Luận văn bài toán thác triển hàm chính quy nhận giá trị trong Đại số ma trận và Ứng dụng trong công nghệ

LỜI MÔ ĐẦU Trong nhiễu năm qua, bài toán thác triển có rất nhiều ứng dụng trong lý thuyết cũng như kỹ thuật, đặc điểm quan trọng của bài toán là: khi biết tính chất của hàm trên một địa

BỘ GIÁO DỤC VÀ DÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

Nguyễn Thị Thu

BÀI TOÁN THÁC TRIỂN HÀM CHÍNH QUY

NHẬN GIÁ TRỊ TRONG ĐẠI SỐ MA TRẬN

VA UNG DUNG TRONG CONG NGHE

LUẬN VĂN THAC SY KHOA HOC

CHUYỂN NGÀNH: TOÁN ỨNG DỤNG

Người hướng dẫn: GS TSKH Lê Hùng Sơn

Hà Nội - 2016

Nhân dịp này, Em cũng xìn gửi lời cảm ơn chân thành tới loàn thể các thẩy cô

giáo trong Viện Toán - Tin ứng dụng và các Thầy Cô giáo trong viện Sau Dại học,

trường Đại học Bách Khoa Hà Nội đã dạy bảo em tận tình và tạo mọi điều kiện thuận

Idi cho em trong suốt quả trình học tập vừa qua

Nhân dip này em cũng xin được gửi lời cảm dn chân thành tới gia đình, bạn bề đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện

khóa luận tốt nghiệp,

Hà Nội, ngày 20 tháng 03 năm 2016

Học viên

Nguyễn Thị Thu

1.3.1.|Công thức tích phân Borel - Pompeiu| - -c:-<->: i 1.3.2.|Công thức tích phân Cauchy| - -.<<++ 13

1.4 |Định lý thác triển hàm Hartogs cho hàm nhiều biến phức| 14 Chương 2.|Tính chất ma trận đồi với định lý thác triển nghiệm hệ phương|

LỜI MÔ ĐẦU

Trong nhiễu năm qua, bài toán thác triển có rất nhiều ứng dụng trong lý thuyết cũng như kỹ thuật, đặc điểm quan trọng của bài toán là: khi biết tính chất của hàm

trên một địa phương nào đó, thì có thể biết được tính chất của hàm trên tuần cục Vì vậy nếu giải quyết được bài toán thác triển này sẽ giúp ta dự đoán được các tỉnh chất quan trọng của các hiện tượng khi biết thể hiện của nó trong một địa phương nhất

định Hài toán này thực sự thu hút được sự chú ý khi lý thuyết về hăm phức nhiều

biển ra đời Một kết quả nối bật của nó là bài toán thác triển hàm chính quy nhận giá trị trong đại số ma trận và ứng dụng của nó Dựa trên ý tưởng này, người la tìm

kiểm tiêu chuẩn để nghiệm của hệ phương trình đạo hàm riêng trên địa phương có thể thác triển được ra toàn miễn xác định Dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo

-GS.TSKH L.ê Hùng Sơn, tôi dã nghiên cứu bài toán thác triển sau dây:

Cho miễn K e R”, Л là lân cận của âK Xét hệ:

trong di: A? = const; i= Trams

giải tich thuc theo x1.42, 4 Vaw = (1,u2, ,%n) Wham dn, f 1a cde him gidi

tich thuc trén K

Vấn dễ này được nghiên cứu theo hướng tiếp cận sử dụng một số tiên chuẩn ma

trận Irong hai trường hợp: 4)” (2) là các hằng số và Aj) (x) là các hàm số giấi tích

Bồ cục của luận văn bao gồm 3 chương:

« Chương 1: Trinh bày tóm tắt một số kiến thức,tính chắt,định lý và kết quả

cơ bản liền quan đến hàm chỉnh hình nhiều biến phức, và định lý thác triển

Hartogs

« Chương 2: Trình bày ý tưởng, hướng tiếp cận sử dụng một số liêu chuẩn ma

trận và một số ví dụ minh họa cho các tiêu chuẩn đó.Đặc biệt quan trọng là các

4

Dịnh lý 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 2.7

« Chương 3: Trình bày một số tiêu chuẩn của ma trận đôi với hệ Cauchy- Rie-

mann trang RÊ

1o luận vẫn được hoàn thành trong điều kiện hạn ché về kiến thức nên không tránh

khỏi những thiểu sót, vì vậy tôi rất mong nhận được những nhận xét và đóng góp từ các thay cô và các bạn.Tôi cũng hy vọng, mình có thêm cơ hội để nghiên cứu sâu hơn

bài toán này và đặc biệt có thêm kết quả ứng dụng đổi với hệ phương trình đạo hàm riêng cấp 1 hệ số hàm Xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 20 tháng 3 năm 2016

Tiọc viên

Nguyễn Thị Thu

Chương 1

Định lý thác triển đối với hàm

chỉnh hình nhiều biến phức

1.1 Không gian €7

Xét không gian Ởclit số chiều chăn iW”", các điểm của nó là các bộ có thứ tự

2m số thực (xi, xa, ., =2„) Tà đưa vào trong đó cấu trúc phức, bằng cách đặt 2, =

,a) Ký hiệu lại x„ „= y„ nê

1.2 Hàm chỉnh hình nhiều biển phức

Giả sử Ð = Ú* được lập nên từ các điểm hữu hạn và ƒ nhận trong ¿) chỉ các giá

trị hữu hạn (ƒ : Ø —› ©) Gid st f kha vi tại điểm z e Ø theo nghĩa giải tích thực (R?"

= kha vi), tic Ta tn tai vi phan

Định nghĩa 1.1 Ham w = f(z) goi id chink hinh (hay giải tích) trong miễn mở

DCC nếu hàm cs $"(<) tai moi didn trong D

Ham w = f(z) goi la chinh hinh tai z néu nd chinh hink wong mét lan can néo dé

của z

Những điển mà tại đó w = ƒ (2) không chính hình sọi là các điển bắt thường

Định nghĩa 1.2 Ham ƒ, xác định trong lên cận nào đó của điểm ¿e Ú, nếu được

gọi là khả vỉ tại điển đá theo nghĩa giải tích phức ([—khả vi), nêu nó RỆ"— khả vỉ

tại đó và tại điểm này

tác là vi phân có dạng

Pin Khi viết điều kiện (*) đối với mỗi thành phần ƒ,, ta nhận được hệ 2z2 phương

trình thực đối với 2z hàm thực, tức là hệ xác định thửa khi x > 1 Hệ xác định thừa này cũng như các hệ thừa khác đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết phương trình dạo hàm riêng

Định nghĩa 1.3 Hàm ƒ được gọi là chính hình tại diểm & 6 Ch nếu ƒ khả ví tại mọi

diểm của lân cận nào đá của th

Ham ƒ chính hình tại mỗi điểm của tập mở nào dó @ C €* (đặc biệt là các miễn) được gọi là hàm chỉnh hình trên tập 8

Nhận thấy: Hàm chỉnh hình trong miễn /2 = Œ" là hàm chỉnh hình ("- khả vi) theo

mỗi biển z„ riêng biệt Khẳng định ngược lại cũng đúng: nếu hàm ƒ chỉnh hình theo

mãi biển z, riêng biệt trong miễn Ð C ©” nào đó, thì nó khả vi trang Ð (theo nghĩa

TRÊ") theo tập bợp các biến

"Tính chất 1.1 Xét him ƒ liên tục trong miễn ID) C " theo tập hợp các biển và tại

mỗi điểm ;ũ c D, chỉnh hình theo mỗi tọa độ Nêu hàm ƒ thỏa mãn điều kiện

a,| Sry} thi tại mỗi didm 2€ Und duce bid

diễn bái tích phân bội Cauchy:

= aa f~ Vigna th =a)

trong đã T là khung của da trồn, tức là tích các vòng tràn biên ý, = {|l — a.| = ?y}

'Tính chất 1.4 Xét hảm ƒ liên tục trong miễn Ï C Ú" theo tập họp các biễn và tai

mdi diém 2 c D, chỉnh hình theo mốt tạa độ Nêu hàm ƒ thỏa mãn điều kiện

of

trong da tron đóng Ù = {z C" : |z, — a| < r, thì tại mỗi điểm z 6 Unó được biểu

diễn bởi chuỗi lũy thừa kép:

Nếu chi ly thita (trong tinh chdt 1.2) héi tu tai diém z¢ C" ndo đó thì trên tập tủy

PKS ke: |y—ai] <6, — cyl} chudl ny hoi tas tuyét déi và dẫu

'Tính chất 1.4 Xé ham f liên tục trong miễn D C ÉP theo tập họp các biến và tại

mdi diém 2 € D, chinh hình thea méi 10a độ nêu hàm f théa man diều kiện

trong da tron dong U = {2 €" : |zy— ay < ry} thì tại mỗi điển € Und c6 ctic dao

hàm riêng mại cáp liên tục theo tap hop bién

"Tính chất 1.5 Nóa hàm ƒ chỉnh hình tại diễm ä, dưặc khai triển thành chuỗi lấy

thừa (dạng trong tính chất 1.2), thì các hệ số của chuỗi này được xác định theo các

công thức của Taylo:

'Tính chất 1.6 (Bát đẳng thức Cawchy) Néu ham ƒ chỉnh hình trong đa tròn đồng

U ={:|w— | < my) và |ƒ| <M trên khung L` của nó, thì các hệ số trong khai triển

9

Tamo của ƒ tại điểm a tha mãn bắt đẳng thức

lzl< eel al Soe trong a6 = rh! «phe

Định lý 1.1 (Định lý Hartogs) Nắu hàm ƒ chỉnh hình tại moi dién cia mién Dc C"

theo mỗi biến dụ, thì nó chỉnh hình trong 1)

Định lý 1.2 (Định ý đuy nhất) Nếu ƒ e H(D) cũng với mại đạo hàm riêng triệt

tiêu tại điển t?nào đó của miễn D C (®, thì ƒ = 0 trong D

Nêu hàm ƒ 6 11(D) bằng không trong lân cận thực của điểm z1 & D, nic ia trên tập

{z=x+iye CC": |x— x9| < r,y =3}, thi f = trong D

Định lý 1.3 (Nguyên lý mödưn cực đại) Nếu him fe H(D) va |ƒ| dạt cực dại tại

điểm nào đó a € D, thi f = hằng số trong D

Dinh ly 1.4, (Linvin) Néu ham f chỉnh hình trong Ú" và giới nội, thì nó là hằng số

Dinh If 1.5 (Weierstrass) Gid si? ham f„ e I1(D) hội tụ đầu đến hàm ƒ trên mỗi

tập cơn compact của Ð, khí đó ƒ H(D) và với k= (lì Ea) tày ý

trên kG D tùy ý

Định lý 1.6 Gid si ƒ chính hình trong lần cận Ù nào đó của điểm ae Ê* và f(a) = 0, nhưng ƒ (fa,z„) se Ù, khi đó trong lân cận V nào đồ của điểm này

7) = {6 — ae) + C2) Gn ae) "+ eK}

trong đó k > 1 là cấp của không điển của f('a,%) tai diém tn = ay, cdc ham cy chỉnh hình trong 'V0,('a) = 0, côn @ chink hink trong V và không triệt tiêu trong

đã

10

Tiếp theo, ta xét một bổ đề tổng quát thể hiện sự phụ thuộc chỉnh hình của tích phân vào tham sô

Bổ đề 1.1 Giá sử Lụ : Sy = Sy (l) là đường cong đo được trong mặt phẳng Éu(u = 1, ,m),= Lị xi: xem về D là miễn trong ỨP"; giá sử È = (ẤL , ấm) và z =

(áI ău) Nếu hàm g(C.2) lién ine trên Lex D, chink hinh theo z trong D vái È L

1.3.1 Công thức tích phân Borel - Pompciu

Định nghĩa 1.4 //àm #„(x) định nghĩa nhụ sau gọi là nhân Cauchy xác định trong

Œ" No]:

1%

trong dé ham k(x) fa nghiém co ban cia todn tt Cauchy Riemann trong gidi tích

Clifford, Oy la diện tích mặt cầu đơn vị SP trong BR!!!

Mệnh dễ I.I, Nhân Cauchy chỉnh hình trái và phải

Chứng minh Ta có

và vối

Chứng mính tương tự cho trường hợp chỉnh hình phải

Định lý L7 (Công thức tích phân Borel - Pompelej}

Xét miễn QC Th+Ì số biên trơn Với ƒ © C1(Q) this

kọi la todn nit Cauchy - Bitsadze Toán tử Ty định nghĩa bởi

Fapyie) = — [EOE Woy

a got la todn tt Teadoresca

Chú ý 1.1 Céng shite Borel - Pompeiu cé thé duoc viét dudi dang:

sls) xeQ

12

Dinh If 1.8 Cho ham ƒ c Cậ(M) Kii đó

(Đ, = AN với N là nghiệm cơ bản của phương trinh Laplace) u

Chul ¥ 1.2 Niue vay toán tử Teodorescw là toán tử ngược của toán từ Dirac trên miễn

Q

1.3.2 Công thức tích phân Cauchy

Dinh If 1.9 (Dinh by Weierstrass}

Giả sử [Hn]u 13, fd cde ham chinh quy trong mién Q va cdc ham dé déu héi ta déu

về hàm u Khi đỏ hàm u cling lit ham chinh quy

Ching minh, Lay diém xụ tùy ý trong Q Giá sử quá cầu đóng |x— xọ| < # năm trong @ Khi đó tại mỗi điểm ¿ nằm trong của cầu ấy thì z„ có thể biểu diễn bằng

công thức tích phân Cauchy

Do £(x,é) phy thude liên tục vào Š, hàm w trữ thành hàm chính quy với |š — xọ| < #

Nói cách khác, với mỗi điểm xạ e © thì đều tổn tại một lân cận mà trong đó z là hàm

13

chính quy

Như vậy w là hàm chính quy trong toàn ©

1.4, Định lý thác triển hàm Hartogs cho hàm nhiều

biến phức

Định lý 1.10 (Hartogs) Gid sit cho các miễn 0D C ÔP—I('z) và D„ C Ö(z„), ham f

tity ý chỉnh hình trong lân cận (theo nghĩa ") của tập

trong đó 'ĩạ 6 °D, thác triển chỉnh hình được vào toàn miễn D = D x Dy

Chứng mình Không mất tính tổng quát, ta coi #2, giới nội bởi một số hữu hạn đường

cong trơn Hàm

chinh hinh trong mién D =D x Dy

Thal vay, khi & € @D, va’ze 'D, diém ('z,&) € M du đó ƒ('z,za) chỉnh hình Suy

ra hàm f chinh binh déi voi “z trơng “/2(z„ # 2/2„) (tính chất hàm chỉnh hình)

Mặt khác: với “z e 7, hàm ƒ chỉnh hình đối với gq € Da

(Công thức tích phân Cauchy đối với hàm một biển z„)

Vậy với z thuộc lân cận nị

2

= [=f khip nai mà f chỉnh hình (Định lý duy nhất đỗi

Mà Ƒ e H(D) = ƒ là tháo triển giải tích cẫn tìm của ƒ

ham nhiễu bién phức)

14

Nhận xét 1.1 Từ chứng minh trên ta nhận thấy, điều kiện của định lý Hartogs có thể”

giảm ẩi, nếu chỉ đòi hỏi ƒ là hàm:

1 Chính hình trong lân cận tập {'zÐ} x Dy

2 Liên tục theo š„ và chỉnh hình theo "z trên tập “Ð x êD„

Hơn nữa, nếu trong (L2 ta xét tích phân bội Cauchy theo Ê*Ð thì vai trò của °Ð và

Dụ có thể thay đổi cho nhau (tương ứng, các biển “z và zạ)

Tap mong: Cho Dc €", M D, AM được gọi là tập mỏng nếu với mỗi điểm z € D,

tổn tại lân cận U; 7D và hàm chỉnh hình @, trong đó

#0 V:€U;

“Theo định lý duy nhất tập mỏng A⁄ không thể có điểm trong, nó không đâu trù mật trong D va phan bi trong D cia M la liên thông

Dinh ly 1.11 Giả sử M là tập mỏng trong miền D C C" và hàm ƒ chỉnh hình trong

D\M Nếu ƒ giới nội địa phương thì nó thác triển được một cách duy nhất thành hàm

Ta chiing minh tinh thac trién được: do Đ\/ là tập liên thông, ta chỉ cần chứng,

mính tính thác triển chỉnh hình của hàm / vào bắt kỳ điểm ø e M Không giảm tổng

=> các số pr(r = I,n — Ï) có thể đủ nhỏ, sao cho ®(z,z„) + U với Y“ze" V = {|z| <: ø}

va Vin € 6Dn = {|En| = 0n}

— Ứ60x) € MỸ trong đó: "¿6 *V vay 6 OD ye

= f chinh hình trong lân cận "V x aD,

Mặt khác, với “z e” V cố định tùy ý, hàm ở(/z2,'z„) có hữu hạn không điểm trong

hình tròn Ø„ = (|z;| <: Øa}, nghĩa là ƒ(/:,z„) có trong í2, hữu hạn điểm kỳ dị

Do ƒ giới nội trong Ø„ nên các diểm kỳ dị là khử dược, nghĩa là /(⁄4Ở,s„) thác triển được thành hàm chỉnh hình trong Ðạ Hàm thác triển ƒ chỉnh hình trong lân

tập (V @Dy) ¬ (f0 x Ðạ) và theo định lý Harlogs, ƒ chỉnh hình trong đa tròn

Y='VxÙy

"Trong định lý tiếp theo ta tăng hạn chế buộc chơ ƒ bằng cách thác triển liên tục

nó vào 7), nhưng déng thoi gidm đòi hỏi cho tập & (Giả sử: / không phải trên tập

mảng mà trên mặt trơn 2 — 1 chiều) o

Dinh ly 1.12 Néu ham ƒ liên tạc trong miền D c C" và chỉnh hình khắp nơi trong

D, trừ ra tập MÃ nằm trên mặt tran 2n — | chiều S thì nó chỉnh hình trong toàn tập D

Chứng mình Tương tự như định lý trên, giả sử trong lân cận ï của diểm 0e #ý, mat

ÿ biểu diễn bởi phương trình y„ = @(/z,x„) trong đó @ là hàm thie trun

Vì @= (0,0) = 0 nên theo tính liên tục: Với V8 >- 0 nhủ tùy ý, 3 lân vận 7V của điểm

#0 và œ > 0 sao cho |@('z,xn| < 8 với Y'ze V và |x„| < ở

=> ƒ chỉnh hình trong “V x {|a„| < &, [yu] < Y}, với > đủ nhỏ

Mặt khác, vái “+ e' V cỗ dịnh, hàm ƒ(7z?,z„) chính hình theo z„ trang hình chữ nhật

Dy = {|xul < Œ,|ya| < T} khắp nơi, trừ tại đường cong nhẫn y„ = @(22,x„) và liên tục trong J„

= f('2 zn) chỉnh hình trong Є

= f chinh hinh trong 7V x Ø/ (theo định lý Hartops) a

16

Chương 2

Tính chất ma trận đối với định

lý thác triển nghiệm hệ phương

trình đạo hàm riêng cấp 1

Ở phan này, ta sẽ đưa ra một số tiêu chuẩn để nghiệm của hệ phương trình đạo

hàm riêng tuyến tính cấp 1, hệ số hằng dạng (2.1) 6 lân cận của biên có thể thác triển

trong đó: Aj/) =const; i= l.m; j= In; I= I,L; tị = M(xi.xs x„) là các hàm

giải tích thực theo xị va X„ VÀ H = (MỊ;M3; 1) là hàm ẩn

17

-++Mm()}

là một nghiệm của hệ (2T) trong miền K và Ñ = {iy (x)i2(x),- m(x)} là một

Định nghĩa 2.1 (Định nghĩa thác triển nghiệm) Cho w= {an (x).t2

nghiệm của hệ đó trong miền Ñ với K Ñ G TR Khi đó ĩ được gọi là thác triển liên

tuc cia u néu ti = wtrong K

Định lý 2.1 (Định lý duy nhất)

Cho tập mỏ ø C K, ð # Ø Giả sử w = {uj (x), u(x)

tích thực) của hệ -T) trong miễn K € Tà" Khi đó, nếu:

Um (x)} la mot nghiệm (giải

u=0 vixE Oo

thi

u=0 vdixe K

Néu hé (EI) la hé elliptic thi nghiém ctia hé QA) cling la ham gidi tich (thuc) theo

4X1 ,X2, ,4n Do dé ta có thể áp dụng định lý duy nhất cho nghiệm của hệ phương

là: Khi nào mọi nghiệm của hệ (Ð-T) trong E có thể thác triển liên tục thành nghiệm

của chính hệ đó trong toàn miễn K Nghĩa là:

of O Ja ma win cd m xn va F; Wa véc to L - chidu Néu vée td 7; duige chon trước

thì ta định nghĩa ma trận cố m x n như sau:

1

il

Ton nữa, ta định nghĩa ma trận:

=U, âm) — có cäm x (man)

Định ly 2.2 Giả sử rằng m < n và tần tai m vée to A |, , Im sao cho các điều

kiện sau được thỏa mãn:

j) lankØ,—1 — vấiVi=T.m

ii) Rank® =m,

iii) Rank'® =m

19

Khi đó, mỗi nghiệm giải tích (thực) u của hệ -T) trong ` có thể thác triển liên tực

được thành một nghiệm của hệ đó trong toàn K

Chứng mình Giả sử tồn tại các ánh xạ tuyến tính

thi dé thay dang thay ring K’ 1a mot mién trong R”€ (€), &,) va SY" 1a mét lan can

clia OK’ Khi đó, các hàm w; (x), ,mm(x) dutde cho trong Sy va gidi tich (thuc) theo

Xi, 3„„„ theo đó ư{ (Š) ,„(Š) được cho 3” là giải tích (thực) theo ễt, lếm:

Nếu hệ Œ-T) bao hàm các phương trình

trong đó ữ' = (ñt fúy) ữ = (ñi #„) Dễ dàng chỉ ra rằng các hàm số ữ, xác

Lại có Z⁄((ñ) giải tích thực theo xụ xụ

Kết hợp định lý duy nhất|2 I|và (T3), ta lay

.#)(ñ) =0 trong toàn K, với =T,E (2.14)

Điều kiện (2.13) có nghĩa # = (a@, ñ„) là một nghiệm của (.T) trong toàn K Do

đó ñ là thác triển của w trong toàn K

Bài toán được suy ra từ việc chứng minh sự tồn tại của các ánh xạ A và Á¡

O diy poy? Noi DẸ”] là hạng thứ & của ma tran Y

Do đó, phải chứng minh sự tổn tai cita hai m—tuple

(đii: đim) — Và — (ti im)

thỏa mãn điều kiện (2.19) va (2.20) Bang lap luận tương tự như phần trước, ta có thể

chting minh su t6n tai cita 2(m— 1)m—tuple dang sau:

(Gitye++2@im) 5 (tins +++ Oni) (2.25) thỏa mãn điều kiện

Từ (2-26) (2-24) và giả thiết (ñ} của Định Iý|2.2]ta có

Từ (2-24) (2-26) và giả thiết (ifÏ) cho ta

ayy Ol ápgŒ21 ayy, and

a,œl2 a,Œ22 - aiyp,Œn2

aig, ai,G2m +: ayy, om

trong d6, 1 < ky <m, | = 1,L Theo ký hiệu

khi d6 ta lay hé m véc tơ với ø thành phần

{0i,0a, , On}

Điều kiện (2Ø) nghĩa là hệ véc tơ {đ¡,; , #„} là độc lập tuyến tính Do

mì <n, tà có thể thêm vào hệ này (w —m) véc tơ (với ở thành phần)

Do 2.28), (2:32) cac phép biến đổi (2-33) (-3Š) là các phép biến đổi tuyến tính đơn

Bay giờ, áp dụng thay j bởi k và ! bởi j và ta có

Bị _ x yết ayy, i= ôm, —

Cac hé s6 ctia vé phai trong (2.37) 1a cdc phan tr cia ma tran Y Do (24) vé phai

của (7) là một tổ hợp tuyến tính của Zt) (w), ⁄0)(w) Do đó

4 oy, eign

06)

Ta lay các anh xa don anh dang (2.5) va (2.6) théa man diéu kiện (29)

Vậy Định lý[.2|được chứng minh o

Néu m,n bat ky ta c6:

Định lý 2.3, Giá sử tại m véc tơ Ä Ä„ sao cho ma trận phụ thuộc 22¡.2 và %

thỏa mãn các giả thiết sau:

25

Chứng mình Lập luận tương tự như chứng mình định lý 2.2] ta sé tim cdc ánh xạ

tuyến tính đơn anh dang (2.5) va (2.6) sao cho hé (2.1) kéo theo cae diéu kién

lay i Uy la cde ham ích thực cho trước trong Ȉ, khi đó các hàm 4 (x), 1„(X)

xác định trong các Š” và giải tích thực theo št Šu

Từ (8) ta thấy ø{ (x) /„(x) không phụ thuộc vào ế; Do đó,

Hy (8) soon)

có thể thác triển thành các hàm giải tích thực trong toàn bộ K”

W(x) bOI A(x) (x)

2lta chỉ ra rằng @ = Aj! (@’) la thac triển

Ta ky hiéu cae ham thac trién ctia w(x)

Cũng theo cách chứng minh của Định lý

của w trong toàn K

[ap oe jj Of] = A" [ary ty 411 O1.-.-.411 Ot],

trong đó ¡ = 2m, ! = T.n, 4") la cdc hang s6 Do (2.40) ta dude

theo (2.24), (2.26°), thoa min diéu kién

a0) = Di) voii,k= Tm; j= Tn

Từ giả thiết (b} ta được

GIỚI +! nh điểm rrh đụ đi Am Sn

Mặt khác, ta xác định các phép biến đổi tọa do tuong ty nhu (2.34), (235) Do (2-45)

các phép biến đổi này là các phép biến đổi tuyến tính đơn ánh

Từ các các phép biến đổi tọa độ nói trén va (244) ta duge

== Oj =— = Dừ— vớii=1,m 247) 0b hài TẾ hà tây;

Về phải của (2:47) trường hợp tuyến tính của (w)(Ð, (ø)* Do đó, ta được 38)

28

Do đó

Vay Rank” = RankP> = 1 Vay diéu kién (i) duge thoa man

Xét điều kién (fi), RankB =m =2

= — Rank# = 2= m thỏa mãn điều kiện (fi) cia định lý

Xét điều kiện của định lý: Rank@ =m = 2

Vậy Rank = 2 = m Thỏa mãn điều kiện (fÏ) của định lý

Vay nghiệm của hệ đã cho ở lân cận biên có thể thác triển được ra toàn miền xác

2.2.2 Một số tiêu chuẩn ma trận đối với tính giải được của bài

Khi đó mỗi nghiệm giải tích (thực) của hệ RT) trong SY) c6 thé thac trién lién tục

được thành một nghiệm của hệ đó trong toàn K

Néu m,n bat ky, ta c6 Dinh ly sau:

% đ¿ z5 «v9 vỆ., ; 4, >: vạt

Định lý 2.5 Giả sử tổn tại m véc ở Â \ Âm sao cho:

1) Ä4ĐA) +A4ÐAf) + -+ Ä|ĐAR?) = DỆ) = cons; ¡,k= Tìm, j= TT,

2) RankD(0 =1 vớiYi= T;m,

3) RankB =m,

33

4) RankC = 1

Khi đó mỗi nghiệm giải tích (thực) của hệ RV) trong 3` có thể thác triển liên tục

được thành một nghiệm của hệ đó trong toàn K

Chứng minh hai Định lý trên tương tự như chứng minh Dinh ly[2-2}va Dinh ly[2.3]

của phân|2

Định lý 2.6 Giả sử rằng m < n và tôn tại m véc ở Â \ Âm thỏa mãn:

1) Với mỗi i(i = T,m), t6n tai mot phan nit Bộ # 0 xác định trong toàn miễn ÄUK

Khi đó mỗi nghiệm giải tích (thực) của hệ RT) trong 3` có thể thác triển liên tục

được thành một nghiệm của hệ đó trong toàn K

Chứng mình Từ giả thiết, tồn tại các ánh xạ tuyến tính đơn ánh