Vectơ cường độ điện trường và vectơ cảm ứng điện - Điện tích thử q đặt trong điện trường chịu tác dụng của lực điện - Tại mỗi điểm của điện trường tỷ số là 1 đại lượng không đổi, được
Trang 11 Các vectơ đặc trưng cho trường điện từ
Có 4 vectơ đặc trưng cho trường điện từ:
- Vectơ cường độ điện trường
- Vectơ cảm ứng điện
- Vectơ cảm ứng từ
- Vectơ cường độ từ trường
a Vectơ cường độ điện trường và vectơ cảm ứng điện
- Điện tích thử q đặt trong điện trường chịu tác dụng của lực điện
- Tại mỗi điểm của điện trường tỷ số là 1 đại lượng không
đổi, được gọi là vectơ cường độ điện trường tại điểm đó.
E
D
) m / V (
E
) m / C (
D 2
) m / Wb (
) m / A (
H
e
F
( ) F e/ q
=
m
V q
F
E
e
F
P
0
q >
2
Chương 2: NHỮNG ĐỊNH LUẬT CƠ BẢN CỦA
TRƯỜNG ĐIỆN TỪ
1 Các vectơ đặc trưng cho trường điện từ
a Vectơ cường độ điện trường và vectơ cảm ứng điện
- Khi đặt điện môi vào điện trường, điện môi bị phân cực.
- Mức độ phân cực của điện môi được đặc trưng bởi vectơ phân
cực điện , chính là moment lưỡng cực điện của một đơn vị thể
tích điện môi bao quanh điểm đó.
E
D
P
∆
∆
=
→
∆ V 0 m 2
C V
p
- Liên hệ vectơ phân cực điện , và vectơ cảm ứng điện được
định nghĩa bởi hệ thức:
P
D
+ ε
m
C P E
π
=
ε
m
F 10 9 4
1
9 0
p
∆ : moment lưỡng cực điện điện môi ∆ V
Trang 21 Các vectơ đặc trưng cho trường điện từ
a Vectơ cường độ điện trường và vectơ cảm ứng điện
- Đối với môi trường tuyến tính, đẳng hướng hoặc cường độ điện
trường không quá lớn, vectơ phân cực điện tỷ lệ với vectơ cường
độ điện trường :
E
D
P
E
P = ε 0 χ e độ cảm điện của môi trường (không có thứ nguyên).
E E E
) (
E E
P E
D = ε + = ε + ε χe = ε + χe = ε εr = ε
E
:
e
χ
với độ thẩm điện tỷ đối của môi trường với chân không.εr = 1 + χe
ε
ε
=
ε
m
F
r
Chương 2: NHỮNG ĐỊNH LUẬT CƠ BẢN CỦA
TRƯỜNG ĐIỆN TỪ
1 Các vectơ đặc trưng cho trường điện từ
b Vectơ cảm ứng từ và vectơ cường độ từ trường
- Vectơ cảm ứng từ được định nghĩa dựa trên lực từ tác động
lên điện tích thử q chuyển động với vận tốc trong từ trường.
B
H
B
m
F
v
- Khi đặt từ môi vào từ trường, từ môi bị phân cực.
- Mức độ phân cực của từ môi được đặc trưng bởi vectơ phân cực
từ , chính là moment từ của một đơn vị thể tích từ môi bao
quanh điểm đó.
B v q
F m
×
=
M
∆
∆
=
→
A V
m
0
V
m
∆ : moment từ của từ môi thể tích∆ V
Trang 31 Các vectơ đặc trưng cho trường điện từ
b Vectơ cảm ứng từ và vectơ cường độ từ trường
- Liên hệ vectơ phân cực từ , và vectơ cường độ từ trường
được định nghĩa bởi hệ thức:
B
H
− µ
=
m
A M
B H
0
π
=
m
H 10
.
0
- Đối với môi trường tuyến tính, đẳng hướng hoặc cường độ từ
trường không quá lớn, vectơ phân cực từ liên hệ với vectơ
cường độ từ trường :
H
χ
=
độ cảm từ của môi trường (không có thứ nguyên).
:
m
χ
M
H
6
Chương 2: NHỮNG ĐỊNH LUẬT CƠ BẢN CỦA
TRƯỜNG ĐIỆN TỪ
1 Các vectơ đặc trưng cho trường điện từ
b Vectơ cảm ứng từ B và vectơ cường độ từ trường
H
H H
H ) 1
( B
H
B
0
µ
= µ µ
= χ
+ µ
=
⇒ χ
−
µ
=
với độ thẩm từ tỷ đối của môi trường với chân không
(không có thứ nguyên)µr = 1 + χm
µ
µ
=
µ
m
H
r
Trang 42 Định luật bảo toàn điện tích – Phương trình liên tục
a Mật độ điện tích Mật độ dòng điện
∆
∆
= ρ
→
C V
q
lim
∆
∆
= σ
→
∆ S 0 m 2
C S
q lim
∆
∆
= λ
→
C l
q
lim
0 l
trong đó là điện tích chứa trong thể tích , trên diện tích
trên yếu tố dài
- Khi đó điện tích chứa trong thể tích V, trên diện tích S, trên
đường C là:
q
l
∆
∫
λ σ
ρ
=
=
C , S , V
dl dS
dV dq
dq
Chương 2: NHỮNG ĐỊNH LUẬT CƠ BẢN CỦA
TRƯỜNG ĐIỆN TỪ
2 Định luật bảo toàn điện tích – Phương trình liên tục
a Mật độ điện tích Mật độ dòng điện
- Cường độ dòng điện I chảy qua mặt S được định nghĩa là:
( )A t
q
I lim
0
∆
=
→
- Mật độ dòng điện , là một vectơ, tại mỗi điểm có hướng là
hướng chuyển động của điện tích dương tại điểm đó, có độ lớn
bằng:
J
∆
∆
=
→
A S
I
J lim
: cường độ dòng chảy qua đặt vuông góc với dòng điện ∆ S
I
∆
Trang 52 Định luật bảo toàn điện tích – Phương trình liên tục
a Mật độ điện tích Mật độ dòng điện
- Từ khái niệm mật độ dòng điện có thể tính cường độ dòng điện
chảy qua mặt S bất kỳ:
∫
=
S S
n dS J dS ( A ) j
j n : thành phần vuông góc với yếu tố diện tích dS J
- Vectơ liên quan đến sự chuyển động của các điện tích tự do gọi
là vectơ mật độ dòng dẫn J
J
E
J
γ
=
: độ dẫn điện của môi trường đo bằng Siemen trên mét (S/m)
γ
- Theo định luật Ohm, liên hệ với vectơ cường độ điện trường
bởi hệ thức:
E
10
Chương 2: NHỮNG ĐỊNH LUẬT CƠ BẢN CỦA
TRƯỜNG ĐIỆN TỪ
2 Định luật bảo toàn điện tích – Phương trình liên tục
b Định luật bảo toàn điện tích – Phương trình liên tục
* Điện tích trong một hệ cô lập về điện không thay đổi.
- Nếu có điện tích q phân bố trong thể tích V giảm 1 lượng – dq
trong thời gian dt thì sẽ có 1 dòng điện chảy ra ngoài mặt S bao
thể tích V và có cường độ:
∫
=
−
S
dS J dt
Thay và = ∫ρ ∫ = ∫
dV J div dS
J dV
0 dV t J
div
dV J div dV
t dV
J div dV
dt
d
V
=
∂
ρ
∂ +
⇒
=
∂
ρ
∂
−
⇒
= ρ
−
⇒
∫
Do V tùy ý
Phương trình liên tục
0 t J
∂
ρ
∂ +
Trang 63 Định luật Gauss đối với điện trường
- Thông lượng của vectơ cảm ứng điện gửi qua mặt kín S bất kỳ
bằng tổng các điện tích tự do phân bố trong thể tích V bao bởi mặt
S.
- Trường hợp điện tích q phân bố liên tục trong V bao bởi mặt kín
S thì:
và thay
∫ ρ
=
v
dV q
dV dV
.
D
div
V V
V
= ρ
−
⇒ ρ
=
- Do V tùy ý
D
q dS D
S
=
∫
∫
∫ =
V S
dV D div dS
.
ρ
=
⇒
= ρ
−
⇒ div D 0 div D
Chương 2: NHỮNG ĐỊNH LUẬT CƠ BẢN CỦA
TRƯỜNG ĐIỆN TỪ
4 Định luật cảm ứng điện từ Faraday
- Từ trường biến đổi theo thời gian tạo ra dòng điện cảm ứng
trong vòng dây dẫn đặt trong từ trường.
- Chính điện trường cảm ứng đã tác dụng lực điện lên các electron
tự do trong dây dẫn tạo nên dòng điện.
- Công lực điện của điện trường cảm ứng làm dịch chuyển một đơn
vị điện tích dọc theo đường cong kín C chính là sức điện động cảm
ứng.
- Như vậy bất kỳ 1 từ trường nào biến đổi theo thời gian cũng sinh
ra một điện trường xoáy.
Trang 74 Định luật cảm ứng điện từ Faraday
- Sức điện động cảm ứng có giá trị bằng và ngược dấu với tốc độ
biến thiên từ thông gửi qua diện tích giới hạn bởi vòng dây.
Yếu tố diện tích của mặt S giới hạn bởi đường C, có chiều hợp với chiều của C theo quy tắc đinh ốc thuận.
- Do S tùy ý
∫
∫ = −
S C
dS B dt
d dl
.
∫
∫ =
S C
dS E rot dl
.
dS
- Áp dụng định lý Stokes ta có:
0 dS t
B E rot dS
t
B dS
B dt
d dS
.
E
rot
S S
S S
=
∂
∂ +
⇒
∂
∂
−
=
−
=
t
B E
rot 0
t
B E rot
∂
∂
−
=
⇒
=
∂
∂ +
⇒
14
Chương 2: NHỮNG ĐỊNH LUẬT CƠ BẢN CỦA
TRƯỜNG ĐIỆN TỪ
5 Định luật lưu số Ampère - Maxwell
- Lưu số của vectơ cường độ từ trường theo đường kín C tùy ý
bằng tổng đại số cường độ dòng điện chảy qua diện tích bao bởi
k > 0 nếu chiều của dòng điện hợp với chiều của đường lấy tích phân theo quy tắc đinh ốc thuận.
- Do S tùy ý
∑
k k C
I I dl
.
H
∫
∫ =
S S
dS H rot dl
.
- Áp dụng định lý Stokes ta có:
⇒
=
⇒ ∫rot H dS ∫J dS ∫ rot H J dS
S S
S
(**) J
H rot 0
J H
=
⇒
=
−
⇒
H
- Trường hợp dòng I chảy qua diện tích S phân bố liên tục với mật
độ dòng , định luật lưu số Ampère - Maxwell có dạng: J
(*) dS J dl H
S
∫ =
Trang 85 Định luật lưu số Ampère - Maxwell
- Chú ý: là các công thức (*) và (**) chỉ đúng với dòng điện không
đổi, mật độ dòng dẫn
- Theo luận điểm thứ 2 của Măcxoen thì: Bất kỳ một điện trường
biến đổi theo thời gian nào cũng sinh ra một từ trường.
- Xét về phương diện sinh ra từ trường thì điện trường biến đổi
theo thời gian có tác dụng giống như một dòng điện, dòng điện này
gọi là dòng điện dịch.
- Dòng điện dịch là dòng điện tương đương với điện trường biến
đổi theo thời gian về phương diện sinh ra từ trường, và có biểu
thức là:
J
∂
∂
d
m
A t
D J
d
J
: Vectơ mật độ dòng điện dịch
Chương 2: NHỮNG ĐỊNH LUẬT CƠ BẢN CỦA
TRƯỜNG ĐIỆN TỪ
5 Định luật lưu số Ampère - Maxwell
- Vectơ mật độ dòng điện toàn phần là:
t
D J
J J
∂
∂ +
= +
=
tp
J
- Khi đó định luật lưu số Ampère – Maxwell kể đến dòng điện dịch
là:
t
D J H rot
dS t
D J dl
H
S C
∂
∂ +
=
⇒
∂
∂ +
= ∫
∫
E
J
γ
= : vectơ mật độ dòng điện dẫn
Trang 96 Định luật Gauss đối với từ trường
- Thông lượng của vectơ cảm ứng từ gửi qua mặt kín S bất kỳ
luôn bằng 0.
thay
0 dV
.
B
div
V
=
⇒ ∫
- Do V tùy ý
B
0 dS B
S
Φ ∫
∫
∫ =
V S
dV B div dS
.
0 B div =
18
Chương 2: NHỮNG ĐỊNH LUẬT CƠ BẢN CỦA
TRƯỜNG ĐIỆN TỪ
7 Hệ phương trình Maxwell
ρ
=
=
∂
∂
−
=
∂
∂ +
=
D div
0 B
div
t
B E
rot
t
D J
H rot
(1)
(2) (3) (4)
- Các phương trình liên hệ (các phương trình chất):
E J
, H B
, E
D
γ
= µ
= ε
=
Trang 108 Định lý Poynting - Dòng năng lượng điện từ
- Giả sử có yếu tố điện tích dq, chuyển động với vận tốc trong
miền thể tích V có trường điện từ, đặc trưng bởi các vectơ
- Lực điện từ tác dụng lên dq là:
- Công thực hiện bởi lực này khi dịch chuyển dq 1 khoảng vô cùng
bé là:
v
B ,
E
) B v E ( dq B v dq E dq
× +
=
× +
=
dl
dt v E dq dl E dq dl ) B v E ( dq dl F
dA = = +× = =
- Công suất thực hiện bởi trường điện từ đối với chuyển động của
điện tích điểm dq là:
v E dq dt
=
- Nếu điện tích phân bố liên tục với mật độ điện tích khối thì
dV
.
dt
dA
ρ
=
⇒
Chương 2: NHỮNG ĐỊNH LUẬT CƠ BẢN CỦA
TRƯỜNG ĐIỆN TỪ
8 Định lý Poynting - Dòng năng lượng điện từ
ρ
dV E J dt
dA
=
⇒ v
J
ρ
=
- Như vậy nếu điện tích khối mật độ chuyển động với vận tốc
tạo nên dòng điện dẫn, mật độ dòng thì công suất trường điện từ
thực hiện đối với dòng này trong miền thể tích V bằng:
: Đó cũng chính là công suất tỏa nhiệt Joule trong thể tích V Với mật độ công suất tiêu tán là:
- Ta có:
mà
v
J
) W ( dV
E
J
P
V
j =∫
j
m
W E J
p
H rot E E rot H ) H E (
−
=
×
t
B E
rot , t
D J
H
rot
∂
∂
−
=
∂
∂ +
=
B H
D E E J ) H E ( div
D J E
B H )
H
E
(
+
−
−
=
×
⇒
Trang 118 Định lý Poynting - Dòng năng lượng điện từ
- Định nghĩa vectơ Poynting:
(Vectơ mật độ dòng công suất)
- Định lý Poynting dạng vi phân đối với giá trị tức thời của các vectơ trường điện từ.
(*) t
B H t
D E E J )
P
(
div
∂
∂ +
∂
∂ +
=
−
⇒
×
m
W H E
- Lấy tích phân 2 vế của (*) ta được:
dV t
B H t
D E dV E J dS P dV
t
B H t
D E dV E J dV
)
P
(
div
V V
S V
V
∂ +
∂
∂ +
=
−
⇒
∂
∂ +
∂
∂ +
=
−
- Vì đo bằng (V/m), đo bằng (A/m) nên vectơ Poynting đo
bằng (W/m 2 ) Do đó là công suất trường điện từ gửi qua
mặt S vào thể tích V.
E
H
P
∫
−
S
dS
P
22
Chương 2: NHỮNG ĐỊNH LUẬT CƠ BẢN CỦA
TRƯỜNG ĐIỆN TỪ
8 Định lý Poynting - Dòng năng lượng điện từ
- Tích phân là công suất tiêu tán trường trong thể tích V
dV t
B H t
D E dt
dW
V
∫ ∂
∂ +
∂
∂
=
∫
V
dV E
J
H , B , D ,
E
∫ ∫= ∂
∂ +
∂
∂
=
0
t V
) J ( dVdt t
B H t
D E W
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
B H 2
1 t t
B H
; D E 2
1 t t
D
chú ý là:
- Do đó: công suất ứng với sự thay đổi
năng lượng điện từ tập trung trong thể tích V.
W: năng lượng điện từ tập trung trong thể tích V
- Giả sử ở thời điểm t = 0 các vectơ trường có giá trị là 0.
- Ở thời điểm t các vectơ trường có giá trị là
Trang 128 Định lý Poynting - Dòng năng lượng điện từ
∫
=
⇒
V V
) J ( dV B H 2
1 dV D E
2
1
- Tích phân thứ 1 là năng lượng điện trường tập trung trong thể
tích V:
với mật độ năng lượng điện trường là:
) J ( dV D E 2
1 W
V
e = ∫
) m / J ( D E 2
1
=
- Tích phân thứ 2 là năng lượng từ trường tập trung trong thể tích
V:
với mật độ năng lượng từ trường là:
∫
=
V
m H B dV ( J ) 2
1
) m / J ( B H 2
1
=
Chương 2: NHỮNG ĐỊNH LUẬT CƠ BẢN CỦA
TRƯỜNG ĐIỆN TỪ
9 Điều kiện biên
- Chọn vectơ đơn vị pháp tuyến hướng từ môi trường 2 sang môi
- Các vectơ trường ở môi trường 1 có chỉ số 1, ở môi trường 2 có
1
l
∆
0
l
∆
b
l
∆
n
T
s
i
1
S
∆
2
S
∆
0
S
∆
1
dS
2
dS
b
S
c d
Trang 139 Điều kiện biên
a Điều kiện biên đối với thành phần pháp tuyến
- Được dẫn ra từ phương trình dạng tích phân lấy theo mặt kín S.
- Mặt kín S bao gồm: mặt bên S b , và hai đáy đủ nhỏ để có
thể coi các vectơ trường không đổi trên các đáy này.
- Lấy giới hạn cho mặt bên , thông
lượng của vectơ trường gửi qua mặt bên ta sẽ nhận được quy
luật biến đổi thành phần pháp tuyến của vectơ trường tại mặt
biên
2
1 , S
S ∆
∆
0 2
0 1
b 0 , S S , S S
0
S b →
Σ
26
Chương 2: NHỮNG ĐỊNH LUẬT CƠ BẢN CỦA
TRƯỜNG ĐIỆN TỪ
9 Điều kiện biên
a Điều kiện biên đối với thành phần pháp tuyến
- Ta có:
= ρ
∆
−
=
ρ
=
⇒ ρ
=
∫
∫
∫ ∫
→
→
→
→
V 0 S
0 2 S
1 0
S
S S 0 V 0
S
dV lim
S ) D D ( n dS D lim
dV lim dS D lim dV dS
D
b
b
b b
Điện tích phân bố mặt trên với là mật độ điện tích mặt trên mặt biên
0
0 S
S = σ ∆
∆
{n( D1 − D2 ) ∆ S 0 = σ ∆ S 0} {Σ ⇒ n( D1 − D2 ) = σ}Σ ⇒{D n − D n = σ}Σ
- Tương tự từ
→
=
−
⇒
=
−
⇒
=
⇒
∫
0 B B 0
) B B ( n
0 dS B lim 0 dS B
n n 2
1
S S
Trang 149 Điều kiện biên
a Điều kiện biên đối với thành phần pháp tuyến
dt
d dt
dq lim
S ) J J ( n dS J lim
dt
dq lim dS
J lim dt
dq dV
t dS
J
0 S
0 2 S
1 0
S
0 S
b
b
b b
=
∆
−
=
−
=
⇒
−
=
∂
ρ
∂
−
=
→
→
→
→
∫
∫
∫ ∫
t )
∂
σ
∂
=
∆
Σ
∂
σ
∂
−
=
−
⇒
∂
σ
∂
−
=
−
⇒
t J
J t
) J J
(
Chương 2: NHỮNG ĐỊNH LUẬT CƠ BẢN CỦA
TRƯỜNG ĐIỆN TỪ
9 Điều kiện biên
b Điều kiện biên đối với thành phần tiếp tuyến
- Được dẫn ra từ phương trình dạng tích phân lấy theo đường kín
abcda.
- Đường kín abcda bao gồm: 2 cạnh bên , và hai cạnh
song song và song song với mặt biên đủ nhỏ để có thể coi các
vectơ trường không đổi trên 2 cạnh này.
- Lấy giới hạn cho 2 cạnh bên , tích
phân đường theo 2 cạnh bên ta sẽ nhận được quy luật biến đổi
thành phần tiếp tuyến của vectơ trường tại mặt biên
l ,
l 1 ∆ 2
∆
0 2 0 1
b 0 , l l , l l
∆ 0
→
b l
∆ , Σ
Σ
Trang 159 Điều kiện biên
b Điều kiện biên đối với thành phần tiếp tuyến
→
→
∆
→
∆
→
∆
→
∆
=
−
⇒
=
−
⇒
=
∆
−
=
=
∆
−
=
−
=
⇒
−
=
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
0 E E 0
) E E (
T 0
l ) E
E
.(
T
0 dS B dt
d lim dS
B
dt
d
lim
l ) E E (
T dl
E
lim
dS B dt
d lim dl
E lim dS
B dt
d dl
E
t 2 t 1 2
1 0
2
1
S 0 S S
0
l
0 2 1 abcda
0
l
S 0 l abcda
abcda
b
b
b b
mà:
Do tùy ý nên:
⇒
×
{n× ( E1 − E2 ) = 0}Σ s
i
Chú ý: ( A × B) C = ( B × C) A
- Ta có:
30
Chương 2: NHỮNG ĐỊNH LUẬT CƠ BẢN CỦA
TRƯỜNG ĐIỆN TỪ
9 Điều kiện biên
b Điều kiện biên đối với thành phần tiếp tuyến
- Ta có:
∫
∫
∫
∫
=
∆
−
×
=
∆
−
×
=
∆
−
=
+
=
⇒ +
=
→
∆
→
∆
→
∆
→
∆
→
∆
S
l
s s
abcda
l
l abcda
abcda
dS
J
lim
l i ) H H ( n l ).
H H )(
i n ( l ) H H (
T dl
H
lim
dS D dt
d lim dS J lim dl H lim dS
D dt
d dS
J
dl
H
b
b
b b
b
0
0 2 1 0
2 1 0
2 1 0
0 0
0
dòng điện mặt phân bố trên bề rộng ∆ l 0 = Js i s ∆ l 0
s
J
: mật độ dòng điện mặt đo bằng (A/m).
Σ
→
→
∆
=
−
⇒
=
−
×
⇒
=
−
×
⇒
∆
=
∆
−
×
⇒
=
∫
s t t s
s s s
s s s
S S S
l
J H H J
) H H ( n i.
J i ) H
H
(
n
l i.
J l i ) H H ( n dS
D dt
d lim dS
D
dt
d
lim
b
2 1 2
1 2
1
0 0
2 1 0