Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình mũ, lôgarit luyện thi đại học

Hàm Số Lũy Thừa.. Hàm Số Lũy Thừa.. Phương Trình & Bất Phương Trình Lôgarit.. Hệ Phương Trình Mũ & Lôgarit... Hàm Số Lũy Thừa... Hàm Số Lũy Thừa... Phương Trình & Bất Phương Trình MũBài

Chuyên đề 4 Hàm Số Lũy Thừa Hàm Số Mũ & Hàm Số Lôgarit 3

§1 Lũy Thừa 3

§2 Lôgarit 4

§3 Hàm Số Lũy Thừa Hàm Số Mũ & Hàm Số Lôgarit 6

§4 Phương Trình & Bất Phương Trình Mũ 8

§5 Phương Trình & Bất Phương Trình Lôgarit 13

§6 Hệ Phương Trình Mũ & Lôgarit 21

Hàm Số Lũy Thừa Hàm Số Mũ & Hàm

− 4

−1 1 2.e) 81−0,75+

1125

− 1 3

− 132

− 3 5

√

6q

25 + 4√6 + 3

q

1 + 2√6

3q

1 − 2√6.Lời giải

a) (0, 04)−1,5− (0, 125)−23 = 1

25

− 3

− 18

−1 1 2

=



−12

−4

− 54
1

4 − 94

− 3 2

1125

− 1

− 132

√

3 = 24

√ 3−2√3− 22

√ 3−2−2√3= 22

√

3−1

4.h)

1 − 2√6 = −2√323.Bài tập 4.2 Rút gọn các biểu thức sau:

√

a +√6b .c)

√

a − b3

√

a −√3b −

a + b3

√

a +√3b.e)

√

a +√3b −

3

√ab

:

3

√

a − 3

√b

2

g) a − 1

a3 + a1.

√

a +√4a

√

a +√4b =

4

√

a −√4b

 4

4

√

a + 1 .a

1+ 1 = (

a) Ta có: √310 >√38 = 2 và √520 <√532 = 2 Do đó √3 10 >√520

b) Ta có: √413 = 20√371293 và √523 = 20√279841 Do đó √413 >√523

c) Ta có: 3600 = 27200 và 5400= 25200 Do đó 3600> 5400

d) Ta có: √37 +√15 <√38 +√16 = 6 và√10 +√328 >√9 +√327 = 6 Do đó: √37 +√15 <√10 +√328.Bài tập 4.4 Tính A =pa + b + c + 2√ab + bc +pa + b + c − 2√ab + bc, (a, b, c > 0, a + c > b)

d) log 45 − 2 log 3 e) 3log2log416 + log12 f) log248 −1

3log227

g) log 0, 375 − 2 log√0, 5625 h) 5 ln e−1+ 4 ln e2√e
i) log 72 − 2 log 27

256+ log

√108.Lời giải

a) log3√4

3 = log3314 = 1

4.b) log258.log85 = log528.log85 = 1

2log58.log85 =

1

2.c) 2log27log 1000 = 2log33log 103 = 2

3log33 =

2

3.d) log 45 − 2 log 3 = log 45 − log 9 = log45

9 = log 5.

e) 3log2log416 + log1

22 = 3log2log442+ log2−12 = 3log22 − log22 = 2

!

log72 + 1

log57

log 7 c) log5log5 5

r5q √55

log224 −12log272log318 −13log372. f) 9

2log34+4log812.g) 161+log4 5+ 412 log23+3log55 h)811−1log9 4

!

= logaa

47 15

a14

= logaa17360 = 173

60 .b)



log72 + 1

log57

log 7 = log 7.log72 + log 7.log75 = log 2 + log 5 = 1

c) log5log5 5

r5q 5

√5

log2 4√10
log2160 =

1

2log2160log2160 =

1

2.e) log224 −

1

2log272log318 −13log372 =

log2(8.3) − 12log2(8.9)log3(2.9) − 13log3(9.8) =

3 2 4 3

= 9

8.f) 92log3 4+4log812 = 9log3 16+log32 = 9log3 32=3log3 322 = 1024

g) 161+log4 5+ 41log2 3+3log55 = 16.16log4 5+ 2log2 3.43 = 16.4log4 52+ 3.64 = 448



= 45

2 .Bài tập 4.7 So sánh các cặp số sau:

a) log365 và log356 b) log1

2 < 1 Do đó log1e > log1π.

c) Ta có: log210 > log28 = 3 và log530 < log5125 = 3 Do đó log28 > log530

d) Ta có: log53 > log51 = 0 và log0.32 < log0.31 = 0 Do đó log53 > log0.32

e) Ta có: log35 > log33 = 1 và log74 < log77 = 1 Do đó log35 > log74

f) Ta có: log310 > log39 = 2 và log857 < log864 = 2 Do đó log310 > log857

Bài tập 4.8 Tính log41250 theo a, biết a = log25

Lời giải Ta có: log41250 = 1

Bài tập 4.9 Tính log54168 theo a, b, biết a = log712, b = log1224.

Lời giải Ta có: log54168 = log7168

log754 =

log7(3.7.23)log7(2.33) =

log73 + 1 + 3log72log72 + 3log73 .Lại có:

Từ đó ta có: log54168 = 3a − 2ab + 1 + 3(ab − a)

ab − a + 3(3a − 2ab) =

ab + 1a(8 − 5b).Bài tập 4.10 Tính log√ 3

25135 theo a, b, biết a = log475, b = log845

Lời giải Ta có: log√ 3

3

2.

log2(27.5)log25 =

3

2.

3log23 + log25log25 .Lại có:

Lời giải Ta có: log14063 = log263

log2140 =

log2(9.7)log2(4.5.7) =

2 + ab +1c =

2ac + 12c + abc + 1.Bài tập 4.12 Chứng minh rằng ab + 5 (a − b) = 1, biết a = log1218, b = log2454

Lời giải Ta có: a = log1218 = log218

§3 Hàm Số Lũy Thừa Hàm Số Mũ & Hàm Số Lôgarit

Bài tập 4.13 Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) y = (x2− 3x + 2)−4 b) y = x2− 2
−2

c) y = (2x − 1)13.d) y = 2 − x2

2

√ 2

f) y = (3x − x2)π.Lời giải

c) y = e4x+ 1 − ln x
π.d) y = 2xex+ 3 sin 2x e) y = log x2+ x + 1
f) y = ln e

x

1 + ex.g) y = x

2 −

14



e2x h) y = 2 ln x + 1

x+ ln x2+ 3x + 5

.c) y0 = π

2e

2x+ 2 x

2 −

14



e2x= xe2x.h) y0 =

2

x(4 ln x − 5) − 4x(2 ln x + 1)

(4 ln x − 5)2 = −

14x(4 ln x − 5)2.i) y0 = 2e

x+x22x+3+3x+5

2ex+ ln (x2+ 3x + 5) = −

2ex x2+ 3x + 5
+ 2x + 3(x2+ 3x + 5) (2ex+ ln (x2+ 3x + 5)).Bài tập 4.16 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) y = x − e2x trên [0; 1] b) y = e2x− 2ex trên [−1; 2] c) y = (x + 1) ex trên [−1; 2].d) y = ln 3 + 2x − x2
trên [0; 2]. e) y = ln 4 − 3x2− x4
f) y = x2− ln (1 − 2x) trên [−2; 0].g) y = x2ln x trên [1; e] h) y = x2e−x trên [0; ln 8] i) y = 5x+ 51−x trên [0; log58].Lời giải

a) Ta có: y0= 1 − 2ex; y0 = 0 ⇔ x = ln12 (loại); y(0) = −1, y(1) = 1 − e2

Do đó max

[0;1] y = y(0) = −1; min

[0;1]y = y(1) = 1 − e2.b) Ta có: y0 = 2e2x− 2ex; y0= 0 ⇔ x = 0; y(−1) = e−2− 2e−1, y(2) = e4− 2e2, y(0) = −1

(loại); y(1) = 0, y(e) = e2

Do đó max

[0;log58]y = y (log58) = 698; min

[0;log58]y = y 12
= 2√5

§4 Phương Trình & Bất Phương Trình Mũ

Bài tập 4.17 Giải các phương trình, bất phương trình sau:



x = −2

x = −12 .c) 1

81x+10x−10 = 1

27.27

x+5 x−15 ⇔ 34x+40x−10 = 3−3.33x+15x−15 ⇔ 34x+40x−10 = 3x−1560

e) Điều kiện x 6= 1, x 6= 3 Khi đó

41.

Bài tập 4.19 Giải các phương trình, bất phương trình sau:

a) 42x+1.54x+3= 5.102x2+3x+1 b) 2x2.7x2+1 < 7.142x2−4x+3

c) 3 + 2√2
x+1≥ 3 − 2√2
2x+8 d) √5 + 2
x−1

≥ √5 − 2

x−1.Lời giải

a) 42x+1.54x+3= 5.102x2+3x+1⇔ 104x+2= 102x2+3x+1⇔ 4x + 2 = 2x2+ 3x + 1 ⇔



x = 1

x = −12b) 2x2.7x2+1< 7.142x2−4x+3⇔ 14x 2

< 142x2−4x+3⇔ x2< 2x2− 4x + 3 ⇔



x > 3

x < 1 .c) 3 + 2√2
x+1

≥ 3 − 2√2
2x+8

⇔ 3 + 2√2
x+1

≥ 3 + 2√2
−2x−8

⇔ x + 1 ≥ −2x − 8 ⇔ x ≥ −3.d) Điều kiện x 6= −1 Khi đó

⇔√5 + 2

x−1

≥√5 + 2

1−x x+1

Bài tập 4.20 Giải các phương trình, bất phương trình sau:

2x = 15 ⇔ 4.22x− 15.2x− 4 = 0 ⇔



2x= 4

2x= −14(vô nghiệm) ⇔ x = 2.g) 5x+ 51−x> 6 ⇔ 5x+ 5

a) 2 +√3
x+ 2 −√3
x > 4 b) (B-07) √2 − 1
x+ √2 + 1
x− 2√2 = 0.c) p5 + 2√6

√ 5 2

x

+ 5.7−3

√ 5 2

x

= 6 ⇔7+3

√ 5 2

x = log37+3

√ 5 2

x

− 1 = 0 ⇔

 2 3

x

= 1

2 3

x+1

+ 3 = 0 ⇔

"

4 9

x+1

= 1

4 9

2x−x 2+9 ≥ 0 ⇔

"

5 3

2x−x 2

≥ 1

5 3

2x−x2

≤ 9 25

⇔

2x − x2 ≥ 02x − x2 ≤ −2 ⇔

x

= 1

q

2 5

2x

− 23

x

− 2 = 0 ⇔

 2 3

x

= 23

2 3

x

= −1 ⇔ x = 1.f) 27x+ 12x< 2.8x⇔ 3

√ x−2.c)√9x− 3x+1+ 2 > 3x− 9 d) 32x+1= 3x+2+p1 − 6.3x+ 32(x+1)

√ x−2) − 4.5x−5−3√x−2− 5 < 0 ⇔ 5x−5−3√x−2 < 5

t = 6−

√ 33

3 (loại) ⇒ 3

x= 6+

√ 33

3 ⇔ x = log36+√33

3 Với 0 < t < 13, ta có: (1) ⇔ 3t2− 9t = −3t + 1 ⇔ t = 3±2

√ 3

3 (loại)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = log36+

√ 33

3



5x ≤ −1

2 2

5 < 5x ≤ 45

5x > 2

⇔

log525 < x < log545

a) Ta có y = 3x là hàm số đồng biến trên R còn y = 11 − x là hàm số nghịch biến trên R

Lại có x = 2 là một nghiệm của phương trình do đó phương trình có nghiệm duy nhất x = 2

b) Ta có y = 5x là hàm số đồng biến trên R còn y = 6 − x là hàm số nghịch biến trên R

Lại có x = 1 là một nghiệm của phương trình do đó phương trình có nghiệm duy nhất x = 1

c) Nhận thấy x = 2 không phải nghiệm của bất phương trình

Xét hàm số f (x) = x2− 8x + 2

√ 3−x+ 14 trên (−∞; 3]

Ta có f0(x) = 2x − 8 − 2

√ 3−x ln 2

2√3−x < 0, ∀x < 3 nên f (x) nghịch biến trên (−∞; 3]

Lại có x = 3 là một nghiệm của phương trình do đó phương trình có nghiệm duy nhất x = 3

f) Ta có phương trình tương đương 2x− x − 1 = 0

Xét hàm số f (x) = 2x− x − 1 có f0(x) = 2xln 2 − 1; f0(x) = 0 ⇔ log2 ln 21

Vì f0(x) có một nghiệm nên f (x) có tối đa hai nghiệm

Hơn nữa f (0) = f (1) = 0, do đó phương trình có đúng hai nghiệm x = 1 và x = 0

Bài tập 4.25 Giải các phương trình, bất phương trình sau:

x

< 1 ⇒ x > 2 là nghiệm của bất phương trình

Với x < 2 ta có: 14
x+

√ 15 4

x

> 1 ⇒ x < 2 không phải nghiệm của bất phương trình

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = [2; +∞)

Nhận thấy x = 2 không phải nghiệm của bất phương trình

Với x > 2 ta có: 16
x+ 2 13
x+ 3 12
x< 1 ⇒ x > 2 là nghiệm của bất phương trình

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 3 và x = 2

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 2 và x = 0

d) Đặt u =√2x+ 6, u > 0, phương trình đã cho trở thành

(

22x− u = 6 (1)

u2− 2x= 6 (2).Trừ theo vế (1) và (2) ta có: 22x− u2− u + 2x = 0 ⇔ (2x− u) (2x+ u + 1) = 0 ⇔ u = 2x

3.3x− 2 = 3x⇔ 27x− 3.3x+ 2 = 0 ⇔



3x = 1

3x = −2(loại) ⇔ x = 0.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0

Bài tập 4.27 Giải các phương trình sau:

e) 8x.5x2−1= 18 f) 5x.8x−1x = 500

x = 2

x = −2 + log23 .c) 49.2x2 = 16.7x⇔ 2 x2

16 = 749x ⇔ 2x 2 −4= 7x−2 ⇔ x2− 4 = (x − 2) log27 ⇔



x = 2

x = −2 + log27 .d) 8x+2x = 4.34−x ⇔ 2x−4 = 34−x ⇔ x−4

x+2log32 = 4−x ⇔ (x − 4) (log32 + x + 2) = 0 ⇔



x = 4

x = −2 − log32 .e) 8x.5x2−1= 18 ⇔ 8x+1.5x2−1 = 1 ⇔ (x + 1) log58 + x2− 1 = 0 ⇔



x = −1

x = 1 − log58 .f) 5x.8x−1x = 500 ⇔ 5x−3.2x−3x = 1 ⇔ x − 3 +x−3x log52 = 0 ⇔ (x − 3) (x − log52) = 0 ⇔



x = 3

x = log52 .Bài tập 4.28 Giải các phương trình sau:



1 − 21−x2

+ 21−x2 − 1 = 0 ⇔1 − 21−x2

x2− 4
= 0 ⇔



x = ±2

x = 4 .

§5 Phương Trình & Bất Phương Trình Lôgarit

Bài tập 4.29 Giải các phương trình, bất phương trình sau:

f) Điều kiện: x > 1 − log23; x 6= 0

Với x > 0, BPT ⇔ log2 3.2x−1− 1
≥ x ⇔ 3

2.2x− 1 ≥ 2x ⇔ x ≥ 1 ⇒ S1= [1; +∞)

Với 1 − log23 < x < 0, BPT ⇔ log2 3.2x−1− 1
≤ x ⇔ 3

2.2x− 1 ≤ 2x⇔ x ≤ 1 ⇒ S2 = (1 − log23; 0).Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = S1∪ S2 = (1 − log23; 0) ∪ [1; +∞)

x + 12x − 1 <

Bài tập 4.30 Giải các phương trình, bất phương trình sau:

a) log3(5x + 3) = log3(7x + 5) b) log1

a) Điều kiện x > −35 Khi đó log3(5x + 3) = log3(7x + 5) ⇔ 5x + 3 = 7x + 5 ⇔ x = −1 (loại)

Do đó phương trình vô nghiệm

b) Điều kiện x > 53 Khi đó log1 (3x − 5) > log1 (x + 1) ⇔ 3x − 5 < x + 1 ⇔ x < 3

Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm S = 53; 3

c) Điều kiện 0 < x <12 Khi đó

d) Điều kiện x > 0 Khi đó log3(2x+3) = log√

3x ⇔ log3(2x+3) = 2log3x ⇔ 2x+3 = x2 ⇔



x = −1

x = 3 .Kết hợp điều kiện bất phương trình có nghiệm x = 3

e) Điều kiện x > −3 Khi đó bất phương trình tương đương

log2(x + 3) < 1

2log2(2x + 9) ⇔ log2(x + 3)

2

< log2(2x + 9) ⇔ x2+ 4x < 0 ⇔ −4 < x < 0

Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm S = (−3; 0)

f) Điều kiện −2 < x < 1 Khi đó bất phương trình tương đương

x ≤ −5−

√ 13 2

Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm S =−5+

√ 13

2 ; 1.Bài tập 4.31 Giải các phương trình, bất phương trình sau:

a) log2x + log2(x − 2) = 3 b) log2 x2+ 8
= log2x + log26

c) log2 x2− 1
= log1 (x − 1) d) log3 x2+ 2
+ log1 (x + 2) < 0

e) (A-07) 2log3(4x − 3) + log1 (2x + 3) ≤ 2 f) log1

2(x − 1) + log1

2(x + 1) − log√1

2(7 − x) = 1

Lời giải.

a) Điều kiện x > 2 Khi đó

log2x + log2(x − 2) = 3 ⇔ log2[x (x − 2)] = 3 ⇔ x2− 2x − 8 = 0 ⇔



x = 4

x = −2 (loại)Vậy phương trình có nghiệm x = 4

b) Điều kiện x > 0 Khi đó

log2 x2+ 8
= log2x + log26 ⇔ log2 x2+ 8
= log2(6x) ⇔ x2− 6x + 8 = 0 ⇔



x = 4

x = 2Kết hợp điều kiện phương trình có nghiệm x = 4, x = 2

c) Điều kiện x > 1 Khi đó

x = 1−

√ 5

2 (loại)Vậy phương trình có nghiệm x = 1+

√ 5

2 d) log3 x2+ 2
< log3(x + 2) ⇔ x2+ 2 < x + 2 ⇔ 0 < x < 1

e) Điều kiện x > 34 Khi đó

2log3(4x − 3) + log1 (2x + 3) ≤ 2 ⇔ log3(4x − 3)2 ≤ log3(2x + 3) + log39

⇔ (4x − 3)2 ≤ 9(2x + 3) ⇔ −3

8 ≤ x ≤ 3Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm S = 34; 3

f) Điều kiện: 1 < x < 7 Khi đó

Bài tập 4.32 Giải các phương trình, bất phương trình sau:

a) Điều kiện x > −2 Khi đó

b) Điều kiện 1 < x < 3 Khi đó

PT ⇔ log2(x + 1) + log2(3 − x) = log2(x − 1) (x + 1)(3 − x) = x − 1 ⇔

"

x = 1+

√ 17 2

x = 1−

√ 17

2 (loại)Vậy phương trình có nghiệm x = 1+

√ 17

2

c) Điều kiện: −6 < x < 4; x 6= −2 Khi đó

PT ⇔ log1 |x + 2| + log14 = log1 (4 − x) + log1 (x + 6) ⇔ 4 |x + 2| = (4 − x)(x + 6) (∗)

Với −2 < x < 4, ta có: (∗) ⇔ 4(x + 2) = (4 − x)(x + 6) ⇔ x2+ 6x − 16 = 0 ⇔



x = 2

x = −8(loại)Với −6 < x < −2, ta có: (∗) ⇔ 4(−x − 2) = (4 − x)(x + 6) ⇔ x2− 2x − 32 = 0 ⇔



x = 1 −√33

x = 1 +√33(loại) .Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2 và x = 1 −√33

d) Điều kiện: x > 0; x 6= 1 Khi đó

PT ⇔ log2(x + 3) + log2|x − 1| = log24x ⇔ (x + 3) |x − 1| = 4x (∗)Với x > 1, ta có: (∗) ⇔ (x + 3)(x − 1) = 4x ⇔ x2− 2x − 3 = 0 ⇔

e) Điều kiện: x > 1 Khi đó

BPT ⇔ log1x + log1 (x − 1) ≤ log16 ⇔ x(x − 1) ≥ 6 ⇔



x ≥ 3

x ≤ −2 (loại)Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = [3; +∞)

f) Điều kiện 0 < x < 1 Khi đó

PT ⇔ log2x2− log2 1 −√x
= log2 x − 2√x + 2
⇔ x

x

√x

Vậy phương trình có nghiệm x = 4 − 2√3

g) Điều kiện: 2x > 34 Khi đó

h) Điều kiện: −1 ≤ x ≤ 1 Khi đó

PT ⇔ log2 8 − x2
= log2 √1 + x +√1 − x
+ log24 ⇔ 8 − x2= 4 √1 + x +√1 − x

2; 2 có f0(t) = 3t2+ 2 > 0, ∀t ∈√

2; 2Suy ra f (t) đồng biến trên√

2; 2 ⇒ f (t) ≤ f (2) = −4 ⇒ (∗∗) vô nghiệm

Với t = 2 ⇒√1 + x +√1 − x = 2 ⇔ 2 + 2√1 − x2 = 4 ⇔√1 − x2 = 1 ⇔ x = 0 (thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm x = 0

Bài tập 4.33 Giải các phương trình, bất phương trình sau:

a) log2x + log3x + log4x = log20x b) log2



x −√x2− 1+ 3log2



x +√x2− 1= 2.c) (CĐ-2012) log2(2x) log3(3x) > 1 d) x − 1

log3(9 − 3x) − 3 ≤ 1.

Lời giải

a) PT ⇔ log20x (log220 + log320 + log420 − 1) = 0 ⇔ log20x = 0 ⇔ x = 1

b) PT ⇔ −log2x +√x2− 1+ 3log2x +√x2− 1= 2 ⇔ log2x +√x2− 1= 1

 log2x < 0 log36 + log3x < 0

⇔



x > 1

0 < x < 16 .d) Điều kiện: x < 2 Khi đó log3(9 − 3x) − 3 < 0 nên ta có

BPT ⇔ x − 1 ≥ log3(9 − 3x) − 3 ⇔ 9 − 3x≤ 3x+2⇔ 3x ≥ 9

10 ⇔ x ≥ 2 − log310Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm S = [2 − log310; 2)

Bài tập 4.34 Giải các phương trình, bất phương trình sau:

a) log2log4(x2+ 15x) = 1 b) log1log3x + 1

x − 1≥ 0.

c) (B-08) log0,7

log6x

√

x 2 + 1 + x
> log3log 1

√

x 2 + 1 − x
.Lời giải

a) log2log4(x2+ 15x) = 1 ⇔ log4(x2+ 15x) = 2 ⇔ x2+ 15x = 16 ⇔



x = 1

x = −16 .b) Điều kiện: x > 1 Khi đó

d) Điều kiện: x > log973 Khi đó

logx[log3(9x− 72)] ≤ 1 ⇔ log3(9x− 72) ≤ x ⇔ 9x− 72 ≤ 3x⇔ −8 ≤ 3x≤ 9 ⇔ x ≤ 2

Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm S = (log373; 2]

f) Điều kiện: x > 0 Khi đó

Bài tập 4.35 Giải các phương trình, bất phương trình sau:

a) log22x − 3log2x + 2 = 0 b) log1x + log22x < 2

c) 2log2x − log3x = 2 − log x d) log2x3− 20 log√x + 1 = 0

e) log24(2x + 1) +34log2(2x + 1) − 1 = 0 f) log29(x − 1) − 3log3(x − 1) + 1 ≤ 0

Lời giải

a) log22x − 3log2x + 2 = 0 ⇔

log2x = 2log2x = 1 ⇔



x = 4

x = 2 .b) log1x + log22x < 2 ⇔ log22x − log2x − 2 < 0 ⇔ −1 < log2x < 2 ⇔ 1



x = 10

x =√910 .e) PT ⇔ 1



x = 12

x = −1532 .f) BPT ⇔ 1

a) log3(3x+ 1) log3 3x+2+ 9
= 3 b) log2(2x− 1) log1

Vậy phương trình có nghiệm x = log32

b) BPT ⇔ log2(2x− 1) log2[2 (2x− 1)] − 2 < 0 ⇔ log2(2x− 1) [1 + log2(2x− 1)] − 2 < 0

Đặt log2(2x− 1) = t, bất phương trình trở thành: t(1 + t) − 2 < 0 ⇔ t2+ t − 2 < 0 ⇔ −2 < t < 1.Với −2 < t < 1 ⇒ −2 < log2(2x− 1) < 1 ⇔ 1

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (log215; log217)

d) Điều kiện x > 0; x 6= 1 Khi đó

BPT ⇔



3log5x + 1

Với t ≤ −2 ⇒ log2x ≤ −2 ⇔ 0 < x ≤ 14; với 1 < t < 2 ⇒ 1 < log2x < 2 ⇔ 2 < x < 4

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (2; 4)

Vậy phương trình có nghiệm x = 81.

g) Điều kiện x > 1; x 6= 2 Khi đó

0 < log2(x − 1) ≤ 1 ⇔



x ≤ 54

2 < x ≤ 3

Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm S = 1;54 ∪ (2; 3]

h) Điều kiện x > 12; x 6= 1 Khi đó

PT ⇔ log2x−1[(2x − 1) (x + 1)] + 2logx+1(2x − 1) = 4

⇔ 1 + log2x−1(x + 1) + 2

log2x−1(x + 1) = 4 ⇔ log

2 2x−1(x + 1) − 3log2x−1(x + 1) + 2 = 0

⇔

log2x−1(x + 1) = 1log2x−1(x + 1) = 2 ⇔

Bài tập 4.37 Giải các phương trình, bất phương trình sau:

b) log2 x2− 4
+ x = log2[8 (x + 2)] ⇔ log2(x − 2) = 3 − x

Ta có y = log2(x − 2) là hàm số đồng biến trên (2; +∞) và y = 3 − x là hàm số nghịch biến trên (2; +∞).Lại có x = 3 là một nghiệm của phương trình nên phương trình có nghiệm duy nhất x = 3

c) 4 (x − 2) [log2(x − 3) + log3(x − 2)] = 15 (x + 1) ⇔ log2(x − 3) + log3(x − 2) = 15(x+1)4(x−2)

Ta có y = log2(x − 3) + log3(x − 2) là hàm số đồng biến trên (3; +∞) và y =15(x+1)4(x−2) là hàm số nghịch biến trên (3; +∞).

Lại có x = 11 là một nghiệm của phương trình nên phương trình có nghiệm duy nhất x = 11

d) Nhận thấy x = 0 là nghiệm của bất phương trình

Với x > 0 ta có log2(2x+ 1) + log3(4x+ 2) > 2 ⇒ x > 0 là nghiệm của bất phương trình

Với x < 2 ta có log2(2x+ 1) + log3(4x+ 2) < 2 ⇒ x < 0 không phải nghiệm của bất phương trình.Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = [0; +∞)

Bài tập 4.38 Giải các phương trình, bất phương trình sau:

a) x2+ 3log2 x= xlog2 5 b) xlog2 9= x2.3log2 x− xlog23

c) log2 x + 3log6 x
= log6x d) 7x−1= 6 log7(6x − 5) + 1

Lại có t = 2 là một nghiệm của (∗) nên (∗) có nghiệm duy nhất t = 2 ⇒ x = 4

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 4