Skkn phát triển năng lực giải quyết vấn Đề thực tiễn cho học sinh thpt qua hoạt Động mô hình hóa trong dạy học chủ Đề Ứng dụng của Đạo hàm tìm gtln, gtnn

Một số biện pháp sư phạm góp phần hình thành và phát triển năng lực giải quyết vấn đề thực tiễn thông qua hoạt động mô hình hóa trong dạy học chủ đề “Ứng dụng của đạo hàm tìm GTLN, GTN

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

THỰC TIỄN CHO HỌC SINH THPT QUA HOẠT

ĐỘNG MÔ HÌNH HÓA TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ

“ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TÌM GTLN, GTNN”

LĨNH VỰC: TOÁN HỌC

NĂM HỌC 2024 – 2025

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT HÀ HUY TẬP

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ THỰC TIỄN CHO HỌC SINH THPT QUA HOẠT ĐỘNG MÔ HÌNH HÓA TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ “ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TÌM GTLN, GTNN”

LĨNH VỰC: TOÁN HỌC

Nhóm tác giả

1 Cao Xuân Hùng, điện thoại: 0977592884

2 Lăng Thị Cường, điện thoại: 0965698389

NĂM HỌC 2024 – 2025

MỤC LỤC

Chương 1 Cơ sở lí luận và khảo sát thực trạng vấn đề 3

1.1 Năng lực giải quyết vấn đề thực tiễn và định hướng dạy học 3 1.2 Mô hình, mô hình hóa toán học và quy trình thực hiện 5

2 Khảo sát thực trạng vấn đề trước khi áp dụng đề tài 6

2.4 Phân tích, đánh giá những vấn đề thực tiễn 8

Chương 2 Một số biện pháp sư phạm góp phần hình thành và phát

triển năng lực giải quyết vấn đề thực tiễn thông qua hoạt động mô hình

hóa trong dạy học chủ đề “Ứng dụng của đạo hàm tìm GTLN, GTNN”

10

1 Biện pháp 1: Hướng dẫn học sinh phân tích bài toán và thực hiện quy trình

mô hình hóa vào các bài tập có tình huống thực tiễn ở mức độ đơn giản (bài toán có

sẵn công thức)

10

2 Biện pháp 2: Hướng dẫn học sinh phân tích bài toán và thực hiện quy trình

mô hình hóa vào các bài tập có tình huống thực tiễn ở mức độ tự xây dựng công thức

14

3 Biện pháp 3: Hướng dẫn học sinh phân tích bài toán và thực hiện quy trình

mô hình hóa vào các bài tập có tình huống thực tiễn liên quan đến yếu tố hình học

20

4 Biện pháp 4: Hướng dẫn học sinh phân tích bài toán và thực hiện quy trình

mô hình hóa vào các bài tập có tình huống thực tiễn áp dụng trong dạy học liên môn

28

5 Biện pháp 5: Thiết kế chủ đề dạy học Ứng dụng của đạo hàm để tìm giá trị

lớn nhất, giá trị nhỏ nhất theo hướng phát triển kĩ năng STEM cho học sinh

34

6 Biện pháp 6 Vận dụng quy trình mô hình hóa các bài toán có tình

huống thực tiễn trong hoạt động thực hành, hoạt động ngoại khóa toán học

cho HS phổ thông

37

7 Biện pháp 7 Vận dụng quy trình mô hình hóa các bài toán có tình

huống thực tiễn trong hoạt động ngoại khóa toán học cho HS phổ thông

41

Chương 3 Khảo sát sự cấp thiết và tính khả thi của các giải pháp

đề xuất và thực nghiệm sư phạm

44

1 Khảo sát sự cấp thiết và tính khả thi của các giải pháp đề xuất đối với

các đối tượng liên quan

44

DANH MỤC VIẾT TẮT TRONG ĐỀ TÀI

BTCTHTT Bài toán có tình huống thực tiễn

PHẦN 1 ĐẶT VẤN ĐỀ

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong những năm gần đây, tốc độ phát triển nhanh chóng của tri thức nhân loại và

sự tiến bộ của khoa học kĩ thuật, đặc biệt là công nghệ thông tin làm cho mô hình dạy học theo tiếp cận nội dung không còn phù hợp Dạy học theo tiếp cận phát triển năng lực của học sinh là một bước ngoặt lớn đánh dấu sự chuyển mình mạnh mẽ về chất của ngành Giáo dục và Đào tạo nước ta trong giai đoạn hiện nay Mục tiêu dạy học chuyển từ việc chủ yếu trang bị kiến thức sang hình thành, phát triển phẩm chất và năng lực người học Chương trình tổng thể Ban hành theo Thông tư 32/2018/TT-BGDĐT ngày

26/12/2018 nêu rõ “Giáo dục toán học hình thành và phát triển cho học sinh những phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và năng lực toán học với các thành tố cốt lõi: năng lực tư duy và lập luận toán học, năng lực mô hình hóa toán học, năng lực giải quyết vấn đề toán học, năng lực giao tiếp toán học, năng lực sử dụng các công cụ và phương tiện học toán; phát triển kiến thức, kĩ năng then chốt và tạo cơ hội để học sinh được trải nghiệm, áp dụng toán học vào đời sống thực tiễn, giáo dục toán học tạo dựng sự kết nối giữa các ý tưởng toán học, giữa toán học với các môn học khác và giữa toán học với đời sống thực tiễn’’

Đối với HS phổ thông, một trong những mục tiêu của việc học toán là hình thành thái độ tích cực cùng khả năng sử dụng hiệu quả các kiến thức, kĩ năng đã học để vừa giải quyết các bài toán “TH thuần túy” hay “lý thuyết” cũng như vừa giải thích các hiện tượng, giải quyết các vấn đề trong thực tế cuộc sống thường ngày với công cụ TH mà ta gọi là các bài toán chứa tình huống thực tiễn (BTCTHTT)

NLGQVĐ của HS phổ thông được hình thành và phát triển khi học toán có thể được xem là NL giải quyết các vấn đề (bài toán) “lý thuyết” và các vấn đề thực tế (đương nhiên

là vừa sức với trình độ của HS) Dạy học toán phát triển năng lực giải quyết vấn đề thực tiễn (NLGQVĐTT) có thể được thực hiện bằng nhiều giải pháp liên quan các thành tố của quá trình dạy học, từ việc điều chỉnh, cụ thể hóa mục tiêu, chuẩn cần đạt, chọn lọc, bổ sung nội dung, đặc biệt là tìm kiếm các cách thức DH thích hợp và cuối cùng là tìm kiếm những cách đánh giá đủ độ tin cậy

Thực hiện quy trình mô hình hóa các bài toán thực tiễn trong dạy học có nhiều ý nghĩa trong việc góp phần tăng cường mạch ứng dụng TH trong giáo dục TH phổ thông; chúng giúp cho HS thấy rõ nguồn gốc TT của TH, khả năng ứng dụng vô cùng phong phú của TH trong các lĩnh vực của đời sống xã hội, tuy nhiên điều quan trọng là giúp HS có những cơ hội hết sức thuận lợi để tập dượt, rèn luyện phát triển NL ứng dụng TH vào việc giải quyết các vấn đề TT, một NL học tập cốt lõi cần có và cần được phát triển ở mỗi HS Thực tế hiện nay cho thấy việc khai thác và hướng dẫn học sinh thực hiện quy trình

mô hình hóa các bài toán thực tiễn để phát triển năng lực giải quyết vấn đề chưa được giáo viên sử dụng thường xuyên và học sinh còn gặp nhiều khó khăn

Chính vì những lí do trên, chúng tôi chọn đề tài “ Phát triển năng lực giải quyết vấn

đề thực tiễn cho học sinh THPT qua hoạt động mô hình hóa trong dạy học chủ đề “Ứng dụng của đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất’’

2 MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI

- Trên cơ sở nghiên cứu NLGQVĐ thực tiễn vào DH toán nhằm phát triển NLGQVĐ

mà đề xuất cách thức khai thác các bài toán mô hình hóa và xây dựng một số biện pháp

sư phạm phát triển NLGQVĐ cho HS qua việc sử dụng các bài toán đó trong DH toán ở trường THPT

- Các biện pháp nhằm dạy học chủ đề “Ứng dụng của đạo hàm” định hướng phát triển năng lực lực giải quyết vấn đề thực tiễn Thực nghiệm đề tài trong quá trình dạy học bằng cách lựa chọn các kiến thức và bài toán thực tế phù hợp đưa vào các tiết học chính khoá, các tiết thực hành và các hoạt động ngoại khóa

- Nhằm cung cấp cho học sinh một lượng kiến thức nhất định để giải quyết một số

bài toán trong các đề thi, tạo ra niềm đam mê, hứng khởi và sáng tạo trong học tập

- Nhằm mang lại hiệu quả cao hơn trong giảng dạy, đặc biệt là công tác ôn thi

- Giáo viên dạy toán bậc THPT

- Hệ thống các bài toán có nội dung thực tế chủ đề “Ứng dụng của đạo hàm tìm GTLN, GTNN” và quy trình mô hình hóa trong chương trình toán phổ thông

4 TÍNH MỚI VÀ TÍNH CẤP THIẾT CỦA ĐỀ TÀI

- Làm rõ thêm ý nghĩa, vai trò quan trọng của hệ thống bài toán có nội dung thực tiễn

và quy trình mô hình hóa trong dạy học môn toán chủ đề “Ứng dụng của đạo hàm tìm GTLN, GTNN”

- Đề xuất được cách thức khai thác và sử dụng các bài toán có nội dung thực tiễn chủ

đề “Ứng dụng của đạo hàm tìm GTLN, GTNN” và quy trình mô hình hóa trong dạy học môn toán để GV và HS có thể tham khảo trong quá trình dạy và học toán ở trường THPT

- Xây dựng được một số biện pháp dạy học sử dụng các bài toán có nội dung thực tiễn và quy trình mô hình hóa trong dạy học môn toán chủ đề “Ứng dụng của đạo hàm tìm GTLN, GTNN” nhằm góp phần phát triển NLGQVĐ cho HS THPT

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ KHẢO SÁT THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ

1 CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI

1.1 Năng lực giải quyết vấn đề thực tiễn và định hướng dạy học

1.1 1 Năng lực giải quyết vấn đề

GQVĐ hiểu theo nghĩa thông thường là tìm kiếm những giải pháp thích ứng để giải quyết các khó khăn, trở ngại Với một vấn đề cụ thể có thể có một số giải pháp giải quyết, trong đó có thể có giải pháp tối ưu Các thành phần của quá trình GQVĐ là:

1) Nhận diện vấn đề;

2) Tìm hiểu cặn kẽ những khó khăn;

3) Đưa ra một giải pháp;

4) Thực hiện giải pháp;

5) Đánh giá hiệu quả việc thực hiện

NLGQVĐ tuy được hình thành và phát triển thông qua nhiều môn học, nhiều lĩnh vực và nhiều hoạt động giáo dục khác nhau, tuy nhiên có thể thấy môn Toán có vai trò quan trọng và nhiều ưu thế để phát triển NL này cho học HS phổ thông

NLGQVĐ bao gồm 4 thành tố Mỗi thành tố bao gồm một số hành vi cá nhân khi làm việc độc lập hoặc khi làm việc nhóm trong quá trình GQVĐ Bốn thành tố đó là:

+ Nhận biết và tìm hiểu vấn đề: Nhận biết tình huống có vấn đề; xác định, giải thích

thông tin; chia xẻ sự am hiểu vấn đề với người khác

+ Thiết lập không gian vấn đề: Thu thập, sắp xếp và đánh giá độ tin cậy của thông

tin; kết nối thông tin với kiến thức đã học (lĩnh vực/ môn học/ chủ đề); xác định cách thức, quy trình, chiến lược giải quyết; thống nhất cách hành động để thiết lập không gian vấn

đề

+ Lập kế hoạch và thực hiện giải pháp: Thiết lập tiến trình thực hiện cho giải pháp

đã lựa chọn (thu thập dư liệu, thảo luận, xin ý kiến, giải quyết các mục tiêu, xem xét lại giải pháp, và thời điểm giải quyết từng mục tiêu); phân bổ và xác định cách sử dụng nguồn lực (tài nguyên, nhân lực, kinh phí, phương tiện, ); thực hiện và trình bày giải pháp cho vấn đề; Tổ chức và duy trì hoạt động nhóm khi thực hiện giải pháp (điều chỉnh, giám sát để phù hợp với không gian vấn đề khi có sự thay đổi)

+ Đánh giá và phản ánh giải pháp: Đánh giá giải pháp đã thực hiện; phản ánh giá trị

của giải pháp; xác nhận kiến thức và khái quát hóa cho vấn đề tương tự; đánh giá vai trò của cá nhân với hoạt động nhóm

Từ đó, tác giả này cũng đưa ra các mức độ phát triển NLGQVĐ nhằm phác họa con đường phát triển nhận thức hay con đường phát triển NL mà HS cần đạt Thông qua đó tạo điều kiện cho GV định hướng giảng dạy để HS đạt được các mức độ

1.1.2 Năng lực giải quyết vấn đề thực tiễn

Quá trình vận dụng TH vào TT nói chung phải thực hiện theo 4 bước thể hiện ở sơ

đồ sau:

Trong đó: (i) Xây dựng bài toán thực tế: Từ tình huống thực tế, xây dựng bài toán thực tế có thể giải bằng công cụ TH; (ii) TH hóa tình huống thực tế: Chuyển đổi từ vấn đề

thực tế sang vấn đề TH, xác định các thông tin TH cần thiết, nhận ra các khái niệm TH, đưa ra các cấu trúc, biểu diễn, đặc trưng TH liên quan để đưa bài toán thực tế đã xây dựng

về một mô hình TH cụ thể; (iii) Giải toán: lựa chọn, sử dụng phương pháp và công cụ TH

phù hợp để giải quyết một vấn đề đã được thiết lập dưới dạng mô hình TH Sản phẩm cuối

cùng ở bước này là một kết quả TH; (iv) Chuyển từ kết quả trong mô hình TH sang lời

giải của bài toán thực tế: xem xét kết quả TH trong ngữ cảnh của tình huống thực tế ban đầu, điều chỉnh các kết quả cho phù hợp và làm cho kết quả đó có ý nghĩa

Năng lực (NL) giải quyết vấn đề thực tiễn (trong nhà trường phổ thông) là NL trả lời những câu hỏi, GQVĐ đặt ra từ những tình huống thực tiễn (TT) trong học tập môn Toán, trong học tập những môn học khác ở trường phổ thông và trong TT cuộc sống

Năng lực giải quyết vấn đề thực tiễn của HS sẽ bao gồm những thành phần sau đây:

(1) NL hiểu được vấn đề, thu nhận được thông tin từ tình huống TT;

(2) NL chuyển đổi thông tin từ tình huống TT về mô hình TH (dưới dạng BTCTHTT); (3) NL tìm kiếm chiến lược giải quyết mô hình TH (đường lối giải bài tập từ góc độ TH); (4) NL thực hiện chiến lược để tìm ra kết quả;

(5) NL chuyển từ kết quả giải quyết mô hình TH sang lời giải của BTCTHTT;

(6) NL đưa ra các bài toán khác (nếu có thể)

1.1.3 Định hướng dạy học phát triển năng lực giải quyết vấn đề thực tiễn

Trong chương trình GDPT 2018, NLGQVĐ là một trong những NL chung cốt lõi được xác định cần hình thành và phát triển cho HS Việc đánh giá mức độ đạt được các yêu cầu

về NL chung của HS từng cấp học được thực hiện thông qua nhận xét các biểu hiện chủ yếu của các thành tố trong từng NL Các hoạt động này được mô tả trong Bảng 1.1 dưới đây

T

T

Các NL thành phần Hoạt động học tập khi GQVĐ TT

(chứa đựng trong các bài toán)

1 NL hiểu được vấn đề, thu nhận

được thông tin từ tình huống TT

1a - Tìm hiểu, xác định vấn đề cần giải quyết

1.2 Mô hình, mô hình hóa toán học và quy trình thực hiện

1.2.1 Mô hình

Mô hình của một tình huống thực tế: Là tình huống thực tế sau khi đã được đơn giản hóa, cụ thể hóa, xây dựng lại theo mục đích và sự quan tâm của người giải quyết vấn đề, nhưng vẫn phản ánh đúng một phần nào đó của tình huống thực tế ban đầu Mô hình là một mẫu, đại diện, minh họa, được thiết kế để mô tả cấu trúc, cách vận hành của một sự vật, hiện tượng, hệ thống hay một khái niệm

Từ quan điểm trên, có thể hiểu mô hình được dùng để mô tả một đối tượng thực tiễn nào đó, song mô hình không thể thay thế cho vật mẫu

1.2.2 Mô hình hóa toán học

MHH toán học là quá trình chuyển đổi từ vấn đề thực tế sang vấn đề toán học bằng cách thiết lập và giải quyết các mô hình toán học Trong dạy học Toán, MHH cho phép

HS kết nối toán học trong nhà trường với thực tiễn, cung cấp một bức tranh rộng hơn, phong phú hơn về toán học, giúp việc học toán trở nên ý nghĩa hơn

MHH toán học là phương pháp giúp HS tìm hiểu, khám phá các tình huống xuất phát

từ thực tiễn bằng các công cụ và ngôn ngữ toán học, từ đó vận dụng kiến thức, kĩ năng toán học vào giải quyết bài toán đặt ra MHH toán học giúp HS thông hiểu các khái niệm toán học, phát triển các kĩ năng hợp tác và nhận thức ở mức độ cao

1.2.3 Quy trình mô hình hóa toán học

Để thực hiện tốt nhiệm vụ MHH, chúng ta cần có một công cụ cụ thể, đó là quy trình MHH toán học Đã có nhiều tác giả nghiên cứu và đưa ra các quy trình khác nhau để mô

tả quá trình MHH toán học

1b - Xác định các thông tin TH (liệt kê những số

liệu, dữ kiện TH liên quan đến bài toán)

2 NL chuyển đổi thông tin từ tình

3 - Sử dụng những kiến thức, kĩ năng được học để

tìm kiếm chiến lược giải quyết mô hình TH

4 NL thực hiện chiến lược để tìm

ra kết quả

4a - Lựa chọn, sử dụng phương pháp và công cụ

TH phù hợp để GQVĐ đã được thiết lập dưới dạng

mô hình TH

4b - Trình bày lời giải, lập luận chặt chẽ, logic

5 NL chuyển từ kết quả giải quyết

mô hình TH sang lời giải của

BTCTHTT

5a - Xem xét, lựa chọn kết quả đã tìm được qua

giải quyết mô hình TH phù hợp với đặc điểm của tình huống trong bài toán

5b - Trả lời yêu cầu của bài toán

6 NL đưa ra các bài toán khác (nếu

có thể)

6 - Sử dụng các thao tác khái quát hóa hoặc tương

tự để đưa ra bài toán mới

Các quy trình đều có cùng một điểm chung, đó là một quá trình lặp gồm nhiều bước, bắt đầu với một tình huống thực tiễn và kết thúc bằng một phương án giải quyết thành công hay quyết định thực hiện lại quy trình để đạt được kết quả tốt hơn

Quy trình mô hình hóa được vận hành một cách linh hoạt, giáo viên cần hướng dẫn học sinh nắm được các yêu cầu cụ thể của từng bước sau đây:

- Bước 1 (Toán học hóa, hiểu tình huống thực tiễn): Hiểu rõ vấn đề thực tiễn, xây

dựng giả thuyết sau đó mô tả và diễn đạt vấn đề bằng công cụ và ngôn ngữ toán học Đây

là quá trình chuyển đổi tình huống thực tiễn sang toán học bằng cách xây dựng mô hình toán học tương ứng

- Bước 2 (Giải bài toán): Sử dụng kiến thức toán học thích hợp để giải quyết bài toán

đã được toán học hóa Để giải được bài toán, học sinh cần phải có phương pháp phù hợp, công cụ toán học tối ưu để xây dựng và giải quyết vấn đề toán học một cách hiệu quả

- Bước 3 (Thông hiểu): Hiểu được ý nghĩa lời giải của bài toán với tình huống thực

tiễn ban đầu Học sinh cần phát hiện được ưu - nhược điểm của kết quả toán học vào tình huống thực tiễn

- Bước 4 (Đối chiếu, kiểm định kết quả): Đối chiếu giả thuyết ban đầu đưa ra, tìm

hiểu những hạn chế của mô hình toán học, lời giải của bài toán, xem xét lại các công cụ

và phương pháp toán học đã sử dụng, đối chiếu để cải tiến mô hình, xây dựng mô hình mới Ở bước này, có thể xảy ra hai trường hợp:

- Trường hợp 1: Mô hình và kết quả tính toán phù hợp với thực tiễn Khi đó, cần tổng kết lại cách đặt vấn đề, mô hình toán học đã xây dựng, các công cụ toán học đã sử dụng

và kết quả thu được

- Trường hợp 2: Mô hình và kết quả không phù hợp với thực tiễn Khi đó, cần tìm hiểu nguyên nhân và hạn chế Mô hình toán học xây dựng đã phù hợp chưa, có phản ánh được đầy đủ thực tiễn hay không? Nếu chưa cần xây dựng lại, điều chỉnh sao cho phù hợp

2 KHẢO SÁT THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG ĐỀ TÀI

2.1 Mục đích khảo sát

- Nghiên cứu thực trạng việc khai thác và sử dụng BTCTHTT trong DH toán nhằm

góp phần phát triển NLGQVĐTT của HS

- Việc dạy học mô hình hóa các bài toán thực tiễn ở trường THPT đang gặp những khó khăn gì và có giải pháp nào nhằm góp phần khắc phục những khó khăn đó hay không? Chẳng hạn, GV có mong muốn và có khó khăn gì trong việc khai thác và sử dụng nguồn học liệu?

2.2 Nội dung và phương pháp khảo sát

2.2.1 Nội dung khảo sát

- Khảo sát những hoạt động của GV trong từng bước của tiến trình dạy học (tiếp cận vấn đề, giải quyết vấn đề, củng cố, vận dụng, đánh giá ) thường như thế nào?

- Khảo sát mức độ và khả năng sử dụng các bài toán có tình huống thực tiễn của GV phục vụ dạy học đang ở mức độ nào: GV có khai thác các nguồn học liệu, nguồn hỗ trợ cho việc dạy học mô hình hóa các bài toán thực tiễn để đưa vào bài dạy hay không?

- Khảo sát nhu cầu của HS khi học nội dung các bài toán có tình huống thực tiễn ở trên lớp và khi tự học nội dung này Qua đó, có thể đề xuất được giải pháp hỗ trợ quá trình học tập nội dung này cho HS

2.2.2 Phương pháp khảo sát và thang đánh giá

Đối tượng khảo sát:

- GV: 10 giáo viên gồm các gv tổ Toán – Tin trường THPT Hà Huy Tập và một số

GV trường khác trong thành phố Vinh

- Học sinh: 129 HS từ các lớp 12 Trường THPT Hà Huy Tập

- Phương pháp được sử dụng để khảo sát: Khảo sát trực tiếp qua mẫu

2.3 Kết quả khảo sát

2.3.1 Kết quả khảo sát của giáo viên

1 2 3 4 5

1 Thầy/Cô hãy đánh giá mức độ đạt được trong các giờ dạy

theo các tiêu chí sau đây:

1.1 Khuyến khích HS nghiên cứu bài toán 5 2 3

1.2 Gợi mở các bước cho HS giải quyết bài toán 4 3 2 1

1.3 Giúp HS thấy được các yếu tố/mô hình TH trong tình huống 4 5 1

1.4 Giúp HS nhận ra sự gắn kết giữa kiến thức TH và bối cảnh 5 3 1 1

1.5 Hướng dẫn HS phát biểu bài toán bằng lời 4 4 1 1

1.6 Yêu cầu HS tự xây dựng các bài toán có mô hình hoặc tình

huống TT tương tự để giải quyết

5 4 1

1.7 Khuyến khích HS xây dựng các bài toán có liên quan đến mô

hình hoặc tình huống TT

6 3 1

2 Thầy/Cô đánh giá mức độ đạt được của các BTCTHTT được

sử dụng trong bài dạy mà Thầy/Cô thực hiện

2.1 Thực sự có tình huống TT 5 4 1

3 Thầy/Cô thường thực hiện được quá trình nào trong tiết dạy

giúp cho HS phát triển NLGQVĐTT sau đây?

3.1 Tìm hiểu, xác định được vấn đề cần giải quyết 3 5 1 1

3.2 Xác định các thông tin TH (liệt kê những số liệu, dữ kiện TH

liên quan đến bài toán)

3 5 2

3.3 Kết nối được các kiến thức, thông tin liên quan 4 5 1

3.5 Sử dụng những kiến thức, kĩ năng được học để tìm kiếm chiến

lược giải quyết mô hình TH

6 3 1

3.6 Trình bày lời giải, lập luận chặt chẽ, logic 5 4 1

3.7 Xem xét, lựa chọn kết quả đạt được từ việc giải quyết mô hình

TH trong ngữ cảnh của BTCTHTT

3.8 Biết cách khái quát hóa (nếu có thể được) 7 2 1

2.3.2 Kết quả khảo sát của học sinh

Đối tượng khảo sát: 129 học sinh của 3 lớp: 12T1 (44 hs); 12T2 (45hs); 12T3(40hs)

Phiếu khảo sát 1 Câu hỏi: Em cảm thấy mình có khó khăn không khi tiếp cận và giải quyết các bài toán thực tiễn trong chủ đề “Ứng dụng của đạo hàm tìm GTLN, GTNN”?

Mức độ Không khó khăn Ít khó khăn Khó khăn Rất khó khăn

Phiếu khảo sát 2 Câu hỏi: Em thấy mình có hứng thú không khi tiếp cận và giải quyết các bài toán thực tiễn trong chủ đề “Ứng dụng của đạo hàm tìm GTLN, GTNN”?

Mức độ Không hứng thú Ít hứng thú Hứng thú Rất hứng thú

2.4 Phân tích, đánh giá những vấn đề thực tiễn

2.4.1 Thực trạng giảng dạy của giáo viên

- Mức độ quan tâm của giáo viên đối với việc vận dụng TH vào TT chưa được đầu

tư và chú trọng đúng mức, chủ yếu là dạy lí thuyết, tập trung rèn luyện giải các bài tập

"TH thuần túy" từ giản đơn đến phức tạp, hướng theo mục đích thi cử

- Việc hướng dẫn học sinh thực hiện quy trình mô hình hóa yêu cầu mất nhiều thời gian mà thường các tiết dạy không đủ để thực hiện

- Một trong những khó khăn chủ yếu đó là việc tìm ra các tình huống, BTCTHTT để minh hoạ cho bài giảng Công việc này đòi hỏi GV phải có sự tìm tòi, suy nghĩ mất nhiều thời gian Hơn nữa, sự am hiểu các lĩnh vực của cuộc sống của GV vì nhiều lí do lại rất hạn chế

- Rào cản về mặt hoạt động, về mặt kỹ thuật: Việc tìm ra các tình huống TT để minh hoạ cho bài giảng đòi hỏi GV phải có sự tìm tòi, suy nghĩ tích cực và mất nhiều thời gian Hơn nữa, sự am hiểu các lĩnh vực của cuộc sống của GV còn hạn chế GV chưa có được những cách thức khai thác BTCTHTT trong DH toán và sử dụng chúng nhằm góp phần phát triển NLGQVĐTT cho HS

2.4.2 Thực trạng học tập của học sinh

- Để giải được các BTCTHTT bằng quy trình mô hình hóa đòi hỏi HS phải có kỹ năng chuyển đổi từ ngôn ngữ tự nhiên sang mô hình TH; tuy nhiên việc này HS ít được luyện tập, trải nghiệm TT còn hạn chế nên đây là một trở ngại cho các em

- Trong lúc giải quyết bài toán thực, học sinh đôi lúc quá tập trung vào các hiện tượng không phải bản chất, bỏ qua yếu tố bản chất của đối tượng Từ đó, chuyển đổi từ vấn đề thực sang mô hình Toán học gặp khó khăn, đôi lúc là thất bại; Nhiều học sinh thiếu kiên trì, khi chuyển đổi từ bài toán thực sang mô hình Toán học nếu thấy khó khăn là dừng lại

và bỏ qua; Học sinh có vốn trải nghiệm nhưng thiếu kĩ năng vận dụng vốn trải nghiệm vào trong bài toán; Việc đánh giá năng lực cá nhân và đồng đẳng còn yếu, học sinh có tâm lí coi đánh giá quá trình mô hình hóa là không qua trọng cho việc học

- hạn chế trong việc đọc hiểu, xác định thông tin quan trọng của bài toán ảnh hưởng đến việc kết nối các thông tin HS chưa tách được các thông tin không liên quan Một số

HS còn hạn chế trong việc huy động kiến thức để giải quyết bài toán

- HS cảm thấy khó khăn trong việc tìm kiếm được chiến lược giải mô hình toán và

số HS tìm ra được kết quả đúng không cao Điều này cho thấy, HS quen thuộc với việc giải bài toán “TH thuần túy” hơn

Tuy vậy đa số học sinh được hỏi ý kiến đều thích và muốn học các tiết học có những nội dung liên quan đến những những ứng dụng của Toán học trong thực tế, tìm hiểu nguồn gốc thực tiễn của toán học nhưng ở trên lớp có khá ít thời gian để các giáo viên có thể tổ chức những hoạt động và xây dựng hệ thống bài tập thực tiễn cho các em

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM GÓP PHẦN HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ THỰC TIỄN THÔNG QUA HOẠT ĐỘNG

MÔ HÌNH HÓA TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

1 Biện pháp 1: Hướng dẫn học sinh phân tích bài toán và thực hiện quy trình mô hình hóa vào các bài tập có tình huống thực tiễn ở mức độ đơn giản (bài toán có sẵn công thức)

1.1 Bài toán 1: Bài toán y học

Về việc điều tra dịch virus Zika, các chuyên gia ước tính số người nhiễm virus Zika

kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t :

45 , 0,1, 2, , 25

Nếu coi f t  là một hàm xác định trên 0; 25 thì f t  sẽ là tốc độ truyền bệnh

(người/ngày) tại thời điểm t Tốc độ truyền bệnh sẽ lớn nhất vào ngày thứ mấy?

* Mục tiêu của bài toán

Chuyển hóa bài toán thực tiễn thành bài toán toán học;

Vận dụng được công thức đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất;

Tốc độ truyền bệnh sẽ lớn nhất vào ngày thứ mấy?

* Phân tích bài toán

Virus Zika còn được gọi là bệnh do virus Zika Virus Zika là một loại bệnh truyền nhiễm do muỗi Vào năm 1947, virus Zika lần đầu tiên được phân lập từ khỉ ở rừng Zika của Uganda nhưng không bị coi là một mầm bệnh quan trọng của con người cho tới khi xảy ra dịch ở quy mô lớn đầu tiên ở các hòn đảo Nam Thái Bình Dương vào năm 2007 Virus Zika là một loại bệnh truyền nhiễm do muỗi truyền, chủ yếu xảy ra ở các khu vực nhiệt đới và cận nhiệt đới trên thế giới Hầu hết những người bị nhiễm virus Zika không

có dấu hiệu và triệu chứng Một số dấu hiệu và triệu chứng có thể bắt gặp bao gồm đau đầu, đỏ mắt (viêm kết mạc) Bài toán được lý tưởng hóa về tốc độ lây lan của dịch Zika

để dẫn đến thiết kế bài toán tìm giá trị lớn nhất của hàm số

* Tiến trình hoạt động mô hình hóa và thực hiện lời giải

Bước 1: Toán học hóa, tìm hiểu tình huống thực tiễn

Chuyển từ bài toán thực tiễn sang bài toán toán học (mô hình toán học)

Lúc này, GV có thể đặt các câu hỏi để định hướng cho HS chuyển từ bài toán thực tiễn sang bài toán toán học:

Bài toán yêu cầu điều gì?

(Câu trả lời: Tìm tốc độ truyền bệnh sẽ lớn nhất vào ngày thứ mấy?)

Để tìm tốc độ truyền bệnh sẽ lớn nhất vào ngày thứ mấy, cần dựa vào yếu tố nào của bài toán?

(Câu trả lời mong đợi: Cần dựa vào hàm   2 3

Từ dữ kiện trên ta thu được kết quả gì?

(Câu trả lời mong đợi: HS phát biểu được bài toán thực tiễn chuyển về bài toán toán học

Bước 2: Giải bài toán

Sử dụng công cụ toán học để tìm lời giải cho bài toán

GV có thể dẫn dắt HS tìm ra lời giải cho bài toán thông qua câu hỏi: Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số   2

Dựa vào bảng biến thiên, ta có giá trị lớn nhất của g t 675, tại t15

Bước 3: Thông hiểu

Sử dụng kết quả giải bài toán ở bước 2 để diễn giải thành lời bài toán thực tiễn về việc điều tra dịch virus Zika

Các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm virus Zika kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân

đầu tiên đến ngày thứ t , tốc độ truyền bệnh sẽ lớn nhất vào ngày thứ 15

Bước 4: Đối chiếu, kiểm định kết quả

So sánh, đối chiếu lời giải với bài toán thực tiễn ban đầu

Trong thực tiễn, tốc độ truyền bệnh còn phụ thuộc vào nhiều yếu tố tác động Tuy nhiên,

ta đã lý tưởng hóa bài toán để dễ dàng thực hiện các phép toán Kết quả của bài toán thu được phù hợp với các dữ kiện đã cho của bài toán và có thể chấp nhận được

1.2 Bài toán 2: Tối đa lợi nhuận trong sản xuất vải lụa

Một hộ làm nghề dệt vải lụa tơ tằm sản suất mỗi ngày được x mét vải lụa 1 x 18Tổng chi phí sản xuất x mét vải lụa, tính bằng nghìn đồng, cho bởi hàm chi phí:

* Mục tiêu của bài toán

+ Chuyển hóa bài toán thực tiễn thành bài toán toán học

+ Vận dụng công cụ đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất

+ Xác định mức sản xuất tối ưu để đạt lợi nhuận cao nhất

* Phân tích bài toán

Hộ làm nghề dệt vải lụa tơ tằm có năng suất mỗi ngày là x mét vải lụa, với 1 x 18Gọi L x  là lợi nhuận thu được khi bán x mét vải lụa, ta có công thức:

* Tiến trình hoạt động mô hình hóa và thực hiện lời giải

Bước 1: Toán học hóa, hiểu tình huống thực tiễn

Bài toán yêu cầu tìm số mét vải lụa cần sản xuất mỗi ngày để đạt lợi nhuận tối đa

Các câu hỏi dẫn dắt

- Bài toán yêu cầu điều gì? (Tìm lợi nhuận tối đa của hộ làm nghề dệt vải lụa.)

- Để tìm lợi nhuận tối đa, cần dựa vào yếu tố nào? (Cần tìm giá trị lớn nhất của hàm L x trên đoạn  1;18 )

- Từ dữ kiện trên, ta có thể chuyển bài toán thực tế thành bài toán toán học như thế nào? (Xây dựng hàm L x , tìm đạo hàm L x , giải phương trình L x 0, lập bảng biến

Bước 3: Diễn giải kết quả và áp dụng thực tế

Vậy hộ làm nghề dệt này sẽ có lợi nhuận tối đa là 1200 nghìn đồng mỗi ngày khi sản xuất

10 mét vải lụa

Bước 4: Đối chiếu, kiểm định kết quả

So sánh với thực tế, lợi nhuận của một doanh nghiệp không chỉ phụ thuộc vào chi phí sản xuất và doanh thu mà còn vào nhiều yếu tố khác như thị trường, nguồn cung nguyên liệu Tuy nhiên, bài toán đã lý tưởng hóa để dễ dàng thực hiện phép toán và đưa

ra kết quả hợp lý

1.3 Bài toán 3: Tối đa số lượng vi khuẩn trong môi trường dinh dưỡng

Trong một thí nghiệm y học, người ta cấy 1000 vi khuẩn vào môi trường dinh dưỡng Bằng thực nghiệm, người ta xác định được số lượng vi khuẩn thay đổi theo thời gian bởi

t trong đó t là thời gian tính bằng giây Tính số

lượng vi khuẩn lớn nhất kể từ khi thực hiện cấy vi khuẩn vào môi trường dinh dưỡng

* Mục tiêu của bài toán

+ Chuyển bài toán thực tế về sự phát triển của vi khuẩn thành bài toán toán học

+ Sử dụng công cụ đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất của một hàm số

+ Xác định thời điểm số lượng vi khuẩn đạt giá trị cực đại

* Phân tích bài toán

Trong một thí nghiệm y học, người ta cấy 1000 vi khuẩn vào môi trường dinh dưỡng

Bằng thực nghiệm, số lượng vi khuẩn tại thời điểm t giây sau khi cấy được cho bởi hàm

số N t 

* Tiến trình hoạt động mô hình hóa và thực hiện lời giải

Bước 1: Toán học hóa bài toán, hiểu tình huống thực tiễn

Bài toán yêu cầu xác định giá trị lớn nhất của hàm số N t  trên miền xác định t0

- Bài toán yêu cầu điều gì? (Tìm số lượng vi khuẩn lớn nhất sau khi cấy.)

- Làm thế nào để tìm số lượng vi khuẩn lớn nhất? (Tìm cực đại của hàm số N t  bằng cách lấy đạo hàm và xét dấu.)

- Chúng ta cần làm gì để xác định thời điểm đạt giá trị lớn nhất? (Tìm t sao cho N t 0

và xét dấu của N t  để xác định điểm cực đại.)

Bước 2: Giải bài toán bằng công cụ toán học

Căn cứ bảng biến thiên, ta thấy: Trên khoảng 0; hàm số N t  đạt giá trị lớn nhất bằng 1005 tại t10 Vậy số lượng vi khuẩn lớn nhất kể từ khi thực hiện cấy vi khuẩn vào môi trường dinh dưỡng là 1005 con

Bước 3: Diễn giải kết quả và áp dụng thực tế

Vậy số lượng vi khuẩn lớn nhất có thể đạt được trong môi trường là 1005 con tại thời điểm

10 giây sau khi cấy

Bước 4: Đối chiếu, kiểm định kết quả

- Kết quả phù hợp với quy luật sinh trưởng của vi khuẩn: tăng nhanh ban đầu, đạt cực đại, sau đó giảm dần

- Trong thực tế, sự suy giảm sau khi đạt cực đại có thể do giới hạn môi trường hoặc sự cạn kiệt dinh dưỡng

1.4 Xây dựng và phát triển một số bài toán có quy trình mô hình hóa tương tự

để học sinh rèn luyện phát triển năng lực giải quyết vấn đề thực tiễn

Bài 1 Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được đo bởi công thức   2 

Tài xế xe tải lái xe với tốc độ trung bình là bao nhiêu để tiết kiệm tiền xăng nhất?

Bài 3 Một con cá hồi bơi ngược dòng nước để vượt một khoảng cách là 300 km Vận tốc dòng nước là 6 (km/h) Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là v(km/h) thì năng

lượng tiêu hao của cá trong t giờ được cho bởi công thức E v cv t3 (trong đó c là hằng

số dương, E được tính bằng đơn vị Jun) Cá bơ ngược dòng quãng đường 300 km trên trong khoảng thời gian t với vận tốc bằng bao nhiêu để năng lượng tiêu hao là thấp nhất?

Bài 4 Một bài báo trong tạp chí xã hội học phát biểu rằng nếu một chương trình chăm sóc

sức khỏe đặc biệt cho người già được khởi xướng, thì t năm sau khi nó được khởi động,

n ngàn người già có thể trực tiếp nhận được các phúc lợi, trong đó

2.1 Bài toán 1: Bài toán tối ưu lợi nhuận của trang trại rau sạch

Trang trại rau sạch Organic ở Đà Lạt mỗi ngày thu hoạch được một tấn rau Mỗi ngày, nếu bán rau với giá 30.000 đồng/kg thì hết rau sạch, nếu giá bán rau tăng 1.000 đồng/kg thì số rau thừa tăng thêm 20 kg Số rau thừa này được thu mua làm thức ăn chăn

nuôi với giá 2.000 đồng/kg Hỏi tiền bán rau nhiều nhất trang trại có thể thu được mỗi ngày là bao nhiêu?

* Mục tiêu của bài toán:

+ Chuyển hóa bài toán thực tiễn thành bài toán toán học

+ Vận dụng mối liên hệ giữa các đại lượng về giá thành của rau và số lượng tăng số kg rau

+ Vận dụng được công thức tính đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất

+ Tính số tiền bán rau nhiều nhất trang trại có thể thu được mỗi ngày

Thông qua bài toán này, GV rèn luyện cho HS các kỹ năng sau:

+ Nhận dạng tình huống tìm giá trị lớn nhất của hàm số liên quan đến bài toán kinh tế + Chuyển hóa bài toán thực tiễn thành bài toán toán học để giải

+ Thiết lập và biểu diễn được mối quan hệ giữa các đại lượng

+ Vận dụng công thức tính đạo hàm vào giải bài toán

* Phân tích bài toán

Bài toán liên quan đến kinh tế về việc mua bán rau và giá cả tăng hằng ngày, số rau mỗi ngày bán được Khi tính số tiền bán rau nhiều nhất trang trại có thể thu được mỗi ngày là

ta đang giải bài toán tìm giá trị lớn nhất của hàm số

* Tiến trình hoạt động mô hình hóa và thực hiện lời giải

Bước 1: Toán học hóa, tìm hiểu tình huống thực tiễn Chuyển từ bài toán thực tiễn sang bài toán toán học (mô hình toán học)

Câu hỏi định hướng

+ Bài toán này cho ta biết được những thông tin gì?

(Câu trả lời mong đợi: Mỗi ngày trang trại thu hoạch được một tấn rau, nếu bán rau với giá 30.000 đồng/kg thì hết rau sạch; nếu giá bán rau tăng 1.000 đồng/kg thì số rau thừa tăng thêm 20 kg Số rau thừa này được thu mua làm thức ăn chăn nuôi với giá 2.000 đồng/kg)

+ Bài toán yêu cầu làm gì?

(Câu trả lời mong đợi: Tính số tiền bán rau nhiều nhất trang trại có thể thu được mỗi ngày) + Để tính được số tiền bán rau nhiều nhất trang trại có thể thu được mỗi ngày, cần dựa vào những yếu tố nào?

(Câu trả lời mong đợi: Cần dựa vào mối liên hệ giữa số tiền của số rau thừa được thu mua cho chăn nuôi và số tiền thu được từ số rau bán được trước khi thu mua cho chăn nuôi)

GV có thể hướng dẫn HS gọi y (đồng) là số đơn vị giá bán rau tăng thêm một ki-lô-gam

y 0Giá bán rau sau mỗi lần tăng giá phụ thuộc vào y Khi đó, giá bán rau sau khi tăng được tính bằng công thức: 30.000 1000 y đồng/1kg

Số lượng rau thừa được mua cho chăn nuôi là 20y (kg), với y 50.Số rau bán được là:

1000 20 (kg). y Từ đó, HS tính được tổng số tiền bán thu được mỗi ngày là:

   2

1000 20 30000 1000 20 2000 20000 440000 30000000

Bước 2: Sử dụng công cụ toán học để tìm lời giải cho bài toán

Ở bước này, GV hướng dẫn HS sử dụng công cụ đạo hàm của hàm số để tìm lời giải của bài toán Sau đó, GV cho HS trình bày lời giải chi tiết của bài toán

Khi đó, bài toán đã cho trở thành: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:

Dựa vào bảng biến thiên, ta có giá trị lớn nhất của P y  là P 11 32420000

Bước 3: Thông hiểu

Sử dụng kết quả giải bài toán ở bước 2 để diễn giải thành lời giải thực tiễn

Trang trại rau sạch Organic ở Đà Lạt mỗi ngày thu hoạch được một tấn rau, nếu bán rau với giá 30.000 đồng/kg thì hết rau sạch, nếu giá bán rau tăng 1000 đồng/kg thì số rau thừa tăng thêm 20kg Số rau thừa này được thu mua làm thức ăn chăn nuôi với giá 2000 đồng/kg Khi đó, số tiền bán rau nhiều nhất trang trại có thể thu được mỗi ngày là 32.420.000 đồng

Bước 4: Đối chiếu, kiểm định kết quả

So sánh, đối chiếu lời giải với bài toán thực tiễn ban đầu xem có phù hợp hay không?

Trên thực tế, việc thu hoạch rau mỗi ngày của trang trại là khác nhau Giá cả của mỗi loại rau sẽ khác nhau, sự thành tăng giảm của rau theo mỗi ngày cũng có thể khác nhau phụ thuộc vào nhu cầu của thị trường Nhưng bài toán đã được lý tưởng hóa số lượng để

dễ dàng thực hiện các phép toán hơn Kết quả của bài toán thực sự có ý nghĩa đối với các

dữ kiện đưa ra của bài toán và có thể chấp nhận được

2.2 Bài toán 2: Bài toán tối ưu lợi nhuận cho thuê căn hộ

Một công ty bất động sản có 50 căn hộ cho thuê Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá 2.000.000 đồng mỗi tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê và cứ mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ 100.000 đồng mỗi tháng thì có thêm 2 căn hộ bị bỏ trống Muốn có thu nhập cao nhất, công ty đó phải cho thuê với giá mỗi căn hộ là bao nhiêu?

* Mục tiêu của bài toán

+ Chuyển hóa bài toán thực tế thành bài toán toán học

+ Vận dụng kiến thức về hàm số và đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất

+ Xác định giá thuê tối ưu để công ty thu được lợi nhuận cao nhất

* Phân tích bài toán

Công ty bất động sản có 50 căn hộ cho thuê Nếu giá thuê mỗi căn hộ là 2.000.000 đồng/tháng, tất cả các căn hộ đều có người thuê Tuy nhiên, mỗi lần tăng giá thuê 100.000 đồng/tháng thì sẽ có thêm 2 căn hộ bị bỏ trống do khách không thuê nữa

Do đó, nếu công ty tăng giá thuê, tổng thu nhập từ việc cho thuê có thể tăng do giá thuê cao hơn, nhưng cũng có thể giảm do có ít căn hộ được thuê hơn Bài toán đặt ra là: công ty nên cho thuê với mức giá bao nhiêu để tối đa hóa lợi nhuận?

Như vậy, đây là một bài toán tìm giá trị lớn nhất của một hàm số, cụ thể là hàm số biểu diễn tổng lợi nhuận của công ty theo giá thuê căn hộ

* Tiến trình hoạt động mô hình hóa và thực hiện lời giải

Bước 1: Toán học hóa, hiểu tình huống thực tiễn Chuyển bài toán thực tế thành bài toán toán học

+ Bài toán yêu cầu tìm điều gì?

(Học sinh cần xác định rằng bài toán yêu cầu tìm giá thuê sao cho lợi nhuận cao nhất.) + Làm thế nào để biểu diễn số căn hộ bị bỏ trống khi tăng giá thuê?

(Mỗi lần tăng giá 100.000 đồng thì 2 căn hộ bị bỏ trống Nếu giá thuê tăng thêm x - 2.000.000 đồng, số căn hộ bị bỏ trống là bao nhiêu?

+ Làm thế nào để biểu diễn số căn hộ còn lại được thuê?

+ Công thức tính lợi nhuận tổng thể là gì?

(Lợi nhuận = số căn hộ thuê được × giá thuê mỗi căn hộ)

+ Làm thế nào để tìm giá trị lớn nhất của lợi nhuận?

(Sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất của hàm số.)

Bước 2: Sử dụng công cụ toán học để tìm lời giải cho bài toán

Ở bước này, GV hướng dẫn HS sử dụng công cụ đạo hàm của hàm số để tìm lời giải của bài toán Sau đó, GV cho HS trình bày lời giải chi tiết của bài toán

Lời giải

Gọi x là giá thuê thực tế của mỗi căn hộ, (x: đồng; x2000.000 đồng)

Theo giả thuyết ta có số căn hộ bị bỏ trống là: 2 2.000.000 2.000.000

Suy ra F x  đạt giá trị lớn nhất khi x2.250.000

Vậy công ty phải cho thuê với giá 2.250.000 đồng mỗi căn hộ thì được lãi lớn nhất

Bước 3: Thông hiểu

+ Giải thích ý nghĩa kết quả: Khi giá thuê 2.250.000 đồng, lợi nhuận đạt cao nhất

+ Từ bảng biến thiên thấy rõ xu hướng lợi nhuận theo giá thuê

Bước 4: Đối chiếu, kiểm định kết quả

+ So sánh với bài toán thực tiễn: Trong thực tế, số lượng căn hộ thuê được có thể bị ảnh hưởng bởi nhiều yếu tố khác (chất lượng dịch vụ, nhu cầu thị trường, vị trí ) Tuy nhiên, trong phạm vi bài toán, kết quả tính toán phù hợp với giả thuyết ban đầu

+ Kết luận: Công ty nên đặt giá thuê mỗi căn hộ là 2.250.000 đồng/tháng để thu được lợi nhuận cao nhất

2.3 Bài toán 3: Bài toán tối ưu về thời gian làm việc và chất lượng sản phẩm tại nhà máy

Theo thống kê tại một nhà máy, nếu áp dụng tuần làm việc 40 giờ thì mỗi tuần có

100 công nhân đi làm và mỗi công nhân làm được 120 sản phẩm trong một giờ Nếu tăng thời gian làm việc thêm 2 giờ mỗi tuần thì sẽ có 1 công nhân nghỉ việc và năng suất lao động giảm 5 sản phẩm/1 công nhân/1 giờ (và như vậy, nếu giảm thời gian làm việc 2 giờ mỗi tuần thì sẽ có thêm 1 công nhân đi làm đồng thời năng suất lao động tăng 5 sản phẩm/1

công nhân/1 giờ) Ngoài ra, số phế phẩm mỗi tuần ước tính là   95 2 120

* Mục tiêu của bài toán

+ Chuyển hóa bài toán thực tiễn thành bài toán toán học

+ Xây dựng hàm số biểu diễn tổng số sản phẩm thu được mỗi tuần

+ Vận dụng công cụ đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất của hàm số

+ Xác định số giờ làm việc tối ưu để nhà máy đạt năng suất cao nhất

* Phân tích bài toán

Một nhà máy áp dụng tuần làm việc 40 giờ, có 100 công nhân và mỗi công nhân sản xuất 120 sản phẩm/giờ Nếu tăng thời gian làm việc mỗi tuần thêm 2 giờ:

- Sẽ có 1 công nhân nghỉ việc Năng suất lao động giảm 5 sản phẩm/giờ/người Ngược lại, nếu giảm thời gian làm việc mỗi tuần 2 giờ:

- Sẽ có thêm 1 công nhân đi làm Năng suất lao động tăng 5 sản phẩm/giờ/người

Ngoài ra, số phế phẩm mỗi tuần được ước tính theo công thức:   95 2 120

* Tiến trình hoạt động mô hình hóa và thực hiện lời giải

Bước 1: Toán học hóa, hiểu tình huống thực tiễn Chuyển bài toán thực tiễn về bài toán toán học

+ Bài toán yêu cầu điều gì?

+ Để tìm tổng số sản phẩm thu được, cần dựa vào yếu tố nào?

+ Từ dữ kiện trên, ta xây dựng hàm số nào?

Bước 2: Giải bài toánSử dụng công cụ toán học để tìm lời giải cho bài toán

Ở bước này, GV hướng dẫn HS sử dụng công cụ đạo hàm của hàm số để tìm lời giải của bài toán Sau đó, GV cho HS trình bày lời giải chi tiết của bài toán

Lời giải Gọi t là số giờ làm tăng thêm (hoặc giảm) mỗi tuần, t

số công nhân bỏ việc (hoặc tăng thêm) là

 t sản phẩm một giờ Số thời gian làm việc một tuần

là 40t giờ Để nhà máy hoạt động được thì t  40; 48

Vậy số lượng sản phẩm thu được mỗi tuần lớn nhất khi x36 (giờ)

Bước 3: Thông hiểu

* Diễn giải ý nghĩa kết quả:

+ Nếu tìm được x tối ưu, ta có thể khẳng định đây là số giờ làm việc hợp lý để nhà máy đạt sản lượng cao nhất

+ So sánh với các giá trị gần kề để kiểm tra xem có thể cải thiện kết quả hay không

Bước 4: Đối chiếu, kiểm định kết quả

* So sánh với thực tế

+ Trong thực tế, số sản phẩm thu được không chỉ phụ thuộc vào thời gian làm việc mà còn

bị ảnh hưởng bởi sức khỏe công nhân, chi phí vận hành, và điều kiện sản xuất

+ Kết quả bài toán giúp đưa ra một phương án tối ưu dựa trên các yếu tố đã cho

2.4 Xây dựng và phát triển một số bài tập có quy trình mô hình hóa tương tự giúp học sinh phát triển năng lực giải quyết vấn đề thực tiễn

Bài 1 Công ti truyền hình cáp Vista hiện có 100000 thuê bao Mỗi thuê bao đang trả cước

thuê bao 40$/ tháng Một cuộc khảo sát cho thấy cứ mỗi lần giảm 0, 25$ cước thuê bao, công ti có thể có thêm 1000 thuê bao Để doanh thu thu được là tối đa, công ti cần xác định mức cước thuê bao mỗi tháng là bao nhiêu?

Bài 2 Người quản lí của một khu chung cư có 100 căn hộ cho thuê nhận thấy rằng tất cả

các căn hộ sẽ có người thuê nếu giá thuê một căn hộ là 8 triệu đồng một tháng Một cuộc khảo sát thị trường cho thấy rằng, trung bình cứ mỗi lần tăng giá thuê căn hộ thêm 100 nghìn đồng thì sẽ có thêm một căn hộ bị bỏ trống Người quản lí nên đặt giá thuê mỗi căn

hộ là bao nhiêu để doanh thu là lớn nhất?

Bài 3 Công ty dụ lịch Ban Mê dự định tổ chức một tua xuyên Việt Công ty dự định nếu

giá tua là 2 triệu đồng thì sẽ có khoảng 150 người tham gia Để kích thích mọi người tham gia, công ty quyết định giảm giá và cứ mỗi lần giảm giá tua 100 ngàn đồng thì sẽ có thêm

20 người tham gia Hỏi công ty phải bán giá tua là bao nhiêu để doanh thu từ tua xuyên Việt là lớn nhất

Bài 4 Doanh nghiệp Alibaba cần sản xuất một mặt hàng trong đúng 10 ngày và phải sử

dụng hai máy A và B Máy A làm việc trong x ngày và cho số tiền lãi là 3

3.1 Bài toán 1: Bài toán tối ưu hóa chi phí xây bể chứa nước

Một người muốn xây một cái bể chứa nước, dạng một khối hộp chữ nhật không nắp

có thể tích bằng 3

288 dm Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng, giá thuê nhân công để xây bể là 500000 đồng/ 2

m Nếu người đó biết xác định các kích thước của

bể hợp lí thì chi phí thuê nhân công sẽ thấp nhất Hỏi người đó trả chi phí thấp nhất để thuê nhân công xây dựng bể đó là bao nhiêu?

* Mục tiêu của bài toán:

+ Chuyển hóa bài toán thực tế thành bài toán toán học

+ Vận dụng đạo hàm để tìm giá trị nhỏ nhất của một hàm số

+ Xác định kích thước tối ưu của bể để chi phí xây dựng thấp nhất

* Phân tích bài toán:

+ Bể chứa nước có dạng hình hộp chữ nhật không nắp

+ Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng

+ Biết thể tích bể là 288 dm³

+ Giá thuê nhân công để xây dựng là 500.000 đồng/m²

+ Mục tiêu: Xác định kích thước bể để chi phí thuê nhân công thấp nhất

* Tiến trình hoạt động mô hình hóa và thực hiện lời giải

Bước 1: Toán học hóa, hiểu tình huống thực tiễn

Chuyển bài toán thực tế sang bài toán toán học

+ Gọi x là chiều rộng của đáy bể (dm)

+ Khi đó, chiều dài đáy bể là 2x (dm)

+ Gọi h là chiều cao của bể (dm)

Bước 2: Giải bài toán

Lời giải Gọi x x  0 là chiều rộng của đáy bể Khi đó chiều dài của đáy bể là 2x là chiều cao của bể là 0,1442

x Khi đó diện tích cần xây là 2 0,864

Bảng biến thiên của hàm số f x  như sau:

Từ bảng biên thiên ta có min f x  f  0, 6 2,16

Vậy chi phí thấp nhất để thuê nhân công xây bể là: 500000.2,16 1080000 đồng

Bước 3: Thông hiểu

+ Kết quả trên cho thấy kích thước hợp lý của bể giúp giảm chi phí thuê nhân công xuống mức thấp nhất

+ Việc sử dụng đạo hàm để tối ưu hóa giúp tiết kiệm chi phí xây dựng đáng kể

Bước 4: Đối chiếu, kiểm định kết quả

+ So sánh với bài toán thực tế: Nếu bể có kích thước khác, diện tích cần xây dựng sẽ lớn hơn, dẫn đến chi phí nhân công cao hơn

+ Trong thực tế, có thể có thêm các yếu tố như vật liệu, chi phí phát sinh, nhưng mô hình toán học này vẫn giúp tìm ra phương án tối ưu về mặt chi phí nhân công

3.2 Bài toán 2: Bài toán thực tiễn về khoảng cách giữa hai con tàu trên biển

Hai con tàu A và B đang ở cùng một vĩ tuyến và cách nhau 5 hải lí Cả hai tàu đồng thời cùng khởi hành Tàu A chạy về hướng Nam với 6 hải lí/giờ, còn tàu B chạy về vị trí hiện tại của tàu A với vận tốc 7 hải lí/giờ Hỏi sau bao lâu thì khoảng cách giữa hai tàu là

bé nhất?

* Mục tiêu của bài toán

+ Chuyển hóa bài toán thực tiễn về khoảng cách giữa hai tàu thành bài toán toán học + Vận dụng kiến thức về đạo hàm và bài toán cực trị để tìm khoảng cách nhỏ nhất giữa hai tàu

+ Rèn luyện kỹ năng mô hình hóa và phân tích dữ liệu thực tế thành bài toán toán học

* Phân tích bài toán

+ Tình huống thực tế: Đây là bài toán mô phỏng tình huống thực tế về định vị hoặc kiểm soát khoảng cách giữa hai tàu trên biển

+ Yếu tố toán học: Quãng đường di chuyển của hai tàu theo thời gian là tuyến tính, từ đó tạo ra mô hình tam giác vuông mà khoảng cách giữa hai tàu là cạnh huyền của tam giác

* Tiến trình hoạt động mô hình hóa và thực hiện lời giải

Bước 1: Toán học hóa, hiểu tình huống thực tiễn

Câu hỏi định hướng:

+ Bài toán yêu cầu điều gì?

(Mong đợi HS trả lời: Tìm thời điểm mà khoảng cách giữa hai tàu là nhỏ nhất.)

+ Để tìm khoảng cách nhỏ nhất giữa hai tàu, cần dựa vào yếu tố nào?

(Mong đợi HS trả lời: Dựa vào khoảng cách giữa hai tàu phụ thuộc vào thời gian t kể từ khi hai tàu xuất phát.)

+ Khoảng cách giữa hai tàu sẽ được mô tả bởi mô hình toán học nào?

(Mong đợi HS trả lời: Dựa vào định lý Pythagoras để tính cạnh huyền d của tam giác vuông có cạnh góc vuông là quãng đường mà hai tàu đã di chuyển.)

Toán học hóa bài toán:

+ Quãng đường tàu A di chuyển: AA1  6t

+ Quãng đường tàu B di chuyển: BB1  7t

+ Khoảng cách ban đầu giữa hai tàu: 5 hải lý

Bước 2: Giải bài toán

Lời giải Tại thời điểm t , sau khi xuất phát, khoảng cách giữa hai tàu là d Khi đó tàu

A đang ở vị trí A1 và tàu B đang ở vị trí B1 như hình vẽ trên

Bước 3: Thông hiểu

Diễn giải kết quả: Sau khoảng 7

17 giờ (khoảng 24.7 phút), khoảng cách giữa hai tàu là ngắn nhất và bằng khoảng 3.524 hải lý

Bước 4: Đối chiếu, kiểm định kết quả

Trong thực tế, bài toán giúp xác định thời điểm hai tàu gần nhau nhất khi di chuyển theo quỹ đạo vuông góc và vận tốc khác nhau Mô hình toán học phản ánh hợp lý tình huống thực tiễn đã đưa ra Tuy nhiên, bài toán cũng giả định rằng vận tốc của hai tàu không thay đổi và điều kiện thời tiết, dòng chảy không tác động

3.3 Bài toán 3: Bài toán tối ưu hóa khoảng cách giữa hai thành phố (Bài toán thực tiễn về giao thông cầu đường)

Hai thành phố A và B cách nhau một con sông Người

ta xây dựng một cây cầu EF bắc qua sông biết rằng thành

phố A cách con sông một khoảng là 4 km và thành phố B

cách con sông một khoảng là 6 km (hình vẽ), biết

20

HE KF km và độ dài EF không đổi Hỏi xây cây cầu

cách thành phố A là bao nhiêu kilomet để đường đi từ thành

phố A đến thành phố B là ngắn nhất (đi theo đường AEFB )?

* Mục tiêu của bài toán

+ Chuyển hóa bài toán thực tiễn về xây dựng cầu đường thành bài toán toán học

+ Vận dụng kiến thức về đạo hàm và cực trị để tối ưu hóa quãng đường ngắn nhất

+ Phát triển kỹ năng mô hình hóa và giải quyết bài toán thực tế bằng công cụ toán học + Ứng dụng vào các bài toán tối ưu hóa giao thông trong thực tiễn

* Phân tích bài toán:

+ Hai thành phố A và B nằm ở hai bên một con sông

+ Thành phố A cách sông 4 km, thành phố B cách sông 6 km

+ Cầu EF được xây bắc qua sông, với tổng chiều dài hai đoạn HEKF20

+ Hỏi xây cầu ở vị trí nào để tổng quãng đường ngắn nhất từ A đến B qua cầu?

* Yếu tố toán học:

+ Quãng đường cần tối ưu là AEBF

+ Để tối ưu, ta cần sử dụng định lý Pythagoras để biểu diễn quãng đường theo biến số và tính cực trị của hàm số để tìm giá trị nhỏ nhất

* Quy trình hoạt động mô hình hóa và thực hiện lời giải

Bước 1: Toán học hóa, hiểu tình huống thực tiễn

Câu hỏi định hướng:

+ Bài toán yêu cầu điều gì?

(Mong đợi HS trả lời: Tìm vị trí đặt cầu sao cho tổng quãng đường từ A đến B ngắn nhất.) + Để tìm quãng đường ngắn nhất, cần dựa vào yếu tố nào?

(Mong đợi HS trả lời: Tổng quãng đường đi từ A đến B là tổng của hai đoạn đường AE

và BF.)

+ Làm thế nào để biểu diễn tổng quãng đường bằng một hàm số toán học?

(Mong đợi HS trả lời: Dùng định lý Pythagoras để tính AE và BF theo biến số x.)

+ Làm thế nào để tìm giá trị nhỏ nhất của quãng đường này?

(Mong đợi HS trả lời: Dùng đạo hàm để tìm cực trị của hàm số.)

Toán học hóa bài toán:

+ Đặt HEx , FK y với x y 20