Skkn cấp tỉnh phát triển phẩm chất, năng lực cho học sinh trường thpt lam kinh thông qua việc Định hướng cách giải quyết một số bài toán xác suất trong chương trình môn toán lớp 11

Qua thực tiễn giảng dạy xác suất cho học sinh lớp 11 môn Toán ở trường THPT Lam Kinh tôi nhận thấy đa số các em chưa hiểu sâu sắccác khái niệm cơ bản như: không gian mẫu, biến cố, biến c

Trang 1

NỘI DUNG TRA

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT LAM KINH

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHÁT TRIỂN PHẨM CHẤT, NĂNG LỰC CHO HỌC SINH TRƯỜNG THPT LAM KINH THÔNG QUA VIỆC ĐỊNH HƯỚNG CÁCH GIẢI QUYẾT MỘT SỐ BÀI TOÁN XÁC SUẤT TRONG CHƯƠNG TRÌNH MÔN TOÁN LỚP 11

Người thực hiện: Đỗ Thị Huệ

Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực: Toán học

THANH HÓA NĂM 2025

Trang 2

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài

1.2 Mục đích nghiên cứu

1.3 Đối tượng nghiên cứu

1.4 Phương pháp nghiên cứu

1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm

2 NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận

2.1.1 Khái niệm kĩ năng

2.1.2 Vấn đề rèn luyện kỹ năng toán học, phát triển phẩm chất năng lực

cho học sinh

2.2 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu

2.2.1 Thuận lợi

2.2.2 Khó khăn

2.3 Định hướng giải quyết một số bài toán xác suất nhằm phát

triển phẩm chất năng lực cho học sinh.

2.3.1 Ứng dụng định nghĩa cổ điển của xác suất để định hướng giải

các bài toán tính xác xuất.

2.3.1.1.Kiến thức cơ bản về định nghĩa xác suất cổ điển.

2.3.1.2 Một số bài toán cơ bản ứng dụng định nghĩa cổ điển của xác

suất.

2.3.2 Ứng dụng các quy tắc tính xác suất để định hướng giải các bài

toán tính xác xuất.

2.3.2.1 Kiến thức cơ bản về quy tắc tính xác suất.

2.3.2.2 Một số bài toán cơ bản ứng dụng quy tắc tính xác suất.

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

3.1 Kết luận

3.2 Kiến nghị

2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 5 10 10 11 17 18 18 18

1 MỞ ĐẦU

Trang 3

1.1 Lý do chọn đề tài

Ngày 26/12/2018 Bộ GDĐT đã ban hành Thông tư số 32/2018/TT-BGDĐT Banhành chương trình giáo dục phổ thông Trong đó chương trình môn Toán đã chỉ rõ

quan điểm xây dựng chương trình môn Toán: “Nội dung chương trình môn Toán chú

trọng tính ứng dụng thiết thực, gắn kết với đời sống thực tế hay các môn học, gắn với

xu hướng phát triển hiện đại của kinh tế, khoa học, đời sống, xã hội và những vấn đề cấp thiết có tính toàn cầu” Chương trình môn Toán đối với cấp THPT cần: “Thiết kế

hệ thống chuyên đề học tập chuyên sâu và các nội dung học tập giúp HS nâng cao kiến thức, kĩ năng thực hành, vận dụng và giải quyết các vấn đề gắn với thực tiễn của địa phương”.

Theo Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể “năng lực là thuộc tính cá nhânđược hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, chophép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kỹ năng và các thuộc tính cánhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí, … thực hiện thành công một hoạt độngnhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể”

Đối với toán xác suất là một ngành toán học có nhiều ứng dụng rộng rãi trongnhiều lĩnh vực khoa học, công nghệ, kinh tế…Vì vậy lí thuyết xác suất đã được đưavào Chương trình giáo dục phổ thông 2018 nhằm cung cấp cho học sinh THPTnhững kiến thức cơ bản về ngành toán học quan trọng này

Để có thể học tốt toán xác suất học sinh phải nắm vững các khái niệm và cáccông thức cơ bản của xác suất đồng thời phải biết vận dụng các kiến thức đó để giảiquyết các bài toán về tính xác suất Qua thực tiễn giảng dạy xác suất cho học sinh lớp

11 môn Toán ở trường THPT Lam Kinh tôi nhận thấy đa số các em chưa hiểu sâu sắccác khái niệm cơ bản như: không gian mẫu, biến cố, biến cố độc lập, biến cố xungkhắc, biến cố đối,…các em chỉ biết giải bài toán xác suất trong một số kiểu bài tậpquen thuộc, đa số học sinh chưa biết sử dụng linh hoạt các quy tắc cộng, quy tắc nhânxác suất để giải các bài tập về tính xác suất

Vì vậy, tôi chọn đề tài nghiên cứu cho sáng kiến kinh nghiệm của mình: “Phát

triển phẩm chất, năng lực cho học sinh trường THPT Lam Kinh thông qua việc định hướng cách giải quyết một số bài toán xác suất trong chương trình môn Toán lớp 11”.

1.2 Mục đích nghiên cứu

- Nghiên cứu, tổng hợp cơ sở lí luận phương pháp dạy học theo dự án môn toán

- Khảo sát, đánh giá thực trạng dạy và học môn toán tại trường THPT Lam Kinh

- Vận dụng kiến thức xác suất để giải quyết các bài toán trong chương trình Toánnhằm phát triển phẩm chất, năng lực của học sinh

- Qua đề tài nhằm phát triển phẩm chất, năng lực và lập luận toán học Đặc biệt,đối với học sinh THPT có thêm một tài liệu tham khảo tốt để ôn thi tốt nghiệp THPT,thi chọn học sinh giỏi

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đề tài tập trung vào nghiên cứu tìm tòi, cập nhật các phương pháp, kĩ thuật dạy

Trang 4

Bài toán 1 Xếp ngẫu nhiên ba bạn nam và ba bạn nữ ngồi vào sáu ghế kê theo

hàng ngang Tìm xác suất sao cho

a) Nam nữ ngồi xen kẽ nhau

b) Ba bạn nam ngồi cạnh nhau

Phân tích: Đây tuy là một bài toán xác suất nhưng thực chất nó lại là một bài

toán đếm trong tổ hợp Đó là tập hợp của các bài toán tổ hợp nhỏ quen thuộc như sau:(1) Có bao nhiêu cách xếp 3 bạn nam và 3 bạn nữ vào 6 ghế kê theo hàng ngang (Đáp số: cách)

(2) Có bao nhiêu cách xếp 3 bạn nam và 3 bạn nữ và 6 ghế kê theo hàng ngang,biết rằng nam nữ ngồi cạnh nhau,

(Đáp số: cách)

(3) Có bao nhiêu cách xếp 3 bạn nam và 3 bạn nữ và 6 ghế kê theo hàng ngang,biết rằng ba bạn nam ngồi cạnh nhau (Đáp số: 4 cách)

Như vậy bài toán trên được giải như sau:

Lời giải: Gọi là biến cố “Xếp 3 học sinh nam và 3 học sinh nữ vào 6 ghế kê

theo hàng ngang mà nam và nữ xen kẽ nhau”

Và là biến cố “Xếp 3 học sinh nam và 3 học sinh nữ vào 6 ghế kê theo hàngngang mà 3 bạn nam ngồi cạnh nhau”

Ta có

Suy ra:

Như vậy phần lớn các bài toán dạng 1 là các bài toán sử dụng công thức và kĩthuật của toán tổ hợp Đối với các bài toán như vậy thì học sinh chỉ cần phải nắm vữngcông thức về tổ hợp và định nghĩa xác suất

Bài toán 2: Cho một lục giác đều ABCDEF Viết các chữ cái A, B, C, D, E, F

vao 6 thẻ Lấy ngẫu nhiên hai thẻ Tìm xác suất sao cho đoạn thẳng mà các đầu mút làcác điểm được ghi trên 2 thẻ đó là:

a) Cạnh của lục giác

b) Đường chéo của lục giác

c) Đường chéo nối 2 đỉnh đối diện của lục giác

Phân tích:

Đây có thể coi là một bài toán đếm: đếm tổng số cạnh và đường chéo của một lụcgiác đều Chúng ta đã biết từ 6 điểm phân biệt sao cho không có 3 điểm nào thẳnghàng có thể tạo ra được đoạn thẳng

Do đó nếu gọi:

là biến cố “Đoạn thẳng mà các đầu mút là các điểm được ghi trên hai thẻ làcạnh của lục giác”

Trang 5

học mới phù hợp với từng đối tượng học sinh, thông qua sử dụng kiến thức xác suấtgiải toán nhằm phát triển phẩm chất, năng lực cho học sinh THPT.

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các sách lí luận dạy học, các tàiliệu về tâm lí học, giáo dục học, toán học, lôgic học về những vấn đề liên quan đến đềtài

- Nghiên cứu thực tiễn: Khảo sát tình hình dạy học môn toán ở trường THPTLam Kinh

1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm

- Đánh giá thực trạng việc vận dụng kiến thức xác suất vào giải các bài toán vàthực tiễn cuộc sống trong quá trình dạy và học môn Toán ở trường THPT Lam Kinh

- Đề tài liên hệ toán học lĩnh vực xác suất với thực tiễn góp phần nâng cao hiệuquả của việc dạy và học toán cho học sinh THPT

- Đã xây dựng được một cách có hệ thống các dạng toán về xác suất phù hợp vớiyêu cầu của Chương trình GDPT 2018 và qua đó hình thành và phát triển được phẩmchất năng lực của học sinh

- Kết quả của đề tài có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và họcsinh trong quá trình giảng dạy và học tập

2 NỘI DUNG

2.1 Cơ sở lý luận về kỹ năng tại trường THPT

2.1.1 Khái niệm kỹ năng

Theo Tâm lý học lứa tuổi và Tâm lý học sư phạm thì: “Kỹ năng là khả năng vận dụngkiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp…) để giải quyết một nhiệm vụ mới”

Còn Tâm lý học đại cương cho rằng: “Kỹ năng là năng lực sử dụng các dữ liệu,các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộctính bản chất của sự vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ lý luận hay thựchành xác định”

2.1.2 Vấn đề rèn luyện kỹ năng toán học, phát triển phẩm chất năng lực cho học sinh

- Kỹ năng vận dụng tri thức trong nội bộ toán, thể hiện rõ dưới dạng giải bài tậptoán

- Kỹ năng vận dụng tri thức toán học vào những môn học khác như vật lý, hoá học

- Kỹ năng vận dụng vào đời sống

Tóm lại, song song với việc truyền thụ tri thức toán học thì việc rèn luyện đóngmột vai trò hết sức quan trọng, góp phần bồi dưỡng tư duy toán học và phát triển phẩmchất năng lực cho học sinh

Trang 6

Suy ra:

Tuy nhiên làm như vậy dài và rất dễ bỏ quên trường hợp Tuy nhiên nếu để ýrằng biến cố đối của biến cố A là biến cố : “Không có lần nào xuất hiện mặt ngửa”

Lời giải: Không gian mẫu

a) Ta có biến cố đối của biến cố A là biến cố:

: “Không cố lần nào xuất hiện mặt ngửa”

Và ta có

b) Tương tự ta có:

Bài toán 7 Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối đồng chất hai lần Tính xác

suất của các biến cố sau:

a) Biến cố A: “Trong hai lần gieo ít nhất một lần xuất hiện mặt một chấm”

b) Biến cố B: “Trong hai lần gieo tổng số chấm trong hai lần gieo là một số nhỏhơn 11”

Phân tích: Đối với bài toán này dùng phương pháp sử dụng biến cố đối là

phương pháp tối ưu bởi lẽ nếu tính trực tiếp ta phải xét rất nhiều trường hợp

- Đối với biến cố A

+ Mặt một chấm xuất hiện lần thứ nhất

+ Mặt một chấm xuất hiện lần thứ hai

+ Hai lần gieo đều xuất hiện mặt một chấm (khả năng này lại nằm trong cả haikhả năng trên)

- Đối với biến cố B Tổng số trong hai lần gieo là một số nhỏ hơn 11 tức là có 10khả năng xảy ra: 1,2,…,10

a) Ta có biến cố đối

b) Ta có:

Phương pháp sử dụng biến cố đối là một phương pháp hay, tuy nhiên để vậndụng được phương pháp này học sinh cần nắm được hai yếu tố:

Trang 7

là biến cố “Đoạn thẳng mà các đầu mút là các điểm được ghi trên hai thẻ làđường chéo của lục giác”

là biến cố “Đoạn thẳng mà các đầu mút là các điểm được ghi trên hai thẻ làđường chéo nối hai đỉnh đối diện của lục giác”

Và ta có

Bên cạnh đó, có những bài toán chỉ cần dùng phương pháp liệt kê

Bài toán 3 Gieo một con súc xắc, cân đối và đồng nhất Giả sử con súc xắc suất

hiện mặt b chấm Xét phương trình Tính xác suất sao cho phương

trình có nghiệm

Lời giải: Ký hiệu “con súc xắc suất hiện mặt b chấm” là b:

Không gian mẫu:

Gọi A là biến cố: “Phương trình có nghiệm”

Ta đã biết phương trình có nghiệm khi

Do đó

Tuy nhiên, phương pháp liệt kê chỉ có hiệu quả khi số phần tử của biến cố là nhỏ.Nếu số phần tử lớn thì việc liệt kê trở nên khó khăn và dễ xét thiếu phần tử

Bài toán 4 Trên một cái vòng hình tròn dùng để quay sổ số có gắn 36 con số

từ 01 đến 36 Xác suất để bánh xe sau khi quay dừng ở mỗi số đều như nhau Tínhxác suất để khi quay hai lần liên tiếp bánh xe dừng lại ở giữa số 1 và số 6 ( kể cả 1

và 6) trong lần quay đầu và dừng lại ở giữa số 13 và 36 ( kể cả 13 và 36) trong lầnquay thứ 2

Phân tích: Rõ ràng là trong bài toán này ta không thể sử dụng phương pháp liệt

kê vì số phần tử của biến cố là tương đối lớn Ở đây ta sẽ biểu diễn tập hợp dưới dạngtính chất đặc trưng để tính toán

Gọi A là biến cố cần tính xác suất

Có 6 cách chọn i, ứng với mỗi cách chọn i có 25 cách chọn j (từ13 đến 36 có 25số) do đó theo quy tắc nhân

Trang 8

- Đa số các em chăm chỉ học tập, nắm vững những kiến thức cơ bản ở các lớpdưới và các kiến thức liên quan, chủ động, tích cực trong học tập.

2.2.2 Khó khăn.

- Học sinh biết được các phương pháp vận dụng cơ bản nhưng chưa biết cáchđịnh hướng phương pháp trong việc đưa kiến thức vào thực tiễn

- Chưa biết cách hệ thống và khái quát phân dạng bài toán xác suất

- Việc vận dụng kiến thức đã học vào thực tiễn còn lúng túng cả giáo viên và HS

2.3 ĐỊNH HƯỚNG GIẢI QUYẾT MỘT SỐ BÀI TOÁN XÁC SUẤT

NHẰM PHÁT TRIỄN PHẨM CHẤT NĂNG LỰC CHO HỌC SINH

2.3.1 ỨNG DỤNG ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN CỦA XÁC SUẤT ĐỂ ĐỊNH HƯỚNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÍNH XÁC SUẤT

2.3.1.1 Kiến thức cơ bản về định nghĩa xác suất cổ điển:

2.3.1.2 Một số bài toán ứng dụng định nghĩa cổ điển của xác suất.

Xác

suất

Phép thử ngẫu nhiên:

Là một thí nghiệm hay hành động mà kết quả của nó không đoán trước được nhưng có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả

có thể xảy ra của phép thử đó Ký hiệu T

Biến cố

Không gian mẫu: Là

tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử Ký hiệu: 

Số phần tử của không gian mẫu ký hiệu: n( )

Xác suất của biến cố

Định nghĩa cổ điển của xác suất:

Gỉa sử phép thử T có không gian mẫu

 là một tập hợp hữu hạn và các kết quả của T là đồng khả năng Nếu A là một biến cố liên quan đến phép thử T

và là tập hợp các kết quả thuận lợi cho A thì xác suất của biến cố A là một số ký hiệu là P(A)

Khái niệm: Biến cố A liên quan đến

phép thử T là biến cố mà việc xảy ra hay không xảy ra của A phụ thuộc vào kết quả của phép thử T Tập hợp các kết quả thuận lợi của A ký hiện là

A Số kết quả thuận lợi của biến cố

A ký hiện là n()

Trang 9

Ta cùng xét một bài toán khá thú vị sau:

Bài toán 5 Gieo một đồng tiền cân đối đồng chất liên tiếp cho đến khi lần đầu

tiên xuất hiện mặt ngửa hoặc cả 6 lần xuất hiện mặt sấp thì dừng lại

a) Mô tả không gian mẫu

b) Tính xác suất: A: “Số lần gieo không vượt quá ba”

B: “Số lần gieo là năm”; C: “Số lần gieo là sáu”

Phân tích: Đối với bài toán này rất nhiều học sinh lúng túng không biết cách xác

định không gian mẫu vì học sinh vốn quen với các bài toán cho trước số lần gieo Bàitoán này trước hết phải xác định được số lần gieo Giáo viên có thể gợi ý cho học sinhbằng các câu hỏi như:

- Nếu không có giả thiết “cả 6 lần xuất hiện mặt sấp thì dừng lại” thì ta phải gieođồng tiền bao nhiêu lần?

- Nếu kết hợp với giả thiết “cả 6 lần xuất hiện mặt sấp thì dừng lại” thì ta phảigieo đồng tiền tối đa bao nhiêu lần?

Tất nhiên với câu hỏi đầu tiên học sinh không thể đưa ra một con số cụ thể vì nếugieo 100 lần vẫn có thể là cả 100 lần đều xuất hiện mặt sấp do đó vẫn chưa thể dừnglại nhưng học sinh đã hình dung ra dạng các phần tử đầu tiên Với câu hỏi thứ hai họcsinh có thể trả lời được số lần gieo tối đa là 6 Từ đó học sinh có thể xác định đượckhông gian mẫu

Lời giải: a) Không gian mẫu

Sau đây tôi xin trình bày một số bài toán định hướng bằng phương pháp giải một số bài toán bằng cách sử dụng các quy tắc tính xác suất đã học.

Bài toán 6: Gieo đồng tiền xu cân đối đồng chất 3 lần Tính xác suất của các

biến cố: a) Biến cố A: “Trong 3 lần gieo có ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa” b) Biến cố B: “Trong 3 lần gieo có cả hai mặt sấp, ngửa”

Phân tích: Học sinh có thể giải quyết bài toán theo định hướng là: ít nhất 1 lần

xuất hiện mặt ngửa thì có 3 khả năng có thể xảy ra là: 1 lần xuất hiện mặt ngửa, hai lầnxuất hiện mặt ngửa, ba lần xuất hiện mặt ngửa Do vậy học sinh sẽ giải bài toán nhưsau:

Trang 10

2.2.2 Khó khăn.

Xác

suất

Biến cố

Trang 11

(Đáp số: cách)

Ta có

Suy ra:

Phân tích:

Trang 12

Suy ra:

Và ta có

b) Ta có:

Trang 13

(Đáp số: cách)

Ta có

Suy ra:

Phân tích:

Trang 14

2 NỘI DUNG

Trang 15

2 NỘI DUNG

Trang 16

Suy ra:

Và ta có

b) Ta có:

Trang 17

Và ta có

trình có nghiệm

Không gian mẫu:

Do đó

Trang 18

(Đáp số: cách)

Ta có

Suy ra:

Phân tích:

Trang 19

Suy ra:

Và ta có

b) Ta có:

Trang 20

2 NỘI DUNG

Trang 21

Và ta có

trình có nghiệm

Không gian mẫu:

Do đó

Trang 22

Suy ra:

Và ta có

b) Ta có:

Trang 23

2.2.2 Khó khăn.

Xác

suất

Biến cố

Trang 24

Trang 25

Trang 26

- Nhận dạng loại toán: Các bài toán có cụm từ “có ít nhất”, “tối thiểu”, “tất cả”…hoặc tính chẵn, lẻ, vô nghiệm, có nghiệm,…nếu tính kiểu bù gọn hơn thì ta dùng biến

- Liệt kê các phần tử của không gian mẫu, đếm số phần tử của không gian mẫu

- Liệt kê các khả năng thuận lợi của biến cố, tính số khả năng thuận lợi của biến

cố Sau đó thay vào công thức tính xác suất

Bài toán 8 Trong kì thi tuyển sinh Đại Học 2024 Tỉnh Thanh Hóa có 9 thí sinh

(5 nam và 4 nữ) đậu vào khoa Toán ĐHSP Hà Nội, được xếp ngẫu nhiên vào 4 lớp(mỗi lớp có nhiều hơn 9 người) Tính xác suất sao cho trong 4 lớp có 1 lớp có đúng 3

SV nam và 2 SV nữ đến từ Thanh Hóa

Nhận xét: Đa số người khi gặp bài toán này không tính được số phần tử của

không gian mẫu Vậy số phần tử của không gian mẫu liên quan gì tới bài toán trên

- Bài toán trên là Ô chọn số còn bài này ngược lại số chọn Ô

N1 N2 N3 N4 N5 N6 N7 N8 N9

Hướng dẫn: Số phần tử không gian mẫu n ( ) 4   9

Gọi A = “Trong 4 lớp có 1 lớp có 3 SV nam, 2 Sv nữ Thanh Hóa”

Giả sử: Lớp toán T1 thỏa mãn bài toán, khi đó ta có C C53 .342 4 (cách)

Mà có 4 khả năng xảy ra như vậy nên: n A( ) 4 3 C C53 42 4 ( ) ( )

Bài toán 9 Trong đợt cứu trợ lũ lụt ở miền trung Tỉnh Thanh Hóa đã ủng hộ 20

tấn lương thực (gồm 5 tấn gạo, 7 tấn bột mỳ, 8 tấn ngô) cho Xã Phúc Khánh UBND

Xã đã chia đều cho 10 Thôn bị thiệt hại nhiều nhất, mỗi Thôn chỉ nhận được 2 tấnkhác loại (mỗi loại 1 tấn) Trong 10 thôn trên có 2 thôn Phúc Sơn và Long Sơn Tínhxác suất sao cho 2 thôn Phúc Sơn và Long Sơn nhận được 2 tấn giống nhau

Nhận xét: Đây là 1 bài toán khá khó Học sinh không biết chia thế nào cho phù

hợp Để giúp học sinh hiểu cách chia ta làm như sau Gọi x, y, z là số xã nhận được(gạo, mỳ), (mỳ, ngô), (ngô, gạo)

Theo bài ra ta có:

Trang 27

Trang 28

(Đáp số: cách)

Ta có

Suy ra:

Phân tích:

Trang 29

Trang 30

2.2.2 Khó khăn.

Xác

suất

Biến cố

Trang 31

Suy ra:

Và ta có

b) Ta có:

Trang 32

N1 N2 N3 N4 N5 N6 N7 N8 N9

Trang 33

Và ta có

trình có nghiệm

Không gian mẫu:

Do đó

Trang 34

2.2.2 Khó khăn.

Xác

suất

Biến cố

Trang 35

2 NỘI DUNG

Trang 36

2 NỘI DUNG

Trang 37

N1 N2 N3 N4 N5 N6 N7 N8 N9

Tiêu đề	Phát triển phẩm chất, năng lực cho học sinh trường thpt lam kinh thông qua việc định hướng cách giải quyết một số bài toán xác suất trong chương trình môn toán lớp 11
Tác giả	Đỗ Thị Huệ
Trường học	Trường THPT Lam Kinh
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Sáng kiến kinh nghiệm
Năm xuất bản	2025
Thành phố	Thanh Hóa

Định dạng
Số trang	75
Dung lượng	742,54 KB