Luận văn hàm chính quy nhận giá trị trong Đại số clifford phụ thuộc tham số và Ứng dụng

Công thức Cauchy-Pourpeiu trong Clifford véi tham sé Chương 1 trình bày việc xây dựng đại số Cliford phụ thuộc tham số từ cầu trúc đại số Clifford cổ điển, thêm vào dó là dụng ý đối ch

_BO GIAO DUC VA DAO TAO | TRUONG DAI HOC BACH KHOA HÀ NỘI

TA TH] THANH MAI

HAM CHINH QUY NHAN GIA TRI TRONG

DAI SO CLIFFORD PHU THUOC THAM SO VA

UNG DUNG

LUAN AN TIEN Si KHOA HOC

CHUYEN NGANH: TOAN CONG NGHE

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS.TSKH LÊ HÙNG SƠN

Hà Nội - 2009

tác giả xin bày tổ lòng bị

hoe Lé Ting Son, người thầy đã tận tâm chỉ bảo tác giả trong suốt

quá trình theo học cao học Giáo sư cũng là người đã định hướng nghiên cứu, đưa ra những chỉ dẫn quý báu ngay từ khi ý tưởng luận văn được hình thành cho đến lúc bản thảo hoàn thiện

"ác giả xin chân Lhành cảm ơn Giáo sự Wollsang “Tutschke đã cho những lời khuyên bổ ích và cho phép sử dụng một số tài liệu tham

khảo quan trọng giúp hoàn thiện những kết quả chính trong luận văn

Tac gia cing xin trân trạng cảm ơn sự động viên giúp đỡ của cdc

thấy cũ giáo, bạn bè đồng nghiệp trong khoa Toán - Tìn ứng dụng,

geminar "Phương trình vi phần và đạo hàm riêng" đã bạo ruối trường học tập nghiên cứu hết sức thuận lợi và trao đổi những ý kiển đóng góp quý trong suốt quá trình công tác, học tập của tác giả cũng

nh giúp luận văn này được hoàn thành

Tac gid: Ta Thi Thanh Mai

àn đây, giải tích Clfford mặc dù là một nhánh

"rang hai thập

nghiên cứu mới nhưng đã phát triển mạnh mẽ và nhanh chóng Lrở

thành công en quan trọng có nhiền ứng dụng từ trong nội bộ toán

học dẫn những vần đề trong vật lý hay kỹ thuật

Đặc biệt trong thời gian gần đây, giải tích Cliford đang có một vấn

đề thời sự rất được quan tâm khi một số nhóm nghiên cứu đã công

bố các kết quả về đại số Clifford phy thude tham số

nhận giá trị trong đại số Clifford phụ thuộc Lham số là một lĩnh vực

nghiên cứu mới dược bắt dầu và có tính thời sự cao

Vì lý do trên, dễ tài được chọn là

"Ham chink quy nhữa giá trị trong dai sé Clifford

phụ thuộc tham sé wating dung"

2

Cấu trúc của luận văn gồm ba chương;

e Chương 1 Đại số Cliford với tham số

+ Chương 2 Hàm chính quy nhận giá trị trong ClHiford với Làn số

+ Chương 3 Công thức Cauchy-Pourpeiu trong Clifford véi tham sé

Chương 1 trình bày việc xây dựng đại số Cliford phụ thuộc tham

số từ cầu trúc đại số Clifford cổ điển, thêm vào dó là dụng ý đối

chiếu so sánh một số tính chất của các đại số này

Chuuny 2 trình bày về khái niệm hàm chính quy nhận giá trị

trong đại số CBiford phụ thuộc tham số với cách tiếp cận bắt đầu

từ khái

các đại số quen thuộc Kết quả chính của chương là xãy dựng nhãn

lẹm hàm chính quy và mỗi lên quan với cắc toán tử trong

Cauchy trong dai số Clifford phy thuộc tham số, ngược lại chỉ ra phân ví dụ chứng tả không tần tại hàm nhân anchy trong trường hợp xét với khoảng cách Euelid

Chương 3 trình bà

Lừ các đại số đã biết đến đại số ChiTord phụ thuộc tham số thống

ự phát triển của công khức Cauchy-Pomrpeiu

qua phương phép quen thuộc là vận dung cong thitc Green-Gauss

và tinh chất chính quy của hàm nhan Cauchy trong dai số Cliford

phụ thuộc tham số

'Ý tưởng xuyên suốt trong cách bố cục và trình bày luận văn là

cổ gắng dẫn đến các kết quả đẹp bằng con đường tự nhiên nhất có

thể Những kết quả hước đầu đạt được trong luận văn đã gợi ra hướng nghiên cứu rất có triển vọng là phát triển những tính chất,

công thức, định ly tit dai sé Clifford cổ diễn dén dai sé Clifford phụ thuộc tham số

Chúng tôi hy vọng rằng vẫn đề này sẽ còn tiếp te được các thầy cô

giáo, bạn bè đồng nghiệp, các học viên, nghiên cứn sinh quan tâm

nghiên cứu trong thời gian tới

Cấu trúc của luận văn gồm ba chương;

e Chương 1 Đại số Cliford với tham số

+ Chương 2 Hàm chính quy nhận giá trị trong ClHiford với Làn số

+ Chương 3 Công thức Cauchy-Pourpeiu trong Clifford véi tham sé

Chương 1 trình bày việc xây dựng đại số Cliford phụ thuộc tham

số từ cầu trúc đại số Clifford cổ điển, thêm vào dó là dụng ý đối

chiếu so sánh một số tính chất của các đại số này

Chuuny 2 trình bày về khái niệm hàm chính quy nhận giá trị

trong đại số CBiford phụ thuộc tham số với cách tiếp cận bắt đầu

từ khái

các đại số quen thuộc Kết quả chính của chương là xãy dựng nhãn

lẹm hàm chính quy và mỗi lên quan với cắc toán tử trong

Cauchy trong dai số Clifford phy thuộc tham số, ngược lại chỉ ra phân ví dụ chứng tả không tần tại hàm nhân anchy trong trường hợp xét với khoảng cách Euelid

Chương 3 trình bà

Lừ các đại số đã biết đến đại số ChiTord phụ thuộc tham số thống

ự phát triển của công khức Cauchy-Pomrpeiu

qua phương phép quen thuộc là vận dung cong thitc Green-Gauss

và tinh chất chính quy của hàm nhan Cauchy trong dai số Cliford

phụ thuộc tham số

'Ý tưởng xuyên suốt trong cách bố cục và trình bày luận văn là

cổ gắng dẫn đến các kết quả đẹp bằng con đường tự nhiên nhất có

thể Những kết quả hước đầu đạt được trong luận văn đã gợi ra hướng nghiên cứu rất có triển vọng là phát triển những tính chất,

công thức, định ly tit dai sé Clifford cổ diễn dén dai sé Clifford phụ thuộc tham số

Chúng tôi hy vọng rằng vẫn đề này sẽ còn tiếp te được các thầy cô

giáo, bạn bè đồng nghiệp, các học viên, nghiên cứn sinh quan tâm

nghiên cứu trong thời gian tới

Cấu trúc của luận văn gồm ba chương;

e Chương 1 Đại số Cliford với tham số

+ Chương 2 Hàm chính quy nhận giá trị trong ClHiford với Làn số

+ Chương 3 Công thức Cauchy-Pourpeiu trong Clifford véi tham sé

Chương 1 trình bày việc xây dựng đại số Cliford phụ thuộc tham

số từ cầu trúc đại số Clifford cổ điển, thêm vào dó là dụng ý đối

chiếu so sánh một số tính chất của các đại số này

Chuuny 2 trình bày về khái niệm hàm chính quy nhận giá trị

trong đại số CBiford phụ thuộc tham số với cách tiếp cận bắt đầu

từ khái

các đại số quen thuộc Kết quả chính của chương là xãy dựng nhãn

lẹm hàm chính quy và mỗi lên quan với cắc toán tử trong

Cauchy trong dai số Clifford phy thuộc tham số, ngược lại chỉ ra phân ví dụ chứng tả không tần tại hàm nhân anchy trong trường hợp xét với khoảng cách Euelid

Chương 3 trình bà

Lừ các đại số đã biết đến đại số ChiTord phụ thuộc tham số thống

ự phát triển của công khức Cauchy-Pomrpeiu

qua phương phép quen thuộc là vận dung cong thitc Green-Gauss

và tinh chất chính quy của hàm nhan Cauchy trong dai số Cliford

phụ thuộc tham số

'Ý tưởng xuyên suốt trong cách bố cục và trình bày luận văn là

cổ gắng dẫn đến các kết quả đẹp bằng con đường tự nhiên nhất có

thể Những kết quả hước đầu đạt được trong luận văn đã gợi ra hướng nghiên cứu rất có triển vọng là phát triển những tính chất,

công thức, định ly tit dai sé Clifford cổ diễn dén dai sé Clifford phụ thuộc tham số

Chúng tôi hy vọng rằng vẫn đề này sẽ còn tiếp te được các thầy cô

giáo, bạn bè đồng nghiệp, các học viên, nghiên cứn sinh quan tâm

nghiên cứu trong thời gian tới

Mặc dù đã có rắt nhiều nỗ lực của tác giả, song chắc chẩn luận văn khöng tránh khỏi những thiếu sót, rất mong nhận được những ý

kiến đóng góp của các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp, độc giả quan tam

Hà Nội, tháng 8/2009

Cấu trúc của luận văn gồm ba chương;

e Chương 1 Đại số Cliford với tham số

+ Chương 2 Hàm chính quy nhận giá trị trong ClHiford với Làn số

+ Chương 3 Công thức Cauchy-Pourpeiu trong Clifford véi tham sé

Chương 1 trình bày việc xây dựng đại số Cliford phụ thuộc tham

số từ cầu trúc đại số Clifford cổ điển, thêm vào dó là dụng ý đối

chiếu so sánh một số tính chất của các đại số này

Chuuny 2 trình bày về khái niệm hàm chính quy nhận giá trị

trong đại số CBiford phụ thuộc tham số với cách tiếp cận bắt đầu

từ khái

các đại số quen thuộc Kết quả chính của chương là xãy dựng nhãn

lẹm hàm chính quy và mỗi lên quan với cắc toán tử trong

Cauchy trong dai số Clifford phy thuộc tham số, ngược lại chỉ ra phân ví dụ chứng tả không tần tại hàm nhân anchy trong trường hợp xét với khoảng cách Euelid

Chương 3 trình bà

Lừ các đại số đã biết đến đại số ChiTord phụ thuộc tham số thống

ự phát triển của công khức Cauchy-Pomrpeiu

qua phương phép quen thuộc là vận dung cong thitc Green-Gauss

và tinh chất chính quy của hàm nhan Cauchy trong dai số Cliford

phụ thuộc tham số

'Ý tưởng xuyên suốt trong cách bố cục và trình bày luận văn là

cổ gắng dẫn đến các kết quả đẹp bằng con đường tự nhiên nhất có

thể Những kết quả hước đầu đạt được trong luận văn đã gợi ra hướng nghiên cứu rất có triển vọng là phát triển những tính chất,

công thức, định ly tit dai sé Clifford cổ diễn dén dai sé Clifford phụ thuộc tham số

Chúng tôi hy vọng rằng vẫn đề này sẽ còn tiếp te được các thầy cô

giáo, bạn bè đồng nghiệp, các học viên, nghiên cứn sinh quan tâm

nghiên cứu trong thời gian tới

Chương 1

Đại số Clifford với tham số

1.1 Định nghĩa và tính chất của đại số Clifford

1.1.1 Dinh nghia dai sé Clifford

Dinh nghĩa 1.1 Cho €, €2, ,€n 14 co sé ctia IR” vd eq là vector don vi théa mén:

Chương 1 Dal s6 CLIFFORD V6I THAM SO 9

Ky hiéu e9 — lle; — @ Voi méi x € Cf, tacéd ea | xed

Ta nhan due Céy,; 1a trutng số phức ©

e) Đại số cde 86 déi ng&u: xn = 1p = 1,Cftg có ed sở cụ,eị thỏa

mãn ‹j = 1

Với mọi z € (Ít ụ;# — #I.8ụ † 2.1

Trong Cê¡a có ước của 0, thật vậy

(I—«e)(—eij)=0

trong khi 1— ey và 1 1 «¡ đều khác 0

‘Ta goi Céyg JA đại số của các đối ngã

đ) Đại số của các số thực Quaternion: w = 2, p = Ú,CØạ¿ có cơ sở là

ey — 1, ¢1,€2, e1€2 với eỆ — sŠ — —1

Với mọi z € Cạn, — 24.1 — 29.€) + 29.€2 + đ4.€12

Ta thay co sd cla Cfog tương ứng với cơ sở cita H véi cig luat tính toán Thật vậy, nến ký hiệu sạ — e¡e¿ thì ed sd ctia Cag

thỏa mãn:

2.2.8 Ham chính quy trong không gian Cớn) 3ð

2.3 Hàm chính quy trong đại số Clifford có tham số 37

2.3.1 Tầm nhãn Canehy trong Cé(n) 37 2.3.2 Biến đổi Todorosen 2 2 40

23.3 Vi du về hàm nhân trong ,4;(œ,đ,+) với

3.2 Công thức Canchy-Pompein trong giải tính Chíford 64

3.2.1 Công thức Cauchy-Pompeiu trong giải tích phức 61 3.2.2 Cong thúc Cauchy-Pampeiu trong giải tích

Gilmd co

3.3 Công thức Cauchy-Pompeiu trong đại số Clifford với

2.2.8 Ham chính quy trong không gian Cớn) 3ð

2.3 Hàm chính quy trong đại số Clifford có tham số 37

2.3.1 Tầm nhãn Canehy trong Cé(n) 37 2.3.2 Biến đổi Todorosen 2 2 40

23.3 Vi du về hàm nhân trong ,4;(œ,đ,+) với

3.2 Công thức Canchy-Pompein trong giải tính Chíford 64

3.2.1 Công thức Cauchy-Pompeiu trong giải tích phức 61 3.2.2 Cong thúc Cauchy-Pampeiu trong giải tích

Gilmd co

3.3 Công thức Cauchy-Pompeiu trong đại số Clifford với

Chương 1

Đại số Clifford với tham số

1.1 Định nghĩa và tính chất của đại số Clifford

1.1.1 Dinh nghia dai sé Clifford

Dinh nghĩa 1.1 Cho €, €2, ,€n 14 co sé ctia IR” vd eq là vector don vi théa mén:

Chương 1 Dal s6 CLIFFORD V6I THAM SO 8

Chú ý 1.1 a) Rõ ràng Cý„„ là không gian veetor thực vdi co sé

©)

4)

gầm 2" phần tử (vì từ định nghĩa I.I ta có thể hỏ qua hình

phương các e;)

Đại số Cliford khang giao hoan vdi n > 1 (do ee; — —e;e;}

nhưng vẫn có tính chất kếu hợp và phần phối

Nếu bình phương một sỗ thành phần cơ sở bằng 0, La nhận được một cấu trúc dại số mới, gọi là dại số Cliford - Grassmamn

ký hiệu lại cơ sở của Cổ, „:

ca

và dùng chỉ số A cho cdc tập con của Ø,,/„ — {1,3, ®}, khi

đó mỗi số Cliford z bất kỳ được viết dưới dạng:

sân ` wala

ý hiện |4| là số phần tử A

Với p — 0,n —®, ta ký hiệu C#{n) :— CÉbo„

Dại số Clifford của không gian vector thực V có thể hiểu theo

nghĩa của đạng toàn phương ({z) trên V Khi đó phép nhân

được đơn giần bởi biểu thức: z2 —¬ Q(z)

Với trường hợp đại số Cliford xác định như định nghĩa 1.1 ta có:

Chương 1

Đại số Clifford với tham số

1.1 Định nghĩa và tính chất của đại số Clifford

1.1.1 Dinh nghia dai sé Clifford

Dinh nghĩa 1.1 Cho €, €2, ,€n 14 co sé ctia IR” vd eq là vector don vi théa mén:

Chương 1 Dal s6 CLIFFORD V6I THAM SO 9

Ky hiéu e9 — lle; — @ Voi méi x € Cf, tacéd ea | xed

Ta nhan due Céy,; 1a trutng số phức ©

e) Đại số cde 86 déi ng&u: xn = 1p = 1,Cftg có ed sở cụ,eị thỏa

mãn ‹j = 1

Với mọi z € (Ít ụ;# — #I.8ụ † 2.1

Trong Cê¡a có ước của 0, thật vậy

(I—«e)(—eij)=0

trong khi 1— ey và 1 1 «¡ đều khác 0

‘Ta goi Céyg JA đại số của các đối ngã

đ) Đại số của các số thực Quaternion: w = 2, p = Ú,CØạ¿ có cơ sở là

ey — 1, ¢1,€2, e1€2 với eỆ — sŠ — —1

Với mọi z € Cạn, — 24.1 — 29.€) + 29.€2 + đ4.€12

Ta thay co sd cla Cfog tương ứng với cơ sở cita H véi cig luat tính toán Thật vậy, nến ký hiệu sạ — e¡e¿ thì ed sd ctia Cag

thỏa mãn:

Muc luc

1 Dai sé Clifford véi tham sé

1.1 Dịnh nghĩa và tính chất của đại số Chfrd 7

1.1.1 Định nghĩa đại số Clifford 2 7

119 Dai sé Clifford Cem) 2 1

12 Đại số ChÑữord với thansố 16

121 Dịnh nghĩa 16

1.2.3 Dai sé Clifford "exotic" 19

2_ Hàm chính qny nhận giá tri trong Clifford cé tham

3.1 Định nghĩa hàm chính quy trong dai sé Clifford 21

2.11 Hàm nhận giá tri trong dai s6 Clifford © 21 2.1.2 Một số không sian hầm nhận giá trị trong đại

số Clfford co aL

2.1.4 Toán tử Canehy-Riemamn trong giải tich Clif

2.2 Ví dụ về hàm chính quy trong các đại số cụ thể 28

2.2.1 Hàm chính quy trong không gian nhức C 28 2.2.2 Ham chinh quy Wrong khong gian Quaternion TH 30

Chương 1

Đại số Clifford với tham số

1.1 Định nghĩa và tính chất của đại số Clifford

1.1.1 Dinh nghia dai sé Clifford

Dinh nghĩa 1.1 Cho €, €2, ,€n 14 co sé ctia IR” vd eq là vector don vi théa mén:

Muc luc

1 Dai sé Clifford véi tham sé

1.1 Dịnh nghĩa và tính chất của đại số Chfrd 7

1.1.1 Định nghĩa đại số Clifford 2 7

119 Dai sé Clifford Cem) 2 1

12 Đại số ChÑữord với thansố 16

121 Dịnh nghĩa 16

1.2.3 Dai sé Clifford "exotic" 19

2_ Hàm chính qny nhận giá tri trong Clifford cé tham

3.1 Định nghĩa hàm chính quy trong dai sé Clifford 21

2.11 Hàm nhận giá tri trong dai s6 Clifford © 21 2.1.2 Một số không sian hầm nhận giá trị trong đại

số Clfford co aL

2.1.4 Toán tử Canehy-Riemamn trong giải tich Clif

2.2 Ví dụ về hàm chính quy trong các đại số cụ thể 28

2.2.1 Hàm chính quy trong không gian nhức C 28 2.2.2 Ham chinh quy Wrong khong gian Quaternion TH 30

2.2.8 Ham chính quy trong không gian Cớn) 3ð

2.3 Hàm chính quy trong đại số Clifford có tham số 37

2.3.1 Tầm nhãn Canehy trong Cé(n) 37 2.3.2 Biến đổi Todorosen 2 2 40

23.3 Vi du về hàm nhân trong ,4;(œ,đ,+) với

3.2 Công thức Canchy-Pompein trong giải tính Chíford 64

3.2.1 Công thức Cauchy-Pompeiu trong giải tích phức 61 3.2.2 Cong thúc Cauchy-Pampeiu trong giải tích

Gilmd co

3.3 Công thức Cauchy-Pompeiu trong đại số Clifford với

Muc luc

1 Dai sé Clifford véi tham sé

1.1 Dịnh nghĩa và tính chất của đại số Chfrd 7

1.1.1 Định nghĩa đại số Clifford 2 7

119 Dai sé Clifford Cem) 2 1

12 Đại số ChÑữord với thansố 16

121 Dịnh nghĩa 16

1.2.3 Dai sé Clifford "exotic" 19

2_ Hàm chính qny nhận giá tri trong Clifford cé tham

3.1 Định nghĩa hàm chính quy trong dai sé Clifford 21

2.11 Hàm nhận giá tri trong dai s6 Clifford © 21 2.1.2 Một số không sian hầm nhận giá trị trong đại

số Clfford co aL

2.1.4 Toán tử Canehy-Riemamn trong giải tich Clif

2.2 Ví dụ về hàm chính quy trong các đại số cụ thể 28

2.2.1 Hàm chính quy trong không gian nhức C 28 2.2.2 Ham chinh quy Wrong khong gian Quaternion TH 30

Chương 1 Dal s6 CLIFFORD V6I THAM SO 8

Chú ý 1.1 a) Rõ ràng Cý„„ là không gian veetor thực vdi co sé

©)

4)

gầm 2" phần tử (vì từ định nghĩa I.I ta có thể hỏ qua hình

phương các e;)

Đại số Cliford khang giao hoan vdi n > 1 (do ee; — —e;e;}

nhưng vẫn có tính chất kếu hợp và phần phối

Nếu bình phương một sỗ thành phần cơ sở bằng 0, La nhận được một cấu trúc dại số mới, gọi là dại số Cliford - Grassmamn

ký hiệu lại cơ sở của Cổ, „:

ca

và dùng chỉ số A cho cdc tập con của Ø,,/„ — {1,3, ®}, khi

đó mỗi số Cliford z bất kỳ được viết dưới dạng:

sân ` wala

ý hiện |4| là số phần tử A

Với p — 0,n —®, ta ký hiệu C#{n) :— CÉbo„

Dại số Clifford của không gian vector thực V có thể hiểu theo

nghĩa của đạng toàn phương ({z) trên V Khi đó phép nhân

được đơn giần bởi biểu thức: z2 —¬ Q(z)

Với trường hợp đại số Cliford xác định như định nghĩa 1.1 ta có:

Mặc dù đã có rắt nhiều nỗ lực của tác giả, song chắc chẩn luận văn khöng tránh khỏi những thiếu sót, rất mong nhận được những ý

kiến đóng góp của các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp, độc giả quan tam

Hà Nội, tháng 8/2009

Muc luc

1 Dai sé Clifford véi tham sé

1.1 Dịnh nghĩa và tính chất của đại số Chfrd 7

1.1.1 Định nghĩa đại số Clifford 2 7

119 Dai sé Clifford Cem) 2 1

12 Đại số ChÑữord với thansố 16

121 Dịnh nghĩa 16

1.2.3 Dai sé Clifford "exotic" 19

2_ Hàm chính qny nhận giá tri trong Clifford cé tham

3.1 Định nghĩa hàm chính quy trong dai sé Clifford 21

2.11 Hàm nhận giá tri trong dai s6 Clifford © 21 2.1.2 Một số không sian hầm nhận giá trị trong đại

số Clfford co aL

2.1.4 Toán tử Canehy-Riemamn trong giải tich Clif

2.2 Ví dụ về hàm chính quy trong các đại số cụ thể 28

2.2.1 Hàm chính quy trong không gian nhức C 28 2.2.2 Ham chinh quy Wrong khong gian Quaternion TH 30

Chương 1

Đại số Clifford với tham số

1.1 Định nghĩa và tính chất của đại số Clifford

1.1.1 Dinh nghia dai sé Clifford

Dinh nghĩa 1.1 Cho €, €2, ,€n 14 co sé ctia IR” vd eq là vector don vi théa mén:

Muc luc

1 Dai sé Clifford véi tham sé

1.1 Dịnh nghĩa và tính chất của đại số Chfrd 7

1.1.1 Định nghĩa đại số Clifford 2 7

119 Dai sé Clifford Cem) 2 1

12 Đại số ChÑữord với thansố 16

121 Dịnh nghĩa 16

1.2.3 Dai sé Clifford "exotic" 19

2_ Hàm chính qny nhận giá tri trong Clifford cé tham

3.1 Định nghĩa hàm chính quy trong dai sé Clifford 21

2.11 Hàm nhận giá tri trong dai s6 Clifford © 21 2.1.2 Một số không sian hầm nhận giá trị trong đại

số Clfford co aL

2.1.4 Toán tử Canehy-Riemamn trong giải tich Clif

2.2 Ví dụ về hàm chính quy trong các đại số cụ thể 28

2.2.1 Hàm chính quy trong không gian nhức C 28 2.2.2 Ham chinh quy Wrong khong gian Quaternion TH 30

Mặc dù đã có rắt nhiều nỗ lực của tác giả, song chắc chẩn luận văn khöng tránh khỏi những thiếu sót, rất mong nhận được những ý

kiến đóng góp của các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp, độc giả quan tam

Hà Nội, tháng 8/2009

Chương 1

Đại số Clifford với tham số

1.1 Định nghĩa và tính chất của đại số Clifford

1.1.1 Dinh nghia dai sé Clifford

Dinh nghĩa 1.1 Cho €, €2, ,€n 14 co sé ctia IR” vd eq là vector don vi théa mén:

Cấu trúc của luận văn gồm ba chương;

e Chương 1 Đại số Cliford với tham số

+ Chương 2 Hàm chính quy nhận giá trị trong ClHiford với Làn số

+ Chương 3 Công thức Cauchy-Pourpeiu trong Clifford véi tham sé

Chương 1 trình bày việc xây dựng đại số Cliford phụ thuộc tham

số từ cầu trúc đại số Clifford cổ điển, thêm vào dó là dụng ý đối

chiếu so sánh một số tính chất của các đại số này

Chuuny 2 trình bày về khái niệm hàm chính quy nhận giá trị

trong đại số CBiford phụ thuộc tham số với cách tiếp cận bắt đầu

từ khái

các đại số quen thuộc Kết quả chính của chương là xãy dựng nhãn

lẹm hàm chính quy và mỗi lên quan với cắc toán tử trong

Cauchy trong dai số Clifford phy thuộc tham số, ngược lại chỉ ra phân ví dụ chứng tả không tần tại hàm nhân anchy trong trường hợp xét với khoảng cách Euelid

Chương 3 trình bà

Lừ các đại số đã biết đến đại số ChiTord phụ thuộc tham số thống

ự phát triển của công khức Cauchy-Pomrpeiu

qua phương phép quen thuộc là vận dung cong thitc Green-Gauss

và tinh chất chính quy của hàm nhan Cauchy trong dai số Cliford

phụ thuộc tham số

'Ý tưởng xuyên suốt trong cách bố cục và trình bày luận văn là

cổ gắng dẫn đến các kết quả đẹp bằng con đường tự nhiên nhất có

thể Những kết quả hước đầu đạt được trong luận văn đã gợi ra hướng nghiên cứu rất có triển vọng là phát triển những tính chất,

công thức, định ly tit dai sé Clifford cổ diễn dén dai sé Clifford phụ thuộc tham số

Chúng tôi hy vọng rằng vẫn đề này sẽ còn tiếp te được các thầy cô

giáo, bạn bè đồng nghiệp, các học viên, nghiên cứn sinh quan tâm

nghiên cứu trong thời gian tới

Chương 1 Dal s6 CLIFFORD V6I THAM SO 9

Ky hiéu e9 — lle; — @ Voi méi x € Cf, tacéd ea | xed

Ta nhan due Céy,; 1a trutng số phức ©

e) Đại số cde 86 déi ng&u: xn = 1p = 1,Cftg có ed sở cụ,eị thỏa

mãn ‹j = 1

Với mọi z € (Ít ụ;# — #I.8ụ † 2.1

Trong Cê¡a có ước của 0, thật vậy

(I—«e)(—eij)=0

trong khi 1— ey và 1 1 «¡ đều khác 0

‘Ta goi Céyg JA đại số của các đối ngã

đ) Đại số của các số thực Quaternion: w = 2, p = Ú,CØạ¿ có cơ sở là

ey — 1, ¢1,€2, e1€2 với eỆ — sŠ — —1

Với mọi z € Cạn, — 24.1 — 29.€) + 29.€2 + đ4.€12

Ta thay co sd cla Cfog tương ứng với cơ sở cita H véi cig luat tính toán Thật vậy, nến ký hiệu sạ — e¡e¿ thì ed sd ctia Cag

thỏa mãn:

Chương 1

Đại số Clifford với tham số

1.1 Định nghĩa và tính chất của đại số Clifford

1.1.1 Dinh nghia dai sé Clifford

Dinh nghĩa 1.1 Cho €, €2, ,€n 14 co sé ctia IR” vd eq là vector don vi théa mén:

Chương 1

Đại số Clifford với tham số

1.1 Định nghĩa và tính chất của đại số Clifford

1.1.1 Dinh nghia dai sé Clifford

Dinh nghĩa 1.1 Cho €, €2, ,€n 14 co sé ctia IR” vd eq là vector don vi théa mén:

Chương 1 Dal s6 CLIFFORD V6I THAM SO 8

Chú ý 1.1 a) Rõ ràng Cý„„ là không gian veetor thực vdi co sé

©)

4)

gầm 2" phần tử (vì từ định nghĩa I.I ta có thể hỏ qua hình

phương các e;)

Đại số Cliford khang giao hoan vdi n > 1 (do ee; — —e;e;}

nhưng vẫn có tính chất kếu hợp và phần phối

Nếu bình phương một sỗ thành phần cơ sở bằng 0, La nhận được một cấu trúc dại số mới, gọi là dại số Cliford - Grassmamn

ký hiệu lại cơ sở của Cổ, „:

ca

và dùng chỉ số A cho cdc tập con của Ø,,/„ — {1,3, ®}, khi

đó mỗi số Cliford z bất kỳ được viết dưới dạng:

sân ` wala

ý hiện |4| là số phần tử A

Với p — 0,n —®, ta ký hiệu C#{n) :— CÉbo„

Dại số Clifford của không gian vector thực V có thể hiểu theo

nghĩa của đạng toàn phương ({z) trên V Khi đó phép nhân

được đơn giần bởi biểu thức: z2 —¬ Q(z)

Với trường hợp đại số Cliford xác định như định nghĩa 1.1 ta có:

Chương 1

Đại số Clifford với tham số

1.1 Định nghĩa và tính chất của đại số Clifford

1.1.1 Dinh nghia dai sé Clifford

Dinh nghĩa 1.1 Cho €, €2, ,€n 14 co sé ctia IR” vd eq là vector don vi théa mén:

Cấu trúc của luận văn gồm ba chương;

e Chương 1 Đại số Cliford với tham số

+ Chương 2 Hàm chính quy nhận giá trị trong ClHiford với Làn số

+ Chương 3 Công thức Cauchy-Pourpeiu trong Clifford véi tham sé

Chương 1 trình bày việc xây dựng đại số Cliford phụ thuộc tham

số từ cầu trúc đại số Clifford cổ điển, thêm vào dó là dụng ý đối

chiếu so sánh một số tính chất của các đại số này

Chuuny 2 trình bày về khái niệm hàm chính quy nhận giá trị

trong đại số CBiford phụ thuộc tham số với cách tiếp cận bắt đầu

từ khái

các đại số quen thuộc Kết quả chính của chương là xãy dựng nhãn

lẹm hàm chính quy và mỗi lên quan với cắc toán tử trong

Cauchy trong dai số Clifford phy thuộc tham số, ngược lại chỉ ra phân ví dụ chứng tả không tần tại hàm nhân anchy trong trường hợp xét với khoảng cách Euelid

Chương 3 trình bà

Lừ các đại số đã biết đến đại số ChiTord phụ thuộc tham số thống

ự phát triển của công khức Cauchy-Pomrpeiu

qua phương phép quen thuộc là vận dung cong thitc Green-Gauss

và tinh chất chính quy của hàm nhan Cauchy trong dai số Cliford

phụ thuộc tham số

'Ý tưởng xuyên suốt trong cách bố cục và trình bày luận văn là

cổ gắng dẫn đến các kết quả đẹp bằng con đường tự nhiên nhất có

thể Những kết quả hước đầu đạt được trong luận văn đã gợi ra hướng nghiên cứu rất có triển vọng là phát triển những tính chất,

công thức, định ly tit dai sé Clifford cổ diễn dén dai sé Clifford phụ thuộc tham số

Chúng tôi hy vọng rằng vẫn đề này sẽ còn tiếp te được các thầy cô

giáo, bạn bè đồng nghiệp, các học viên, nghiên cứn sinh quan tâm

nghiên cứu trong thời gian tới

Cấu trúc của luận văn gồm ba chương;

e Chương 1 Đại số Cliford với tham số

+ Chương 2 Hàm chính quy nhận giá trị trong ClHiford với Làn số

+ Chương 3 Công thức Cauchy-Pourpeiu trong Clifford véi tham sé

Chương 1 trình bày việc xây dựng đại số Cliford phụ thuộc tham

số từ cầu trúc đại số Clifford cổ điển, thêm vào dó là dụng ý đối

chiếu so sánh một số tính chất của các đại số này

Chuuny 2 trình bày về khái niệm hàm chính quy nhận giá trị

trong đại số CBiford phụ thuộc tham số với cách tiếp cận bắt đầu

từ khái

các đại số quen thuộc Kết quả chính của chương là xãy dựng nhãn

lẹm hàm chính quy và mỗi lên quan với cắc toán tử trong

Cauchy trong dai số Clifford phy thuộc tham số, ngược lại chỉ ra phân ví dụ chứng tả không tần tại hàm nhân anchy trong trường hợp xét với khoảng cách Euelid

Chương 3 trình bà

Lừ các đại số đã biết đến đại số ChiTord phụ thuộc tham số thống

ự phát triển của công khức Cauchy-Pomrpeiu

qua phương phép quen thuộc là vận dung cong thitc Green-Gauss

và tinh chất chính quy của hàm nhan Cauchy trong dai số Cliford

phụ thuộc tham số

'Ý tưởng xuyên suốt trong cách bố cục và trình bày luận văn là

cổ gắng dẫn đến các kết quả đẹp bằng con đường tự nhiên nhất có

thể Những kết quả hước đầu đạt được trong luận văn đã gợi ra hướng nghiên cứu rất có triển vọng là phát triển những tính chất,

công thức, định ly tit dai sé Clifford cổ diễn dén dai sé Clifford phụ thuộc tham số

Chúng tôi hy vọng rằng vẫn đề này sẽ còn tiếp te được các thầy cô

giáo, bạn bè đồng nghiệp, các học viên, nghiên cứn sinh quan tâm

nghiên cứu trong thời gian tới

Cấu trúc của luận văn gồm ba chương;

e Chương 1 Đại số Cliford với tham số

+ Chương 2 Hàm chính quy nhận giá trị trong ClHiford với Làn số

+ Chương 3 Công thức Cauchy-Pourpeiu trong Clifford véi tham sé

Chương 1 trình bày việc xây dựng đại số Cliford phụ thuộc tham

số từ cầu trúc đại số Clifford cổ điển, thêm vào dó là dụng ý đối

chiếu so sánh một số tính chất của các đại số này

Chuuny 2 trình bày về khái niệm hàm chính quy nhận giá trị

trong đại số CBiford phụ thuộc tham số với cách tiếp cận bắt đầu

từ khái

các đại số quen thuộc Kết quả chính của chương là xãy dựng nhãn

lẹm hàm chính quy và mỗi lên quan với cắc toán tử trong

Cauchy trong dai số Clifford phy thuộc tham số, ngược lại chỉ ra phân ví dụ chứng tả không tần tại hàm nhân anchy trong trường hợp xét với khoảng cách Euelid

Chương 3 trình bà

Lừ các đại số đã biết đến đại số ChiTord phụ thuộc tham số thống

ự phát triển của công khức Cauchy-Pomrpeiu

qua phương phép quen thuộc là vận dung cong thitc Green-Gauss

và tinh chất chính quy của hàm nhan Cauchy trong dai số Cliford

phụ thuộc tham số

'Ý tưởng xuyên suốt trong cách bố cục và trình bày luận văn là

cổ gắng dẫn đến các kết quả đẹp bằng con đường tự nhiên nhất có

thể Những kết quả hước đầu đạt được trong luận văn đã gợi ra hướng nghiên cứu rất có triển vọng là phát triển những tính chất,

công thức, định ly tit dai sé Clifford cổ diễn dén dai sé Clifford phụ thuộc tham số

Chúng tôi hy vọng rằng vẫn đề này sẽ còn tiếp te được các thầy cô

giáo, bạn bè đồng nghiệp, các học viên, nghiên cứn sinh quan tâm

nghiên cứu trong thời gian tới