Skkn phát triển năng lực giải quyết vấn Đề toán học cho học sinh thông qua bài xác suất có Điều kiện công thức xác suất Đầy Đủ, công thức bayes

2 PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1.Lý do chọn đề tài Chương trình phổ thông mới 2018 về môn Toán cần chú trọng phát triển năm năng lực đặc thù cho học sinh đó là: - Năng lực tư duy và lập luận t

1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN

TRƯỜNG THPT QUỲ CHÂU

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Đề tài:

“ PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ TOÁN HỌC CHO HỌC SINH THÔNG QUA BÀI XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN; CÔNG

THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ, CÔNG THỨC BAYES ”

Người thực hiện: 1) Phạm Duy Khánh

2) Trương Thị Thúy

Tổ:Toán – Tin Lĩnh vực: Toán học

Điện thoại: 0987 492 483

0946 393 406

Năm thực hiện: 2024 – 2025

2

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1.Lý do chọn đề tài

Chương trình phổ thông mới 2018 về môn Toán cần chú trọng phát triển năm năng lực đặc thù cho học sinh đó là:

- Năng lực tư duy và lập luận toán học

- Năng lực mô hình hóa toán học

- Năng lực giải quyết vấn đề toán học

- Năng lực giao tiếp toán học

- Năng lực sử dụng công cụ, phương tiện toán học

Trong chương trình cũ 2006 xác suất thống kê cũng có được đề cập đến, tuy nhiên cũng đang ở mức độ vừa phải, chưa được đầy đủ như chương trình 2018 Nói riêng

về xác suất, ở chương trình cũ chỉ viết đến xác suất cổ điển; công thức cộng và công thức nhân xác suất, ở chương trình mới 2018 thì có mở rộng hơn đó là xác suất có điều kiện; công thức xác suất đầy đủ, công thức Bayes Thêm vào đó ở phần chuyên đề còn mở rộng thêm về biến ngẫu nhiên và các số đặc trưng hay dãy phép thử Bernoulli, …

Về năng lực giải quyết vấn đề Toán học, học sinh cần hình thành các bước sau: Bước 1: Nhận biết, phát hiện vấn đề Toán học

Bước 2: Lựa chọn, đề xuất cách giải quyết

Bước 3: Sử dụng các mô hình sẵn có để giải quyết vấn đề đó

Bước 4: Đánh giá được giải pháp đề ra và khái quát được vấn đề tương tự

Trước một bài toán xác suất có điều kiện học sinh cần phải xác định đâu là biến

cố điều kiện, đâu là biến cố cần tính xác suất của nó; hay đối với bài toán xác suất đầy đủ cũng phải lựa chọn hệ biến cố đầy đủ hợp lý rồi mới tính được xác suất của biến cố cần tính Công thức Bayes giúp đánh giá lại xác suất của mỗi biến cố trong

hệ biến cố đầy đủ Nhằm giúp học sinh phân biệt rõ ràng các khái niệm trên, qua

đó học sinh sẽ thực hiện tốt bốn thao tác trong năng lực giải quyết vấn đề từ đó giúp các em có được cái nhìn tốt hơn về bài toán xác suất Đó cũng chính là lý do chúng Tôi chọn viết đề tài này

1.2 Tính khoa học, tính mới

Sáng kiến thể hiện được các vấn đề đó là:

- Sáng kiến thể hiện được việc tiếp cận và mở rộng các khái niệm xác suất có điều kiện; công thức xác suất đầy đủ, công thức Bayes

- Vận dụng các kiến thức trên vào giải quyết các bài toán xác suất một cách hiệu quả, từ đó giúp các em học sinh thấy được mối quan hệ khăng khít giữa Toán học

3

- Rèn luyện cho học sinh kỹ năng vận dụng các công thức trên vào giải toán xác suất

1.4 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là xác suất có điều kiện; công thức xác suất đầy

đủ, công thức Bayes

1.5 Phương pháp nghiên cứu

- Đề thi tốt nghiệp THPT Quốc gia của các năm, đề minh họa của Bộ giáo dục, đề

thi thử Đề thi học sinh giỏi các Tỉnh, các đề thi trên Toán học và Tuổi trẻ hay Olympic 30/4 hàng năm

- Dựa vào thực tiễn của quá trình giảng dạy và lấy ý kiến của đồng nghiệp về mức

độ khả thi của đề tài

PHẦN II: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

1 Cơ sở khoa học

1.1 Cơ sở lý luận

1.1.1 Xác suất có điều kiện

Cho hai biến cố Avà B Xác suất của biến cốBvới

điều kiện biến cố A đã xảy ra được gọi là xác suất

của B với điều kiện A Kí hiệu P B A /  và

P AB P A P B A P B P A B (Công thức nhân xác suất)

Một số tính chất cần lưu ý khi giải toán xác suất:

Tính chất 1: Công thức nhân xác suất: A và Blà hai biến cố độc lập lúc đó

1.1.2 Công thức xác suất đầy đủ, công thức Bayes

Trong mục này tác giả tiếp cận công thức xác suất đầy đủ theo con đường tập hợp, điều đó được thể hiện qua nội dung sau

     /     / 

P B P A P B A P A P B A (Công thức xác suất đầy đủ, hay toàn phần)

Hoặc ta có thể hiểu như sau

Ta có thể mở rộng công thức như sau:

Nếu A A1, 2, ,A n là một họ các biến cố đầy đủ,

tức là A iA j  , với mọi i j và

1

n i

i A



  Với mọi biến cố B ta có      

1

/

n

i i i

P B P A P B A





n n

i i i i

i i i i i

(Công thức xác suất toàn phần dạng tổng quát)

Cho B là biến cố với P B  0 ta có P A B i/  P BA  i P A P B A  i   / i

/

i i

i n

i i i

Công thức Bayes giúp đánh giá lại khả năng

xảy ra của biến cố A i trong hệ biến cố đầy

đủ A A1, 2, ,A n khi biến cố B xảy ra hay

Ta có thể mở rộng công thức nhân xác suất P AB P A P B A   /  như sau:

Giả sử A A1; 2; ;A n là n biến cố sao cho P A A 1 2 A n 0, lúc đó

E là biến cố liên quan tới phép thử T, ở mỗi lần thực hiện phép thử T biến cố E

có xác suất xuất hiện bằng p, tức là P E  p;với 0  p 1

Ta thực hiện phép thử Tlặp lại n lần một cách độc lập, tức là các lần lặp này

không ảnh hưởng lẫn nhau

Gọi E k: “Trong phép thử lặp T, biến cố E xuất hiện đúng klần”; (0  k n)

2 Số liệu điều tra, khảo sát

Qua giảng dạy và khảo sát tại 2 lớp 12A1 và 12C9 trước khi thực hiện đề tài như sau:

- Có rất nhiều học sinh, đặc biệt là những học sinh lớp chọn có tố chất, nhiệt tình

và luôn mong muốn tìm hiểu, khám phá những vấn đề mới của toán học

3.2 Khó khăn

Bên cạnh những thuận lợi thì tôi cũng gặp một số khó khăn nhất định sau:

- Đặc thù của môn toán là rất khó so với các môn học khác nên các em thường có tâm lý e ngại khi học toán, chưa nói đến việc khai thác, hiểu sâu về môn toán

- Phần lớn học sinh của trường đều có hoàn cảnh gia đình khó khăn nên các bậc phụ huynh chưa chú trọng vào việc học của con em mình

hệ thống bài tập được sắp xếp theo thứ tự trên, điều đó được thể hiện qua nội dung sau

Bài toán 1 Một bình đựng 5 viên bi kích thước và chất liệu giống nhau, chỉ khác

nhau về màu sắc Trong đó có 3 viên bi xanh và 2 viên bi đỏ Lấy ngẫu nhiên từ bình ra một viên bi ta được viên bi màu xanh, rồi lại lấy ngẫu nhiên ra một viên bi nữa Tính xác suất để lấy được viên bi đỏ ở lần thứ hai

Giải:

Gọi A: “Lần thứ nhất bốc được bi xanh”

Bài toán 2 Trong cơ quan có 100 người Trong đó có 60 người gần cơ quan (trong

đó có 40người là nam), có tổng cộng 30 nữ nhân viên Theo quy định của cơ quan thì người nào hoặc là nam hoặc gần cơ quan sẽ phải tham gia trực Tính xác suất để chọn ngẫu nhiên một người trong danh sách mà người đó lại là nữ trực cơ quan?

9 10

P AB

P B A

P A

Bài toán 3 Gieo hai con xúc xắc cân đối, đồng chất Tính xác suất để tổng số

chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc lớn hơn hoặc bằng 10, biết rằng có ít nhất một con đã ra mặt 5 chấm

Giải:

Gọi A: “Có ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm”

B: “Tổng số chấm xuất hiện trên 2 con xúc xắc lớn hơn hoặc bằng 10”

11 1136

P AB

P B A

P A

Bài toán 4 Một xạ thủ bắn vào bia số 1 và bia số 2 Xác suất để xạ thủ đó bắn

trúng bia số 1, bia số 2 lần lượt là 0,8;0,9 Xác suất để xạ thủ đó bắn trúng cả hai bia là 0,8 Xét hai biến cố sau:

:

A “Xạ thủ đó bắn trúng bia số 1”; B: “Xạ thủ đó bắn trúng bia số 2”

a) Hai biến cố A và B có độc lập hay không?

b) Biết xạ thủ đó bắn trúng bia số 1, tính xác suất xạ thủ đó bắn trúng bia số 2 c) Biết xạ thủ đó không bắn trúng bia số 1, Xác suất xạ thủ đó bắn trúng bia số 2

1 753

Bài toán có sử dụng công thức nhân xác suất đơn giản

Bài toán 6 Áo sơ mi An Phước trước khi xuất khẩu sang Mỹ phải qua 2 lần kiểm

tra, nếu cả hai lần đều đạt thì chiếc áo đó mới đủ tiêu chuẩn xuất khẩu Biết rằng bình quân 98% sản phẩm làm ra qua được lần kiểm tra thứ nhất, và 95% sản phẩm qua được lần kiểm tra đầu sẽ tiếp tục qua được lần kiểm tra thứ hai Tìm xác suất

để 1 chiếc áo sơ mi đủ tiêu chuẩn xuất khẩu?

Giải:

Gọi A i: “Qua được lần kiểm tra thứ i”; i 1; 2

B: “Chiếc áo đủ điều kiện xuất khẩu”

Ta có: B A A1 2, áp dụng công thức nhân xác suất ta có:

   1 2   1 2 / 1 0,98.0,95 0,931

P B P A A P A P A A  

Bài toán 7 Một học sinh làm 2 bài tập kế tiếp Xác suất làm đúng bài thứ nhất là 0,7 Nếu làm đúng bài thứ nhất thì khả năng làm đúng bài thứ hai là 0,8 Tính xác suất học sinh đó làm đúng cả hai bài?

Giải:

Gọi A i: “Học sinh làm đúng bài thứ i”; i 1; 2

B: “Học sinh làm đúng cả hai bài”

Bài toán 9 (Bài tập 6.6 trang 70 SGK KNTT&CS)

Trong một túi có một số viên kẹo cùng loại, chỉ khác màu, trong đó có 6viên kẹo màu cam, còn lại là kẹo màu vàng Hà lấy ngẫu nhiên 1 viên kẹo từ trong túi,

không trả lại Sau đó Hà lại lấy ngẫu nhiên thêm 1 viên kẹo khác từ trong túi Biết rằng xác suất Hà lấy được cả hai viên kẹo màu cam là 1

3 Hỏi ban đầu trong túi có bao nhiêu viên kẹo?

Bài toán 10 Một công ty xây dựng đấu thầu 2 dự án độc lập Khả năng thắng thầu

của các dự án 1 là 0,6 và dự án 2 là 0,7

a) Tìm xác suất công ty thắng thầu đúng 1 dự án

b) Biết công ty thắng thầu dự án 1, tìm xác suất công ty thắng thầu dự án 2 c) Biết công ty không thắng thầu dự án 1, tìm xác suất công ty thắng thầu dự án

Ta có: C ABAB, do đó: P AB AB    P AB P AB  0, 6.0, 3 0, 4.0, 7   0, 46b) Áp dụng công thức xác suất có điều kiện ta có

Bài toán 11 Hộp thứ nhất có 4 viên bi xanh và 6 viên bi đỏ Hộp thứ hai có 5

viên bi xanh và 4 viên bi đỏ Các viên bi có cùng kích thước và khối lượng Lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai Sau đó lại lấy ra

10

ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ hai Tính xác suất của biến cố C: “Hai viên bi lấy

ra khác màu”

Giải:

Gọi A: “Lấy viên bi xanh từ hộp thứ nhất bỏ sang hộp thứ hai”

B: “Lấy viên bi đỏ từ hộp thứ hai”; lúc đó: C ABAB

P B A  ;   5

/ 10

Giải:

Gọi A:“Nhân viên nam được chọn có bằng đại học”

B:“Nhân viên nữ được chọn có bằng đại học” Rõ ràng A B, là các biến cố độc lập và P A  0, 25;P A  0, 75;P B  0, 3;P B  0, 7

C: “Chỉ 1 trong 2 nhân viên có bằng đại học” Lúc đó: C ABAB

Xác suất cần tính:

               

0, 75.0, 3 9 /

Bài toán 13 Theo thống kê ở các gia đình có hai con thì xác suất để con thứ nhất

và con thứ hai đều là trai là 0,27 và hai con đều là gái là 0,23, còn xác suất con thứ nhất và con thứ hai có một trai và một gái là đồng khả năng Biết sự kiện khi xét một gia đình được chọn ngẫu nhiên có con thứ nhất là gái, tìm xác suất để con thứ hai là trai

Bài toán 14 Tại một phòng khám chuyên khoa tỷ lệ người đến khám có bệnh là

0,8 Người ta áp dụng phương pháp chẩn đoán mới thì thấy nếu khẳng định có

Bài toán 15 Ba khẩu súng độc lập bắn vào một mục tiêu Xác suất để khẩu thứ

nhất bắn trúng bằng 0,7, để khẩu thứ hai bắn trúng bằng 0,8, để khẩu thứ ba bắn trúng bằng 0,5 Mỗi khẩu bắn 1 viên Tính xác suất để khẩu thứ nhất bắn trúng biết rằng chỉ có 2 viên trúng mục tiêu

Giải:

GọiA i:“Khẩu thứ i bắn trúng mục tiêu”; i 1;3;A i với i 1;3 là các biến cố độc lâp

B: “Có hai viên trúng mục tiêu”

Vì chỉ trúng có hai viên nên B A A A1 2 3A A A1 2 3A A A1 2 3

0, 7.0,8.0, 5 0, 7.0, 2.0, 5 35 /

Bài toán 16 Đội tuyển cầu lông của Trường THPT Qùy Châu có 3 vận động viên,

mỗi vận động viên thi đấu một trận Xác suất thắng trận của các vận động viên A,

B, C lần lượt là: 0,9; 0,7; 0,8 Tính xác suất:

b) Gọi E: “Đội tuyển thắng hai trận”

Ta có: E ABCABCABC

Bài toán 17 Một người săn thỏ trong rừng, khả năng anh ta bắn trúng thỏ trong

mỗi lần bắn tỷ lệ nghịch với khoảng cách bắn Anh ta bắn lần đầu ở khoảng cách

20m với xác suất trúng thỏ là 0 5 , ; nếu bị trượt anh ta bắn viên thứ hai ở khoảng cách 30m; nếu lại trượt anh ta bắn viên thứ ba ở khoảng cách 40m Tính xác suất

để người thợ săn bắn được thỏ

Giải:

Xác suất bắn trúng lần 1: 0,5; xác suất trúng lần 2: 1

3 ; xác suất trúng lần 3: 0,25 Gọi A i: “Lần thứ i bắn trúng con thỏ”;i 1;3

3

P A A  ;  2 1

2 /

Bài toán 18 Một thủ quỹ có một chùm chìa khóa gồm 12 chiếc bề ngoài giống hệt

nhau, trong đó có 4 chìa mở được cửa chính của thư viện Cô ta thử từng chìa một một cách ngẫu nhiên, chìa nào không trúng thì bỏ ra Tìm xác suất để cô ta mở được cửa chính của thư viện ở lần mở thứ 5

Giải:

Gọi A i: “Cô ta mở được cửa ở lần mở thứ i”; i 1;12

B: “Cô ta mở được cửa ở lần mở thứ 5”

Lúc đó: BA A A A A1 2 3 4 5 Ta có:  1

8 12

P A  ;  2 1

7 /

11

P A A  ;  3 1 2

6 /

10

P A A A  ;

 4 1 2 3

5 /

9

P A A A A  ;  5 1 2 3 4

4 /

Bài toán 19 Có 15 học sinh, trong đó có 5 học sinh giỏi Một cách ngẫu nhiên

chia 15 học sinh thành 5 nhóm, mỗi nhóm có 3 học sinh Tìm xác suất để nhóm nào cũng có một học sinh giỏi

Giải:

Gọi A i: “Nhóm thứ i có đúng 1 học sinh giỏi”; i 1;5

:

A “Chia 15 học sinh thành 5 nhóm, mỗi nhóm có đúng 1 học sinh giỏi”

Ta có: AA A A A A1 2 3 4 5 Áp dụng công thức nhân xác suất

Bài toán 20 Trong 1 lô hàng 10 sản phẩm có 2 sản phẩm xấu, chọn không hoàn lại

để phát hiện ra 2 sản phẩm xấu, khi nào chọn được sản phẩm xấu thứ 2 thì dừng lại a) Tính xác suất dừng lại ở lần chọn thứ 4

b) Biết rằng đã chọn được sản phẩm xấu ở lần chọn thứ nhất, tính xác suất dừng lại

2 8 1

10 9 8 /

Bài toán 21 Để thành lập đội tuyển quốc gia về một môn học, người ta tổ chức

một cuộc thi tuyển gồm 3 vòng Vòng thứ nhất lấy 80% thí sinh; vòng thứ hai lấy

70% thí sinh đã qua vòng thứ nhất và vòng thứ ba lấy 45% thí sinh đã qua vòng

thứ hai Để vào được đội tuyển, thí sinh phải vượt qua được cả 3 vòng thi Tính xác

a) Gọi A i: “Thí sinh vượt qua được vòng thi thứ i”; i 1;3

A: “Thí sinh được vào đội tuyển”

Bài toán 22 Cầu thủ A trong một đội bóng được chỉ định đá phạt 11m mỗi khi đội

được đá phạt Xác suất để lần đầu đá cầu thủ A ghi bàn là 0,8 Nếu trong trận đó A lại được đá phạt 11 m tiếp thì lần sau xác suất ghi bàn của anh ta là 0,9 (nếu quả trước anh ta ghi bàn), còn xác suất ghi bàn là 0,4 (nếu quả trước sút hỏng) Giả sử trong một trận đấu, anh ta được đá phạt 3 lần

a) Tìm xác suất để cả 3 lần cầu thủ A đều ghi bàn

b) Tìm xác suất để có đúng 2 lần anh ta ghi bàn

Giải:

a) Gọi A i: “Cầu thủ đó sút phạt 11m thành công lần thứ i” ; i 1;3

B: “Cả 3 lần sút phạt 11m anh ta đều ghi bàn “

Bài toán 1 Một bình đựng 6 viên bi, trong đó có 4 viên bi xanh và 2 viên bi đỏ

Lấy ngẫu nhiên một viên bi từ bình ra, ta được viên bi màu xanh Sau đó, lại lấy ngẫu nhiên ra một viên bi nữa Tính xác suất để viên bi lấy ra lần thứ hai là viên bi

đỏ

Bài toán 2 Trong một công ty có 120 nhân viên, trong đó 60 người là nam và 30

người làm việc gần trụ sở công ty Theo quy định của công ty, tất cả nhân viên nam hoặc nhân viên làm việc gần trụ sở phải tham gia trực Tính xác suất để một

nhân viên được chọn ngẫu nhiên là nữ và tham gia trực

Bài toán 3 Một công ty sản xuất giày da, mỗi đôi giày phải qua 3 lần kiểm tra chất

lượng trước khi xuất khẩu Biết rằng tỉ lệ qua kiểm tra lần 1 là 96%, lần 2 là 92% nếu giày đã qua lần 1, và lần 3 là 93% nếu giày đã qua lần 2 Tính xác suất để một

đôi giày đủ tiêu chuẩn xuất khẩu

16

Bài toán 4 Một người thợ săn có khả năng bắn trúng con chim trong mỗi lần bắn

tỷ lệ nghịch với khoảng cách bắn Lần đầu anh ta bắn ở khoảng cách 100m với xác suất trúng là 0.1 Nếu anh ta trượt, lần bắn thứ hai là ở khoảng cách 75m và xác suất trúng là 0.2 Nếu trượt tiếp, lần bắn thứ ba ở khoảng cách 50m và xác suất

trúng là 0.3 Tính xác suất để người thợ săn bắn trúng con chim

Bài toán 5 Một lô hàng có 8 sản phẩm tốt và 6 sản phẩm xấu Lấy ngẫu nhiên

không hoàn lại từng sản phẩm cho đến khi lấy được 3 sản phẩm tốt thì ngừng a) Tính xác suất để ngừng lại ở lần lấy sản phẩm thứ 3

b) Biết đã ngừng lại ở lần lấy sản phẩm thứ 5 Tính xác suất để lần lấy thứ nhất lấy được sản phẩm xấu

Bài toán 6 Một cuộc thi có ba vòng Vòng 1 lấy 85% thí sinh, vòng 2 lấy 70% thí

sinh của vòng 1, và vòng 3 lấy 80% thí sinh của vòng 2

a) Tính xác suất để một thí sinh lọt qua cả ba vòng thi

b) Tính xác suất để một thí sinh bị loại ở vòng 2, biết rằng thí sinh đó đã bị loại ở vòng 3

Bài toán 7 Có 20 học sinh trong một lớp, trong đó có 4 học sinh giỏi Các học

sinh được chia ngẫu nhiên thành 4 nhóm, mỗi nhóm có 5 học sinh Tính xác suất

để mỗi nhóm đều có một học sinh giỏi

Bài toán 8 Cầu thủ B trong một đội bóng được chỉ định đá phạt 11m mỗi khi đội

được đá phạt Xác suất để lần đầu đá cầu thủ B ghi bàn là 0.7 Nếu trong trận đó B lại được đá phạt tiếp thì xác suất ghi bàn của anh ta là 0.85 nếu quả trước ghi bàn,

và 0.5 nếu quả trước đá hỏng Giả sử trong một trận đấu, B được đá phạt 4 lần a) Tính xác suất để cả 4 lần cầu thủ B đều ghi bàn

b) Tính xác suất để có đúng 3 lần B ghi bàn

4.2 Vận dụng công thức xác suất đầy đủ, công thức Bayes vào các bài toán xác suất

4.2.1 Hệ biến cố đầy đủ gồm A và A

Trong mục này tác giả hướng dẫn các em học sinh việc lựa chọn hệ biến cố đầy

đủ Avà A để tính xác suất, tiếp đó là vận dụng sơ đồ hình cây để tính xác suất của biến cố cần phải tìm Với hệ biến cố đầy đủ Avà A thì việc lựa chọn nó cũng khá đơn giản vì bản thân bài toán đã mặc định cho điều này, cái chính ở đây là lựa chọn các biến cố thích hợp và gắn được vào mô hình xác suất toàn phần để tính xác suất của biến cố cần tính Điều đó được thể hiện qua nội dung sau:

Bài toán 1 Trong một trường học, tỉ lệ học sinh nữ là 53% Tỉ lệ học sinh nữ và tỉ

lệ học sinh nam tham gia câu lạc bộ nghệ thuật X lần lượt là 21% và 17% Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh của trường Tính xác suất học sinh đó có tham gia câu lạc bộ nghệ thuật X

17

     /     /  0, 53.0, 21 0, 47.0,17 0,1912

P B P A P B A P A P B A   

Cách 2: Ta có thể hướng dẫn học sinh dùng sơ đồ hình

cây để giải toán như sau:

Bài toán 2 Một cuộc thi khoa học có 36 bộ câu hỏi, trong

đó có 20 bộ câu hỏi về chủ đề tự nhiên và 16 bộ câu hỏi về chủ đề xã hội Bạn An lấy ngẫu nhiên 1 bộ câu hỏi (lấy không hoàn lại), sau đó bạn Bình lấy ngẫu nhiên 1

bộ câu hỏi Tính xác suất bạn Bình lấy được bộ câu hỏi về chủ đề xã hội

Giải:

Cách 1:

Gọi A: “Bạn An lấy được câu hỏi về chủ đề tự nhiên”

B: “Bạn Bình lấy được câu hỏi về chủ đề xã hội”

P B A  ;   15

/ 35

Bài toán 3 Một chiếc hộp có 80 viên bi,

trong đó có 50 viên bi màu đỏ và 30 viên

bi màu vàng; các viên bi có kích thước và khối lượng như nhau Sau khi kiểm tra, người ta thấy có 60% số viên bi màu đỏ đánh số và 50% số viên bi màu vàng có đánh số, những viên bi còn lại không đánh số

Lấy ra ngẫu nhiên một viên bi trong hộp Xác suất để viên bi được lấy ra có đánh

18

Lời giải sơ đồ hình cây tương tự bài toán 1 và 2 xin dành cho bạn đọc kiểm tra

Bài toán 4 Số khán giả đến xem buổi biểu diễn âm nhạc ngoài trời phụ thuộc vào

thời tiết Giả sử, nếu trời không mưa thì xác suất để bán hết vé là 0,85; còn nếu trời mưa thì xác suất để bán hết vé là 0,45 Dự báo thời tiết cho thấy xác suất để trời mưa vào buổi biểu diễn là 0,6 Tính xác suất để nhà tổ chức sự kiện bán hết vé

Bài toán 5 Có 2 hộp áo: hộp một có 10 áo trong đó có 1 phế phẩm; hộp 2 có 8 áo

trong đó có hai phế phẩm Lấy ngẫu nhiên 1 áo từ hộp một bỏ sang hộp hai; sau đó

từ hộp này chọn ngẫu nhiên ra hai áo Tìm xác suất để cả hai áo này đều là phế phẩm

Giải:

Gọi A: “Lấy 1 phế phẩm từ hộp 1 bỏ qua hộp 2”

B: “Lấy được hai phế phẩm từ hộp 2”

1 /

1 /

Bài toán 6 (Toán Huế 2025) Có hai hộp bóng bàn, các quả bóng bàn có kích

thước và hình dạng như nhau Hộp I chứa 3 bóng bàn màu trắng và 2 bóng bàn màu vàng, hộp II chứa 6 bóng bàn màu trắng và 4 bóng bàn màu vàng Lấy ngẫu nhiên 4 quả bóng bàn ở hộp I bỏ vào hộp II rồi lấy ngẫu nhiên 1 quả bóng bàn từ hộp II ra Tính xác suất để quả bóng bàn lấy từ hộp II có màu vàng

Giải:

Gọi A: “Lấy 3 quả bóng bàn màu trắng, 1 quả bóng bàn màu vàng từ hộp I”

Lúc đó: A: “Lấy 2 quả bóng bàn màu trắng, 2 quả bóng bàn màu vàng từ hộp I”

Ta có:   33 12

4 5

2 5

P B A  Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta có:

5 14 5 14 5

P B P A P B A P A P B A     

Bài toán 7 Có hai chuồng thỏ Chuồng I có 5 con thỏ đen và 10 con thỏ trắng

Chuồng II có 7 con thỏ đen và 3 con thỏ trắng Trước tiên, từ chuồng II lấy ra ngẫu

19

nhiên 1 con thỏ rồi cho vào chuồng I Sau đó, từ chuồng I lấy ra ngẫu nhiên 1 con thỏ Tính xác suất để con thỏ được lấy ra là con thỏ trắng

Giải:

Gọi A: “Bắt con thỏ trắng từ chuồng II sang chuồng I”

B: “Bắt con thỏ trắng từ chuồng I”

P B A  ;   10

/ 16

Bài toán 8 (Bài tập 2 trang 102 SGK Cánh Diều)

Có hai chiếc hộp, hộp I có 5 viên bi màu trắng và 5 viên bi màu đen, hộp II có 6 viên bi màu trắng và 4 viên bi màu đen, các viên bi có cùng kích thước và khối lượng Lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp I bỏ sang hộp II Sau đó lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp II

a) Tính xác suất để viên bi được lấy ra có màu trắng

b) Giả sử viên bi được lấy ra có màu trắng Tính xác suất viên bi màu trắng đó thuộc hộp I

Giải:

a) Gọi A: “Lấy viên bi trắng từ hộp I bỏ sang hộp II”

B: “Lấy được viên bi trắng từ hộp II”

Ta có:     1

2

P A P A  và   7

/ 11

P B A  ;   6

/ 11

13 1322

P BC P C

P C B

P B P B

Bài toán 9 (Đề minh họa năm 2025)

Có hai chiếc hộp, hộp I có 6 quả bóng màu đỏ và 4 quả bóng màu vàng, hộp II có 7 quả bóng màu đỏ và 3 quả bóng màu vàng, các quả bóng có cùng kích thước và khối lượng Lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp I bỏ vào hộp II Sau đó, lấy ra ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp II Tính xác suất để quả bóng được lấy ra từ hộp

II là quả bóng được chuyển từ hộp I sang, biết rằng quả bóng đó có màu đỏ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

P B A  ;   3

/ 11

P C A  ;P C A /  0 Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta có:

Một số bài toán có cấu trúc tương tự đề minh họa 2025

Bài toán 10 Có hai chuồng thỏ, chuồng thứ nhất có 5 con thỏ đen và 10 con thỏ

trắng Chuồng thứ hai có 3 con thỏ trắng và 7 con thỏ đen Từ chuồng thứ hai ta bắt ngẫu nhiên một con thỏ cho vào chuồng thứ nhất, rồi sau đó lại bắt ngẫu nhiên một con thỏ ở chuồng thứ nhất ra thì được một thỏ trắng Tính xác suất để thỏ trắng này là của chuồng thứ nhất

P A H  ;   10

/ 16

P A H  ;   10

/

16

P B H  ;   10

/ 16

P B H  Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta có:

Bài toán sau nhìn cách phát biểu phức tạp hơn nhưng có lời giải tương tự:

Bài toán 11 Trong một hộp đựng 4 bi xanh và 5 bi đỏ, lần thứ nhất lấy ngẫu nhiên

từ hộp ra 1 viên bi và quan sát nếu là bi đỏ thì bỏ viên bi đó vào hộp cùng với 2 viên bi đỏ khác nữa, nếu là viên bi xanh thì bỏ viên bi đó vào hộp cùng 1 viên bi xanh khác nữa Lần thứ hai lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 1 viên bi

a Tính xác suất bi lấy ra lần hai là viên bi xanh

b Giả sử bi lấy ra lần hai là bi xanh, tính xác suất để bi xanh đó là bi của hộp lúc ban đầu (không phải bi mới bỏ vào)

Giải:

P B A  ;   5

/ 10

P C A  Áp dụng công thức xác suất đầy đủ:

14 10533

P BC P C

P C B

P B P B

Bài toán sau có cách phát biểu tương tự và có lồng ghép yếu tố số học

Bài toán 12 Một hộp chứa 9 tấm thẻ cùng loại và được đánh số lần lượt từ 1 đến

9 Bạn An lấy ngẫu nhiên một tấm thẻ từ hộp, xem số rồi bỏ ra ngoài Nếu thẻ đó ghi số chẵn, An cho thêm vào hộp hai thẻ ghi số 10 và 11; ngược lại An cho thêm vào hộp ba thẻ ghi số 12,13 và 14 Sau đó bạn Việt lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 thẻ

từ hộp Gọi X là tích 3 số trên ba thẻ mà Việt lấy ra Tính xác suất An lấy được thẻ ghi số chẵn, biết rằng X cũng là số chẵn

5 /

31 /

265 53297

Việc sử dụng công thức Bayes nhằm đánh giá lại khả năng xảy ra của biến cố A

hoặc A trong xác suất toàn phần, điều đó được thể hiện qua các ví dụ sau:

Bài toán 13 Giả sử tỉ lệ người dân của tỉnh X nghiện thuốc lá là 20%; tỉ lệ người

bị bệnh phổi trong số người nghiện thuốc lá là 70%, trong số người không nghiện thuốc lá là 15%

22

a) Hỏi khi ta gặp ngẫu nhiên một người dân của tỉnh X thì khả năng mà người

đó bị bệnh phổi là bao nhiêu %?

b) Tính xác suất mà người đó là nghiện thuốc lá khi biết bị bệnh phổi

Bài toán 14 (Thi thử chuyên Đại Học Vinh năm 2025)

Trong một trường học, tỉ lệ học sinh nữ là 52% Tỉ lệ học sinh nữ và tỉ lệ học sinh nam tham gia câu lạc bộ nghệ thuật lần lượt là 18% và 15% Gặp ngẫu nhiên một học sinh của trường Biết rằng học sinh có tham gia câu lạc bộ nghệ thuật Tính xác suất học sinh đó là nam

Giải:

Gọi A: “Gặp học sinh nam”

B: “Học sinh tham gia câu lạc bộ nghệ thuật”

Bài toán 16 Có hai đội thi đấu môn Bắn súng Đội I có 5 vận động viên, đội II có

7 vận động viên Xác suất đạt huy chương vàng của mỗi vận động viên đội I và đội II tương ứng là 0, 65 và0, 55 Chọn ngẫu nhiên một vận động viên

23

a) Tính xác suất để vận động viên này đạt huy chương vàng

b) Giả sử vận động viên được chọn đạt huy chương vàng Tính xác suất để vận động viên này thuộc đội I

Giải:

a) Gọi A: “Vận động viên đội I”

B: “Vận động viên đạt huy chương vàng”

Bài toán 17 Có 2 xạ thủ loại I và 8 xạ thủ loại II, xác suất bắn trúng đích của các

xạ thủ loại I và loại II lần lượt là 0, 9 và 0, 7 Chọn ngẫu nhiên một xạ thủ và xạ thủ

Bài toán 18 Biết rằng tỷ lệ người mắc bệnh nào đó ở địa phương nào đó là 2%

Người ta sử dụng một phản ứng mà nếu người bị bệnh thì phản ứng luôn luôn dương tính, nếu người không bị bệnh thì phản ứng có thể dương tính với xác suất 0,2%

Bài toán 19 (Chuyên Hùng Vương Phú Thọ năm 2025)

Một chiếc hộp có 50 viên bi, trong đó có 30 viên bi màu xanh và 20 viên bi màu

đỏ, các viên bi có cùng kích thước và khối lượng giống nhau Sau khi kiểm tra, người ta thấy có 70% số viên bi màu xanh được đánh số và 60% số viên bi màu đỏ được đánh số, những viên bi còn lại không đánh số Lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp đó Biết rằng, viên bi lấy ra được đánh số, xác suất để viên bi đó có màu xanh bằng bao nhiêu?

Giải:

Gọi A: “Lấy được 1 viên bi màu xanh”

B: “Viên bi lấy ra được đánh số”

Ta có:   3

0, 6 5

P A   ;   2

0, 4 5

Bài toán 20 Một công nhân đi làm ở thành phố khi trở về nhà có hai cách: hoặc đi

theo đường ngầm hoặc đi qua cầu biết rằng ông ta đi lối đường ngầm trong 1

3các trường hợp, còn lại đi lối cầu Nếu đi lối đường ngầm 75% trường hợp ông ta về đến nhà trước 6 giờ tối; còn nếu đi lối cầu chỉ có 70% trường hợp (nhưng đi lối cầu thích hơn) Tìm xác suất để công nhân đó đã đi lối cầu biết rằng ông ta về đến nhà sau 6 giờ tối

Giải:

Gọi A: “Người công nhân đi lối đường ngầm”

B: “Người công nhân về đến nhà trước 6 giờ tối”

3

17 1760

Giải:

Gọi A: “Chọn lô I”

B: “Lấy được chính phẩm ở lần lấy thứ nhất”

Ta có A B/ ; A B/ là hệ biến cố đầy đủ cho lần chọn thứ hai

Gọi C: “Lần thứ hai lấy được phế phẩm”, lúc đó:

Bài toán sau có thao tác tương tự nhưng yêu cầu bài toán lại khác

Bài toán 22 Có hai kiện hàng (mỗi kiện hàng có 20 sản phẩm) với số sản phẩm tốt

của mỗi kiện theo thứ tự là 18,16 Lấy ngẫu nhiên một kiện hàng, rồi từ đó lấy ngẫu nhiên một sản phẩm thì được sản phẩm tốt Trả sản phẩm này lại kiện hàng vừa lấy, sau đó lại lấy ngẫu nhiên một sản phẩm thì được sản phẩm tốt Tính xác suất để các sản phẩm tốt đó được lấy từ kiện hàng thứ nhất

Nhận xét: Thoáng nhìn qua ta có cảm giác bài toán này giống với bài toán hai

bước như Bài toán 21 trên Tuy nhiên ở đây bài toán không yêu cầu tính xác suất ở bước thứ hai, lời giải của bài toán như sau:

Giải:

Gọi A: “Kiện hàng thứ nhất”

B: “Cả hai lần đều lấy được sản phẩm tốt”

Ta có các biến cố đồng khả năng nên     1

29 14540

26

Bài tập áp dụng

Bài toán 1 Một cuộc thi khoa học có 50 bộ câu hỏi, trong đó có 28 bộ câu hỏi về

chủ đề tự nhiên và 22 bộ câu hỏi về chủ đề xã hội Bạn Lan lấy ngẫu nhiên 1 bộ câu hỏi (lấy không hoàn lại), sau đó bạn Mai lấy ngẫu nhiên 1 bộ câu hỏi Tính xác suất bạn Mai lấy được bộ câu hỏi về chủ đề xã hội

Bài toán 2 Có hai chiếc hộp, hộp A có 8 quả bóng màu đỏ và 6 quả bóng màu

vàng, hộp B có 9 quả bóng màu đỏ và 4 quả bóng màu vàng, các quả bóng có cùng kích thước và khối lượng Lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp A bỏ vào hộp B Sau đó, lấy ra ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp B Tính xác suất để quả bóng được lấy ra từ hộp B là quả bóng được chuyển từ hộp A sang, biết rằng quả bóng đó có màu vàng

Bài toán 3 Có hai đội thi đấu môn Bắn súng Đội A có 10 vận động viên, đội B có

12 vận động viên Xác suất đạt huy chương vàng của mỗi vận động viên đội A và đội B tương ứng là 0,15 và 0,25 Chọn ngẫu nhiên một vận động viên

a) Tính xác suất để vận động viên này đạt huy chương vàng

b) Giả sử vận động viên được chọn đạt huy chương vàng Tính xác suất để vận

động viên này thuộc đội B

Bài toán 4 Một cửa hàng có hai loại bóng đèn Led, trong đó có 65% bóng đèn Led

là màu trắng và 35% bóng đèn Led là màu xanh, các bóng đèn có kích thước như nhau Các bóng đèn Led màu trắng có tỉ lệ hỏng là 2 % và các bóng đèn Led màu xanh có tỉ lệ hỏng là 3%. Một khách hàng chọn mua ngẫu nhiên 1 bóng đèn Led từ cửa hàng Tính xác suất để khách hàng chọn được bóng đèn Led không hỏng

Bài toán 5 Hộp thứ nhất có 3 viên bi xanh và 6 viên vi đỏ Hộp thứ hai có 3 viên

vi xanh và 7 viên bi đỏ Các viên bi có cùng kích thước và khối lượng Lấy ngẫu nhiên ra một viên bi từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai Sau đó lại lấy ngẫu nhiên đồng thời hai viên từ hộp thứ hai, biết rằng hai bi lấy ra từ hộp thứ hai là bi màu đỏ, tính xác suất viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất cũng là bi màu đỏ

4.2.2 Công thức xác suất đầy đủ có lồng ghép công thức Bernoulli

Bài toán 1 (Bài toán 6.7, trang 77 SGK KNTT&CS)

Trong quân sự, một máy bay chiến đấu của đối phương có thể xuất hiện ở vị trí X với xác suất 0,55 Nếu máy bay đó không xuất hiện ở vị trí X thì nó xuất hiện ở vị trí Y để phòng thủ, các bệ phóng tên lửa được bố trí tại các vị trí X và Y Khi máy bay đối phương xuất hiện ở vị trí X hoặc vị trí Y thì tên lửa sẽ được phóng để hạ máy bay đó

Xét phương án tác chiến sau: Nếu máy bay xuất hiện tại X thì bắn hai quả tên lửa

và nếu máy bay xuất hiện tại Y thì bắn một quả tên lửa Biết rằng xác suất bắn trúng máy bay của mỗi quả tên lửa là 0,8 và các bệ phóng tên lửa hoạt động độc lập Máy bay bị bắn hạ nếu nó trúng ít nhất một quả tên lửa Tính xác suất bắn hạ máy bay đối phương trong phương án tác chiến trên