Luận văn hàm chính quy nhận giá trị trong Đại số clifford phụ thuộc tham số và Ứng dụng

Đặc biệt trong thời gian gần đây, giải tích Cliford đang có một vấn đề thời sự rất được quan tâm khi một số nhóm nghiên cứu đã công bố các kết quả về đại số Clifford phy thude tham số..

_BO GIAO DUC VA DAO TAO | TRUONG DAI HOC BACH KHOA HÀ NỘI

TA TH] THANH MAI

HAM CHINH QUY NHAN GIA TRI TRONG

DAI SO CLIFFORD PHU THUOC THAM SO VA

UNG DUNG

LUAN AN TIEN Si KHOA HOC

CHUYEN NGANH: TOAN CONG NGHE

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS.TSKH LÊ HÙNG SƠN

Hà Nội - 2009

tác giả xin bày tổ lòng bị

hoe Lé Ting Son, người thầy đã tận tâm chỉ bảo tác giả trong suốt

quá trình theo học cao học Giáo sư cũng là người đã định hướng nghiên cứu, đưa ra những chỉ dẫn quý báu ngay từ khi ý tưởng luận

văn được hình thành cho đến lúc bản thảo hoàn thiện

"ác giả xin chân Lhành cảm ơn Giáo sự Wollsang “Tutschke đã cho những lời khuyên bổ ích và cho phép sử dụng một số tài liệu tham

khảo quan trọng giúp hoàn thiện những kết quả chính trong luận

văn

Tac gia cing xin trân trạng cảm ơn sự động viên giúp đỡ của cdc

thấy cũ giáo, bạn bè đồng nghiệp trong khoa Toán - Tìn ứng dụng,

geminar "Phương trình vi phần và đạo hàm riêng" đã bạo ruối trường học tập nghiên cứu hết sức thuận lợi và trao đổi những ý kiển đóng góp quý trong suốt quá trình công tác, học tập của tác giả cũng

nh giúp luận văn này được hoàn thành

Tac gid: Ta Thi Thanh Mai

àn đây, giải tích Clfford mặc dù là một nhánh

"rang hai thập

nghiên cứu mới nhưng đã phát triển mạnh mẽ và nhanh chóng Lrở

thành công en quan trọng có nhiền ứng dụng từ trong nội bộ toán

học dẫn những vần đề trong vật lý hay kỹ thuật

Đặc biệt trong thời gian gần đây, giải tích Cliford đang có một vấn

đề thời sự rất được quan tâm khi một số nhóm nghiên cứu đã công

bố các kết quả về đại số Clifford phy thude tham số

nhận giá trị trong đại số Clifford phụ thuộc Lham số là một lĩnh vực

nghiên cứu mới dược bắt dầu và có tính thời sự cao

Vì lý do trên, dễ tài được chọn là

"Ham chink quy nhữa giá trị trong dai sé Clifford

phụ thuộc tham sé wating dung"

2

Cấu trúc của luận văn gồm ba chương;

e Chương 1 Đại số Cliford với tham số

+ Chương 2 Hàm chính quy nhận giá trị trong ClHiford với Làn số

+ Chương 3 Công thức Cauchy-Pourpeiu trong Clifford véi tham sé

Chương 1 trình bày việc xây dựng đại số Cliford phụ thuộc tham

số từ cầu trúc đại số Clifford cổ điển, thêm vào dó là dụng ý đối

chiếu so sánh một số tính chất của các đại số này

Chuuny 2 trình bày về khái niệm hàm chính quy nhận giá trị

trong đại số CBiford phụ thuộc tham số với cách tiếp cận bắt đầu

từ khái

các đại số quen thuộc Kết quả chính của chương là xãy dựng nhãn

lẹm hàm chính quy và mỗi lên quan với cắc toán tử trong

Cauchy trong dai số Clifford phy thuộc tham số, ngược lại chỉ ra phân ví dụ chứng tả không tần tại hàm nhân anchy trong trường hợp xét với khoảng cách Euelid

Chương 3 trình bà

Lừ các đại số đã biết đến đại số ChiTord phụ thuộc tham số thống

ự phát triển của công khức Cauchy-Pomrpeiu

qua phương phép quen thuộc là vận dung cong thitc Green-Gauss

và tinh chất chính quy của hàm nhan Cauchy trong dai số Cliford

phụ thuộc tham số

'Ý tưởng xuyên suốt trong cách bố cục và trình bày luận văn là

cổ gắng dẫn đến các kết quả đẹp bằng con đường tự nhiên nhất có

thể Những kết quả hước đầu đạt được trong luận văn đã gợi ra hướng nghiên cứu rất có triển vọng là phát triển những tính chất,

công thức, định ly tit dai sé Clifford cổ diễn dén dai sé Clifford phụ thuộc tham số

Chúng tôi hy vọng rằng vẫn đề này sẽ còn tiếp te được các thầy cô

giáo, bạn bè đồng nghiệp, các học viên, nghiên cứn sinh quan tâm

nghiên cứu trong thời gian tới

Mặc dù đã có rắt nhiều nỗ lực của tác giả, song chắc chẩn luận văn khöng tránh khỏi những thiếu sót, rất mong nhận được những ý

kiến đóng góp của các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp, độc giả quan

tam

Hà Nội, tháng 8/2009

Muc luc

1 Dai sé Clifford véi tham sé

1.1 Dịnh nghĩa và tính chất của đại số Chfrd 7

1.1.1 Định nghĩa đại số Clifford 2 7

12 Đại số ChÑữord với thansố 16

1.2.3 Dai sé Clifford "exotic" 19

2_ Hàm chính qny nhận giá tri trong Clifford cé tham

3.1 Định nghĩa hàm chính quy trong dai sé Clifford 21

2.11 Hàm nhận giá tri trong dai s6 Clifford © 21 2.1.2 Một số không sian hầm nhận giá trị trong đại

số Clfford co aL

2.3 Toán tử Diac tae 28 2.1.4 Toán tử Canehy-Riemamn trong giải tich Clif

2.2 Ví dụ về hàm chính quy trong các đại số cụ thể 28

2.2.1 Hàm chính quy trong không gian nhức C 28 2.2.2 Ham chinh quy Wrong khong gian Quaternion TH 30

2.2.8 Ham chính quy trong không gian Cớn) 3ð

2.3 Hàm chính quy trong đại số Clifford có tham số 37

2.3.1 Tầm nhãn Canehy trong Cé(n) 37 2.3.2 Biến đổi Todorosen 2 2 40

23.3 Vi du về hàm nhân trong ,4;(œ,đ,+) với

3.2 Công thức Canchy-Pompein trong giải tính Chíford 64

3.2.1 Công thức Cauchy-Pompeiu trong giải tích phức 61 3.2.2 Cong thúc Cauchy-Pampeiu trong giải tích

Gilmd co

3.3 Công thức Cauchy-Pompeiu trong đại số Clifford với

Chương 1

Đại số Clifford với tham số

1.1 Định nghĩa và tính chất của đại số Clifford

1.1.1 Dinh nghia dai sé Clifford

Dinh nghĩa 1.1 Cho €, €2, ,€n 14 co sé ctia IR” vd eq là vector don vi théa mén:

Chương 1 Dal s6 CLIFFORD V6I THAM SO 8

Đại số Cliford khang giao hoan vdi n > 1 (do ee; — —e;e;}

nhưng vẫn có tính chất kếu hợp và phần phối

Nếu bình phương một sỗ thành phần cơ sở bằng 0, La nhận được một cấu trúc dại số mới, gọi là dại số Cliford - Grassmamn

ký hiệu lại cơ sở của Cổ, „:

ca

và dùng chỉ số A cho cdc tập con của Ø,,/„ — {1,3, ®}, khi

đó mỗi số Cliford z bất kỳ được viết dưới dạng:

sân ` wala

ý hiện |4| là số phần tử A

Với p — 0,n —®, ta ký hiệu C#{n) :— CÉbo„

Dại số Clifford của không gian vector thực V có thể hiểu theo

nghĩa của đạng toàn phương ({z) trên V Khi đó phép nhân

được đơn giần bởi biểu thức: z2 —¬ Q(z)

Với trường hợp đại số Cliford xác định như định nghĩa 1.1 ta có:

Chương 1 Dal s6 CLIFFORD V6I THAM SO 9

Ky hiéu e9 — lle; — @ Voi méi x € Cf, tacéd ea | xed

Ta nhan due Céy,; 1a trutng số phức ©

e) Đại số cde 86 déi ng&u: xn = 1p = 1,Cftg có ed sở cụ,eị thỏa

mãn ‹j = 1

Với mọi z € (Ít ụ;# — #I.8ụ † 2.1

Trong Cê¡a có ước của 0, thật vậy

(I—«e)(—eij)=0

trong khi 1— ey và 1 1 «¡ đều khác 0

‘Ta goi Céyg JA đại số của các đối ngã

đ) Đại số của các số thực Quaternion: w = 2, p = Ú,CØạ¿ có cơ sở là

ey — 1, ¢1,€2, e1€2 với eỆ — sŠ — —1

Với mọi z € Cạn, — 24.1 — 29.€) + 29.€2 + đ4.€12

Ta thay co sd cla Cfog tương ứng với cơ sở cita H véi cig luat tính toán Thật vậy, nến ký hiệu sạ — e¡e¿ thì ed sd ctia Cag

thỏa mãn:

Chương 1 Dal s6 CLIFFORD V6I THAM SO 10

Với mdi « € Œ/¿¿ ta có biểu diễn

E — XyCy — L1€1 TT #03 - 7403 T8640103 — Øs0a0a -T ZpCaCl -T 8701 C203 Hay

B= (¥p—2 101) + (%4 pe, )eveot(x5+-a7e1)e2e3 + (eet eer }eser

f) Dai s6 khong gian - thời gian

Với n — 4ịp — 1, đại số Cñtz có cơ số là 1,01, ¢2,€3, 64,

#12,- ,1zz4 Mát khác xét các ma trận Pauli

với ơ? — 0, 040; + a3; — OVI F 7

C6 thé xem cae phan tit sau 1a cac phan ttt co ban ctia Cex:

70 0 a} i” «0

Chương 1 Dal s6 CLIFFORD V6I THAM SO 11

R6 ràng số = 1,xệ = —1 Số + gọi là d-number Ta có hệ cơ sở

của Cới ạ được biểu thị qua các số +; là

Như đã nói ở trên, Cf(n) là ký hiệu thu gọn của Céy, Co sd ova

Cña„ gầm 3“ phần tử được xây dựng từ các veetor eạ, eạ, ,e„ thỏa man:

đị = —1Vi = Tn exe; | ese; —O Vi SZ

K¢ hign X; — e;(¡ — 1,m) ta có cầu trúc quan hệ

ad)

Gọi XÍX+, Xa Xu] là vành các đa Lhức của XỊ,-X›,

hệ số thực Khi đó, hai da thức #,(Q gọi là tương dương với nhau,

ký hiệu P ¬ @ nếu sai khác giữa chúng có thể viết như da thức mà

Chương 1 Dal s6 CLIFFORD V6I THAM SO 12

Người ta cũng thường dùng ký hiéu dai sé Clifford A, thay cho

Cé(n) Sau day là một số tính chất của đại số A,,

a) Số chiều của 4„ là 2"

“Thật vậy, sử dụng cấu trúc quan lệ (1.1) ta có thé thay đổi bac

của cáo nhân tử và bỏ qua bình phương rồi thay dối dấn của chúng Điều này dẫn tới mọi đa thức đều có thể biểu diễn dưới dạng

3 .-

Với ký hiệu Xị — øi, , X„ — c„ và cách viết ngắn gọn

XI = 6la, Xa“ = đãạ, ẤT Xu = 61 mỗi phần tử của 4„ có thể viết dưới dạng

¡+ phần tử từ tập ø phần tử là Œ?* nên ,4„ là không gian tuyến tính có số chiều là

C)— +CP =9"

Đại số „4„ là không gian metric

Dai sé Clifford A,, c6 thé dude xem như khong gian Euclid 2”

chiều với các vector cơ sở

,Ớ1, ; Ôn, 13x c« Ôn đam cá ccỔT.ản

Chương 1 Dal s6 CLIFFORD V6I THAM SO 13

ce) Khong gian Euclid x | 1 chiéu R“'! chinh 1A không gian con của

dai s6 Clifford A, Mai vector

Chương 1 Dal s6 CLIFFORD V6I THAM SO l4

nên nói chung phép nhãn trong IR*~1 là không đóng kín

Kết quả phép nhân hai vector cd sở

€12€2 1ez)es

fi2€s — (192)& — nụớa

€lsởsg — (€ies)(Cuea) — ei(đy€s)£s —=- cies = cg,

Tổng quit, với hai vector bất kỳ

Mỗi phần tử œ c 4„ đều có thể viết dang

đ — nụ i61 T TP uốn -Ƒ gang — Fe du Te FELD ve

đo đồ nạ dược gọi là phần the cha ø.

Chương 1 Dal s6 CLIFFORD V6I THAM SO 1ã

ƒ) Phần bử trung hòa của phép cộng là 0, của phép nhãn là 1

Nghịch đáo phải của phần tử a z# 0 là phần tứ z để zø = 1 Trong

đại số Cliford „4z, mi a ⁄ 0 xáe định duy nhất một nghịch đảo

phải và cũng tương tự như vậy, duy nhất một nghịch đảo trái

2 ; 3 vai số th đáo trai nộ

San đây ta chỉ ra sự tôn tại của nghịch đảo trải của

aug | ae | az#> | aiaei Z0

dqrg — un, — agit — ati, =)

@1#ụ † dgi +ai3%2 at, =0

đ2#q — địa — đ0#a — ae =0

@12#4 + Oat — at, + apt =0 Dịnh thức của hệ

khác 0, hệ phương trình có nghiệm duy nhất

mỗi phần tử 0 # a € 4; xắc định duy nhất một nghịch đảo

(rai

Chương 1 Dal s6 CLIFFORD V6I THAM SO 16

g) Tuy nhiên chỉ cần xét trong 43, khong phai mọi phần tử đều có

nghịch đảo trái, nghịch đảo phải

Chẳng hạn ø — ] +øị2; C „4s, giả sử phản chứng ø e6 nghịch dao

trái

đọ + 181 - tạng + mạng + 212012 + aageag + 243015 + 21290123

thì từ phương trình a(1 + e123) — 1 kéo theo một hệ š phương

trình tuyến tính 8 biến xy, 71, 9, ạ, tra, #as, tụy, địaa, trong đó

Định nghĩa 1.2 Đại số Chjfford phụ thuậc tham số tụ trà yy

Vi # j) là đại số có được bởi sự thay thé 6 (1.1) bằng cấu trúc

Chương 1 Dal s6 CLIFFORD V6I THAM SO 17

Nếu các tham số này không phụ thuộc vào biến z và nếu œ > 3

thì đại số Cliford sinh bởi cấu trúc đa thức (1.2) được ký

với e là hằng số thực và các hệ số z2 không vượt quá k; — 1 (0 <

1 < kị 1) Dai sé Clifford sinh bởi cấu trúc da thức (1.3) dược

ky h

n—1

u là ,4„(z|k;, (2), 3;(z)) nếu n > 2 hoặc ,4i(z|k,ø(z)) nếu

Như cách làm thông thường, ta ký hiện X; bởi c;,eie¿ bởi mạ Khi

đó As(+|k;, a;(#), +„(2)) có cơ số là

e'e? ct(U < ứị < ky — Vj — Tn)

Ta c6 sé chiéu ciia ,A„(z|E;, œj(2), %(#)) bằng ị bạ ạ(khi n > 2)

và số chiêu của 4:(z|k, œ(z)) bằng k(khi œ — 1)

1.2.2 Một số ví dụ

Hai s6 Clilford Cé(n) ma ta xét ở phan 1.1, viết theo cách này sẽ có

ký liệu là 4„(2, 1, 0) có 2* chiều

Chương 1 Dal s6 CLIFFORD V6I THAM SO 18

(exejJex = (Âw¡ — ejei)6: = 6i + axe;

i(8gei) — SỨ Ng — 667) — 2Wiiei -t Gia

(83 =%j

'Tính chất cña đại số Clifford phụ thuộc vàa tham số trong cẤn trúc

quan hệ Ta sẽ cụ thể hóa điều này bởi ví đụ sau:

Ví dụ 1.2 Trong 4:(2,I,+y), phần tử I + c¡; xác định duy nhất

một nghịch đảo phải nếu + zZ —1 Trang trường hợp y — —1 thì

1 - erạ không có nghịch đão phải

Chương 1 Dal s6 CLIFFORD V6I THAM SO 18

1.2.3 Đại sé Clifford "exotic"

Trong mục này La sẽ xét một số đại số Clifford ruà câu trúc đa thức

có bổ sung thêm phần tuyến tính

Vi du 1,3 Dai sé Clifford sinh béi cu trúc quan hệ

XP11=0

Xj11=0

Xi Xe + NoX, XX, 2 — 0

c6 cd 86 là 1, ei, €2, €12 = e1ey voi 86 chiéu baug 4, uhung phép nhan

trong đại số này không có tính chất kết hợp vì

a(£i6s} — na(Œ¡ — 6g ngồi] — dạn Ite,

(exer jes — (er 3 — @lea)ea — giea — 1 | &

Tny nhiên cũng có những dại số Ơlifford "exotie" c6 tính kết hợp San dây là một ví dụ

Vi du 1.4 Câu trúc da thức X? + X + œ sinh ra dại số Clifford

có cả tính chất kết hợp và tính chất giao hoán, phép nhân xác định duy nhất phần tử nghịch đảo nến œ > ‡

That vai

? = —a—i, do dé phép nhần được xác định bởi

phan tử của đại số trên cé dang a + bifa,b € R) va

(ag + 13) (Bp + B14) = (agba — arbrar} — (aqd) + ay bg — ai )¿

= (bo ~ b1é) (a + a4)

Chương 1 Dal s6 CLIFFORD V6I THAM SO 20

Cuỗi cùng, ta thấy đại số Quaternion có thể hiểu như đại s6 Clifford

"exotic'" theo nghĩa này với cầu trúc da thức của „4a(2, 1,0) là

XiNo +X3, XoXy +X, XX ~ Xp

Chương 2

Hàm chính quy nhận giá trị

trong Clifford cé tham sé

2.1 Dinh nghia ham chinh quy trong dai s6 Clif-

ford

2.1.1 Hàm nhận giá trị trong đại số Cliford

Cho miền 9 C P1, hàm nhận giá trị trong dai sé Clifford A, duge

Gia aif 2 là miền bị chặn trong R* và biên ØØ

Định nghĩa 3.1 Biên ÔQ được gọi là biên Tánpunan nếu các điều

21

Chương 2 HÃM CHÍNH QUY NHẬN GIÁ TRỊ TRONG CLIFFORD CO THAM 8622

kiện sau được thỏa mãn

® Tụi mãi điểm y € AO déu lồn tại không giun tiến xúc

® TỒn lựi mội số tưực r > Ù sao cho dửi ruợi ý € ÖÔ, tấp hợp

ðQ Đầu, r) (hành cầu Liupunou) là tập lién thong, va moi

đường thẳng sơng sơng uới tector pháp tuyến ngoài ay) chi ed chưng tới tập hợp đúng một điểm

® Vector phép tuyến ngoài a(w) thỏa mãn diéu kién Hilder, nghia

là tên tại céc hang s6 A> 0,0 < <1 sao cho vdt moi diém eF#yc AQ ta cd

|a(z)— a(w)| < Alz — |

Nói chung ta luôn giả sử © là miễn có biên Liapunov trơn, TA thường xét các không gian Banach các hầm nhận giá Lrị trong, đại

số Clifford như sau:

ø Œ#(©) là không gian các hàm khả, vỉ đến cấp k trên {}

© Lpx{O)(p > 1) là không gian cáo hàm khả tích bậc p trên Q

« Œy ”(Ø)0m — 0, 1,2, ;œ C |0, L,) là không gian các hàm liên

tục Hölder cùng với các đạo hàm riêng đến cấp rm cha nó

«Ồ WZ(O)( <p < %;k — 1,2, ) là không gian các hàm khả

vì theo nghĩa suy rộng và thuộc vào /„+r(Ở) cùng với các đạo hàm đến cấp £ của nó (không gian này được gọi là không gian Sobolev)

oP

« Wg(O)(T <?p < oe;& — 1,9, ) là không gian các hàm thuộc không gian Wƒ(Ø) và triệt tiêu trên ØQ

Chương 2 HÃM CHÍNH QUY NHAN GIA TRI TRONG CLIFFORD CO THAM 3623

3.1.3 Toán tif Dirac

Định nghĩa 2.2 (Toán tit Dirac) Cho {ec}, la co sở trong không

gian veclor RE4 théa dn:

tới Œ là miền trong RP*+ được gợi là todn vt Dirac

Giả sử u là hàm nhận giá trị lrong Cế¿„ thì toán Lữ Dirac tác động bến phải hàm œ như sau

Chương 2 HÃM CHÍNH QUY NHAN GIA TRI TRONG CLIFFORD CO THAM 3624

Mệnh dé 2.4 Todn int Dirac théa man

Du — DDu vac C(0, Clon)

vdi A li torin tt Laplace trong R":

Chẳng hạn, khi @ C RY va, Céyy 1A đại số Quaternion, ta, có quy

tấc tính tác động của toán tử Dirac lên tích hai hàm quaternion

uli sau:

Chương 2 HÃM CHÍNH QUY NHẬN GIA TRI TRONG CLIFFORD CO THAM 8625

Bổ đề 2.6 (Quy tac Leibnitz} Cid sit hai ham sé u,v C C'(Q),

Chương 2 HÃM CHÍNH QUY NHAN GIA TRI TRONG CLIFFORD CO THAM 3626

—(Dfla— (2714 dew Bin tất

Bồ dé 2.8 Cid sit f,g la hai hàm vác định trên Q uà nhận giá tri

gualerrion, ƒ,g c CO), Tụ có

d(gazƒ) — |(g12)ƒ7 + g(2/)|48 trong đó

dO — dg A day A ding A dg

Chương 2 HÃM CHÍNH QUY NHAN GIA TRI TRONG CLIFFORD CO THAM 3627

la phiin td thé tich cia mién 2, con

da — egdz, A dag À dựa — ejdva A đựa Á đa

— Eadn Á thái Á dứa — cadno Á đại Á day

Từ bẩ đề trên ta thu dược công thite Stokes

[sare — f torve+ arniian

Chương 2 HÃM CHÍNH QUY NHAN GIA TRI TRONG CLIFFORD CO THAM 3628

2.1.4 Todn tit Cauchy-Ricmann trong giải tích Clfford

ký hiệu ở, có nghĩa là os đạo hàm riêng theo bién 2;

Toán tử ổ := ổn + Ð : C!(G,/„„) > C(G.Ch,,) vi G C ROR được gọi là foám tử Cimehq- Pueter Toán tử này chính Tà sự mở rộng

của toán tử Cauchy-Riemann

Toán tử Ø :— & — Ð gọi là toán tử liền hợp của toán tử Clauchy- Fueter

Để thống nhất trong phần tiếp theo của luận văn, ta gợi ð là toán

giá trị trong Œ Ký hiện C*(C) là láp hàm khả vi liên tue cấp E,

fC Œ*(Ơ) nghĩa là từng thành phần +, của ƒ đền thuộc lớp

ƠNG) G9(G) là lấp các hàm liên tục trên Œ

Toán tử ð được hiểu là

ðT ð liôy

Goi 0, là đạo hàm riêng của ƒ theo z và :

ÔgŸ uy | đại Oy f — tty | tiny

Chương 2 HÃM CHÍNH QUY NHAN GIA TRI TRONG CLIFFORD CO THAM 3629

Điều kiện Ø,ƒ = Ú tương đương với

Of = (Or + iy) (uz) + iv(x)) = (Oe — Byv) + i(Oyte + Are)

fled =f) t f(a) t ofA)

khih 20 f(z) goi la đạo hầm (phúc) của ƒ-

Dinh Ii 2.11 Ham sé f c C'(C) wi Cla mién trong © la chink

hinh trong Cl khi vi chi khi f la chink quy (tréi), tie la Of —0

Chitag minh Ta thay tén tại các dạo hầm riêng của + và œ nên với

h— hị + the thì

ule thy th) afz,y) — u(x, yl + uy (2,y)he + oft)

ole + hyyt Aa) — tÍG, ) = w(x ay + ,(2, ue + off)

Chương 2 HÃM CHÍNH QUY NHAN GIA TRI TRONG CLIFFORD C6 THAM SỐ 30

2.2.2 Ham chinh quy trong khéng gian Quaternion H

X¢t ham f:C > Hl véi CA mién trong Hy, ta dinh nghia tinh kha

vì của ƒ qua thương nhĩ sau:

ipo y= slat? ose 8” [71 h)— /G)]

với h € H

Các hàm có giới hạn khi h — 0 được gọi là EE— khả vì.

Chương 2 HÃM CHÍNH QUY NHAN GIA TRI TRONG CLIFFORD C6 THAM 8631

Dinh Ii 2.12 (Krylov, Mojlikhzhon) Cho f là hàm thuộc lắp Œ1(G}

la ham wae dink trén mién GC Hl lay gid tri trong HH Néu tai moi

diễm trong G, gidi hun sau lén bai

Jim ale +h) fled FG)

Khi dé trong G, f cố dạng

f(z)=a+2b (4,66 H)

'Ia cũng cĩ kết quả tương tự nếu thay h !'ƒ(» +) — /()| bởi

[ƒ(Œ — A) — ƒ@)]h”! Nếu muốn thay xấp xỉ bởi ƒ(za} + xd (hay

f(#a) + à) ta cần một giải thiếu mạnh hơn sẽ được đề cập trong định nghĩa hàm HH chỉnh hình

Chitag minh LAn lượt cho h cáo giá trị die bit: hy, hie, Aoea, Ages

8

với hị € Đ Dùng ký hiệu ở; ~ anv — 0,3 khi hy + 0 ta duge

Ei

f= hf =—e0\f = —exthf = =eahƒ (2.2)

Déng nb&t é¡ với đơn vi do i, ta cũng chia f thành các phần 71 =

+ = bT ty

F(a) = 1œ) + eaT›(z)

'Fừ (2.2) ta cĩ

GŒ:ŒŒfitezfS) = —i0 (F1 +eszf)) = —e0(+eaF) = —es@(Preaf5)

Do 1 và é¿ phụ thuộc tuyến tính phức, các phần phức và các nhân

Lứ của eg được biểu diễn

a)F, — —i0\F, — oF — iP

OF, — 10, F: — H1 — 20/1

Chương 2 HÃM CHÍNH QUY NHẬN GIÁ TRỊ TRONG CLIFFORD CO THAM Số 32

Từ đó

(8y ~18)Tì = (8 — 188)Ty = 0

{Oo + ath) Fo = (82 +28} = 0 Như vậy Ƒ1 là hầm chính hình Lheo biến zi = #u it và z2 — #2 12a,

điểu này cũng đúng đối với Zš là hàm cúa các biến liên hợp Z¡ và

Ze Nhu vay tat cd cdc ham dều khả, vi vô hạn theo các biến thực

#ụ,#i hay z¿,z;¿ Hơn nữa

(w #i)H=_ 2iãH =261o = (6a ~ ih)

(Oy — th) Fy = — 21030, = — 210) Fy = —(O) + 101) Fa

"La cũng có thể kết luận ngay (0) —78,)F, cling chỉnh hình theo biến

2s, do đó đạo hầm hỗn hợp @, „3, T1 cũng tồn tại và liên tục Theo dịnh lý Schwarz, đạo hàm cấp hai có tính đối xứng nên

(8) — 4&1) = (Oh — 4A (Oe + qe = (A + DN — 01 = 0

(Qt)? Fy — — (Op — 14)(Op +40) }Fy ~ — (Gp + 40,) (Ba — 804) Fy — 0

Hai đẳng thức nay cho thay + chi phụ thuộc một cách tuyến tính

heo hai biến phức nếu các đạo lầm hỗn hợp triệt tiếu:

by — tf — —Eaba — —aỗ

Chương 2 HÃM CHÍNH QUY NHAN GIA TRI TRONG CLIFFORD CO THAM SỐ 33

Với định nghĩa ở; :— Fan ta có

nhân các đẳng thức trên một cách thich hgp vdi ¢; 86 06 cdc cing

thức đơn gián hơn

8o sánh với biểu thức của đƒ trong C ta thấy vi phân theo các biến

liên hợp đ# bị rách với toán tử đạo hầm theo dạng

ð = =—I l'—ta | ——e

Chương 2 HÃM CHÍNH QUY NHAN GIA TRI TRONG CLIFFORD CO THAM 36 34

như các nhân tử đã nói phia trén Dé thay 34 chinh 18 todn tit sinh

của toán tử dạo hàm

đụ, z

= (Ox + i8,) Hơn nữa cũng c6 thể viết toán tử dạo hàm 1Ø dạng

trong H, nian gid tré rong Hl ditde goi la har H— chink hành,

trúi (phi) néu vdi moi diém x © G tan lui các 9d quaternion a,

phu thuée uào œ sao cho

giá trị trong HI là chành hành trải [phảu khá va chả khi nó chính quy

trới (phẩu, túc là thỏa mãn điễu kien

ðƒ =0 hoặc ƒ5=0

Chứng mánh Chỉ cần chứng minh với hàm chỉnh hình trái ‘Thee [1]

(mục A.1.4) và điều kiện trên ta có

3

Fat+h)— f(x) = af[A]+o(h) = (Of hot dS) (he — hoee)(OeF)-+0(A)

k=0

Chương 2 HÃM CHÍNH QUY NHẬN GIÁ TRỊ TRONG CLIFFORD CO THAM 8635

khi dé a, = Of, vi khi cha hạ — 0 cáo bạ là các biển độc lập với

các hệ số được xác định một cách duy nhất So sánh với hiểu thức trong định nghĩa (2.6) ta có

0 — (Of hy + ofA)

Chứng tỏ 8ƒ = 0 hay ƒ chính quy

2.2.3 Hàm chính quy trong khéng gian Cé(n)

"Irong trường hợp œ chiều cũng có các khó khăn như trường hợp cấc quatcrnion, do dó cách làm của ta cũng tương tự như vậy Xét hàm

£CƠIG) với Œ là miền trong TR"?', biến z dược viết dưới dạng

vector JA 2 — ay-| me, 1 | tnt, lay gid tri trong Cé(n) Chi y rang trong Cé(x) khong cé tinh chat giao hoán, ta có cả cách định

nghĩa và định lý một phía, cả bến trái và bên phai ‘It dang thitc

Chương 2 HÃM CHÍNH QUY NHAN GIA TRI TRONG CLIFFORD CO THAM SỐ 36

đóng vai trò cơ bản, quan trọng trong hệ thống lý thuyết Cũng

giống trong H, ta không phần tách được toán tử liên hợp

Nếu ta giả thiết ƒØ — 0 (hoặc Of — 0) ta có xấp xỉ luyến tính giống

như đối với lH:

Dinh nghĩa 2.15 (Hàm chinh hinh Clifford) Xét bàm ƒ e C1{G)

trên miền Œ C TR"+! lâu giá trị trong Cf(n) Ham f

- được gọi là chỉnh hành Clifford tréi tréan G nén tai mọi điểm C G,

khi hh 0 va cde 2 Clifford ay ph Grade vio x:

Set) = fla) 1 YO Ôh — haey]a, | o(h)

k1

- được gọi là chẳnh hành Clifford phdi trên Œ nếu tại mọi điểm œ © Œ,

khích + Ú nà cúc 36 Clifford a, phu thude via a:

n

F@+h) = Fla) t+ Voarlha hock) + off)

P=

ở đâu hạ là các thành phần của h.

Chương 2 HÃM CHÍNH QUY NHAN GIA TRI TRONG CLIFFORD CO THAM 36 37

Dinh li 2.16 (CRD trong Cé(n)) Haim f © C'(G) adi miễn nức

dink G CRY", lay gid tri trong CE(n) là chỉnh bình trấi (tưởng tứng

phải) nêu nà chỉ nếu

Of =0 (tuong ting fa =0)}

2.3 Hàm chinh quy trong dai s6 Clifford cé

tham sé

2.3.1 Ham nhan Cauchy trong Cé(n}

Định ughia 2.17 Te goi ham số

1

wt [a

E,la.€) =

là ham nhain Cauchy

O dé wy 14 độ đo diện tích bề mặt của hành cầu don vi trong Rot:

{) n=1

wy =2m E(x) =,