Một số vấn Đề cơ bản khi dạy học giải bài tập mạch xác suất và thống kê Ở trường trung học phổ thông

Xác suất của biến cố A, tính trong điều kiện biến cố B đã xảy rađược gọi là xác suất của A với điều kiện B và kí hiệu là PA|B; - Sử dụng định nghĩa để tính xác suất có điều kiện áp dụng

TIỂU LUẬN KẾT THÚC HỌC PHẦN

LÍ LUẬN DẠY HỌC TOÁN

MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN KHI DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP

MẠCH XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ Ở TRƯỜNG

TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Họ và tên sinh viên : Hồ Huỳnh Nguyên Bảo

Mã số sinh viên : 3110123008

Ngày tháng năm sinh : 28/08/2005

Lớp: 23ST2

Lớp học phần: 23-0102

Chuyên ngành: Sư phạm Toán

Giảng viên hướng dẫn: GVCC PGS TS Nguyễn Thanh Hưng

Đà Nẵng, năm 2025

Thấu hiểu được tầm quan trọng của học phần Lý luận dạy học toán trong quá trìnhhọc tập và nội dung công việc của một nhà giáo tương lai, nhóm em xin chân thành cảm ơn

GVCC PGS TS Nguyễn Thanh Hưng đã trao cho nhóm 26 cơ hội để tìm hiểu đề tài “Một

số vấn đề cơ bản khi dạy học giải bài tập mạch Xác suất và Thống kê ở trường Trung học phổ thông” Là một giáo viên dạy Toán trong tương lai, việc tìm hiểu và nắm vững các vấn

đề trọng tâm khi dạy học giải bài tập mạch Xác suất và Thống kê sẽ giúp nhóm em khôngchỉ nâng cao năng lực tổ chức dạy học Toán một cách hiệu quả, khoa học mà còn phát triểnphẩm chất, năng lực tư duy Xác suất và Thống kê cho học sinh một cách bền vững

MỤC LỤC Trang

2 MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN KHI DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP MẠCH XÁC

2.4 Các dạng bài tập chính mạch Xác suất và Thống kê ở trường Trung

2.6.2 Lập luận phải có căn cứ chính xác 11

2.7.1 Tìm hiểu nội dung bài toán

2.7.2 Tìm cách giải/chứng minh bài toán

2.7.3 Trình bày bài giải/chứng minh bài toán

2.7.4 Kiểm tra và nghiên cứu bài giải

AB là biến cố “Bình và An cùng lấy được viên bi trắng” Bình có 20cách chọn mộtviên bi trắng, An có 19 cách chọn một viên bi trắng trong 19 viên bi trắng còn lại.

Ví dụ 2: “Dạng toán tính xác suất theo định nghĩa cổ điển”.

Phương pháp giải tổng quát:

Cho phép thử T có không gian mẫu là Ω Giả thiết rằng các kết quả có thể của T là đồng khảnăng Khi đó nếu E là một biến cố liên quan đến phép thử T thì xác suất của E được cho bởicông thức

P(E)=n(E)

n(Ω)

trong đó n (Ω) và n ( E) tương ứng là số phần tử của tập Ω và tập E

Chẳng hạn (Ví dụ 1, Trang 83, Tập 2, Toán 10, Bộ sách Kết nối Tri thức với Cuộc sống).

Một tổ trong lớp 10A có 10 học sinh trong đó có 6 học sinh nam và 4 học sinh nữ.Giáo viên chọn ngẫu nhiên 6 học sinh trong tổ đó để tham gia đội tình nguyện Mùa hè xanh.Tính xác suất của hai biến cố sau:

C: “6 học sinh được chọn đều là nam”;

D: “Trong 6 học sinh được chọn có 4 nam và 2 nữ”

Công đoạn 1 Chọn 4 học sinh nam từ 6 học sinh nam, có C64 =15 (cách chọn).

Công đoạn 2 Chọn 2 học sinh nữ từ 4 học sinh nữ, có C42

=6 (cách chọn).

Theo quy tắc nhân, tập D có 15 ∙ 6=90 (phần tử) Vậy n(D)=90, do đó P ( D)= 90

210=3

7.

Ví dụ 3 “Dạng toán xác định khoảng biến thiên dựa vào mẫu số liệu”.

Phương pháp giải tổng quát:

- Xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong mẫu số liệu

- Khoảng biến thiên, kí hiệu là R, là hiệu số giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trongmẫu số liệu

Chẳng hạn (Ví dụ 1, Trang 76, Tập 1, Toán 12, Bộ sách Kết nối Tri thức với Cuộc sống).

Thống kê thời gian sử dụng mạng xã hội trong ngày của các bạn Tổ 1, Tổ 2 lớp 12A,được kết quả như bảng sau:

AB là biến cố “Bình và An cùng lấy được viên bi trắng” Bình có 20cách chọn mộtviên bi trắng, An có 19 cách chọn một viên bi trắng trong 19 viên bi trắng còn lại.

Ví dụ 2: “Dạng toán tính xác suất theo định nghĩa cổ điển”.

Phương pháp giải tổng quát:

Cho phép thử T có không gian mẫu là Ω Giả thiết rằng các kết quả có thể của T là đồng khảnăng Khi đó nếu E là một biến cố liên quan đến phép thử T thì xác suất của E được cho bởicông thức

P(E)=n(E)

n(Ω)

trong đó n (Ω) và n ( E) tương ứng là số phần tử của tập Ω và tập E

Chẳng hạn (Ví dụ 1, Trang 83, Tập 2, Toán 10, Bộ sách Kết nối Tri thức với Cuộc sống).

Một tổ trong lớp 10A có 10 học sinh trong đó có 6 học sinh nam và 4 học sinh nữ.Giáo viên chọn ngẫu nhiên 6 học sinh trong tổ đó để tham gia đội tình nguyện Mùa hè xanh.Tính xác suất của hai biến cố sau:

C: “6 học sinh được chọn đều là nam”;

D: “Trong 6 học sinh được chọn có 4 nam và 2 nữ”

Công đoạn 1 Chọn 4 học sinh nam từ 6 học sinh nam, có C64 =15 (cách chọn).

Công đoạn 2 Chọn 2 học sinh nữ từ 4 học sinh nữ, có C42

=6 (cách chọn).

Theo quy tắc nhân, tập D có 15 ∙ 6=90 (phần tử) Vậy n(D)=90, do đó P ( D)= 90

210=3

7.

Ví dụ 3 “Dạng toán xác định khoảng biến thiên dựa vào mẫu số liệu”.

Phương pháp giải tổng quát:

- Xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong mẫu số liệu

- Khoảng biến thiên, kí hiệu là R, là hiệu số giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trongmẫu số liệu

Chẳng hạn (Ví dụ 1, Trang 76, Tập 1, Toán 12, Bộ sách Kết nối Tri thức với Cuộc sống).

Thống kê thời gian sử dụng mạng xã hội trong ngày của các bạn Tổ 1, Tổ 2 lớp 12A,được kết quả như bảng sau:

2.3.1 Bài tập có quy tắc giải

Bài tập có quy tắc giải là bài tập có thuật toán/thuật giải Loại bài tập này thường

sử dụng để giải một lớp các bài toán

Ví dụ Dạng toán “Tính xác suất có điều kiện”.

Nhận xét 1) Mô tả về loại toán có quy tắc giải:

Bài tập có quy tắc giải là dạng bài tập mà học sinh có thể giải quyết bằng cách ápdụng một công thức, quy tắc hoặc phương pháp đã học Quá trình giải bài tập này thường đitheo một trình tự nhất định và có một kết quả duy nhất

2) Ưu điểm

- Giúp học sinh rèn luyện kĩ năng tính toán nhanh chóng, chính xác.

- Dễ dàng kiểm tra và đánh giá kết quả.

- Củng cố kiến thức nền tảng, giúp học sinh quen thuộc với các phương pháp giải toán cơbản

- …

3) Nhược điểm

- Học sinh có thể chỉ học thuộc công thức mà không hiểu bản chất của vấn đề.

- Ít kích thích tư duy sáng tạo và khả năng suy luận logic

- …

Ví dụ 1: “Dạng toán tính xác suất có điều kiện”.

Phương pháp giải tổng quát:

- Cho hai biến cố A và B Xác suất của biến cố A, tính trong điều kiện biến cố B đã xảy rađược gọi là xác suất của A với điều kiện B và kí hiệu là P(A|B);

- Sử dụng định nghĩa để tính xác suất có điều kiện (áp dụng với bài toán có thể tính được sốphần tử của các biến cố);

- Sử dụng công thức: P(A|B)=P(AB)

P(B) .

Chẳng hạn (Ví dụ 1, Trang 65, Tập 2, Toán 12, Bộ sách Kết nối Tri thức với Cuộc sống).

Một hộp có 20 viên bi trắng và 10 viên bi đen, các viên bi có cùng kích thước và khối

lượng Bạn Bình lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp, không trả lại Sau đó bạn An lấyngẫu nhiên một viên bi trong hộp đó

Gọi A là biến cố: “An lấy được viên bi trắng”; B là biến cố: “Bình lấy được viên bi trắng”

Gọi R1, R2 tương ứng là khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian

sử dụng mạng xã hội trong ngày của các bạn Tổ 1 và Tổ 2

Ta có: R1=90−0=90 và R2=60−0=60.

các bạn Tổ 1 phân tán hơn thời gian sử dụng mạng xã hội của các bạn Tổ 2

2.3.2 Bài tập không có quy tắc giải

Loại bài tập này chiếm phần lớn trong chương trình môn Toán ở trường trung họcbởi khi phải đòi hỏi học sinh phải linh hoạt, sáng tạo biến đổi để đưa về loại có quy tắc

Nhận xét 1) Mô tả về loại toán không có quy tắc giải:

Bài tập không có quy tắc giải là dạng bài tập mà không thể giải quyết bằng một côngthức hay phương pháp cố định Học sinh phải vận dụng tư duy, phân tích, thử nghiệm vàsáng tạo để tìm ra cách giải quyết phù hợp

2) Ưu điểm:

- Giúp học sinh phát triển tư duy phân tích, sáng tạo và khả năng giải quyết vấn đề

- Rèn luyện kĩ năng tổng hợp kiến thức từ nhiều lĩnh vực

- Áp dụng tốt vào thực tế, giúp học sinh hiểu rõ hơn về ý nghĩa của toán học trong đời sống

- …

3) Nhược điểm:

- Khó khăn trong việc đánh giá kết quả vì có nhiều cách tiếp cận khác nhau

- Học sinh có thể cảm thấy chán nản nếu không quen với việc tư duy mở

- …

Ví dụ Một nhóm học sinh gồm 6 nữ, 6 nam Hỏi có bao nhiêu cách xếp 12 bạn thành mộthàng dọc sao cho các bạn cùng phái thì đứng cạnh nhau?

Ví dụ này không có quy tắc giải vì:

- Khó có thể tính trực tiếp để được kết quả chính xác vì trong bài toán này số phần tử khá lớn nên trong quá trình đếm sẽ dễ bị mắc sai lầm là đếm thiếu (quên thứ tự các bạn trong nhóm,…) hoặc đếm thừa (đếm cả những trường hợp không thoả mãn điều kiện,…)

- Đòi hỏi học sinh nhớ đến kiến thức nền tảng là công thức tổng số hoán vị của n phần tử là

n !, và từ yêu cầu của bài toán mà vận dụng linh hoạt công thức này

Giải Ta coi cả 6 bạn nữ là một nhóm X; Cả 6 bạn nam là một nhóm Y

Ví dụ (Ví dụ 1, Trang 6, Tập 1, Toán 9, Bộ sách Kết nối Tri thức với Cuộc sống).

a) Trong các hệ thức 4 x+3 y=5; 0 x + y=1; 0 x +0 y=3, hệ thức nào là phương trình bậc nhất

hai ẩn? Hệ thức nào không là phương trình bậc nhất hai ẩn?

b) Trong các cặp số (2 ;1) và (1 ;0), cặp số nào là nghiệm của phương trình 4 x +3 y=5?

2.4.1.2 Hình học và Đo lường

Ví dụ (Ví dụ 1, Trang 91, Tập 1, Toán 9, Bộ sách Kết nối Tri thức với Cuộc sống).

Cho A và B là hai điểm trên đường tròn (O ;3 cm) sao cho ^AOB=120∘ Tính số đo và

độ dài các cung có hai mút A, B

2.4.1.3 Thống kê và Xác suất

Ví dụ (Ví dụ 1, Trang 57, Tập 2, Toán 9, Bộ sách Kết nối Tri thức với Cuộc sống).

Bạn Lan gieo một con xúc xắc và bạn Hoà gieo một đồng xu Quan sát số chấm xuất hiện trên con xúc xắc và mặt xuất hiện của đồng xu

a) Phép thử và kết quả của phép thử là gì?

b) Mô tả không gian mẫu của phép thử Không gian mẫu có bao nhiêu phần tử?

2.4.2 Trung học phổ thông

2.4.2.1 Đại số và Một số yếu tố giải tích

Ví dụ (Ví dụ 2, Trang 33, Tập 1, Toán 11, Bộ sách Kết nối Tri thức với Cuộc sống).

Giải các phương trình sau:

a) sin x=−√3

b) sin x=1

3

2.4.2.2 Hình học và Đo lường

Ví dụ (Ví dụ 1, Trang 96, Tập 1, Toán 11, Bộ sách Kết nối Tri thức với Cuộc sống).

Cho hình lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C '

a) Xác định hình chiếu của điểm A trên mặt phẳng (A ' B ' C ') theo phương CC '

b) Gọi M là một điểm thuộc đoạn thẳng AB Xác định hình chiếu của M trên mặt phẳng (

A ' B ' C ') theo phương CC '

2.4.2.3 Thống kê và Xác suất

Ví dụ (Ví dụ 1, Trang 59, Tập 1, Toán 11, Bộ sách Kết nối Tri thức với Cuộc sống).

Số tuổi Dưới 15 tuổi Từ 15 đến 65 tuổi Từ 65 tuổi trở lên

a) Mẫu số liệu đã cho là mẫu số liệu ghép nhóm

b) Có ba nhóm là: Dưới 15 tuổi, Từ 15 tuổi đến 65 tuổi, Từ 65 tuổi trở lên Có 23 371 882người dưới 15 tuổi; 65 420 451 người từ 15 tuổi đến dưới 65 tuổi và 7 416 651 người từ 65 tuổi trở lên

2.5 Các bước giải bài toán

Bước 1 Tìm hiểu nội dung đề bài (Cho; Tìm; Mối quan hệ Cho – Tìm )

Bước này yêu cầu học sinh phải đọc kĩ đề bài, nhớ những dữ kiện của bài toán đã chomột cách chính xác, nắm vững những yêu cầu của đề bài và xác định được mối quan hệ giữa

dữ kiện và yêu cầu của bài toán (nếu có)

Bước 2 Tóm tắt

- Gạch chân dưới những từ quan trọng mà nhiều khi học sinh đọc không kĩ đề bài nên đã bỏsót dẫn đến làm sai bài

2 MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN KHI DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP MẠCH XÁC SUẤT

VÀ THỐNG KÊ Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

2.1 Bài tập

Theo Từ điển tiếng Việt, “bài tập” có nghĩa là bài ra cho học sinh làm để vận dụng kiến thức đã học (Hoàng Phê, 2008) Định nghĩa này mới chỉ giải thích thuật ngữ “bài tập”

về mặt ngữ nghĩa chứ chưa làm rõ bản chất, vai trò của bài tập

Theo Thái Duy Tuyên (2007) “Bài tập là một hệ thông tin xác định, bao gồm những

điều kiện và yêu cầu đưa ra trong quá trình dạy học, đòi hỏi người học một lời giải đáp, mà lời giải đáp này về toàn bộ hoặc từng phần không ở trạng thái có sẵn của người giải tại thời điểm mà bài tập được đặt ra” (tr 244).

Theo chúng tôi, có thể hiểu bài tập là hệ thông tin giữa yếu tố đã cho, yếu tố cần tìm

và các điều kiện giúp xác lập một bản mô tả cụ thể các đặc trưng của đối tượng toán học vàmối quan hệ giữa chúng được phản ánh thông qua quá trình suy luận, tìm tòi, giải quyết vấn

đề của học sinh

Bài tập mạch Xác suất và Thống kê giúp tạo cho học sinh khả năng nhận thức vàphân tích các thông tin được thể hiện dưới nhiều hình thức khác nhau, hiểu bản chất xác suấtcủa nhiều sự phụ thuộc trong thực tế, hình thành sự hiểu biết về vai trò của thống kê như làmột nguồn thông tin quan trọng về mặt xã hội, biết áp dụng tư duy thống kê để phân tích dữliệu

Ví dụ (Bài 6.5, Trang 70, Tập 2, Toán 12, Bộ sách Kết nối Tri thức với Cuộc sống).

Bạn An phải thực hiện hai thí nghiệm liên tiếp Thí nghiệm thứ nhất có xác suất thànhcông là 0 , 7 Nếu thì nghiệm thứ nhất thành công thì xác suất thành công của thí nghiệm thứhai là 0 , 9 Nếu thí nghiệm thứ nhất không thành công thì xác suất thành công của thí nghiệmthứ hai chỉ là 0 , 4 Tính xác suất để:

a) Cả hai thí nghiệm đều thành công;

b) Cả hai thí nghiệm đều không thành công;

c) Thí nghiệm thứ nhất thành công và thí nghiệm thứ hai không thành công

Nhận xét Ở trường Trung học phổ thông:

- Người dạy là giáo viên.

- Người học là học sinh

2.2 Cấu trúc bài tập

Cấu trúc bài tập thường gồm các thành phần cơ bản sau:

1) Dữ kiện (yếu tố đã cho – “Cho/Giả thiết”)

2) Ẩn số (yếu tố cần tìm – “Tìm/Kết luận”)

Nhận xét Đôi khi bài toán có thêm điều kiện (mối quan hệ giữa “Cho” và “Tìm”)

Ví dụ 1 (Ví dụ 2, Trang 68, Tập 2, Toán 11, Bộ sách Kết nối Tri thức với Cuộc sống).

Một tổ trong lớp 11C có 9học sinh Phỏng vấn 9 bạn này với câu hỏi: “Bạn có biết

môn thể thao đó, không biết thì để trống Kết quả thu được như sau:

Môn thể

thao

Tên học sinh

AB là biến cố “Bình và An cùng lấy được viên bi trắng” Bình có 20cách chọn mộtviên bi trắng, An có 19 cách chọn một viên bi trắng trong 19 viên bi trắng còn lại.

Ví dụ 2: “Dạng toán tính xác suất theo định nghĩa cổ điển”.

Phương pháp giải tổng quát:

Cho phép thử T có không gian mẫu là Ω Giả thiết rằng các kết quả có thể của T là đồng khảnăng Khi đó nếu E là một biến cố liên quan đến phép thử T thì xác suất của E được cho bởicông thức

P(E)=n(E)

n(Ω)

trong đó n (Ω) và n ( E) tương ứng là số phần tử của tập Ω và tập E

Chẳng hạn (Ví dụ 1, Trang 83, Tập 2, Toán 10, Bộ sách Kết nối Tri thức với Cuộc sống).

Một tổ trong lớp 10A có 10 học sinh trong đó có 6 học sinh nam và 4 học sinh nữ.Giáo viên chọn ngẫu nhiên 6 học sinh trong tổ đó để tham gia đội tình nguyện Mùa hè xanh.Tính xác suất của hai biến cố sau:

C: “6 học sinh được chọn đều là nam”;

D: “Trong 6 học sinh được chọn có 4 nam và 2 nữ”

Công đoạn 1 Chọn 4 học sinh nam từ 6 học sinh nam, có C64 =15 (cách chọn).

Công đoạn 2 Chọn 2 học sinh nữ từ 4 học sinh nữ, có C42

=6 (cách chọn).

Theo quy tắc nhân, tập D có 15 ∙ 6=90 (phần tử) Vậy n(D)=90, do đó P ( D)= 90

210=3

7.

Ví dụ 3 “Dạng toán xác định khoảng biến thiên dựa vào mẫu số liệu”.

Phương pháp giải tổng quát:

- Xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong mẫu số liệu

- Khoảng biến thiên, kí hiệu là R, là hiệu số giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trongmẫu số liệu

Chẳng hạn (Ví dụ 1, Trang 76, Tập 1, Toán 12, Bộ sách Kết nối Tri thức với Cuộc sống).

Thống kê thời gian sử dụng mạng xã hội trong ngày của các bạn Tổ 1, Tổ 2 lớp 12A,được kết quả như bảng sau:

AB là biến cố “Bình và An cùng lấy được viên bi trắng” Bình có 20cách chọn mộtviên bi trắng, An có 19 cách chọn một viên bi trắng trong 19 viên bi trắng còn lại.

Ví dụ 2: “Dạng toán tính xác suất theo định nghĩa cổ điển”.

Phương pháp giải tổng quát:

Cho phép thử T có không gian mẫu là Ω Giả thiết rằng các kết quả có thể của T là đồng khảnăng Khi đó nếu E là một biến cố liên quan đến phép thử T thì xác suất của E được cho bởicông thức

P(E)=n(E)

n(Ω)

trong đó n (Ω) và n ( E) tương ứng là số phần tử của tập Ω và tập E

Chẳng hạn (Ví dụ 1, Trang 83, Tập 2, Toán 10, Bộ sách Kết nối Tri thức với Cuộc sống).

Một tổ trong lớp 10A có 10 học sinh trong đó có 6 học sinh nam và 4 học sinh nữ.Giáo viên chọn ngẫu nhiên 6 học sinh trong tổ đó để tham gia đội tình nguyện Mùa hè xanh.Tính xác suất của hai biến cố sau:

C: “6 học sinh được chọn đều là nam”;

D: “Trong 6 học sinh được chọn có 4 nam và 2 nữ”

Công đoạn 1 Chọn 4 học sinh nam từ 6 học sinh nam, có C64 =15 (cách chọn).

Công đoạn 2 Chọn 2 học sinh nữ từ 4 học sinh nữ, có C42

=6 (cách chọn).

Theo quy tắc nhân, tập D có 15 ∙ 6=90 (phần tử) Vậy n(D)=90, do đó P ( D)= 90

210=3

7.

Ví dụ 3 “Dạng toán xác định khoảng biến thiên dựa vào mẫu số liệu”.

Phương pháp giải tổng quát:

- Xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong mẫu số liệu

- Khoảng biến thiên, kí hiệu là R, là hiệu số giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trongmẫu số liệu

Chẳng hạn (Ví dụ 1, Trang 76, Tập 1, Toán 12, Bộ sách Kết nối Tri thức với Cuộc sống).

Thống kê thời gian sử dụng mạng xã hội trong ngày của các bạn Tổ 1, Tổ 2 lớp 12A,được kết quả như bảng sau:

2 MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN KHI DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP MẠCH XÁC SUẤT

VÀ THỐNG KÊ Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

2.1 Bài tập

Theo Từ điển tiếng Việt, “bài tập” có nghĩa là bài ra cho học sinh làm để vận dụng kiến thức đã học (Hoàng Phê, 2008) Định nghĩa này mới chỉ giải thích thuật ngữ “bài tập”

về mặt ngữ nghĩa chứ chưa làm rõ bản chất, vai trò của bài tập

Theo Thái Duy Tuyên (2007) “Bài tập là một hệ thông tin xác định, bao gồm những

điều kiện và yêu cầu đưa ra trong quá trình dạy học, đòi hỏi người học một lời giải đáp, mà lời giải đáp này về toàn bộ hoặc từng phần không ở trạng thái có sẵn của người giải tại thời điểm mà bài tập được đặt ra” (tr 244).

Theo chúng tôi, có thể hiểu bài tập là hệ thông tin giữa yếu tố đã cho, yếu tố cần tìm

và các điều kiện giúp xác lập một bản mô tả cụ thể các đặc trưng của đối tượng toán học vàmối quan hệ giữa chúng được phản ánh thông qua quá trình suy luận, tìm tòi, giải quyết vấn

đề của học sinh

Bài tập mạch Xác suất và Thống kê giúp tạo cho học sinh khả năng nhận thức vàphân tích các thông tin được thể hiện dưới nhiều hình thức khác nhau, hiểu bản chất xác suấtcủa nhiều sự phụ thuộc trong thực tế, hình thành sự hiểu biết về vai trò của thống kê như làmột nguồn thông tin quan trọng về mặt xã hội, biết áp dụng tư duy thống kê để phân tích dữliệu

Ví dụ (Bài 6.5, Trang 70, Tập 2, Toán 12, Bộ sách Kết nối Tri thức với Cuộc sống).

Bạn An phải thực hiện hai thí nghiệm liên tiếp Thí nghiệm thứ nhất có xác suất thànhcông là 0 , 7 Nếu thì nghiệm thứ nhất thành công thì xác suất thành công của thí nghiệm thứhai là 0 , 9 Nếu thí nghiệm thứ nhất không thành công thì xác suất thành công của thí nghiệmthứ hai chỉ là 0 , 4 Tính xác suất để:

a) Cả hai thí nghiệm đều thành công;

b) Cả hai thí nghiệm đều không thành công;

c) Thí nghiệm thứ nhất thành công và thí nghiệm thứ hai không thành công

Nhận xét Ở trường Trung học phổ thông:

- Người dạy là giáo viên.

- Người học là học sinh

2.2 Cấu trúc bài tập

Cấu trúc bài tập thường gồm các thành phần cơ bản sau:

1) Dữ kiện (yếu tố đã cho – “Cho/Giả thiết”)

2) Ẩn số (yếu tố cần tìm – “Tìm/Kết luận”)

Nhận xét Đôi khi bài toán có thêm điều kiện (mối quan hệ giữa “Cho” và “Tìm”)

Ví dụ 1 (Ví dụ 2, Trang 68, Tập 2, Toán 11, Bộ sách Kết nối Tri thức với Cuộc sống).

Một tổ trong lớp 11C có 9học sinh Phỏng vấn 9 bạn này với câu hỏi: “Bạn có biết

môn thể thao đó, không biết thì để trống Kết quả thu được như sau:

Môn thể

thao

Tên học sinh

1 ĐẶT VẤN ĐỀ

Trong bối cảnh ngày nay, giáo dục phổ thông đã mang đến những thay đổi đáng kểtrong mạch kiến thức Xác suất và Thống kê, tăng cường thời lượng và bổ sung nhiều kiếnthức mới Sự thay đổi này đặt ra yêu cầu cấp thiết về việc điều chỉnh phương pháp và kĩthuật dạy học để giúp cho người học có thể tiếp thu kiến thức mới một cách trọn vẹn

Người học thường gặp khó khăn trong việc tiếp cận các khái niệm trừu tượng, vậndụng công thức và giải quyết các bài toán phức tạp Người dạy cũng đối mặt với những khókhăn trong việc hướng dẫn người học tiếp cận bài toán một cách hệ thống, dẫn đến việc dễmắc lỗi khi giải bài toán

Trong dạy học giải bài tập, các bài toán mạch Xác suất và Thống kê không nhữngmang tính chất tư duy, lập luận cao mà có sự liên kết nhằm giải quyết bài toán trong thựctiễn Việc tìm hiểu các hoạt động dạy học giải bài tập nhằm nâng cao hiệu quả dạy học giảibài tập Xác suất và Thống kê là cần thiết, giúp người học tiếp thu được tốt hơn, rèn luyện tưduy phản biện, khả năng lập luận và ứng dụng kiến thức vào thực tiễn

Từ một số lí do trên, Nhóm 26 tìm hiểu đề tài “Một số vấn đề cơ bản khi dạy học giải

bài tập mạch Xác suất và Thống kê ở trường Trung học phổ thông”.

Cho A và B là hai điểm trên đường tròn (O ;3 cm) sao cho ^AOB=120∘ Tính số đo và

độ dài các cung có hai mút A, B

2.4.1.3 Thống kê và Xác suất

Ví dụ (Ví dụ 1, Trang 57, Tập 2, Toán 9, Bộ sách Kết nối Tri thức với Cuộc sống).

Bạn Lan gieo một con xúc xắc và bạn Hoà gieo một đồng xu Quan sát số chấm xuất hiện trên con xúc xắc và mặt xuất hiện của đồng xu

a) Phép thử và kết quả của phép thử là gì?

b) Mô tả không gian mẫu của phép thử Không gian mẫu có bao nhiêu phần tử?

2.4.2 Trung học phổ thông

2.4.2.1 Đại số và Một số yếu tố giải tích

Ví dụ (Ví dụ 2, Trang 33, Tập 1, Toán 11, Bộ sách Kết nối Tri thức với Cuộc sống).

Giải các phương trình sau:

a) sin x=−√3

b) sin x=1

3

2.4.2.2 Hình học và Đo lường

Ví dụ (Ví dụ 1, Trang 96, Tập 1, Toán 11, Bộ sách Kết nối Tri thức với Cuộc sống).

Cho hình lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C '

a) Xác định hình chiếu của điểm A trên mặt phẳng (A ' B ' C ') theo phương CC '

b) Gọi M là một điểm thuộc đoạn thẳng AB Xác định hình chiếu của M trên mặt phẳng (

A ' B ' C ') theo phương CC '

2.4.2.3 Thống kê và Xác suất

Ví dụ (Ví dụ 1, Trang 59, Tập 1, Toán 11, Bộ sách Kết nối Tri thức với Cuộc sống).

Số tuổi Dưới 15 tuổi Từ 15 đến 65 tuổi Từ 65 tuổi trở lên

a) Mẫu số liệu đã cho là mẫu số liệu ghép nhóm

b) Có ba nhóm là: Dưới 15 tuổi, Từ 15 tuổi đến 65 tuổi, Từ 65 tuổi trở lên Có 23 371 882người dưới 15 tuổi; 65 420 451 người từ 15 tuổi đến dưới 65 tuổi và 7 416 651 người từ 65 tuổi trở lên

2.5 Các bước giải bài toán

Bước 1 Tìm hiểu nội dung đề bài (Cho; Tìm; Mối quan hệ Cho – Tìm )

Bước này yêu cầu học sinh phải đọc kĩ đề bài, nhớ những dữ kiện của bài toán đã chomột cách chính xác, nắm vững những yêu cầu của đề bài và xác định được mối quan hệ giữa

dữ kiện và yêu cầu của bài toán (nếu có)

Bước 2 Tóm tắt

- Gạch chân dưới những từ quan trọng mà nhiều khi học sinh đọc không kĩ đề bài nên đã bỏsót dẫn đến làm sai bài

2.3.1 Bài tập có quy tắc giải

Bài tập có quy tắc giải là bài tập có thuật toán/thuật giải Loại bài tập này thường

sử dụng để giải một lớp các bài toán

Ví dụ Dạng toán “Tính xác suất có điều kiện”.

Nhận xét 1) Mô tả về loại toán có quy tắc giải:

Bài tập có quy tắc giải là dạng bài tập mà học sinh có thể giải quyết bằng cách ápdụng một công thức, quy tắc hoặc phương pháp đã học Quá trình giải bài tập này thường đitheo một trình tự nhất định và có một kết quả duy nhất

2) Ưu điểm

- Giúp học sinh rèn luyện kĩ năng tính toán nhanh chóng, chính xác.

- Dễ dàng kiểm tra và đánh giá kết quả.

- Củng cố kiến thức nền tảng, giúp học sinh quen thuộc với các phương pháp giải toán cơbản

- …

3) Nhược điểm

- Học sinh có thể chỉ học thuộc công thức mà không hiểu bản chất của vấn đề.

- Ít kích thích tư duy sáng tạo và khả năng suy luận logic

- …

Ví dụ 1: “Dạng toán tính xác suất có điều kiện”.

Phương pháp giải tổng quát:

- Cho hai biến cố A và B Xác suất của biến cố A, tính trong điều kiện biến cố B đã xảy rađược gọi là xác suất của A với điều kiện B và kí hiệu là P(A|B);

- Sử dụng định nghĩa để tính xác suất có điều kiện (áp dụng với bài toán có thể tính được sốphần tử của các biến cố);

- Sử dụng công thức: P(A|B)=P(AB)

P(B) .

Chẳng hạn (Ví dụ 1, Trang 65, Tập 2, Toán 12, Bộ sách Kết nối Tri thức với Cuộc sống).

Một hộp có 20 viên bi trắng và 10 viên bi đen, các viên bi có cùng kích thước và khối

lượng Bạn Bình lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp, không trả lại Sau đó bạn An lấyngẫu nhiên một viên bi trong hộp đó

Gọi A là biến cố: “An lấy được viên bi trắng”; B là biến cố: “Bình lấy được viên bi trắng”

AB là biến cố “Bình và An cùng lấy được viên bi trắng” Bình có 20cách chọn mộtviên bi trắng, An có 19 cách chọn một viên bi trắng trong 19 viên bi trắng còn lại.

Ví dụ 2: “Dạng toán tính xác suất theo định nghĩa cổ điển”.

Phương pháp giải tổng quát:

Cho phép thử T có không gian mẫu là Ω Giả thiết rằng các kết quả có thể của T là đồng khảnăng Khi đó nếu E là một biến cố liên quan đến phép thử T thì xác suất của E được cho bởicông thức

P(E)=n(E)

n(Ω)

trong đó n (Ω) và n ( E) tương ứng là số phần tử của tập Ω và tập E

Chẳng hạn (Ví dụ 1, Trang 83, Tập 2, Toán 10, Bộ sách Kết nối Tri thức với Cuộc sống).

Một tổ trong lớp 10A có 10 học sinh trong đó có 6 học sinh nam và 4 học sinh nữ.Giáo viên chọn ngẫu nhiên 6 học sinh trong tổ đó để tham gia đội tình nguyện Mùa hè xanh.Tính xác suất của hai biến cố sau:

C: “6 học sinh được chọn đều là nam”;

D: “Trong 6 học sinh được chọn có 4 nam và 2 nữ”

Công đoạn 1 Chọn 4 học sinh nam từ 6 học sinh nam, có C64 =15 (cách chọn).

Công đoạn 2 Chọn 2 học sinh nữ từ 4 học sinh nữ, có C42

=6 (cách chọn).

Theo quy tắc nhân, tập D có 15 ∙ 6=90 (phần tử) Vậy n(D)=90, do đó P ( D)= 90

210=3

7.

Ví dụ 3 “Dạng toán xác định khoảng biến thiên dựa vào mẫu số liệu”.

Phương pháp giải tổng quát:

- Xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong mẫu số liệu

- Khoảng biến thiên, kí hiệu là R, là hiệu số giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trongmẫu số liệu

Chẳng hạn (Ví dụ 1, Trang 76, Tập 1, Toán 12, Bộ sách Kết nối Tri thức với Cuộc sống).

Thống kê thời gian sử dụng mạng xã hội trong ngày của các bạn Tổ 1, Tổ 2 lớp 12A,được kết quả như bảng sau:

AB là biến cố “Bình và An cùng lấy được viên bi trắng” Bình có 20cách chọn mộtviên bi trắng, An có 19 cách chọn một viên bi trắng trong 19 viên bi trắng còn lại.

Ví dụ 2: “Dạng toán tính xác suất theo định nghĩa cổ điển”.

Phương pháp giải tổng quát:

Cho phép thử T có không gian mẫu là Ω Giả thiết rằng các kết quả có thể của T là đồng khảnăng Khi đó nếu E là một biến cố liên quan đến phép thử T thì xác suất của E được cho bởicông thức

P(E)=n(E)

n(Ω)

trong đó n (Ω) và n ( E) tương ứng là số phần tử của tập Ω và tập E

Chẳng hạn (Ví dụ 1, Trang 83, Tập 2, Toán 10, Bộ sách Kết nối Tri thức với Cuộc sống).

Một tổ trong lớp 10A có 10 học sinh trong đó có 6 học sinh nam và 4 học sinh nữ.Giáo viên chọn ngẫu nhiên 6 học sinh trong tổ đó để tham gia đội tình nguyện Mùa hè xanh.Tính xác suất của hai biến cố sau:

C: “6 học sinh được chọn đều là nam”;

D: “Trong 6 học sinh được chọn có 4 nam và 2 nữ”

Công đoạn 1 Chọn 4 học sinh nam từ 6 học sinh nam, có C64 =15 (cách chọn).

Công đoạn 2 Chọn 2 học sinh nữ từ 4 học sinh nữ, có C42

=6 (cách chọn).

Theo quy tắc nhân, tập D có 15 ∙ 6=90 (phần tử) Vậy n(D)=90, do đó P ( D)= 90

210=3

7.

Ví dụ 3 “Dạng toán xác định khoảng biến thiên dựa vào mẫu số liệu”.

Phương pháp giải tổng quát:

- Xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong mẫu số liệu

- Khoảng biến thiên, kí hiệu là R, là hiệu số giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trongmẫu số liệu

Chẳng hạn (Ví dụ 1, Trang 76, Tập 1, Toán 12, Bộ sách Kết nối Tri thức với Cuộc sống).

Thống kê thời gian sử dụng mạng xã hội trong ngày của các bạn Tổ 1, Tổ 2 lớp 12A,được kết quả như bảng sau:

Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong tổ Xét các biến cố sau:

U: “Học sinh được chọn biết chơi cầu lông”;

V: “Học sinh được chọn biết chơi bóng bàn”.

a) Mô tả không gian mẫu

- Bảng kết quả thu được sau khi hỏi 9 bạn học sinh

- U là biến cố: “Học sinh được chọn biết chơi cầu lông”; V là biến cố: “Học sinh được chọnbiết chơi bóng bàn”

Những ẩn số là yếu tố chưa biết, cần tìm Ví dụ ở trên yêu cầu mô tả không gian mẫu,xác định nội dung của biến cố giao T =UV và mỗi biến cố U , V ,T là tập con nào của khônggian mẫu

Ví dụ 2 (Ví dụ 4, Trang 68, Tập 2, Toán 12, Bộ sách Kết nối Tri thức với Cuộc sống).

Trong một hộp kín có 7 chiếc bút bi xanh và 5 chiếc bút bi đen, các chiếc bút có cùngkích thước và khối lượng Bạn Sơn lấy ngẫu nhiên một chiếc bút bi từ trong hộp, không trảlại Sau đó bạn Tùng lấy ngẫu nhiên một trong 11 chiếc bút còn lại Tính xác suất để Sơn lấyđược bút bi đen và Tùng lấy được bút bi xanh

Dữ kiện của bài toán là:

- Một hộp kín có 7 chiếc bút xanh và 5chiếc bút đen;

- Các chiếc bút cùng kích thước và khối lượng;

- Bạn Sơn lấy ngẫu nhiên một chiếc bút bi từ trong hộp, không trả lại và bạn Tùng lấy ngẫunhiên một trong 11 chiếc còn lại

Yêu cầu của bài toán là tính xác suất để Sơn lấy được bút bi đen và Tùng lấy được bút

bi xanh

Theo dữ kiện của ví dụ trên thì đã có tổng số bút trong hộp, số lượng bút của từngmàu và bạn Sơn lấy trước bạn Tùng, do đó ta có thể áp dụng:

- Tính xác suất bằng phương pháp cổ điển để tìm xác suất để Sơn lấy được bút bi đen

- Công thức nhân xác suất để tính xác suất bạn Tùng lấy được một bút bi xanh trong 11 chiếcbút còn lại

2.3 Các loại bài tập chính

2 MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN KHI DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP MẠCH XÁC SUẤT

VÀ THỐNG KÊ Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

2.1 Bài tập

Theo Từ điển tiếng Việt, “bài tập” có nghĩa là bài ra cho học sinh làm để vận dụng kiến thức đã học (Hoàng Phê, 2008) Định nghĩa này mới chỉ giải thích thuật ngữ “bài tập”

về mặt ngữ nghĩa chứ chưa làm rõ bản chất, vai trò của bài tập

Theo Thái Duy Tuyên (2007) “Bài tập là một hệ thông tin xác định, bao gồm những

điều kiện và yêu cầu đưa ra trong quá trình dạy học, đòi hỏi người học một lời giải đáp, mà lời giải đáp này về toàn bộ hoặc từng phần không ở trạng thái có sẵn của người giải tại thời điểm mà bài tập được đặt ra” (tr 244).

Theo chúng tôi, có thể hiểu bài tập là hệ thông tin giữa yếu tố đã cho, yếu tố cần tìm

và các điều kiện giúp xác lập một bản mô tả cụ thể các đặc trưng của đối tượng toán học vàmối quan hệ giữa chúng được phản ánh thông qua quá trình suy luận, tìm tòi, giải quyết vấn

đề của học sinh

Bài tập mạch Xác suất và Thống kê giúp tạo cho học sinh khả năng nhận thức vàphân tích các thông tin được thể hiện dưới nhiều hình thức khác nhau, hiểu bản chất xác suấtcủa nhiều sự phụ thuộc trong thực tế, hình thành sự hiểu biết về vai trò của thống kê như làmột nguồn thông tin quan trọng về mặt xã hội, biết áp dụng tư duy thống kê để phân tích dữliệu

Ví dụ (Bài 6.5, Trang 70, Tập 2, Toán 12, Bộ sách Kết nối Tri thức với Cuộc sống).

Bạn An phải thực hiện hai thí nghiệm liên tiếp Thí nghiệm thứ nhất có xác suất thànhcông là 0 , 7 Nếu thì nghiệm thứ nhất thành công thì xác suất thành công của thí nghiệm thứhai là 0 , 9 Nếu thí nghiệm thứ nhất không thành công thì xác suất thành công của thí nghiệmthứ hai chỉ là 0 , 4 Tính xác suất để:

a) Cả hai thí nghiệm đều thành công;

b) Cả hai thí nghiệm đều không thành công;

c) Thí nghiệm thứ nhất thành công và thí nghiệm thứ hai không thành công

Nhận xét Ở trường Trung học phổ thông:

- Người dạy là giáo viên.

- Người học là học sinh

2.2 Cấu trúc bài tập

Cấu trúc bài tập thường gồm các thành phần cơ bản sau:

1) Dữ kiện (yếu tố đã cho – “Cho/Giả thiết”)

2) Ẩn số (yếu tố cần tìm – “Tìm/Kết luận”)

Nhận xét Đôi khi bài toán có thêm điều kiện (mối quan hệ giữa “Cho” và “Tìm”)

Ví dụ 1 (Ví dụ 2, Trang 68, Tập 2, Toán 11, Bộ sách Kết nối Tri thức với Cuộc sống).

Một tổ trong lớp 11C có 9học sinh Phỏng vấn 9 bạn này với câu hỏi: “Bạn có biết

môn thể thao đó, không biết thì để trống Kết quả thu được như sau:

Môn thể

thao

Tên học sinh

Gọi R1, R2 tương ứng là khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian

sử dụng mạng xã hội trong ngày của các bạn Tổ 1 và Tổ 2

Ta có: R1=90−0=90 và R2=60−0=60.

các bạn Tổ 1 phân tán hơn thời gian sử dụng mạng xã hội của các bạn Tổ 2

2.3.2 Bài tập không có quy tắc giải

Loại bài tập này chiếm phần lớn trong chương trình môn Toán ở trường trung họcbởi khi phải đòi hỏi học sinh phải linh hoạt, sáng tạo biến đổi để đưa về loại có quy tắc

Nhận xét 1) Mô tả về loại toán không có quy tắc giải:

Bài tập không có quy tắc giải là dạng bài tập mà không thể giải quyết bằng một côngthức hay phương pháp cố định Học sinh phải vận dụng tư duy, phân tích, thử nghiệm vàsáng tạo để tìm ra cách giải quyết phù hợp

2) Ưu điểm:

- Giúp học sinh phát triển tư duy phân tích, sáng tạo và khả năng giải quyết vấn đề

- Rèn luyện kĩ năng tổng hợp kiến thức từ nhiều lĩnh vực

- Áp dụng tốt vào thực tế, giúp học sinh hiểu rõ hơn về ý nghĩa của toán học trong đời sống

- …

3) Nhược điểm:

- Khó khăn trong việc đánh giá kết quả vì có nhiều cách tiếp cận khác nhau

- Học sinh có thể cảm thấy chán nản nếu không quen với việc tư duy mở

- …

Ví dụ Một nhóm học sinh gồm 6 nữ, 6 nam Hỏi có bao nhiêu cách xếp 12 bạn thành mộthàng dọc sao cho các bạn cùng phái thì đứng cạnh nhau?

Ví dụ này không có quy tắc giải vì:

- Khó có thể tính trực tiếp để được kết quả chính xác vì trong bài toán này số phần tử khá lớn nên trong quá trình đếm sẽ dễ bị mắc sai lầm là đếm thiếu (quên thứ tự các bạn trong nhóm,…) hoặc đếm thừa (đếm cả những trường hợp không thoả mãn điều kiện,…)

- Đòi hỏi học sinh nhớ đến kiến thức nền tảng là công thức tổng số hoán vị của n phần tử là

n !, và từ yêu cầu của bài toán mà vận dụng linh hoạt công thức này

Giải Ta coi cả 6 bạn nữ là một nhóm X; Cả 6 bạn nam là một nhóm Y

Ví dụ (Ví dụ 1, Trang 6, Tập 1, Toán 9, Bộ sách Kết nối Tri thức với Cuộc sống).

a) Trong các hệ thức 4 x+3 y=5; 0 x + y=1; 0 x +0 y=3, hệ thức nào là phương trình bậc nhất

hai ẩn? Hệ thức nào không là phương trình bậc nhất hai ẩn?

b) Trong các cặp số (2 ;1) và (1 ;0), cặp số nào là nghiệm của phương trình 4 x +3 y=5?

2.4.1.2 Hình học và Đo lường

Ví dụ (Ví dụ 1, Trang 91, Tập 1, Toán 9, Bộ sách Kết nối Tri thức với Cuộc sống).

2 MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN KHI DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP MẠCH XÁC SUẤT

VÀ THỐNG KÊ Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

2.1 Bài tập

Theo Từ điển tiếng Việt, “bài tập” có nghĩa là bài ra cho học sinh làm để vận dụng kiến thức đã học (Hoàng Phê, 2008) Định nghĩa này mới chỉ giải thích thuật ngữ “bài tập”

về mặt ngữ nghĩa chứ chưa làm rõ bản chất, vai trò của bài tập

Theo Thái Duy Tuyên (2007) “Bài tập là một hệ thông tin xác định, bao gồm những

điều kiện và yêu cầu đưa ra trong quá trình dạy học, đòi hỏi người học một lời giải đáp, mà lời giải đáp này về toàn bộ hoặc từng phần không ở trạng thái có sẵn của người giải tại thời điểm mà bài tập được đặt ra” (tr 244).

Theo chúng tôi, có thể hiểu bài tập là hệ thông tin giữa yếu tố đã cho, yếu tố cần tìm

và các điều kiện giúp xác lập một bản mô tả cụ thể các đặc trưng của đối tượng toán học vàmối quan hệ giữa chúng được phản ánh thông qua quá trình suy luận, tìm tòi, giải quyết vấn

đề của học sinh

Bài tập mạch Xác suất và Thống kê giúp tạo cho học sinh khả năng nhận thức vàphân tích các thông tin được thể hiện dưới nhiều hình thức khác nhau, hiểu bản chất xác suấtcủa nhiều sự phụ thuộc trong thực tế, hình thành sự hiểu biết về vai trò của thống kê như làmột nguồn thông tin quan trọng về mặt xã hội, biết áp dụng tư duy thống kê để phân tích dữliệu

Ví dụ (Bài 6.5, Trang 70, Tập 2, Toán 12, Bộ sách Kết nối Tri thức với Cuộc sống).

Bạn An phải thực hiện hai thí nghiệm liên tiếp Thí nghiệm thứ nhất có xác suất thànhcông là 0 , 7 Nếu thì nghiệm thứ nhất thành công thì xác suất thành công của thí nghiệm thứhai là 0 , 9 Nếu thí nghiệm thứ nhất không thành công thì xác suất thành công của thí nghiệmthứ hai chỉ là 0 , 4 Tính xác suất để:

a) Cả hai thí nghiệm đều thành công;

b) Cả hai thí nghiệm đều không thành công;

c) Thí nghiệm thứ nhất thành công và thí nghiệm thứ hai không thành công

Nhận xét Ở trường Trung học phổ thông:

- Người dạy là giáo viên.

- Người học là học sinh

2.2 Cấu trúc bài tập

Cấu trúc bài tập thường gồm các thành phần cơ bản sau:

1) Dữ kiện (yếu tố đã cho – “Cho/Giả thiết”)

2) Ẩn số (yếu tố cần tìm – “Tìm/Kết luận”)

Nhận xét Đôi khi bài toán có thêm điều kiện (mối quan hệ giữa “Cho” và “Tìm”)

Ví dụ 1 (Ví dụ 2, Trang 68, Tập 2, Toán 11, Bộ sách Kết nối Tri thức với Cuộc sống).

Một tổ trong lớp 11C có 9học sinh Phỏng vấn 9 bạn này với câu hỏi: “Bạn có biết

môn thể thao đó, không biết thì để trống Kết quả thu được như sau:

Môn thể

thao

Tên học sinh

Cho A và B là hai điểm trên đường tròn (O ;3 cm) sao cho ^AOB=120∘ Tính số đo và

độ dài các cung có hai mút A, B

2.4.1.3 Thống kê và Xác suất

Ví dụ (Ví dụ 1, Trang 57, Tập 2, Toán 9, Bộ sách Kết nối Tri thức với Cuộc sống).

Bạn Lan gieo một con xúc xắc và bạn Hoà gieo một đồng xu Quan sát số chấm xuất hiện trên con xúc xắc và mặt xuất hiện của đồng xu

a) Phép thử và kết quả của phép thử là gì?

b) Mô tả không gian mẫu của phép thử Không gian mẫu có bao nhiêu phần tử?

2.4.2 Trung học phổ thông

2.4.2.1 Đại số và Một số yếu tố giải tích

Ví dụ (Ví dụ 2, Trang 33, Tập 1, Toán 11, Bộ sách Kết nối Tri thức với Cuộc sống).

Giải các phương trình sau:

a) sin x=−√3

b) sin x=1

3

2.4.2.2 Hình học và Đo lường

Ví dụ (Ví dụ 1, Trang 96, Tập 1, Toán 11, Bộ sách Kết nối Tri thức với Cuộc sống).

Cho hình lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C '

a) Xác định hình chiếu của điểm A trên mặt phẳng (A ' B ' C ') theo phương CC '

b) Gọi M là một điểm thuộc đoạn thẳng AB Xác định hình chiếu của M trên mặt phẳng (

A ' B ' C ') theo phương CC '

2.4.2.3 Thống kê và Xác suất

Ví dụ (Ví dụ 1, Trang 59, Tập 1, Toán 11, Bộ sách Kết nối Tri thức với Cuộc sống).

Số tuổi Dưới 15 tuổi Từ 15 đến 65 tuổi Từ 65 tuổi trở lên

a) Mẫu số liệu đã cho là mẫu số liệu ghép nhóm

b) Có ba nhóm là: Dưới 15 tuổi, Từ 15 tuổi đến 65 tuổi, Từ 65 tuổi trở lên Có 23 371 882người dưới 15 tuổi; 65 420 451 người từ 15 tuổi đến dưới 65 tuổi và 7 416 651 người từ 65 tuổi trở lên

2.5 Các bước giải bài toán

Bước 1 Tìm hiểu nội dung đề bài (Cho; Tìm; Mối quan hệ Cho – Tìm )

Bước này yêu cầu học sinh phải đọc kĩ đề bài, nhớ những dữ kiện của bài toán đã chomột cách chính xác, nắm vững những yêu cầu của đề bài và xác định được mối quan hệ giữa

dữ kiện và yêu cầu của bài toán (nếu có)

Bước 2 Tóm tắt

- Gạch chân dưới những từ quan trọng mà nhiều khi học sinh đọc không kĩ đề bài nên đã bỏsót dẫn đến làm sai bài

Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong tổ Xét các biến cố sau:

U: “Học sinh được chọn biết chơi cầu lông”;

V: “Học sinh được chọn biết chơi bóng bàn”.

a) Mô tả không gian mẫu

- Bảng kết quả thu được sau khi hỏi 9 bạn học sinh

- U là biến cố: “Học sinh được chọn biết chơi cầu lông”; V là biến cố: “Học sinh được chọnbiết chơi bóng bàn”

Những ẩn số là yếu tố chưa biết, cần tìm Ví dụ ở trên yêu cầu mô tả không gian mẫu,xác định nội dung của biến cố giao T =UV và mỗi biến cố U , V ,T là tập con nào của khônggian mẫu

Ví dụ 2 (Ví dụ 4, Trang 68, Tập 2, Toán 12, Bộ sách Kết nối Tri thức với Cuộc sống).

Trong một hộp kín có 7 chiếc bút bi xanh và 5 chiếc bút bi đen, các chiếc bút có cùngkích thước và khối lượng Bạn Sơn lấy ngẫu nhiên một chiếc bút bi từ trong hộp, không trảlại Sau đó bạn Tùng lấy ngẫu nhiên một trong 11 chiếc bút còn lại Tính xác suất để Sơn lấyđược bút bi đen và Tùng lấy được bút bi xanh

Dữ kiện của bài toán là:

- Một hộp kín có 7 chiếc bút xanh và 5chiếc bút đen;

- Các chiếc bút cùng kích thước và khối lượng;

- Bạn Sơn lấy ngẫu nhiên một chiếc bút bi từ trong hộp, không trả lại và bạn Tùng lấy ngẫunhiên một trong 11 chiếc còn lại

Yêu cầu của bài toán là tính xác suất để Sơn lấy được bút bi đen và Tùng lấy được bút

bi xanh

Theo dữ kiện của ví dụ trên thì đã có tổng số bút trong hộp, số lượng bút của từngmàu và bạn Sơn lấy trước bạn Tùng, do đó ta có thể áp dụng:

- Tính xác suất bằng phương pháp cổ điển để tìm xác suất để Sơn lấy được bút bi đen

- Công thức nhân xác suất để tính xác suất bạn Tùng lấy được một bút bi xanh trong 11 chiếcbút còn lại

2.3 Các loại bài tập chính

Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong tổ Xét các biến cố sau:

U: “Học sinh được chọn biết chơi cầu lông”;

V: “Học sinh được chọn biết chơi bóng bàn”.

a) Mô tả không gian mẫu

- Bảng kết quả thu được sau khi hỏi 9 bạn học sinh

- U là biến cố: “Học sinh được chọn biết chơi cầu lông”; V là biến cố: “Học sinh được chọnbiết chơi bóng bàn”

Những ẩn số là yếu tố chưa biết, cần tìm Ví dụ ở trên yêu cầu mô tả không gian mẫu,xác định nội dung của biến cố giao T =UV và mỗi biến cố U , V ,T là tập con nào của khônggian mẫu

Ví dụ 2 (Ví dụ 4, Trang 68, Tập 2, Toán 12, Bộ sách Kết nối Tri thức với Cuộc sống).

Trong một hộp kín có 7 chiếc bút bi xanh và 5 chiếc bút bi đen, các chiếc bút có cùngkích thước và khối lượng Bạn Sơn lấy ngẫu nhiên một chiếc bút bi từ trong hộp, không trảlại Sau đó bạn Tùng lấy ngẫu nhiên một trong 11 chiếc bút còn lại Tính xác suất để Sơn lấyđược bút bi đen và Tùng lấy được bút bi xanh

Dữ kiện của bài toán là:

- Một hộp kín có 7 chiếc bút xanh và 5chiếc bút đen;

- Các chiếc bút cùng kích thước và khối lượng;

- Bạn Sơn lấy ngẫu nhiên một chiếc bút bi từ trong hộp, không trả lại và bạn Tùng lấy ngẫunhiên một trong 11 chiếc còn lại

Yêu cầu của bài toán là tính xác suất để Sơn lấy được bút bi đen và Tùng lấy được bút

bi xanh

Theo dữ kiện của ví dụ trên thì đã có tổng số bút trong hộp, số lượng bút của từngmàu và bạn Sơn lấy trước bạn Tùng, do đó ta có thể áp dụng:

- Tính xác suất bằng phương pháp cổ điển để tìm xác suất để Sơn lấy được bút bi đen

- Công thức nhân xác suất để tính xác suất bạn Tùng lấy được một bút bi xanh trong 11 chiếcbút còn lại

2.3 Các loại bài tập chính

Gọi R1, R2 tương ứng là khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian

sử dụng mạng xã hội trong ngày của các bạn Tổ 1 và Tổ 2

Ta có: R1=90−0=90 và R2=60−0=60.

các bạn Tổ 1 phân tán hơn thời gian sử dụng mạng xã hội của các bạn Tổ 2

2.3.2 Bài tập không có quy tắc giải

Loại bài tập này chiếm phần lớn trong chương trình môn Toán ở trường trung họcbởi khi phải đòi hỏi học sinh phải linh hoạt, sáng tạo biến đổi để đưa về loại có quy tắc

Nhận xét 1) Mô tả về loại toán không có quy tắc giải:

Bài tập không có quy tắc giải là dạng bài tập mà không thể giải quyết bằng một côngthức hay phương pháp cố định Học sinh phải vận dụng tư duy, phân tích, thử nghiệm vàsáng tạo để tìm ra cách giải quyết phù hợp

2) Ưu điểm:

- Giúp học sinh phát triển tư duy phân tích, sáng tạo và khả năng giải quyết vấn đề

- Rèn luyện kĩ năng tổng hợp kiến thức từ nhiều lĩnh vực

- Áp dụng tốt vào thực tế, giúp học sinh hiểu rõ hơn về ý nghĩa của toán học trong đời sống

- …

3) Nhược điểm:

- Khó khăn trong việc đánh giá kết quả vì có nhiều cách tiếp cận khác nhau

- Học sinh có thể cảm thấy chán nản nếu không quen với việc tư duy mở

- …

Ví dụ Một nhóm học sinh gồm 6 nữ, 6 nam Hỏi có bao nhiêu cách xếp 12 bạn thành mộthàng dọc sao cho các bạn cùng phái thì đứng cạnh nhau?

Ví dụ này không có quy tắc giải vì:

- Khó có thể tính trực tiếp để được kết quả chính xác vì trong bài toán này số phần tử khá lớn nên trong quá trình đếm sẽ dễ bị mắc sai lầm là đếm thiếu (quên thứ tự các bạn trong nhóm,…) hoặc đếm thừa (đếm cả những trường hợp không thoả mãn điều kiện,…)

- Đòi hỏi học sinh nhớ đến kiến thức nền tảng là công thức tổng số hoán vị của n phần tử là

n !, và từ yêu cầu của bài toán mà vận dụng linh hoạt công thức này

Giải Ta coi cả 6 bạn nữ là một nhóm X; Cả 6 bạn nam là một nhóm Y

Ví dụ (Ví dụ 1, Trang 6, Tập 1, Toán 9, Bộ sách Kết nối Tri thức với Cuộc sống).

a) Trong các hệ thức 4 x+3 y=5; 0 x + y=1; 0 x +0 y=3, hệ thức nào là phương trình bậc nhất

hai ẩn? Hệ thức nào không là phương trình bậc nhất hai ẩn?

b) Trong các cặp số (2 ;1) và (1 ;0), cặp số nào là nghiệm của phương trình 4 x +3 y=5?

2.4.1.2 Hình học và Đo lường

Ví dụ (Ví dụ 1, Trang 91, Tập 1, Toán 9, Bộ sách Kết nối Tri thức với Cuộc sống).

2.3.1 Bài tập có quy tắc giải

Bài tập có quy tắc giải là bài tập có thuật toán/thuật giải Loại bài tập này thường

sử dụng để giải một lớp các bài toán

Ví dụ Dạng toán “Tính xác suất có điều kiện”.

Nhận xét 1) Mô tả về loại toán có quy tắc giải:

Bài tập có quy tắc giải là dạng bài tập mà học sinh có thể giải quyết bằng cách ápdụng một công thức, quy tắc hoặc phương pháp đã học Quá trình giải bài tập này thường đitheo một trình tự nhất định và có một kết quả duy nhất

2) Ưu điểm

- Giúp học sinh rèn luyện kĩ năng tính toán nhanh chóng, chính xác.

- Dễ dàng kiểm tra và đánh giá kết quả.

- Củng cố kiến thức nền tảng, giúp học sinh quen thuộc với các phương pháp giải toán cơbản

- …

3) Nhược điểm

- Học sinh có thể chỉ học thuộc công thức mà không hiểu bản chất của vấn đề.

- Ít kích thích tư duy sáng tạo và khả năng suy luận logic

- …

Ví dụ 1: “Dạng toán tính xác suất có điều kiện”.

Phương pháp giải tổng quát:

- Cho hai biến cố A và B Xác suất của biến cố A, tính trong điều kiện biến cố B đã xảy rađược gọi là xác suất của A với điều kiện B và kí hiệu là P(A|B);

- Sử dụng định nghĩa để tính xác suất có điều kiện (áp dụng với bài toán có thể tính được sốphần tử của các biến cố);

- Sử dụng công thức: P(A|B)=P(AB)

P(B) .

Chẳng hạn (Ví dụ 1, Trang 65, Tập 2, Toán 12, Bộ sách Kết nối Tri thức với Cuộc sống).

Một hộp có 20 viên bi trắng và 10 viên bi đen, các viên bi có cùng kích thước và khối

lượng Bạn Bình lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp, không trả lại Sau đó bạn An lấyngẫu nhiên một viên bi trong hộp đó

Gọi A là biến cố: “An lấy được viên bi trắng”; B là biến cố: “Bình lấy được viên bi trắng”

Gọi R1, R2 tương ứng là khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian

sử dụng mạng xã hội trong ngày của các bạn Tổ 1 và Tổ 2

Ta có: R1=90−0=90 và R2=60−0=60.

các bạn Tổ 1 phân tán hơn thời gian sử dụng mạng xã hội của các bạn Tổ 2

2.3.2 Bài tập không có quy tắc giải

Loại bài tập này chiếm phần lớn trong chương trình môn Toán ở trường trung họcbởi khi phải đòi hỏi học sinh phải linh hoạt, sáng tạo biến đổi để đưa về loại có quy tắc

Nhận xét 1) Mô tả về loại toán không có quy tắc giải:

Bài tập không có quy tắc giải là dạng bài tập mà không thể giải quyết bằng một côngthức hay phương pháp cố định Học sinh phải vận dụng tư duy, phân tích, thử nghiệm vàsáng tạo để tìm ra cách giải quyết phù hợp

2) Ưu điểm:

- Giúp học sinh phát triển tư duy phân tích, sáng tạo và khả năng giải quyết vấn đề

- Rèn luyện kĩ năng tổng hợp kiến thức từ nhiều lĩnh vực

- Áp dụng tốt vào thực tế, giúp học sinh hiểu rõ hơn về ý nghĩa của toán học trong đời sống

- …

3) Nhược điểm:

- Khó khăn trong việc đánh giá kết quả vì có nhiều cách tiếp cận khác nhau

- Học sinh có thể cảm thấy chán nản nếu không quen với việc tư duy mở

- …

Ví dụ Một nhóm học sinh gồm 6 nữ, 6 nam Hỏi có bao nhiêu cách xếp 12 bạn thành mộthàng dọc sao cho các bạn cùng phái thì đứng cạnh nhau?

Ví dụ này không có quy tắc giải vì:

- Khó có thể tính trực tiếp để được kết quả chính xác vì trong bài toán này số phần tử khá lớn nên trong quá trình đếm sẽ dễ bị mắc sai lầm là đếm thiếu (quên thứ tự các bạn trong nhóm,…) hoặc đếm thừa (đếm cả những trường hợp không thoả mãn điều kiện,…)

- Đòi hỏi học sinh nhớ đến kiến thức nền tảng là công thức tổng số hoán vị của n phần tử là

n !, và từ yêu cầu của bài toán mà vận dụng linh hoạt công thức này

Giải Ta coi cả 6 bạn nữ là một nhóm X; Cả 6 bạn nam là một nhóm Y

Ví dụ (Ví dụ 1, Trang 6, Tập 1, Toán 9, Bộ sách Kết nối Tri thức với Cuộc sống).

a) Trong các hệ thức 4 x+3 y=5; 0 x + y=1; 0 x +0 y=3, hệ thức nào là phương trình bậc nhất

hai ẩn? Hệ thức nào không là phương trình bậc nhất hai ẩn?

b) Trong các cặp số (2 ;1) và (1 ;0), cặp số nào là nghiệm của phương trình 4 x +3 y=5?

2.4.1.2 Hình học và Đo lường

Ví dụ (Ví dụ 1, Trang 91, Tập 1, Toán 9, Bộ sách Kết nối Tri thức với Cuộc sống).

2 MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN KHI DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP MẠCH XÁC SUẤT

VÀ THỐNG KÊ Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

2.1 Bài tập

Theo Từ điển tiếng Việt, “bài tập” có nghĩa là bài ra cho học sinh làm để vận dụng kiến thức đã học (Hoàng Phê, 2008) Định nghĩa này mới chỉ giải thích thuật ngữ “bài tập”

về mặt ngữ nghĩa chứ chưa làm rõ bản chất, vai trò của bài tập

Theo Thái Duy Tuyên (2007) “Bài tập là một hệ thông tin xác định, bao gồm những

điều kiện và yêu cầu đưa ra trong quá trình dạy học, đòi hỏi người học một lời giải đáp, mà lời giải đáp này về toàn bộ hoặc từng phần không ở trạng thái có sẵn của người giải tại thời điểm mà bài tập được đặt ra” (tr 244).

Theo chúng tôi, có thể hiểu bài tập là hệ thông tin giữa yếu tố đã cho, yếu tố cần tìm

và các điều kiện giúp xác lập một bản mô tả cụ thể các đặc trưng của đối tượng toán học vàmối quan hệ giữa chúng được phản ánh thông qua quá trình suy luận, tìm tòi, giải quyết vấn

đề của học sinh

Bài tập mạch Xác suất và Thống kê giúp tạo cho học sinh khả năng nhận thức vàphân tích các thông tin được thể hiện dưới nhiều hình thức khác nhau, hiểu bản chất xác suấtcủa nhiều sự phụ thuộc trong thực tế, hình thành sự hiểu biết về vai trò của thống kê như làmột nguồn thông tin quan trọng về mặt xã hội, biết áp dụng tư duy thống kê để phân tích dữliệu

Ví dụ (Bài 6.5, Trang 70, Tập 2, Toán 12, Bộ sách Kết nối Tri thức với Cuộc sống).

Bạn An phải thực hiện hai thí nghiệm liên tiếp Thí nghiệm thứ nhất có xác suất thànhcông là 0 , 7 Nếu thì nghiệm thứ nhất thành công thì xác suất thành công của thí nghiệm thứhai là 0 , 9 Nếu thí nghiệm thứ nhất không thành công thì xác suất thành công của thí nghiệmthứ hai chỉ là 0 , 4 Tính xác suất để:

a) Cả hai thí nghiệm đều thành công;

b) Cả hai thí nghiệm đều không thành công;

c) Thí nghiệm thứ nhất thành công và thí nghiệm thứ hai không thành công

Nhận xét Ở trường Trung học phổ thông:

- Người dạy là giáo viên.

- Người học là học sinh

2.2 Cấu trúc bài tập

Cấu trúc bài tập thường gồm các thành phần cơ bản sau:

1) Dữ kiện (yếu tố đã cho – “Cho/Giả thiết”)

2) Ẩn số (yếu tố cần tìm – “Tìm/Kết luận”)

Nhận xét Đôi khi bài toán có thêm điều kiện (mối quan hệ giữa “Cho” và “Tìm”)

Ví dụ 1 (Ví dụ 2, Trang 68, Tập 2, Toán 11, Bộ sách Kết nối Tri thức với Cuộc sống).

Một tổ trong lớp 11C có 9học sinh Phỏng vấn 9 bạn này với câu hỏi: “Bạn có biết

môn thể thao đó, không biết thì để trống Kết quả thu được như sau:

Môn thể

thao

Tên học sinh

Gọi R1, R2 tương ứng là khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian

sử dụng mạng xã hội trong ngày của các bạn Tổ 1 và Tổ 2

Ta có: R1=90−0=90 và R2=60−0=60.

các bạn Tổ 1 phân tán hơn thời gian sử dụng mạng xã hội của các bạn Tổ 2

2.3.2 Bài tập không có quy tắc giải

Loại bài tập này chiếm phần lớn trong chương trình môn Toán ở trường trung họcbởi khi phải đòi hỏi học sinh phải linh hoạt, sáng tạo biến đổi để đưa về loại có quy tắc

Nhận xét 1) Mô tả về loại toán không có quy tắc giải:

Bài tập không có quy tắc giải là dạng bài tập mà không thể giải quyết bằng một côngthức hay phương pháp cố định Học sinh phải vận dụng tư duy, phân tích, thử nghiệm vàsáng tạo để tìm ra cách giải quyết phù hợp

2) Ưu điểm:

- Giúp học sinh phát triển tư duy phân tích, sáng tạo và khả năng giải quyết vấn đề

- Rèn luyện kĩ năng tổng hợp kiến thức từ nhiều lĩnh vực

- Áp dụng tốt vào thực tế, giúp học sinh hiểu rõ hơn về ý nghĩa của toán học trong đời sống

- …

3) Nhược điểm:

- Khó khăn trong việc đánh giá kết quả vì có nhiều cách tiếp cận khác nhau

- Học sinh có thể cảm thấy chán nản nếu không quen với việc tư duy mở

- …

Ví dụ Một nhóm học sinh gồm 6 nữ, 6 nam Hỏi có bao nhiêu cách xếp 12 bạn thành mộthàng dọc sao cho các bạn cùng phái thì đứng cạnh nhau?

Ví dụ này không có quy tắc giải vì:

- Khó có thể tính trực tiếp để được kết quả chính xác vì trong bài toán này số phần tử khá lớn nên trong quá trình đếm sẽ dễ bị mắc sai lầm là đếm thiếu (quên thứ tự các bạn trong nhóm,…) hoặc đếm thừa (đếm cả những trường hợp không thoả mãn điều kiện,…)

- Đòi hỏi học sinh nhớ đến kiến thức nền tảng là công thức tổng số hoán vị của n phần tử là

n !, và từ yêu cầu của bài toán mà vận dụng linh hoạt công thức này

Giải Ta coi cả 6 bạn nữ là một nhóm X; Cả 6 bạn nam là một nhóm Y

Ví dụ (Ví dụ 1, Trang 6, Tập 1, Toán 9, Bộ sách Kết nối Tri thức với Cuộc sống).

a) Trong các hệ thức 4 x+3 y=5; 0 x + y=1; 0 x +0 y=3, hệ thức nào là phương trình bậc nhất

hai ẩn? Hệ thức nào không là phương trình bậc nhất hai ẩn?

b) Trong các cặp số (2 ;1) và (1 ;0), cặp số nào là nghiệm của phương trình 4 x +3 y=5?

2.4.1.2 Hình học và Đo lường

Ví dụ (Ví dụ 1, Trang 91, Tập 1, Toán 9, Bộ sách Kết nối Tri thức với Cuộc sống).

2.3.1 Bài tập có quy tắc giải

Bài tập có quy tắc giải là bài tập có thuật toán/thuật giải Loại bài tập này thường

sử dụng để giải một lớp các bài toán

Ví dụ Dạng toán “Tính xác suất có điều kiện”.

Nhận xét 1) Mô tả về loại toán có quy tắc giải:

Bài tập có quy tắc giải là dạng bài tập mà học sinh có thể giải quyết bằng cách ápdụng một công thức, quy tắc hoặc phương pháp đã học Quá trình giải bài tập này thường đitheo một trình tự nhất định và có một kết quả duy nhất

2) Ưu điểm

- Giúp học sinh rèn luyện kĩ năng tính toán nhanh chóng, chính xác.

- Dễ dàng kiểm tra và đánh giá kết quả.

- Củng cố kiến thức nền tảng, giúp học sinh quen thuộc với các phương pháp giải toán cơbản

- …

3) Nhược điểm

- Học sinh có thể chỉ học thuộc công thức mà không hiểu bản chất của vấn đề.

- Ít kích thích tư duy sáng tạo và khả năng suy luận logic

- …

Ví dụ 1: “Dạng toán tính xác suất có điều kiện”.

Phương pháp giải tổng quát:

- Cho hai biến cố A và B Xác suất của biến cố A, tính trong điều kiện biến cố B đã xảy rađược gọi là xác suất của A với điều kiện B và kí hiệu là P(A|B);

- Sử dụng định nghĩa để tính xác suất có điều kiện (áp dụng với bài toán có thể tính được sốphần tử của các biến cố);

- Sử dụng công thức: P(A|B)=P(AB)

P(B) .

Chẳng hạn (Ví dụ 1, Trang 65, Tập 2, Toán 12, Bộ sách Kết nối Tri thức với Cuộc sống).

Một hộp có 20 viên bi trắng và 10 viên bi đen, các viên bi có cùng kích thước và khối

lượng Bạn Bình lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp, không trả lại Sau đó bạn An lấyngẫu nhiên một viên bi trong hộp đó

Gọi A là biến cố: “An lấy được viên bi trắng”; B là biến cố: “Bình lấy được viên bi trắng”

Cho A và B là hai điểm trên đường tròn (O ;3 cm) sao cho ^AOB=120∘ Tính số đo và

độ dài các cung có hai mút A, B

2.4.1.3 Thống kê và Xác suất

Ví dụ (Ví dụ 1, Trang 57, Tập 2, Toán 9, Bộ sách Kết nối Tri thức với Cuộc sống).

Bạn Lan gieo một con xúc xắc và bạn Hoà gieo một đồng xu Quan sát số chấm xuất hiện trên con xúc xắc và mặt xuất hiện của đồng xu

a) Phép thử và kết quả của phép thử là gì?

b) Mô tả không gian mẫu của phép thử Không gian mẫu có bao nhiêu phần tử?

2.4.2 Trung học phổ thông

2.4.2.1 Đại số và Một số yếu tố giải tích

Ví dụ (Ví dụ 2, Trang 33, Tập 1, Toán 11, Bộ sách Kết nối Tri thức với Cuộc sống).

Giải các phương trình sau:

a) sin x=−√3

b) sin x=1

3

2.4.2.2 Hình học và Đo lường

Ví dụ (Ví dụ 1, Trang 96, Tập 1, Toán 11, Bộ sách Kết nối Tri thức với Cuộc sống).

Cho hình lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C '

a) Xác định hình chiếu của điểm A trên mặt phẳng (A ' B ' C ') theo phương CC '

b) Gọi M là một điểm thuộc đoạn thẳng AB Xác định hình chiếu của M trên mặt phẳng (

A ' B ' C ') theo phương CC '

2.4.2.3 Thống kê và Xác suất

Ví dụ (Ví dụ 1, Trang 59, Tập 1, Toán 11, Bộ sách Kết nối Tri thức với Cuộc sống).

Số tuổi Dưới 15 tuổi Từ 15 đến 65 tuổi Từ 65 tuổi trở lên

a) Mẫu số liệu đã cho là mẫu số liệu ghép nhóm

b) Có ba nhóm là: Dưới 15 tuổi, Từ 15 tuổi đến 65 tuổi, Từ 65 tuổi trở lên Có 23 371 882người dưới 15 tuổi; 65 420 451 người từ 15 tuổi đến dưới 65 tuổi và 7 416 651 người từ 65 tuổi trở lên

2.5 Các bước giải bài toán

Bước 1 Tìm hiểu nội dung đề bài (Cho; Tìm; Mối quan hệ Cho – Tìm )

Bước này yêu cầu học sinh phải đọc kĩ đề bài, nhớ những dữ kiện của bài toán đã chomột cách chính xác, nắm vững những yêu cầu của đề bài và xác định được mối quan hệ giữa

dữ kiện và yêu cầu của bài toán (nếu có)

Bước 2 Tóm tắt

- Gạch chân dưới những từ quan trọng mà nhiều khi học sinh đọc không kĩ đề bài nên đã bỏsót dẫn đến làm sai bài

Cho A và B là hai điểm trên đường tròn (O ;3 cm) sao cho ^AOB=120∘ Tính số đo và

độ dài các cung có hai mút A, B

2.4.1.3 Thống kê và Xác suất

Ví dụ (Ví dụ 1, Trang 57, Tập 2, Toán 9, Bộ sách Kết nối Tri thức với Cuộc sống).

Bạn Lan gieo một con xúc xắc và bạn Hoà gieo một đồng xu Quan sát số chấm xuất hiện trên con xúc xắc và mặt xuất hiện của đồng xu

a) Phép thử và kết quả của phép thử là gì?

b) Mô tả không gian mẫu của phép thử Không gian mẫu có bao nhiêu phần tử?

2.4.2 Trung học phổ thông

2.4.2.1 Đại số và Một số yếu tố giải tích

Ví dụ (Ví dụ 2, Trang 33, Tập 1, Toán 11, Bộ sách Kết nối Tri thức với Cuộc sống).

Giải các phương trình sau:

a) sin x=−√3

b) sin x=1

3

2.4.2.2 Hình học và Đo lường

Ví dụ (Ví dụ 1, Trang 96, Tập 1, Toán 11, Bộ sách Kết nối Tri thức với Cuộc sống).

Cho hình lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C '

a) Xác định hình chiếu của điểm A trên mặt phẳng (A ' B ' C ') theo phương CC '

b) Gọi M là một điểm thuộc đoạn thẳng AB Xác định hình chiếu của M trên mặt phẳng (

A ' B ' C ') theo phương CC '

2.4.2.3 Thống kê và Xác suất

Ví dụ (Ví dụ 1, Trang 59, Tập 1, Toán 11, Bộ sách Kết nối Tri thức với Cuộc sống).

Số tuổi Dưới 15 tuổi Từ 15 đến 65 tuổi Từ 65 tuổi trở lên

a) Mẫu số liệu đã cho là mẫu số liệu ghép nhóm

b) Có ba nhóm là: Dưới 15 tuổi, Từ 15 tuổi đến 65 tuổi, Từ 65 tuổi trở lên Có 23 371 882người dưới 15 tuổi; 65 420 451 người từ 15 tuổi đến dưới 65 tuổi và 7 416 651 người từ 65 tuổi trở lên

2.5 Các bước giải bài toán

Bước 1 Tìm hiểu nội dung đề bài (Cho; Tìm; Mối quan hệ Cho – Tìm )

Bước này yêu cầu học sinh phải đọc kĩ đề bài, nhớ những dữ kiện của bài toán đã chomột cách chính xác, nắm vững những yêu cầu của đề bài và xác định được mối quan hệ giữa

dữ kiện và yêu cầu của bài toán (nếu có)

Bước 2 Tóm tắt

- Gạch chân dưới những từ quan trọng mà nhiều khi học sinh đọc không kĩ đề bài nên đã bỏsót dẫn đến làm sai bài

Gọi R1, R2 tương ứng là khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian

sử dụng mạng xã hội trong ngày của các bạn Tổ 1 và Tổ 2

Ta có: R1=90−0=90 và R2=60−0=60.

các bạn Tổ 1 phân tán hơn thời gian sử dụng mạng xã hội của các bạn Tổ 2

2.3.2 Bài tập không có quy tắc giải

Loại bài tập này chiếm phần lớn trong chương trình môn Toán ở trường trung họcbởi khi phải đòi hỏi học sinh phải linh hoạt, sáng tạo biến đổi để đưa về loại có quy tắc

Nhận xét 1) Mô tả về loại toán không có quy tắc giải:

Bài tập không có quy tắc giải là dạng bài tập mà không thể giải quyết bằng một côngthức hay phương pháp cố định Học sinh phải vận dụng tư duy, phân tích, thử nghiệm vàsáng tạo để tìm ra cách giải quyết phù hợp

2) Ưu điểm:

- Giúp học sinh phát triển tư duy phân tích, sáng tạo và khả năng giải quyết vấn đề

- Rèn luyện kĩ năng tổng hợp kiến thức từ nhiều lĩnh vực

- Áp dụng tốt vào thực tế, giúp học sinh hiểu rõ hơn về ý nghĩa của toán học trong đời sống

- …

3) Nhược điểm:

- Khó khăn trong việc đánh giá kết quả vì có nhiều cách tiếp cận khác nhau

- Học sinh có thể cảm thấy chán nản nếu không quen với việc tư duy mở

- …

Ví dụ Một nhóm học sinh gồm 6 nữ, 6 nam Hỏi có bao nhiêu cách xếp 12 bạn thành mộthàng dọc sao cho các bạn cùng phái thì đứng cạnh nhau?

Ví dụ này không có quy tắc giải vì:

- Khó có thể tính trực tiếp để được kết quả chính xác vì trong bài toán này số phần tử khá lớn nên trong quá trình đếm sẽ dễ bị mắc sai lầm là đếm thiếu (quên thứ tự các bạn trong nhóm,…) hoặc đếm thừa (đếm cả những trường hợp không thoả mãn điều kiện,…)

- Đòi hỏi học sinh nhớ đến kiến thức nền tảng là công thức tổng số hoán vị của n phần tử là

n !, và từ yêu cầu của bài toán mà vận dụng linh hoạt công thức này

Giải Ta coi cả 6 bạn nữ là một nhóm X; Cả 6 bạn nam là một nhóm Y

Ví dụ (Ví dụ 1, Trang 6, Tập 1, Toán 9, Bộ sách Kết nối Tri thức với Cuộc sống).

a) Trong các hệ thức 4 x+3 y=5; 0 x + y=1; 0 x +0 y=3, hệ thức nào là phương trình bậc nhất

hai ẩn? Hệ thức nào không là phương trình bậc nhất hai ẩn?

b) Trong các cặp số (2 ;1) và (1 ;0), cặp số nào là nghiệm của phương trình 4 x +3 y=5?

2.4.1.2 Hình học và Đo lường

Ví dụ (Ví dụ 1, Trang 91, Tập 1, Toán 9, Bộ sách Kết nối Tri thức với Cuộc sống).

1 ĐẶT VẤN ĐỀ

Trong bối cảnh ngày nay, giáo dục phổ thông đã mang đến những thay đổi đáng kểtrong mạch kiến thức Xác suất và Thống kê, tăng cường thời lượng và bổ sung nhiều kiếnthức mới Sự thay đổi này đặt ra yêu cầu cấp thiết về việc điều chỉnh phương pháp và kĩthuật dạy học để giúp cho người học có thể tiếp thu kiến thức mới một cách trọn vẹn

Người học thường gặp khó khăn trong việc tiếp cận các khái niệm trừu tượng, vậndụng công thức và giải quyết các bài toán phức tạp Người dạy cũng đối mặt với những khókhăn trong việc hướng dẫn người học tiếp cận bài toán một cách hệ thống, dẫn đến việc dễmắc lỗi khi giải bài toán

Trong dạy học giải bài tập, các bài toán mạch Xác suất và Thống kê không nhữngmang tính chất tư duy, lập luận cao mà có sự liên kết nhằm giải quyết bài toán trong thựctiễn Việc tìm hiểu các hoạt động dạy học giải bài tập nhằm nâng cao hiệu quả dạy học giảibài tập Xác suất và Thống kê là cần thiết, giúp người học tiếp thu được tốt hơn, rèn luyện tưduy phản biện, khả năng lập luận và ứng dụng kiến thức vào thực tiễn

Từ một số lí do trên, Nhóm 26 tìm hiểu đề tài “Một số vấn đề cơ bản khi dạy học giải

bài tập mạch Xác suất và Thống kê ở trường Trung học phổ thông”.

2 MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN KHI DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP MẠCH XÁC SUẤT

VÀ THỐNG KÊ Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

2.1 Bài tập

Theo Từ điển tiếng Việt, “bài tập” có nghĩa là bài ra cho học sinh làm để vận dụng kiến thức đã học (Hoàng Phê, 2008) Định nghĩa này mới chỉ giải thích thuật ngữ “bài tập”

về mặt ngữ nghĩa chứ chưa làm rõ bản chất, vai trò của bài tập

Theo Thái Duy Tuyên (2007) “Bài tập là một hệ thông tin xác định, bao gồm những

điều kiện và yêu cầu đưa ra trong quá trình dạy học, đòi hỏi người học một lời giải đáp, mà lời giải đáp này về toàn bộ hoặc từng phần không ở trạng thái có sẵn của người giải tại thời điểm mà bài tập được đặt ra” (tr 244).

Theo chúng tôi, có thể hiểu bài tập là hệ thông tin giữa yếu tố đã cho, yếu tố cần tìm

và các điều kiện giúp xác lập một bản mô tả cụ thể các đặc trưng của đối tượng toán học vàmối quan hệ giữa chúng được phản ánh thông qua quá trình suy luận, tìm tòi, giải quyết vấn

đề của học sinh

Bài tập mạch Xác suất và Thống kê giúp tạo cho học sinh khả năng nhận thức vàphân tích các thông tin được thể hiện dưới nhiều hình thức khác nhau, hiểu bản chất xác suấtcủa nhiều sự phụ thuộc trong thực tế, hình thành sự hiểu biết về vai trò của thống kê như làmột nguồn thông tin quan trọng về mặt xã hội, biết áp dụng tư duy thống kê để phân tích dữliệu

Ví dụ (Bài 6.5, Trang 70, Tập 2, Toán 12, Bộ sách Kết nối Tri thức với Cuộc sống).

Bạn An phải thực hiện hai thí nghiệm liên tiếp Thí nghiệm thứ nhất có xác suất thànhcông là 0 , 7 Nếu thì nghiệm thứ nhất thành công thì xác suất thành công của thí nghiệm thứhai là 0 , 9 Nếu thí nghiệm thứ nhất không thành công thì xác suất thành công của thí nghiệmthứ hai chỉ là 0 , 4 Tính xác suất để:

a) Cả hai thí nghiệm đều thành công;

b) Cả hai thí nghiệm đều không thành công;

c) Thí nghiệm thứ nhất thành công và thí nghiệm thứ hai không thành công

Nhận xét Ở trường Trung học phổ thông:

- Người dạy là giáo viên.

- Người học là học sinh

2.2 Cấu trúc bài tập

Cấu trúc bài tập thường gồm các thành phần cơ bản sau:

1) Dữ kiện (yếu tố đã cho – “Cho/Giả thiết”)

2) Ẩn số (yếu tố cần tìm – “Tìm/Kết luận”)

Nhận xét Đôi khi bài toán có thêm điều kiện (mối quan hệ giữa “Cho” và “Tìm”)

Ví dụ 1 (Ví dụ 2, Trang 68, Tập 2, Toán 11, Bộ sách Kết nối Tri thức với Cuộc sống).

Một tổ trong lớp 11C có 9học sinh Phỏng vấn 9 bạn này với câu hỏi: “Bạn có biết

môn thể thao đó, không biết thì để trống Kết quả thu được như sau:

Môn thể

thao

Tên học sinh

2.3.1 Bài tập có quy tắc giải

Bài tập có quy tắc giải là bài tập có thuật toán/thuật giải Loại bài tập này thường

sử dụng để giải một lớp các bài toán

Ví dụ Dạng toán “Tính xác suất có điều kiện”.

Nhận xét 1) Mô tả về loại toán có quy tắc giải:

Bài tập có quy tắc giải là dạng bài tập mà học sinh có thể giải quyết bằng cách ápdụng một công thức, quy tắc hoặc phương pháp đã học Quá trình giải bài tập này thường đitheo một trình tự nhất định và có một kết quả duy nhất

2) Ưu điểm

- Giúp học sinh rèn luyện kĩ năng tính toán nhanh chóng, chính xác.

- Dễ dàng kiểm tra và đánh giá kết quả.

- Củng cố kiến thức nền tảng, giúp học sinh quen thuộc với các phương pháp giải toán cơbản

- …

3) Nhược điểm

- Học sinh có thể chỉ học thuộc công thức mà không hiểu bản chất của vấn đề.

- Ít kích thích tư duy sáng tạo và khả năng suy luận logic

- …

Ví dụ 1: “Dạng toán tính xác suất có điều kiện”.

Phương pháp giải tổng quát:

- Cho hai biến cố A và B Xác suất của biến cố A, tính trong điều kiện biến cố B đã xảy rađược gọi là xác suất của A với điều kiện B và kí hiệu là P(A|B);

- Sử dụng định nghĩa để tính xác suất có điều kiện (áp dụng với bài toán có thể tính được sốphần tử của các biến cố);

- Sử dụng công thức: P(A|B)=P(AB)

P(B) .

Chẳng hạn (Ví dụ 1, Trang 65, Tập 2, Toán 12, Bộ sách Kết nối Tri thức với Cuộc sống).

Một hộp có 20 viên bi trắng và 10 viên bi đen, các viên bi có cùng kích thước và khối

lượng Bạn Bình lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp, không trả lại Sau đó bạn An lấyngẫu nhiên một viên bi trong hộp đó

Gọi A là biến cố: “An lấy được viên bi trắng”; B là biến cố: “Bình lấy được viên bi trắng”

AB là biến cố “Bình và An cùng lấy được viên bi trắng” Bình có 20cách chọn mộtviên bi trắng, An có 19 cách chọn một viên bi trắng trong 19 viên bi trắng còn lại.

Ví dụ 2: “Dạng toán tính xác suất theo định nghĩa cổ điển”.

Phương pháp giải tổng quát:

Cho phép thử T có không gian mẫu là Ω Giả thiết rằng các kết quả có thể của T là đồng khảnăng Khi đó nếu E là một biến cố liên quan đến phép thử T thì xác suất của E được cho bởicông thức

P(E)=n(E)

n(Ω)

trong đó n (Ω) và n ( E) tương ứng là số phần tử của tập Ω và tập E

Chẳng hạn (Ví dụ 1, Trang 83, Tập 2, Toán 10, Bộ sách Kết nối Tri thức với Cuộc sống).

Một tổ trong lớp 10A có 10 học sinh trong đó có 6 học sinh nam và 4 học sinh nữ.Giáo viên chọn ngẫu nhiên 6 học sinh trong tổ đó để tham gia đội tình nguyện Mùa hè xanh.Tính xác suất của hai biến cố sau:

C: “6 học sinh được chọn đều là nam”;

D: “Trong 6 học sinh được chọn có 4 nam và 2 nữ”

Công đoạn 1 Chọn 4 học sinh nam từ 6 học sinh nam, có C64 =15 (cách chọn).

Công đoạn 2 Chọn 2 học sinh nữ từ 4 học sinh nữ, có C42

=6 (cách chọn).

Theo quy tắc nhân, tập D có 15 ∙ 6=90 (phần tử) Vậy n(D)=90, do đó P ( D)= 90

210=3

7.

Ví dụ 3 “Dạng toán xác định khoảng biến thiên dựa vào mẫu số liệu”.

Phương pháp giải tổng quát:

- Xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong mẫu số liệu

- Khoảng biến thiên, kí hiệu là R, là hiệu số giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trongmẫu số liệu

Chẳng hạn (Ví dụ 1, Trang 76, Tập 1, Toán 12, Bộ sách Kết nối Tri thức với Cuộc sống).

Thống kê thời gian sử dụng mạng xã hội trong ngày của các bạn Tổ 1, Tổ 2 lớp 12A,được kết quả như bảng sau: