3.3.4 Thuật toán thích nghĩ theo phương thức tối thiểu bình phương vử dụng phép lính đệ quy CHƯƠNG 4: ỨNG DỤNG THUẬT TUÁN THÍCH NGHỊ XÂY DUNG BO CAN BẰNG KÊNH 4.1 Vấn để cân bàng kênh
Trang 1
BỘ GIÁO DUC-DAG TAO
‘TRUONG DAI HỢC BÁCH KIIOA HÀ NỘI
TRUNG TAM PAO TAO 71 BOT DUONG SÁU ĐẠI HỌC
BORE (D)oscaas
LUẬN VĂN THẠC SĨ
NGÀNH: XỬ LÝ THONG TIN VA TRUYEN THONG
ĐỂ TÀI : “NGHIÊN CỨU VỀ XỬ LÝ TÍN HIỆU THỐNG
KE VA UNG DUNG XAY DUNG BO CAN BANG KENH TU
THÍCH NGI”
Giảng viên hướng dén : TS Nguyén Kim Khanh
Học viên thực biện — : Nguyễn Hà Đảm
Hà Nội 2004
Trang 2
MUC LUC
Me dau
CHUONG I: TONG QUAN VE XULY TIN HIRU THONG KE
1.1 Tín hiện ngẫu nhiên rời rạc
1.1.1 Khái niệm tín hiệu ngấu nhiên rồi rạc
1.1.2 Đặc trưng memen của tín hiệu ngẫu nhiên dừng
1.12.1 Các Momen và các Cuimulant
11.2.2 Dặc trưng của tín biệu ngẫu nhiên trong miền tân sốt
11.2.3 Đặc trưng của tin hiệu ngẫu nhiên trong miễn biển đổi z⁄
1.2 Các phép biến đối tuyến lính
1.3 Biểu diễn tín hiệu ngẫn nhiên dưới dạng vccto ngẫu nhiên
1.3.1 Vectơ ngẫu nhiên
413.2 Cac moment
1.3.3 Các phán biển đốt tuyến tinh của vecto ngẫu nhiên
13.4 Ham mat dé phan bé Gausian
1.4 Những nguyên tắc cơ bản của ước lượng
1.4.1 Bài toán nốc lượng tham số
1.4.3 Bài toán uúc lượng các biến ngẫu nhiên
1.4.3 Ước tượng trung bình-bình phương tuyển tính
CHƯƠNG 2: ƯỚC LƯỢNG PHỔ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN
VÄCÁC MÔ HÌNH THAM SỐ
SỬ DỤNG CHO ƯỚC LƯƠỢNG PHO
2.1 Giới thiệu
2.2 Một số khái niệm và định nghĩa
2.2.1 Quá trình ngâu nhiên
Trang 3Xt by thong tin và truyền thơng Ww
3.2.3 Phổ của quá trình ngẫu nhiên
2.3 Bài tốn ước lượng phổ cơng suất:
2.3.1.1 ác lượng phổ khơng tham số theo phương pháp Periodogram
2.3.1.2 Ước lượng phổ khơng tham số theo phương pháp Bartlett
2.3.1.3 Ước lượng phổ khơng tham số theo phương pháp Welch
2.3.1.4 Ước lượng phố khơng tham số theo phuong phap
Blackman-Tukey
2.3.1.5 Ước lượng phố trên cơ sở tối thiểu bố phương saÏ
2.3.1.6 Ước lượng phổ khơng tham số ứng dụng các phép nhân của số
3.3.2 Các phương pháp ác lượng phổ đựa trên mơ bình tham số”
2.3.2.1 Ước lượng phổ dựa trên mơ hình rự hồi quy
3.3.3.2 Liớc lượng phổ dựa trên mơ hình dịch chuyển trung bình
2.3.2.3 Ước lượng phổ dựa trên mơ hình dịch chuyển trung bình
- tự hồi quy 2.3.2.4 Ước lượng nhấ dựa trên mơ hình phân tích thea
bầm điêu hồ(phương pháp Pisarenko)
CHƯƠNG 3: LỌC WIENER VÀ XỬ LÝ TÍN HIỆU THÍCI NGIH
3.1 Lọc Wicner
3.2.1 Bé loc FIR Wiener
3.2 B6 loc HR Wiener
3.2 Xử lý tín hiện thích nghỉ
3.2.1 Cơ sở của xử lý tín hiệu thích nghĩ
3.2.2 Xử lý tút hiệu thích nghĩ theo phương thức gidm gradient
3.3.3 Xử lý tín hiệu thích nghỉ theo phương thức tối thiểu
trung bình bình phuong (LMS-Least Mean Squares)
3.2.3.1 Thudt todn LMS chudn
43
56
Luận văn thực sĩ
Trang 43.2.3.3 Thudt ton LMS sit dung déu ciia sai s&
3.2.3.4 Thudt todn LMS sử dụng phương thức gán trọng số dạng mũ
3.3.4 Thuật toán thích nghĩ theo phương thức tối thiểu
bình phương vử dụng phép lính đệ quy
CHƯƠNG 4: ỨNG DỤNG THUẬT TUÁN THÍCH NGHỊ XÂY
DUNG BO CAN BẰNG KÊNH 4.1 Vấn để cân bàng kênh trong các hệ thống thông tin sé
4.2 Bộ cân hàng kènh thích nghi theo phương thức ra quyết định
trực tiếp
4.3 Các hướng cơ bản cho hài toán cân bằng kènh tự thích nghỉ
4.4 Xây dựng bộ cân bằng kênh tự thích nghỉ
4.5 Ứng dụng xứ lý đa kênh trong các bộ cân bàng kẽnh tự thích
nghỉ
CHƯƠNG 5: KET QUA MO PHONG
3.1 Tin hiéu ngau nhién
3.1.1 Tín hiệu xác định và nhiêu cộng ngẫu nhiên
3.12 Tín liệu ngắu nhiên rồi rạc
3.2 Một số kết quả mö phóng minh hoa các thuật toán ước
lượng phổ bằng phương pháp thống kê
5.2.1 Ước lượng phổ theo phương pháp Periodogram
5.2.2 Ước lượng phổ theo phương pháp Hartlet
5.3.3 Ước lượng phổ theo phương pháp Welich
4.3.4 Uc lượng phổ theo phuong phap Balckman-Tukey
5.2.5 Phổ của tín hiệu xác định theo phương pháp Yule-Walker
dựa trên mô bình tham số AR
5.2.6 Phổ tín hiệu được xác định dựa trên mô hình tham số MỊV
Trang 5Xt by thong tin và truyền thông Ww
5.3.1 Loe tin hiéu dựu trêu các thông tin về phổ của tên hiệu
a} Bộ lọc FIN
b} Bộ lọc HR
5.3.2 Lọc tín hiệu bằng bộ lạc tối ưu Wiener(không dựa trên các
thông tin về phổ của tín hiệu)
5.4 Can bằng kênh tự thích nghỉ
3.4.1 Cân bằng kênh tự thích nghỉ sử đụng thuật toán IS
3.4.2 Cân bằng kênh tự thích nghỉ bằng thuật toán LMS sử dụng
dda sai sé
.4.3 Cân bằng kênh tự thich nghi hang thuật taán TMS có tink dén
dấu dữ liệu đâu vào bộ cân bằng
5.4.4 Cán bằng kênh rự thích nghỉ bằng thuật toản LMS sử dụng dấu
của sai số và đấu của dữ liệu đầu vào bộ cân bằng
3.4.5 Cán bằng kênh tự thích nghỉ bằng thuật toán LAIX với trạng
thái ban Aẩu dượp thiết lập bằng lọc Wiener tối ta: có huấn
luyện
Kết luận
Phụ lục: Một số từ viết tất tiếng Anh
Tài liêu tham khảo
82 g2
Trang 6Mực lục hình về
1ĩình 1.1 Các ví đụ về quá trình ngẫu nhiên
Hình 1.2 Tập các mẫu của quá trình ngẫu nhiên dừng
Ilình 1.3 Phổ mại độ công suất của quá trình ngẫu nhiên
Ilình 1.4 Ilàm tương quan đạng mũ và mật dộ phổ công suất
Hình 1.5 Biểu diễn đấy ngẫu nhiên bằng vectơ ngẫu nhiên
Hình 1.6 Ước lượng của trung bình theo xác suất lớn nhất
Hình 1.7 Hàm mật độ sử dụng cho ước lượng đúng
Ifinh 1.8 Ước lượng biến ngẫu nhiên y từ tập quan sất
Hình 1.9 Các hàm giá trong ước lượng Dayes
Hình 4.1 Miêu tả tương đương một kênh thông tin số
Hình 4.2 Hệ thống cân bãng kênh thích nghỉ
Hình 4.3 Bộ cân bằng kênh thích nghỉ theo phương thức ra quyết
định tực tiếp Hình 4.4 Sơ đồ khối hệ thống cân bằng kênh tự thích nghĩ
Hình 4.5 Cấu trúc bộ cần bằng ting dụng phương thức xử lý d kênh
Hình 5.1 Tím hiệu xác định và nhiễu cộng ngấu nhiên
1ĩình 5.2 Tín hiệu nguẫ nhiên và tín hiệu ngẫu nhiên rời rạc
Hình 5.3 Ước lượng phổ theo phương pháp Periodogram
Hình 5.4 Phể của tín hiệu xác định theo phương pháp Periodogram
dựa trên chuối xấp xỉ
Ilình 5.3 Phổ của tín hiệu xác định theo phương phấp Bartlett
Hình 5.6 Phổ của tín hiệu xác định bằng phương pháp Welch
Hình 5.7 Phổ của tín hiệu xác định bằng phương pháp Blackman-
-Tukey Hình 5.8 Phổ của tín hiệu xác định bằng phương phầp Yule-Walker
Ilình 5.9 Phổ của tín hiệu xác định dựa trên mô hình tham số AR
Hình 5.10 lọc nhiễu tín hiệu bằng bộ lọc FIR dược thiết kế dựa trên
Trang 7Xt by thong tin và truyền thông
Hình 5.12 Lực nhiễu bằng bộ lọc Wiener —FTR trên cơ sở tối thiểu
sai số tín hiệu
Hình 5.13 Tín hiệu đầu ra bộ cân bằng kênh ở trạng thái cân bằng
sử dụng thuật toán LM%
Hình 5.14: !ĩn hiệu dầu ra bộ cân bằng kênh tự thích nghỉ theo thuật
toán LMSsử dụng dấu sai số
Hình 5.13 Tín hiệu đầu ra bộ cân bằng kênl tự thích nghỉ theo thuật
toán LMS có sử dụng dấu của dữ liệu đầu vào
Hình 5.16 Tín hiệu dầu ra bộ cân bằng kênh tự thích nghỉ theo thuật
toán LMSsử dụng hầu dấu của sai số và dữ liệu dầu vào
Hình 5.17 Kết quá mô phông bộ cân bằng kênh tự thích nghỉ sử
dụng thuật toán LMS với trạng thái cân bằng ban đầu
Trang 8CHƯƠNG I: TONG QUAN VỀ XỬ LÝ TÍN HIỆU THỐNG KE
1.1 Tín hiệu ngâu nhiên rời rac
1.1.1 Khải niệm tín hiệu ngẫu nhiên rồi rạc
"Tín hiệu ngẫu nhiên rời rạc được biểu diễn bởi dấy rời rạc xiz} là tín
hiệu mã với sự lựa chọn bất kỳ của biến độc lập ø=z, thì giá trị x[z„] là
một giá trị ngẫu nhiên Hình I.L là một số ví dụ về tín hiệu ngẫu nhiên rời rac:
Tũnh I.L : Các ví dụ về qué trinh ngdu nhién : (a) Nhiéu,(b) dit
liệu nhị phân,(c) quá tình ngẫu nhiên dạng sin,(đ) quá trình
-_ ởhình 1.1.a tỉn hiệu ngẫu nhiên rời rạc thực, tại giá trị bất kỳ của biến
độc lập „—ø, thì giá trị tín hiệu s{a,] nhận giá trị thực nào đó
-_ ở hình 1.1.b giá trị tín hiệu tại thời điểm ø~ n; một cách ngẫu nhiên là-I hoặc #1
~_ ở hãnh 1.1.e và l.1.d thoả mãn định nghĩa tín hiệu ngẫu ngiên Nhưng
Trang 9
Xử lý thơng tim nà truyền thơng: Ww
ở hình 1.1.e ta thấy biên độ và pha của nĩ cĩ thể là một
giá trị ngẫu nhiên Nhưng giá trị ở pha tiếp theo cĩ thể xác định
thơng qua giá trị ở hai pha liên tiếp trước đồ của tín hiệu Với tín hiệu
ở hình 1.1.d giá trị của tín lệu cĩ thể là một giá trị ngẫu nhiên nào đĩ
nhưng một mẫu bất kỳ
điểm bất kỳ
ủa tín hiệu sẽ đại diện cho tín hiệu ở một thời
Nhận xét: Các tín hiệu ngẫu nhiên như ở hình 1.1.c và 1.1.d được
ngẫu nhiên
cĩ thể tiên dộn cĩ những phương pháp xử lý riêng so với tín hiệu ngẫu
gợi là các tín hiệu ngẫu nhiên cĩ thể tiền đốn Các tín
nhiên thơng thường: Các quá uình ngẫu nhiên cĩ thể tiên đốn hồn tồn
cĩ thể ước lượng lữ Lỗ hợp tuyến tính các giá trị trước đĩ của quá lrïnh
Đặc trưng thống kê cơ bản của quá trình ngẫu nhiên được thể hiện
thơng qua hàm phân bố xác suất hoặc hàm mật độ xác suất của các mẫu
tín hiệu
Với hàm mật độ, ta sử dụng một dãy xung để biểu diễn các giá trị
xác suất rời rạc Để đặc trưng cho toần Độ tín hiệu cĩ thể tạo ra hầm mật
độ chung cho tổ hợp các mẫu tín hiệu bất kỳ của quá trình ngẫu nhiên
như hình 1.2, Nếu như hàm mật độ chung này khơng phụ thuộc vào vị trí
các mẫu và khoảng cách lấy mẫu là giống nhau Thì quá trình ngẫu nhiên
dược coi là đừng nghiêm ngặt
Hình 1.2 : Quá trình ngẫu nhiên dừng Tập các mẫu bất kỳ
cĩ khoảng cách lấy mẫu bằng nhau cố cùng hàm mật độ
Trang 10
3 trường hợp chủ yếu xuất hiện trong xử lý tín hiệu mà có thể chấp
nhận các tính chất thống kê của tín hiệu ngẫu nhiên Đó là:
« Khi c4c mau của Iín hiệu là độc lập , trong trường hợp này hàm mật
độ chưng cho tập các mẫu bất kỳ là tích số của các hàm mật độ của :ừng mẫu riếng biệt Nếu các mẫu có trung bình zero thì loại quá trình ngẫu nhiên này dược biết như là quá trình nhiễu trắng hoàn toàn
e Khi hàm mật dộ diểu kiện cho các mẫu †qa;p¡¡ chỉ phụ thuộc vào
mẫu trước đố x[n- 1] ( hoặc k mẫu trước đó ) Loại quá trình này được biết như là mội quá trình MarKov (hoặc quá trình MarKuv bậc k)
«Ẳ Khi
c mẫu của quá trình ngẫu nhiên là tuân thủ phần bố Gaussian
“Thì quá trình ngẫu nhiên được gọi là quá tình ngẫu nhiên Gaussian và
nó xuất hiện nhiều trong các ứng dụng thực tế Ví dụ khi dãy ngẫu nhiên là các mẫu tín hiện của một loại nhiễu
Việc phân tích thống kế tín hiệu là hoàn toàn hợp lý trong các
trường hợp khi bản chất tự nhiên của bài toán cho phép ứng dụng một
trong các mô hình ở trên Trong phần lớn các trường hợp chúng ta không biết hoàn toàn về phân bố thông kế của tín hiệu Tuy nhiên một phân tích
hữu dụng nào đố vẫn có hể dược dưa ra thông qua việc sử dụng các xuornen thống kê của tín hiệu
Cho trường hợp tín hiệu ngấu nhiên chỉ nhận giá lrị thực thì các
momen bậc l và 2 theo thứ tự là các hàm trung bình và hàm tương quan
được định nghĩa như sau:
và
Ra[nime]= ẽ{ x[m]x[no]} (1:2)
Các momen bậc cao hơn được định nghĩa tương tự như sau:
1m?” [nen na]=s{ x[no]x[ni]x[na]} (1.3)
1n" [ngni naza]=e| x[me]xn]x[n]x[n]} (4
Trang 11
Xử lý thông tim nà truyền thông: Ww
trung bình như sau:
Sa! lst pet fe bt le] 1.6)
nhiên được gọi là Ergodie tuyệt đối
Một quá trình ngẫu nhiên ¡nà chỉ thoả man diéu kiện
<x[nJ>=e{a[n]} (1.7)
được gọi 1a Ergodic trung binh
Một quá trình ngẫu nhiên thoả mãn điều kiện:
<x[nJx|n+l]>=£{x[nJx|n+lJ| (1.8)
được gợi là Ergodie trong lương quan
lai điều kiện (1.7) và (1.8) là thoả mãn trong hầu hết các phân tích
thống kê
Ergodic gợi ý rằng các momen thống kẻ có thể ước lượng được từ một
thực hành đơn giản trên qúa trình ngẫu nhiên
1.12 Đặc trưng mornen của tín hiệu ngẫu nhiên dừng
Trang 12- [Jam ty tuong quan chỉ phụ thuộc vào khoảng cách giữa hai mắu | nhy
Sau:
R;=e{ x[n]x'[n-I]I (1.10)
(dấn * trong công thức là dấu liên hợp phức)
-_ lầm hiệp phương sai được định nghĩa như sau:
khoảng cách giữa hai mẫu I thì quá trình được gợi là dừng theo nghĩa mở
rộng Các giá trị riêng R;|0|=£[Ix|n]#} và CxIOJEE{ Ix|n|-m;È} theo thứ tự
biểu điển công suất và phương sai của tín hiệu
Ví dụ với quá trình ngầu nhiên là nhiễu trắng (quá trình bất kỹ có trung bình zero và các mẫu không tương quan) R„|I]=0 với mọi giá trị I khác O Với quá trình nhiễu trắng như vậy thì hầm lương quan có dạng:
R,[IEC.IIl=eä[l)
ở đây Š[I]E0 với I+0 và Š[I]E1 với I=0.Dấu liên hợp phức trong công
thức (1 10) và (1.11) được sử dụng khi tín hiệu nhận giá trị phức:
Trang 13Xử lý thông tim nà truyền thông: Ww
Hai tinh chat nay c6 thé suy ra mot edch ré rang ti dinh nghia Vi
chất không âm có thể thu được từ tính chấu:
R,[OPAR, [I]! 170;
Các momen và Culmulant bậc cao hơn đôi khi cũng sử dụng trong
các mô hình xử lý tín hiệu Các mornen bậc 3 và 4 cho quá trình ngẫu
-C0,lIaJC|ls-l] (1.194) Với quá trình ngẫu nhiên phức
CHL lads feed x Ln] x indy) x ntl) xpntls] | -CP x2}? Us T+
-C®,[I;]JC2,[Ixli] (1.19b) Với quá trình ngẫu nhiên thực
"Trong công thức trên CẼ) [TJ=e{ x[n]xˆ[n+H]} là cumulant bậc 2
Khi phân tích các quá trình ngẫu ngiên thì các cumulant được ưa
dùng hơn cấc momen bali vì các curnulant bậc từ 3 trở lên của quá trình
ngấu nhiên Gaussian đều bằng 0 Do vậy các phương pháp xử lý tín hiệu
dựa trên các cumulant bậc cao cố thuận lợi là che được ảnh hưởng của
nhiễu Gaussian
Các momen chéo giữa hai hay nhiễu tín hiệu ngẫu nhiên cũng được
sử dụng Ví dụ cho hai tín hiệu ngẫu nhiên dờng x và y Các hàm tương
quan chéo và hiệp phương sai chéo được định nghĩa như sau
Rs[l]=e[x[n]yIn-]] — 21)
Trang 14
11.2.2 Đặc trưng của tin hiệu ngẫu nhiên trong miễn tân số
+ Tầm mật độ phổ công suất được định nghĩa như là biến đổi Fourier của
hàm tự tương quan như sau:
Kết quả trên được suy ra từ (1.10) và (1.25) Vì mật độ phổ công
suất cố thể bao gồm cả hai thành phần liên tục và rời rạc Nên dạng tổng
quát của nó là:
Su0/9)=8,025) 13206, (e28- 28) (1.26)
& day : S,(@) bidu din phan lién tc ofa phd Trong khi dé téng cde
trọng số xung biểu diễn phần rời rac hay các vạch phổ Các vạch phổ bắt
nguồn từ tín hiệu ngẫu nhiên có chủ
Trang 15Xử lý thông tim nà truyền thông: Ww
Steen
NS c Nf
oh — Ụ £ in
Hình 1.3: Phổ mật độ công suất của quá trình ngẫu nhiên
phức với các thành phần liên tục và rồi rạc
Hai tính chất mang tính định nghĩa của hàm tương quan (1.15) va
(1.16) tương ứng với lai tĩnh chất của hầm mật độ phổ công suất:
© $0) là thực
s - 5.(e'”) là xác định không âm S.(e'”) >0
Ngoài ra nếu tín hiệu ngẫu nhiên là thực thì S/{eÏ") là một hàm chấn
của tần số
Với quá trình ngẫu nhiên là nhiễu trắng hàm mật độ phổ công suất
là hằng số 8;(e!") =ơo”
lầm mật độ phổ công suất chéo được định nghũa như là biến đổi
Fourier của hàm tương quan chéo tương ứng
+
Vere
Thông hường hầm mật độ phổ công suất chéo có giá trị phức ,Mật
độ phổ chéo ở một điểm nào đó trong miễn tẩn số là số đo tương quan
giữa các thành phần của 2 quá trình ngẫu nhiên ở tần số đã chọn Với phổ
Trang 16
0<T (“2Ÿ (1.32)
L123 Đặc tráng của tít hiệu ngdu nhién trong miễn biến dối ⁄
"Trong rất nhiều trường hợp khi phân tích tín hiệu chúng ta cần phải
biến đổi Z các hàm tương quan và tương quan chéo Ví dụ như khi thiết
kế các bộ lọc cho tín hiệu ngẫu nhiên
Tiến đổi Z của hàm tương quan ta thu được hàm mật độ phổ:
$,Œ)= SR (ae* (1.33)
Và có tích chất ;
S.@) = } (1.34)
Và S.(z) nhận gid iri thuc trên vồng tròn đơn vị Với quá trình ngẫu
nhiên là thực thì tính chất (1.34) được thay thế bới: 8,2) — „ lz 1)
trên vòng tron đơn vị xuất hiện là số chẳắn( các điểm cực không xuất hiện
trên vòng tron don vi)
Hầm tương quan có thể thu dược từ biến đối ngược như sau:
Điều kiên :_ Đường tính tích phân trong miền hội tụ của phép biển
đổi Miễn hội tụ luôn có đạng: a<lzl<1/a Để tính tích phân trên ta cố thể
Trang 17Xử lý thông tim nà truyền thông:
Hầu mật độ phổ công suất tương ứng lä :
Ham này có một cặp cự thực là : z=p và z=l/p và miền hội tụ nằm
giữa hai điểm cực,
1.2 Các nhép biến đổi tuyến tính
Các hệ thống tuyến tính bất biến được biểu diễn trong miền tín hiệu
bằng đáp ứng xung h|n| Nếu đầu vào của hệ thống tuyến tính này là tín
hiệu ngẫu nhiên x[n] thì đầu ra v[n] của hệ thống cho bởi phép nhân chập
Trang 18Hàm tương quan của đầu ra cổ thể tỉnh như sau : Nhân hai vế của
(1.39) với y`Jn-I] và lấy trung bình các vế la cổ
ebtdy' nae Saeabie— fay’ ina}
kén
Hoặc
Ry, SAK RelA]
ko Chúng ta có thể viết như sau
R;[II=h[1]*R»[I] 44)
a day “*” 1a phép nhân chập các đấy
Nhân hai vế (1.39) với x Jn-l] thực hiện biến đổi tương tự la thụ
Nội cách khác hàm tương quan của dầu ra thu dược bằng cách nhân
chập 2 lần hầm tương quan đầu vào với hầm đáp ứng xung và hầm đối
xứng của ham đáp ứng xung liên hợp phức
Có thể rễ rằng chứng minh được rằng các hàm hiệp phương sai và
phương sai chéo cũng thoả mãn các quan hệ từ (1.41) đến (1.44)
Bang cach sir dung các quan hệ giữa biến đổi Vourier va biến đổi z,
kết hợp với 4 phương trình từ (1.41) đến (1.44) ta có thể rễ rằng thu dược
các biểu thức kết quả của phép biến đổi tuyến tính trong miễn tấn số và
Trang 19
Xử lý thông tim nà truyền thông: Ww
trong miễn biến đổi z Một lập toần bộ các quan hệ tuyến tính được liệt
kẽ như trong bảng] Ì
Bang 1.1 Các phương trình quan hệ Irong biến đổi luyến tính
ANE ALE RE 8,0) a"le)s, (0) | 5,2) We" ste)
(7 \s,,(e) | 8, E)= HES, (}
Xét một ví dụ đơn giãn sử dụng phép biến đổi tuyến tính : Cho hệ
thống nhân quả bậc L được miêu tả bởi phương trình sai phân bậc 1 sau :
Nếu đầu vào hệ thống là quá trình ngảu nhiên nhiễu trắng thì
8G)=Gu° và tất cả các tín hiệu là thực thì hàm mật độ phổ phức đâu ra
sẽ
q Z4
của hệ thống là: %„(=)=//(2)// 135, (z)=
Các momen và các Cumulant bậc cao đầu ra của hệ thống tuyến tính
cũng có thể tính được từ các đại lượng đầu vào tương ứng Tuy nhiên
công thức sẽ phức tạp hơn rất nhiều Với các momen và cumulant bie 3
và 4 ta có công thức tính sau:
be cÐlu,sI- S 3Š ÍePly kg, 8N VI 046 Kế HS
Và
Trang 20
C£ i,1,,]=
Ke Oy kh +k
thức ở trên dược xem nhe Ki 1 day cae phép nhan chap
hy ấu +Rạ,ly By Hh Ws Win WR [to] (1-46)
giữa các đầu vào với đáp ứng xung của bộ lọc theo các hướng khác nhau
Hình 1.5: Biểu diễn dẫy ngẫu nhiên bằng vectơ ngẫu nhiên
1.3 Biểu diễn tín hiệu ngâu nhiên đưới dạng vecio ngẫu nhiên
1.3.1 Vectơ ngẫu nhiên
Để biểu điển cho một tín hiệu ngẫu nhiên rời rạc ta sử dụng một
xIn|
vectơ x được trình bày như hình 1.5 gồm N giá trị tín hiệt
(n=0,/1, N-I), Biểu thị hầm mật độ chung của N giá trị này bằng hầm
f(x) Ham f,(x) sau này được gọi là hàuu mật độ xác suất của biến ngẫu
nhiên x Đầu tiên ta đi xem xét trường hợp tín hiệu ngẫu nhiên thực Nếu
x? biểu thị một giá trị riêng của vectơ ngẫu nhiên x:
Tờ
Néu ta nhân hầm mật độ xác suất với số gia của N thành phần 1a có
Fe(xVAxoAXL ARTEL Biểu diễn xác suất tín hiệu nằm trong một vũng hẹp của không gian
vectơ miêu tả bởi:
Trang 21Xử lý thông tim nà truyền thông: Ww
Cho trường hợp tín hiệu ngẫu nhiên phức, veclơ ngẫu nhiên x có các
thành phần phức và hàm †.(x) biểu diễn là hàm mật độ chung của 2N thành phần của x(cả phần thực và phần ao cia x)
13.2 Cac moment
Các tính chất vectơ của mornen bậc I và 2 là hết sức quan trọng và
được trình bảy như sau:
Kết quả thu được ma trận NxN với phần tử ở hàng thứ 1 và cột thứ j
tương ứng là #[x[]*lll) Với quá trình ngẫu nhiề dừng thì
{ x[ï]#”|II†ER¿li-j], bởi vậy ma trận có dạng:
RA] RA REN +I]
Với tín hiệu ngẫu nhiên phức dừng ta có quan hệ giữa phần thực và
phần äo của mua trận tuơng quan như sau:
Trang 22
Bang 1.2 Các phương trình quan hệ giữa phần thực và phần ảo của hàm tương quan của tín hiệu ngẫu nhiên phức đừng
Các ma trận tương quan chéo và hiệp phương sai chéo của hai tín
tiệu ngẫu nhiên tương ứng với hai véclơ ngẫu nhiên x và y cũng được
định nghĩa như sau:
Ray=e{xyT} (1.56)
Cụ=£|(xme)(y-my) "| (157)
1.3.3 Các pháp biển đối tuyén tinh của vecto ngẫu nhiên
Nếu vectơ y dược xác dịnh bởi phếp biến đổi tuyến tính :
Trang 23Xử lý thông tim nà truyền thông: Ww
Ta biết rằng nếu các veotơ chứa các thành phần không lương quan
thì ma trận hiệp phương sai là ma trận đường chéo Do đó chúng ta cần
quan tâm đến các phép biến đổi để thu được các vectơ ngẫu nhiên chứa
các thành phần không tương quan
Vì ma trận tương quan là ma trận dối xứng Hemmitian (tất cả các
phần lữ trên các đường chếo song song với đường chéo chính là bằng
nhau và ma trận là đối xứng qua đường chéo phụ) và các phần tử của ma
trận là không âm Các giá rị riêng của ma trận là không âm và các veciơ
riêng là trực giao nên ma trận tương quan bất kỳ có thể viết thành :
R„=HAET (1.62)
ở dây E là mã trận thoả mãn E“E=], với 1 là ma trận đơn vị Các cội
của ma trận E chính là các vectơ riêng và Á là ma trận đường chéo, với
các giá trị trên đường chéo là các giá trị riêng Ta có
ASE RL
‘Tir phuong trinh nay va phuong trinh (1.60) ta thay rang néu:
y=lx
'Thì Ry=A là ma trận đường chéo do đó các thành phần của y sẽ là
không tương quan(£{ yiyj=0,izj) l3o vậy một phương pháp dé tao ra vectơ
với các thành phần không tương quan là áp dụng biển đổi veuld riêng
Ngoài cách áp dụng biến đổi vectơ riêng ta có thể sử dụng phương
pháp phân tích tam giác ma trận tương quan để tạo ra vectơ với các thành
phần không tương quan.Vì các ma trận tương quan luôn thoả mãn điểu kiện cần và chúng là các ma trận đối xứng Ilemnilian nên chủng luôn có
thể viết hành:
R=LDL” (1.63)
Trang 24
Phương trình (1.64) cổ thể được viết lại như sau:
D=lAR CYT (1,65) Tir (1.60) va (1.65) ta có thể chấp nhận D lä ma lrận lương quan
cho vectơ ngẫu nhiên y được định nghĩa bởi :
y=L'x (1.66)
Vì D là ma tận đường chéo nên các thành phần của y là không tương
quan
2 cách biến đổi ở trên tương ứng với 2 phương pháp cơ bản của giải
tương quan tín hiện từ tập các vcctơ riêng trực giao Nó cũng là phương
phap hign dai về phân tích phổ và xử lý mắng
aXe
1.4 Những nguyên tắc cơ bắn của ước lượng
Bài toán ước lượng thống kê dược áp dụng khi cẩn xắc dịnh giá trị của các dại lượng rnầ ta không thể quan sát hoặc do dục một cách trực
tiếp thông qua các giá trị của các đại lượng khác mã ta có thể quan sát và
đo đạc.Sử dụng bài toán ước lượng ta có thể xác định được các tham số
của tín hiệu thông qua các đại lượng mà ta có thể đo lường trực tiếp của
tín hiệu đó hoặc ước lượng nó thông qua một tín hiệu khác 6 hai bài
toán ứợc lượng là bài toán ước lượng tham số và bài toán ước lượng biển
ngẫu nhiên Mặc dù hai bài toán này có rất nhiều điểm chung nhưng đề
thuận tiện ta có thể xem xét chúng trong từng trường hợp cụ thể
Trang 25
Xử lý thông tim nà truyền thông: Ww
141 Bai todn ước lượng tham sé
Phương pháp ước lượng theo nat Kin nhất
Bài toán ước lượng tham số được sử dụng khi ta cố một tập các quan sắt cụ thể của biến ngấu nhiên được mô 14 bởi hàm mật độ x:
uất với
đạng hàm đã biết Nhưng một số tham số mà giá trị của chúng †a chưa
biết Trơng rất nhiều trường hợp cả biến ngẫu nhiên và tham số đều là các
đại lượng vectơ Do vậy hàm phân bố được biểu thị bằng :f„.e(x:Ð)
Với lập quan sắt cho trước x=x?, phương pháp ước lượng tham số
theo xác suất lớn nhất là ước lượng giá trị của 9 để hầm [„s(x;Ð) là lớn
nhất, và kỹ hiệu giá trị ước lượng là ẩ.„
Xét ví dụ: ước lượng giá trị trung bình m của hàm mật độ Gaussian:
"Thông qua quan sát xa (giả sử phương sai đã biết và bang 1) Ham
xuật độ dược vẽ như hình 1.6
¡ đũng của trung bình là một trong các giá trị
mm; hoặc m4 thì quan sắt xo đã cho xa là không thể xảy ra Chọn mạ cho
trung bình m tuy nhiên để quan sát đã cho có khả năng lớn nhất thì phải
cự đại giá trị hàm f„„(xoan) Chính là ước lượng tho xác suất lớn nhất
Khi hàm †2„@(x;Ð8) được xem là hầm của 8 thì ước lượng tham số theo xác suất lớn nhất là cực đại hoá hàm †;s(x;0) Nếu hàm ?„;s(x;Ð) là liên
tục và cực đại không xuất hiện Thì ước lượng tham số theo xác suất lớn
nhất có thể tìm thấy thông qua một trong hai điểu kiện
Trang 26
Rõ ràng ước lượng là một hàm của quan sát Hơn nữa các quan sát
là các vectơ ngẫu nhiên do đó ước lượng cũng là một biến ngẫu nhiên có trung bình, hiệp phương sai, hàm mật độ Không phải tất cả các ước
lượng đúng là ước lượng có xác suất lớn nhất Xét ví dụ : ước lượng giá
trị trung bình của tín hiệu ngẫu nhiên 6 phan bé Gaussian cho bởi
x
phương trình:mà, — ẹ 3;n| là ước lượng theo xác suất lớn nhất Trong
Xa khi ước lượng sau dây cho phương sai thì không phải ước lượng theo xác
Tất cả các ước lượng là hầm của quan sát tuy nhiên thường sử dụng
tước lượng Lổng quát như sau
ñ, =ÔyG)
ở dây N biểu thị số quan sát (số chiều của x)
Một số tính chất thường dùng của ước lượng:
1) Lớc lượng ô„ là đúng nếu:
Trang 27Xử lý thông tim nà truyền thông: Ww
hai ha wan hiện phương sai của chúng cy
(Cy C5) Điểu này có nghĩa là phương sai của mọi thành phần
trong Ê phải nhỏ hơn trong Ê` Nếu ô„ là uóc lượng hiệu qủa hơn
ây ¡với mọi N thì ước lượng Ô„ là ước lượng đúng
Hình 1.7: Hàm mật độ dùng cho một ước lượng dúng cố
phương sai giảm khi N tăng
(a) Ham mat độ của ước lượng ổ„
(b)1Iầm mật độ của ước lượng Ê, Với Mr
ở dây Pri] va Var|| là ác hàm xác suất và phương sai Nếu phương
sai của y (Var[8„ ]) giảm khi N Lăng thì xác suất để I ổ,„-6 I>£ tiến tới
Trang 28
Okhi N-se0 Néi cdch khde xde sudt dé | 6-6 KC ti
n tdi L
Phương sai của một ước lượng đúng bất kỳ đều chặn bởi giá trị được
xác định theo bất đẳng thức Cramer-Roa Với trường hựp ước lượng than
số vô hướng bất đẳng thức Cramer-Roa có dạng như sau:
Dạng tổng quát của bét dang thite Cramer-Roa cho trường hợp ước
lượng vecfơ tham số cố dạng:
Gạ >ự" (172
ở đây ma trận T' là ma trận nghịch đảo của ma trận thông tin Fisher
được định nghĩa như sau:
ở day 40) 1a phan ut Ua ¡ trên dường chéo chính của ma trận
nghịch đảo với ma trận thông tin Fisher,
Dau “=” trong bất đẳng thức (1.72) xảy ra nếu và chỉ nếu ước lượng thoả mãn phương trình
(2) — 8 = K(P)s(x,4) (1.75
+uuận văn thạc sĩ
Trang 29Xử lý thông tim nà truyền thông: Ww
Trong trường hợp này K(6) dược xác định như sau:
Ước lượng thoả mãn dấu “=” trong bất đắng thức được biết như là
ước lượng theo phương sai nhỏ nhất Có thể chỉ ra rằng nếu tổn lại
phương sai nhé nhất và không xuất hiện xác suất đúng lớn nhất thì ước
lượng theo xác suất đúng lớn nhất là tương đương với ước lượng theo phương sai nhỏ nhất
Ước hrợng các momen của tín biệu ngẫu nhiên rời rạ
Các tham số thống kẻ quan trọng của tín hiệu ngẫu nhiên rời rac là;
trung bình tương quan (hoặc hiệp phương sai) và các thếng kẻ bậc cao
R= | Safest vã fe] j0sleN - G29
Giá trị của hàm tương quan ứng với Ì <0 được xác định thông qua
quan hệ:#,} !|=ẩ„„ J7| Phương tình (1.78) cho ta ước lượng đúng trong
khi phương trình (1.79) chỉ là tiệm cận đến ước lượng đúng Cả hai ước lượng này đều là hiệu quá và phù hợp Nhưng ước lượng (1.79) thường được ưa đùng hơn
ốc lượng cho hàm tương quan chéo của hai dãy x và y được xác
định theo các phương trình trên bằng cách thay thế x"[n] bởi y'[n] Các
giá trị của hàm tương quan chéo ứng với I <0 có thể được xác định thông
Trang 30
qua quan hé : R,,[ I
1.42 Bài toán ước lượng các biến ngẫu nhiên
Bài toán lọc và tiên đoán tín hiệu ngẫu nhiên cũng như nhiễu bài
toán khác có thể được xem xét trong ngữ cảnh của bài toán ước lượng biến ngẫu nhiên Xem hình I.8 ở đây tín hiệu được xem như là biến ngẫu nhiên y được ước lượng từ tập các quan sát liên quan x,*x;, Xụ Ước lượng có dạng :
#
ở đây trầm @ trong dạng tổng quát là phí tuyến
Nền tảng của bài toán ước lượng biến ngẫu nhiên là thủ tục ước
lượng Bayes Tìm cách tối thiểu hoá hàm rủi ro được định nghĩa như sau:
Hình1.8 : Ước lượng biến ngẫu nhiên y Wt tap quan sat lién
quan X1,X2, Xn,
Hai trường hợp điển hình thường được xét đến được mô tá như hình
1.9 Trong cả hai tường hợp hàm giá chỉ phụ thuộc vào sự sai khác y ÿ
Trong trường hợp được miêu tả như hình 1.9) hầm giá có dạng bậc hai
và hàm rũi ro trở thành trung bình bình phương sai số Với trường hợp
hình I.9(b) hàm giá của sai số bất kỳ mà không nhỏ hơn một lượng nhỏ tuỳ ý cho trước là bằng 1, Có thể chỉ ra rằng ước lượng tối ưu cho cả hai
trường hợp này chỉ phụ thuộc vio hàm mật độ điểu kiện f„ được xác
định như sau
Trang 31
Xử lý thông tim nà truyền thông: Ww
- Nân chung ước lượng đạng trung bình-bình phương và ước lượng
MAP [a cdc hầm phí tuyến của quan sát Việc lựa chọn ước lượng phụ
thuộc vào từng trường hợp cụ thể Trong trường hợp các biến ngẫu
nhiên Gaussian cố trung bình zero cả hai ước lượng đều đúng và
chúng là các hàm tuyến tính của quan sát Điểu này đặc biệt có ý
nghĩa với các ứng dụng xử lý tín hiệu vì các ước lượng đó có thể thực
Hình 1.9: Các hầm giá trong ước lượng Baycs
{a) _ "Trung bình-bình phương {bì Không thay đổi
1.4.3 Ưúc lượng tung bình-binh phương tuyển tính
Bài toán được đưa ra ở đây là một bài toán ước lượng điển hình Với
giả sử ước lượng có dạng,
Trang 32
(1.84)
Với x là vectơ của các quan sất Xi, n, VÀ a=[Ai,Az, ,Am]T là
vectơ trọng số được chợn để tối thiểu hoá trung bình bình phương sai số
ở đây b là hằng số và được chọn như sau:ð—z, —a m, Vì ước
lượng này là không hoàn toàn tuyến tính theo nghĩa toán học Thường
xem xét ước lượng theo dạng (1.84) Để thu được ước lượng tốt nhất,
trong thực hành ta bổ thành phần trung bình của các biếu trước khi xent
xét bài toán ước lượng Điều này tương đương với việc sử dụng hiệp phương sai thay thế cho tương quan trơng lời giải dưới đây Sau đồ thêm 1n; vào trong kết quả ước lượng tuyến tính
Hài toán ước lượng trung bình - bình phương tuyến tính được giải
dựa trên nguyên lý trực giao Nguyên lý này được phát biểu như sau:
Định lý 1: Đặt z= y— ÿ là sai số ước lượng !hì a tối thiểu hoá trung
bìnhbình phương sai số z7 ~aly~ sft khi a được chọn dé
se ]-=ke|—0 i=1,2, /N Xã hơn nữa trung bình-bình phương sai sổ
được cho bởi: øˆ _eke'} ater’
Điều kiện efr,2"}- ef’, |0 duge biét như là điều kiện trực giao của các biến ngẫu nhiên 6 và xị
àng thụ được các phương trình cần
thiết để từ đó xác định ước lượng Từ định lý có:
Trang 33Xử lý thông tim nà truyền thông: Ww
là ma trận lương quan chéo giữa hai biến ngẫu nhiên x và y
Các hệ số của ma trận a dảấm bảo cho tước lượng tối du thu được
bằng cách giải phưng trình (1.87) Tối thiểu hoá trung bình-bình phương
sai số dẫn ra trực liếp từ phần Ihứ hai của nguyên lý trực giao:
c?=cục|=rbo' + a|=ei rà (1.90)
Chú ý : các tham số biết trước trong (1.87) và (1.90) chỉ là các
momen théng ké bac hai
"la đi xét ví dụ về ước lượng tín hiệu ngấu nhiên dừng có nhiễu
cộng Các quan sát được cho bởi công thức:
x[n]=s[nltn[n] (1.9!)
ở đây s là phần tín hiệu mong muốn rỊ là phần nhiễu cộng,
INếu giả sử tín hiệu và nhiễu là không tương quan ‘in hiệu và/hoặc
nhiễu có trung bình zero thì hàm tương quan cho các quan sát được cho
bởi:
R;[]ERllBrRnil (1.92)
ở đây Rs Tà hàm tương quan của tín hiệu và Rạ là hàm tương quan
của nhiễu ương quan chéo giữa phần tín hiệu và các dẫy quan sát được cho hai
TR+|lI=etsInJx In-1I}=R:|I] (1.93)
Giả định rằng ước lượng tối ưu được thực hiện bởi một bộ lọc I:LR
tuyến tính với đáp ứng xung h[0]h[1] h[N-1] Thì ước lượng của tín
hiệu như sau :
Sod] — ALO] ef] + AL xr — I]+ +5 —1]ã[m— N +1]
Nếu trung hình-bình phương sai số được tối thiểu ở đây
bình phương sai số tuyến tính
Trang 34
CHƯƠNG 2: ƯỚC LƯỢNG PHỔ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN VÀ
CÁC MÔ HÌNH THAM SỐ SỬ DỤNG CHO ƯỚC LƯỢNG PHỔ
2.1 Giới thiệu
Mục tiêu của ước lượng phổ là xác định mật độ phổ công suất (PSD) của một quá trình ngắu nhiên Mật độ phố
ng suất là một hầm giữ vai
trò cơ bản trong phân tích quá trình ngẫu nhiên.Trong quá trình ngẫu
nhiên dừng hàm mật độ phổ công suất xác định lượng phân bố của tổng công suất như một hàm của tần số Ước lượng mật độ phổ công suất dựa trên tập số liệu các mấu đã quan sát của quá trình ngẫu nhiên với giả thiết
quá trình ngẫu nhiền là dừng íL nhất là theo nghĩa mở rộng- các thống kê bậc Ì và 2 của nó không thay dối theo thời gian Ước lượng mật độ phổ
công suất cung cấp thông tin về cấu trúc của quá trình ngẫu nhiên sau đó được dùng cho mô hình lọc, tiên đoán hoặc thiết kế bộ lọc cho quá trình
đã quan sất
2.2 Mùi số khái niệm và định nghĩa
3.2.1 Quá trình ngẫu nhiên
Quá trình ngẫu nhiên biểu diễn sự thay đổi theo thời gian của một dại lượng nào đó mà không thể miêu tả dẩy đủ bằng các hàm xác dịnh
"Thông thường một quá trình ngẫu nhiên được định nghĩa như là một tập
các biến ngẫu nhiên đã được chỉ số theo thời gian Tập các chỉ số là hữu
hạn và có thể là lên tục hoặc rời rạc Nếu như tập chỉ số là liên tục thi quá trình ngẫu nhiêu là liên tục tleo thời gian Ngược lại nếu tập chỉ số là rời rạc thì quá trình ngẫu nhiên là rời rạc IYong phần này chúng ta chỉ tập trung vào xem xét với quá trình ngẫu nhiên rời rạc
Chúng ta sẽ ký hiệu quá trình ngẫu nhiên bằng {#|z[} và một quan
sắt của nó bằng x[z} Với n cố định thì f&{›]} cũng như #|»| là một biến
ngẫu nhiên Trong khi x[;] là mẫu thứ n của biến ngẫu nhiên Nếu tất cả các mẫu xịn] là thực thì quá trình ngẫu nhiên là thực ngược lại quá trình
ngẫu nhiên là phức Trong các phẩn sau chúng ta giá sử rằng quá Irình
ngẫu nhiên f8[nj} là phức
Một qúa trình ngẫu nhiên được miêu tả đẩy đủ nếu với tập chỉ số
thời gian bất kỳ nunz„ mm thì hàm mật độ xác suất chung của
Trang 35
Xử lý thông tim nà truyền thông: Ww
#baL#l] #|x„| đã cho Nếu tính chất thống kê của quá trình ngẫu
nhiên không thay đổi theo thời gian thì quá trình ngẫu nhiên được gọi là
đừng Điều này đúng trong trường hợp nếu như với các biến ngẫu nhiên
bất kỳ #[m|#[z;] Z[z„] thì hàm ¡nật độ xác suất chung của chúng giống hệt với hàm mật độ xác suất chung của các biến ngẫu nhiên
#ihm 1k| 3ÿ + k] #[n„ ck] ;Yk Quá trình ngẫu nhiên như vậy gọi là
đừng nghiêm ngật Tuy nhiên điền kiện đừng nghiêm ngặt là một yêu cầu
hết sức khất khe trên thực tế đưa ra khái niệm dừng theo nghĩa mở rộng
như sau: Một quá Irình ngẫu nhiên được gọi là dừng theo nghĩa mở rộng
nếu thoả mãn hai điều kiện gau
Fourier rồi rạc (DTFT),
Một ứn hiệu quan sát (g[n]} là không phải tuân hoàn thì biến đổi Fourier rồi rạc cũa nó là một hàm giá trị phức G() dược định nghĩa như sau
GỢŒ)— S gin]e 2? (2.3)
ở đây j—vO1 fla tan sé chudn hod (O<t<1) va
28 _ cos(2afn)+ jsin(2afn) (2.4) Téng trong phuong trình (2.3) hội tụ nếu
Trang 36
'Tín hiệu gịn] có thể xáo định được từ G() thông qua biến đổi DTFT
ngược như sau
số (,1+d0 Do đồ |G)” là phổ mại độ năng lượng của tín hiệu {z[s}
Khi {g|n|} là tuần hoàn với chu kỳ N :
g[nEgl+R] , Vo (2.10)
ở dây N là chu kỳ của (z|z|} Chúng ta sử dụng biến đối Fourier ri
rac để biểu diễn {z|z]} trong miền tần số thì
Trang 37Xử lý thông tim nà truyền thông: Ww
Seb = EoKP : 213
ở dây hai vế là tống năng lượng của tín hiệu trong một chu kỳ Nếu
chúng ta định nghĩa công suất trung bình của tín hiệu thời gian rời rạc
Do vậy 1G()/N? là mật độ phổ công suất của {g[n]}
2.2.3 Phổ của quá trình ngắu nhiên
Giả sử chúng tá đi quan sát một quá trình ngẫu nhiên {#|s]} Theo định nghĩa DTET và từ giả sử quá trình ngẫu nhiên là đừng theo nghĩa
rộng 'Thì hiển nhiên không thể sử dụng biến đổi IYLEI' để thu được X(Ð)
từ x|z}} bởi vì phương trình (2.5) không còn thoả mãn khi thay thé gin]
bằng x[n] Thực vậy nếu §x|z]} là một thể hiện của quá trình ngẫu nhiên
đừng theo nghĩa rộng thì năng lượng của nó là vô hạn Tuy nhiên trong
trường hợp tín hiệu tuần hoàn công suất của nó là hữu hạn Bởi vậy nếu chúng ta quan sát ‡x|n]} từ —N đến N (b[n}”y và giả sử rằng ngoài
khoảng nầy các mẫu x[n] bằng zero thì ta thu được XaŒ) từ biến đổi
Fourier nhuf sau
(2.16)
Theo phuong trinh (2.9) wary? af biểu thị một phần năng lượng của quá trình ngẫu nhiên góp bởi các thành phần mà tấn số của nó nằm trong khoảng † và † +df Cong suất của các thành phản này cho bởi
IxxƯŸ#
2W+I (219
Trang 38
Và IXu()2/2N+1) cổ thể được hiểu như mật độ công suất, Khi cho
wy N-900 trong điều kiện thích hợp : lim
ở đây Ÿ„() là DTET của ff[n} Có một quan hệ liết sức quan trọng giữa mật độ phổ công suất của một quá trình ngẫu nhiên theo nghĩa rộng với hàm tự tương quan của chúng theo lý thuyết của Wold như sau:
Pữ)- Sugpˆ22 (2.19)
=
Š đây r[k] là hầm tự lương quan
C6 3 trường hợp khác nhau của hàm PŒ) đó là : nếu PŒ) là một hàm
liên tục theo f thi quá trình ngẫu nhiên có phổ liên tục Nếu P(Ð là bằng 0
tại tất cả các tất số Ý ngoại trừ f=hk, k=1,2, thì quá trình ngẫu nhiên có
phổ vạch Trong trường hợp này thường sử dụng một biểu diễn hữu dụng
cho phổ như sau :
Pữ)=Š P,2(/-#,) — (.20
ö đây P¿ là công suất tương ứng với vạch phổ k Trường hợp cuối
cùng phố của một quá trình ngẫu nhiên là sự kết hợp giữa phố liên tục và
phổ vạch '!hì hàm P( là tống của phổ liên tục và phổ vạch
2.3 Bài toán ước lượng phổ công suất
Bài toán ước lượng phổ công suất được phát biểu như sau: Cho tập
Nmảu §|0| x|| x[X - 1J(có thể ký hiệu bởi fz|»J}?”) của một thể hiện
của quá trình ngấu nhiên fR[n} Bài toán đật ra là phải ước lượng mật độ
phổ công suất Pƒ) của quá trình ngẫu nhiên này
Các phương pháp sử dụng cho tước lượng phổ mật độ công suất dược
chia làm hai loại: Ước lượng phổ tham số và Ước lượng phổ không tham
Số,
Trang 39
Xử lý thông tim nà truyền thông: Ww
2.3.1 Uớc lượng phổ không tham số
Phương pháp ước lượng phổ mật độ công suất mà không dựa trên
bất kỳ giả sử nào khác về quá trình ngẫu nhiên ngoài giả sử là dừng ít nhất là theo nghĩa rộng thì được gọi là ước lượng phổ không tham số
"Theo phương trình (2.19) phổ mật độ công suất có thể thu dược
thông qua ước lượng của dãy tự tương quan các mẫu đã qua sất +|Ð}xÙl| x[V 1] sau đó thực hiện DTET của ước lượng này
Một ước lượng của dãy tự tương quan được cho bởi
"kh bo [eblz+k| : 0<&<A-L (229
Với X<*<0ihì ước lượng z|š] được tính thông qua phương trình:
Với J>|> thì Z¿] nhận giá trị bằng 0
Nhân xét ; Ước lượng này là có thiên lệch nhưng nó được ưa dùng
hơn các ước lượng khác là vì nó thoả mãn điểu kiện không tham số của tước lượng phổ mật độ công suất
3.3.1.1 Uức lượng phổ không tham số theo phương phầp Periodogram
Phương pháp Periodogram dược giới thiệu bởi Schutcr năm 1898
Để ñm phổ mật độ công suất theo phương pháp Periodogram ứng với tập
đữ liệu quan sát {x|a]}”! dầu tiên chúng ta phải xác định ước lượng dãy
tự tương quan r[k] trong khoảng (NV I]<#<(Ý D và thực hiện DTFT
Để thuận tiện hơn ta viết ước lượng phổ mật dộ công suất theo
phương pháp Periodogram_ trong quan hệ với các mẫu dã quan sắt như
Trang 40Trong thực hành mật độ phổ công suất Periodogram được tính bằng cách áp dụng FI' 'Lĩnh FIFI' mật độ phổ công suất tại các giá trị
Để tăng số diểm tính 2z-(7¿) và xác dịnh lại tập tần số mới
Một tính chất chung của các ước lượng đố là kết quả ước lượng sẽ
tốt hơn khi số lượng mẫu đữ liệu quan sát tăng Về mặt lý thuyết mà nói
số lượng các mẫu tiến tối vô cùng thì ước lượng sẽ hội tụ về giá trị thực
của tham số ước lượng Với ước lượng mật độ phổ công suất chúng ta
muốn số mẫu đữ liệu càng nhiêu thì ước lượng càng tiến đến giá trị đúng
Nồi cách khác khi số mẫu dữ liệu là hữu hạn thì ưúc lượng là cổ sai lệch
Sai lệch sẽ tiến tới 0 khi X tiến tới vô cùng
Mặc dù ước lượng mật độ phổ công suất heo phương pháp
Periodogram là tiệm cận tới giá trị thực nhưng có thể chỉ ra rằng nó chưa
phải là ước lượng thực sự thích hợp Xét ví dụ: nếu [8] là quá trình ngẫu nhiên nhiễu trắng có trưng bình zero, các biến ngẫu nhiên của quá
trình là độc lập, Gaussian và phân bố đều với phương sai ø?, phương sai của P-zz|Z] bằngø' bất kế chiều dài N của dãy dữ liệu quan sát Hiệu quả của ước lượng periodogram là không tăng khi N lớn hơn Bởi vì khi
N ting cing Km tăng số các tham số được ước lượng
Pa) PÚ} PỮ„ 1} Một cách tổng quất ta có thể viết phương sai của
