Đề số 4 lý thuyết thống kê và xác suất toán eg11 ehou

Đề số 4 - Lý thuyết thống kê và xác suất toán - EG11 - EHOU.docx Đề số 4 - Lý thuyết thống kê và xác suất toán - EG11 - EHOU.docx Đề số 4 - Lý thuyết thống kê và xác suất toán - EG11 - EHOU.docx

Đề số 4

Bài 1.

Một học viên học lái xe ô tô mua sẵn 5 phiếu tập (Mỗi phiếu thi thử một lần.) Anh này sử dụng từng phiếu một cách lần lượt, biết mỗi lần thi thử xác suất đạt điểm qua là 0,85 Nếu cả 3 lần thi liên tiếp đầu tiên học viên sẽ dừng buổi tập không thi thử lần nào nữa Gọi Y là số phiếu tập học viên này đã sử dụng:

a Lập bảng phân phối xác suất của Y.

b Từ bảng phân phối cho ta thông tin gì?

c Viết biểu thức hàm phân phối của Y?

d Về trung bình học viên này cần sử dụng hết mấy phiếu tập lại?

Phân tích đề:

 Học viên mua 5 phiếu tập, mỗi phiếu thi thử 1 lần

 Xác suất đạt điểm qua trong mỗi lần thi thử là 0,85

 Nếu 3 lần thi liên tiếp đều đạt thì học viên dừng buổi tập (không thi

nữa)

 Y là số phiếu tập học viên đã sử dụng.

Ta cần xác định:

a Bảng phân phối xác suất của Y

b Ý nghĩa bảng phân phối

c Hàm phân phối của Y

d Giá trị trung bình (kỳ vọng) của Y

a Lập bảng phân phối xác suất của Y

Các trường hợp xảy ra:

 Học viên có thể dừng sau 3, 4 hoặc 5 phiếu tùy vào kết quả từng lần thi

Trường hợp 1: Dừng sau 3 phiếu

 3 lần liên tiếp đầu đều đạt:

Xác suất: 0,85 × 0,85 × 0,85 = 0,614125

Trường hợp 2: Dừng sau 4 phiếu

 Trong 3 lần đầu tiên, không phải đều đạt (ít nhất 1 lần không đạt),

nhưng tổng cộng 3 lần đạt điểm qua xuất hiện trong 4 lần thi, trong đó 3

lần đạt là 3 lần liên tiếp ở cuối (vì khi đạt 3 lần liên tiếp mới dừng)

 Cách xảy ra: Chỉ có trường hợp là lần thứ nhất không đạt, rồi sau đó 3 lần liên tiếp đều đạt

Tức là:

 Lần 1: không đạt (0,15)

 Lần 2, 3, 4: đều đạt (0,85 x 0,85 x 0,85)

Xác suất: 0,15 × 0,85 × 0,85 × 0,85 = 0,09211875

Trường hợp 3: Dừng sau 5 phiếu

 Không có chuỗi 3 lần đạt liên tiếp nào ở 4 lần đầu, nên chỉ có thể dừng sau khi sử dụng hết 5 phiếu (kể cả không đủ 3 lần liên tiếp)

 Ta tính xác suất sử dụng hết 5 phiếu = 1 – (xác suất dừng ở 3 phiếu + xác suất dừng ở 4 phiếu)

Tổng xác suất dừng ở 3 hoặc 4 phiếu = 0,614125 + 0,09211875 = 0,70624375

Vậy xác suất dừng ở 5 phiếu = 1 – 0,70624375 = 0,29375625

Bảng phân phối xác suất của Y

Y Xác suất P(Y = y)

3 0,614125

Y Xác suất P(Y = y)

4 0,09211875

5 0,29375625

b Ý nghĩa của bảng phân phối

 Bảng này cho biết xác suất học viên sử dụng hết 3, 4 hoặc 5 phiếu tập.

 Ví dụ: Xác suất chỉ dùng 3 phiếu là 0,614125, nghĩa là khoảng 61,4% học viên sẽ dừng sau 3 lần thi thử nếu luôn đạt

 Tương tự, xác suất cần dùng đủ cả 5 phiếu là 29,4%, tức là cứ 100 học viên sẽ có khoảng 29 người dùng hết 5 phiếu

c Viết biểu thức hàm phân phối của Y

Hàm phân phối F(y) = P(Y ≤ y):

 Với y < 3: F(y) = 0

 Với 3 ≤ y < 4: F(y) = 0,614125

 Với 4 ≤ y < 5: F(y) = 0,614125 + 0,09211875 = 0,70624375

 Với y ≥ 5: F(y) = 1

d Giá trị trung bình (kỳ vọng) của Y

Kỳ vọng E(Y) = 3 × 0,614125 + 4 × 0,09211875 + 5 × 0,29375625

Tính toán:

 3 × 0,614125 = 1,842375

 4 × 0,09211875 = 0,368475

 5 × 0,29375625 = 1,46878125

Tổng: 1,842375 + 0,368475 + 1,46878125 = 3,67963125

Kết luận:

Trung bình, mỗi học viên cần sử dụng khoảng 3,68 phiếu tập.

Tóm lại đáp án

a Bảng phân phối xác suất:

 P(Y = 3) = 0,614125

 P(Y = 4) = 0,09211875

 P(Y = 5) = 0,29375625

b Bảng này cho biết xác suất số phiếu tập cần dùng

c Hàm phân phối F(y):

 F(y) = 0 nếu y < 3

 F(y) = 0,614125 nếu 3 ≤ y < 4

 F(y) = 0,70624375 nếu 4 ≤ y < 5

 F(y) = 1 nếu y ≥ 5

d Trung bình học viên sử dụng 3,68 phiếu tập.

Bài 2.

Một rạp chiếu phim có 3 phòng chiếu Khả năng xảy ra hiện tượng đóng cửa của các phòng chiếu tương ứng là 0,04; 0,3; 0,15 Tính xác suất của

biến cố:

a Cả 3 phòng chiếu cùng hoạt động.

b Có ít nhất một phòng chiếu không hoạt động.

Đề bài tóm tắt

Có 3 phòng chiếu phim

 Xác suất phòng 1 bị đóng cửa: 0,04

 Xác suất phòng 2 bị đóng cửa: 0,3

 Xác suất phòng 3 bị đóng cửa: 0,15

Các phòng hoạt động độc lập

a Xác suất cả 3 phòng chiếu cùng hoạt động

 Xác suất mỗi phòng chiếu hoạt động là: 1 trừ xác suất bị đóng cửa

o Phòng 1: 1 – 0,04 = 0,96

o Phòng 2: 1 – 0,3 = 0,7

o Phòng 3: 1 – 0,15 = 0,85

 Vì các phòng độc lập, xác suất cả 3 cùng hoạt động là:

= 0,96 × 0,7 × 0,85

= 0,672 × 0,85

= 0,5712

Kết luận:

Xác suất cả 3 phòng chiếu cùng hoạt động là 0,5712 (tức 57,12%).

b Xác suất có ít nhất một phòng chiếu không hoạt động

 Biến cố "ít nhất 1 phòng không hoạt động" là phủ định của biến cố "cả

3 phòng cùng hoạt động".

 Ta có:

Xác suất ít nhất 1 phòng không hoạt động = 1 – Xác suất cả 3 phòng cùng hoạt động

= 1 – 0,5712

= 0,4288

Kết luận:

Xác suất có ít nhất một phòng chiếu không hoạt động là 0,4288 (tức 42,88%).

Tóm tắt đáp án

Ý Kết quả Giải thích

a 0,5712 Cả 3 phòng đều hoạt động

b 0,4288 Ít nhất 1 phòng không hoạt động

***Giải thích

giải thích kỹ từng bước để bạn hình dung vì sao lại tính như vậy và ý nghĩa các

bước:

a Xác suất cả 3 phòng chiếu cùng hoạt động

Bước 1: Tính xác suất từng phòng hoạt động

 Phòng chiếu 1:

o Xác suất bị đóng cửa là 0,04.

o Vậy xác suất phòng này vẫn hoạt động là 1 – 0,04 = 0,96.

o Ý nghĩa: Trong 100 ngày, trung bình có 96 ngày phòng này mở cửa

 Phòng chiếu 2:

o Xác suất bị đóng cửa là 0,3

o Vậy xác suất phòng này hoạt động là 1 – 0,3 = 0,7

o Ý nghĩa: 100 ngày thì chỉ khoảng 70 ngày phòng này hoạt động

 Phòng chiếu 3:

o Xác suất bị đóng cửa là 0,15

o Xác suất hoạt động: 1 – 0,15 = 0,85

o Ý nghĩa: 100 ngày thì 85 ngày phòng này mở

Bước 2: Tính xác suất đồng thời (tức là tất cả cùng hoạt động)

 Vì 3 phòng hoạt động độc lập, tức là việc phòng này đóng cửa không

ảnh hưởng đến phòng khác

 Xác suất tất cả cùng hoạt động = Xác suất phòng 1 hoạt động × Xác

suất phòng 2 hoạt động × Xác suất phòng 3 hoạt động

Cụ thể:

 0,96 × 0,7 × 0,85 = 0,672 × 0,85 = 0,5712

Giải thích ý nghĩa:

Nếu 1000 ngày chiếu phim, thì trung bình có khoảng 571 ngày cả 3 phòng đều

mở cửa cùng lúc

b Xác suất có ít nhất một phòng chiếu không hoạt động

Bước 1: Hiểu ý nghĩa của biến cố

 “Ít nhất một phòng không hoạt động” nghĩa là trong 3 phòng này, có thể

có 1, 2 hoặc cả 3 phòng bị đóng cửa

 Tức là, chỉ cần không phải trường hợp cả 3 cùng hoạt động.

Bước 2: Tính toán dựa vào xác suất đối

 Tổng xác suất mọi trường hợp luôn là 1

 Nếu xác suất “cả 3 cùng hoạt động” là 0,5712 (tức 57,12%), thì “không phải trường hợp cả 3 cùng hoạt động” = 1 – 0,5712 = 0,4288 (tức

42,88%)

Vì sao làm như vậy?

 Thay vì tính xác suất cho từng trường hợp: 1 phòng đóng, 2 phòng đóng,

3 phòng đóng (sẽ rất dài dòng), ta chỉ cần lấy toàn bộ trường hợp (1) trừ

đi trường hợp đặc biệt “cả 3 cùng hoạt động”

Giải thích ý nghĩa:

 Trong 100 ngày, sẽ có khoảng 43 ngày là ít nhất 1 phòng bị đóng (hoặc

1, 2, hoặc cả 3 phòng đóng)

 Ngược lại, có 57 ngày cả 3 phòng cùng mở



Tóm lại

 Khi các biến cố độc lập, xác suất đồng thời = nhân các xác suất riêng lẻ

 “Ít nhất một” = 1 trừ xác suất của trường hợp “không có cái nào”

liệt kê tất cả các trường hợp có thể xảy ra với 3 phòng chiếu, phân tích từng trường hợp

đóng/mở và tính xác suất từng trường hợp một cách chi tiết nhất, để bạn thấy vì sao kết quả là như trên.

Các trạng thái có thể xảy ra với 3 phòng chiếu

Với mỗi phòng, chỉ có 2 khả năng: Hoạt động (O) hoặc Đóng cửa (X).

Vậy tổng số trường hợp là 2 x 2 x 2 = 8 trường hợp.

Ta ký hiệu:

 O = Hoạt động (Open)

 X = Đóng cửa (Closed)

Trường hợp Phòng 1 Phòng 2 Phòng 3

Tính xác suất từng trường hợp

Nhớ rằng các phòng độc lập, xác suất một trường hợp xảy ra = tích các xác suất thành phần.

 Phòng 1 hoạt động: 0,96; đóng cửa: 0,04

 Phòng 2 hoạt động: 0,7; đóng cửa: 0,3

 Phòng 3 hoạt động: 0,85; đóng cửa: 0,15

Trường hợp P1 P2 P3 Xác suất Giải thích

1 O O O 0,96 x 0,7 x 0,85 = 0,5712 Cả 3 phòng đều hoạt động

2 O O X 0,96 x 0,7 x 0,15 = 0,1008 Chỉ phòng 3 đóng cửa

3 O X O 0,96 x 0,3 x 0,85 = 0,2448 Chỉ phòng 2 đóng cửa

4 O X X 0,96 x 0,3 x 0,15 = 0,0432 Phòng 2 và 3 đều đóng cửa

5 X O O 0,04 x 0,7 x 0,85 = 0,0238 Chỉ phòng 1 đóng cửa

6 X O X 0,04 x 0,7 x 0,15 = 0,0042 Phòng 1 và 3 đóng cửa

7 X X O 0,04 x 0,3 x 0,85 = 0,0102 Phòng 1 và 2 đóng cửa

8 X X X 0,04 x 0,3 x 0,15 = 0,0018 Cả 3 phòng đều đóng cửa

Tính tổng các trường hợp

 Cả 3 phòng đều hoạt động:

Trường hợp 1: 0,5712

 Có ít nhất 1 phòng đóng cửa:

Cộng tất cả các trường hợp còn lại (trường hợp 2 đến 8):

= 0,1008 + 0,2448 + 0,0432 + 0,0238 + 0,0042 + 0,0102 + 0,0018

= 0,4288

 Tổng tất cả xác suất các trường hợp:

0,5712 + 0,4288 = 1,0000 (đúng quy tắc xác suất)

Tóm lại

Bảng phân tích chi tiết từng trường hợp cho bạn thấy rõ:

 Xác suất cả 3 phòng đều hoạt động đúng là 0,5712

 Xác suất có ít nhất 1 phòng đóng cửa đúng là 0,4288

Bài 3.

Có ý kiến cho rằng tỷ lệ sinh viên đi làm thêm là 50% Bảng phiếu điều tra thấy trong 200 Sinh Viên có 90 sinh viên có việc làm thêm với mức ý nghĩa alpha bằng 0,05 Hãy kết luận ý kiến trên.

Biết U_0,975 = 1,96; U_0,95 = 1,645.

Mình sẽ làm Bài 3 – Đề số 4 chi tiết từng bước, không dùng latex, không ký

tự đặc biệt và giải thích rõ ràng:

Phân tích đề bài

 Ý kiến giả thiết: Tỷ lệ sinh viên đi làm thêm là 50 phần trăm

 Điều tra thực tế: Trong 200 sinh viên có 90 sinh viên đi làm thêm

 Kiểm định giả thiết với mức ý nghĩa alpha = 0,05

 Các giá trị tra bảng: U_0,975 = 1,96; U_0,95 = 1,645

Các bước giải bài

Bước 1: Xác định giả thuyết kiểm định

 Giả thuyết không H0: p = 0,5 (Tỷ lệ đúng là 50 phần trăm)

 Giả thuyết đối H1: p khác 0,5

Đây là kiểm định 2 phía (vì đề hỏi "có đúng là 50% không", tức là kiểm tra cả

lớn hơn và nhỏ hơn)

Bước 2: Thống kê mẫu

 Số sinh viên khảo sát: n = 200

 Số sinh viên đi làm thêm: x = 90

 Tỷ lệ mẫu: p„ = 90 / 200 = 0,45

Bước 3: Tính thống kê kiểm định Z

Công thức kiểm định:

 Z = (p„ – p0) / căn bậc hai của [p0 × (1 – p0) / n] Trong đó:

 p„: Tỷ lệ thực tế mẫu = 0,45

 p0: Tỷ lệ giả thuyết = 0,5

 n: Kích thước mẫu = 200

Tính từng bước:

 p„ – p0 = 0,45 – 0,5 = -0,05

 p0 × (1 – p0) = 0,5 × 0,5 = 0,25

 0,25 / 200 = 0,00125

 Căn bậc hai của 0,00125 = 0,03536

Vậy:

 Z = -0,05 / 0,03536 ≈ -1,414

Bước 4: So sánh với giá trị tới hạn

 Mức ý nghĩa alpha = 0,05 (2 phía)

 Giá trị Z tới hạn là ±1,96 (vì U_0,975 = 1,96)

Vùng bác bỏ H0: Z < -1,96 hoặc Z > 1,96

Giá trị tính được: Z = -1,414 nằm không thuộc vùng bác bỏ

Bước 5: Kết luận

 Vì |Z| = 1,414 < 1,96, không đủ căn cứ bác bỏ giả thuyết H0

 Kết luận:

Với mức ý nghĩa 5 phần trăm, chưa đủ cơ sở để bác bỏ ý kiến cho rằng tỷ

lệ sinh viên đi làm thêm là 50 phần trăm

Trình bày ngắn gọn kết quả

 Tỷ lệ thực tế khảo sát: 45 phần trăm

 Giá trị kiểm định Z: khoảng -1,414

 So sánh với giá trị tới hạn: |Z| < 1,96

 Kết luận: Không bác bỏ giả thuyết, tức là chưa đủ chứng cứ để nói tỷ lệ

sinh viên đi làm thêm khác 50 phần trăm ở mức ý nghĩa 5 phần trăm.