Luận văn bài toán giá trị ban Đầu Đối với hàm chính quy nhận giá trị trong Đại số ma trận

"Trong không gian Banach, các bài toán giá trị ban đần với hàm về phải chỉ phụ thuộc vào ø,¿, + đã được giải quyết băng phương pháp xấp xỉ liên tiếp.. Chương 2: Trình bày bài toán giá tr

_ BỘ GIÁO DỤC VẢ ĐÀO TẠO |

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

Bùi Tăng Bảo Ngọc

_ BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BAN ĐẦU ĐÓI VỚI HÀM

CHÍNH QUY NHAN GIA TRI TRONG DAI SO MA TRAN

LUẬN VĂN TIIẠC SŸ KHOA HỌC

Ngành: Toán Công nghệ

NGUOI HUGNG DAN KHOA HOC: GS TSKH LA HUNG SGN

Hà Nội 2008

Trước hết, tối xin trần trọng cảm ơn GS.'SKH Lê Hùng Sơn 'E

hướng dẫn của Lôi, thầy đã rất Lận tụy chỉ bảo và đã đưa ra nhiều chi dẫn quý báu dé toi cé thé hoàn thành luận văn này Tiếp đến, töi cũng

xin trân trọng cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy, cô cñng như các đồng nghiệp trong Khoa Toán — Tin ứng dung, Trường Đại học Bách khoa

Hà Nội và đặc biệt là các thành viên trong Seminar "Phương trình vi phân và đạo hàm riêng" Đã giúp đồ tôi không những chỉ bảo cho tôi

những kiến Lhức bổ ích mà còn những giúp đỡ trong thời gian làm luận văn lõi cũng xin chân thành pửi lời cảm ơn tới Ban chủ nhiệm Khoa

đã Lạo điều kiện cho chúng lồi một 1nôi trường làm việc và học Lập

tốt Cuối cùng, tôi xin câm ơn tất cả những người bạn cửa tôi đã giúp

dỡ tối nhiều trong qua trình học tập, làm luận văn cũng như có được

những tài liện cần thiết

Hà nội, ngày 26 tháng 10 năm 2008

Học viên Bũi Tăng Bảo Ngọc

1.2 Bài toán giá trị ban đẫu trong không gian Banach 6

1.3 Thang các không gian Banach 7

&

1.3.1 Ham chinh hinh trong mét tap con compiic 1.3.2 Dinh nghia thang Banach 10 1.3.3 Todn tit Canchy-Riemann tang quat trong thang

2 Bai toan gid tri ban dau trong thang khéng gian Banach 14

2.1 Phương trình đạo hàm riêng trong thang Banach 14

2.2 Một số điều kiện cơ bản 16

2.3 Thương pháp xấp xỉ liên tiếp trong các thang

2.3.1 Sự tần tại nghiệm của bài toán giá trị ban din

trong thang Banach 25

2.3.2 Tính duy nhất nghiệm của bài toán giá trị ban

đầu trong thang Banach 27

Nghiệm của bài toán giá trị ban đầu trong không gian

32 Không gian Banach có trọng để xây dựng các

điểm bất động 33

3.3 Ước hượng của toán tử vi tích phân 36

3.4 Nghiệm của bài toán giá trị ban đầu bằng nguyên

4.2.1 Điền kiện đủ để cặp toán tử liên kết 45

42.3 Vídummmhhọa ol

4.3 Một số kết quả mở rộng bài toán 53

4.3.1 Phát biểu bài toán đối với hệ quá tương thích 53 43.2 Giải bài toán v.v ko 54 43.3 Vídụminhhọa 5g

44 Mỡ rộng bài toán với giá trị ban đần dang Vckua_ 6

4 Giải bài toắn

Kết nan

Tài liệu tham khảo

cũng là những thách thức lồn đồi vái các nhà toán học ITọ không ngừng

tim tòi và phát hiện ra các phương pháp khác nhan đề giải qnyết bài

Toán

"Trong không gian Banach, các bài toán giá trị ban đần với hàm về phải

chỉ phụ thuộc vào ø,¿, + đã được giải quyết băng phương pháp xấp xỉ liên tiếp Tuy nhiên trên thực tế, chúng La gặp những bài toán có hàm

về phải ở dạng tống quát hơn, phụ thuộc vào cả các đạo hàm riêng thì

không phải bài toán nào cũng giải được H Lewy đã dưa ra ví dụ về

một bài toán giá trị ban dầu cho trong dạng:

u(0, 2,9) =p (2.y) (2)

Khi đó, tổn tại hàm về phải khả vi võ hạn để bài toán (1), (2) không

có nghiệm Ví dụ này của H Lewy khởi đầu của một loạt các nghiên

cứu nhằm chỉ ra các điều kiện đủ để bài toán giá trị ban đầu là có lời

don yi) cota ud what wh daha lian qa

m nào của về nhải và điều kiện đầu

giải Câu hồi đặt ra là với dạng

để bài toán giá trị ban đầu có lời siải

Định lý Cauchy - Kovalevskaya cổ điển đã chỉ ra rằng khi hàm giá

trị ban đầu và hàm về phải là chỉnh hình thì hài toán giá trị ban dần là

giải được Định lý này được chứng minh dưa trên tính chất biểu diễn

vi dạng chuỗi luỹ thừa của các các biến thuộc họ các hàm chỉnh hình Trong luận văn này, chúng ta sẽ xem xét một tiếp cận khác để giải bài toán giá trị ban dầu, dé là sử dụng phương pháp cặp toán tử liên

kết (Assoeiated Oporator) Phương pháp này đựa trên các kết quả của

F Treves, M Nagumo, W Walter dé gidi quyết trong lớp các hàm giải tích suy rộng, cũng theo hướng này, dưới sự hướng dẫn của GS TSKH

Lê Hùng Sơn Luận văn đã tập trung vào giải quyết bài toán giá trị ban đầu trong lớp các hàm chính quy suy rộng nhậu giá trị trong một, dai s6 ma tran dang hé Cauchy-Riemann téng quát Luận văn bao gỗm những chương chính như sau:

Chương 1: Trình bày một số kiến thức cỡ bản cho các chương sau

Chương 2: Trình bày bài toán giá trị ban đầu trong thang Banach,

cung cấp cho chúng ta một phương pháp tiếp cận giải quyết bài toán

giá trị ban dầu

bài toán giá trị ban dầu trong một số lớp hàm ma trận suy rông thuộc

hệ Canchy-Riemann tổng quát mà ở đó bài toán giá trị ban đần có nghiệm

OPERATOR WITH COEFFICIENTS IN A MATRIX

ALGEBRA Bui ‘Lang Bao Ngoc

Abstract Initial value problem of type

OW -T.(t,7,0,,W), W(0,2) — gtr)

can be solved by the contraction - mapping principle in cases the initial function y belongs

to an associated space of type

fe-0 whose elements satify an interior estimate

Such pairs (1,2) are called the associated pairs (see: )

The present paper gives the sufficient relations for coefficients of L and ¢ in case they are belonging to a matrix alycbre.

[& Wolfgang Tutschke (1989), Ivitiad Value Problems In Bonach Spaces, Teubuer Leipeig

and Springer Werlag

l5 Wolfgang Waiter (1983), An Hlement Proof of The Cauchy-Kowulecky Theorem.

giá trị trong dại số ma trận

Bui Tang Bao Ngoc

Abstract

Trong luận văn giải quyết về lớp bài toán giá trị ban dẫu, Đây cũng là những thách thức lớn đối với các nhà toán học Họ không ngừng tìm tòi và phát hiện ra các phương pháp khác nhau để giải quyết bài toán

Trong không gian Banach, các bài toán giá tri ban đầu với hàm về phải chỉ phụ thuậc vào

4,1, đã được giải quyếu băng phương, phấp xúp xi liêu tiếp, Tuy nhiều trên thực tổ chúng

ta gặp những bài boán có hàm về phải ở dạng tổng quất hơn, phụ thuộc vào cả các đạo hàm riêng thì không phải bài roán nào cũng giải được II Lewy da dita ra ví đụ về một bài roán

giá trị bạn dầu cho trong dạng:

này của I Lewy khởi đầu của một loạt các nghiên cứu nhằm chỉ ra các điều kiện đủ ài

toán giá trị ban đầu là sẽ lài giải Can hãi đi

kiện đầu để bài toán giá trị ban đâu có lời gái, ra là với đạng hầm nào của về phải và diều

Định lý Cauchy - Kovalevskaya cổ điển đã chỉ re rằng khi hàm giá trị ban đầu và hàm

về phải là chỉnh hình thì bài toán giá trị ban đầu là giải được Định lý này được chứng minh dựa trên tính chất biểu điễn đang chuỗi luỆ thừa của các các biến thuộc họ các hàm chỉnh Hình,

Trong luận van nay, chứng ta sẽ xem xét một tiếp cần khác để giỏi bài toán giá trị ban

đầu, đó là sử dụng phương pháp cặp toan ti lién két (Associated! Operator} Phương pháp này đựa trên các kết quả của T? Trevee, M Nagnmo, W Walter để giải quyết trong lớp các hầm giải tích suy rộng, cũng theo hướng này, đười sự hướng dẫu của G8 TSKH Lê Hùng

Sơn Luận văn đã tập trung vào giải quyết bài toán giá trị ban đầu trong lớp các hàm chính

quy suy rộng nhận giá trị trong một đại số ma trận dạng hệ Cauchy-liemann tổng quát

Luận văn bao gỗm những chương chính nhu sau

Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ bản cho dúc chương sau

Chương 3: 'lrình bày bài toán giá trị ban đầu trong thang Hanach, cung cấp cho chúng

ta một phương pháp tiếp cận giải quyết bài toán giá trị ban đầu

Chương 3: Trình hày về nghiệm cña bài toán giả trị ban din trang không gian liên kế Chương 4: Kết quả chỉnh cña luận văn, trình bay một số kết quả đạt được, với việc gì

quyết bài toún giá trị ban đầu trong xnột số lớp hàm ma trận suy rồng thuộc hỹ Oauehy- Hiemann tổng quát mà ở đó bài toầu giá trị ban đầu có nghiệm

kẻ

1 Le Hung Son, W.Tuubschbe (2003), Mirest Order Differential Operators Associater to the Cauchy-Riemann Operator in the Plan, Complax Variavies, 48(9), 797-801

tt 7 Bern Goldschmidt (1982), Existence Theorems for Overdetermined Systems of Partial Differential Iquations of Kirst Order, Math Nachr, 233-250

& Klaus Gurlebeck, Wolfgang Sprowsiy (1997), Quateruionic und Clifford Caleulus far Physicists ond Engineers, John wiley and Sons, England

|4 Wellyang Tutschke (1989}, eiléal Value Probleres fn Bunach Spaces, Teubuer Leipciz and Springer Werlag

[5] Wolfgang Walter (1983), An Flement Proof of The Cauchy-Kowalecky Theorem

Chương 1

Các kiến thức chuẩn bị

1.1 Một số kiến thức về lớp ma trận thuộc hệ

Cauchy-Riermmann suy rộng

1.1.1 Các ma trận ứng với các cơ sở trong đại số Clifard

Xét đại số Cliford Cy„, có các cơ sở chính tắc {sụ, e\, ex}-

la A; (i — 0, 1, , 2) Cae ma tran nay dice goi 1 ma tran ting vii co

sở chính tắc của đại sé Clifford Cy, và chúng thỏa mãn các tính chất sau:

AP Teva(0— 1,9, ,m)

AA; — AVA; = 0, (6,9 = 1,2, ,m 247)

Xí dụ 1.1 Dể minh họa về các ma trận ứng với cơ sỡ trong dại số

Cliford, chúng ta xét ví dụ trong trường hợp các ma trận thụ được trong Cly3, ting vai ca SỞ (cụ, 01, đa, 6g}

Do dé

@(e0;€0) — eo — (Veg $0.01 + Org + Oe

O(e9,01) — a — Org + ( 1).ey + 0.02 + Deg

@ (eg, €2) = —e = Oey 1 Qer T (C1) 1 tiea,

@ (ey, €4) = —eg = Oey 1 Ger | Leg ~ Oey

0 (e1, €9) = —e1 = O.eq + (—1).€1 + 0.2 + 0.e5

Ø (Ø1, #1) — eg — beg + 0.01 — 0.9 + 0.63

O (e162) — eg — Ory + Oe, + Oey —( 1.05

@(e1,€3) = 2 =Oeo | Ger - Lee 1 Oes

(22, €y) — —€2 — O.eg + O.e1 + (—1).€2 + 0.43

(ea, €1) — eg — Ú.en + 0.e1 ~ O.eg + Leg

0 (e2, ex) = e9 = Len + 0.21 ~ 0.e2 + Oe

O(e2,€3) — mì— 0ea+(- 1ê + 0iey + Deeg

@ (eg, €0) = —e3 = Oey 1 Ores | Oen ~ (—Laes

@ (ey, €1) = —ey = Oey 1 Oey | (—U).ey 4 Daeg

@ (e,€2) — e1 — Oey + Ley — O.e2 + Oey

@ (es, €3) — eo — Leg + O.e, — 0.e9 + U.€9

1.1.2 Lớp các ma trận thuộc hệ Cauchy-Riernamn suy rộng,

Xét hệ phương trình đạo hầm riêng bậc nhất sau:

6 day, Ag, ,An 1A các ma trận hằng, thực hoặc phức, kích thước

m xm Dé don giản, chon Ap — fm 1a ma tran đơn vi e&p 0e x ru

Định nghĩa 1.1 TIệ phương trình dạo hàm riêng eó dạng (I.L) được gọi là hệ Canehy-Riemann tổng quát nếu mỗi một nghiệm nó eó các

thành phần sự, (& — 1, ,zm) là các hàm điền hòa

Mệnh đề 1.1 Môi hệ Canehy-Tiiemann tổng quát đều là một hệ el-

Chứng mình Lây À # 0 và giả thiết rằng Lồn tại tội véc tở ứ €

sao cho 37 \y Agu = 0, thì tốn tại

i=0

là một nghiệm của (1.1), nhưng œ lại khõng có các thành phần là các

Mệnh để 1.2 Hệ phương trình đạo hầm riêng (1.1) là một hệ Cauchy- Riemamn tổng quát nếu và chỉ nên các hệ số A\, , 4¿, thỏa mãn đầy

đủ các diều kiện sau:

AP = Tm, (i —1,. ,0), (13) AA; + AjAi—U(64— 1 0827 8, (14)

và nghiệm u tude WHR)”,

Chaing mink Xét ham

yp tAye bah Ay Ab), (0# Ô,

6 day bc R™ R6 rang thay rằng u là một nghiệm của (1.L) Iơn nữa

chímg ta có

Am —9(A14; 1 471

Bay giờ giả sử rằng Aw = 0 Diều đó dẫn tới rằng 11A; + A714, =

0,7 7) Thay ¡ — Ú vào công thức, chứng ta, số:

Do đó, ta cũng có

A4; 1 A4; = 0,( 7).

5

Mặt khác, từ các giả thiết (1.3) và (1.4) chúng ta có:

Ma day là hệ Cauchy-Ricmann téng quát cho bắt kỳ ø C C2(7”°+t, 7)

Tiếp dé 4p dung dinh lf GAUSS va bé d8 WEYT chúng ta thu được

Cũng theo trong phần 1.1.1 chúng La cũng đã xây dựng lốp các mà

trận A, thỏa mãn các điều kiện như đã nêu trong (1.3) và (1.4) Vậy

nên hệ (1.1) chúng ta xét ở trên là tồn tại

Bay gid chúng †a xết một ma trận hàm cấp m xm có dạng như sau:

Mu(CÓ) MụÔ Mi(X)

My(X) Miga(X) oe Mam)

‘trong đó XÃ — (#\,#2, , 24) € Ô C IRP, @ là một miền bắt ky trong

"Tương Lự như định nghĩa hàm chính quy đã được biết ở trong đại số Cliford, ở dãy chúng ta cũng xây dựng khái niệm ma trận hàm chính quy như sau

Dịnh nghĩa 1.3 Một ma trận ă(X) được gọi là ma trận hàm chính

quy, nêu nó thỏa mãn

Dinh lỉ 1.1 Nếu về phái của phương trình (1.5) thôa mãn các điều

kiện san

(1H) Tòu tại một hãng số dương T thỏa mãn

IPG) -— Fle) | <2 lle—el],

với L không phụ thuộc vào t,u,v ( Điều kiện Lipschitz)

Thì tồn tại một nghiệm ù = u(t) của bài toán giá trị ban đầu (1.5),

1.3 Thang cdc khong gian Banach

Bay gid, nếu chúng ta giả sử rằng về phải trang phương trình đạo

hàm riêng (1.5) không chỉ phụ thuộc vào dạo hàm riêng thông thường

mà được thay bằng các đạo hầm riêng tổng quát, !2, và nói chung thì

các đạo hàm riêng này không bị chặn Đó là lý do vì sao bài toán giá.

wi ban đầu (1.5), (1.6) không thể giải quyết được bằng phương pháp

xấp xỉ liên liếp trong một không gian Banach cô dịnh, ngoài ra cũng

có một lý do nữa là các toán tử dạo hàm tổng quất cố thể bị chặn nếu

chúng ta không xót trong một không gian Tìanach cố định mà thay vào

đó chúng ta chọn một họ các không gian #; hợp lý của các không gian Banach

L3.1 Hàm chỉnh hình trong một tập con compắc

Cho Ở là một miền bị chặn trong mặt phẳng z Hàm w — w(z) JA

xnột hàm có giá trị phức xác định và liên tục trong Œ chỉnh hình trang

G Goi # là không gian của tất c các hàm œ = œ(z) có tính chất trên

Không gian được trang bị với chudn supremum (maximum)

hàm chỉnh hình hội tụ dều tới một hàm thì hàm dó cũng là hàm chỉnh

hình Bởi vậy không gian 77 được chỉ rõ ở trên là đủ điều đó có nghĩa

nó là một không gian Tìanach Tìãy giờ cho G7 là một miền sao cho hiên kín của ná ở được chứa hoàn toàn trong miền đã cho G Gọi số đương

đ là khoảng cách của Œ' so với biên Thế thì mọi đĩa kín có tâm tại zụ thuộc Œ' sẽ thuộc hoàn toàn trong G nếu bán kính z của nó nhỏ hơn

6 xem hình 1.1

Áp dụng tích phân Cauchy thì giá trị của đạo hầm = tại zạ có thể

'Từ định nghĩa của chuẩn trong H, ching ta thấy rằng |ø(z)| < [el]

với mọi z thuộc Œ, từ đó chúng ta có đánh giá sau

Trong cách làm tương tự, ta coi 7ƒ tương ứng với Œ, không gian 7“

dược xác định là không gian tất cả các hàm chỉnh hinh trong G” và liên tục trên Œ' Thì ta có không gian #' được trang bị chuẩn

Welle sup fw(2)|, (1.9)

là một khong gian Banach Dé phan biệt vai chudn (1.7) trong khang

gian H với chuẩn (1.8) trong không gian H’, thì chuẩn trong không

gian H sé được kí hiệu là |.||„ và chuẩn của khơng gian A’ sé được kí

hiệu là ||.| „ Từ sự dánh giá trong (L.8}, ta cĩ

Định li 1.2 /4} Đạo hàm phúc là một tốn từ bị chăn bién H vao H’

và chuẩn của nĩ cư thể dược dánh giá bởi

Nhu vay tốn tử đạo hàm z là một ánh xạ giới nội

1.3.2 Định nghĩa thang Banach

Xét hai khơng gian Banach # và H!' với chuẩn đã xét trong phần 1.3 cá chuẩn được xét theo cơng thức (1.7), khơng chỉ đạo hàm phức + cơ thể giải Lhích như một tộn tử tuyến tính bị chặn biến # vào A’ ma con sit han ché trên Œ° của hầm :ø — +e(2z) thuộc H cũng cĩ thể

được giải thích như là tốn tử Kí hiệu sự hạn chế này là 7, thì ta cĩ

Ta là một hầm chỉnh hình trong Œ7 và liên tục trong G’ néu w = œ(z)

thuộc H Trang bị cá và HƑ vải chuẩn sup, chúng ta số đánh giá sau:

elle = sup Jø(2)| < sụp le)| < |It|lœ

Diều dĩ cĩ nghĩa là 7 được chứng minh là một tốn tử với chuẩn của

nĩ khơng lớn hơn L

J/|<1

Bồ dé 1.1 Phép han ché I 06 các tính chất sau

a) 1 là tuyến tính.

ll

bì T là một toắn tử bị chặn và chuẩn của nó không nhỏ hơn hoặc

bằng 1,

c¢) T là đơn ánh

Trong phần san chứng ta không chỉ những quan tâm đến hai miền

G và Œ' mà còn quan tâm tới toàn bộ họ các miền Œ,, đ đây s là một

thông số thực giá trị trong khoảng Ô < s <: sụ, sạ là một gỗ hữu hạn,

và các miền Œ, thỏa mãn một gỗ điều kiện sau:

a) Một wién kin Gy là tập con compắc của G, néu chỉ nễu s“ < s b} Khoảng cách của Œ„ từ biên ØG của Œ, có thể được đánh giá hỏi

dist(Gv,0G.) > const(s 3), (1.11)

ở dây hằng số không phụ thuộc vào z' và s, s” < s

c) Mỗi một điểm của Œ được chứa trong Œ, với điều kiện ø đủ lớu

Họ này thỏa mãn cả ba điền kiện trên với hằng số trong điều kiện về

khoảng cách là z Với bất kỳ một số « thuộc vào khoảng Ú < s < sụ

chúng ta xác định không gian 77; là gỗm tất cả các hàm giá trị phức

liên Lục trong Œ,, chỉnh hình trong Œ, Và không sian 7ï, được Lrang

bị chuẩn sup

IIz|l, = sup |eG)l

Gs

"Irở thành một không gian Banach lí hiệu phép hạn chế của một hàm + C 1Í, lên Œz(s” < s) là 1,; Dể cho ngắn gọn ta nói răng một không gian Banach B là phép nội xạ vào một không gian Banach 7 nếu tồn

tại một toán tử đơn ánh tuyến tính 7 với ||T|| < 1 biến vào f” Toán

tử này cho chúng +a xem như là một tập con của #' Do vậy ta định

nghĩa một ánh xạ 1-1 giữa và 1£ với ! là một phép nội xạ Sử dụng

định nghĩa của một phép nội xạ này, ta có thể nói g không gian Banach H,,Ú < s < sa, lập Lhành một họ é đây, mỗi một #f, là ruột, phép nội xạ vào mỗi một J7ƒ với s' < s

Định nghĩa 1.4 Một họ các không man Banach Ö;, ở đây s có gá trị trong khoảng 0 <: s < sạ, được gọi là mot thang Banach néu mdi B,

là một phép nội xạ vào một không sian B„ với s < s Nếu một thang

Banach dược cho thì chúng ta không những chỉ có một họ không gian

Banach B,(0 <s < sp} mà còn có các toán tử tuyến tính dơn ánh ï, „

với chuẩn ||í„„|| < 1, bién 8, vio By, (0 < s” < s < s)

Họ các 77, như đã nói ở trên là một thang khöng gian Banach đặc

Chúng ta bất đầu xét với một cấp không gian H, H' là không gian

các hàm chỉnh hình tương ứng trong G và Œ*, liên tue trong G vA G’

'theo Định lí 1.3, thì đạa hàm phức đ/ởz là một toán tử bị chặn biến

TH vào HH! với chuẩn của nó có Lhể được đánh giá trong (1.10) Ấp dụng

13

Dinh li 1.2 lén thang Bauach H, chang ta thu được những tính chất Sau

Hệ quả 1.1 j4 Với bất kỳ một cặp s”,s mà s” < s khì đạo hàm phức

5= biền II, vào IÏ„ với chuẩn của nỗ có thể được đánh giá như sau

4, thành một thang không gian Banach Ö; +

toán Lử đạo hàm Lổng quát và tẫt nhiên nd vẫn giữ được tính chất như

hằng số trên không phụ thuộc 3! vas

Từ toán tử tổng quát của đạo hàm phức hầm chỉnh hình là toán tử

Canchy-Riemamn tống quát vì thế ta có thể kí hiệu chúng là các toán

vử Canehy-Riemann tổng quát trong thang Banach

Bài toán giá trị ban đầu trong

thang khéng gian Banach

Trong chương này chúng ta sẽ bất dầu từ khái niệm thang không

gian Banach dã nêu trong Chương ¡ và sử dụng phương pháp xấp xỉ

liên tiến đối với các phương trình đạo hàm riêng để có thể giải quyết bài toán giá trị ban dim trong thang khong gian Banach

2.1 Phương trình đạo hầm riêng trong thang Ba-

nach

Để giải thích khái niệm các phương trình đạo hàm riêng trong thang

không gian Banach, chúng La bắt, đầu với bai todn ‘im mol ham có

giá trị phức œ — œ(¿,z} phụ thuộc cả vào biến thực ¿ và biến phức z

lỗ

+ = tuỆ, 3) được giả thiết, là một hầm chỉnh hình Về phải của phương trình dạo hàm riêng trên cố thể hiển như là một toán tử biển mỗi một

TT, vào 7ï„ nếu s' < s Vậy từ việc tìm nghiệm các hàm chỉnh hình

trong z với mỗi £ chúng ta có thể giải thích nghiệm bài toán nhĩ là một phần tử của mỗi một không gian Banach #, vái một ! cổ định Tóm

tất những biến đổi này cả hai về phương trình và nghiệm của phương

trình đạo hàm (2.1) Tà có thể phát biểu lại bài toán trên dưới dang

của các phương trình đạo hàm lrong các thang không gian Banach như saul

Cho B,(0 < s < sq) 1A m6t thang khong gian Banach F(z, u) 18 mot toán tử ánh xạ mỗi một Ö; vào mỗi một B„ nếu s < s với mỗi một ¿

cố định Thế thì chúng ta từưn một hàm œ = ¿(/) phụ thuộc vào một

8, với một ¿ cố định và thỏa mãn phương trình san

du

6 day, dao ham de dược xác định trong mỗi một không gian Tanach

+, của thang không gian Banach đã cho Nếu œ(/) là một phần tử của

H, thì P(,s) chỉ thuộc vào „ da đó S0 phải là một phần tử của

Є Tuy nhiên dể ngắn gọn và dơn giản chúng ta cũng chỉ kí hiệu m

Và giải quyết bài toán này với giá trị ban đầu thỏa mãn

2.2 Một số điều kiện cơ bán

Để tìm nghiệm của bài toán giá trị ban đầu Lổng qual (2.2) va (2.3)

trong thang không gian Banach, chúng ta đưa ra một số điều kiện để

bài toán có nghiệm Giả sử rằng về phải phương trình (2,0) théa

mãn ba điều kiện sau, ở đây Ø,(0 < s < sg) là một thang không gian Tianach cho trước

Tịnh lí 2.1 Một số điều kiện để bài Loắp có nghiệm

( Giả sử rằng tần tại các số dương R và T cỗ định sao cho ứng với

bắt kỳ cặp s', (0 < s! <8 < 69) thi về phải phương rink xác định một ánh xạ liên tục của

(III) Ching ta gia stt rang #' (1, u) Ja mét toán tử Cauchy-Riemann tong

quát, có nghĩa là lồn tại một hằng số dương Ở không phụ (huộc

Í;u, v, s và s” sao cho

g—#

Với bất kỳ một cấp s’, s(0 < s” < 8 < sq) và một cặp u, v thuộc

da trụ (2.4)

Trong phần kế tiếp chúng ta sẽ chứng minh rằng bài toán giá trị

ban đầu (2.2), (2.3) là giải được với các điều kiện (T), (T), (TH).

7

2.3 Phương pháp xấp xi liên tiếp trong các thang

Banach

Cho B,, (0 < s < 5) J& mot thang khong gian Banach, 6 day sq 1a

một số hữu hạn Xét bài toán giá trị ban đầu (2.2) và điều kiện (2.3)

Giả sử rằng về phải P((, +) thỏa mãn ba điều kiện (1), (II), và (TH)

Mục dích của chúng ta là xây dựng nghiệm + — +;(£) thuộc vào một Ø„

với một vài khoảng t Theo phần trước chúng ta đã biết bài toán giá

tri ban dau (2.2) và (2.3) tương đương với phương trình tích phân

t

0

Trong thang khong gian Banach Néu uv — u(r) thuée By thi về trái

uff) của (2.6) là một phần tử của #„¿ với s < s bởi vì về phải P(t,n) của (2.2) biến đa trụ (2.4) vào H„ Nói một cách chính xác về trái w(f)

của nhương trình (2.2) phải được thay thế bởi 7,„u(0) ở đây 7,„ là

một toán Lử nội xe giữa B; với By Tuy nlién dé ngan gon vi dun giin

chúng ta cũng chỉ kí higu u(t) cho về trái của phương trình (2.6) Sứ

dụng về phải trong phương trình (2.6) chúng ta xác dịnh các xấp xỉ liên tiếp như sau

Két higp với điều kiện ( tích phan chỉ phụ thuộc liền Lục biến r và do TỤC, u) biến D, vào +, (s” < s) nên xấp xỉ thứ kT— I là œ¿+¡ chỉ phụ thuộc 7„ nếu xấp xỉ thứ œ thuộc Ø, (dối với một vài khoẵng ¢) thi

trước hết chúng ta xây dựng được xắp xi và do đỏ một khoảng ý chung

với tất cả các u;(L] được xác định và thuộc vào một #, Trong khoảng

i nay ching ta sé tiễn hành giới hạn cho & — oo va được hàm siới han

|Jur(t} — uol[, < Ka (2.11)

Rõ ràng về phải của (2.11) là không phụ thuộc vào ¿ và a Để đảm bảo

rằng khoảng ¢ trong (2.10) không vượt quá khoảng giới hạn ¿ ban đầu

ching ta can chon a sao cho asg < 7, nghĩa là

#0 Hạn chế nửa khoảng (2.10) thành khoảng mở

0 <1 < also — 4).

le) well, (2) < Ra (3.18)

Bay gid giả sử rằng u(t) được xác định cho mỗi # với Ũ < # < a(sụ — 8},

và thuộc Ö, nếu s là một số bất kỳ, thỏa mãn 0 < s < sụ Thể thì ta

xác định hàm

A#{z) — sup smp ||#Œ)|, ” ) -

6559 DeLeutsg—s)

Giá trị này có thể tiến tới +oc, vì thế cần xãy dựng 27(ø) là hữu hạn

và từ định nghĩa của 1(ø} chúng ta có ngay đánh giá san

iM (u)

Ứng vái cặp s, ¿ thỏa mãn ( < 4 < sọ, < # < a(so — s) VÀ có thể

thấy thêm rằng đánh giá (2.14) chỉ ra rằng z(0) nhất thiết triệt tiêu

trong mỗi #, nếu AZ(u) hữu hạn Chứng ta quay trỏ lai phần tử œ4(/) xác định như trong (2.7) Theo đánh giá trong (2.13) thì

Mi — tụ) < Ka (2.15)

Dể xác định u, (é) chúng ta phải chấc chin ring w,(¢) thỏa măn bất

đẳng thức

lage) — nll < (2.16)

Bải vì tích phan 7 '(z, uz(r)) trong (2.7) chỉ được xác dịnh trong da trụ

(3.4), ngoài ra còn phải chắc chấn sự hội tụ của + Nên cả hai điều

kiện này có thé duge théa man néu khoảng chứa £ sẽ được hạn chế theo

Nếu az.¡ < a¿ Bay gid giả sử rằng œ;(f), j = 1,3, ,k đã dược xác

dịnh rồi và thuộc Ø,, Ú < ‡ < aj(sụ 5),0| > as > > ay > ( thỏa

mãn

ltu() — w COIL, < ¿# (2.20)

21

trong đó Adj(uy — uj1) được cho là hữu hạn Để chứng mình sự lon tại của œ;_¡, chúng ta chon a4; < a¿ là một số dương bất kỳ Kế tiếp chúng ta chọn một số dương § sao cho thỏa mãn

4k+1(Sp — 8) — đk(%s — 8),

Điều đó có nghĩa là s < # < sọ Xấp xỉ thứ &, u¿(r) được xác định và

thuộc Ö;, nêu Ô < £ < ag(sạ — ä) Kết hợp với (2.20) và (2.17), chúng

Do đó, Ƒ{,0&()) và +¿lŒ) được xác định thuộc Ð; nếu Ö < # <

ax(so 8) Cũng cố nghĩa 0 < £ < axxi(so s5) Biển z của hàm

T{r,1(z)) nhận giá trị trong khoảng 0 < r < £ Từ xắp xi (2.8), ta cổ:

t

rat) uel, < f PPCrven(e)) — Persea)

ù

Chúng ta cần phải dánh giá chuẩn của vế phải của tích phãn trên Dể

làm điền này chúng ta đánh giá chuẩn ø»(z) %¿_¡(z), trong không

gian với chỉ số lớn hơn Chỉ số này sẽ được chọn phụ thuộc z và kí hiện

là s(z), z và s(z) liên kết với nhau qua

Ap dung {IIT}, ta cé danh gid sau cùng sau:

Nếu 0 < # < at+i(so — s) Với giả thiết 4;(%u, — a_i) TA btu han Tit

định nghĩa của A;:

Ade (ug — Us-1)

4CayMk(y ayMt (tu — 86—1) [: A=—— — 8—1) |[————x————l- wena

Biểu thức trong ngoặc kép ở biểu thức trên bằng:

23

Do vậy, Lừ (2.25) chúng bá thụ được đánh giá

Mt+i(Đs+i — ty) < 4a C Mk(túy — tứe—L) (2.26)

Piau nay cing cho thay ring Me+i(ti—1 — ux) là hữu hạn Khai triển

(2.26):

My (tp — 6g—1) S 1ayO Mỹ 1(0y—1 — 6k—3),

ÂM q(My—t — ga} < đây MẾy—s(0y—» — tụ—a},

Mo(uz — uy) S 1eaỞMI (0 — ung)

"Trừ Lừng về các bất đẳng thức này với nhau Lĩnh toán và rút gọn chúng

ta, thu được

"Từ các chứng minh kết qnả trên chúng ta thu được kết quả sau

"Ta có thể tìm một dãy số dương øy, z», thỏa điều kiện (2.28), các hàm

ux = u(t) duge xác định bởi một cách quy nạp với mỗi k = 1,2, ,

Kết hợp với công thức (2.17) chúng ta thay rang u,(é) tac thanh mot

chuỗi cơ bản và gọi giới hạn này là u — iim, Ug

Sé ditge xAc dinh vai 0 < ft < a,(sg ay vA và thuộc B, với da, — jim, dự

Do dãy a¿ là dương vì thế a„ phái là một số đương Thế thì ta có ô thể xác định ø;+i như san :

amr — ag(1 — ổk), (2.30) Vdi 0 « < ấy < 1, lúc đó ø, trở thành là tích cúa một đãy vô hạn

@, = a IL {1— &) Như đã biếU tà chuỗi trên là hội tụ và có giá trị

dương nếu và chỉ nếu :

Theo (2.17) và (2.31) thi e, + 0 va 6, = 0 khi k — 0, bởi vậy về trái

của hất đẳng thức (2.32) cũng sẽ dần tiến về 0 khi & > 0 Dién kiện

trên được thôỏa mãn khi:

An <1.

25

Kết hợp với điều kiện trong (3.13) và (2.18), trong đó a được thay bởi

a; thì chúng ta có a¡ phải thỏa mãn diều kiện sau:

'Theo các chứng minh ở các phần trên nếu về phải Z (, #) của phương

trình đạo hàm (2.2) thỏa mãn các điều kiện (T), (II) và (II) trong phần

2.2 Thế thì hàm giới hạn u = a(£) của các hàm w, = u,(¢) xác định theo (2.8) là mật nghiệm của bài toán giá trị han dần (2.2), thôa mãn điền kiện (2.3) và thuộc vào Ø, nếu:

0<£< a.(sạ — 5)

a = 01 T[ (1 — &)

k1

Bay gid chúng ta giá sử rằng chúng ta đã có chuỗi e, ea, và ổị,ổa,

Théa mãn các điều kiện trang (2.17) và (3.31) Giả sử thêm ring a1 1A mét số dương bất kỳ thỏa mãn điều kién (2.32), thé thi nhu đã chứng

minh trong phan 2.3 chúng ta có tồn tại một số dương a, sa0 uz = u,(d) xác định theo (2.8) thuộc Ø; và hội tụ trong khoảng

0<£<n(sạ sÌ

Chúng ta đã chứng mỉnh rằng số ø; cũng như chuỗi z¡,za, và day 51,49, v6i các tính chất trên tần tại trong bấy kỳ trường hợp nào

"Trong các sit hựa chọn các dãy zị,sạ, và ẩ¡,ô;, thì số ø¡ có thể

Tựa chọn tùy ý trong một vài khaảng được cho bởi các điều kiện tương

ứng 'Phế thì số dương a đặc trưng sự hội bụ của khoảng được cho 'Pheo (2.28), uz = u¿(#) hội tụ dều trong mỗi Ø, nếu 0 <t<as(sp s) Cho

k — œo và theo công thức (2.29) cho chúng ta thấy rằng chuẩn của

hiện số giữa ¡¿ — w+(£) và hàm giới hạn ø — u(t) c6 thé được đánh giá

bởi

Is() u(t) |< SO ak (2.34)

Tiây giờ cho s và ? là những số đã cho théa man 0 < £ < ae(so 3)

"Thì tồn tại một số ø” với và sao cho 1 cũng thỏa mãn s < ø' < ay Ap

dung (2.34) với s” thay thế cho s, 7 thay thé cho t, (0 <z < 9) Thì ta

có ngay ø = u¿(r) hội tụ trong By Ö đây hàm giới hạn là ¡ = u(r)

Mặt khác theo điều kién (LU) ching ta có:

ù

Tite là chúng ta thu được phương trình tích phân (2.6), điền đồ có

nghĩa là w — z{#) là một nghiệm của bài toán giá trí ban dầu (2.2),

(2.3).

27

2.3.2 Tính duy nhất nghiệm của bài toán giá trị ban đầu

trong thang Banach

Với giả thiết về phai F(t,u) của phương trình đạo hàm (2.2), thỏa

mãn các điều kiện (1), (H), và (1H) trong phần (2.2) Với chứng minh

trong phần (2.3) và (2.3.1), chúng ta thầy rằng bài toán giá Lrị ban đầu

(22), (2.3) trong khang không gian Banach là giải được Bãy giờ cầu chứng tỏ nghiệm cña bài toán đó là duy nhất Để chứng minh chúng

ta giả sử u, v là hai nghiệm của cùng bài toán giá trị ban dầu (2.2),

(3.3) xác định và thuộc vào A, với Ú < ‡ < ø„(su — a) Giả sử rằng về

phai F'(t,«) thỏa mãn ít nhất điền kiện (11) Và PƑÉ,ø(0)), FÚ, e0)

phụ thuộc liên tục vào ¿ 'ữ bài toán giá trị ban đầu tương đương với

phương trình tich phan (2.6), dé đó giá trị (w— ø) của hai nghiệm théa

THẤM:

+ z(9)— s9 — / (F2) — P(s,s(z))jdr (2.35)

a

Dé chứng minh tính duy nhất nghiệm của bài toán giá trị ban đầu này,

chứng ta tính ||a(2) — +(0)||, theo nghĩa trong sự biểu diễn (3.35) của hiện œ — ø

lu() +%()|,„< ef a =

Với s(r) dược chọn hợp lý, có nghĩa là s < s(r) < sp Bay gié chúng ta muẩn ước lượng tích phân trong (2.36) Đ làm điều đó chúng ta đánh giá |uŒ)T— ?()||j„ị bởi M(u — +) Tuy nhiên vấn đề ở đây chúng ta

không biết là A#(w — ¿) là hữu hạn hay không Ta chọn một số s¿ với

0 < 9 < sp Thế thì chung ta chi quan tâm những s sac cho 0 < s < ey

Và để đánh giá được (2.86) với s(r) = sự, chúng la phải giới hạn khoâng