Skkn cấp tỉnh nâng cao năng lực mô hình hóa, giúp học sinh lớp 10 giải quyết tốt hơn một số bài toán Ứng dụng thực tiễn khi dạy học bài hệ thức lượng trong tam giác

Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể môn Toán được ban hành kèm theoThông tư 32/2018/TT-BGDĐT ngày 26 tháng 12 năm 2018 của Bộ trưởng BộGiáo dục và Đào tạo đã quy định chương trình T

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

Giáo dục Việt Nam đang tập trung đổi mới, hướng tới một nền giáo dục tiến

bộ, hiện đại ngang tầm với các nước trong khu vực và toàn thế giới Theo đó, việc

áp dụng các kiến thức toán học vào các tình huống thực tế trở thành một yêu cầuquan trọng trong quá trình dạy và học toán

Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể môn Toán được ban hành kèm theoThông tư 32/2018/TT-BGDĐT ngày 26 tháng 12 năm 2018 của Bộ trưởng BộGiáo dục và Đào tạo đã quy định chương trình Toán chú trọng tính ứng dụng, gắnkết với thực tiễn hay các môn học, hoạt động giáo dục khác, đặc biệt với các mônhọc nhằm thực hiện giáo dục STEM, gắn với xu hướng phát triển hiện đại của kinh

tế, khoa học, đời sống xã hội và những vấn đề cấp thiết có tính toàn cầu (như biếnđổi khí hậu, phát triển bền vững, giáo dục tài chính, ) Qua đó, năng lực mô hìnhhóa toán học trở thành một trong năm thành phần năng lực cốt lõi mà học sinh phảiđạt được thông qua việc học môn Toán

Các biểu hiện cụ thể của năng lực mô hình hóa toán học được hình thành và rènluyện xuyên suốt, liền mạch ở cả ba cấp học từ Cấp tiểu học đến Cấp trung học phổthông, từ mức độ đơn giản (biết quan sát, tìm kiếm sự tương đồng, khác biệt trongnhững tình huống quen thuộc) đến mức độ phức tạp (thành thạo các thao tác tưduy, lập luận để lý giải cho các tình huống phức tạp)

Tuy nhiên, trong giai đoạn đổi mới, một lớp thế hệ học sinh (học sinh lớp 10 cácnăm học 2022-2023, 2023-2024, 2024-2025) bị chuyển đổi giữa chừng từ chươngtrình giáo dục phổ thông 2006 sang chương trình giáo dục phổ thông 2018, các emkhông tránh khỏi sự bỡ ngỡ, khó khăn khi tiếp cận nội dung học mới, phương pháphọc mới Trong đó, việc chưa thành thạo các năng lực đặc thù ở các cấp học dưới(theo chương trình giáo dục phổ thông 2018) ảnh hưởng nhiều đến chất lượng họctập ở năm học lớp 10, kể cả năng lực mô hình hóa toán học

Phần hệ thức lượng trong tam giác là một trong những nội dung quan trọng vớinhiều ứng dụng vào đời sống Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy rằng đại đa

số học sinh (kể cả học sinh giỏi) khi gặp bài toán ứng dụng thực tế đều lúng túngkhông biết chuyển đổi sang ngôn ngữ toán học như thế nào, không biết vận dụngnội dung nào, không biết chuyển đổi từ ngôn ngữ thực tiễn sang ngôn ngữ toán học

và ngược lại

Từ những lý do trên tôi xin đưa ra đề tài: “Nâng cao năng lực mô hình hóa,

giúp học sinh lớp 10 giải quyết tốt hơn một số bài toán ứng dụng thực tiễn khi dạy học bài Hệ thức lượng trong tam giác ” .

- Mục tiêu nghiên cứu là phát triển sắp xếp, chuẩn hóa các bài toán giải tam giáctheo từng dạng toán, phân tích, định hướng nhằm giúp người học phát hiện ra điểmchốt cốt lõi của bài toán.

- Nghiên cứu về ứng dụng hệ thức lượng trong tam giác vào giải quyết một số bàitoán thực tiễn trong dạy và học chương trình giáo dục phổ thông mới ở mức nhậnbiết thông hiểu và vận dụng, phân tích, định hướng nhằm giúp người học phát hiện

ra vấn đề cốt lõi trong từng dạng toán, từ đó nâng cao năng lực giải toán ứng dụng

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Các bước mô hình hóa và ứng dụng nhằm giúp học sinh THPT nói chung vàhọc sinh lớp 1 nói riêng Cụ thể, đối tượng học sinh mà tôi tiến hành rèn luyện lànhững học sinh mà bản thân trực tiếp giảng dạy đó là lớp 10B5 - 46 học sinh, lớp10B8 - 42 học sinh, năm học 2024 - 2025

Nghiên cứu các dạng toán bằng các phương pháp chuyển đổi cơ bản sẽ xuấthiện bài toán giải tam giác để giải quyết một số vấn đề thực tiễn dạy và học chươngtrình giáo dục phổ thông mới

Cách sắp xếp các các bài toán có cùng phương pháp giải theo một trình tự khaithác khác nhau trên cùng logic

Các bài toán đều hướng đến đưa về các dạng bài toán trong SGK 1.4 Phương pháp nghiên cứu

+ Nghiên cứu lý luận chung

+ Khảo sát điều tra từ thực tế dạy và học

+ Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên cùng bộ môn + Liên hệ thực tế trong nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm qua quá trìnhgiảng dạy Thống kê toán học, so sánh trước và sau khi áp dụng sáng kiến qua việcgiảng dạy trực tiếp ở các lớp khối 10 trong các năm học trước và năm học 2024-

2025 Nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu các tài liệu về các nội dung liênquan đến năng lực mô hình hóa toán học theo chương trình giáo dục phổ thông2018

+ Điều tra quan sát thực tiễn: Thực trạng về khả năng mô hình hóa toán họccủa học sinh lớp 10 năm học 2024-2025 Trường trung học phổ thông Lam Kinh

+ Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm tại trường THPT

nhiều tài liệu khác nhau tôi đã biên soạn đề tài này nhằm giúp đồng nghiệp thuậnlợi và khoa học hơn trong biên soạn các chuyên đề dạy học đặc biệt là đối tượnghọc sinh TB-khá, giỏi

- Mô hình hóa toán học trong dạy học

Theo chương trình GDPT 2018, mô hình hóa là một trong 5 năng lực cốt lõi Năm

1970, Pollak đã đưa ra sơ đồ mô hình hóa đầu tiên về sự chuyển đổi giữa thực tiễn

- toán học và ngược lại khi thực hiện mô hình hóa

Sơ đồ 1: Sơ đồ quá trình mô hình hóa của Pollak

Từ sơ đồ ta thấy, tình huống thực tiễn ban đầu được phiên dịch sang tình huốngtoán học dựa trên ngôn ngữ toán học, rồi giải bài toán trong mô hình đó, và quay lại

áp dụng kết quả với tình huống thực tiễn ban đầu Chiều các mũi tên biểu thị cho

sự chuyển đổi giữa thực tiễn và toán học nhiều lần

Theo Swetz và Hartzler, quy trình mô hình hóa bao gồm 4 giai đoạn chủ yếu sauđây

Giai đoạn 1: Quan sát hiện tượng thực tiễn, xây dựng tình huống, tìm các yếu tốtrọng tâm có ảnh hưởng đến vấn đề thực tiễn

Giai đoạn 2: Lập giả thuyết về mối quan hệ giữa các yếu tố dùng ngôn ngữ toánhọc Dựa vào đó, xây dựng bài mô hình toán học tương ứng

Giai đoạn 3: Vận dụng các phương pháp và công cụ toán học phù hợp với tìnhhuống thực tiễn để mô hình hóa bài toán và phân tích mô hình

Giai đoạn 4: Đưa ra kết quả, đối chiều mô hình với thực tiễn và rút ra kết luận

- Kiến thức cơ bản

a Định lý cosin trong tam giác

b Định lý sin trong tam giác:

đường tròn ngoại tiếp là R Khi đó:

ToánhọcThực

tiễn

c Công thức tính diện tích tam giác Cho tam giác ABC có Ta kí hiệu: - lần lượt là đường cao kẻ từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC - lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC - là nửa chu vi tam giác ABC - là diện tích tam giác ABC Khi đó, ta có các công thức tính diện tích tam giác sau:

2.2 Thực trạng trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

- Học sinh thường học công thức một cách thuộc lòng, không hiểu bản chất, dẫn đến không nhớ công thức, không vận dụng linh hoạt trong những bài toán ứng dụng thực tiễn được

- Các ví dụ trong SGK còn ít tính thực tế hoặc chưa được khai thác hết tiềm năng mô hình hóa

- Giáo viên chủ yếu dạy theo cách truyền thống, chưa gắn với thực tiễn

- Thiếu tài nguyên hỗ trợ mô hình hóa (phần mềm, hình ảnh, tình huống thực tiễn)

- Trong chương trình giáo dục phổ thông 2006, việc vận dụng toán học vào giải quyết các bài toán thực tế đã được đề cập đến và đẩy mạnh trong suốt một thời gian dài triển khai đổi mới Các bài toán mang tính thực tế có yêu cầu học sinh phải

mô hình hóa đã xuất hiện từ cấp tiểu học như các bài toán tính diện tích, chu vi của

mảnh vườn; bài toán tìm số tuổi của các thành viên trong gia đình Đến cấp trunghọc cơ sở, các em được làm quen với các bài toán giải bằng cách lập phương trình,lập hệ phương trình Tất cả các bài toán như vậy đều giúp học sinh phát triển nănglực mô hình hóa toán học.

Tuy nhiên, do việc kiểm tra, đánh giá lại thiên về đánh giá kiến thức, kỹ năng giảitoán nên phần lớn học sinh được phụ huynh và thầy cô quan tâm đến phần kiếnthức thuần túy toán học Các em có thể giải được phương trình bậc hai, các phươngtrình đưa về được phương trình bậc hai một cách thành thạo; có thể giải được hệphương trình bậc nhất hai ẩn theo nhiều cách khác nhau… Nhưng các em lại gặpnhiều khó khăn khi giải quyết các bài toán trong thực tế hoặc được thực tế hóa, ví

dụ như bài toán về chuyển động khi hỏi hai xe gặp nhau ở đâu? Bài toán về năngsuất khi hỏi hoàn thành công việc trong bao lâu?

Ở lớp 10 (chương trình giáo dục phổ thông 2018), các bài toán thực tế được đưavào hầu như ở tất cả các kiến thức của toán học: mệnh đề, hàm số bậc hai, phươngtrình quy về phương trình bậc hai, vectơ… Nhưng phần lớn học sinh không thểchọn được đại lượng để đặt làm ẩn số, không thể thiết lập các biểu thức, không thểxây dựng thành các yêu cầu toán học cụ thể, dẫn đến không thể giải quyết đượcyêu cầu đặt ra Điều đó cho thấy năng lực mô hình hóa toán học của các em đangcòn nhiều hạn chế

Học sinh trường THPT Lam Kinh ban cơ bản đa số còn nhận thức chậm, chưa hệthống được kiến thức Toán học Khi gặp các bài toán thực tế các em còn lúng túng,chưa phân loại và định hình được cách giải

Qua việc khảo sát kiểm tra định kỳ và việc học tập, làm bài tập hàng ngày, tôinhận thấy học sinh thường bỏ qua thậm chí không cả đọc đề khi làm đến bài toánứng dụng thực tiễn

Sơ đồ 2: Quy trình mô hình hóa trong dạy học môn Toán

Quy trình mô hình hóa được vận hành một cách linh hoạt, giáo viên cần hướng dẫn họcsinh nắm được các yêu cầu cụ thể của từng bước sau đây:

-Bước 1 (Toán học hóa, hiểu tình huống thực tiễn): Hiểu rõ vấn đề thực tiễn, xây dựng giảthuyết sau đó mô tả và diễn đạt vấn đề bằng công cụ và ngôn ngữ toán học Đây là quá trìnhchuyển đổi tình huống thực tiễn sang toán học bằng cách xây dựng mô hình toán họctương ứng

-Bước 2 (Giải bài toán): Sử dụng kiến thức toán học thích hợp để giải quyết bài toán đãđược toán học hóa Để giải được bài toán, học sinh cần phải có phương pháp phù hợp,công cụ toán học tối ưu để xây dựng và giải quyết vấn đề toán học một cách hiệu quả.-Bước 3 (Thông hiểu): Hiểu được ý nghĩa lời giải của bài toán với tình huống thựctiễn banđầu Học sinh cần phát hiện được ưu, nhược điểm của kết quả toán học vào tình huốngthực tiễn

-Bước 4 (Đối chiếu, kiểm định kết quả): Đối chiếu giả thuyết ban đầu đưa ra, tìm hiểunhững hạn chế của mô hình toán học, lời giải của bài toán, xem xét lại các công cụ vàphương pháp toán học đã sử dụng, đối chiếu để cải tiến mô hình, xây dựng mô hình mới Ởbước này, có thể xảy ra hai trường hợp:

Trường hợp 1: Mô hình và kết quả tính toán phù hợp với thực tiễn Khi đó, cần tổng kết lại

cách đặt vấn đề, mô hình toán học đã xây dựng, các công cụ toán học đã sử dụng và kết quảthu được

Trường hợp 2: Mô hình và kết quả không phù hợp với thực tiễn Khi đó, cần tìm hiểu

nguyên nhân và hạn chế Mô hình toán học xây dựng đã phù hợp chưa, có phản ánh đượcđầy đủ thực tiễn hay không? Nếu chưa cần xây dựng lại, điều chỉnh sao cho phù hợp

4 Cơ chế điều chỉnh quá trình mô hình hóa.

Trong thực tế dạy học, quy trình mô hình hóa ở trên luôn tuân theo một cơ chế điều chỉnhphù hợp nhằm làm đơn giản hóa và làm cho vấn đề trở nên dễ hiểu hơn đối với học sinh ở

HIỂU TÌNH HUỐNG TRONG THỰC TẾ

Lời giảitoán học

Diễn đạtbằng ngônngữ toán

Giả thuyếttình huốngVấn đề

thực tiễn

trường phổ thông Cơ chế điều chỉnh này được thể hiện qua mối liên hệ mật thiết giữa toánhọc với các vấn đề trong thực tiễn

Sơ đồ 3: Cơ chế điều chỉnh quá trình mô hình hóa

Cơ chế điều chỉnh trên bao gồm các bước cụ thể như sau:

- Tìm hiểu, xây dựng cấu trúc, làm sáng tỏ, phân tích, đơn giản hóa vấn đề, xác định giảthuyết, tham số, biến số trong phạm vi của vấn đề thực tế

- Thiết lập mối liên hệ giữa các giả thuyết khác nhau đã đưa ra

- Lựa chọn và sử dụng hiệu quả phương pháp giải quyết vấn đề và quá trình mô hình hóa

- Lựa chọn và sử dụng các mô hình toán học phù hợp với tình huống thực tế cũng như tínhtoán đến sự phức tạp của nó

- Tìm hiểu các ưu điểm và hạn chế của mô hình đã đưa ra, sau đó cải tiến mô hình cho phùhợp với thực tiễn

- Hiểu được ý nghĩa của mô hình toán học trong hoàn cảnh thực tế có độ phức tạp cao hơn

- Kiểm tra tính hợp lí và tối ưu của mô hình đã xây dựng

5 Các bước tổ chức hoạt động mô hình hóa ở trường phổ thông.

Có thể đưa ra quy trình 4 giai đoạn tổ chức hoạt động mô hình hóa trong dạy học môn Toán

10 như sau:

Giai đoạn 1: Toán học hóa

Học sinh hiểu được vấn đề thực tiễn, xác định các giả thuyết để đơn giản hóa vấn đề, mô tả

và thể hiện vấn đề bằng công cụ và ngôn ngữ toán học Xác định các khái niệm, các biến

số, mối liên hệ giữa các biến, từ đó biểu diễn vấn đề dưới ngôn ngữ toán học Quá trình này

là quá trình chuyển đổi từ thực tiễn sang toán học

Giai đoạn 2: Giải bài toán (làm việc với toán)

Học sinh lựa chọn, sử dụng các công cụ và phương pháp toán học thích hợp để xây dựng

và giải quyết bài toán, có thể sử dụng sự hỗ trợ của công nghệ thông tin

Giai đoạn 3: Thông hiểu bài toán (chuyển đổi)

Học sinh hiểu lời giải của bài toán đã được chuyển đổi từ tình huống trong thực tiễn (bàitoán ban đầu) và hiểu được ý nghĩa lời giải của bài toán trong hoàn cảnh thực tiễn, trong đócần nhận ra những hạn chế và khó khăn có thể có khi áp dụng kết quả này vào các tìnhhuống thực tiễn

Giai đoạn 4: Đối chiếu thực tế (phản ánh)

Cơ chế điều chỉnh: kiểm

nghiệm lại mô hình và quá trình mô hình hóa

Giải bài toán Hiểu lời giải bài toán

Xem lại các giả thuyết, các hạn chế của mô hình toán học cũng như lời giải của bài toán,các công cụ và phương pháp toán học đã sử dụng, đối chiếu thực tiễn để cải tiến mô hình

đã xây dựng và tiến tới cải tiến mô hình cũng như lời giải của bài toán Giai đoạn này yêucầu học sinh phải có hiểu biết rõ về các công cụ toán học cũng như việc sử dụng nó để giảiquyết các vấn đề nảy sinh trong cuộc sống

Như vậy, hầu hết các quy trình mô hình hóa toán học đều gồm 4 yếu tố chính là: toán họchóa, làm việc với toán, chuyển đổi và phản ánh

2.3.2 Giúp học sinh giải quyết một số tình huống mô hình hóa thường gặp 2.3.2.1 Tình huống 1: Tính khoảng cách giữa hai điểm không thể đo trực tiếp.

Bài toán khám phá: Một đường hầm được dự kiến xây dựng xuyên qua một ngọn

núi Để ước tính chiều dài của đường hầm, một kĩ sư đã thực hiện các phép đo vàcho ra kết quả như hình vẽ Tính chiều dài của đường hầm từ các số liệu đã khảosát được ?

Giải

Bước 1: Hiểu tình huống thực tiễn phải đo khoảng cách từ A đến B mà không đi

xuyên hầm được.Tình huống này dẫn đến bài toán tính 1 cạnh của tam giác khi

đo được 2 cạch và góc xen giữa, vì thế ta áp dụng định lí cosin

Bước 2: Giải bài toán:

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

Vậy, đường hầm dài khoảng 417 m

Bước 3 (Thông hiểu): Học sinh hiểu được đường đi xuyên hầm dài khoảng hơn

400m, còn đi đường vòng thì dài hơn Và học sinh có thể chọn vị trí đo sao chothuận tiện nhất

Bước 4 (đối chiếu kiểm định kết quả): Giúp các em liên hệ thực tế xem chiều dài

của đường hầm tầm hơn 400m có hợp lí không, so sánh với một số hầm trong thực

tế như: Hầm Hải Vân dài 6280m, hầm Tam Điệp dài 245m… qua đó các em hiểuthêm một số kiến thức thực tế.

Bài toán tương tự:

Bài 1: (Bài 4 trang 43 - SGK KNTT) Để

tránh núi, đường giao thông hiện tại phải đi

vòng như mô hình trong Hình 3.19 Để rút

ngắn khoảng cách và tránh sạt lở núi, người

ta dự định làm đường hầm xuyên núi nối

thẳng từ A đến D Hỏi độ dài đường mới sẽ

giảm bao nhiêu kilômét so với đường cũ?

Bài 2 (trang 100 - SGK Cánh diều) Để đo

khoảng cách giữa 2 vị trí M và N ở hai phía ốc

đảo, người ta chọn vị trí O bên ngoài ốc đảo

sao cho O không thuộc đường thẳng MN; các

khoảng OM, ON và góc MON là đo được (hình

72) Sau khi đo ta có ,

2 điểm M, N là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả

đến hàng đơn vị)?

Bài 3 (trang 77 - SGK Cánh diều) Để tính

khoảng cách giữa hai địa điểm và mà ta

không thể đi trực tiếp từ đến (hai địa điểm

nằm ở hai bên bờ một hồ nước, một đầm lầy, ),

người ta tiến hành như sau: Chọn một địa điểm

sao cho ta đo được các khoảng cách ,

và góc Sau khi đo, ta nhận được:

Tính khoảng cách (làm tròn kết quả đến

hàng phần mười theo đơn vị mét)

Bài 4 (trang 81 - SBT CTST) Hai máy bay rời sân bay cùng một

lúc Một chiếc bay với vận tốc theo hướng lệch so với

hướng bắc về phía tây Chiếc còn lại bay lệch so hướng nam

về phía tây với vận tốc (Hình 1) Hỏi hai báy bay đó

cách nhau bao xa sau 3 giờ?

Bài 5 (trang 69 - SGK CTST) Trong một khu bảo tồn, người ta xây dựng một

tháp canh và hai bồn nước A, B để phòng hỏa hoạn Từ tháp canh, người ta pháthiện đám cháy và số liệu đưa ra như Hình 9 Nên dẫn nước từ bồn A hay B để dậptắt đám cháy nhanh hơn?

định chiều cao của một tòa nhà hoặc cây cao từ điểm quan sát trên mặt đất

Bài toán khám phá: Trong lần đến tham quan tháp Eiffel (ờ Thủ đô Paris, Pháp),

bạn Phương muốn ước tính độ cao của tháp Sau khi quan sát bạn Phương minhhoạ lại kết quả đo đạc ở Hình 27 Em hãy giúp bạn Phương tính độ cao

của tháp Eiffel (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Giải

Bước 1: Hiểu tình huống thực tiễn đo chiều cao tháp khi không đến được chân

tháp, chọn 2 điểm trên mặt đất có thể đo khoảng cách giữa 2 điểm đó Đo khoảngcách từ 2 điểm đó tới đỉnh tháp, từ đó dẫn đến bài toán biết 1 cạnh và 2 góc kề vớicạnh đó tính chiều cao của tam giác Ta liên hệ đến định lí sin trong tam giác

Bước 2: Giải bài toán:

Xét tam giác , sử dụng tính chất góc ngoài, ta có: