Đề Tài Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph­¬ng tr×nh, hÖ ph­¬ng tr×nh”

Mở đầu*** Lý do chọn đề tài Dạng toán “Giải bài toán bằng cách lập phơng trình, hệ phơng trình” ở chơng trình đại số lớp 9 ở trờng trung học cơ sở là một dạng toán tơng đối khó đối với h

Mở đầu

***

Lý do chọn đề tài

Dạng toán “Giải bài toán bằng cách lập phơng trình, hệ phơng trình” ở chơng

trình đại số lớp 9 ở trờng trung học cơ sở là một dạng toán tơng đối khó đối với học sinh Do

đặc trng của loại toán này thờng là loại toán có đề tài bằng lời văn và thờng đợc xen trộnnhiều dạng ngôn ngữ (Ngôn ngữ thông thờng, ngôn ngữ toán học, vật lý )

Hầu hết các bài toán có dữ kiện giàng buộc nhau, ẩn ý dới dạng lời văn, buộc học sinhphải có suy luận tốt mới tìm đợc sự liên quan giữa các đại lợng dẫn đến việc lập phơng trìnhhoặc hệ phơng trình mà thực chất các vấn đề khoa học giải toán là giải phơng trình

Trong phân phối chơng trình toán ở trờng trung học cơ sở thì toán lớp 8 học sinhmới đợc học về khái niệm phơng trình và các phơng trình Nhng việc giải phơng trình đã

có trong chơng trình toán từ lớp 1 với mức độ và yêu cầu tùy theo từng đối tợng học sinh

ở lớp 7, 8, 9 ngoài những mối liên hệ nh bài toán còn cho dới dạng lời văn có các dữkiện kèm theo Vì vậy, muốn giải đợc loại toán này học sinh cần phải suy nghĩ để thiếtlập mối quan hệ dẫn đến việc lập phơng trình ( hệ phơng trình )

Mối đặc thù riêng của loại toán này là hầu hết các bài toán là đều đợc gắn liền với nộidung thực tế Chính vì vậy mà việc chọn ẩn số thờng là những số liệu có liên quan đến thực

tế đó Do khi giải toán học sinh thờng mắc sai lầm là thoát li đợc thực tế, dẫn đến quên điềukiện của ẩn số Học sinh không khai thác hết mối quan hệ giàng buộc của thực tế… từ từnhững lý do đó mà học sinh rất ngại làm dạng toán này Mặt khác, cũng có thể trong quátrình giảng dạy do năng lực, trình độ giáo viên mới chỉ dạy học sinh ở mức độ truyền thụtinh thần của Sách Giáo Khoa mà cha biết phân loại toán, cha khái quát đợc cách giải chomỗi dạng toán Kỹ năng phân tích tổng hợp của học sinh còn yếu trong quá trình đặt ẩn số,mối liên hệ giữa các số liệu trong bài toán, dẫn đến lúng túng trong việc giải toán này

Vì thế, muốn giải toán bằng cách lập phơng trình hay hệ phơng trình điều quantrọng là phải biết diễn đạt những mối liên hệ trong bài toán thành những quan hệ toánhọc Do vậy, nhiệm vụ của ngời thầy là phải dạy cho học sinh cách dẫn giải bài tập Do

đó khi hớng yêu cầu về giải một bài toán này phải dựa trên một số nguyên tắc chung:Yêu cầu về giải một bài toán, quy tắc giải toán về cách lập phơng trình, phân loại dạngtoán dựa vào quá trình biến thiên của các đại lợng (tăng, giảm, thêm, bớt… từ) làm sáng tỏmối quan hệ giữa các đại lợng dẫn đến lập đợc phơng trình dễ dàng

Với mong muốn đợc trao đổi với đồng nghiệp những kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy

về dạng toán “Giải bài toán bằng cách lập phơng trình và hệ phơng trình” Vì vậy tôi đã chọn đề

tài Dạy học giải bài toán bằng cách lập ph“ ơng trình và hệ phơng trình.”

Trong thời gian giảng dạy ở trờng THCS tôi đã đợc học hỏi rất nhiều kinh nghiệmcủa các thầy cô giáo lớp trớc và đợc đồng nghiệp trong nhóm giúp đỡ, đặc biệt là sự hớngdân tận tình của Giáo s Lê Mậu Hải đã giúp tôi hoàn thành đề tài này

trình toán THCS với nội dung: Phơng trình và hệ phơng trình

Phơng pháp hớng dẫn học sinh giải bài toán trên là dựa vào nguyên tắc chung: Giảibài toán bằng cách lập phơng trình

Nội dung quy tắc gồm các bớc:

B

ớc 1 : Lập phơng trình (gồm các công việc).

- Chọn ẩn số (Chú ý ghi rõ đơn vị và điều kiện cho ẩn)

- Biểu thị các số liệu cha biết qua ẩn và các số liệu đã biết

- Dựa vào mối quan hệ giữa các số liệu để lập phơng trình (hệ phơng trình)

* Ví dụ 1: Tỷ số tuổi anh và tuổi em bằng 0,5 ; sau 3 năm tỷ số tăng thêm 0,1 Hỏi tuổi

anh và tuổi em hiện nay?

Gọi tuổi em hiện nay là: x ( x > 0; x Є N).N)

Thì tuổi anh hiện nay là: 2x

Sau 3 năm nữa tuổi em là: x + 3

Sau 3 năm nữa tuổi anh sẽ là: 2x + 3

Theo đầu bài ra ta có phơng trình :

x + 3 2x + 3

<=> x + 3 = 0,6 (2x + 3)

<=> x = 6 (T/m điều kiện)

Vậy tuổi em hiện nay là: 6 (tuổi)

Tuổi anh hiện nay là : 6 x 2 = 12 (tuổi)

2 Yêu cầu 2:

Lời giải bài toán lập luận phải có căn cứ chính xác Trong quá trình thực hiện từng

bớc phải có lôgíc chặt chẽ với nhau có cơ sở lý luận chặt chẽ, đặc biệt phải chú ý đếnviệc thỏa mãn điều kiện nêu trong giả thiết Xác định ẩn phải khéo léo, mối quan hệ giữa

ẩn và các dữ kiện đã cho phải làm nổi bật đợc ý phải tìm Nhờ mối tơng quan giữa các đạilợng trong bài toán thiết lập đợc phơng trình (hệ phơng trình), từ đó tìm đợc các giá trịcủa ẩn Muốn vậy giáo viên cần làm cho học sinh xác định rõ ràng đâu là ẩn đâu là dữkiện, đâu là điều kiện Điều kiện có đủ để xác định đợc ẩn không? Từ đó mà xác đợc h-ớng đi, xây dựng đợc lời giải

* Ví dụ 2: Hai cạnh của một khu đất hình chữ nhật hơn kém nhay 4m Tính chu vi của

khu đất đó nếu biết diện tích của nó bằng 1020 m2

- Giải: Gọi chiều rộng của khu đất hình chữ nhật đó là: x (m) (x > 0).

=> Chiều dài của khu đất là: x + 4 (m)

Ta có phơng trình: x (x + 4) = 1020

 x2 + 4x - 1020 = 0

x1 = 30 (t/m)

x2 = -34 (loại)

Vậy: Chiều rộng của khu đất là: 30m

Chiều dài của khu đất là: 30 + 4 = 34m

* Ví dụ 3: Một cạnh tam giác có chiều cao bằng 3/4 cạnh đáy Nếu chiều cao tăng thêm

3cm và cạnh đáy giảm đi 5cm thì diện tích tam giác đó bằng 9/10 diện tích ban đầu Tínhchiều cao và cạnh đáy của tam giác lúc đầu?

của tam giác luôn đợc tính theo công thức: S = 1/2 x ( cạnh đáy x chiều cao)

- Giải:

Gọi cạnh đáy của tam giác lúc đầu là: x (cm) (x>5)

 Chiều cao của tam giác là: 3

Diện tích tam giác khi đó là:

S2 = 1 3

( 3) ( 5)

2 4 x  x 

Vậy cạnh đáy của tam giác lúc ban đầu là 20cm

Chiều cao của tam giác là:3

4.20 = 15 (cm).

4 Yêu cầu 4:

Lời giải bài toán phải đơn giản và phù hợp với kiến thức trình độ học sinh; đại đa sốhọc sinh có thể hiểu và áp dụng đợc

* Ví dụ 4: Một xởng may phải may xong 3000 áo trong một thời gian quy định Để

hoàn thành sớm kế hoạch, mỗi ngày xởng đã may đợc nhiều hơn 6 áo so với số áo phảimay trong một ngày theo kế hoạch Vì thế, 5 ngày trớc khi hết thời hạn xởng đã may đợc

2650 áo Hỏi theo kế hoạch xởng phải may trong thời gian bao lâu và mỗi ngày xởngphải may xong bao nhiêu áo?

- Giải: Gọi số áo phải may trong 1 ngày theo kế hoạch là x (x Є N).N; N).x N).> N).0)

Thời gian quy định may xong áo là 3000

x (ngày)

Số áo thực tế may đợc trong 1 ngày là: x + 6 (áo)

Thời gian may xong 2650 áo là: 2650

Vậy: Theo kế hoạch, mỗi ngày xởng phải may xong 100 áo

Thời gian quy định may xong 3000 áo là: 3000

100 = 30 (ngày)

5 Yêu cầu 5: Lời giải phải đợc trình bày khoa học, mối liên hệ giữa các bớc giải trong

bài toán phải lôgíc, chặt chẽ với nhau, các bớc sau đợc suy luận từ các bớc trớc nó đã đợckiểm nghiệm, chứng minh là đúng hoặc đã biết trớc

* Ví dụ 5: Chiều cao của một tam giác vuông là 9.6 m và chia cạnh huyền làm 2 đoạn

hơn kém nhau 5,6 m Tính độ dài cạnh huyền của tam giác

- Phân tích: Xét tam giác vuông ABC Giả sử AC > AB  CH > BH

Cần chú ý rằng: AH2 = BH CH

Giải: Gọi độ dài BH là x (m) (x>0)

 Độ dài CH là x+ 5,6 (m)

Theo công thức hệ thức lợng trong tam giác, ta có phơng trình:

Đề tài nghiên cứu khoa học về thực nghiệm s phạm 4

HC

định lẫn nhau Muốn vậy cần rèn cho học sinh có thói quen sau khi giải xong cần thử lạikết quả và tìm các nghiệm của bài toán, tránh bỏ sót nghiệm nhất là đối với phơng trìnhbậc hai, hệ phơng trình.

* Ví dụ 6 : Độ dài cạnh huyền của một tam giác là 25, tổng độ dài hai cạnh góc vuông là

35 Tìm độ dài mỗi cạnh của tam giác đó

- Giải: Gọi độ dài các cạnh góc vuông của tam giác là x; y (x > 0; y > 0).

Ta có hệ phơng trình:

x + y = 35 x + y = 35

x2 +y2 = 252 = 625 x y = 300

 x, y là nghiệm của phơng trình: a2 – 35 a + 300 = 0

a1 = 20; a2 = 15 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy độ dài các cạnh góc vuông của tam giác vuông là 20 và 15

Nhận xét: ở bài toán này, khi tìm ra 2 kết quả là 20 và 15, học sinh sẽ phân vân: 1

hay 2 đáp số? (x = 15; y = 20) ; (x = 20; y = 15)

Trên thực tế 2 tam giác vuông này là một Giáo viên cần xây dựng cho học sinh có thói quen đối chiếu kết quả với điều kiện đầu bài, nếu đảm bảo thì các nghiệm dều hợp lí.(Một bài toán không nhất thiết chỉ có duy nhất 1 kết quả)

CHƯƠNG II : PHÂN LOạI BàI TOáN

GIảI BàI TOáN BằNG CáCH LậP PHƯƠNG TRìNH

Và CáC GIAI ĐOạN GIảI MộT BàI TOáN

I – khoa toán tinPhân loại bài toán bằng cách lập ph ơng trình và hệ ph ơng trình

Trong bài tập ở lớp 9, giải bài tập bằng cách lập phơng trình và hệ phơng trình cóthể phân loại nh sau:

1 Loại toán về chuyển động

2 Loại toán liên quan đến số học

3 Loại toán về năng suất lao động (tỷ số phần trăm)

4 Loại toán công việc làm chung, làm riêng (toán quy về đơn vị)

5 Loại toán về tỉ lệ chia phần (thêm, bớt, tăng, giảm, tổng, hiệu, tỉ số của chúng)

6 Loại toán có liên quan đến hình học

7 Loại toán có nội dung vật lí, hóa học

8 Dạng toán về xác định các hệ số của một đa thức

9 Dạng toán có chứa tham số.

ii các giai đoạn giải bài toán bằng cách lập ph ơng trình và hệ ph ơng trình

* Giai đoạn 1: Đọc kỹ đề bài, phân tích hết giả thiết, kết luận của bài toán giúp học sinh

hiểu bài toán cho những dữ kiện gì? Cần tìm gì? (Nêú đợc có thể mô tả bằng hình vẽ)

* Giai đoạn 2: Nêu rõ các vấn đề có liên quan đến lập phơng trình Tức là chọn ẩn số

thế nào cho phù hợp, điều kiện cho thỏa mãn

* Giai đoạn 3: Lập phơng trình, dựa vào quan hệ giữa ẩn số và các đại lợng đã biết, dựa

vào công thức, tính chất để xây dựng phơng trình, biến đổi tơng đơng để đa phơng trình

đã xây dựng về phơng trình ở dạng đã biết, đã giải đợc

* Giai đoạn 4: Giải phơng trình , vận dụng các kí thuật giải phơng trình đã biết để tìm

nghiệm của phơng trình

* Giai đoạn 5: Nghiên cứu nghiệm của phơng trình, để xác định lời giải của bài toán tức

là xét nghiệm của phơng trình với điều kiện đặt ra của bài toán, với hiện thực xem có phùhợp không?

* Giai đoạn 6: Trả lời bài toán kết luận xem có mấy nghiệm, sau khi thử lại.

* Giai đoạn 7: Phân tích, biện luận cách giải, phần này thờng mở rộng cho học sinh

t-ơng đối khá, giỏi Sau khi giải xong có thể gợi ý cho học sinh biến đối bài toán thành bài toán khác, ta có thể:

- Giữ nguyên ẩn số, thay đổi các yếu tố khác (dữ kiện và giả thiết)

- Giữ nguyên dữ kiện, thay đổi các yếu tố khác (ẩn số hay giả thiết) nhằm phát triển t duy cho học sinh

- Giải bài toán bằng cách khác, tìm cách giải hay nhất

Chơng III: Những loại bài toán

và hớng dẫn học sinh giải Phân loại bài toán

I Dạng toán chuyển động:

Bài toán 1: Nhà Nam và Lan cùng nằm trên đờng quốc lộ và cách nhau 7 m Nếu

Lan và Nam đi xe đạp cùng lúc và ngợc chiều nhau thì sau 25 phút họ gặp nhau Tính vậntốc của mỗi ngời? Biết rằng vận tốc của Lan bằng 3

4 vận tốc của Nam

+ Phân tích: Đây là bài toán chuyển động ngợc chiều khi hai ngời gặp nhau thì tổng quãng

đờng mà hai ngời đã đi đúng bằng khoảng cách ban đầu giữa hai ngời

Có thể minh họa bằng bảng sau:

Bài toán 2 : Một ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 120 km trong một thời

gian quy định Sau khi đi đợc 1 giờ, ô tô bị chắn bởi xe hỏa mất 10 phút Do đó để đến Bkịp giờ xe đã phải tăng vận tốc thêm 6 km/h Tính vận tốc ô tô lúc đầu

Phân tích : + Thời gian trên thực tế ô tô đã đi cố thể chia làm 3 giai đoạn :

- Giai đoạn 1 : Ô tô đi với vận tốc dự định

- Giai đoạn 2 : Ô tô dừng lại

- Giai đoạn 3 : Ô tô đi với vận tốc mới

+ Do ô tô đến B kịp giờ nên thời gian theo dự định = thời gian trên thực tế ô tô đã đi.

- Giải : Gọi vận tốc theo dự định của ô tô là x ( km/h ) ( x> 0 )

 Thời gian ô tô đi theo dự định là : 120( )h

x

Sau 1 giờ đầu ô tô đi đợc x ( km )

Quãng đờng còn lại là : 120 – x ( km )

Vận tốc của ô tô khi trên đoạn đờng còn lại đó là : x + 6 ( km/h )

 Thời gian ô tô đi nốt đoạn còn lại là : 120

( )6

x h x



  thời gian ôtô đi nốt đoạn còn lại là : 1

Vậy vận tốc theo dự định của ô tô là 48 km/h

Bài toán 3 : Trên một sông , một ca nô xuôi dòng 108 km và ngợc dòng 63 km mất 7 h

Một lần khác ca nô xuôi dòng 81 km và ngợc dòng 84 km cũng mất 7 h Tính vận tốcdòng nớc chảy và vận tốc riêng của ca nô

Lần sau : Ca nô xuôi dòng 81 km mất : 81

Giải hệ phơng trình ta đợc: x = 24 (Thoả mãn điều kiện)

y = 3 (Thoả mãn điều kiện)

vậy vận tốc thực của ca nô là 24 km/h

Vận tốc dòng nớc là 3 km/h

sinh làm quen với việc giải các bài toán chuyển động bằng cách lập phơng trình ở

đây mới chỉ nêu cách giải đại diện cho các dạng phơng trình bậc nhất, phơng trình bậc 2; hệ phơng trình.

Trong các bài toán chuyển động học sinh cần nhớ và nắm chắc mối liên hệ giữa các

đại lợng: vận tốc, quãng đờng, thời gian Thông thờng một trong ba đại lợng đó sẽ đợcchọn là ẩn số (với điều kiện tơng ứng); Một đại lợng đã đợc xác định; ta phải biểu thị đạilợng còn lại theo ẩn và dựa vào mối liên hệ trong bài toán để lập phơng trình (hệ phơngtrình)

* Cần lu ý trong toán chuyển động cũng có thể chia làm nhiều dạng nhỏ

+ Nếu 2 chuyển động ngợc chiều nhau thì sau một thời gian 2 chuyển động cùngnhau, ta có: S1 + S2 = khoảng cách ban đầu

+ Nếu 2 chuyển động cùng chiều nhau thì sau một thời gian 2 chuyển động cùngnhau, ta có: S1 - S2 = khoảng cách ban đầu (S1 > S1)

+ Nếu chuyển động cùng một quãng đờng thì vận tốc và thời gian là hai đại lợng tỉ

- Vận tốc xuôi dòng – vận tốc ngợc dòng = 2 vận tốc dòng.

- Thời gian dự định đi ban đầu + thời gian đến chậm = Thời gian của chuyển

động sau khi tăng tốc độ + thời gian đi với vận tốc ban đầu + thời gian nghỉ (nếu có)

ii Dạng toán liên quan đến số học.

Bài toán 1: Tìm hai số biết tổng là 17 và tổng bình phơng của hai số đó là 157.

- Phân tích: Bài toán có thể giải bằng cách lập phơng trình hoặc lập hệ phơng trình theo

x1 = 11 (Thoả mãn điều kiện)

x2 = 6 (Thoả mãn điều kiện)

Số thứ nhất là 11 thì số thứ 2 là 17 – 11 = 6

Số thứ hai là 6 thì số thứ 2 là 17 – 6 = 11

Vậy 2 số phải tìm là 6 và 11

Bài toán 2 : Tìm một số có hai chữ số biết rằng tổng 2 chữ số của nó là 9 và nếu viết

thêm chữ số 9 vào giữa hai chữ số thì đợc số mới lớn hơn số ban đầu 360 đơn vị

- Phân tích: Với số có hai chữ số: ab 10ab

Với số có ba chữ số: abc  100 a  10 b  c

Khi viết thêm một chữ số vào giữa hai chữ số của số có hai chữ số thì số đó trở thành

số có ba chữ số, chữ số hàng chục của số ban đầu là chữ số hàng trăm của số mới, chữ sốhàng đơn vị của số ban đầu là chữ số hàng đơn vị của số mới

- Giải: Gọi chữ số hàng chục của số ban đầu là x ( x  N, 0<x9)

=> Chữ số hàng đơn vị của số ban đầu là 9 – x

Vậy số cần tìm là 36.

Bài toán 3 : Cho một số có hai chữ số Tìm số đó biết rằng tổng hai chữ số của nó nhỏ

hơn số đó 6 lần, nếu thêm 25 vào tích 2 chữ số đó sẽ đợc một chữ số viết theo thứ tự ngợclại với số đã cho

- Phân tích: Chú ý sử dụng ab10ab

Ngoài ra cần chú ý khi viết số đó theo thứ tự ngợc lại thì vai trò của chữ số hàngchục và hàng đơn vị sẽ đợc hoán đổi cho nhau:

- Giải: Gọi chữ số hàng chục của số ban đầu là x ( x  N, 0<x9)

Gọi chữ số hàng đơn vị của số ban đầu là y ( y  N, 0<y9)

Theo đầu bài ra ta có:

giữa các số đặc biệt giữa các số giữa hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm, biểu diễn dới dạng chính tắc của nó:

10

ab ab

100 10

abc  a  b  c

Khi đổi chỗ các vị trí các chữ số thay đổi thì giá trị của mỗi chữ số cũng có sự thay

đổi tơng ứng với vị trí mới Ngoài ra cần chú ý điều kiện cho ẩn số phải phù hợp

iii dạng toán về năng suất lao động ( Tỷ số phần trăm )

Bài toán 1 : Trong 2 tháng đầu hai tổ sản xuất đợc 400 chi tiết máy, trong tháng sau tổ 1

đạt vợt mức 10%, tổ 2 đạt vợt mức 15% nên cả 2 tổ sản xuất đợc 448 chi tiết máy Tínhxem trong tháng đầu mỗi tổ sản xuất đợc bao nhiêu chi tiết máy

- Phân tích : + Đã biết năng suất chung cả 2 tổ trong tháng đầu đợc 400 chi tiết máy.

Nếu biết 1 trong 2 tổ ta sẽ tính đợc tổ kia ( chọn ẩn )

+ Giả sử đã biết năng suất của tháng đầu có thể tính đợc tổng chi tiết máysản xuất trong tháng sau

+ Tính năng suất của từng tổ tháng sau để xây dựng phơng trình.

- Giải :

Cách 1: Gọi x là số chi tiết máy của tổ 1 sản xuất trong tháng đầu (x  Z, 0 < x < 400 )

Nh vậy tổ 2 sản xuất đợc 400 – x ( chi tiết máy )

Tháng sau tổ 1 đã làm vợt mức 10%x ( chi tiết máy )

tổ 2 đã làm vợt mức (400 – x ).15% ( chi tiết máy )

Do đó cả 2 tổ đã vợt đợc : 448 – 400 = 48 ( chi tiết máy )

Theo bài ra ta có phơng trình : 10%.x + ( 400 – x ).15% = 48

<=> x = 240 ( t/m điều kiện )Vậy : Tháng đầu tổ 1 sản xuất đợc 240 chi tiết máy, tổ 2 sản xuất đợc

400 – 240 = 160 chi tiết máy

Cách 2 : Gọi số chi tiết máy của tổ 1 sản xuất đợc trong tháng đầu là x

số chi tiết máy của tổ 2 sản xuất đợc trong tháng đầu là y

(x  Z , 0 < x < 400 , y  Z , 0 < y < 400 )

Ta có : x + y = 400 (1)

Trong tháng sau tổ 1 làm vợt mức 10%.x chi tiết máy

tổ 2 làm vợt mức 15%.y chi tiết máy

Bài toán 2 : Một tỉnh có tỷ lệ tăng dân số trớc kia là 2% với số dân đầu năm 2002 là 2

triệu dân Do tỷ lệ tăng dân số ở đây đã giảm đi chỉ còn 1,8% ở vùng thành thị và giảm đi

1000 ngời so với số đạt đợc với tỷ lệ 2% ở vùng nông thôn , nên số dân đầu năm 2003của tỉnh đó là 2038400 ngời Tính số dân ở vùng thành thị của tỉnh đó vào đầu năm 2003

- Giải : Gọi số dân vùng thành thị ; vùng nông thôn của tỉnh đó đầu năm 2002 lần lợt là

Số dân đầu năm 2002 của tỉnh đó ở vùng thành thị là 300000 ngời

Số dân tăng là : 1,8%.300000 = 5400 ( ngời )

Vậy: số dân tỉnh đó ở vùng thành thị đầu năm 2003 là :

300000 + 5400 = 305400(ngời)

* Tóm lại : Với loại toán này học sinh phải xác định tỷ lệ tăng năng suất lao động

iv Dạng toán về công việc làm chung , làm riêng