẻ săn mồi Giả sử rằng loài hươu khi không bị tác động ngẫu nhiêu phát triển theo một hàm mũ và, tỷ lệ chết đói của quần thể thú săn mồi lớn hơn tỷ lệ sinh nên vì vậy, nó giảm dần cũng theo một hàm

mũ Số lượng hươu bị bắt ăn thịt sẽ phụ thuộc vào tần số chạm trán với mãnh thủ Nếu ta giả sử rằng, nếu sự gặp gỡ xảy ra, có một xác suất cố định rằng mãnh thú sẽ bắt được một con hươu và thời gian

để ăn con hươu đó không đáng kể

- Một trong những mô hình cơ bản nhất để mô tả sự tương tác này là phương trình Lotka-Volterra Hệ phương trình này gồm hai phương trình vi phân, mỗi phương trình mô tả sự thay đổi dân số của một loài theo thời gian:

dR

dt = kR ( k là một hằng số dương )

dW

dt = −rW ( r là một hằng số dương )

- Tuy nhiên, với cả hai loài hiện diện, rằng nguyên nhân chính gây tử vong ở con mồi là bị động vật ăn thịt ăn thịt, và tỷ lệ sinh và sống sót của động vật ăn thịt phụ thuộc vào nguồn cung cấp thức ăn sẵn

có của chúng, cụ thể là con mồi Và giả sử cho rằng hai loài gặp nhau ở tốc độ tỷ lệ thuận với cả hai quần thể và do đó tỷ lệ thuận với RW (Càng có nhiều quần thể thì khả năng gặp nhau càng cao.) Một hệ gồm hai phương trình vi phân kết hợp các giả định này như sau:

dR

dW

Trong đó:

+ R là số lượng của con mồi (ví dụ như: hươu)

+ W là số lượng của động vật săn mồi (ví dụ như: hổ)

+ dRdt và dWdt là chỉ số phát triển về quần thể của hai loài trong một khoảng thời gian

+ t đại diện cho thời gian

+ k,r,a và b là hằng số dương mô tả dân số hai loài

- Mối tương quan trực tiếp giữa con mồi và kẻ săn mồi còn thể hiện qua biểu đồ sau:

Hình 3: Độ biến thiên số lượng loài

2.2.2 Ý nghĩa của mô hình quần thể đa loài

Phương trình này là một trong những công cụ để giải thích nguồn gốc của cân bằng sinh thái Trong một hệ sinh thái, vật chất luân chuyển

từ thành phần này sang thành phần khác Đây là một chu trình tương đối khép kín Trong điều kiện bình thường, tương quan giữa các thành phần của hệ sinh thái tự nhiên là cân bằng Cân bằng sinh thái không phải là một trạng thái tĩnh của hệ Khi có một tác nhân nào đó của môi trường bên ngoài, tác động tới bất kỳ một thành phần nào đó của hệ,

nó sẽ biến đổi Sự biến đổi của một thành phần trong hệ sẽ kéo theo sự biến đổi của các thành phần kế tiếp, dẫn đến sự biến đổi cả hệ

2.2.3 Ví dụ minh họa

Giả sử rằng quần thể linh dương là con mồi và sư tử là thú săn được

mô tả bằng phương trình Lotka-Volterra với thời gian tính bằng tháng

- Tỉ lệ sinh trường tự nhiên của linh dương (r): 0.1

- Tỉ lệ chết do tương tác với sư tử (k): 0.02

- Tỉ lệ chết tự nhiên của sư tử (m): 0.3

- Tỉ lệ sinh trưởng do tương tác với linh dương (n): 0.03

a Tìm các nghiệm không đổi ( được gọi là các nghiệm cân bằng ) và giải thích câu trả lời

b Sử dụng hệ phương trình vi phân để tìm biểu thức

c Vẽ trường hướng cho phương trình vi phân được trong mặt phẳng

RW Sau đó, sử dụng trường hướng đó để phác thảo một số đường cong giải pháp

d Giả sử tại một thời điểm nào đó, có 20 con linh dương và 10 con sư

tử Vẽ đồ thị so sánh sự thay đổi của cả hai

e Sử dụng phần (d) tạo hình minh họa của R và W như các hàm của t GIẢI

a Với các giá trị đã cho của r, k, m, n, có phương trình Lotka-Volterra:

- dRdt = 0.1R − 0.02RW

- dWdt = −0.3W + 0.03RW

- R′ = R(0.1 − 0.02W ) = 0

- W′ = W (0.3 + 0.03R) = 0

- R = 0.030.3 = 10

- W = 0.020.1 = 5

⇒ Quần thể ở trạng thái cân bằng khi có 10 con linh dương và 5 con

sư tử

b Sử dụng Quy tắc Chuỗi để loại bỏ t:

dW

dt =

dW

dt

dR

dt

= −0.3W +0.03RW0.1R−0.02RW

c Xem W là một hàm của R, có phương trình vi phân:

dW

dt = −0.3W +0.03RW0.1R−0.02RW

-Code Matlab:

d Khi biểu diễn các nghiệm của một hệ phương trình vi phân, có mặt phẳng RW là mặt phẳng pha, ta gọi đường cong giải pháp là quỹ đạo pha

-Code Matlab:

Nếu tại thời điểm nào đó có 20 con linh dương ( R = 20 ) và 10 con sư

tử ( W = 10 ), có:

- dRdt = 0.1R − 0.02RW = 0.1 ∗ 20 − 0.02 ∗ 20 ∗ 10 = −2

- dWdt = −0.3W + 0.03RW = −0.3 ∗ 10 + 0.03 ∗ 20 ∗ 10 = 3

⇒Số lượng linh dương đang giảm theo thời gian với tốc độ -2 (con/tháng)

⇒ Số lượng sư tử đang tăng theo thời gian với tốc độ 3 (con/tháng)

⇒ Kết luận: R đang giảm và chuyển động cùng chiều kim đồng hồ quanh quỹ đạo pha

e Từ mô tả ở phần trên về sự thay đổi của quần thể linh dương và sư

tử, ta có thể phác thảo bằng đồ thị

-Code Matlab:

Để có thể dễ dàng so sánh, có thể vẽ hai đồ thị trên cùng một trục nhưng với các tỉ lệ khác nhau cho R và W

-Code Matlab:

⇒ Một phần quan trọng của quá trình mô hình hóa, diễn giải các kết luận toán học của ta dưới dạng các dự đoán trong thế giới thực và kiểm tra các dự đoán so với dữ liệu thực

3 CÔNG CỤ SLOPE FIELD PLOTTER

VÀ ỨNG DỤNG

3.1 Slope Field Plotter (công cụ vẽ trường độ dốc)

3.1.1 Slope Field Plotter (công cụ vẽ trường độ dốc) là gì?

Là công cụ phác họa những đường cong giải pháp cho phương trình vi phân cấp 1 Từ đó có thể phán đoán được nghiệm và đồ thị của phương trình vi phân đó

3.1.2 Cách sử dụng công cụ Slope Filed Plotter

Hình ảnh tổng quan công cụ:

Hình 4: Hình ảnh giao diện công cụ Slope Field Plotte

Một vài tính năng cần biết:

• Bảng dxdy = f (x, y): dùng để nhập phương trình bậc nhất ở dạng

dy

dx = f (x, y) Ta có thể đổi biến bằng cách thay đổi ở “Variables”

• Giới hạn x,y: Ta có thể đặt giới hạn của x và y bất kỳ, tương ứng với những phân đoạn(segments) mà ta đã cho:

• Phương pháp giải: Bằng cách chỉ định các giá trị ban đầu, người dùng có thể thấy các đường cong giải pháp gần đúng với phương trình vi phân ban đầu, với một số lựa chọn cho phương pháp giải: + Phương pháp Euler

+ Phương pháp Euler cải tiến (Heun’s)

+ Phương pháp điểm giữa

+ Runge-Kutta (cả RK4 và "quy tắc 3/8")

+ Runge-Kutta-Fehlberg (RKF) BETA - chỉ hoạt động cho phương trình vi phân thường

- Bên cạnh việc lựa chọn phương pháp, nút “switching” là một sự điều chỉnh tạo ra các giải pháp tốt hơn trong một số trường hợp Nó ảnh hưởng đến tất cả các phương pháp số cho phương trình ngoại trừ RKF (nó không ảnh hưởng đến các giải pháp cho hệ thống).Cụ thể: Nếu, tại bất kỳ thời điểm nào |dydx| > 3 (tức là, nếu các đường tiếp tuyến quá dốc), phương pháp này sẽ chuyển đổi vai trò của x

và y

Ví dụ: đối với phương trình vi phân dydx = −xy (một vòng tròn), đây

là các đường cong giải pháp cho RK4 với h = 0,05 mà không cần chuyển đổi (hình trái) và có chuyển đổi (hình phải)

Cách sử dụng:

• Nhập phương trình vi phân cơ bản vô bảng dy/dx

• Điều chỉnh giới hạn của x,y nếu cần

• Cho các giá trị x,y tương ứng vào ô “enter (x,y)” rồi bấm “sumbit”

⇒ Ta sẽ đươc đồ thị của phương trình vi phân đó (đường cong giải pháp)

Hình 5: Minh họa kết quả đường cong giải pháp của phương trình vi phân

1 vài trang web để sử dụng công cụ vẽ Slope Field Plotter: Bluffton: Slope and Direction Fields for Differential Equations

(bluffton.edu)

3.2 Vẽ minh họa Direction Field cho phương trình

vi phân cấp 1

• Bài toán 1: Vẽ minh họa cho phương trình vi phân cấp 1 y′ = x + y

(1) với y(2) = −1

- Dựa vào phương trình (1) ta vẽ được direction field trên công cụ như sau:

- Với A(2; −1), vẽ được đồ thị Slope field plotter như sau:

• Bài toán 2: Vẽ minh họa cho phương trình vi phân cấp 1 y′ = 6x

(2) với y(0) = −3

- Dựa vào phương trình (2) ta vẽ được direction field trên công cụ như sau:

- Với B(0; −3), vẽ được đồ thị Slope field plotter như sau:

- Qua quá trình thực hiện bài tập lớn Tìm hiểu về Direction field và

mô hình quần thể đa loài này, chúng em đã có cơ hội quý giá để rèn luyện và phát triển nhiều kỹ năng quan trọng trong học tập và làm việc nhóm Đây không chỉ là một nhiệm vụ học tập, mà còn là một trải nghiệm thực tế, giúp chúng em hiểu sâu sắc hơn về ý nghĩa của tinh thần đoàn kết, sự phối hợp và trách nhiệm trong công việc chung Khi cùng nhau chia sẻ ý tưởng, đóng góp giải pháp và hỗ trợ lẫn nhau, chúng em nhận thấy rằng mỗi cá nhân đều có những điểm mạnh riêng, và chính sự phối hợp hài hòa giữa các thành viên

đã giúp chúng em vượt qua các khó khăn, xử lý những thách thức

và đạt được kết quả tốt nhất cho dự án

- Chúng em học được rằng, trong môi trường làm việc nhóm, sự lắng nghe và tôn trọng ý kiến của nhau là yếu tố không thể thiếu để tạo nên sự gắn kết Mỗi thành viên đều đã đóng góp bằng tất cả sự nỗ lực và trách nhiệm của mình, không chỉ hoàn thành phần công việc được giao mà còn sẵn sàng hỗ trợ các thành viên khác khi cần thiết Chúng em đã rèn luyện khả năng giao tiếp, lên kế hoạch, phân chia công việc một cách hiệu quả, cũng như cải thiện khả năng quản lý thời gian để đảm bảo mọi nhiệm vụ được hoàn thành đúng hạn

- Nhờ sự giúp đỡ và hướng dẫn từ thầy An, nhóm chúng em đã tiến

bộ từng bước, từ việc thu thập tài liệu, phân tích dữ liệu, đến triển khai các phương pháp và trình bày kết quả Điều này giúp chúng

em củng cố thêm kiến thức chuyên môn và khả năng ứng dụng lý thuyết vào thực tiễn Cuối cùng, chúng em nhận ra rằng những kỹ năng và bài học có được từ bài tập nhóm này không chỉ hữu ích cho môn học hiện tại mà còn là nền tảng vững chắc cho những dự án

và công việc trong tương lai Chúng em xin cảm ơn thầy và các bạn

đã hỗ trợ và đóng góp cho sự thành công của dự án này