Tìm tọa độ điểm M thuộc trục Ox sao cho tam giác M AB vuông tại M.. Gọi M là trungđiểm AB, G là trọng tâm tam giác ACM và I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.. Viết phương trình
Trang 1Mục lục
Chuyên đề 10 Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng 3
§1 Tọa Độ Trong Mặt Phẳng 3
§2 Phương Trình Đường Thẳng 5
§3 Tam Giác Và Tứ Giác 8
§4 Phương Trình Đường Tròn 16
§5 Phương Trình Elip 20
Trang 3Gọi M (x; y) ta có−−→M A = (−1 − x; 1 − y),−−→M B = (2 − x; 5 − y).
Suy ra −−→M A + 2−−→M B = (3 − 3x; 11 − 3y);−−→M C = (4 − x; 3 − y)
Gọi I là tâm hình bình hành ABCD ta có I là trung điểm AC nên I 52; 4
Bài tập 10.3 Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A (−3; 2) , B (4; 3) Tìm tọa độ điểm M thuộc trục
Ox sao cho tam giác M AB vuông tại M
Lời giải Vì M ∈ Ox nên M (x; 0) ⇒−−→
Bài tập 10.4 (D-04) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A (−1; 0) , B (4; 0) , C (0; m) , m 6= 0.Tìm toạ độ trọng tâm G Tìm m để tam giác GAB vuông tại G
Lời giải Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên G 1;m3 ⇒−→GA = −2; −m3 ,−GB = 3; −→ m3
Khi đó tam giác GAB vuông tại G ⇔−→GA.−GB = 0 ⇔ −6 +→ m92 = 0 ⇔ m = ±3√6
Bài tập 10.5 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A (1; −1) , B (5; −3), đỉnh C thuộc trục Oy
và trọng tâm G thuộc trục Ox Tìm tọa độ đỉnh C và trọng tâm G
Lời giải Ta có C ∈ Oy ⇒ C(0; y), G ∈ Ox ⇒ G(x; 0) Khi đó G là trọng tâm tam giác ABC nên
Trang 4Bài tập 10.6 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A (0; 6) , B (−2; 0) , C (2; 0) Gọi M là trungđiểm AB, G là trọng tâm tam giác ACM và I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh
GI vuông góc với CM
Lời giải Ta có M là trung điểm AB ⇒ M (−1; 3), G là trọng tâm tam giác ACM ⇒ G 13; 3
Gọi I(x; y) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ta có
x = 0
y = 83 ⇒ I
0;83
Khi đó−GI = −→ 13; −13 ,−−→CM = (−3; 3) ⇒−GI.→−−→CM = 0
Vậy GI vuông góc với CM (đpcm)
Bài tập 10.7 Trong mặt phẳng Oxy, cho bốn điểm A (−1; 3) , B (0; 4) , C (3; 5) , D (8; 0) Chứng minhABCD là tứ giác nội tiếp
Vậy tứ giác ABCD nội tiếp
Bài tập 10.8 (B-03) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC vuông cân tại A Biết M (1; −1) là trungđiểm cạnh BC và G 23; 0 là trọng tâm tam giác Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác
Lời giải Gọi A(x; y), ta có−→
Vậy A(0; 2), B(4; 0), C(−2; −2) hoặc A(0; 2), B(−2; −2), C(4; 0)
Bài tập 10.9 (A-04) Trong mặt phẳng Oxy, cho A (0; 2) , B −√
3; −1 Tìm toạ độ trực tâm và tâmđường tròn ngoại tiếp tam giác OAB
Lời giải Gọi H(x; y) ta có−−→
Trang 5Gọi I(a; b) ta có −→OI = (a; b) ⇒ OI =√a2+ b2
−→
AI = (a; b − 2) ⇒ AI =√a2+ b2− 4b + 4
−→
BI = a +√3; b + 1 ⇒ BI =pa2+ b2+ 2√3a + 2b + 4Khi đó I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB khi và chỉ khi
Bài tập 10.10 (D-2010) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A (3; −7), trực tâm là
H (3; −1), tâm đường tròn ngoại tiếp là I (−2; 0) Xác định tọa độ đỉnh C, biết C có hoành độ dương.Lời giải Gọi B (x1; y1) , C (x2; y2) Ta có −−→AH = (0; 6),−BC = (x→ 2− x1; y2− y1)
Vì H là trực tâm tam giác ABC nên−−→AH.−BC = 0 ⇔ 6 (y→ 2− y1) = 0 ⇔ y2 = y1 ⇒ B (x1; y1) , C (x2; y1).Khi đó −IA = (5; −7) ⇒ IA =→ √74
−→
IB = (x1+ 2; y1) ⇒ IB =
q(x1+ 2)2+ y12
−→
IB = (x1+ 2; y1) ⇒ IC =
q(x2+ 2)2+ y2
y1= 3
y1= −7Với y1= −7 ⇒ x2 = 3 ⇒ C(3; −7) (loại)
Lời giải Gọi đường thẳng cần tìm là ∆
Vì ∆ song song với BC nên có vectơ chỉ phương −→u =−BC = (4; −1).→
Hơn nữa ∆ qua A nên có phương trình tham số
x = −1 + 4t
y = 2 − t .Bài tập 10.12 Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A (3; 5) Viết phương trình đường thẳng qua A cắt haitia Ox, Oy lần lượt tại M, N sao cho diện tích tam giác OM N bằng 30
Lời giải Gọi đường thẳng cần tìm là ∆
Giả sử ∆ cắt hai tia Ox, Oy lần lượt tại M (a; 0), N (0; b) (a, b > 0)
Khi đó ∆ có phương trình đoạn chắn x
a+
y
b = 1 ⇔ bx + ay − ab = 0.
Vì A ∈ ∆ nên 3b + 5a − ab = 0 (∗)
Lại có OM = a, ON = b ⇒ S∆OM N = 12ab Từ giả thiết suy ra 12ab = 30 ⇔ ab = 60
Với ab = 60 thay vào (∗) ta có 3.60a + 5a − 60 = 0 ⇔ 5a2− 60a + 180 = 0 ⇔ a = 6 ⇒ b = 10
Vậy ∆ có phương trình 10x + 6y − 60 = 0
Trang 6Bài tập 10.13 Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A (8; 6) Lập phương trình đường thẳng qua A và tạovới hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 12.
Lời giải Gọi đường thẳng cần tìm là ∆
Giả sử ∆ cắt hai trục Ox, Oy lần lượt tại M (a; 0), N (0; b)
Khi đó ∆ có phương trình đoạn chắn x
Với a = −8 ⇒ b = 3 ⇒ ∆ có phương trình 3x − 8y − 24 = 0
Vậy có hai phương trình của ∆ là 6x − 4y + 24 = 0 và 3x − 8y − 24 = 0
Bài tập 10.14 (D-2010) Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A (0; 2) và ∆ là đường thẳng đi qua O Gọi
H là hình chiếu vuông góc của A trên ∆ Viết phương trình đường thẳng ∆, biết khoảng cách từ H đếntrục hoành bằng AH
Lời giải Gọi H(x; y), ta có −−→
OH = (x; y),−−→AH = (x; y − 2), d(H, Ox) = |y|
Với y = −1 +√5 ⇒ x2= −8 + 4√5 ⇔ x = ±p−8 + 4√5 ⇒−−→AH =
±p−8 + 4√5; −3 +√5
.Vậy ∆ có hai phương trình làp−8 + 4√5x + √5 − 3 y = 0 và −p−8 + 4√5x + √5 − 3 y = 0.Bài tập 10.15 (CĐ-2011) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d : x + y + 3 = 0 Viết phương trìnhđường thẳng đi qua A (2; −4) và tạo với đường thẳng d một góc bằng 450
Lời giải Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến −n→
cos (∆, d) = cos 450 ⇔ √ |a + b|
2.√a2+ b2 =
√2
Với b = 0 chọn a = 1 ta có −n→∆= (1; 0) ⇒ ∆ : x − 2 = 0
Vậy có hai đường thẳng ∆ cần tìm là y + 4 = 0 và x − 2 = 0
Bài tập 10.16 Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d1 : 2x − y − 1 = 0; d2 : x + 2y − 3 = 0 vàđiểm M (2; −1) Tìm giao điểm A của d1, d2 Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M và cắt d1, d2 lầnlượt tại B, C sao cho tam giác ABC cân tại A
Lời giải Tọa độ A là nghiệm của hệ
2x − y − 1 = 0
Trang 7Với t = 0 ⇒ K(3; 0) ⇒−−→HK = (3; 1) ⇒ ∆ :
x = 2 + 3t
y = −1 + t .Với t = 2 ⇒ K(−1; 2) ⇒−−→HK = (−1; 3) ⇒ ∆ :
x = 2 − t
y = −1 + 3t .Vậy có ∆ có hai phương trình là
x = −2 − 2t
y = 1 + 2t và điểm M (3; 1) Tìm điểm
B thuộc đường thẳng ∆ sao cho đoạn M B là ngắn nhất
Lời giải Đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương −u→
Bài tập 10.19 (A-06) Trong mặt phẳng Oxy, cho ba đương thẳng d1 : x + y + 3 = 0, d2 : x − y − 4 =
0, d3 : x − 2y = 0 Tìm M ∈ d3 sao cho khoảng cách từ M đến d1 bằng hai lần khoảng cách từ M đến d2.Lời giải Ta có M ∈ d3 ⇒ M (2t; t)
Bài tập 10.20 (B-07) Trong mặt phẳng Oxy, cho A (2; 2) và các đường thẳng d1 : x + y − 2 = 0, d2 :
x + y − 8 = 0 Tìm điểm B ∈ d1 và C ∈ d2 sao cho tam giác ABC vuông cân tại A
Lời giải Ta có B ∈ d1⇒ B(t1; 2 − t1), C ∈ d2 ⇒ C(t2; 8 − t2)
Suy ra −AB = (t→ 1− 2; −t1),−→AC = (t2− 2; 6 − t2)
Theo giả thiết ta có
(t1− 2) (t2− 2) − t1(6 − t2) = 0(t1− 2)2+ t21 = (t2− 2)2+ (6 − t2)2 ⇔
t1t2− 4t1− t2+ 2 = 0 (1)
t21− 2t1= t22− 8t2+ 18 (2) .Nhận thấy t1= 1 không phải nghiệm hệ
Với t1 = 3 ⇒ t2 = 5 ⇒ B(3; −1), C(5; 3)
Vậy B(−1; 3), C(3; 5) hoặc B(3; −1), C(5; 3)
Bài tập 10.21 (B-2011) Trong mặt phẳng Oxy, cho các đường thẳng ∆ : x−y −4 = 0 và d : 2x−y −2 = 0.Tìm tọa độ điểm N thuộc d sao cho đường thẳng ON cắt đường thẳng ∆ tại điểm M thỏa mãn OM.ON = 8
Trang 8Lời giải Ta có N ∈ d ⇒ N (a; 2a − 2) ⇒−−→
ON = (a; 2a − 2) ⇒ ON có phương trình
x = at
y = (2a − 2)t .Lại có M ∈ ON ⇒ M (at; (2a − 2)t)
Mà M ∈ ∆ ⇒ at − (2a − 2)t − 4 = 0 ⇔ t = 4
2 − a ⇒ M
4a
2 − a;
4 (2a − 2)
2 − a
Khi đó ON =p5a2− 8a + 4, OM = 4
|2 − a|
p5a2− 8a + 4 ⇒ ON.OM = 4 5a
2− 8a + 4
|2 − a| .Theo giả thiết ON.OM = 8 ⇔ 4 5a
Bài tập 10.22 Trong mặt phẳng Oxy, cho P (1; 6) , Q (−3; −4) và đường thẳng ∆ : 2x − y − 1 = 0 Tìmtoạ độ M trên ∆ sao cho M P + M Q là nhỏ nhất Tìm toạ độ N trên ∆ sao cho |N P − N Q| là lớn nhất.Lời giải Nhận thấy P, Q nằm cùng phía với ∆
Gọi P0 là điểm đối xứng với P qua ∆ và lấy M ∈ ∆, ta có M P + M Q = M P0+ M Q ≥ P0Q
x = −9
y = −19 ⇒ N (−9; −19).
Vậy M (0; −1) và N (−9; −19)
§3 Tam Giác Và Tứ Giác
Bài tập 10.23 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B (−4; −5) và hai đường cao lần lượt
có phương trình là d1 : 5x + 3y − 4 = 0 và d2 : 3x + 8y + 13 = 0 Lập phương trình cạnh AC
Lời giải Nhận thấy B /∈ d1, B /∈ d2 nên có thể giả sử d1 là đường cao qua A và d2 là đường cao qua C.Đường thẳng d1 có vectơ chỉ phương −→u1= (3; −5); đường thẳng d2 có vectơ chỉ phương −→u2 = (8; −3)
Ta có A ∈ d1 ⇒ A t;4−5t
3 ⇒−BA = t + 4;→ 19−5t3
Vì d2 vuông góc với AB nên−BA.−→→u2= 0 ⇔ 8 (t + 4) − 19 + 5t = 0 ⇔ t = −1 ⇒ A (−1; 3)
Lại có C ∈ d2 ⇒ C k;−13−3k8 ⇒−BC = k + 4;→ 27−3t8
Vì d1 vuông góc với BC nên−BC.−→→u1 = 0 ⇔ 3 (k + 4) − 5 27−3k8 = 0 ⇔ k = 1 ⇒ B (1; −2)
Suy ra−AB = (2; −5) ⇒ chọn vectơ pháp tuyến của AC là −→ →n = (5; 2)
Vậy đường thẳng chứa AC có phương trình 5 (x + 1) + 2 (y − 3) = 0 ⇔ 5x + 2y − 1 = 0
Bài tập 10.24 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có phương trình AB là 5x − 3y + 2 = 0; cácđường cao qua đỉnh A và B lần lượt là d1: 4x − 3y + 1 = 0 và d2: 7x + 2y − 22 = 0 Lập phương trình haicạnh còn lại của tam giác
Lời giải Đường thẳng d1có vectơ chỉ phương −→u1 = (3; 4); đường thẳng d2có vectơ chỉ phương −→u2 = (2; −7).Tọa độ A là nghiệm của hệ
5x − 3y + 2 = 04x − 3y + 1 = 0 ⇔
Trang 9Cạnh BC qua B(2; 4) và nhận −→u1= (3; 4) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình
3 (x − 2) + 4 (y − 4) = 0 ⇔ 3x + 4y − 22 = 0Vậy hai cạnh còn lại của tam giác có phương trình là AC : 2x − 7y − 5 = 0 và BC : 3x + 4y − 22 = 0.Bài tập 10.25 (CĐ-09) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có C (−1; −2), đường trung tuyến kẻ
từ A và đường cao kẻ từ B lần lượt có phương trình là 5x + y − 9 = 0; x + 3y − 5 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh
A và B
Lời giải Đặt d1 : 5x + y − 9 = 0, d2: x + 3y − 5 = 0
Đường thẳng d2 có vectơ chỉ phương −→u2 = (3; −1)
Ta có A ∈ d1 ⇒ A(t; 9 − 5t) ⇒−→AC = (−1 − t; 5t − 11)
Vì AC⊥d2 nên −→AC.−→u2= 3(−1 − t) − (5t − 11) = 0 ⇔ t = 1 ⇒ A(1; 4)
Lại có B ∈ d2 ⇒ B(5 − 3k; k) Gọi M là trung điểm BC ⇒ M 4−3k
2 ;k−22
Khi đó M ∈ d1 nên 5.4−3k2 +k−22 − 9 = 0 ⇔ k = 0 ⇒ B (5; 0)
Vậy A(1; 4) và B(5; 0)
Bài tập 10.26 (D-09) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có M (2; 0) là trung điểm của cạnh
AB Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là d1 : 7x − 2y − 3 = 0; d2 :6x − y − 4 = 0 Viết phương trình đường thẳng AC
Lời giải Tọa độ A là nghiệm hệ
7x − 2y − 3 = 06x − y − 4 = 0 ⇔
x = 1
y = 2 ⇒ A (1; 2).
Vì B đối xứng với A qua M nên B(3; −2)
Gọi N trung điểm BC Khi đó N ∈ d1 ⇒ N t;7t−3
Bài tập 10.27 (CĐ-2013) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A(−3; 2) và có trọng tâm
G 13;13 Đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC đi qua điểm P (−2; 0) Tìm tọa độ các điểm B và C.Lời giải Gọi M là trung điểm BC; từ −→
Vậy B(7; 2), C(−3; −3) hoặc B(−3; −3), C(7; 2)
Bài tập 10.28 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A (1; 3) và hai trung tuyến kẻ từ B
và C lần lượt có phương trình d1 : x − 2y + 1 = 0 và d2 : y − 1 = 0 Lập phương trình đường thẳng chứacạnh BC
Trang 10Bài tập 10.29 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A (2; −1) và hai đường phân giác trong củagóc B, C lần lượt có phương trình là d1 : x − 2y + 1 = 0 và d2: x + y + 3 = 0 Lập phương trình cạnh BC.Lời giải Đường thẳng d1có vectơ chỉ phương −→u1 = (2; 1); đường thẳng d2có vectơ chỉ phương −→u2 = (1; −1).Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên d1 và d2 ta có
H(2t1− 1; t1), K(t2; −t2− 3) ⇒−−→AH = (2t1− 3; t1+ 1),−−→AK = (t2− 2; −t2− 2)
Khi đó AH⊥d1⇒−−→AH.−→u1 = 0 ⇔ 2(2t1− 3) + (t1+ 1) = 0 ⇔ t1 = 1 ⇒ H(1; 1)
AK⊥d2 ⇒−−→AK.−→u2 = 0 ⇔ (t2− 2) − (−t2− 2) = 0 ⇔ t2 = 0 ⇒ K(0; −3)
Gọi A1, A2 lần lượt là điểm đối xứng A qua d1, d2 ta có A1(0; 3), A2(−2; −5) ⇒−−−→A1A2 = (−2; −8)
Do đó cạnh BC qua A1(0; 3) và có vectơ pháp tuyến −→n (4; −1) nên có phương trình 4x − y + 3 = 0.Bài tập 10.30 (B-2010) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A, có đỉnh C (−4; 1), phângiác trong góc A có phương trình x + y − 5 = 0 Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tamgiác bằng 24 và đỉnh A có hoàng độ dương
Lời giải Đặt d : x + y − 5 = 0 ⇒ d có vectơ chỉ phương −→u = (1; −1).
Gọi H là hình chiếu của C trên d, ta có H ∈ d ⇒ H(t; 5 − t) ⇒−−→CH = (t + 4; 4 − t)
Vì d là phân giác trong nên B(4; −5) không thỏa mãn Với B(4; 7) ⇒−BC = (−8; −6).→
Chọn vectơ pháp tuyến của BC là −→n (3; −4) ta có phương trình BC là
3(x − 4) − 4(y − 7) = 0 ⇔ 3x − 4y + 16 = 0Bài tập 10.31 (B-2013) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có chân đường cao hạ từ đỉnh A là
H 175 ; −15, chân đường phân giác trong góc A là D(5; 3) và trung điểm của cạnh AB là M (0; 1) Tìm tọa
độ đỉnh C
Lời giải Ta có −−→
HD = 85;165 ⇒ HD có phương trình 2x − y − 7 = 0
Đường thẳng AH vuông góc với HD nên có phương trình: x + 2y − 3 = 0
Điểm B ∈ HD ⇒ B(t; 2t − 7); điểm A đối xứng với B qua M nên A(−t; 9 − 2t)
Ta có A ∈ AH nên −t + 2(9 − 2t) − 3 = 0 ⇔ t = 3 ⇒ A(−3; 3)
Khi đó−AD = (8; 0) ⇒ đường thẳng AD có phương trình y − 3 = 0.→
Gọi M0 là điểm đối xứng với M qua AD ta có M0 ∈ AC
Gọi I = M M0∩ AD ⇒ I(a; 3) ⇒−M I = (a; 2).→
Ta có M I⊥AD nên−M I.→−AD = 0 ⇔ 8a = 0 ⇔ a = 0 ⇒ I(0; 3) ⇒ M→ 0(0; 5)
Khi đó−−→AM0 = (3; 2) ⇒ đường thẳng AC có phương trình 2x − 3y + 15 = 0
Tọa độ C là nghiệm hệ
(2x − y − 7 = 02x − 3y + 15 = 0 ⇔
(
x = 9
y = 11 .Vậy C(9; 11)
Bài tập 10.32 (CĐ-2012) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC Các đường thẳng BC, BB0, B0C0lần lượt có phương trình là y − 2 = 0, x − y + 2 = 0, x − 3y + 2 = 0 với B0, C0 tương ứng là chân các đườngcao kẻ từ B, C của tam giác ABC Viết phương trình các đường thẳng AB, AC
Trang 11Lời giải Tọa độ B0 là nghiệm của hệ
Đường thẳng BB0 có vectơ chỉ phương −→u = (1; 1)
Đường thẳng AC qua B0(−2; 0) và nhận −→u = (1; 1) làm vectơ pháp tuyến
⇒ AB có phương trình 2x − y + 2 = 0
Vậy cạnh AC có phương trình x+y +2 = 0; cạnh AB có hai phương trình x−y +2 = 0 và 2x−y +2 = 0.Bài tập 10.33 (A-2010) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A (6; 6); đườngthẳng đi qua trung điểm của các cạnh AB và AC có phương trình x + y − 4 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh B
và C, biết điểm E (1; −3) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho
Lời giải Đặt d : x + y − 4 = 0 Đường thẳng d có vectơ chỉ phương −→u = (1; −1).
Gọi M là trung điểm BC Vì ∆ABC cân tại A nên M đối xứng với A qua d
Gọi H là hình chiếu của A trên d ⇒ H(t; 4 − t) ⇒−−→AH = (t − 6; −t − 2)
Vì AH⊥d nên −−→AH.−→u = 0 ⇔ t − 6 + t + 2 = 0 ⇔ t = 2 ⇒ H(2; 2) ⇒ M (−2; −2)
Đường thẳng BC nhận −−→AM = (−8; −8) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình x + y + 4 = 0
Bài tập 10.34 (D-2013) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có điểm M −92;32 là trung điểmcủa cạnh AB, điểm H(−2; 4) và điểm I(−1; 1) lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và tâm đường tròn ngoạitiếp tam giác ABC Tìm tọa độ điểm C
Lời giải Đường thẳng AB qua M −92;32 và nhận−IM = −→ 72;12 làm vectơ pháp tuyến
Đường thẳng AC nhận −−→BH = (3; 6) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình x + 2y − 6 = 0.Điểm C ∈ AC ⇒ C(−2t + 6; t) ⇒−IC = (−2t + 7; t − 1) ⇒ IC =→ √5t2− 30t + 50
Đường thẳng AC nhận −−→BH = (2; −1) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình 2x − y + 8 = 0.Điểm C ∈ AC ⇒ C(t; 2t + 8) ⇒−IC = (t + 1; 2t + 7) ⇒ IC =→ √5t2+ 30t + 50
Trang 12Bài tập 10.35 (A-02) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A, đường thẳng chứa BC cóphương trình√3x − y −√3 = 0, A và điểm B thuộc trục Ox, bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2 Tìmtrọng tâm tam giác ABC.
Lời giải Từ giả thiết ta có B = Ox ∩ BC ⇒ B(1; 0); A ∈ Ox ⇒ A(a; 0)
Tam giác ABC vuông tại A nên C(a; b)
Lại có C ∈ BC ⇒√3a − b −√3 = 0 ⇔ b =√3a√3 ⇒ C(a;√3a√3)
Suy ra AB = |a − 1|, AC =√3|a − 1|, BC = 2|a − 1| ⇒ p = 12 3 +√3 |a − 1| , S = √3
2 (a − 1)2.Khi đó S = pr ⇔
√ 3
2 (a − 1)2 = 3 +√3 |a − 1| ⇔ |a − 1| = 2 √3 + 1 ⇔
a = 2√3 + 3
a = −2√3 − 1 .Với a = 2√3 + 3 ⇒ A 2√3 + 3; 0 , C 2√3 + 3; 2√3 + 6 ⇒ G4√3+7
√ 3+6 3
.Với a = −2√3 − 1 ⇒ A −2√3 − 1; 0 , C −2√3 − 1; −2√3 − 6 ⇒ G−4√3−1
√ 3−6 3
.Vậy G
4√3+7
√ 3+6 3
hoặc G
−4√3−1
√ 3−6 3
Bài tập 10.36 (B-2011) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B 12; 1 Đường tròn nội tiếptam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tương ứng tại các điểm DEF Cho D (3; 1) và đườngthẳng EF có phương trình y − 3 = 0 Tìm tọa độ điểm A, biết A có tung độ dương
Lời giải Ta có −−→
BD = 52; 0 ⇒ BD||EF ⇒ ∆ABC cân tại A
Khi đó AD⊥EF nên có phương trình x − 3 = 0
Do đó AB có phương trình 4x + 3y − 5 = 0
Tọa độ A là nghiệm hệ
x − 3 = 04x + 3y − 5 = 0 ⇔
Gọi H0 là điểm đối xứng với H qua d1⇒ H0(−3; 1)
Khi đó H0 ∈ AC mà AC⊥d2 nên nhận u2(3; −4) làm vectơ pháp tuyến
Do đó AC có phương trình 3x − 4y + 13 = 0
Khi đó tọa độ A là nghiệm hệ
x − y + 2 = 03x − 4y + 13 = 0 ⇔
và đường thẳng chứa phân giác trong của góc A có phương trình x − y − 1 = 0 Tìm tọa độ đỉnh A và C