0107 Ôn tập chương ( tài liệu bài tập )[lời giải + Đáp Án]

BÀI TẬP: GIẢI TÍCH I

CHƯƠNG I: DÃY SỐ

ÔN TẬP CUỐI CHƯƠNG DÃY SỐ

lim x 0 lim x 0

→ =  → =

Hướng dẫn giả:

Từ n lim x n 0 n lim ( x n ) 0

→ =  → − = mặt khác: − x n  x n  x , n  n vậy theo nguyên lý kẹp có

n

x

lim x 0

→ = , đpcm

lim x a lim x a

→ =  → = Điều ngược lại có đúng không?

Hướng dẫn giải

n

n

lim x a

→ = nên với mọi ε 0  tồn tại N 0 sao cho n > N 0 thì |x n - a| < ε Ta có:

||x n | - |a||  |x n - a| (tính chất trị tuyệt đối) (*) Suy ra n > N 0 thì ||x n | - |a|| < ε , điều này chỉ ra n

x

lim x a

→ = theo định nghĩa, đpcm

Điều ngược lại đúng với a = 0 (xem bài 1), với a khác 0 thì sai , ví dụ chọn dãy {x n } = a; -a; a; -a…

rõ ràng n

n lim x a

→ = nhưng không tồn tại giới hạn n

n

lim x

→

Bài 3: Tìm các giới hạn dãy có số hạng tổng quát như sau:

1)

2

u

89 31n n

=

Hướng dẫn giải:

1

1

−

2)

4

n 2

u

=

Hướng dẫn giải:

1

1

n

u = n + 2n − n + 1

2 n

lim

→

−

+

4) 2

n

u = n + 2n − n 1 +

2

→ + − + = →    + − +    = + − = +

5)

n 1 n 1

u

+ + +

=

+

( )

n

n 1 n 1

n 2 3 n 2 2 / 3 3 0 3 3

lim lim

0 1

2 3 2 / 3 1

+ +

+

+

n

n

2 lim 0 3

→

 

=

 

  )

n sinn cos n

u

n cos n

+

=

+

Hướng dẫn giải: ( 2 )

n sinn cos n 2n 2n

n cos n n cos n n 1

+

→

→   =

→

n

u u u lim u 0

→

7) u n = n ln n 1 ( ( + − ) lnn )

l im n ln n 1 lnn lim nln lim nln 1 lim ln 1 ln e 1

+ − = =  +  =  +  = =

8)

2

n n

n

u

2

=

Hướng dẫn giải: n ( ) n 0 1 n 3 ( )( )

n n 1 n 2

6

n n

2

→

→   = (kẹp)

1.3 2.4 2n 2n 2

= + + +

+

Hướng dẫn giải: ( 1 ) ( k 2 ( ) ) k 1 1 1 k

+

n

1 1 1 lim u

2 1 2

3

→

=  +  =

n

n

k 1

1 u

k k 1 k 2

=

=



Hướng dẫn giải: ( 1 )( ) ( ( k 2 )( ) k ) 1 ( 1 ) ( ( 1 ) ) k

2

k k 1 k 2 2k k 1 k 2 k k 1 k 1 k 2

+ −

( ) ( )( ) ( )( )

n

1 1 lim u

2 1 2

1

.

→ = =

11)

u

n

+ + +

=

Hướng dẫn giải: 2 2 2 n n 1 2n 1 ( )( )

6

6n

1

1.2 2.3 n n 1

u

n

=

Hướng dẫn giải: ( ) ( )( k 2 ) ( k 1 ) ( k 1 k k 1 ) ( ) ( k k 1 k 2 )( )

( n 1 n n 1 ) ( ) ( n n 1 n 2 )( ) 0.1.2 n n 1 n 2 ( )( )

3

1/ n 1 2 / n

3 3n

1

u

n

=

Hướng dẫn giải: ( ) ( )( k 4 ) ( k 2 ) ( k 2 k k 2 ) ( ) ( k k 2 k 4 )( )

( 2n 3 2n 1 2n 1 )( )( ) ( 2n 1 2n 1 2n 3 )( )( ) ( ) 1 1.3 ( 2n 1 2n 1 2n 3 )( )( )

2n

3

6n

4

14) u n = cos n 1 cos n + −

Hướng dẫn giải: u n cos n 1 cos n 2sin n 1 n sin n 1 n

n

+ +

→   =  =

Giải thích: có (1) vì

2

có (2) vì ta đã sử dụng sin x x  15) u n = sinln n 1 ( + − ) sinlnn

Hướng dẫn giải: ( ) ln n 1 ( ) lnn ln n 1 ( ) lnn

n

(1) 1 n 1 ( 2) 1 n 1 1 ( 3)

→   =  =

có (2) vì đã sử dụng sin x x 

có (3) vì

n

lim ln 1 lim ln 1 0 ln e 0

 +  =  +  =  =

16) u n = sin n 1 sin n + −

lim u

→ =

Bài 4: Xét sự hội tụ và tìm giới hạn nếu có:

1) u n = 1

n

u = − 1

3) u n sin 2 1

=

+

4) u n cos 2 1

=

+ 5) u n = cosn

6) u n = sinn

Hướng dẫn giải

limu

→ = , thật vậy   ε 0, u n − = − =   1 1 1 0 ε, n vậy theo định nghĩa giới hạn

ta có đpcm

2N

u − = −  a 1 a 0.5  0.5   a 1.5

2N 1

u + − = − −  a 1 a 0.5  − 1.5   − a 0.5

Không tồn tại a cùng thỏa mãn hai điều kiện trên, vậy điều giả sử là sai, ta có đpcm

3)  =  →

+ +

n n n n khi n

n limu

→

→   =

2

4)

2 (1)

2

Giải thích: có (1) vì

2

BĐT sin x x  với x 0  được ứng dụng rất nhiều

cos n hội tụ  2

sin n hội tụ Đặt cosn → a và 2 →

sin n b

cos n 1 + = cosncos1 sinnsin1 −  sin nsin 1 = cosncos1 cos n 1 − + cho n → từ đẳng thức

b sin 1 = a cos1 a − = a 1 cos1 − (1)

b sin 2 = a cos 2 a − = a 1 cos 2 − (2)

a b lim cos n lim sin n lim cos n sin n 1

2 2

1 cos 2 sin 2

sin 1 1 cos1

−

=

Bài 5: Chứng minh rằng nếu dãy   u n hội tụ và   v n phân kỳ thì  u n + v n  phân kỳ

Hướng dẫn giải

Phản chứng, giả sử  u n + v n  hội tụ, khi đó

lim v lim u v u lim u v lim u

n

lim u 0

n

lim u v 0

→ =

Hướng dẫn giải

(1)

lim u v 0 lim u v 0

Giải thích: có (1) vì ta biết n n

lim u 0 lim u 0

→ =  → =

Bài 7: Tìm các giới hạn sau:

n

lim n

→

n

→ + +

n

→ +

n

lim n lnn

→

Hướng dẫn giải

1) n n 1 a = + với a 0 

−

n 1

n

lim n

→ =

2) Áp dụng kết quả

( ) 3

1  n + +  n 1 3n  n = n → = 1 1 khi n →

lim n → + + = n 1

3) Áp dụng kết quả

( ) n

3  2 + 3 = 3 2 / 3 +  1 3 2 → 3.1 3 = khi n →

→ + =

4) Áp dụng kết quả

n

n

lim n lnn

+ và n

a) x n là dãy giảm

b) y n là dãy tăng

c) x n > y n với mọi n

d) n lim x ( n y n ) 0

→ − =

Hướng dẫn giải

2 3 2n 2n 1 − 2n 2n 1 − 2n 2n 1 −

= − + − − + = − + = −  

b)

2 3 2n 1 2n − 2n 1 2n − 2n 1 2n −

= − + − + − = + − = +  

c) x n 1 1 1 1 1 y n 1 y n

d) x n y n 1 0

2n 1

+ khi n →  đpcm

Bài 9: Xét

n

n

1

u 1

n

 

=  + 

  và

n 1

n

1

v 1

n

+

 

=  + 

  Chứng minh rằng:

a) u n là dãy tăng

b) v n là dãy giảm

c) u n < v n với mọi n

n

n

v

lim 1

u

→ =

Hướng dẫn giải

a)

n

n

n 1

1 1

1

n 1

−

−

 + 

+

( )

n 1

− −

 −  = −   +   − + −  

−

− −

= −   +   − + −   

đối các số hạng giảm, tương tự bài 3: S 2 < S 4 < …< S 2k < …< S 2k+1 < …< S 3 < S 1 Vậy thì:

n

n 1

     −   − −

=  +    +   = −  +  = + − − = + 

b)

n 1

n

n 1

1 1

1

n 1

+

−

 + 

Ở đây sử dụng:

n

+ = + + +  + = + = +

n

n 1

=  −   +    −   +  =  −   

c) n

n n n

1 1 v u

 

=  +     

n

lim lim 1 1

→ →

 

=  +  = 

  đpcm

Bài 10: Cho hai dãy số

( )

n

ln 2 ln 3 ln 2n

= − + + và

n

ln 2 ln 3 ln 2n 1

= − + −

+ CMR:

1) x là dãy giảm n

2) y là dãy tăng n

3) x n  y n với mọi n

4) ( n n )

n

lim x y 0

→ − =

Lời giải:

1)

ln 2 ln 3 ln 2n 2 ln 2n 1 ln 2n 2

2)

ln 2 ln 3 ln 2n 3 ln 2n 2 ln 2n 3

4) n ( n n ) n ( )

1 lim x y lim 0

ln 2n 1

+ đpcm

S = − + + − a a 1 + a CMR: S 2  S 4   S 2n   S 2n 1 −   S 3  S 1 đồng thời

( 2n 1 2n )

n

lim S − S 0

Gợi ý: tương tự bài 10

Bài 12: Cho dãy số thực (u ) n xác định bởi:

 =







1

n 1 n 1

Hướng dẫn giải

1

  − = − + +  , (do 0   u n 3 )vậy (u ) n tăng

n u a

n u

→+ =

−

 =



1

n 1 n

n 1

Hướng dẫn giải

3

n n

n

u

 +

+ (do 0< u n <2)  u n + 1 −  u n 0 , vậy (u ) n tăng

n u a

3

a

a

+

+

n u

→+ =

Bài 14: Cho dãy số thực (u ) xác định bởi: n

−

−

 =







1

n n 1

n 1

Chứng minh rằng dãy số (u ) có giới hạn hữu hạn khi n n → +

Hướng dẫn giải

Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: u n    0, n 1,

• Xét tính đơn điệu của (u ) : Từ hệ thức (1) ta suy ra được n

2 1

2011

n

u

 +

• Do (u ) giảm và bị chặn dưới nên nó có giới hạn Gỉa sử n n lim →+ = a thì a  2011

• Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n → +ta có: 1 2011 2011

2

a

• Vậy dãy số (u ) có giới hạn hữu hạn khi n → + và n lim n 2011

n u

→+ =

Bài 15: Cho dãy số (u ) n xác định bởi

+

 =





 = −  



1

u

u

1 2

3 1

u u , n 1 (1)

2 2

Hướng dẫn giải

( )

2 2

f x = x − x với x    0;1 ,ta có

( )

3 0, 2

f x = x − x   x    0;1

 f(x) tăng trên   0;1 và 0  f x ( ) 1   x    0;1

• Chứng minh u n    0;1 ,   n 1

1 0;1 2

u = 

Gỉa sử u k    0;1 ,   k 1 thì

 

2 3 1

3 1

2 2

0 1

k

u u u

u

+

 = −



  



Vậy u n    0;1 ,   n 1

Do f tăng nên f u ( ) n − f u ( n − 1 ) cùng dấu với u n − u n − 1

Suy ra: u n + 1 − u n cùng dấu với u n − u n − 1 Lập luận tiếp tục ta đi đến u n + 1 − u n cùng dấu với

2 1

u − u

5 1 3

16 2 16 n n n n

u − = u − = −   u + − u   u +    u n

Suy ra (u ) n là dãy giảm

1 2

2

n

   

2

a

 

2 3

0

1

2

a

a

=





 =



2

a

n u

→+ =

Bài 16: Cho dãy số (u ) n xác định bởi

+

 =







1

u

1

2

Hướng dẫn giải

• Xét hàm số f x ( ) = 2 + x với x   0;2 , ta có

( )

0,

• Vì 4

2 2 2 2 1

→+ = thì 0   a 2

• Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n → + ta có:

2

+

 =





 = + −  



1

2

n 1 n

3 u

2

u

u 1 u , n 1 (1 )

2

n u

→+

Hướng dẫn giải

2

2

2

x

+ − =  =  =  Do 1   a 2 nên chọn a = 2

• Xét hiệu sau đây:

2 1

1

n

u

=

1

2 ( 2 2)

2 u n − u n − +

1 1

1

n n

n

−

−

• Như thế ta có:

1 1

n

n

u

− +

 −          −   mà

1

n

n

−

→+

→+ − =  →+ − =  →+ = →+ =

HẾT