Skkn cấp tỉnh hướng dẫn học sinh giải một số bài toán cực trị liên quan Đến biểu thức vectơ trong hình tọa Độ không gian

Các bài toán cực trị trong hình học tọa độ khônggian là một dạng toán khó đòi hỏi học sinh vừa phải biết tư duy hình học vừaphải biết kết hợp sử dụng phương pháp tọa độ trong khô

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 2

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ LIÊN QUAN ĐẾN BIỂU THỨC VECTƠ TRONG HÌNH HỌC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN

Người thực hiện: Lê Thị Mỹ Bình Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán

THANH HOÁ, THÁNG 5 NĂM 2025

MỤC LỤC

1 - PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài

1.2 Mục đích nghiên cứu

1.3 Đối tượng nghiên cứu

1.4 Phương pháp nghiên cứu

1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm

2 - NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

I Một số kết quả cơ bản sử dụng trong sáng kiến kinh nghiệm

II Một số dạng toán thường gặp

III Một số bài toán mở rộng

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,

với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

3 - PHẦN KẾT LUẬN 3.1 Kết luận

3.2 Kiến nghị

01010101010202020202041620

212121

Phần 1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài :

Trong việc dạy học toán ta luôn coi mục đích chủ yếu của bài tập toán làhình thành và phát triển tư duy toán học, tạo cho học sinh vốn kiến thức và vậndụng kiến thức vào thực tiễn Vì vậy việc xây dựng và hình thành cho học sinhphương pháp giải từng dạng toán là hết sức cần thiết

Trong các đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông, đề thi học sinh giỏi hay

đề thi HSA, TSA thường xuất hiện các bài toán về phương pháp tọa độ trongkhông gian Có thể nói rằng các bài toán về phương pháp tọa độ trong khônggian rất đa dạng phong phú Các bài toán cực trị trong hình học tọa độ khônggian là một dạng toán khó đòi hỏi học sinh vừa phải biết tư duy hình học vừaphải biết kết hợp sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian

Trong năm học 2024 – 2025, tôi được phân công giảng dạy lớp 12.Trước khi dạy chương phương pháp tọa độ trong không gian, bản thân tôi luôntrăn trở: làm thế nào để khi học sinh đọc đề thi thấy xuất hiện câu cực trị hìnhhọc trong không gian nhưng học sinh không cảm thấy ngại Với suy nghĩ nhưvậy tôi đã chuẩn bị một chuyên đề xem như một đề tài cải tiến phương pháp dạy

học: “Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán cực trị liên quan đến biểu thức vectơ trong hình tọa độ không gian”.

1.2 Mục đích nghiên cứu:

Nhằm giúp học sinh định hướng được dạng của bài toán cực trị tronghình học tọa độ không gian Bồi dưỡng cho học sinh phương pháp, kĩ năng giảitoán, qua đó nâng cao tư duy, tạo hứng thú học tập cho học sinh

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

- Học sinh lớp 12 bậc trung học phổ thông

- GV dạy toán bậc trung học phổ thông

1.4 Phương pháp nghiên cứu:

Phương pháp nghiên cứu của đề tài là xây dựng cơ sở lý thuyết, vận dụngvào bài tập thông qua hệ thống ví dụ

1.5 Những điểm mới của SKKN:

Trong sáng kiến kinh nghiệm này, tôi đã tổng hợp và phân dạng một sốbài toán cực trị liên quan đến biểu thức vectơ trong hình học tọa độ không gian

và trình bày phương pháp giải cho từng dạng để học sinh có cái nhìn cụ thể hơntrong quá trình rèn luyện kỹ năng giải toán

Phần 2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận:

Thực trạng đứng trước một bài toán hình học tọa độ trong không gian họcsinh thường lúng túng và đặt ra câu hỏi: “Phải định hướng tìm lời giải bài toán

từ đâu?” Một số học sinh có thói quen không tốt là khi đọc đề chưa kỹ đã vộilàm ngay, có khi sự thử nghiệm đó sẽ dẫn tới kết quả, tuy nhiên hiệu suất giảitoán như thế là không cao Với tình hình ấy để giúp học sinh định hướng tốt hơntrong quá trình giải toán hình học toạ độ trong không gian, người giáo viên cầntạo cho học sinh thói quen xem xét bài toán dưới nhiều góc độ, khai thác các yếu

tố đặc trưng hình học của bài toán để tìm lời giải Trong đó việc hình thành chohọc sinh khả năng tư duy theo các phương pháp giải là một điều cần thiết Việctrải nghiệm qua quá trình giải toán sẽ giúp học sinh hoàn thiện kỹ năng địnhhướng và giải toán

Trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi sẽ chỉ ra một trong nhiều nội dungđược áp dụng có hiệu quả Việc đưa nội dung này nhằm khai thác các tính chấttoán học để định hướng tìm lời giải cho bài toán, qua đó giúp học sinh chủ độnghơn trong việc tìm kiếm lời giải cũng như phân loại một cách tương đối các bàitoán cực trị liên quan đến biểu thức vectơ trong hình học toạ độ không gian

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:

Trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy việc tiếp thu kiến thức và vậndụng kiến thức để giải các bài toán về cực trị trong hình học tọa độ không giancủa phần lớn các em học sinh còn gặp nhiều khó khăn trong việc định hướng,tìm ra phương pháp thích hợp để xử lí bài toán

Đối với học sinh : Khi chưa cải tiến phương pháp mỗi lớp chỉ được 10/45

em tập trung làm bài tập dạng này

Đối với giáo viên : Sách giáo khoa hầu như bỏ qua dạng bài tập này, một

số tài liệu cũng có điểm qua nhưng không có tính chất hệ thống

2.3 Các sáng kiến hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề:

I Một số kết quả cơ bản sử dụng trong sáng kiến kinh nghiệm:

Kết quả 1 Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn thì lớn hơn

Kết quả 2 Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm nằm

ngoài đường thẳng đến đường thẳng đó thì đường vuông góc là đường ngắnnhất Như trong hình vẽ ta luôn có

Kết quả 3 Với ba điểm bất kì ta luôn có bất đẳng thức

Tổng quát hơn ta có bất đẳng thức của đường gấp khúc: Với điểm

ta luôn có

Kết quả 4 Với hai véc tơ ta luôn có Đẳng thức xảy ra khi

Kết quả 5 Với hai số không âm ta luôn có Đẳng thức xảy

ra khi và chỉ khi

Kết quả 6 Với các số thực bất kỳ ta luôn có:

(BĐT Bunhiacopxki)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Kết quả 7 Với các số thực bất kỳ ta luôn có:

(BĐT vectơ hay BĐT Minkowski)

Đẳng thức xảy ra khi

Kết quả 8 Cho điểm cố định và điểm di động trên hình ( làđường thẳng, mặt phẳng) Khi đó đạt giá trị nhỏ nhất khi là hình chiếucủa lên

Kết quả 9 Cho điểm và mặt cầu có tâm bán kính là điểm diđộng trên Khi đó:

- Giá trị nhỏ nhất của bằng

- Giá trị lớn nhất của bằng

II Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1 Cho mặt phẳng và hai điểm phân biệt Tìm điểm thuộcmặt phẳng sao cho

- TH1: Nếu và nằm cùng một phía so với Khi đó:

Đẳng thức xảy ra khi là giao điểm của với

- TH2: Nếu và nằm khác phía so với Gọi đối xứng với qua Khi đó:

Đẳng thức xảy ra khi là giao điểm của với

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho hai điểm và

Tìm điểm thuộc mặt phẳng sao cho nhỏ nhất

Lời giải

Dễ thấy nằm khác phía so với mặt phẳng

Ta có Dấu xảy ra với Vậy nhỏ nhất khi và chỉ khi , và thẳng hàng.

Khi đó và cùng phương

Ví dụ 2: Hai chiếc flycam được điều khiển cùng bay lên tại cùng một địa điểm.

Sau một thời gian bay, chiếc flycam thứ nhất bay đến vị trí điểm cách mặt đất cách điểm xuất phát về phía nam và về phía đông Chiếc flycamthứ hai bay đến điểm cách mặt đất cách điểm xuất phát về phía bắc

và về phía tây Chọn hệ trục tọa độ với gốc đặt tại điểm xuất phátcủa hai chiếc flycam, mặt phẳng trùng với mặt đất (coi như phẳng) cótrục hướng về phía nam, trục hướng về phía đông và trục hướngthẳng đứng lên trời (đơn vị đo mỗi trục là mét)

Trên mặt đất người ta đặt một thiết bị phá sóng flycam sao cho có thể phá sónghai chiếc flycam tại hai vị trí cùng một lúc Tìm vị trí điểm đặt thiết bị phásóng sao cho tổng khoảng cách từ thiết bị đó đến hai chiếc flycam tại hai vị trí

và ngắn nhất?

Lời giải

Gọi là điểm đối xứng với qua mặt phẳng

Với mọi điểm ta có

Vậy tổng khoảng cách ngắn nhất từ thiết bị đó đến hai flycam là :

Dấu xảy ra khi thiết bị phá sóng đặt tại là giao điểm của đoạn

Khi đó cùng phương

Vậy thiết bị phá sóng đặt tại điểm

Ví dụ 3: Cho , là một điểm di động trên mặt phẳng

Khi đó tính giá trị lớn nhất của biểu thức ?

Bước 1: Tìm toạ độ các điểm theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của lên

Bước 2: Tính các độ dài từ đó tìm được điểm chia véc tơ theo tỷ số (Gọi là điểm chia theo tỷ số )

Bước 3: Gọi là điểm thuộc mp ,

khác phía đối với và thoả mãn:

Ví dụ: Cho và đường thẳng

Tìm điểm trên sao cho nhỏ nhất

Lời giải:

+ Gọi là hình chiếu vuông góc của lên

Vì

+ Gọi là hình chiếu vuông góc của lên

Vì :

Vậy, điểm chia véc tơ theo tỉ số:

+ Gọi là điểm thuộc mặt phẳng xác định

bởi và ( và khác phía đối với )

thẳng hàngVậy :

Khi đó đạt giá trị nhỏ nhất bằng

Ví dụ: Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng

sao cho đạt giá trị nhỏ nhất Tính

Dạng 3.1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A, B và mặt cầu

Tìm điểm thuộc mặt cầu sao cho: nhỏ nhất

Phương pháp giải

Bước 1: Giả sử , ta biểu diễn theo

Bước 2: Sử dụng bất đẳng thức vectơ (bất đẳng thức Minkowski) để suy ra giá

trị nhỏ nhất của biểu thức

Ví dụ: Hệ thống định vị toàn cầu GPS hiện tại có 24 vệ tinh, mỗi vệ tinh cách

trái đất 20000 km, ta coi Trái đất là một khối cầu có bán kính (nghìn km).Với hệ tọa độ đã chọn, là tâm trái đất và đơn vị trên mỗi trục là nghìn

mặt Trái Đất Tính giá trị nhỏ nhất của theo đơn vị nghìn km (làmtròn đến hàng đơn vị)

Do đó đạt giá trị nhỏ nhất trên nửa khoảng bằng:

khi khi

Dạng 3.2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A, B và mặt cầu

Tìm điểm thuộc mặt cầu sao cho: lớn nhất

Phương pháp giải

- Gọi là trung điểm của đoạn thẳng Ta có:

- Vậy lớn nhất khi lớn nhất

Khi đó lớn nhất khi là giao điểm của với mặt cầu

Ví dụ: Trong không gian (đơn vị độ dài trên các trục là kilomét), mộttrạm thu phát sóng điện thoại di động có đầu thu đặt tại điểm biết rằngbán kính phủ sóng của trạm là Hai người sử dụng điện thoại lần lượt tại

và Gọi là một điểm thuộc ranh giới vùng phủsóng của trạm sao cho tổng khoảng cách từ đến vị trí và lớn nhất Tính

Lời giải

Xét mặt cầu có tâm , bán kính Ta có

nên cả hai điểm đều nằm ngoài mặt cầu

Khi đó lớn nhất khi lớn nhất Điều kiện cần để lớn nhất là

là giao điểm của với mặt cầu

có phương trình là (1)

Dạng 4 Trong không gian cho các điểm Xét véc tơ:

Tìm điểm thuộc (đường thẳng ) sao cho có độ dài nhỏ nhất

Ví dụ 1: Trong không gian cho các điểm , ,

Tìm điểm là điểm thuộc mặt phẳng sao cho

Ta có

Suy ra khi và chỉ khi là hình chiếu của lên

Ví dụ 2: Trong không gian cho các điểm , ,

Tìm điểm trên trục sao cho biểu thức

đạt giá trị nhỏ nhất

Ví dụ 3: Trong không gian cho các điểm , ,

mặt phẳng sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.Tính giá trị của biểu thức

Dạng 5 Trong không gian cho các điểm Xét véc tơ:

Tìm điểm thuộc mặt cầu có tâm và bán kính bằng sao cho có

độ dài nhỏ nhất (lớn nhất)

Phương pháp giải

Gọi là điểm thỏa mãn:

(điểm hoàn toàn xác định)

Do đó:

Vì là hằng số khác không nên có giá trị nhỏ nhất (lớn nhất)khi và chỉ khi nhỏ nhất bằng (lớn nhất bằng ), và điểm cần tìm là giao điểm của và mặt cầu

Ví dụ: Trong không gian với hệ tọa độ , cho ba điểm

Do đó, nhỏ nhất (lớn nhất) khi và chỉ khi nhỏ nhất (lớn

và mặt cầu

Ta có phương trình đường thẳng

Mà

Dạng 6 Trong không gian với hệ tọa độ cho các điểm Xétbiểu thức:

Tìm điểm thuộc mặt phẳng (đường thẳng ) sao cho:

1 có giá trị nhỏ nhất biết

2 có giá trị lớn nhất biết

Phương pháp giải.

Gọi là điểm thỏa mãn:

Do đó:

Với thì đạt giá trị nhỏ nhất nhỏ nhất

Với thì đạt giá trị lớn nhất nhỏ nhất

Mà nên nhỏ nhất khi điểm là hình chiếu của trên

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho tam giác có

a) Tìm điểm thuộc mặt phẳng để biểu thức

đạt giá trị lớn nhất

giá trị nhỏ nhất

Lời giải

là hình chiếu của lên Suy ra

b) Trong không gian với hệ tọa độ cho đường thẳng

đạt giá trị lớn nhất

Lời giải:

a) Giả sử thỏa mãn:

Vì cố định nên nhỏ nhất khi và chỉ khi nhỏ nhất

là hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng

Gọi là đường thẳng qua và vuông góc với

Tọa độ của là nghiệm của hệ:

b) Gọi là điểm thỏa mãn:

Vì cố định nên lớn nhất khi và chỉ khi nhỏ nhất

là hình chiếu vuông góc của lên

Dạng 7 Trong không gian với hệ tọa độ cho các điểm Xétbiểu thức:

Tìm điểm thuộc mặt cầu sao cho đạt giá trị nhỏ nhất (lớn nhất)

Phương pháp giải.

Gọi là điểm thỏa mãn:

Do đó:

Nếu thì đạt giá trị nhỏ nhất (lớn nhất) khi và chỉ khi nhỏ nhất bằng (lớn nhất bằng )

Với thì đạt giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) khi và chỉ khi nhỏ nhất bằng (lớn nhất bằng )

Mà nên nhỏ nhất (lớn nhất) khi điểm là giao điểm của đường thẳng và mặt cầu

Ví dụ: Trong không gian với hệ tọa độ , cho ba điểm

cho biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất Khi đó tính giátrị nhỏ nhất của ?

Lời giải

là ba đỉnh của một tam giác

Mặt cầu có tâm và bán kính

Ta có:

trị nhỏ nhất khi và chỉ khi nhỏ nhất

Mà nên là giao điểm của đoạn và mặt cầu

Ta có:

III Một số bài toán mở rộng:

Trong một số bài toán, sau khi sử dụng một số phép biến đổi vectơ, ta có thể đưa về các dạng cơ bản như trên.

Ví dụ 1: Trong không gian , cho 3 điểm , và

đạt giá trị lớn nhất

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ cho điểm

Gọi là điểm thuộc mặt phẳng sao cho biểu

Lời giải.

Gọi điểm sao cho:

và điểm sao cho:

Ta có :

Như vậy bài toán đã cho có thể đưa về bài toán dạng: Tìm điểm sao

cho biểu thức : đạt giá trị nhỏ nhất, với cho trước.

Ví dụ 3: Trong hệ cho các điểm và đường thẳng

Một điểm thay đổi trên Xác định vị trí của để chu vi tam giác đạt giá trị nhỏ nhất

Lời giải:

đạt giá trị nhỏ nhất đạt giá trị nhỏ nhất

Như vậy bài toán đã cho có thể đưa về bài toán dạng: Tìm điểm sao cho

biểu thức : đạt giá trị nhỏ nhất, với cho trước.

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ cho hình chóp đều

có đáy là hình vuông tâm là gốc tọa độ , cạnh bằng ;, các đỉnh lần lượt nằm trên các tia

đạt giá trị lớn nhất

Lời giải

Ta có:

Như vậy bài toán đã cho có thể đưa về bài toán dạng: Tìm điểm sao

cho biểu thức : đạt giá trị lớn nhất, với cho trước.

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ , cho véc tơ và hai

sao cho cùng hướng với và Tìm giá trị lớn nhất của

Lời giải

Vì cùng hướng với nên tồn tại số thực sao cho

Gọi thỏa mãn

Như vậy bài toán đã cho có thể đưa về bài toán dạng: Tìm điểm sao

cho biểu thức : đạt giá trị lớn nhất, với cho trước.

Ví dụ 6: Trong không gian với hệ trục tọa độ cho các điểm

và điểm thỏa mãn:

lớn nhất Tính