Nghiên cứu sự tồn tại và tính ổn định, bị chặn của nghiệm tuần hoàn đối với phương trình tiền hóa là một hướng nghiên cứu quan trọng liên quan đến dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương t
NỬA NHÓM (X,Y:¿) ÔN ĐỊNH VÀ NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA 29
Ung dụng 35
PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA TUYẾN TÍNH
Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa dạng \$ ul! — Au = ƒ \$ với ngoại lực \$ ƒ \$ tuần hoàn chu kỳ 7 là một lĩnh vực quan trọng trong nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân Các phương pháp tiếp cận như nguyên lý Massera, phương pháp điểm bất động của Tikhonov, và hàm Lyapunov đã được áp dụng để phân tích vấn đề này.
Phương pháp phổ biến nhất để chứng minh sự tồn tại của nghiệm tuần hoàn là dựa vào tính bị chặn của nghiệm và tính compact của ánh xạ Poincaré, được xác định từ nhúng compact.
Trong một số ứng dụng cụ thể, như phương trình đạo hàm riêng trong miền không bị chặn, phép nhúng compact không còn đúng và việc tìm nghiệm bị chặn trở nên khó khăn Để đảm bảo tính bị chặn của nghiệm, cần phải chọn điểm ban đầu phù hợp Một giải pháp để vượt qua khó khăn này là áp dụng định lý Massera, cho rằng nếu phương trình có nghiệm bị chặn thì sẽ tồn tại nghiệm tuần hoàn.
Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một phương pháp mới để chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm tuần hoàn cho phương trình tiến hóa tuyến tính Phương pháp này dựa vào tính bị chặn và ổn định của nửa nhóm, từ đó xây dựng một dãy Cauchy hội tụ đến điểm ban đầu của nghiệm tuần hoàn Cách tiếp cận này được đánh giá là trực tiếp và đơn giản hơn so với các nghiên cứu trước đây của T.H Nguyen và M Geissert.
M.Hieber, T.H.Nguyen [19] vì không sử dụng không gian nội của phương pháp này là không sử dụng tính compact Chúng tôi có thể chứng minh su tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình tiền hóa tuyến tính không thuần nhất một cách trực tiếp và cơ bản hơn Chúng tôi xét phương trình tiền
PHƯƠNG TRÌNH OSEEN-NAVIER-STOKES KHÔNG Ô- TÔ-NÔM 52
Họ tiến hóa 55
‘Ta xột ho toan tit tuyộn tinh (Z()}¿ằĂ trờn Z"() được định nghĩa như sau
22(6(893— {u EU OWE NW: ll) x 2) Van € areay} và (0w :— —P [Au + (n(Ð +e(8 xa) - Và — 6(Ð xu] với u 6 D(£(0)
Ta biết rằng họ toán tử {Z()},„ụ sinh ra họ tiến hóa bị chăn {(, s)},„„„ụ trên
TƑ(Q) với mỗi 1 < z .,„„.n được mở rộng là tiến hóa liên tục mạnh, bị chặn trên 7Ô)
Chúng tôi đưa lại những ước lượng /"# — Ƒ*# có được từ [48, Định lí 2.1, Định lí 2.3]
Mệnh đề 4.1.2 Gid sit n(t) va w(t) théa man Giả thiết 4.1.1 Kí hiệu || |l„„ là chuẩn trong LP4(Q) (uới 1< r < % 1 s 5 (Ì (0à L
s > 0.
59 Định lí 4.1.6 Cho Q C RỞ là miền ngoại vi vdi bién thuộc lớp ChÌ, Giả sử n(t) vd w(t) théa man Gié thiét 4.1.1 va la ham tudn hoàn uới chu kà T Nếu
Phương trình (4.15) trong bài viết có một nghiệm duy nhất đủ tốt, thuộc tập hợp $ € Cụ.u(R+$ Nghiệm này là nghiệm tuần hoàn và thỏa mãn điều kiện lê|~a < M(M + 1)|IG| 3,- (4.24).
Ching minh, Cho gid tri ban đầu 29 € L3.,,(Q), tit Dinh If 4.1.4 suy ra c6 mot lệm đủ tốt z € Cw.(R¿, ÿ „(9)) của (4.15) với 2(0) = 20
Ta định nghĩa ánh xạ Poincaré như sau: và chỉ một ngÌ Ð :- 13„(9)—= 12„(9)
Pla) = :(T) với: € Cwap(Ry,L%,,) Be nghiom dit t6t cita (4.15) voi z(0) = z
'Từ công thức nghiệm đủ tốt (1.16) ta có
Do các hàm tuần hoàn \( n(t) \) và \( w(t) \) có chu kỳ \( T \), hàm \( G(t) \) cũng là hàm tuần hoàn với chu kỳ 7 Vì \( n(t) \) và \( w(t) \) đều có chu kỳ 7, nên toán tử \( \mathcal{F}(1) \) cũng là tuần hoàn với chu kỳ 7, dẫn đến việc sinh ra họ tiền hóa \( U/(f.s) \) cũng có chu kỳ 7 Chúng ta sẽ chứng minh tính chất sau của anh xa Poincaré.
“Ta sẽ chứng minh đẳng thức trên bằng phương pháp quy nạp
Từ công thức (4.25), chúng ta có thể suy ra rằng đẳng thức đúng với mm = 1 Giả sử đẳng thức này đúng với mm = È, tức là Pha) = 2(kT) Chúng ta sẽ chứng minh rằng đẳng thức cũng đúng với mm = k + 1 Theo định nghĩa của z, ta có z(( +1)T).
+f AT U((R+UT.kT)U(RT.r)P(divG(r))dr
Vì vậy, ta c6 ditge dang thite (4.26) dimg véi moi m € N Do nghiém di tét
2(mT) la bi chan nén day {P"(x)} new la day bi chan trong L3.,,
Ta dinh nghia téng Cesaro P,,, cho mdi n € N xét
Chon ôx = 0, bat ding thite (4.19) suy ra sup ||P" (0) lls < Äf||lG|x s.„: (4.29) men
Do tinh bj chan cia {P”"(0)}men trong Dey suy ra day
{Pa(0)} ness = {i Ero} kel bị chan trong L3,,, Tit bat đẳng thức (4.29) suy ra 3 nen sup ||Pn(0)|l3u < MGhoo.3.0- (4.30) nen
Do HỆ „ = (LẺ 'J, sử dụng tính tách được của LỆ" và định lí của Banach-Alaoglu suy ra tồn tại một dãy con hội tu yéu-* {P,,,(0)} ctia day {P,,(0)}
(Pu(0)} “ Ê€ LẬ„ với |ờ|sô < ẨfIG|„.š„- (4.31)
Từ công thức (4.28), ta có P„(0) — P„(0) = ‡(P"†!(0) — P(0)) Do dãy
{P"*!(0)}„ew bị chặn trong không gian HŸ „ nên ta có
Jim (PP,(0) — Pa(0)) = lim 7 ˆ (n#l(0) — P(0)) = 0 trong không gian TỶ „
Vì vậy, dây con {„„(0)} thỏa mãn tính chất yếu"
Bây giờ, ta sé chỉ ra P(?) = 2 Thật vậy, với mọi h € i, ta c6 (6 day (-,-) la cp lién hgp cia LE" va (£3"));
(PPn, (0), h) (UŒ.0)Pa,(0).h) + (f U(T, s)P(divG(s)) ds, ')
(Pry (0),U(T,0)"h) + Độ [ U(T, s)P(divG(s)) ds, ›) ee erin orn ( ƒ ˆ00:sP(Me6)J4.1)
Từ đó, ta suy ra
Bây giờ, xét £ € LỆ „ là giá trị ban đầu, theo Dịnh lí 4.1.4, tồn tại duy nhất một nghiệm đủ tốt š(‹) € Cu„¿(R¿, Lÿ = # Từ cách xác định ánh xạ
Poinearé Ð suy ra 2(0) = š(7) Vì vậy 2() là nghiệm tuần hoàn chu kì 7 Hơn nữa, bất đẳng thức (4.19) kết hợp với (4.31) dẫn tới bất đẳng thức (1.21)
Tính duy nhất của ‡ được chứng mỉnh như sau Giả sử š¡ và $¿ là hai nghiệm đủ tốt tuần hoàn với chu kỳ 7 của phương trình (4.15) với š¡, 2 €
Cu.n(R‡, Lộ „) Thì từ ð = ât — $2, ta thấy
Hơn nữa, từ công thức (4.16) ta có ng ứ là tuần hoàn với chủ kỡ 7 v(t) = U(,0)(8i(0) — $2(0)) với † > 0 (4.37)
Từ ước Itong L™ — L3 (xem (4.11)), ta suy ra rằng,
Do v là tuần hoan, gidi han (4.38) suy ra v(t) = 0 với moi t > 0 Vì vậy
Trong phần này, chúng tôi nghiên cứu tính tuần hoàn và tính ổn định của nghiệm đủ tốt của phương trình Oseen-Navier-Stokes Bằng cách áp dụng phép chiều Helmholtz P vào hệ phương trình, chúng tôi có thể phân tích các đặc điểm của nghiệm trong bối cảnh phương trình Cauchy.
Nghiệm đủ tốt của phương trình (1.39) được định nghĩa tương tự như trong trường hợp phương trình tuyến tính, là một hàm z(t) thỏa mãn phương trình tích phân sau: \$$a(t) = U(t, 0) + \int_{0}^{t} U(t, \tau) P_{div} \left( -2\frac{\partial^2}{\partial b^2} - \frac{\partial}{\partial b} + G(r) \right) d\tau.\$$
4.2.1 Nghiệm tuần hoàn Định lí sau chỉ ra kết quả về nghiệm đủ tốt tuần hoàn của phương trình khong 6-t6-ndm Oseen-Navier-Stokes Định li 4.2.1 Cho Q C RB la mién ngoại vi vdi bién thude lip CM Gid sit n(t) va w(t) théa mãn Giả thiết 4.1.1 nà là hàm tuần hoàn với chu kì T Nếu
F € Cunp(Ry, Leli(Q)*4) là tuần hoàn tới chủ là T: ||F||S.š„ tà m đủ nhỏ thì phương trình (4.39) có duy nhất một nghiệm đủ tốt š tuần hoàn voi chu ki
T trên quả cầu nhỏ thuộc không gian Cụ.s(B‡ Lÿ „(©))
Chứng mình Ta sử dụng nguyên lí điểm bất động để chứng mình định lí này
Xột hỡnh cầu BÍ C C„ôĂ(E, LỆ „(Q)) được xỏc định như sau:
BỊ := {6 € Cu.ð(R¿, LỆ „) : là tuần hoàn chủ kỡ 7 với ||p| € Cwe(Ry, L3,,) la nghiem tuần hoan chu ki T của phương trình (4.42)
Nếu ta có rằng rm, ứ và ||G|„ 3„ là đủ nhỏ, thì đó là ánh xạ từ Bƒ tới BỶ và là ánh xạ co Với v € BY, theo Bé dé 1.2.13, ta có v(t) thuộc L2/2(0)%3 và |lo(t) @ e(llyw S Cle) với mọi ? > 0 Do đó, lluS9|(„.‡„„ < C|lel.a„ < CứẺ, ở 2 2.
Ib@0|.„.„„„ < C|lb|Š.a„ < CmŠ, m llbS 9|( x S Cllbllac,3llUllacaw < Cmp,
[le @ Dlloc.gw S Cle |lac.3,ellblloo3,w < Cmứ