Môn cơ học lượng tử tiểu luận hệ các hạt Đồng nhất

Chẳng hạn, trong trường hợp N hạt của hệkhông tương tác với nhau hệ hạt không tương tác thì phương trình Schrodinger1.118 và 1.123 có thểđược đưa về N phương trình Schrodinger mô tả từng

I Lý do chọn chuyên đề:

1 Tính ứng dụng rộng rãi trong vật lý và khoa học vật liệu

plasma, khí lý tưởng…

chí cả các hệ vật chất ngoài hành tinh như sao neutron

2 Hiểu rõ các nguyên lý thống kê lượng tử

và Bose-Einstein

Bose-Einstein, độ dẫn điện trong kim loại…

3 Củng cố kiến thức về cơ học lượng tử và thống kê

độ, áp suất…)

phân trên không gian pha, v.v

4 Phù hợp với định hướng nghiên cứu hiện đại

biến, vật lý chất ngưng tụ, và vật lý hạt cơ bản

5 Có thể mở rộng và phát triển chuyên sâu

không đồng nhất, hệ tương tác mạnh, hệ nhiều thành phần

1.1.1 Phương trình Schrodinger

Trạng thái của một hệ gồm N hạt vi mô có spin bằng không (không kể đến

¿φ (r1,r2, ⋯ , r N , t) ¿ 2

d V1d V2⋯ d V Nmô tả xác suất để tại thời điểm t hạt thứ nhất ởtrong yếu

tó thể tíchd V1bao quanh vị trí được xác đinh bởi vector 元,hạt thứ hai ở trong yếutốthe tíchd V2bao quanh vị trí được xác đinh bởi vectorr2, ⋯ ,hạt thú Nở trong yéutóthe tíchd V Nbao quanh vị trí được xác đinh bởi vectorr N .

Điều kiện chuẩn hóa của hàm sóngφ (r1,r2, ⋯ , r N , t)có dang:

Hình thức luận của cơ học lượng tử cho hệ N hạt vi mô nói chung có thểđược xác định từ hình thức luận của một hạt Các toán từ tương ứng với các hạtkhác nhau giao hoán với nhau, chẳng hạn như hệ thức giao hoán giữa các toán tửtọa độ và xung lượng có dạng nhu sau:

[ x¿k , p¿x1]=[ y¿k , p¿y1]=[z¿k , p¿z1]=ihδ k 1 , (1.120)

[ p¿x k , p¿x j ]=[ p¿y k , p¿y1]=[ p¿z k , p¿z j ]=0 , (1.121)

trong dó,x¿k , y¿k , z¿klàn lượt là toán từ tọa độ trên trục x, y, z của hạt thứ k,và

Trong trường hợp thế năng U không phụ thuộc tường minh vào thời gian

U =U (r1, r2, ⋯ , r → N)thì nghiệm của phương trình (1.118) mô tả hệ hạt ở trạng tháidừng,có dang:

2

2 m k +U (r1,r2, ⋯ , r N )]ψ (r1, r2, ⋯ , r N) (1.123)

Các đặc trưng của trạng thái dừng của một hạt cũng được áp dụng cho một hệ N

bình của các đại lượng vật lý có các toán tử tương ứng không phụ thuộc thời gian

<φ|Â|φ>là các đại lượng bảo toàn

Cần lưu ý rằng, các phương trình Schrodinger (1.118) và (1.123) là cácphương trình vi phân khác nhau Khi các phương trình này không thể tách ra thànhcác phương trình vi phân mô tả từng hạt thì chúng ta không thể giải chúng hoặcviệc giải chúng gặp nhiều khó khăn Chẳng hạn, trong trường hợp N hạt của hệkhông tương tác với nhau (hệ hạt không tương tác) thì phương trình Schrodinger(1.118) và (1.123) có thểđược đưa về N phương trình Schrodinger mô tả từng hạt.1.1.1.2 Toán tử hoán vi

Trong trường hợp tổng quát, các hàm riêng của toán tử Hamiton của hệ nhiềuhạt có dạng (1.1119) không thể được xác định, tuy nhiên, chúng ta có thể chỉ ramột số đặc điểm của chúng bằng ngôn ngữ đối xứng Gọi x, là các tọa độ (bao

S i,và các bậc tự do khác như spin đồng vị, màu, vị, ) của hạt thú i vàψ (x1, x2,⋯ , x N)

là hàm sóng mô tả hệ N hạt

Chúng ta định nghĩa toán tử hoán vị (hay còn gọi là toán tử đổi chỗ hoặc

hệ N hạt ψ (x1, x2, ⋯ , x N)sẽ làm đổi chỗ hạt thứ k và hạt thứ l:

P¿kl ψ (x1, x2, ⋯ , x k , ⋯ , x l , ⋯ , x N )=ψ (x1, x2, ⋯ , x l , ⋯ , x k , ⋯ , x N ), (1.124)

Mặt khác, theo định nghĩa (1.124), ta có:

P¿k ψ (x1, x2, ⋯ , x k , ⋯ , x1, ⋯ , x N )=ψ (x1, x2, ⋯ , x1, ⋯, x k , ⋯ , x N ). (1.125)Kết họp (1.124) và (1.125) ta suy ra:

P¿12ψ (x1, x2, x3, x4)=ψ (x2, x1, x3, x4)

P¿14P¿12ψ (x1, x2, x3, x4)=x2e −i x4

So sánh các biểu thức (1.128) và (1.129)ta tháyP¿14P¿12P¿12P¿14.

Trở lại với toán tử hoán vịP¿klđược định nghĩa ở biểu thức (1.124), ta có:

P¿k2=1ψ (x1, x2, ⋯ , x k , ⋯ , x1, ⋯ , x N )=P¿k 1¿ (1.130)

¿P¿k∨¿ψ (x1 , x2,⋯ , x l ,⋯ , x k ,⋯, x N )=ψ(x1 , x2,⋯ , x k , ⋯, x l ,⋯ , x N ).¿

Từ (1.130) ta suy raP¿kl2=1hay toán tử hoán vịP¿klcó các tri riêngP kl =±1..Nghĩa là ta

có phuong trình:

P¿k∨¿ψ (x1 , x2,⋯ , x k ,⋯ , x1, ⋯ ,x N )=±ψ (x1 ,x2,⋯ , x k ,⋯ , x1, ⋯ ,x N ).¿ (1.131)Hàm sóng tương ứng với tr riêng của toán tử hoán vị bằng 1 là hàm sóng đốixứng vàhàm sóng tương ứng với trị riêng bằng -1 là hàm sóng phản đối xứng đốivới phép hoán vị hai hạt Ký hiệu hàm sóng đối xứng và phản đối ứng lần lượt là

1.2 Hệ hạt có thể phân biệt được không tương tác

Hệ hạt có thể phân biệt được, không tương tác là hệ gồm các hạt vi mô cóthểphân biệt được và chúng không tương tác với nhau Với hệ hạt có thể phân biệtđược,mỗi hạt có một khối lượng khác nhaumvà có một thế nǎng khác nhau

U k (xk),(k=1 ,2 , ⋯ , N ) Thế năng của hệ hạt được tính theo biểu thúc:

Vì các tọa độ độc lập nên các toán tử tọa độ của các hạt khác nhau giao hoánvới nhau và các toán tử xung lượng của các hạt khác nhau giao hoán với nhau:

2 Ví dụ về hề các hạt vi mô cóthể phân biệt được: Hệ bao gồm hai loại hạt proton

và electron trộn với nhau, hay hệ bao gồm 3 loại hạt proton, eletron và positrontrộn với nhau,

ψ (x1, x2, ⋯ , x N )=ψ n1(x1)ψ n2(x2)⋯ ψn N (x N ), (1.139)trong dó,n k (k=1 , 2 ,⋯ , N )mô tả tập hợp các số lượng tử đặc trưng cho hạt thứ k Mỗihạt đòi hỏi một hoặc hai hoặc ba số lượng tử tùy thuộc vào việc hạt đó chuyểnđộng trong không gian một chiều hay hai chiều hay ba chiều3 Khi đó, phươngtrình(1.138)trở thành:

(1.140)

ψ n k (xk ),(k=1 , 2 ,⋯ , N )mà không tác dụng lên hàmψ n l (xl),(l=1 , 2 ,⋯ , N , l≠ k).Mặt khác,các đơn hạt của hệ thỏa mãn phương trình Schrodinger:

H¿k ψ n k (x k )=E k ψ n k (x k ),(k=1 , 2, ⋯ , N) (1.141)Kết hợp các biểu thúc(1.134),(1.140)và(1.141)ta duợc:

Chúng ta thấy rằng, khi bỏ qua các tương tác, phương trình Schrodinger mô

tả hệN hạt (1.138) được tách thành N phương trình Schrodinger mô tả từng hạtriêng biệt (1.141) Lời giải của các phương trình Schrodinger (1.141) cho ta năng

như là các orbital Năng lượng toàn phần của hệ là tổng năng lượng của từng hạtriêng biệt vàhàm sóng mô tả hệ là tích của các hàm sóng đơn hạt.

Ví dụ 2 Xác định các mức năng lượng và hàm sóng của một hệ gồm 4 hạt vimôkhông có spin (bỏ qua spin), có thể phân biệt được, không tương tác, chuyênđộng trong một hố thếvuông góc một chiều sâu vô hạn có bề rộng a Từ kết quảthu được,tìm năng lượng và hàm sóng ở trạng thái cơ bản và trạng thái kích thíchđầu tiên

Lời giải Mỗi hạt chuyển động trong hố thế sâu vô hạn có thế năng được xác định:

3 Nếu tính đến spin, chúng ta cần có thêm các số lượng từ khác Chẳng hạn, yới

n k , l k , m l k , m s k

(2)trong đó,ψ (x1, x2, ⋯ , x N)là hàm sóng mô tả hệ hạt, được tìm dưới dạng:

ψ (x1, x2, ⋯ , x N )=ψ n1(x1)ψ n2(x2)ψn3(x3)ψn4(x4 ) (3)

vàE n1n2n3n4 là năng lượng toàn phần của hệ Các hàmψ n1(x1),ψn2(x2),ψn3(x3),ψn4(x4 )

làcác hàm sóng đơn hạt thỏa mãn phương trình Schrodinger:

(9)Trạng thái cơ bản ứng với năng lượngE n1n2n3n4cực tiểu, nghĩa là ứng với cả 4 hạtđều ởtrong trạng thái cơ bản riêng của chúng Khi đó hàm sóng và năng lượng códạng:

nó trong khi 3 hạt còn lại vẫn ởtrạng trạng thái cơ bản của chúng Vì vậy, chúng

ta có 4 khả năng sau đây:

a) Nếu hạt thứ nhất có khối lượng lớn nhất thì trạng thái kích thích thứ nhất của

lượng vàhàm sóng ở trạng thái kích thích thứ nhất của hệ có dạng:

b) Nếu hạt thứ hai có khối lượng lớn nhất thì trạng thái kích thích thứ nhất của hệ

4 hạt tương úng với trạng thái trong đón2=2 ,n1=n3=n4 =1 Lúc này năng lượng vàhàm sóng ở trạng thái kích thích thứ nhất của hệ có dạng:

c) Nếu hạt thứ ba có khối lượng lớn nhất thì trạng thái kích thích thứ nhất của hệ

4 hat tương ứng với trạng thái trong đón3=2 ,n1=n2=n4=1 Lúc này năng lượng vàhàm sóng ở trạng thái kích thích thứ nhất của hệ có dạng:

d) Nếu hạt thứ 4 có khối lượng lớn nhất thì trạng thái kích thích thứ nhất của

lượng và hàm sóng ở trạng thái kích thích thứ nhất của hệ có dạng:

1.7.3.1 Các hạt đồng nhất trong cơ học cổ điển và trong cơ học lượng tử

Hệ hạt đồng nhất là hệ gồm các hạt có cùng thuộc tính như khối lượng,điện tích,spin, mô men từ, và có cùng một điều kiện vật lý như nhau, sựbiểu hiện của các hạt là như nhau

Trong cơ học cổ điển, khi một hệ được tạo thành từ cáchạt đồngnhất,chúng ta có thể phân biệt mỗi hạt từ các hạt khác Thật vậy, mặc d cáchạt đều có tất cả các đặc tính vật lý giống nhau nhưng chúng ta có thể “đánh

dấu” mỗi hạt cổ điển và theo dõi chuyển động của chúng theo một quỹ đạoxác định Chẳng hạn như, mỗi hạt có thểđược bôi một màu khác nhau, từ đóchúng ta có thể theo dõi quỹ đạo của mỗi hạt một cách riêng biệt theo thờigian Vì vậy, các hạt đồng nhất cổ điển không mất tính cá biệt của chúng, tanói rằng chúng có thể phân biệt được.

Trong cơ học lượng tử, các hạt đồng nhất là không thể phân biệt được vìcác lýdo sau dây:

Thứ nhất, chúng ta không thể xác định được đồng thời các đại lượng vật lý có

các toán tử tương ứng không giao hoán với nhau nên nói chung không có cơchế để đánh dấu các hạt vi mô như trong cơ học cổ điển

Thứ hai, theo hệ thức bất định Heisenberg, khái niệm quỹ đạo không có ý

nghǐa đối với các hạt vi mô, các hạt vi mô không có quỹ đạo xác định Tạimột thời điểm, nếu vịtrí của một hạt được xác định chính xác thì xung lượngcủa nó không thể được xác định chính xác tại thời điểm đó Vì vậy, trong cơhọc lượng từ, các hạt vi mô đồng nhất mất đi tính cá thể của chúng khi chúngđược trộn lẫn với nhau Về nguyên tắc chúng ta không thể xác định được vị tríchính xác của từng hạt vi mô trong không gian mà chỉ biết được vào thờiđiểm t xác suất tìm hạt tại một vị trí nào đó trong không gian bằng bao nhiêu

mà thôi Tính chất đó dẫn đến nguyên lý không phân biệt được các hạt dồng

nhất trong cơ học lượng từ có nội dung như sau: Không thể phân biệt được

các hạt đồng nhất trong cùng một hệ Hệ hạt vi mô được gọi là đồng nhất nếu

các toán tửmô tả các đại lượng đo được của hệ (chẳng hạn như toán tửHamilton, toán tử mô men xung lượng, ) là đối xứng khi hoán vị hai hạttrong hệ Ngược lại,nếu các toán tửnày không đối xứng với phép hoán vị haihạt trong hệ thì các hạt đã cho được gọi là cóthể phân biệt Tính chất đồngnhất kéo theo những tính chất xác định của hàm sóng môtả hệ hạt vi mô

Bây giờ chúng ta xem xét tính không phân biệt được đối với hệ gồm Nhạt đồng nhất Gọi hàm sóng mô tả hệ làψ (x1, x2,⋯ , x N) Khi N hạt đồng nhấtđược trộn với

toa độx2 hay không thể chỉ ra bằng thực nghiệm “danh tính” của hạt ở vị trí có

.nhung chúng ta không bao giờ có thể phân biệt được một hạt nào đó của hệ vớimột hạt bất kỳ khác trong hệ Kết quả là, xác suất vẫn không thay đổi bởi sự trao

đổi các hạt Chẳng hạn như, mật độ xác suất không đổi khi đổi chỗ các hạt k và l:

có spin bán nguyên làhàm phản đối xứng Trên thực tế, các quan sát thực nghiệmcho thấy,trong tự nhiên,các hạt dược chia thành hai lóp:

Các hạt có spin nguyên, như photon, pion, có hàm sóng đối xứng, tuân theothống kê Bose-Einstein, được gọi là các hạt Boson

Các hạt có spin bán nguyên, như quark, electron, positron, proton, neutron, cóhàm sóng phản đối xứng, tuân theo thống kê Fermi-Dirac, được gọi là cáchạt Fermion

1.3.2 Sự suy biến do hoán vị các hạt đồng nhất

Với hệ hạt đồng nhất, toán tử Hamilton Ĥ đối xứng (không đổi) khi hoán vị hai hạt trong hệ Sự bất biến của toán tử Ĥ của hệ hạt đồng nhất kéo theo các trị

riêng của Ĥ là suy biến Đây là ý nghĩa vật lý của phép hoán vị Các hàm sóngtương ứng với tất cả các hoán vị có thể có của các hạt trong hệ hạt đồng nhất có

gọi là sự suy biến hoán vi (exchange degeneracy) Chẳng hạn như, với hệ gồm 2hạt đồng nhất, nǎng lượng bịsuy biến bội hai vì các hàm sóngψ (x1, x2)vàψ (x2, x1)

đều có cùng nǎng luợng E,thỏa mãn các phuong trình Schrodinger dùng

H¿ ψ (x1, x2)=Eψ (x1, x2)H¿ ψ (x2, x1)=Eψ(x2, x1).

đối xứng đối với tọa độ của các hạt,ta có:

bằng cách chỉ ra rằng toán tử Hamilton Ĥ của hệ giao hoán với toán tử hoán vị

xác định ở phương trình (1.124) Thât vậy,gọiψ (x1, x2,⋯ , x k ,⋯ , x l ⋯ , x N)là hàm riêng

của Ĥ ứng với trị riêng E, ta có:

Nghĩa là toán tử hoán vịP¿klgiao hoán với toán từ Hamilton Ĥ Mặt khác, vì toán

động Nghĩa là, nếu chúng ta bắt đầu với một hàm sóng đối xứng (không đối

hoán với A nên nó có chung hàm riêng với Ĥ Vì Ĥ là toán tử Hermite nên các

hàm riêng của nótạo thành một hệ hàm đầy đủ và trực chuẩn Các hàm riêng này

có tính chẵn-lè xác định, hoặc là đối xứng hoặc là phản đối xứng như đã được chỉ

ra trong biểu thúc (1.132)

1.3.3 Dinh lý dối xúng

Chúng ta đã chỉ ra trong biểu thức (1.145) rằng hàm sóng của hệ hạt đồngnhất hoặc là đối xứng hoặc là phản đối xứng Kết quả này đã được xác nhận bằng

thực nghiệm, chính là bản chất của định lý đối xứng quy định rằng, về bản chất,

các trạng thái của hệ N hạt đồng nhất hoàn toàn đối xứng hoặc hoàn toàn phản đốixứng đối với sự hoán vị của một cặp hạt bất kỳ của hệ và các trạng thái có đốixứng hỗn hợp3 không tồn tại Bên cạnh đó, định lý này còn đưa ra hai diem saudây:

5Các trạng thái có đối xứng hỗn hợp được hiểu là các trạng thái được mô tả bởihàm sóng không đối xứng hoặc phản đối xứng trên toàn hoàn bộ miền không gianđựợc khảo sát mà đối xúng trên miền này nhưng lại phản đối xứng trên một miềnkhác của miền không gian được khao sát

· Các hạt có spin nguyên (các hạt boson) có các trạng thái đối xúng

Các hat có spin bán nguyên (các hạt fermion) có các trạng thái phản đối xúng.Các fermion tuân theo thống kê của Fermi-Dirac và các boson tuân theothống kêBose-Einstein Vì vậy, hàm sóng của hệ các hạt boson đồng nhất là hoàntoàn đối xứng và hàm sóng của hệ các hạt fermion đồng nhấtlà hoàn toàn phảnđối xứng

1.3.4 Các hat phúc hợp

Ở trên chúng ta đã khảo sát hệ các hạt đồng nhất đơn giản hay hệ các hạtđồng nhất cơ bản,chẳng hạn như hệ chỉ gồm các quark hoặc hệ chỉ gồm cácelectron hoặc hệ chỉ gồm các positron, Bây giờ chúng ta thảo luận về tính đốixứng của các hệhạt đồng nhất phức hợp, trong đó mỗi hạt được tạo thành từhai

hạt được cấu tạo bởi hai proton và hai neutron liên kết với nhau thành một hạtgiống hệt hạt nhân nguyên tử Heli, là một ví dụ điển hình của các hạt phức hợp

Hệ gồm các nguyên tử Hydro cũng có thể được xem như là một hệ các hạt phứchợp đồng nhất trong đó mỗi hạt (nguyên tử) được cấu tạo bởi một proton và mộtelectron Theo vật lý hiện đại thìproton, neutron,pion, là các hạt phức hợp vì cácproton, neutron được cấu tạo từr ba quark, và pion được cấu tạo từ hai quark, Các hạt phức hợp có spin Spin của mỗi hạt phức hợp có thể thu được bằngcộng các spin của các hạt thành phần của nó Nếu tổng spin của hạt phức hợp làmột số bán nguyên thì hạt này cư xửr như là một fermion, do đó nó tuân theothống kê Fermi-Dirac Nếu tổng spin của hạt phức hợp là một số nguyên thì hạt

đó có tính chất nhưmột boson và tuân theo thống kê Bose-Einstein Nói chung,nếu hạt phức hợp được tạo thành từ một số lẻ các fermion thì nó là một fermion,ngược lại, nếu các hạt phức hợp được tạo thành từ một số chẵn các fermion thì nó

là một boson Ví dụ, nucleon là một fermion bởi vì nó được tạo thành từ ba

quark, trong khi meson là boson vì nó được tạo thành từ hai quark Một ví dụkhác, chúng ta xem xét các đồng vị 4He và,He cua nguyên từ Heli Ta tháyHe làmột boson vì nó bao gồm bốn fermion (hai proton vàhai neutron), trong khi đó

NNguyên tử hydro gồm có hai fermion (một electron và một proton) nên nó làmột boson

Thứ nhất, nếu hàm sóng được cho bằng một tích như vậy, nghĩa là, hạt thứ nhất

ởtrong trang tháiψ n1(x1 ),hạt thứ 2 trong trạng tháiψ n2(x2 ),⋯và hạt thứ N trong trangtháiψ n N (xN) Tất nhiên, điều này không có ý nghĩa vì tất cả những gì chúng ta biết

ψ n2(x2),⋯⋯ Vicác hạt là đồng nhất nên không thể xác định được một hạt nào đóởtrong trạng thái cụ thể nào Tuy nhiên, nếu các hạt phân biệt được, hàm sóngtoàn phần của chúng sẽ được xác định bởi các tích các hàm sóng đơn hạt như ởbiểu thúc (1.139)

Thứ hai, nói chung một tích dạng ψ n1(x1)ψ n2(x2)⋯ψn N (xN)không có tính đối xúng xácđịnh - một yệu cầu bắt buộc đối với các hệ hạt đồng nhất mà các hàm sóng là đốixứng hoặc phản đối xúng

Như vậy, hàm sóng mô tả hệ hạt đồng nhất không thể được mô tả bởi tíchcủa các hàm sóng một hạt như ở (1.139) Tuy nhiên, chúng ta có thể mở rộngphương pháp được sử dụng trong mục 7.2 để xây dựng các hàm sóng đối xứng

mục đích này, chúng ta sẽchỉ ra cách xây dựng hàm sóng đối xứng và phản đốixứng cho hệ gồm hai hạt, ba hạt và N hạt vi mô đồng nhất không tương tác