BÀI TẬP: GIẢI TÍCH I
ÔN TẬP CUỐI CHƯƠNG DÃY SỐ
Bài 1: Chứng minh nếu lim n 0 lim n 0
Bài 2: Chứng minh nếu lim n lim n
n x a n x a
Bài 3: Tìm các giới hạn dãy có số hạng tổng quát như sau:
1)
2
2
89 31
n
u
n n
=
2)
4 2
10
n
u
=
3) u n = n2+2n− n2+1
4) u n = n2+2n− n+1
5)
n n
n n n
u
+ + +
=
+
2
cos
n
u
+
=
+ 7) u n =n(ln(n+ −1) lnn)
8)
2 2
n n
n
9) u n =1.3 2.41 + 1 + + 2 2n n( 1 2)
+
1
n n k
u
=
=
11)
3
n
n u
n
=
3
n
n n u
n
=
3
n
u
n
= 14) u n =cos n+ −1 cos n
15) u n =sinln(n+ −1 sinln) n
16) u n =sin n+ −1 sin n
Bài 4: Xét sự hội tụ và tìm giới hạn nếu có:
1) u n =1
2) u n = −( )1 n
sin
n
u
=
+
cos
n u
=
+
5) u n =cosn
6) u n =sinn
Bài 5: Chứng minh rằng nếu dãy u n hội tụ và v n phân kỳ thì u n +v n phân kỳ
Bài 6: Chứng minh rằng nếu lim n 0
n u
→ = và v n bị chặn thì lim n n 0
n u v
Bài 7: Tìm các giới hạn sau:
1) limn
n n
n n n
Trang 23) lim 2n n 3n
limn ln
n n n
→
n
x
+ và
n
y
a) xn là dãy giảm
b) yn là dãy tăng
c) xn > yn với mọi n
d) lim( n n) 0
n x y
(Ba kết quả đầu chỉ ra xn giảm bị chặn dưới, yn tăng bị chặn trên nên hai dãy này hội
tụ Kết quả cuối cùng chỉ ra hai dãy này có cùng giới hạn)
Bài 9: Xét 1
1
n n
u
n
1 1 1
n n
v
n
+
a) un là dãy tăng
b) vn làdãy giảm
c) un < vn với mọi n
d) lim n 1
n
n
v
u
(Ba kết quả đầu chỉ ra un tăng bị chặn trên, vn giảm bị chặn dưới, vậy cả hai dãy hội
tụ Kết quả cuối chỉ ra hai dãy này có cùng giới hạn Và ta biết giới hạn đó được định nghĩa là số e)
Bài 10: Cho hai dãy số x n = ln 2 ln 31 − 1 + + ln 2( )1n và
n
y
n
1) x n là dãy giảm
2) y n là dãy tăng
3) x n y n với mọi n
4) lim( n n) 0
n x y
(Từ bài toán này suy ra một hệ quả là dãy có số hạng là tổng đan dấu sau đây hội tụ:
( )1
n n
x
n
−
Bài 11: Cho a n là dãy dương, đơn điệu giảm, có giới hạn bằng 0 Xét dãy số có tổng đan dấu
1 2 1 n
S =a −a + + − + a CMR: S2 S4 S2n S2 1n− S3S1 đồng thời
n S − S
Trang 3(Từ bài này suy ra hệ quả là dãy S n hay còn gọi là chuỗi đan dấu hội tụ, đây là tiêu chuẩn Leibnitz sẽ gặp ở Giải tích 3)
Bài 12: Cho dãy số thực (u ) n xác định bởi:
=
1
n 1 n 1
Chứng minh rằng dãy số (u ) n có giới hạn hữu hạn khi n → +
Bài 13: Cho dãy số thực (u ) n xác định bởi: −
−
=
1
n 1 n
n 1
2(2u 1)
Chứng minh rằng dãy số (u ) n có giới hạn hữu hạn khi n → +
Bài 14:Cho dãy số thực (u ) xác định bởi: n
−
−
=
1
n n 1
n 1
Chứng minh rằng dãy số (u ) có giới hạn hữu hạn khi n n → +
Bài 15: Cho dãy số (u ) n xác định bởi
+
=
= −
1
2 3
u
1 2
Bài 16: Cho dãy số (u ) n xác định bởi
+
=
1
u
1
2
Bài 17: Cho dãy số thực (u ) n xác định bởi
+
=
= + −
1
2
n 1 n
3 u
2
u
2
Hãy tìm lim n
n u
→+
HẾT