Giải phương trình lượng giác.. Giải hệ phương trình.. Câu III1,0 điểm: Tính tích phân sau.. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng BCD 2.. PHẦN RIÊNG Dành cho thí sin
Trang 1SỞ GD&ĐT NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT-DTNT CON CUÔNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
-KÌ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG LẦN II
NĂM HỌC 2009 – 2010 MÔN: TOÁN, KHỐI A,B,D
Thời gian làm bài 180 phút không kể thời gian phát đề
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH
Câu I( 2,0 điểm): Cho hàm số: (C)
1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số
2 Cho điểm A( 0; a) Tìm a để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị (C) sao cho 2 tiếp điểm tương ứng nằm về
2 phía của trục hoành
Câu II (2,0 điểm):
1 Giải phương trình lượng giác
2 Giải hệ phương trình
Câu III(1,0 điểm): Tính tích phân sau.
3
4
4
2 cos sin
dx I
Câu VIa(2,0 điểm):
1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 4 điểm : A(1;2; 2) B(-1;2;-1) C(1;6;-1) D(-1;6;2) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (BCD)
2 Trong mp với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn : x2 +y2 -2x +6y -15=0 (C )
Viết PT đường thẳng (T) vuông góc với đường thẳng : 4x-3y+2 =0 và cắt đường tròn (C) tại A; B
sao cho AB = 6
Câu VIIa (1,0 điểm): Một hộp đựng 6 thẻ được đánh số từ 1 đến 6 Rút ngẫu nhiên 4 thẻ từ hộp đó và gép lại
được một số có 4 chữ số Tính xác suất để số được chọn không lớn hơn 6000
II PHẦN RIÊNG ( Dành cho thí sinh thi các khối A, B, D)
Câu IV(1,0 điểm): Dành cho thí sinh thi khối A.
Cho ba số thực thỏa mãn ,Chứng minh rằng:
Câu IV(1,0 điểm): Dành cho thí sinh thi khối B và D
Cho hai số thực dương x,y Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Câu V(1,0 điểm):Dành cho thí sinh thi khối A và B
Trang 2Cho tứ diện ABCD có AC = AD = , BC = BD = a, khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACD) bằng Tính
góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) Biết thể của khối tứ diện ABCD bằng
Câu V(1,0 điểm): Dành cho thí sinh thi khối D
Cho tứ diện ABCD có AC = AD = , BC = BD = a, khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACD) bằng Biết góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) là 600 Tính thể của khối tứ diện ABCD
-
HẾT -Chú ý! Thí sinh nhớ ghi rõ trên bài thi khối nào
SỞ GD&ĐT NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT-DTNT CON CUÔNG
KÌ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG LẦN II
NĂM HỌC 2009 – 2010
HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn: TOÁN: KHỐI A,B
TXĐ: D= R\{1}
y’=
Hàm số luông nghịch biến trên D và không có cực trị
0,25
PT đường TCĐ: x=1; PT đường TCN: y=1
0,25
Bảng biên thiên:
t - 1 +
f ’ (t) - + f(t)
1 +
- 1
0,25
x
y
f x ( ) = x+2 x-1
1 4
-2
5/2
Trang 32 1,0
Gọi k là hệ số góc của đt đi qua A(0;a) PT đt d có dạng y= kx+a (d)
d là tiếp tuyến với ( C ) ⇔ hệ PT có nghiệm
<=>Pt (1-a)x2 +2(a+2)x-(a+2)=0 (1) có nghiệm x ≠ 1
0,25
Theo bài ra qua A có 2 tiếp tuyến thì pt (1) có 2 nghiệm x1 ; x2 phân biệt
Khi đó theo Viet ta có : x1 +x2 = ; x1.x2 =
0,25
Suy ra y1 = 1+ ; y2 =
Để 2 tiếp điểm nằm về 2 phía của trục Ox thì y1.y2 <0
⇔ (1+ ) < 0 ⇔
0,25
Giải đk trên ta được
⇔ -(3a+2) <0 ⇔ a>-2/3
Kết hợp với đk (*) ta có 1 ≠ a>-2/3
0,25
ĐK:
0,25
Trang 4 Đối chiếu ĐK ta được nghiệm của pt đã cho là 0,25
Đặt : t = x + y ; ĐK: t
Giải PT:
0.25
0,5
Hệ đã cho trở thành
Vậy hệ dã cho có một nghiệm
0,25
3
4
4
2 cos sin
dx
3
4
2
22 cos sin
4
dx
Đặt : t = tanx
Đổi cận: x =
x =
0,5
Khi đó
3
4 3 8 )
3 2
1 ( ) 2
1 ( )
1
1
3 3
1
2 2
3
1 2
2 2
Trang 5 Nhận xét: Do nên là các số thực dương
Xét : A = với x,y > 0
Chia tử và mẫu cho và đặt t = ta được A = với t > 0
Xét hàm số f(t) = trên (0;+ )
Ta có : f ’ (t) =
Bảng biên thiên:
t 0 1 +
f ’ (t) - 0 + f(t)
1 1
Dựa vao bảng biến thiên ta có f(t) với mọi t > 0
Từ đó A = với x,y > 0; dấu bằng xảy ra khi t = 1 nên x = y.
0,5
Do vai trò là như nhau nên BĐT cần chứng minh tương đương
Áp dụng BĐT cô si ta có
Thay vào ta suy BĐT được chứng minh, dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c =
0,25
Gọi E là trung điểm của CD, kẻ BH AE
Ta có ACD cân tại A nên CD AE
Tương tự BCD cân tại B nên CD BE
Suy ra CD (ABE) CD BH
Mà BH AE suy ra BH (ACD)
0,25
H
D E C B
A
Trang 6Do đó BH = và góc giữa hai mặt phẳng
(ACD) và (BCD) là
Thể tích của khối tứ diện ABCD là
Mà
Khi đó : là 2 nghiệm của pt: x2 - x + = 0
trường hợp vì DE<a
0,25
Xét BED vuông tại E nên BE =
Xét BHE vuông tại H nên sin =
Vậy góc giữa hai mp(ACD) và (BCD) là
0,25
[ , ] = (12; -6;8)
Mp (BCD) đi qua B và có VTPT =(6;-3;4) nên có PT: 6x-3y+4z+16=0
Gọi d là đt đi qua A và vuông góc với mp(BCD) thì d có PT:
0,5
Hình chiếu vuông góc H của A lên mp(BCD) là giao điểm của d với mp(BCD)
Tọa độ của H là nghiệm của hệ :
0,5
Trang 7Vậy H( -2; -4; -4)
Đường tròn ( C) có tâm I(1;-3); bán kính R=5
Gọi H là trung điểm AB thì AH=3 và IH AB suy ra IH =4
Mặt khác IH= d( I; T )
Vì T || d: 4x-3y+2=0 nên PT của T có dạng
3x+4y+c=0
0,5
d(I; T )=
vậy có 2 đt thỏa mãn bài toán: 3x+4y+29=0 và 3x+4y-11=0
0,5
Tổng số phần tử của không gian mẫu bằng số các số có 4 chữ số khác nhau lập nên từ 6 số
1,2,3,4,5,6 do đó
025
Số có 4 chữ số không lớn hơn 6000 nên có 5 cách chọn a và có
cách chọn b,c,d
0,25
Xác suất để số được chọn không lớn hơn 6000 là 0,25
ĐK: x > 1
Với ĐK trên phương trình đã cho tương đương
0,25
0,5
0,25
I
A H B
Trang 8Vậy phương trình đã cho có một nghiệm :
