Ve them yeu to phu giai bai toan hinh hoc 7

Kinh nghiệm thực tế cho thấy rằng, không có phương pháp chung cho việc vẽ thêm các yếu tố phụ, mà là một sự sáng tạo trong khi giải toán, bởi vì việc vẽ thêm các yếu tố phụ cần đạt được

NGUYÊN ĐỨC TẤN

VE THEM YẾU TO PHU

ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN

HÌNH HỌC

(Tai bản lần thứ bảy) Sach tham dit Cudc thi Viet sach bai tap va

sách tbam: bbảo của Bộ Giáo dtc nà Đào tạo

Mã số dự thi : T7 - 6

NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC VIỆT NAM

LỜI GIỚI THIỆU

Hưởng ứng Cuộc thi Viết sách bài tập và sách tham khảo

dựa theo chương trình mới Tiểu học và Trung học cơ sở của Bộ Giáo dục và Đào tạo, các tác giả ở mọi miễn đất nước đã gửi

về Nhà xuất bản Giáo dục nhiều bản thảo dự thi có nội dung phong phú, đa dạng Thực hiện sự chỉ đạo của Bộ Giáo dục và

Đào tạo, Nhà xuất bản Giáo dục trân trọng giới thiệu với độc

giả cuốn sách dự thi này đã được đưa vào diện xét giải để các

thấy, cô giáo và các em học sinh trong cả nước có thể dùng làm

tài liệu tham khảo trong quá trình giảng dạy và học tập theo sách giáo khoa mới từ năm học 2003-2004

Nhà xuất bản Giáo dục mong nhận được nhiều ý kiến đóng góp cho nội dung cuốn sách này Thư từ góp ý xin gửi về Ban

Tổ chức Cuộc thi Viết sách bài tập của Bộ Giáo dục và Đào tạo theo địa chỉ :

Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 81 - Trần Hưng Đạo - Hà Nội

Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam xin trân trọng cảm ơn

NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC VIỆT NAM

LỜI NÓI Đầu

Trong khi tìm phương pháp giải bài toản hình học, có lúc việc vẽ

thêm các yếu tố phụ làm cho việc giải bài toán trở nên dễ dàng hơn,

thuận lợi hơn Thậm chí có bài phải vẽ thêm yếu tổ phụ mới tìm ra được

lời giải Tuy nhiên vẽ thêm yếu tổ phụ như thể nào để có lợi cho việc

giải toán là điều khó khan va phức tạp

Kinh nghiệm thực tế cho thấy rằng, không có phương pháp chung cho việc vẽ thêm các yếu tố phụ, mà là một sự sáng tạo trong khi giải

toán, bởi vì việc vẽ thêm các yếu tố phụ cần đạt được mục đích là tạo

điều kiện để giải được bài toán một cách ngắn gọn chứ không phải là

một công việc tùy tiện Hơn nữa, việc vẽ thêm yếu tố phụ phải tuân

theo các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình cơ bản Tuy là cuốn sách tham khảo nhưng nội dung của sách vẫn bám

sát chương mục của sách giáo khoa

Chương III Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác

Các đường đồng quy trong tam giác Cuổn sách Vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài toán Hình

học 7" sẽ giúp các em học sinh học tốt môn hình học hơn Chúng tôi

hỉ vọng rằng cuốn sách này cũng là tài liệu tham khảo cần thiết cho các giao viên giảng dạy toán ở bậc trung học cơ sở

Dù cố gắng nhiều trong biên soạn nhưng cuốn sách còn có thể

còn những sai sót Rất mong nhận được ý kiến đóng góp từ bạn doc

TÁC GIẢ

PHAN 1

ON TAP HINH HOC 6

Trên bảng đen có một đoạn thẳng AB dài 7 dm Bạn Trinh đưa cho

em Hạnh một cái thước thẳng có chia khoảng mà chiều dài của thước là

3 dm và yêu cầu em Hạnh kiểm tra xem đoạn thẳng AB ở trên bảng có đúng là dài 7 dm không ?

Hạnh đã kiểm tra và bảo là đúng Bạn có biết Hạnh đã làm như thế

Chúng ta biết rằng nếu M nằm giữa hai điểm A và B thì AM + MB = AB

Do vậy nếu thước không dài bằng đoạn thắng AB, nhưng đo được hai đoạn thẳng AM và MB thì ta cũng tìm được số đo của đoạn thẳng AB

Do vậy cần ít nhất 2 điểm phụ (chẳng hạn C, D) trên đoạn thẳng AB Hạnh sẽ đo được đoạn thẳng AB

LỜI GIẢI

Có thể Hanh da lam như sau: _——+——+—————————\ Trên đoạn thẳng AB lấy các điểm C, D (xem hình vẽ), dự đoán các đoạn thẳng AC, CD, DB có thể đo được bằng thước thẳng có chia khoảng

mà chiểu dài của thước là 3dm C nằm giữa A và D nên AC + CD = AD Tìm được độ dài đoạn thẳng AD

D nằm giữa A và B nên AD + DB = AB

Từ đó tìm được độ dài đoạn thẳng AB

Điểm C cần tìm thỏa mãn hai điều kiện :

1) Thuộc đoạn thẳng AB;

2) CA < CB

Do vay CA + CB < CB + CB và CA + CA < CB + CA

> os CB va ca ‹ SẺ

Từ mối liên hệ giữa CB với >, CA với = ta nghĩ đến điểm phụ M

là trung điểm của đoạn thẳng AB để từ đó có lời giải bài toán

Trên đường thẳng xy lấy hai điểm A và B Xác định vị trí của điểm C

trên đường thẳng xy sao cho CA < CB

HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài toán 3 là bài toán mở rộng của bài toán 2

Tương tự như bài toán 2, chọn điểm phụ là trung điểm M của đoạn thẳng AB

Kết quả : Điểm C nằm trên tia đối của tia MB thì ta luôn luôn có

CA < CB

Hài toán 44

Trên đường thẳng xy lần lượt lấy các điểm A, B, C Xác định vị trí

của điểm D trên đường thẳng xy sao cho DB < DA và DB < DC

Vì nếu cho hai tia đối nhau gốc O thì mọi

tỉa gốc O khác hai tia này đều nằm giữa hai

tỉa đó, từ đây ta có lời giải bài toán z 0

LỜI GIẢI

Giả sử có góc xOy khác góc bẹt

Về tia Oz là tia đối của tia Ox, tia Oz khong trùng với tia Oy

Các góc xOy và yOz kể bù Do đó KÔy + yO2 = 1800

lần mà được số đo hai góc xOz, yOz Chỉ đã

tìm được hai cách giải như sau:

Tia Oz nằm giữa hai tia Ox, Oy nên có

ơ x XÕZ+ÿOZ= xOy = 1200,

Đo góc xOz, tính hiệu 120 - XOZ được số đo góc yOz, hoặc

Đo góc yOz, tính hiệu 120 - ƒÖZ được số đo góc xOz

Toàn khen : "Chỉ giỏi lắm, nhưng còn có cách giải khác, em hãy tìm

thêm nữa đi!"

Chỉ đã giải quyết được yêu cầu của anh Toàn Bạn thử nghĩ xem, Chỉ

đã giải cách 3 như thế nào ?

8

HƯỚNG DẪN GIẢI

Hai góc kể bù có tổng số do bằng 1807, từ đó ta nghĩ đến yếu tố phụ cần vẽ thêm là tia đối của tia Ox hoặc tia Oy hoặc tia Oz

LỜI GIẢI

Có thể Chi đã giải như sau:

Vẽ tia Ot là tia đối của tia Ox

Đo góc zOt, tính hiệu 1802 - ZÖt tìm

được số đo Oz, réi tinh 120° - xOz, duge

LƯU Ý: Có tất cả 5 cách giải

Kết quả trên giúp ta giải được bài toán HAY và KHÓ sau

Bài toán Vẽ góc nhọn xOy Vẽ tia Oz nằm giữa hai tia Ox, Oy Làm thế nào chỉ đo hai lần mà biết được số đo ba góc xOy, xOz, yOz

(Giải bằng 6 cách)

Bài toán Z

Tài vẽ một góc tù xOy Tài có một cái thước đo góc bị gãy (xem hình),

cái thước gãy này chỉ đo được các góc có số đo nhỏ hơn hoặc bằng 900,

Tài quyết định dùng cái thước gãy này để đo góc xOy ở hình trên

Bạn nghĩ xem Tài có thể thực hiện được ý định này hay không ?

HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài này cùng một dạng với bài toán 6

Yếu tố phụ cần vẽ thêm là tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Oy

LỜI GIẢI

Tài có thể làm như sau :

Vẽ tia Oz là tia nằm giữa hai tia Ox, Oy Dự đoán các góc xOz, zOy

có số đo nhỏ hơn hoặc bằng 902

Dùng thước đo góc E gãy đã đã có đo c các góc xOz, zOy Ta xác định được

số đo góc xOy vì có xOz + zOy = xOy

LƯU Ý_: Còn có các cách giải khác nữa cho bài toán này Bạn hãy nghĩ xem !

HUONG DAN GIAI

Tia Oz can tìm phải thỏa mãn hai điều kiện:

Từ mối liên hệ giữa ZÖy với ; xOy , xOz va = 5 05 ta nghi dén yéu

tố phụ cần vẽ thêm là tia phân giác Ot của góc oe,

LUU Ý : Bài nay là dạng bài toán 2 được phát biểu cho "góc" và "tia"

thay bởi "đoạn thẳng" và "điểm"

10

LỜI GIẢI

Vẽ tia phân giác Ot cua góc xOy ta có XÔI = fOy

Ta c6 xOt = fOy nén xOz = zOy

2) Tia Oz nằm giữa hai tia Ox va Ot

Tia Oz nam giữa hai tia Ox và Ot, do đó °

y

5 ma xOt = Oy

Mặt khác tia Ot nằm giữa hai tia Oz va Oy nên fÔy <ZÔy (2)

Từ (1) và (2) suy ra xOz < ZOy

3) Tia Oz nam giita hai tia Ot va Oy

Tia Oz nằm giữa hai tia Ot và Oy nên : 3

Tit (3) va (4) suy ra zOy < xOz

Tóm lại Nếu tia Oz nằm trong góc xOt thi ta luôn luén c6 xOz < ZOy

11

Hài toán 9

Cho ba tia Ox, Oy, Oz Tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Oy Xác định

tia Ot nằm trong góc xOy sao cho 10z < tOx va 102 < Oy

HUONG DAN GIAI

Tương tự như giải bài toán 8 để xác định được tia Ot, ta cần vẽ thêm

các đường phụ là các tia phân giác của các góc xOz và zOy

LỜI GIẢI

Vẽ hai tia Om, On lần lượt là các tia phân giác

của các géc xOz, zOy

Từ bài toán 8, để có Oz < fOx thi tia Ot nim

giữa hai tia Oz va Om

Khi đó hai tia Ot và Oy nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ chứa tia Oz, do đó ta cũng có

tOz < tOy

Cũng từ bài toán 3 để có {ÔzZ < fÔy thì tia Ot nằm giữa hai tia Oz

và On Khi đó hai tia Ot và Ox nằm trên cùng nửa mặt phẳng có bờ chứa

tia Oz, do đó tả cũng có tOz < tOx

Vậy nếu tia Ot nằm trong góc mOn thì ta có

Bai toán 10

Cho góc tù xOy Trong góc xOy vẽ tia Oz sao cho xOy + yOz = 180°

Gọi Ot la tia phan giác của góc xOz

Chung to rang yOt = 90°

HUGNG DAN GIAI

Dé cé yOU = 90° vdi Ot la tia phân giác của góc xOz thì Oy là tia

phân giác của góc kể bù với góc xOz Do đó, ta vẽ thêm đường phụ là tia

đối của tia Ox

Bài toán trở thành : Chứng minh Oy là tia phân giác của X02 12

LỜI GIẢI

`

Vé tia Ox’ la tia đối của tia Ox

Ta c6 xOy + XOy = 180° (hai góc kể bù)

xOy + yOz = 180° (theo gia thiét)

Suy ra xOy = yOz, ma tia Oy n&m giifa hai tia Oz va Ox’, do dé Oy

là tia phân giác cla géc x’Oz

Ta có Oy và Ot lần lượt là hai tia phân giác của hai góc kể bù x’Oz

va xOz, do dé yOt = 90°

BAI TAP TY LUYEN PHAN |

1 Cho đoạn thẳng AB, hãy xác định vị trí của diém C trén doan

thang AB sao cho :

a) CA > CB

CB b) CA < 3°

2 Cho hai tia Oy, Oz thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ chứa

tia Ox và XỔY + XÔZ = 1809

a) Chứng minh rằng Oy và Oz là hai tia đối nhau nếu

xOy + xOz = 180°

b) Chứng minh rằng tia Ox nằm giữa hai tia Oy và Oz nếu

xOy + xOz < 180°

13

8 Chứng minh rằng mỗi góc chỉ có một tia phân giác mà thôi

4 Cho OC là tia nằm trong góc vuông AOB Vẽ tia Ox sao cho OA là tia

phân giác của góc COx, vẽ tia Oy sao cho OB là tia phân giác của góc COy Chứng minh rằng Ox và Oy là hai tia đối nhau

ð Cho góc tù xOy Vẽ tia Oz trong góc XỔy sao cho

PHẦN 2

HINH HOC 7

CHUONG I

ĐƯỜNG THĂNG VUÔNG GÓC

_ĐƯỜNG THANG SONG SONG

§1 HAI GÓC ĐỐI ĐỈNH

§2 HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

Bài toán 1

Lâm vẽ một góc nhọn xOy trên một tấm gỗ và đưa

cho Diễm cùng với một cái thước đo góc bị gãy chỉ đo

được các góc nhỏ hơn hoặc bằng 90° va yêu cầu Diễm Ï Ï

Diễm nhận lấy tấm gỗ cùng thước đo góc bị gãy và phát hiện thêm rằng bên trong góc xOy

có một số cây đinh nên không thể đo trực tiếp

được Diễm suy nghĩ suy nghĩ và đã tìm được

cách xác định được số đo của góc xOy

Bạn có biết Diễm đã làm như thế nào không?

HƯỚNG DẪN GIẢI

Với cái thước đo góc bị gãy này không thể đo trực tiếp để xác định được

số đo góc xOy Chúng ta đã biết "Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau" Góc đối đỉnh của góc xOy là yếu tố phụ cần vẽ thêm giúp giải bài toán này

15

LỜI GIẢI

Vẽ Ox' là tia đối của tia Ox

Vẽ Oy' là tia đối của tia Oy

Dùng thước đo góc gãy đã cho đo được góc xOy'

Ta biết

XÔy = x'Õy ( XÔy và xÕy' là hai

góc đối đỉnh)

Do vậy ta xác định được số đo góc xOy

LƯU Ý : Từ bài toán này và bài toán 7 ở phần 1 ta giải được bài toán

Gọi xOy va xe là hai góc đối dinh, Oz va Oz’ lan lượt là các tia

phân giác của các góc xOy va xo Cân chứng minh rằng Oz va Oz’ la

hai tia đối nhau Ta thấy rằng Oz là tia phân giác của góc xOy Hai góc xOy và xOy kể bù gợi cho ta nghĩ đến "hai tia phân giác của hai góc kể

bù" Hơn nữa Oz' lại là tia phân giác của góc x’Oy’; hai géc x’Oy’ va x’Oy

kể và bù Từ đó ta vẽ thêm đường phụ là tia phân giác của góc x'Oy để

giải bài toán

LỜI GIẢI

Goi xOy va xoy là hai góc đối đỉnh, Oz và Oz' lần lượt là các tia

phân giác của các góc xOy và xOy' Cần chứng minh rằng Oz và Oz' là

hai tia đối nhau

16

Vẽ Ot là tia phân giác của

góc x'Oy

Ta có Oz và Ot là hai tia

phân giác của hai góc kể bù xOy

va x’Oy, do đó zOt = 90° Mat khac Oz’ va Ot là hai

tia phân giác của hai góc kể bù x'Oy' và xOy, do đó ZÖt = 909,

ZOt + ZOt = 180° Mà hai tia

Lời giải sai

xOy va XOy là hai góc đối đỉnh = Oy = xOy'

Suy ra x’Oz’ + zOx’ = 180

> Oz và Oz' là hai tia đối nhau

Phan tich sai lam :

—

Tit x’'Oz’ + zOx’ = 180° suy ra Oz va

chứng minh được tia Ox` nằm giữa hai

Ta có XOZ + ZOX = 1800 nhưng hai tia Oz và Oz' không là hai tia

Hai góc xOy va yOx’ ké bu Oz là

tia phân giác của góc xOy và hai tia Oz

va Oz’ vuông góc với nhau

Vẽ thêm đường phụ là tia phân giác

Ot cua góc yOx’ va chứng minh được hai tia Ot va Oz’ tring nhau ta sẽ giải được bài toán

LỜI GIẢI

Vẽ tia Ot là tia phân giác của góc yOx' Hai tia Oz va Ot lần lượt là hai tia phân giác của hai góc kể bù xOy và yOx, do đó Oz L Ot Mà theo

đầu bài ta có Oz 1 Oz’, nén hai tia Ot va Oz’ tring nhau

Vay Oz’ la tia phân giác của góc yOx'

| Cho góc xOy nhọn Trên nửa mặt phẳng chứa tia Oy có bờ là đường | thẳng chứa tia Ox, vẽ tia Oz vuông góc với tia Oy, trên nửa mặt phẳng |

| kia vẽ tia Ot vuông góc với tia Ox Goi Om Ia tia phân giác của góc xOy, |

| On là tia phân giác của góc zOt

Chứng minh rằng hai tia Om và On là hai tia đối nhau

HƯỚNG DẪN GIẢI

Phương pháp giải bài toán 3 sẽ thích hợp cho việc giải bài toán này

Vẽ đường phụ là tia On' là tia đối của tia Om và chỉ còn chứng minh hai tia On và On' trùng nhau

LỜI GIẢI

Vẽ tia On' là tia đối của tia Om

Hai tia Om và Ot thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ là đường thẳng chứa tia Ox nên tia Ox nằm giữa hai tia Om và Ot

Ta có: mÒt = xOm + fÔx = xÔm + 90°

Mà tia On' nằm giữa hai tia Ot va

Oy nên On' là tia phân giác của góc zOt

Vậy hai tia On và On" trùng nhau

Suy ra hai tia Om và On là hai tia đối nhau

$8 CÁC GÓC TAO BOI MOT DYGNG THANG

CAT HAI DUONG THANG

§4 HAI DUONG THANG SONG SONG

HƯỚNG DẪN GIẢI

Chúng ta đã biết rằng :

Nếu đường thẳng c cắt hai đường thẳng a, b và trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau (hoặc một cặp góc đồng vị

bằng nhau) thì a và b song song với nhau

Do vậy, ta cần tạo ra một cặp góc so le trong hoặc một cặp góc đồng

vị mà sẽ chứng minh được cặp góc đó bằng nhau Điều này gợi ta nghĩ đến vẽ thêm yếu tố phụ là tia đối của tia AB, hoặc tia đối của tia AC, hoặc tia đối của tia CA, hoặc tia đối của tia CD

Từ lời giải bài toán trên ta để xuất được bài toán tổng quát

Bài toán Trên hinh dudi cho biét BAC + ACD = 180°

Chứng tỏ rằng AB // CD

LAI B Như vậy, chúng ta cũng có một tính chất

về cách nhận biết hai đường thẳng song song

Bai toán G

Trên hình bên cho hai đường thẳng xy

va x'y' phân biệt

Hãy nêu cách nhận biết xem hai đường

HUONG DAN GIAI

Chúng ta đã biết hai đường thẳng phân biệt thì hoặc cắt nhau hoặc song song Hơn nữa để nhận biết hai đường thẳng có song song với nhau hay không ta đã có tính chất thừa nhận sau : Nếu đường thẳng c cắt hai

đường thẳng a, b và trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong

bằng nhau (hoặc một cặp góc đồng vị bằng nhau) thì a và b song song

với nhau

Do vậy lấy điểm A trên xy, điểm B trên xy' ta có đường thẳng AB

là yếu tố phụ cần vẽ thêm để làm xuất hiện các cặp góc so le trong, các cặp góc đồng vị, từ đó tìm ra lời giải bài toán

LỜI GIẢI

Lấy điểm A trên đường thẳng xy,

B trên đường thang x’y’

Vẽ đường thẳng AB Dùng thước

đo góc để đo các góc xAB và ABy'

Có hai trường hợp xảy ra :

1) XAB = ABy’

Vi xAB va ABy so le trong nén xy // x’y’

2) xAB + ABy

Vi xAB va ABy’ so le trong nên xy và x'y'` không song song với nhau

=> Hai đường thẳng xy và x'y'` cắt nhau

21

§5 TIÊN ĐỀ Ơ.CLIT VỀ ĐƯỜNG THẲNG

SONG SONG

§6 TỪ VUÔNG GÓC ĐẾN SONG SONG

Trén hinh bén cho biét

Trên hình bên cho biết

Trên hình bên cho biết XÁC = ơ

CBy = Bva ACB = a+B

Chứng minh rằng : Ax // By

HƯỚNG DẪN GIẢI

Nhận xét Muốn chứng minh Ax // By, ta chứng minh chúng cùng song

song với đường thẳng thứ ba

Vi xAG = a , CBy = B và ACB = œ+B ta tạo ra tia Cz sao cho ẤC2 = œ Nhu vay Ax // Cz

Hơn nữa, ta có BCz = B, nhu vay BCz = CBy

Suy ra By // Cz Do dé Ax // By

LỜI GIẢI

Vẽ tia Cz sao cho ACz = œ (như hình sau)

Ta co xAC = ACz (=a), xAC va ACz so le trong

23

Do đó Ax / Cz (1)

Trên nửa mặt phẳng bờ AC có KCz < ACB,

(vi a < a+) nén tia Cz nam gitta

HUONG DAN GIAI

Từ lời giải bài toán 10 ta nghĩ đến đường phụ là tia Cz sao cho Cz

và Ax ở trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ là AC và ẤCz = xAC dé c6 Ax // Cz Két hop voi BCz = ACB+ACz = ACB+xAC = yBC dé cé

By // Cz, ta sẽ chứng minh được Ax / By

24

LỜI GIẢI

Vé tia Cz sao cho Cz và Ax ở trên

B hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ là AC và

ACz = xAC, do dé Ax // Cz (1)

Mat khéc BCz = ACB + ACz II

Ta có ỐC2 = yBC, BCz va yBC so le trong

Từ (1) và (2) ta có Ax / By

Hài toán 12

Trên hình bên cho biết

XAB + ABC + BCy = 360°

Chứng minh rằng Ax // Cy

HƯỚNG DẪN GIẢI

Nhận xét Tương tự bài toán 10, bài toán 11

i * ta chting minh Ax, Cy cing song song với đường

Vẽ tia Bz sao cho xAB + ABz = 180°, mà xAB và ABz là hai góc

Mặt khác: xAB + ABC + BCy = 360°

HƯỚNG DẪN GIẢI

Tương tự các bài toán 10; 11; 12 để giải bài toán 13 ta vẽ đường phụ

la tia Cz sao cho By // Cz và chứng minh được Ax / Cz Do đó Ax / By

ma xAC + yBC - ACB = 180°, suy ra :

XAC 2 180° Vo Ii !)

Từ đó có yBC > ACB , BCz = yBC

Suy ra BCz > ACB

Trên nửa mặt phẳng bờ CB có ACB < BCz „ đo đó tia CA nằm giữa

hai tia CB và Cz, từ đó có : BCz = ACB + ACz

Mà xAC + yBC - ACB = 180°

nén xAC + ( ACB + ACz ) - ACB = 180°, suy ra :

xAC + ACz = 180° Ma xAC va ACz là hai góc trong cùng phía, do

đó Ax / Cz (2) (Vận dụng kết quả bài toán tổng quát của bài toán 5)

Từ (1) và (2), ta có Ax / By

26

Bài toán 14 A

Trén hinh bén cho biét

ACB > xAC , Ax // By c

Bài toán quá quen thuộc, ta vẽ đường phụ là tia Cz sao cho xAC = KCz,

tit day cho ta Cz // Ax ma Ax // By do dé Cz // By = zCB = CBy

Từ đó giúp ta đến điều phải chứng minh

LỜI GIẢI Trên nửa mặt phẳng bờ AC có chứa tia CB vẽ tia Cz sao cho xAC = ACz

Do do ACB = ACz + 2CB Mặt khác : Ax // Cz, Ax // By > By/Cz

Chung minh rang :

yBC = XAG + ACB

27

BC co ACB < BCz (vi yBC > KCB, BC = yBC)

ở nên tia CA nằm giữa hai tia CB và Cz

Suy nghĩ như bài toán 14, bài toán 15 ta chọn đường phụ cần vẽ

là tia Bz, sao cho Bz ở trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa tia Ax và

xAB + ABz = 180°

LỜI GIẢI

_— Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa tỉa Ax vẽ tia Bz sao cho xAB + ABz = 180” (hình dưới) mà xAB và ABz là hai góc trong cùng phía, do đó Ax // Bz

28

Ta có Ax / Bz và Ax / Cy nên Bz // Cy Mặt khác Bz // Cy, z ZBÒ và va Boy là hai góc

B ; trong cùng phía nên zB + BCy = 180°

Ta c6 ABC = ABz + 2BC (tia Bz nằm giữa

Cc y hai tia BA, BC)

do đó xAB + ABC + BCy = xAB + ABz + 2BC + BCy

Hoàn toàn tương tự như các bài todn 14; 15 va 16 đường phụ can vi

là tia Cz nằm trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa tia CA

LỜI GIẢI

Vẽ tia Cz trên nửa mặt phẳng bờ BC

có c chứa tỉa tỉa CA SaO | cho BCz_ = yBC Ta có

BCz = yBC ma BCz va yBC so le trong, Y B

suy ra By // Cz

Ta có : By // Cz va Ax // By = Ax // Cz

Mat khée, Ax // Cz, XAC va AGz 1a hai ee

góc trong cùng phía, do đó xAC + ACz = 180° , ACB < yBC = BCz

Trên nửa mặt phẳng bờ BC có ACB < BCz suy ra tia CA nằm giữa hai tia CB va Cz

Do d6: BCz = ACB + ACz

29

Ta có xAC + yB - ÁCB = xAC + BCz - ACB

= xAC + ACB + ACz - ACB

Vì có những cặp đường thẳng song song

nên ta vận dụng tính chất của hai đường thẳng song song, yếu tố phụ cần vẽ thêm là đường thang OO’

hay xOy = xOy’

LƯU Ý: Nếu thay giả thiết "hai góc nhọn" bởi "hai góc tù" và giải tương tự như trên ta cũng có xOy = xO¥’ Hai góc xOy, xOYy' gọi là hai góc có cạnh tương ứng song song

30

Thật là thú vị vì ta có được một tính chất về hai góc có cạnh tương

ứng song song

TÍNH CHẤT: Nếu hai góc có cạnh tương ứng song song thì chúng

bằng nhau nếu cả hai đều nhọn hoặc đều tù

Bai toán 19

Chung minh rang :

Nếu góc xOy nhọn và góc x'O'Yy' tù có Ox // Ox', Oy // OYy' thì

XOy +xOy’ = 180°

HUONG DAN GIAI y

xO'y' tù, do vậy góc kể bù với góc xOy là góc

nhọn từ đó ta nghĩ đến vẽ tia Ot là tia đối của tia

Như vậy xOy và toy’ cùng nhọn có Ox / Ot,

(Lời giải dành cho học sinh)

LƯU Ý : Nếu thay "góc xÓy nhọn và xÓy' tù" bởi "góc XÔy tù và

xOy' nhọn" ta cũng có xÔy +xOy` = 180”

Chúng ta lại có tính chất về hai góc có cạnh tương ứng song song

Nếu hai góc có cạnh tương ứng song song thì :

a) Chúng bằng nhau nếu cả hai góc đều nhọn hoặc đều tù;

b) Chúng bù nhau nếu một góc nhọn, một góc tù

31

(Lời giải dành cho học sinh)

LƯU Ý: Bài toán này cho ta tính chất sau

TÍNH CHẤT

Nếu hai góc có cạnh tương ứng song song thì

góc này uuông nếu góc hỉa 0uông

Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ

ba thì song song với nhau

HƯỚNG DẪN GIẢI

Gọi ba đường thăng đà cho là a, b, e (a là đường thẳng thứ ba)

Yếu tố phụ cần vẽ thêm là đường thẳng d vuông góc với đường thang a

CHỨNG MINH

id Vẽ đường thẳng d vuông góc với đường thẳng a

ce | Tacé bi d,cld= b/c (theo tinh chất 1)

Hài toán 99 i

Trên mặt phẳng cho 5 đường thẳng, trong

đó không có hai đường thẳng nào song song

Chứng minh rằng tồn tại hai đường thẳng PS

HƯỚNG DẪN GIẢI

Ta tìm cách tạo ra các góc có chung đỉnh, chẳng hạn là đỉnh A, mà

mỗi góc này tương ứng bằng góc hợp bởi hai đường thẳng

Mặt khác kết quả bài toán cho ta biết rằng hai góc có cạnh tương ứng song song bằng nhau nếu cả hai góc cùng nhọn hoặc cùng tù Từ điểm

A tùy ý trong mặt phẳng ta kẻ các đường thẳng song song với các đường thẳng đã cho Từ đây có thể tìm được lời giải bài toán

LỜI GIẢI

Trên mặt phẳng lấy điểm A tùy ý Qua A kẻ 5 đường thẳng lần lượt

song song với 5 đường thẳng đã cho Ta có 10 góc đỉnh A không có điểm

trong chung, mà mỗi góc này tương ứng bằng góc hợp bởi hai đường thẳng trong số 5 đường thẳng đã cho (Vận dụng kết quả của bài toán 18)

a,

&

Mặt khác tổng số đo (độ) của 10 góc này là 3600

Do đó tổn tại một góc có số đo độ không vượt quá 3600: 10 = 36°

BÀI TẬP TỰ LUYỆN CHƯƠNG I

1 Trén hinh bén cho biét

xAB + ABC - BCy = 1800

Chung minh rang Ax // Cy

2 Trên hình dưới, cho biết Az / Bt

Chứng minh rằng xÖy = xAz + yBt

y

3 Cho góc AOB có số đo bằng a? Lấy các điểm C, D lần lượt trên

OA và OH Vẽ các tia Cx và Dy trong góc AOB sao cho ẤCx = b0, BDy = cvàb+c=a Chứng minh rằng Cx / Dy

4 Trên hình dưới cho biét Ax // Cy

Ching minh rang xAB + ABC - BCy = 1800

LỜI GIẢI

KL Ax // ‘By

CHUNG MINH

Gọi B' là giao điểm của đường thẳng BC va Ax

c Ta có ÁCB = xAC + ABC (AB là góc ngoài

của A AB)

Mặt khác ACB = xAC + CBy (gia thiét)

suy ra ABC = CBy

Ma ABC va CBy so le trong, nén :

Ax // By

36

Ta c6 yBC = BBC + ACB (yBC la géc ngoai cia A BBC)

Mà yBÈ = xAC+ ACB (gia thiét)

HƯỚNG DÂN GIẢI

Phương pháp giải bài toán 3 hoàn toàn tương tự phương pháp giải bài

toán 1, bài toán 2

Tia CA nằm giữa hai tia CB và Cy nên BCy = BCA + ACy

Ma xAB + ABC + BCy = 360° (gia thiết)

nên xAC + ACy = 360” - 180” = 180

Mặt khác XÁC và ẤCy là hai góc trong cùng phía, nên

Ax // Cy

Bai toan 4

Hinh bén, cho biét

XAC + yBC - ACB = 180°

Chứng minh rang Ax // By

Vé tia By’ la tia đối của tia By, gọi B' là

giao điểm của tia By' với AC

Ta có yBC = BBS : ÁCB (vì ýB là góc

ngoài của A BBC)

Mà xAC + yBC - ACB = 180° (gia thiét)

Do dé xAC + (BBC + ACB) - ACB = 180°

Cho điểm M ở trong tam giác ABC

HUONG DAN GIAI

Yếu tố phụ cần vẽ là điểm D giao điểm của BM và AC

CHỨNG MINH

D Ta c6 BMC > MDC (BMC la géc ngoài của AMDC)

MDC > BAC (MDC la géc ngoai cia AABD)

e GIAI TRI TOAN HOC

ANH NÔNG DÂN VÀ ĐỊNH LÍ TỔNG BA GÓC

CỦA MỘT TAM GIÁC

Một anh nông dân trong lúc đợi bạn bèn đi vòng quanh mảnh đất

hình tam giác cho đỡ nóng lòng Anh đặt tên cho tam giác đó là ABC và

nhận xét rằng : Nếu các cạnh AB và AC tạo thành một góc œ thì mỗi lần đến A anh phải quay một góc 180° - A Có được như vậy vì tổng các góc ngoài và trong tại A bằng 1802 Tương tự, anh quay một góc 1802 - 8

tại B và quay một góc 1800 ~ Ê tại C

Sau ba lần quay anh thấy mình đi theo hướng cũ nhưng đã thực hiện được đẩy đủ một vòng quay 3602 Vì lẽ đó anh nhận ra rằng

180° - A + 180° - § + 180° - Ê = 3609

Vậy : Tổng ba góc của một tam giác bằng 180

Bạn có ý kiến gì về cách chứng minh này ?