Skkn sử dụng phương pháp tọa Độ hóa hình học phẳng Để giải một số bài toán liên quan vectơ trong chương trình toán 10 gdpt 2018

Giúp học sinh trong việc chuyển từ bài toán vectơ theo định nghĩa sang bài toán sử dụng biểu thức tọa độ là một trong những phương pháp giảng dạy hiệu quả nhất giúp học sinh tự tìm tòi v

1

PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1 Lý do chọn đề tài

Toán học là một trong những môn học khó, học sinh muốn học tốt cần phải hiểu được bản chất của các vấn đề, biết được định hướng khai thác các tính chất đặc trưng của bài toán để vận dụng giải các bài tập Mặt khác bài tập toán rất đa dạng và phong phú, trong phân phối chương trình số tiết ôn tập lại không nhiều so với nhu cầu luyện tập các dạng bài tập cho học sinh Chính vì thế, giáo viên khi giảng dạy cần phải định hướng cho học sinh cách khai thác giả thiết một cách tốt nhất, hiệu quả nhất nhằm giúp các em có định hướng trong việc giải bài tập Hướng dẫn cho học sinh định hướng khai thác giả thiết sẽ tạo cho học sinh có cảm giác mình đã giải được bài toán, tạo cho học sinh niềm say mê, sự hứng thú và yêu thích môn học

Trong chương trình toán 10, vectơ là một chuyên đề mới và tương đối khó với học sinh Các em thường không có được hướng tiếp cận các bài toán về vectơ

để tìm ra định hướng giải Gặp những câu hỏi liên quan đến chủ đề này học sinh thường lúng túng trong việc tìm ra cách giải Bài toán liên quan tới vectơ thường

có hai hướng giải quyết: một là sử dụng định nghĩa, tính chất của vectơ; hai là sử dụng biểu thức tọa độ vectơ Tuy nhiên đối với hướng giải quyết thứ hai thì học sinh chỉ hay dùng trong các bài toán đã cho sẵn trong hệ tọa độ và làm theo cách này thì học sinh cảm thấy việc tìm ra cách giải bài toán dễ dàng hơn Giúp học sinh trong việc chuyển từ bài toán vectơ theo định nghĩa sang bài toán

sử dụng biểu thức tọa độ là một trong những phương pháp giảng dạy hiệu quả nhất giúp học sinh tự tìm tòi và sáng tạo trong việc giải các bài tập liên quan tới vấn

đề này

Qua thực tế giảng dạy ở trường trung học phổ thông Đô Lương 3 chúng tôi

đã tìm tòi và nghiên cứu phương pháp tọa độ hóa để giải các bài toán liên quan tới vectơ, việc chuyển sang hệ tọa độ nhằm giúp học sinh giải được các bài

tập khó Vì vậy chúng tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm để nghiên cứu là “Sử dụng phương pháp tọa độ hóa hình học phẳng để giải một số bài toán liên quan vectơ trong chương trình toán 10 - GDPT 2018”

Việc đưa các yếu tố hình học vào hệ tọa độ không những giúp đơn giản hóa các phép chứng minh, mà còn mở rộng khả năng vận dụng đại số vào hình học Đề tài này nhằm mục tiêu tìm hiểu và vận dụng phương pháp tọa độ hóa để giải quyết các bài toán vectơ một cách hiệu quả, logic và dễ hiểu hơn

1.2 Mục đích nghiên cứu

Trong chương trình Toán 10 - Chương trình Giáo dục Phổ thông 2018, nội dung về véc tơ và phương pháp tọa độ trong mặt phẳng giữ vai trò quan trọng

2

trong việc phát triển tư duy rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh Phương pháp tọa độ không chỉ giúp học sinh giải quyết các bài toán một cách logic, chặt chẽ mà còn tạo tiền đề cho việc học các nội dung nâng cao ở các lớp 11, 12, đặc biệt tạo tiền đề cho các em biết sử dụng toạ độ hoá để giải các bài toán hình học không gian

Tuy nhiên, thực tế giảng dạy cho thấy nhiều học sinh gặp khó khăn trong việc giải các bài toán liên quan vectơ, vận dụng véc tơ kết hợp với phương pháp tọa độ để giải các bài toán hình học Những sai sót phổ biến bao gồm: xác định sai tọa độ điểm, nhầm lẫn trong phép toán với véc tơ, chưa biết cách khai thác phương pháp tọa độ để đơn giản hóa bài toán

Xuất phát từ thực tế đó, tôi lựa chọn đề tài "Sử dụng tọa độ hóa hình học phẳng để giải một số bài toán liên quan đến véc tơ trong chương trình Toán 10 - GDPT 2018" nhằm giúp học sinh hiểu rõ hơn về cách sử dụng phương pháp tọa độ

trong các bài toán véc tơ, từ đó nâng cao năng lực tư duy toán học và khả năng vận dụng vào giải bài toán thực tế

1.3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: là học sinh lớp 10

- Phạm vi nghiên cứu: Nội dung véc tơ và tọa độ trong mặt phẳng thuộc chương trình Toán 10 - GDPT 2018

1.4 Phương pháp nghiên cứu

1.4.1.Nghiên cứu lí luận

Nghiên cứu cơ sở lí luận để làm sáng tỏ cách chuyển bài toán sang bài toán được cho trong hệ tọa độ nhằm áp dụng để giải các dạng bài tập liên quan tới tích

vô hướng của hai vectơ nói riêng và bài tập toán nói chung

1.4.2 Nghiên cứu thực tiễn

Nghiên cứu nội dung sách giáo khoa và tìm hiểu chương trình Toán lớp 10 THPT, nghiên cứu các tài liệu tham khảo có liên quan để xác định các dạng bài tập

có liên quan tới vectơ Từ đó xác định cách chuyển bài toán sang bài toán cho trong hệ tọa độ và sử dụng các kiến thức trong hệ tọa độ trong mặt phẳng để vận dụng giải các bài tập nhanh và chính xác nhất

1.4.3 Thực nghiệm sư phạm

Tiến hành giảng dạy song song với việc tìm hiểu học sinh lớp 10T1 trường THPT Đô Lương 3 Trên cơ sở phân tích kết quả thu được trong quá trình thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi và tính hiệu quả của các biện pháp do đề tài đưa ra

3

Thời gian tiến hành thực nghiệm sư phạm: Từ tháng 9 năm 2024 đến tháng

03 năm 2025

Địa điểm: Trường THPT Đô Lương 3

1.5 Điểm mới của đề tài

- Đề tài đã đưa ra một số phân tích, định hướng và cách nhìn mới trong việc sử dụng phương pháp tọa độ hóa để giải một số bài toán liên quan đến vectơ

- Từ các phân tích định hướng này giúp các em học sinh có thể phân loại và đưa

ra phương pháp giải phù hợp để giải một số dạng bài tập thường gặp về vectơ

PHẦN II NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận

Việc dạy học toán trong nhà trường phổ thông không chỉ giúp học sinh hiểu được sâu sắc và đầy đủ các kiến thức toán học mà còn giúp các em vận dụng các kiến thức đó giải quyết nhiệm vụ của bài tập toán Để đạt được điều đó, học sinh phải có những định hướng đúng đắn nhất trong việc giải toán Kỹ năng biến đổi giả thiết để tìm ra định hướng giải toán là thước đo độ sâu sắc và vững vàng những kiến thức toán mà học sinh đã được học

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Qua thực tế khảo sát học sinh các lớp trực tiếp giảng dạy và học sinh các khối lớp trong trường tôi nhận thấy việc định hướng tìm ra lời giải của học sinh, đặc biệt là học sinh lớp 10 còn tương đối thụ động, phụ thuộc vào giáo viên giảng dạy, đặc biệt việc giải các bài toán khó còn rất hạn chế Khi gặp một dạng bài tập toán học sinh thường lúng túng trong quá trình phân tích, phân loại dạng bài tập và

sử dụng kiến thức liên quan để giải quyết bài toán đó Các tài liệu tham khảo hiện

có thường chỉ giải một số bài tập cụ thể, vì vậy học sinh không áp dụng được cho các dạng bài tập ở dạng tương tự Các năm gần đây, để phân loại học sinh khá giỏi, trong các đề thi thường xuyên xuất hiện một số câu hỏi khó liên quan tới vectơ và

có thể dùng phương pháp tọa độ hóa để giải Khi gặp những dạng bài tập này đòi hỏi học sinh phải sử dụng nhiều kỹ năng biến đổi vectơ, mà đây là kỹ năng mà học sinh lớp 10 còn chưa được thành thạo và vận dụng chưa linh hoạt Tuy nhiên nếu sửa dụng biểu thức tọa độ thì học sinh sẽ đưa ra được định hướng và cách giải

nhanh và chính xác Xuất phát từ thực trạng đó tôi đã viết đề tài "Sử dụng tọa độ hóa hình học phẳng để giải một số bài toán liên quan đến véc tơ trong chương trình Toán 10 - GDPT 2018" nhằm giúp học sinh có cái nhìn tổng quan về

dạng toán này, phân loại và đưa ra các phương pháp giải phù hợp với từng dạng bài tập, giúp học sinh khắc sâu kiến thức và vận dụng để giải quyết được các câu

+ Quy tắc ba điểm: Với ba điểm A B C, , ta có: AB BC  AC

+ Quy tắc hình bình hành: Nếu OABC là hình bình hành thì ta có OA OC OB  

u v x x y y

1 1 ( ; )

k u kx ky với k ∈ ℝ

2.5 Phương pháp giải bài toán véctơ bằng tọa độ

Bước 1: Xác định hệ trục tọa độ phù hợp

 Chọn hệ trục toạ độ sao cho đơn giản hóa tọa độ các điểm

 Xác định tọa độ các điểm liên quan trong bài toán

5

Bước 2: Thiết lập phương trình véc tơ trong hệ tọa độ

 Xác định các véc tơ cần thiết

 Biểu diễn véc tơ bằng tọa độ

 Sử dụng các phép toán véc tơ để lập phương trình toán học liên quan vấn đề cần giải quyết

Bước 3: Giải quyết bài toán

 Sử dụng phương trình, các tính chất véc tơ để tìm lời giải

 Kiểm tra lại kết quả đảm bảo tính chính xác

2.6 Các bài toán mẫu và hướng dẫn giải

Dạng 1: Các bài toán liên quan đến tam giác

Bài toán 1: Cho tam giác ABC là tam giác đều cạnh bằng , a M là điểm di động trên đường thẳng AC Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

T  MA MB MC 3 MA MB MC

Phân tích bài toán:

+) Đối với bài tập này trước hết ta chọn hệ tọa độ Oxy sao cho phương trình

đường thẳng AC đơn giản nhất

+) Khi đó ta sử dụng các phép toán về tọa độ vectơ và tọa độ điểm để tính giá trị biểu thức T

+) Kết hợp với phương pháp tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất để giải quyết bài toán

Bài giải: Chọn hệ tọa độ Oxy như hình vẽ Toạ độ các điểm 1; 3

2MB MB MC a là một đường tròn Tìm bán kính của đường tròn đó

Phân tích bài toán:

+) Đây là một ví dụ hay xuất hiện trong các câu hỏi trắc nghiệm, vì vậy phương pháp tọa độ hóa sẽ ưu việt hơn khi thời gian định hướng tìm ra lời giải được rút ngắn hơn

Bài giải:

Chọn hệ toạ độ Oxy như hình vẽ:

Khi đó ta có B(0;0); ( ;0)C a Gọi tọa độ điểm M là M x y( ; )

Gọi N là điểm thoả mãn 2NI 3NK 0 NI 3, NK 2 Khi đó u10.MN

u ngắn nhất khi N là hình chiếu vuông góc của M lên đoạn thẳng

8

Qua lời giải trên ta thấy dùng toạ độ các em dễ hiểu, rút ngắn thời gian giải

Bài toán 4: Cho tam giác đều ABC cạnh 24cm Điểm M nằm trên cạnh BC sao cho MA 2MB 3MC đạt giá trị nhỏ nhất.Khi đó tính BM ?

Tương tự như bài toán 3 nếu các em tách thì nhận thấy hệ số các vecto lần lượt 1,2,3 nên tách 3MC MC2MC làm hoàn toàn như bài 3 Tuy nhiên nếu hệ

số các vecto đó không có quy luật như bài toán 3 thì cách sử dụng vecto trở nên phức tạp

Chúng ta một lần nữa thấy được ưu điểm của việc sử dụng toạ độ hoá cho bài toán này Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ

Toạ độ các điểm A12;12 3 , C24;0 ,  B 0;0 Điểm M nằm trên cạnh BC

Bài toán 5: Cho tam giác đều ABC cạnh a M là điểm bất kỳ Chứng minh biểu

thức T  5.MA2.MB7.MC không phụ thuộc vào vị trí của điểm M

Chọn hệ trục toạ độ Oxy như hình vẽ

Bài toán 7 (Tổng quát): Cho tam giác đều ABC cạnh a Điểm M nằm trên cạnh

AB sao cho k MA l MB m MC (trong đó , , k l m các số thực) đạt giá trị nhỏ

nhất Khi đó tính BM ?

Tổng quát các em gắn hệ trục toạ độ như bài toán 3, bài toán 4 Lưu ý điểm

M thuộc cạnh nào ta chọn cạnh đó nằm trên trục Ox để bài toán đơn giản hơn

Cạnh tam giác là a ta quy đổi toạ độ ngầm a1, kết quả nhân thêm a

Các bài toán liên quan tam giác vuông thì ta chọn hệ trục toạ độ gắn hai cạnh góc vuông Từ giả thiết bài toán ta cũng tính được toạ độ các yếu tố liên quan

Bài toán 8 Cho tam giác ABC vuông tại A, AB2a , ACa Mlà điểm bất kỳ Tính T  MA2.MB3.MC

Giải: Chọn hệ trục toạ độ Oxy như hình vẽ

Toạ độ các điểm C 0;1 , A 0;0 , B 2;0 Điểm M bất kỳM x y( ; ),

11

Dạng 2: Các bài toán liên quan hình vuông

Khi gặp các bài toán này chúng tôi hướng dẫn học sinh chọn hệ trục toạ độ gắn với 2 cạnh hình vuông, tuỳ vào giả thiết để chọn gốc toạ độ cho bài toán trở nên đơn giản hơn

Bài toán 9: Cho ABCD là hình vuông cạnh a Đường thẳng d đi qua điểm D

và song song với AC Điểm M di chuyển trên đường thẳng d Tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức T  MA2MB MC 

Phân tích bài toán:

+) Vấn đề khó của bài toán này là cách giải bằng các phép biến đổi vectơ

+) Khi sửa dụng phương pháp tọa độ hóa thì vấn đề nên chọn hệ tọa độ Oxy sao

cho việc tìm tọa độ các điểm và phương trình đường thẳng AC nhanh nhất

Bài giải: Chọn hệ tọa độ Oxy như hình vẽ:

Khi đó ta có A 0;0 B 0;1 C 1;1 D 1;0 Đường thẳng d đi qua điểm D và song song với AC có phương trình y x 1

Do điểm M thuộc đường thẳng d nên gọi tọa độ điểm M là M x x( ; 1) Ta có

Đẳng thức xảy ra khi x1 hay điểm M D

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thứcT  MA2MB MC 3 2.a

12

Bài toán 10: Cho hình vuông ABCD cạnh 4cm M là điểm bất kỳ thuộc cạnh

CD Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T  2.MAMBMC ?

Giá trị nhỏ nhất T 16 đạt được khi x2

Bài toán 11: Cho hình vuông ABCD ; E là trung điểm của AB, F là điểm sao

Phân tích bài toán:

+) Viáo viên hướng dẫn học sinh chọn hệ tọa độ và chuẩn hóa cạnh của hình vuông, giúp cho việc tính toán trở nên dễ dàng hơn

+) Ý tưởng chuẩn hóa thường gặp trong các bài toán mà đáp số không phụ thuộc vào độ dài cạnh của hình vuông (như: xác định vị trí điểm; tính số đo góc…)

Bài toán 12: Một khung sắt hình vuông cạnh 60 cm Một con kiến bò trên cạnh

AB từ đỉnh A đến đỉnh B Khi nó bò đến vị trí N sao cho tổng bình phương các khoảng cách từ N đến các đỉnh B,C,D đạt giá trị nhỏ nhất Khi đó con kiến đã bò được quãng đường bao nhiêu?

Ở bài toán này các em có thể sử dụng nhiều cách giải khác nhau như sử dụng véc

tơ, pitago,

Do GB, GC, GD không đổi, nên T đạt giá trị nhỏ nhất  NG nhỏ nhất

N là hình chiếu vuông góc của G lên AB

Kết luận con kiến bò quãng đường 40 cm

Bài toán 13: Cho hình vuông ABCD tâm I và cạnh bằng a M là điểm thỏa mãn hệ thức MA MC 2MC2IC  ABAD Tìm khoảng cách lớn nhất từ điểm M tới điểm D

Phân tích bài toán:

+) Đây là một ví dụ khó, giáo viên phải định hướng cho học sinh trước hết phải tìm quỹ tích điểm M

+) Ví dụ này giải bằng phương pháp tọa độ hóa thì học sinh dễ hơn trong việc định hướng cách giải

Bài giải: Chọn hệ tọa độ Oxy như hình vẽ:

Bài toán 15 (Tổng quát): Cho hình vuông ABCD cạnh a M là điểm bất kỳ thuộc

cạnh CD Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T  k MA l MB  m MC ? với ., ,

k l m các số thực

Dạng 3: Các bài toán liên quan đến hình chữ nhật, hình thang vuông, tứ giác

Bài toán 16: Cho hình chữ nhật ABCD có AB2AD BC, a M là điểm di

động trên đường thẳng BC Tìm giá trị nhỏ nhất của của biểu thức

T  MA2.MB3.MC

Phân tích bài toán:

+) Giáo viên có thể để học sinh tự định hướng trong việc chọn hệ tọa độ Oxy

x  Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 2a

Bài toán 17: Cho hình chữ nhật ABCD có ADa , AB2a Gọi M và N lần lượt

là trung điểm của AB và CD Tính T  2.CM 3.AN

19

Ta có D     0;5 ,A 0;0 ,B 8;0 , AB 8;0 , BD  8;5

D 64

AB B

Như vậy dùng toạ độ giúp các em rất dễ hiểu

Các bài toán liên quan hình thang vuông cũng hoàn toàn tương tự như hình chữ nhật Gắn hệ trục toạ độ tại 2 cạnh vuông góc của hình thang vuông

Bài toán 19: Cho hình thang vuông ABCD đường cao ADh, cạnh đáy

Phân tích bài toán:

+) Đây là một ví dụ khó, khó ở vấn đề khai thác được giả thiết 6, 9

Bài toán 38: Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng 10 Biết tập hợp các điểm M

thỏa mãn MA 5MB 4MC  MA 5MB 4MC là một đường tròn Hỏi đường tròn

2.7 Hiệu quả của sáng kiến

Khi áp dụng đề tài này trong quá trình giảng dạy môn toán ở trường trung học phổ Đô Lương 3, chúng tôi thấy học sinh nắm bắt và vận dụng rất nhanh phương pháp tọa độ hóa, vận dụng linh hoạt các kiến thức về tọa độ vectơ và tọa

độ điểm để áp dụng vào các bài toán liên qua tới vectơ Ngoài ra học sinh còn vận dụng phương pháp tọa độ hóa để giải một số bài toán hình học phẳng

2.7.1 Trước khi thực hiện sáng kiến kinh nghiệm

Lớp Sĩ số

Kết quả học tập môn toán

SL TL (%) SL TL (%) SL TL (%) SL TL (%) 10T1 48 19 39,58 24 50 5 10,42 0 0

2.7.2 Sau khi thực hiện sáng kiến kinh nghiệm

Lớp Sĩ số

Kết quả học tập môn toán

SL TL (%) SL TL (%) SL TL (%) SL TL (%) 10T1 48 42 87,5 6 12,5