Để đánh giá hiệu quả của các thuật toán đẻ xuất, chủng tôi tiền hành thực nghiệm trên các bộ đữ liệu chuẩn và so sánh két qué thu được với kết quả của các công trình nghiên cứu liên quan
Trang 1LỜI CAM ĐOAN
‘Ti xin cam đoan luận án nảy là kết quả nghiên cứu của tôi Các kết quả viết chmg với các tae giả khác đều đã dược sự nhất trí của các đồng tác giả khi dưa vào luận án Những kiến thức tham khảo để hoàn thành luận án đầu được trích dẫn đầy đủ từ danh mục tải liệu tham Khảo
Hà Nội, 04-2014
Trang 2LỜI CẢM ƠN
Luận án này được hoàn thành tại Bộ môn Khoa học Máy tính, Viên Công nghệ Thông tin và Truyền thông, Trưởng Đại học Bách Khoa Hà Nội dưới sự hướng dẫn của PG§ TS Nguyễn Dức Nghĩa Tôi xin chân thành cảm ơn Thầy hướng dẫn, người đã trực tiếp hướng dẫn khoa học và tận tỉnh giúp đố tôi trang quả trình nghiên cứu
Tôi xin bảy tỏ lòng biết ơn tới Bỗ Mẹ và Gia đính đã giúp đỡ, tạo điều kiên cho tôi trong quá trình hoc tập và hoàn [hành luận ấn này
Tôi cũng xin gủi lời cảm ơn tới các thấy cô trong Viên Công Xghệ 1hông Tin, cũng như các thẩy cô trong trường Đại học Bách khoa Hà Nội đã truyền thụ những kiến thức bổ ich trong quả trình tôi học tập và nghiền cứu tại Trường
Mặc đù đã rất cô găng nhưng đo thời thời gian và kiển thúc còn bạn chế nên luận án
chắc còn có nhiều thiêu sót Tôi rất mong nhận được những ý kiên đóng góp quý bảu từ các Thầy Cô và các bạn.
Trang 31.1 Mô hình toán học của bài toán cực tiểu hóa độ trễ a2 1.2 Một số hướng tiếp cận giái bài toán tối ưu hóa tổ hợp 5
1.2.1 Thuat toan nhanh can
1.2.3 Thuat toan dan kién
1.2.4 Thuật toán Tabu
1.2.5 Thuật toán lân cận biên đi
1.3 Các nghiên cứu liên quan giải bài toán MLP "
1.6 Kết quả cúa luận án :s:22 222 222222222cccce "—
1.7 Cấu trúc của luận án : 22 eesee , TỠ
CHƯƠNG 2 THUẬT TOÁN NHÁNH CẬN
2.3.1 Thực nghiệm bộ dữ liệu ngẫu nhiên se , BO
Trang 4GHUONG 3 GAC THUAT TOAN GAN BUNG CAN TY LE
3.2.2 Kết quả thực nghiệm .- 222222020002 ccecrer 60
CHUONG 4 CAC THUẬT TOÁN META-HEURISTIC
4.1 Thuậi toản di truyền
4.2 Thuật toán di truyền lai ghép đân kiễn 88
4.2.2 Kết quả thực nghiệm
4.3 Thuật toán lai thuật toàn Tabu và thuật toán lần cận biến đải 98
4.3.2 Kết quá thực nghiệm TH HH ng yc 106 4.4 Kết luận chương 4 "
KÉT LUẬN
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH
CÔNG BỘ ĐƯỢC SỬ DỤNG TRONG LUẬN ÁN
TAI LIEU THAM KHAO
Trang 5
TOM TAT
Bai toan cue tiéu héa 46 tré (Minimum latency problem - MLP) dudi dang tổng quát có thể
phát biểu trong ngôn ngữ của lý thuyết dỗ thị như sau: Cho G = Œ, #) la dé thị võ hướng có trọng số không ấu trên mỗi cạnh ¿ © # Ciã sử, 7 là ruột hành Irình xuất phát từ đính «, chúng ta định nghĩa độ trễ cửa một đỉnh v bỗi kỳ thuộc 7 là độ dài của đường đi từ đỉnh xuỗt
phat » đến v trên 7 Độ trễ cúa hành trình 7 được định nghĩa như là tống đỏ trễ của tắt cá các đỉnh
thuộc hành trình 7ˆ Bài toán eực tiểu hóa độ trễ MLP yêu câu tỉrn một hành trình 7 bắt
đình xuất phát z đi qua tất cả các đình còn lại của đồ thị với tổng độ trễ là nhỏ nhất
Hài toản MLP có nhiều ứng dụng trong thực tiễn Cụ thể, trong lý thuyết lập lịch khi một xuáy chủ hay ruội người thợ phải lên kế hoạch phục vụ mội tập các yêu cẳu sao cho tổng (rung binh) thời gian chờ đợi của các yêu cầu là cực tiền Trong tìm đưởng đi trên mang, bai toán cũng được ứng đựng để tìm hành trình với tổng độ trễ là nhỏ nhất 1rong bài toán tìm kiểm thông tin, bài loàn MI,P được ứng dụng để cục tiểu hỏa đô trễ của việc tìm kiểm thông tin trên mạng
Mục đích nghiên cứu của chúng tôi hong luận ân này là đề xuỗ ác thuật toán giải bài
toán MLP với chất lượng lời giải tốt hơn chất lượng lời giải của các Thuật toàn giải bài toán
MLP đã được công bố Dỗi với một bài toán NP-khó như bài toàn MILP, hiện tại có ba hướng tiếp cận chính để phát triển thuật loàn giải: 1) hướng liễp cận đúng, 2) hướng tiếp cận gần
đúng cận tý lệ, 3) hưởng tiếp cận meta-leuristie Đóng góp của chrứng tôi trong luận án là đẻ
xuất các thuật toán giải theo cả ba hưởng tiếp cận:
«_ Phát triển thuật toán đúng đưa ra lời giải tối tu cho bài toán MLP với kích thước Đài toán lên đến 40 định
Khỏo sài thực nghiệm về hiện quả của các thuật toán gần đứng cận tỷ lệ hiện biết,
là cơ sở để đề xuất thuật toàn gắn đủng mới có cận tỷ lỆ tốt hơn
* Phat trign ba thuật toán theo hướng tiếp cản meta-heuristic Chúng tôi đề xuất thuật toán dựa trên lược đề của thuật toán di truyền để giải bài toán MILP và một số kỹ thuậi mới được tích hợp vào lừng bước của thuật loàn Nhằm nông: cao chất lượng tời giải và thời gian chạy thuật toán, chúng tôi đỗ xuất tai thuật toãn mola-heuristie
ai là: Thuật toán (ACO-GA) lai ghép giữa thuật toàn di truyền (GA) và thuật toàn
dan kién (ACO); và thuật toán T'S-VNS lại ghép giữa thuật toán 'Tabu (LS) và thuật
loin lin of tiển đổi (VNS),
Trang 6Để đánh giá hiệu quả của các thuật toán đẻ xuất, chủng tôi tiền hành thực nghiệm trên các bộ
đữ liệu chuẩn và so sánh két qué thu được với kết quả của các công trình nghiên cứu liên quan
tôi nhật hiện biết trên nhiều bộ đứ liệu
quả thực nghiệm chỉ ra các thuật toán để xuất đưa ra lời giải tốt hơn các thuậi toán
vi
Trang 7DANH MỤC THUẬT NGỮ
Ant conoly optimization
"Thuật toán di truyền lai ghép thuật
3 | GA Genetic algorithm “Thuật toán di truyền
5 | VNS Vanable neighborhood search Tim kiêm lân cân biên đối
đa lân cận
MLP Minimum latency problem Bài toán cực tiêu hóa độ tre
§ | TSP Traveling salesman problem Bài toán người du lịch
9 [TRP Traveling repairman problem [ Bãi toán thợ sửa chữa hm động
10 |DMP Delivery man problem Bài toàn người giao hàng
II |TĐTSP Time dependent traveling Bai tệp người du lịch với thời gian
Salesman pproblem bị chặn
14 |CP Constraint programming Quy hoạch ràng buộc
16 * Simulated annealing algorithm | Thuật toán phóng tôi luyện
Greedy randomized adaptive Thú tục tìm kiểm tham lam ngẫu
19 | ILS Iterated local search Tìm kiêm địa phương leo đôi
20 [RvND | Ramdomvanable neighborhood | lan can biện đổi ngẫu nhiễn
23 | PCST Prize collecting steiner tree Bai toan cay Steiner
26 |OPT Best known solution Lới giải tốt nhât hiện biết
27 |SDT Social disaster technique Kỹ thuật hủy điệt
Trang 8
toán trang bộ đữ liệu ngẫu nhiên 1 (tinh theo phút)
2 Thời gian chạy của thuật toán trong bộ dữ liệu ngẫu nhiên 2 (tinh theo phat)
3 Thời gian chạy của thuật toán lrơng bộ đữ Hậu thực 2 (link theo phủ)
4 Thời gian chạy của thuật toán trang bộ đừ liện ngẫu nhiên 3 (TPR-10-Rx) (tính
6 Yhời gian chạy của thuật toán cho các ñls dữ liệu nhỏ trong
1 Kết quả thực nghiệm các thuật toàn trong các bộ dữ liệu nhỏ se
quả thực nghiệm các thuật toán trên bộ đữ liêu ngẫu nhiên 3 (TPR-50-Rz) 52
2
3 Kắt quả Thực nghiệm các thuậi toán trên bộ dữ liệu ngẫu nhiên 3 (UPR-100-R3) 53
4 KẾI quả thực nghiệm các thuật loàn trên bộ đữ liệu thực 1
5 Kất quả thực nghiệm cho các bộ dữ liệu nhỏ
6 Kết quả thực nghiệm với bộ đữ liệu ngẫu nhiên 3 (TPR-50-Rx)
7 Mô là sap;, gap, doi voi các bộ dữ liệu nhỏ
§ Mỗ lä 7 đổi với các bộ đữ
9 Kết quả thực nghiệm với bỏ dữ liên ngẫu nhiền 3 (TPR-160-R3)
10 Kết quả thực nghiệm với bộ đữ liệu thực 1
12 Mô tả 7 đối với các bộ đữ Hệu lớn
1 Thực nghiệm lựa chọn kích thước quản thể
2 Thực nghiệm lựa chọn tham số xá xuất lai ghép và đột bị
3 Thực nghiệm lụa chọn kích thước nhém
4 Thực nghiệm lựa chọn tý lê Z;
5 Thực nghiệm xác định gia ti NOD
6 Thực nghiệm xác định giả trị XGT
7 KẾt quả thực nghiệm các thuật toán cho các bộ dữ Hêu nhỏ -
§ KẾT quả thực nghiệm các thuật toán cho bộ đít liệu ngẫu nhiên 3 (TPR-50-Rx) 82
quả fhực nghiệm các thuật toàn chơ bộ đữ liệu ngẫu nhiên 3 (TPR-100-Rx) 82
10 Kết quả thực nghiệm các thuật toán cho bộ dữ liệu ngẫu nhiên 3 (TPR-200-Rx) 83
11 Kết quả thực nghiệm các thuật toán cho bộ dữ liệu thụ 1
12 Mô tả 7 theo phút đối với các bộ đữ liệu lớn
13 Kết quả thực nghiệm của các thuật toán
14 Kết quá sơ sánh các thuật toàn cho chơ các bộ đữ liệu nhỏ
vill
Trang 9ho bộ đữ Tiệu ngẫu nhiên 3 (TPR-50-Rx) Bang 4 16 Kết quả so sảnh các thuật toản cho bộ đữ liều ngẫu nhiên 3 (TPR-100-Rx) Bảng 4 17 Kết quả so sánh các thuật toàn cho bộ đữ liều ngẫu nhiên 3 (TPR:200-Rx)
Bảng 4 18 Kết quả so sánh các thuật toán cho bộ đít liều thục 2
Bang 4 15 Kết quả so sảnh các thuật toán
lăng 4 19 Mô tả 7 đôi với các bộ đữ liệu lớn
Bảng 4 20 Kết quả thực nghiệm các thuật toán cho các bộ dữ liệu nhỏ
Bảng 4 21 Kết quả thực nghiệm các thật toán cho các bộ dit liệu ngẫu nhiên 3 (TPR-S0-Rx)
Tang 4 23 Kél qua dye nghid
Rao,
Tiảng 4 3⁄4 Kết quả thực nghiện
Bảng 4 25 Kết quả thực nghiệm các thuật toán cho bộ đữ liệu thực 1
Bảng 4 26 So sánh độ lệch chuẩn độ trễ lời giải của các thuật loán
Bang 4 27 Mô tả 7 dỗi với các bộ đờ liệu lớn
Bảng 5 ] Tổng hợp các thuật toán để xu
Trang 10
Hình 4.4 Minh hoa hành trình MLP tốt nhất hiện
3 Tap eae portal
4 Minh hga crossing di qua cae portal
3 Cận tý lệ thực nghiệm trung bình của các thuật toán
6 Cận dưới trưng binh của các thuật toàn đối với các bộ đữ liệu nhỏ
Hinh 3
8 Cân tý lệ trung bình của các thuật toán đối với các bộ dữ liệu lớn
DANH MỤC HÌNH VẼ
L Thời gian chạy trung bình các file dit ligu (a = 30) trong các bộ đữ liệu 29
2 Thời gian chạy trung bình các fil dit ligu (ø = 35) trong các bộ dữ liệu 29
3 Thời gian chạy trung bình các le đữ liệu = 40) trong các bộ dữ liêu 2
4 Thời gian chạy trung bình các ñle dữ liêu (ø = 10, 20) của bộ đữ liêu ngẫu nhiên 3
29
3 Thời gian chạy trung bình các ñle đữ liệu trong mỗi nhóm của bộ dữ liệu thục 2 30
6 Thời gian chạy trung bình các ñle đữ liệu nhỏ trong bộ đồ liệu thực 2 30
2 Phân chia ô vuông và quađtrcc tương ting
9 Thời gian chạy trung bình của các thuật toán đổi với các bộ dữ liệu lớn 50
1 Minh họa sự hoi tu eta thuat tan GA-SDT va GA-no-SDF tai file test 1 trong bd
2 Minh họa sự hội tụ của thuật toàn GA—§DT và GA-no-SĐT tại le test | trong bộ
3 Minh họa sự hôi tụ của thuật toàn GÀ- SDT và GÀ: no- EDT tại file KroA 100
Trang 11CHƯƠNG 1
TONG QUAN VẺ BÀI TOÁN
Chương này giới thiệu bái toàn cực tiêu hoá độ trể (Minimam latsney problam - MLP), trình bày một số hướng tiếp cận để giải bài toán, các nghiền cứn liên quan, phạm vị nghiên cứu, bộ
dữ liệu thực nghiệm, đớng góp và câu trúc của luận án
Hài toàn thiết kế mạng là một vẫn đề được rất nhiều nhà nghiên cứu quan lâm Việc Iva chon một cầu hình tôi tu hoặc thiết kế một mạng tôi tru có rất nhiên ứng đụng trong thuc tiễn nhự trong siao thông, rang máy tỉnh, Trong bài loán thiết kế rang, nấu độ trễ của một nút được hiểu là độ dài đường đi từ nút nguồn đến nút đó, thì mục đích đặt ra là tìm một hành Irình bắt đầu từ núi nguồn đến các múi còn lại trên mạng sao cho tổng độ trễ là cực liều Xét ví dụ mình họa, xét mạng gồm 6 rút, trong đó khoảng cách giữa các nút dược cho bởi ma trận trọng số C = (cy) sau day:
Xét hành trình 7 bắt dẫu từ nút nguồn 1 di qua tải cả các nút còn lại trên mạng: (1, 5, 4, 2, 3,
6) Khi đỏ, đô trễ của một nút trên 7 được hiểu lá độ dải cúa đoạn đường trên 7 đi tứ nút nguễn |
10) + (9+ 10+ 12) + (9 + 10 + 12+ 19) + (9 + 10+ 12+ 19 + 17) — 19, Hành trình 7* — (1,
5, 4,2, 6, 3) với độ trễ 168, đây cũng là hành trình có tống độ trễ nhỏ nhất Muc đích đặt ra là tìm hành trình xuất phát từ nút nguễn 1 đi qua các nút còn lại trên mạng với độ trễ là nhỏ
nó và độ trễ của hành trình 7 1à tổng độ trễ của tất cả các nút trong 7: 9 1 (9 I
nhật Bài toán vừa phát biển là ruột vỉ dụ về bài toản cực tiêu hóa độ trễ
Bai toán cực tiên hóa 46 18 (MLP) 14 mat dạng khảo của bài toán thơ sửa chữa lưu động (Traveling repairman problem — TRP) [4, 14, 40], bửi loàn người giao hing (Delivery man problem DMP) |12, 30, 311 Bài toán cực tiểu hỏa độ rể cũng là một trường hợp đặc biệt của bài loán người du lịch với thời gian bi chin (Time dependent traveling salesman problem — TDTSP) [28, 36] trong đó để tỉnh tổng chỉ phí của một hành tình của bài toán
Trang 12TDTSP, khoảng cách giữa hai dình thử ¿ và dịnh thử ( + 1) trong hành trình cần được nhân với trọng số w() trước khi chủng được công lại Rõ rằng là bài toán người du lich Clraveling
salesman problem — 'I'5P) thu được tứ bài toán 'TILSP khi đặt w()
; còn nếu đặt w()
— 4, tạ thu được bài toán MILP, Chúng la có thể thầy điểm giông rửmu của hai bài ton TSP va
MLP déu la tim mét hanh tinh téi wu Tuy nhién, Blum et al |6| chi ra ring bai toan MLP
được xem là khó hơn so với bài toán TSP Với một sự thay đổi nhỏ trong hàm mục tiêu và đồ thị din vio thi bii loin MLP không có đặc tính cục bộ giỗng như bài toán TRP Trong bải toán TSP, nếu hoàn đổi vị trí cúa một vải đính trong hành trình thi sự thay đổi trong hàm mue tiêu chỉ mang tính eue bộ 'Irang khi đó, việo hoán đổi như vậy lai có thể dẫn đến sự thay đổi lớn trong hằnm mục liễu của bải toản MỊ,P [6] Một đặc điểm khúe nữa của bài toán MLP đó
là chỉ cần một thay đổi nhỏ trong dỗ thị dầu vào, đã có thể dẫn dến sự thay đổi lớn trong hành trình tối ưu của bài toán [43] Diều này cho thấy, chứng ta khó có thể thiết kế một thuật toán theo hưởng chúa để trị để giải bài toán MIP Tới vì các bài toắn bộ phận có môi Tiến hệ với các bãi toán bộ phân khác, nên ta khó có thé tim duge cach chia bai toán căn giải ra thành các bài toán bộ phân, sau đó, tm lời giải tổi un của từng bài toán bỏ phận bằng cách trị đệ qui chúng, và cuối cửng, cảm xây dựng được phương pháp hiệu quả để tổng hợp lời giải tổi ưu
của các bài toàn bộ phận này dễ thu được lời giải tôi ưu cho Dài toán đặt ra
Rai loan MLP có nhiều ứng dụng trong thực Hiến Cụ thê, trong lý thuyết lập Tịch khi một mày chủ hay một người thợ phải lên kế hoạch phục vụ một tập các yêu cầu sao cho tổng
(tung binh) thởi gian chờ đợi cúa các yêu cầu là cục tiểu |6, 41] Trong tìm đường đi trên mạng, bài toán cũng được ứng dựng để tìm hành trnnh với tổng 46 thể là nhỏ nhất [4] 'Ireng
bài toán tin kiểm thông tữn, bải toán MLP được ứng đụng dễ cực liểu hóa dộ HỄ của việc tìm
kiếm thông tin trên mạng [42]
Bài toán MLP duoc chimg minh thuộc lớp bài toản NP-khó trong trường hợp tổng quát |41] và thậm chỉ vẫn lá NP-kho ngay cả với đỏ thị là cây có trọng số [44J Hơn thế nữa, ngoại trừ P = NP, một lược đỗ xấp xi với thời gian đa thức trong trưởng hợp tổng quát là Không tồn tại [41] Bên cạnh đỏ, trong một số trường hợp đặc biệt, bai toán giải dược bởi thuật toán có độ phức tạp thời gian đa thức, được đề cập trong các công trình [6, 14, 31, 49] 1.1 Mô hình toán học của bài toán cực tiếu hóa độ trễ
Bài loán cực liễu hóa độ trễ (MT.P) dưới đạng tổng quát có thể phải biểu Irơng ngôn ngữ của
lý thuyết đỗ thị như sau: Cho Ø = (, Ø) là đồ thị vô hưởng có trọng số không âm trên mỗi
Trang 13
Hình 1 1 Minh họa bài toán MLP trên cây có trọng số
Hình 1 2 Minh hoa bai toan MLP trên đường thẳng
cạnh e e # Giả sử, 7 lả một hành trình xuất phát tử s, chủng ta định nghĩa độ trễ của môt đỉnh v bắt kỷ thuộc 7 là đô dài của đường đi từ đỉnh xuất phát s đến v trên 7 Độ trễ của hành trình 7 được định nghữa như là tổng độ trễ của tất cả các đỉnh thuộc nó Bải toán cực tiểu hóa đô
trễ MLP yêu cầu tìm một hảnh trình 7 bắt đầu từ đỉnh xuất phát từ s đi qua tất cả các đỉnh còn lại của đồ thị với tổng đô trễ là nhỏ nhật
Sau đây, chúng ta đưa ra một sô vỉ dụ minh họa về bài toán MLP trên một số đạng đồ
thi đặc biệt:
Ví dụ 1: Xét bài toán MLP trên cây như hình 1.1, giả sử, 7 là một hành trình xuât phát từ đỉnh
#(s= 1) đi qua các đỉnh còn lại trên cay Chung ta dinh nghĩa /z⁄(v) là độ dài đường đi từ
đình 1 đến đỉnh v trên 7 và được tính bằng tổng trọng số của các cạnh nam trên đường đi từ đỉnh 1 đến đỉnh v trên 7 Chúng ta cũng giả sử răng đô trễ của việc quay ngược trở lại từ đỉnh hiện tại đến đỉnh trước đỏ lả bằng 0, thi khi đỏ tổng đô trễ của một hảnh trinh MLP trên cây
được tỉnh như sau:
T=(1, 2,3, 4, 7, 8, 5,9, 6) và L) = lat(1) + laf(2) + laf(3) + laf(4) + lat(1) + lat(8) + lai(S)
Trang 14Vi du 3: Xét bài toán MLP khí mà các dinh của đồ thị nằm trên một đường thẳng như Hình 1.2 Chứng ta thấy rằng hành trình MLP có thể duyệt qua duyệt lại các đỉnh của đồ thị với số lần không xác định Điều đó cho thây đặc tỉnh không phẳng của hành trình MLP và đây cũng
là một điểm thổ hiện sự khác biệt với hành trình của bài tan TSP
Hãy giò, chủng †a sẽ mô tả phép biển đổi được để xuất bởi Wu et aL [50], để quy bài
loan MLP long quat vé bai toan MIP trén đỗ thị metric Đồ Ilị mehie 1à đô thị rà lrọng số trên các cạnh thóa mãn tỉnh chất bất đắng thức tam giác Đầu tiên, clrủng fa xây dụng đồ thị
vô hướng đây đủ Œ~— (7,i+E),với trọng số trên mỗi canh (i, v) là đường đi ngắn nhất giữa
bai đỉnh đỏ trên đỗ thị Œ Dỗi với một hành trỉnh 7 trên Œ,chủng ta có thể xây dựng một bành trình 7 trong ứng trên Œ bằng viêo thay thế mỗi canh (u, x) trong bởi đường đi ngắn
nhất giữa hai đỉnh œ và v lrên G Wu ct al [SO] da chi ra ring hành trình MI.P lỗi ưa của hai
đô thị là như nhan và nếu chúng ta cỏ một thuật toán giái bài toàn MP trong đồ thi metric
với đô phức tạp thời gian là (700), thỉ cùng chất lượng lời giải tương tự, thuật toán đó giải bài loin MIP tổng quái với độ phức tạp thời gian là O(Tứ9 + /09), trong dó, đo) là độ phức
tạp thời gian cho việc tính đường đi ngắn nhất giữa các cặp đỉnh trong đỗ thị G (ching han,
nêu sử đựng thuật toán Floyd-Warshall, ta có /úz) = O(n")
Do có thể quy bài toán MLP tổng quát về bái toản MLP trong trường hợp đổ thị
metric, niên trong luận án này, chứng tôi sẽ chỉ xét bài toán MLP trong trường hợp đồ thị melric Bài toán MI,P có thể phái biểu như sau: Cho đỏ thị đây đủ K„ với tập đình Ƒ= {(I, 2,
„„m} và ma trận chỉ phí không âm Œ_ {cy| 4,7 1,2, ., m}, với eg là khoăng cách giữa hai đình ¿ và / GIả sử, 7 = (vụ v:, , v,) là một hành trình xuất phát từ v; (đường đi xuất phát từ
v, đi qua mỗi đình của đỗ thị đúng một lẫn) trên Kạ Kỷ hiện P(w›,w) Tả đoạn đường đi từ v đến vụ trên hành trình 7 Ta gụi độ Hỗ của đình vị trên hành trình 7, kỷ biều bởi /øx(v,), là độ
đài của đường đi P(¥1, vO
Trang 151.2 Một số hướng tiếp cận giải bài toán tối ưu hóa tổ hợp
Dối với bài toán thuộc lớp XP — khó như bài toán MLP, hiện tại có một số hướng tiếp cận
thường được úp dung để phút triên thuật toán sau đây:
« Phát triển thuật toán đúng tìm lời giải tấi ưu Các thuật toán theo hướng này có độ
pluic tap bing né té hop trong trường hợp tôi nhất, mặc đủ trong thực tế chủng
thưởng chay nhanh hơn đánh giá lý thuyết này Thuật toán quy hoạch động
(Dynamie pogyamming — DP) [7], thuật loán nhánh côn (ranch and bound — B&B), quy hoạch có rằng buộc (Constraint programming CP), quy hoạch tuyến tính dựa tén nhanh can (Linear programming based branch and bound — LP), Branchcul, Branchprice, và Brancheutpries [29, 38] thuge lop thuật toán này,
Phát triển thuật toán gần đúng cân tỷ lệ a (a — approximation algoirthm) Uu diém của lớp thuật toàn lả nó dâm bảo dưa ra lời giải với chi phí không lớn hơn œ lần chỉ phí của lời gi tối ưu [19, 47, 48]
Phát triển thuật toán mefa-heuisie có độ phức tạp thời gian không quả lớn và tiền hành thực nghiệm đánh giá hiệu quả của thuật toán trên các bộ dữ liệu chuẩn
‘That toán di truyền (Genetic algorithrn) [13, 32], thuật toán phỏng tôi luyện (Simalated anncating algorithm) [19], thuat toan Tabu (Tabu search) [20, 46] thuật toán lần cận biến đổi (Variablz neighborhood search-VNS) |21, 22, 23, 331 va thuật toán tìm kiếm địa phương (Local ssaroh) [37] tửruộc lớp Thuật toản này,
Tiếp theo, là phần trình bày tổng quan về sơ đỗ của một số thuật toàn cơ bán để giải
bài toán tôi tru tổ hợp: Thuật toản nhánh cận [29, 38], thuật toán di truyền [13, 32], thuật toán dan kién [10], thuật toán tabu và thuật toán lân cận biển đối [21, 23, 23, 33]
1.2.1 Thuật toán nhánh cận
Ý tưởng của thuật toán trần mô hình bài toán tối ưu tổ hợp tống quát được mô tả như sau:
sin (ffx): x ¢ D), trong đó D là tập hữu hạn phân tử
Giả thiết rằng tập 7? được mô tâ như sau:
D= (x= (1%, 5) © AL Sta * Xd! x thod man tinh chit P}, trong d6.4), A>, ., 4, 1a các tập hữu hạn và ? là tinh chat cho trén tich B&-cde 4, * Ay x x
4, Mỗi phần tứ x e D được gọi là một phương án (hay còn gọi là lời giải chấp nhận được), côn tập Ð được gợi là tập các phương án của bài toàn
Trang 16"Thuật toán nhánh cận bao gồm hai thủ tục: Phân nhảnh (Branching procedure) và tính cận
(Bounding procedure)
Phân nhánh: Thủ tục này thực hiện việc phân hoạch tập các phương ản ra thành các tập con với kích thước cảng ngày càng nhỏ cho đến khi thu được phân hoạch tập các phương
ản ra thành các tập con một phần tử Quả trinh phân nhánh được thực hiện nhở thuật toản
quay lui Thoạt tiên, trên cơ s6 tinh chat P, ta có thể xác định được tập 3, = {a!.a} %}
những phần tử của tập ‹4› có thể chọn vào vi trí thứ nhật của lời giải Do đó, ta có phân hoạch
của tập 2 ra thành », tập con được mô tả trong Hình 13 Ở đây, ta ký hiệu
D(d)={xeD: x, =a },i=1,2, m 1a tap cac phuong an c6 thé phat triển từ phương án bộ
phân rỗng () Ta có:
D= D(Ì)UD(4ÿ)U UD(a*)
Như vậy, ta có thẻ đặt tương ứng mỗi phương án bộ phân cập & (ø¡, #›, , 4) với một tập con
các phương an của bài toán:
D(a, ., a) = {x © Dix; =a, ee RD:
Ở bước tổng quát của thuật toán quay lui, ta sẽ làm việc với phương án bộ phận (ai, a>, ., #2)
và xét các cách tiếp tục phát triển phương án này Điều đỏ tương đương với việc phân hoạch
tập D ra thành các tập con nhé hon Gia sit a},,, ,a?,, 1a cde kha ning lựa chọn thành phần thứ &+1 của lời giải, qua trinh phan hoach tap D(a, ., ø;) được thực hiên như
D= D(a) D(aj)v D(a")
Như vay, ta có thể đặt tương ng mỗi phương án bộ phận cap & (4¡, a», ., ag) với một tập con các phương án của bải toán:
Đi, a) = {x D: x,= a,, 1= 1, k)
)D
D(@t) p(a?) Da?) D(a")
Hình 1 3 Quả trình phân nhành:
Trang 17D(a, qạ, , dy) = [x 6 D:xị = aj,¡
Hình 1 4 Phân hoạch tap con
Ở bước tổng quát của thuật toán quay lui, ta sẽ làm việc với phương án bộ phận (a1, as, a2)
và xét các cách tiếp tục phát triển phương án này Điều đó tương đương với việc phân hoạch
tập Ð ra thành các tập con nhỏ hơn Giả sử ai,,, ,a2,, là các khả năng lựa chọn thành phần
thứ &t1 của lời giải, quả trình phân hoạch tập D(a), ., ø¿) được thực hiện như sau: Ta có
Tính cận: Cần đưa ra cách tính cân cho giá trị hàm mục tiêu của bài toán trên mỗi tập
con trong phân hoạch của tập các phương ản Cần xây dựng hàm ø xác định trên tập tất cả các
phương ản bộ phận của bài toán thoả mãn bắt đẳng thức sau:
g(a1, , a) Smin{ fx): x e D, xị= a, i= 1, , &} a.)
Bất đẳng thức (1.1) có nghĩa lả giá trị của hàm g tại phương ản bô phân (ø¡, a>, ., az) khong vượt quả giả trị nhỏ nhát của hàm mục tiêu của bài toán trên tập con các phương ản:
Đai, , a) = (xeD: xị = a, i= 1, , k},
nghĩa là g(a‹, a›, a) là cân dưới cho giá trị hàm mục tiêu trên tap D(a, a2, az) Vilé
đó, hàm ø được gọi là hàm cân dưới và giả trí g(ø\, a›, , ø) được gọi là cân dưới của tập
Đ(øn, a›, a) Do có thể đồng nhất tập D(a;, as, , az) voi phutong an b6 phan (a, 4›, ,
a0, nên ta cũng gọi gia tri g(a), as, ., a) 1a cin dudi ciia phurong an bé phan (m, , a)
Giả sử, đã có hàm ø, ta xét cách sử dụng hàm này để giám bớt khỏi lượng duyệt trong
quá trình duyệt tất cả các phương án theo thuật toán quay lui Trong quá trình liệt kê các
Trang 18Thuậi tnản †.1 Thuật toản nhánh cận
Thuật toan 1.2 Branch (%)
phương ân có thể đã thu được một số phương án của bửi toàn Gọi x là phương án với giá trị
hàm mục tiêu nhỏ nhất trong số các phương an da tim duge va f— f(x) Ta 38 poi x là phương án tốt nhất hiện có và 7 là kí lục Giả sử đã có 7, khi đó nêu
Har, a, a0) > f
thi tr bal ding thie (1.1) suy ta 7 < g(m, 43, , a) © min): x © Play, ay, 20} Vì thể tập D(a, a2, ., aj) chắc chân không chứa phương án tối ưu và có thể loại bỏ khói quá trình
duyệt Lược đồ của thuậi toán nhánh cận được bình bày cỉn tiết ở Thuật toán 1.1 và 1.2
1.2.2 Thuật toán di truyền
Luge dé tổng quất của thuật toán di truyền |13, 32{ đòi bởi xác dịnh phương pháp init hoa loi giải và xây dựng các toán tử: óc lượng, lựa chọn, lai ghép và đội biến Dâu tiên, ta khởi tạo quân thể của các cả thể ban đẫu Sau đó, trong ruỗi bước lặp, các thỂ chủ mẹ được lựa chọu lừ
quân thể để tinic hign lai ghép tạo ra các cả thế con chúu Các cá thế con chấu sẽ được đột
Trang 19'Thuật toán 1.3 Lược để tông quát của thuật toán di truyền
2 Khởi tao quần thể ban đầu §P,
3 while (Dieu kign két thúc chưa thóa) do
4 (IP, Th) — Lua chon tis SP; TP va TM 1a ca thé cha va me
T7 Đột biên cá thể con châu 7Ợ; WTC là cả au khi đột h
SP =äP U TC”, /Bễ sung cả thể TƠ” vào trong quân thể
2 Khởi tạo thong tin yét mii x,
4 so cả thể kiến 7c, 7y là cả thể kiến ở vòng lập thứ &
5 Cho 7¿ dò dường đựa trên thông tin vết mùi x,
4 tabulist— B; abudist la danh sach tabu
5 while (Điều kiện kết thúc chưa thỏa) đo
6 À4 =Ó©; 0IM là tập các bước chuyên từng viễn
7 VăFe N, đà lần cân của s)
9, lớn + tabulis) M— Ä va [m):
10 if Gt edabudést nhuung oa thién duye ai giái tốt nhấo Ad Ww [m];
1 Chọn bước chuyển m tốt nhất trang tip 4
12 4 =m(S); s= S,
14 Cập nhập /abulist,
15 Tăng cường hóa lời giải;
16 Đa dạng hóa lời giải,
18 Đưaralời giảitốt nhất,
Trang 20Thual toan 1.6 Taree dé tong quát của thuật toán lân cận biến dỗi
trong số các lời giỏi tìm được Toán Lữ lai ghép và loán tử đột biển đồng một vai trỏ quan
trọng trong thuật toàn đi truyền Mục dịch của toàn tử lai ghép nhằm cải thiện chất lượng của
xmân thể sau mỗi thê hệ 'Irong khi đó, toán tử đột biến giúp cho quan thé da dang hon Ma EIả của thuật toán di truyền được trình bảy trong Thuật toán 1.3
1.2.3 Thuật toán đàn kiến
"Thuật toàn đàn kiến [10 | mô phỏng hành vi cia các đàn kiến trong thục tế Khi di chuyển các cơn kiến để lại vết mùi trên đường đi để các con kiến theo sau lần theo vết mùi đỏ Dựa vào
nông độ mùi, các con kiến theo sau lựa chọn đường đi có nông độ mùi cao hơn Việc thuc
hiện thuật (oán dàn kiến bao gồm các bước: Đâu tiên, la khởi tạo vết mùi xuất phái Tiếp đến,
tại mỗi bước lấp, ta tạo ra một cá thể kiến và cho kiến dò đường dựa trên vết mũi do các cá thể kiến trước đó đ lại trên đường đi Khi cá thể kiến này ái chuyển, thi bản thân nó cũng để lại vết mùi trên đường đi nó đi qua Vết tuủi này sẽ dược cập nhập và bay hơi để các cả thể kiến theo sau lần theo vết mùi đó Thuật toán sẽ thực hiện các bước lặp cho đần khi điều kiện
kết thúc được thỏa mãn Mã giả của thui Ioán được trình bày trong Thuật toán 1.4
1.2.4 Thuật toán Tabu
Từ mội lời giải ban đâu, thuật toán Iabu [20, 46] lặp đi lặp lại việc ôm kiểm nhằm cải thiện
đần lời giải tốt nhất cúa bài toán Tại mỗi bước lặp, Thuật toán duyệt trong lân cận của lời giải
10
Trang 21hiện tại dé chọn ra lời giải tốt nhất và lời giải nay thay thé cho lời giải hiện tại ở bước lập kế tiếp Mỗi lới giải trong lân cận của lời giải hiện tại được gọi là một lân cận của lời giải hiện tại Việc thực hiện táo động lên lời giải hiện tại để biển nó thành một lân cận được gọi 1a mot bước chuyển (move) Điểm khác biệt căn bản của tìm kiểm tabm so với cấc thuật toán tìm kiểm địa phương khác lá: Tại mỗi bước lập, đễ trảnh việc duyệt trở lại những lời giái đã từng, được kháo sát, thuật toán tabu sử dụng một danh sách (được gọi là danh sách tabu) để lưu trữ một số bước chuyển đã từng được sử dụng, Danh sóch tabu sẽ chúa ruột số bước chuyển vừa
được thực hiện trong một số bước lặp ngay trước đó và các bước chuyển nằm trong danh
sách tabu được gọi là các bước chuyển abu Các bước chuyển tabu sé bị cấm sử đụng lại khi
nó còn nằm trong danh sách labn Mỗt bước chuyển su sẽ được cập nhập vào trong danh sách tabu khi thực hiện bước lặp Sau dó, các bước chuyển này có thể được loại khỏi danh sich tabu va tái dựng lại Mã giả của thuật toần được trình bảy trong Thuật toán 1.5
1.2.8 Thuật toán lân cận biến đối
Ý tưởng của thuật toàn lân cận biển đổi (Variablz neighborhood szarch-VNS) [21, 22, 23,
33] là thực biện lẫn lượt từng thuật toán lân cận, hết thuật toán lân cặn này đền thuật toán lân cân khác Irong quá trình thực hiện thuật toản VNS, ta Lên ghi nhận lời giải tốt nhất (kì lục) Khi thực hiện một thuật toán lần cận, nếu tim được kỉ luc méi thi ta quay trổ lại thục
hiện thmật toán VNS từ đầu Ngược lại, ta chuyển sang thuật toàn lần cặn tiếp theo Quá trình
được tiếp tục cho đến khi thực hiện hết tất cá các thuật toán lấn cận mà lời giải tốt nhất không
được cải thiện Mã gi của (huật loán được trình bày trong Thuật toán 1.6
1.3 Các nghiên cứu liên quan giải bải toán MLP
Bài toàn MLP giải được bằng thuật toán thời gian tính đa thúc trong một số trường hợp đặc
biết khi đồ thị của bài toán là:
«_ Cây không trọng số — đô phức tạp thời gian của thuật toán là OŒnaxặ + ø)) [6] Úr
và mm lân lượt là số lượng đỉnh và cạnh của đỗ thị)
« Đường thẳng — độ phức tạp thời gian của thuật toán l4 20z) [6, 49]
« Cây với đường kinh là 3 (đường kính của cây là số đỉnh trên đường đi đơn đi qua nhiền đính nhất trên cây) — độ phức tap thời gian của Thuật toán là Ø0 [6]
ly với số lượng lá là hằng số & — độ phức tạp thời gian của thuật toán là Ø2) (với &1à một hằng số cho trước) ]49]
Trang 22Trong trường hợp tổng quát, ngoại trừ F — NP, một lược đồ xắp xi với thời gian da thức là khơng tồn tại [41] Hiện nay, một số cơng trình nghiên cúu đã được đã xuất để giải bài tốn MLP Cĩ thê phân loại các thuật tốn hiện biết ra thành ba nhĩm chính: Các thuật tốn đúng, các thuật tốn gần đúng cận tỷ 14, va các thuật tốn mela-hcusislie Dưới đây chứng tơi
sẽ điễm qua cáo kết quả đỏ
1.3.1 Thuật tốn đúng
Các thuật tốn đúng cho pháp tìm lời giải tối mm nhưng cĩ đánh giá đơ phúc tap thời gian
trùng nỗ lỗ hợp trơng tình haỗng tơi nhất Mặc dit trong thực lễ chúng thường chạy nhanh hơn
đánh giả lý thuyết này, tuy vậy, chúng cũng chỉ cĩ thế áp đụng để giái các bài tốn MLP với
kich thước nhỏ
Theo hướng thuật tốn quy hoạch động, Wu |49| đẻ xuất mơi thuật tốn với đơ phức
tạp thời gian hàm mũi để giải bài tốn MLP Sau dé, Wu et al [50] phat triển thuật tốn của
mình bằng việc kế! hợp thuột tộm quy hoạch động với phương phúp nhánh cận Để đánh giá
hiệu quả cúa thuật tốn, Wu et al tiến hành thực nghiệm thuật toản trên một số le đữ hiệu
ngẫu nhiên và một số file đữ hệu được trích rút từ bộ dữ hậu TSPLIH [51] Kết quả thực nghiệm chỉ ra rắng thuật loắn của Wu et äl cĩ thế giải bài lồn MIP với kích thước lên đến
26 đình Tuy nhiên, hiệu quả của Thuật tốn trong các trưởng hợp cỏ kích thước lớn hơn chưa
đữ liệu TSPLIE [5L( Gin day, K Chaudhuri et al |] đưa ra thuật tồn gần đúng với cận tỷ lệ
lá 3.59 Cận tỷ lệ này được biết là cân tỷ lệ nhỏ nhất hiện nay cho bai toan MLP
Hiện tại, trong hướng tiếp cân gần đúng cận tỷ lệ, phần lớn các cơng trình chỉ ra rằng
chỉ phí tối tu của bài tốn &-MST được xem rhu cận dưới cho độ trễ đính thứ # trong hành trình tải MLP [1, 6, 18] Rlum et al [6] chủ ra rằng nên cĩ thuật tốn gắn đũng với cận tỷ
12
Trang 23lệ / cho bài tốn &-MST (4 — 2, 3, zJ, thi ta cĩ thuật tốn gần đúng với cận tỷ lệ 82/ cho
bài tốn MLP, Sau đĩ, oeman et al [1E] giảm cận tỷ lệ bài tốn MLP xuống cơn 3.59
Nếu sử đụng thuật tốn gần đúng cĩ cận tỷ lệ nhỏ nhất là 2 cho bài tốn &MST [15], thì thuật tốn gần đúng cho bài loin MLP cia Blum cl al va, Gooman cl al cĩ cận tỷ lệ lần lượt là 16
và 7.18 Gần đây, Archer et ai |1| trình bảy thuật tốn tạo ra các MST (k 2, 3, ., n) bing, việc sử đựng kỹ thui nĩi lỏng lagrange thay vỉ sử dụng thuật tốn giải bài ton AMS nhì trong [15] Tuy khơng giâm được cận lý lệ 7.18 nhưng thời gian chạy thuật tốn được giêm
đáng kế, Khác với các cách tiếp cận trên, K.Chandhuri et al |9| chi ra rằng lời giải tối ưu của
bài tốn đường đi ngắn nhật đi qua & đỉnh (ta gơi là bài tốn &-troll) là một cận dưới tốt hơn cho độ trễ đình thứ # trong hành trình tơi #u MI,P Tuy nhiên, bai Loin &-troll cũng khĩ lương
tự như bài tốn &-MST, bởi vậy họ dưa ra thuật toản chơ bài tốn tìm cảy khung di qua k dinh
cĩ chỉ phí bị chặn bởi chỉ phí tối ưu của bài tốn &troll Dễ thu được lời giải cho bài tốn MLP, họ chuyển các cây khung này thành các hành Hình đi qua & đính và kết nổi các hàn: trình này Như vậy, ta khơng phái mất cận tỷ lệ 2 cho bải tốn ã-MST và thuật tồn của
K Chaudhuri et aL cĩ cận tỷ lệ là 3.59 Hầu hễt các kết quả cĩ được từ hướng tiếp cân gắn đúng cận tỷ lệ đều đưa ra cận tý lộ ở đạng lý thuyết (cận lỷ lệ uường hợp ti nha), cĩ một ngoại lệ trong |1|, khi Archer et ai tiền hành thực nghiệm trên bộ dữ liệu TSPLIB |51| Kết xmã thực nghiệm cho thây, cận tỷ lễ trung bình đạt được từ bộ dữ liệu này là 3.01 tốt hơn rất nhiều so với cận tỷ lệ lý thuyết Tuy vậy, cân tỷ lệ này vẫn cịn là quá lớn, chua đáp ứng yêu
chu giất các bài Iộn ừng dụng thực tổ
1.3.3 Thuat taan meta-heuristic
Cđo thuật tốn moia-heudstie là những thuật toan c6 49 phitc tạp thoi gian thường khơng quả lớn, nhưng chất lương lời giải tìm được bởi các thuật toản này chỉ cĩ thể đánh giá thơng qua thực nghiệm Thuật tồn meta-hzuristic Thường áp đụng hiệu quả cho các bài tồn tơi ưu hĩa
tổ hợp như bài tốn MLP
Hiện nay, cĩ bai cơng trình nghiên cửu theo hướng tiếp cận mmcta-hcuristic giải bai tốn MLP đã được cơng bỏ Trong cơng trình [40], A Salehipour et al để xuất thuật tốn mela-heumisic đựa tiên GRASP (Gieedy randomized sdaplive seach proceđure) và VNS (Variable neighborhood search) Sau dé, M Silva et al |43| cũng đề xuất một thuật tồn
meta-hetristic khác dựa trên lược đồ của GRASP, ILS (Iterated local search) vA RVND
(Random variable neighborhood đeseend) ĐỂ đánh giá hiệu quả của các thuật tốn, A
Salzhipour ct al va M Silva ct al thyte nghiệm thuật lồu của họ trên các bộ đữ liệu Kê! quả
Trang 24thực nghiệm cho thấy, chất lượng lời giải thu được từ các thuật toàn rneta-hcuistie tốt hon rat nhiều so với chất lượng lời giải của các thuật toán gần đúng cận tỷ lệ hiện biết Diễu đó chứng tỏ, meta-hermistic là hướng tiếp cận tiềm năng cho bai toan MLP
1.4 Mục đích, phạm vi nghiên cứu
To bài toán MI,P là bài toán NP-Khó, do đó không có một hướng tiếp cận liệu quả duy nhất cho bai toàn trong mọi trường hợp Việc đưa ra các hưởng tiếp cân hiệu quả cho nhiều trưởng, hop khác nhau của bài toán này có ý nghĩa về mặt khoa học Đối với một bài toán NP-khá, hiện lại cỏ ba hưởng tiếp cận chính để phát triển thuật toán giải: 1) hưởng tiếp cận đúng; 2) hưởng tiếp cân gần đúng cận tỷ lê; 3) hướng tiếp cận mefa-heuristio Trước hết, các thuật toán đúng tìm lời giải tối ưu thường eó độ phức tạp tính toán bừng nỗ tỗ hợp trong tỉnh huông tôi nhất, mặc dù trong thực tẾ chúng thưởng chạy nhanh hơn dánh giá lý thuyết này, Tay vậy, thuật toàn đúng cũng chí cỏ thé giái bài toàn MLP với kích thước nhỏ Trong cách tiếp cận thử hai, các thuật toán gần đúng với cân tỷ lệ ø cỏ tu điểm lớn là về mật lý thuyết chúng đảm bảo đưa ra lời giải có củi phí không vượi quá 2 lẫn chủ phí của lời giải lỗi ưu Cuỗi cùng, các thuật toán meta-heuristic là những thuật toán có độ phức tạp tỉnh toán thưởng là không quá lớn và khá hiệu quả đối với lớp bài toán NP-khó như bài toán MLP, nhưng chất lượng lời giải tầm được bởi các thuật toán này chỉ có thể đánh giá thông quá thục ngh
này
y khó khăn cho việc đánh giá một cách chỉnh xác hiệu quả của các thuật toán Chủng tôi sứ đụng các bộ đỡ liệu có lới giái tối tru thu được nhở thuật toàn đúng để phân tích thêm về hiệu quả tia các thuật toán để xuất và để khảo sát lựa
chon các tharn số trong các thuật toán TneLa-hetrisic
Khảo sắt thực nghiệm về hiện gu c thuật toàn gân đứng cận tý lê hiện biết,
lã cơ sở để để xuất thuật toán gẫn đúng mới với cận tỷ lệ tốt hơn Theo hướng tiệp
cận thuật toán gần đứng cận tỷ lê, hiện nay một số thuật toản gần đúng cân tỷ lệ giải bài toán MI,P đã được công bỗ Tuy nhiên, hiệu quả của các thuật toán này chỉ
được dãnh giá trên khía cạnh lý thuyết Chúng tới đã tiên hành nghiên cứu thực
14
Trang 25nghiệm để đánh giá hiệu quả thực tẾ của các thuật toán gân dùng Chúng tôi tập trung vào phân tích ba khía cạnh chính là cận tỷ lệ, thời gian chạy thục tế và chất lượng của cẩn đưới Nhằm giám cận tỷ lệ cho thuật toán gần đúng giải bải toán MILP, chúng tôi đề xuất thuậi toàn gần đứng đựa trên phương pháp SuhgrađienL Phát triển ha thuật toán theo hướng tiếp cận meta-heuristic Chúng tôi đề xuất thuật
toàn dựa trên lược đỗ tông quát của thuật loán đi truyền dễ giải bài toán MLP va
một số kỹ thuật mới được tích hợp vào từng bước của thuật toản đi truyền Nhằm nâng cao chất lượng lời giải và thời gian chay thuật toán, chúng tôi đề xuất hai thuật toán meta-hcuisic lai là: Thuật toán (ACO-GA) lai ghép giữa thuật toán đi truyền (GA) và thuật toán din kiến (ACO), và thuật toán 15-VNS lai ghép giữa thuậi (oán Tabn (TS) và thuật toán lần cân biển đối (VNS),
Dé đánh giá hiệu quả của các thuật toán để xuất, chúng tôi tiẫn hành thực nghiệm trên
chuẩn như vậy cũng đã hình thanh, tuy rằng chưa di nhiều va chưa thật đa dạng Mục này
dành chơ mẻ tả bộ đữ liệu được đùng để tiền hành time nghiệm kháo sát hiệu quả của các thuật toản, trong đó ngoài các bộ đữ liệu được đệ xuất bởi các nhà khơa học trên thể giới,
có nhiều bộ đữ liệu có kích thước nhỏ hơn 40 đỉnh do chúng tôi xây dựng nhằm làm phong phủ hơn bộ dữ liệu chuẩn Muc đích của việc tao thêm các bộ đữ liên kích thước nhỏ nhằm có thể tim được lời giải tôi ra từ that toàn đứng (chú ý là hiện tại thuật toản đứng chỉ áp dụng, được cho bài toán MLP với kích thước nhỏ hơn 40 đinh), Nhớ lời giải tôi tru có được, chứng
ta có thể đánh giá môi cách chính xác hiệu quả của các thuật toán gần đứng trên các bộ dữ liệu này Ở khía canh khác, các bộ dét liệu này cũng hỗ trợ đắc lực cho viée tiền hành thực nghiền xắc định các thông số của các giải thuật metahouristics
Một bộ đữ liêu chuẩn thường bao gồm các Hle đữ liệu, mỗi file chita thông tin về một bài toán cụ thể cần giải Nếu thông tin trong file mé 14 bai toán kích thước lớn (nhỏ) thì để dơn giản, ta sẽ gọi là file dữ liệu lớn (nhô) 6 day, dua vào giá trị của x (66 dinh tong một
Trang 27file dit gu), ching tôi chia các file đữ liệu này thành hai loại: Elc đữ liệu nhỏ với ø < 40 và 8e dữ liệu lớn với ø > 40,
Hiện nay trong các công trình nghiên cứu về bài toản MLD của các tác gid: Wu ct al 130], Archer et al [1], A Salehipour et al [40], và M Silva et al, [43| đã dưa ra các bộ dữ liệu được sử dung để đánh giá hiệu quả của các thuật toán Ngoài ra, để c6 thm nludu file dit
liệu, chúng tôi tạo ra các le đữ liệu ngẫu nhiên cucliđean, pẫi cuclidean và các ñlc dữ liệu được trích chọn từ các file dữ liệu có kich thước lớn rong bộ dữ liều thực TSPLIP Trong
luận án, cáo đữ liệu thực nghiệm này sẽ được gọi là bồ dữ liệu chuẩn
Chúng tôi phân bộ đữ liệu thưc nghiệm chuẩn này ra thành ba bộ dữ liệu ngẫu nhiên
và hai bộ đữ liệu thực Tắt cả các file đữ liệu trong các hỗ dữ liệu đều thỏa mãn điều kiện bất đẳng thức tran giác Ba bộ đữ liệu ngẫu nhiên do chúng tôi dé xuất gỗm một bộ dữ liệu chứa cac file dit ligu euclidean (goi là bộ dữ liệu ngẫu nhiên 1), một bộ dữ liệu chứa các Bl2 đữ ligu phi euclidean (goi là bộ đữ liêu ngẫu nhiên 2), và mnột bộ dữ liện ngẫu nhiên do A Salshiponr et al [40] cung cấp (goi là bộ dữ liệu ngẫu nhiên 3) Dữ lên thực tê báo gồm các ñle đữ liệu được lấy tử bộ đữ liệu TSPLIB (søi là bộ đữ liệu thực 1) [51] và các ñle dữ liệu được trích rút từ bộ đữ liệu TSPLIB (gọi là bộ dữ liệu thưc 2) Mỗi file dữ liệu chứa thông tin
về mội bài toán trên đỏ thị gồm m đính
“trong bộ dữ liệu ngẫu nhiên 1, các file dit ligu được tạo ngẫu nhiên với chỉ phi cạnh
là các số nguyên tử L đến [00, và gác chủ phí này thỏa mãm tỉnh chất bắt đẳng thức tnm giác Trong bộ dữ liệu ngẫu nhiên 2, tọa dộ các dinh trong file dữ liệu được tạo ngẫu nhiền trong hình vuông 200x200 trên mật phẳng enolidean hai chiều Khi đó, chỉ phí mỗi cạnh được tính
bởi khoảng cách cụclidcan giữa lit dink PGi voi moi bộ đữ liệu, chúng lạo ra 30 [lo dữ
liệu khác nhau có kích thước từ 30 đến 40 đỉnh Ngoài mà, dé
kich thước nhỏ, chúng tối trích chọn ngẫu nhuên từ 30 dén 40 đính trong các ñile đữ liệu có kich thước lớn hơn trong TSPLIB (các fle đữt liệu được trích chọn này sẽ được phân vào bộ
dit ligu fhực 3) Việc trích chọn được tiễn hành như sau: Như ts biết, bộ đữ Hệu TSPLIB là
một tập các ñle dữ liệu, mỗi Ble dữ liệu lưu trừ toạ độ của các điểm trên mặt phẳng hai chiều
ó thêm nhiều ñk: đữ liện với
Gọi Xze„ V„e là hoành độ và tung độ lớn nhất, Äz„ Y„„ là hoành độ và lung độ nhỏ nhất
trong mét file dit liu Goi Av— === va ay Yum Ym Ching tai chia bộ đữ liệu a n
trên thành ba nhóm khác nhau dựa trên giá trị Ax, Ay:
© Nhóm 1 với Ax, Ấy nhỏ (Ar, Ay < 3, cae dinh duge phân bổ gắn nhau),
Trang 28¢ Nhém 2 vai Ax, Aylém (Ax, Ay > 9, các đình được phân bổ thưa)
© Nhóm 3 các đính được phân bế đặc biệt (chẳng hạn, nhiều đính cách đều nhau hoặc
nằm trên một đường thẳng) Chúng tôi tạo ba nhóm flz đữ liệu tương ứng với các nhóm trong TSPLIB néi trên Trong mỗi nhỏm của TSPLIB, ta chọn ra bổn file đữ liệu làm đại diện và thực hiện trích chọn ngẫu nhiên từ 30 đến 40 đính từ các ñls đữ liệu trong nhóm đó Cu thể, nhám 1 gồm các file dit
liệu được trích chon tir øïl51, sI70, øil76 và rat195 Nhóm 2 gồm
ác Mle dit liệu được trích chon tir kroA100, kroB100, KroC100 va Bedlin52 Cuối củng, các Ble đữ liệu dược trích chơn từ tsp225, †ss225, pr76 và lin105 thuộc v3 nhóm 3 Chủ ý các số 51, 70, 76, trong tên Ale cho tiết số đỉnh trong file đứ liệu Chỉ tiết về các bộ dữ liệu được mô tả trơng Bảng Ì.l
tiỗi với những file dữ Hiệu thực nghiệm kích thước lớn, chứng ta không biết lời giải tối
ưu Vì thể để đánh giá hiệu quả của mội thuật toán, người la Thường so sánh chất lượng của
lời giải tim được với chất lượng của lời giải tốt nhất hiện biết Đỗi với các bộ đữ liệu nhỏ,
khi biết được lài giải tối tu từ các thuật toán đứng, chứng ta sử dụng tiêu chí gap., ngược lại,
trong d6, OPT la loi giải tối tu và Ứ# là lới giái cúa thuật toán lần cân gẫn nhất |40| Đôi với
bô dữ liệu nhỏ, thuật foán nào cho gap; cảng nhỏ thì lời giải của thuật toán đó cảng gân giá trí tổi ưu và công lốL Đôi với bộ đữ liệu lớn, thả thuật toàn nào cho gam; càng lớn thì càng lột, điều đó chứng tỏ chất lượng lời giải cúa thuật toán đó cảng được cái thiện được so với UB
1.6 Kết quá của luận án
Taiận án đạt được những kết quả chỉnh san đây:
«©_ Để xuất thuật toán nhánh cận dựa trên một số tiêu chuẩn cất nhánh hiệu quả Thuật toán để xuất cho phép giải các bài toán MI,P trên để thị với 40 đình (huật loáu
đúng do Wu et al [50| để xuất chí làm việc được với những đồ thị dưới 30 đỉnh)
"thời gian chạy của thuật toán đề xuất là nhanh hơn thuật toán của Wu sf aL trên
mội số file dir ligu Gm céng trình [4] trong danh mục các công trình công bổ được sử dụng trong luận án)
18
Trang 29Khảo sát thực nghiệm để đánh giá và so sánh hiệu quả của oác thuật toán gần đứng cận tý lệ trên ba khia cạnh cận lý lộ, thời gian chạy và chết lượng của cận đưới (xem công trình |3| trong danh mục cáo công trình công bố được sứ dụng trong luận án)
ĐỂ xuất thuật toán gần đúng dua tran phương pháp Snbgradient với cận tỷ lệ được dánh giá bởi fhực nghiệm là tốt hơn so với các thuật toán gần đúng cân tý lệ hiện
biết trên nhiều bộ đữ liệu (xem công trình |ố| trong danh mục các công trình cỏng
bố được sử dụng trong luận án)
Để xuâi thuật loán rnole-heuistie đựa trên lược đô của thuật toán dĩ truyền để giải
bai toàn MỸ,P Kết quả thực nghiệm cho thẩy thuậi toán dé xuất đưa ra lời giải với
cận tý lệ tốt hơn cân tỷ lệ của các thuật toán gần đúng cận tý lệ hiện biết đối với
hầu hết các bộ đữ liện (xem công trình [2] trong đan muc các công trình công bổ được sử dụng trong luận án),
Để xuất thuật toán mefa-heuistic (ACO-GA) lai ghép giữa thuật toán đi truyền
(GA) và thuật toán đàn kiến (ACO) Kết quả The nghiệm cho thây thuật toán dé xuất đưa ra lời giỏi với cận tỷ lệ tốt hơn cận tỷ lộ của các thuật loàn rnola-hetnistie
hiện biết trên nhiều bộ đữ liệu (xem công trình [5| trong danh mục các công trình
công bỗ được sử đựng trong luận án)
Để xuất thuật toản meta-heuristic đơn lời giải TS-VNS lai ghép giữa thuật toán
Tabu (TS) va thuật toán lân cận biến đổi (VNS), trong do, ede thuật toán khảo sát lân cận được tăng tôc nhở việc chỉ ra các thuật toán có độ phúc tạp thời gian hằng
số để tính đô trể của các lời giải lân cận Kết quả thực nghiêm cho thấy, đôi với các
bài toán kich thước nhỏ, thuật toan luồn cho ra lời giải tôi ưu, trong khi, đối với các
bài toán kích thước lớn, thuật toàn cho lời giải tốt hơn lời giải tim được bởi các thuật toán mela-heuristic hiện biết trên nhiều bộ dữ liệu (xem công trình [7] trong đừnh mục cáo công trình công bỗ được sử đụng trong luận án),
Các kết quả chính của luân án đã được công bố trong 7 bài báo khoa học đã được đăng lại các tạp chí khoa học chuyên ngành quốc gia và quố tế và các hội thie Khoa hoe chuyên ngành quốc tế
Trang 301.7 Cầu trúc của luận án
Luận án được trình bày trong bén chương và phần kết luận:
© Chwong 1 giới thiệu bai toán MLP, nêu các đmg đựng của bài toán MLP trong thục
tế, các hướng tiếp cận giải bài toán và các nghiên cứu liên quan Phản cuỗi chương
1 đảnh cho việc trình bảy về phạm ví nghiên cửa, dữ liệu thực nghiệm và những đóng góp của luận ám
Chương 3 trình bày các kết quả nghiền cứu theo hướng tiếp cân gần đứng cận lý
lệ Đầu tiên, tình bày khảo sát thực nghiệm về hiệu quả của các thuật toàn gẫn đúng cặn tỷ lệ giải bài toán MLP Các kết quả thực nghiệm trên bộ dữ liệu chuẩn là
cơ sở để đua ra các á đảnh giá và so sảnh về hiệu mà giữa các thuật loán trên ba khía
cạnh: cận tỷ lệ thực nghiệm, thời gian chạy và chất lượng cân dưới Sau do, tinh bày thuật toán đựa trên phương pháp Subgradient Cơ sở lý thuyết được sử dụng
đánh gia và so sánh với câu
di truyền và thuật toản dàn kiến Cuối củng, trình bày về thuật toán lai gháp giữa thuật oan Tabu va thuật toán lận cận biển đổi để giải bài toán MLP Chương nay
kết thúc bởi phân trình bày các kết quả thực nghiệm, đảnh giá và sơ sônh với các
thuật toán mela-heurisuo hiện biết
«_ Cuỗi củng, phần kết luận đánh giả những kết quả thu được trong luận án
20
Trang 31CHƯƠNG 2
THUAT TOAN NHANH CAN
Hiện nay, hai thuật toán theo hướng tiếp cận đứng đã được đề xuất Trong |49], Wu đã trình
bảy thuật toán quy hoạch đông giải bài toán MLP trong trường hợp tổng quái với đô phức tạp
thời gian bùng nỗ lỗ hợp San đó, Wu cú áÌ [59] phát triển thuật toán kết hợp phương pháp
nhánh cân và quy hoạch đảng, Các kết quả thực nghiệm clủ za rằng thuật loán sau khi phát triển hiệu quả hơn thuật toán trước Tuy nhiên, thuật toán này cũng chỉ được thực nghiệm trên các file đữ liêu nhỏ (ít hơn 30 đính) Bởi vậy, hiệu quả của thuật toán trên các file đữ liệu
có kích thước lớn hơn clưa được xem xét Trong chương này, chúng tôi trình bảy thuật toán dua trên phương pháp nhánh cận và hai tiêu chuẩn cất nhánh, Hiểu quả của thuật toán được đánh giá trên các bộ đứ liệu ngẫu nhiên và bộ dữ liệu thực Kết quả thực nghiệm cũng được
so sánh với kết quả của thuật toán Wu et al trên một số file đữ liệu
Tiện tại, lời giất tôi tru bài loán MT,P Hên nhiều bộ đữ liệu chưa được công bỗ Do đó, việc dảnh giả một cảch chỉnh xác hiệu quả của các thuật toán giải bái toán MLP trên các bộ
đữ liệu như vậy gặp nhiều khó khăn Chúng tôi sứ dụng thuật toán đứng để thu được lời giải tối ưu bài toán MLP cho một số fila dừ liệu kich thước nhỏ Nhờ có lời giải tối tu, chímg tôi
có (hể đánh giả ruột cách chỉnh xắc hiệu quả của các thuật toán gần đúng trên các bộ đữ iậu
này
Trang 322.1 Thuật toán của Wu et al
Hiện nay, hai thuật toán theo hướng tiếp cặn đứng đã được đề xuất Trong [40], Wu đã trình bay thuật toán quy hoạch động giải bài toán MLP trong trường hợp tổng quất với độ phức tap
thời gian bùng nế tổ hợp Sau đó, Wu et aL [50] đã phát triển thuật toán đúng bằng việc kết
hợp kỹ thuật nhánh cận và phương pháp quy hoạch động Để xây đựng thuật toàn, Wu et al
dưa rà muội số khải niệm sau:
«Hành bình bắt kỳ P = vị, , với È < nút là số lượng đỉnh trong để th) được gọi la hành tranh bộ phân, ngược lại, nếu & _ø thủ hành trỉnhP dược gọi là hành trình đẩy đủ Tập các định trong ? được xảo dinh boi ME) = {vu, vs vs
« Gợi PP) là đô dài của hành trình P và được tính như sau: cứu, v.) + (vs, vi}
26a)
+ elven, ve) š
«Giá sử J4 =ui, vy, , vụ và Dạ = vý thái, ., vụ lẩn lượi là các hành trình bộ phận
trên G, trong đỏ đỉnh cuối trong ?\ lả dinh dầu tiên trong Pạ Khi dỏ, hành trình P›
= vs, ., tự ta, ., mị là một hành trình ghép nổi của hai hành trình P¡ và Pa (ki higu Py || Po
«Hàm chỉ phí: Cho P 1 một hành trình trên G, harm chi phi được dink ugha la: o(P)
LP) + (nv - FP Yew(P) Khi P 1a mot hành trình đầy đủ thí cŒ) LŒ), Như vậy, hàm chỉ phi khéng chi phu thnéc vao anh trinh # ma con phu thnide vào các đình chưa được thăm
«_ Cho hai hành trình P, P› có cùng một edu hink, Cho
ta không cân tiếp tục phát triển phương án bộ phận nay bai Tiểu tiếp tục phát triển sẽ không đưa rà được lời giải tôi wu Néu chúng Is tra được một hành trình đây đủ có chỉ phí nhỏ len
so với [J# hiện tại thì chúng ta cập nhập ỨB bằng chỉ phi của hành trình đó Treng khi đỏ, cân đưới 1 được tính như sau
2
Trang 33Thuậi toản 2.1 Thuật toán dùng của WU ef aL [S0]
Dâu vào: Đỗ thị G =(, 1) và 2 = {v}
au ra: [anh trình có độ trễ nhỏ nhất
2 Khéi dau Q, va chen P vio trong Q,;
4'0, là đanh sách kết nổi AB lara brit cd
do, Y =P || Py la duong di day đủ va ¥ =V@)= F-FP), » = |P | Với 1<
ads, ¥) — WP) + der, v) > w(P) + rẫy, và (heo tính chất bất đẳng thức tam giác) Vậy nên,
2.2 Lược đồ thuật toán đề xuất
Giả str, T= (vy, vs ¥3, , vo là một hành trình MILP, Trong công thức tính tổng đô trể của 7,
ta nhận thấy rằng chỉ phi của các cạnh (wì, ), (s, và, ., vi, và) lấn lượt được nhân với
Trang 34trọng số (— 1), @w— 2), 1 Do đó, công thức tính tổng độ trễ của hành trình 7 có thể viết lại như sau:
„1 +ữ)= 3œ E0)
mi
Ký hiện # = (vị, », ., 2) la day dinh trade ota 7 va B= (ves, ven, ., va) là đấy đỉnh sau
của 7 Sau đây, chúng tôi đưa ra ba định lý là cơ sở để xây đựng (huật toán nhánh cận
Định lý 2.1 Giả sử, 7= Ớn, v3, trì, vạ, , vụ) là hành trình MLP tôi ưu Khi đó, nêu điều Kiện san diy:
FPO VIP Oa, va) MPO ve)
được thỏa mãn, thi 1P(, 14) là đô đài đường di ngắn nhất từ sự; đến sị
Chứng mình Giả sử ÍP( +, 92) > HỘ -, và, với mộx ì, và là độ đâi đường đã ngắn nhàit từ
dinhyye 7 VXE(Œ+l <g<n) và một chỉ số / (1 <7 < 4) sao cho điều kiện sau
được thỏa mãn, thì / không thể mở rộng đẫn lời giải tối tru
1 Ves vi, Vets > Yn) là hành trình MỊ,P tôi ưu
Tả có # — ỨN, V3, có tà Vài, vỘ Về Ö — Ô % b vaa, „ 0), Chến tạ (p — &+ 2) c8 vào giữa
GŒ vzÐ €7, ta thủ được hành trình 7" = (i, te vị,
trễ của 7 và 7" được tỉnh như sau:
Trang 35L0 Bút eaÖS (— 7B, V.}4 ẤP JS 1e, va)
L Sớn & De0via) Lắt & 260, wvu)+ 3) EM)
Dat AP =L(1) —L(2, ta 06:
AT = (Delp von) ~ (2 flee, Yas) — =F — ones ty) + elder Hed + ele, Ys) +
+ e0, W l) TU Xe mi, v3) tứt K 2)eOm2 Vi) GHA DeCen, ve 2
Theo bắt đẳng thúc lam giác,
Ấn Ä 1€, vea) Tín k 2)£fÖa, vea) ứP K 2)eVen, ve) > 0,
'Nếu điều kiện (2.1) thỏa mãn, thi A7 > 0 Điêu này cho thấy 7 không phải là lời giải tai ưu và trái với gi thiết về tính tôi ưu của 7 Chứng mình tương tự cho trường hợp khi p # k 1 2
Định tý dược chứng minh
Định lý 2.3 Gợi Ƒ = (vì, và, vai, 12) là hành trình bộ phận cấp & Nếu tìm được đính
+ Ƒ =EvF (I1 <<) và một chỉ số 7 (1 <:ÿ < #) sao cho thực hiện điều kiện sau đây
Ga —AeOy, vài) + LP Oya, we) = Oe, yp) > Gedy, vp) + Tử — DcÖp và) (2.3)
thoa min thi #’ khéng thé mo réng dén loi giai téi wa
Chứng mình Gọi 7 = vị, V›, 9ý tựe:, Vụ, Mại, Ysa, Wyo 14 hanh fink MLP Gi mu Ta
dó E =ÚN, Và #„ Vị, MỘ và B = (Sen, Vaa, 5 Va) Chin vy (p= k+ 2) © B vao gitia Cy, yy) CF, ta thu được hành trinh 7" (vụ, và, v; Yp, Wry na Mhy Vests Ve 3p Meia, ụ và), Theo (2.2), ta 06:
AT = (1 — felyp, Yr) — (2 — Ale, Vers) — GF — ite Yan) +P (ye, 1) + Cv, Va) +
ete, vet (nk DeWenve dG k Delve a, vas) Ge & DHetwer, vers)
‘lit bat dang thie tam gic, suy ra
4 (nk Del ven, Vers) + (i —k— 2e(vi-s, Vers) 2 G2 — B— Deven, vies)
va
Cig Yet) + CVn ¥in2) 2 (Vs Vera)
Do đó
AT 2 (fel, Yer) | Lar, WD) | clve, vase) — Ge — Poly, v9) — 0a — Velo, va
ếu điều kiện (2.3) thỏa mãn, thí A7 > 0, và tử đó suy ra 7 không phải là lời giải tôi wu va
điều này là trải với giả thiết Chứng mình hoàn toàn tương tự cho trường hop p 4 4+ 2 Dinh
lý được chứng mình
tiếp theo, dựa trên các tiêu chuẩn cắt nhánh trong các định lý vừa chứng mình, chứng tôi trình bảy thuật toán nhánh cận để giải bài toán MI.P Mã giả của thuật tuân được trình bày
Trang 36Thuậi toan 2.2 Thual (oan nhanh can
Dau vao: Dinh xuat phat vị
Đầu ra: Hành trình tôi tru MLP 7
Thuit toán 2.3 Try Gk KPO OD), LED
Dau vio: w là đỉnh ở vị trí thir & trong banh tink, APC, ø)) là do dai duong Gi tiv, dina trên # và /(!) là đô trể của hành trình bộ phận #
18 F-F «vy, /! bé sung dinh v vao hanh trinh bé phan F
19 Try, + 1, /PÓn, 49) + cứu, v), LỰO + MP „ g)) + clu, v),
20 F=F \y; (Moai bé vra khdi hành trình bộ phần F
tạo tử thuật toán lân cân gần nhật |37| hay thuật toán ACO-GA trong Chương 4 Tiếp theo,
thuật toán gọi thủ tục đệ quy Thuật toán 2.3 Trong thủ tục này, hành trình bộ phận Z sẽ bị cắt nhánh nêu độ trễ của nó là 7.) không nhỏ hơn ỨØ Ngược lại, cận dưới của F (8) sẽ
due tinh va néu LB Ién hon UB, thí hành trình bộ phân Z bị cắt nhánh Rõ rằng hiệu quả của
26
Trang 37Thuật toàn 2.4 PraningRules (F, v)
Dau vio: (1 lin lwot Ja hanb tinh bé phan thir k và một đinh ở vị trí thứ k trong hành trình Dau ra: pruned la tue hodc false
break,
u wy = (P+ I], lasi)):/i# Jase trả về đình cuỗi trong hank winh #
12 IE (G01 14 oxF dast, v) > we ws) then
< o(e,) Chi F = (v1, v2, , HỘ, Ly) là độ trể của đính thứ ¿ và z9, va) Van Tot là độ đài đường đi ngắn nhất từ vị ; đến vụ Khí đố ti K, là một đồ thị đây đủ
= Ly) | lve vad | elven, vee)
= IPO, wW)+e +e
Tv) = Ey) TL mibves ea) 4 rile vera) anna Yd
2 WP ww) tartent + ene
Trang 38Suy ra,
> LE) + GBP Or, va) — Gr )xet + (n— k— Dyer to Fee 2.4)
Từ Q.4),
uĩ được hàn ước lượng cho cận đưới sau:
Xgồi ma, khi một đỉnh mới được bỗ sung vào Z, tiêu chuẩn cắt nhánh trong Định lý
2.2 và 2.3 sẽ được áp dụng theo Thuật tốn 2.4 Nếu một trong hai tiêu chuẩn cắt nhánh
được thỏa mãn, thì # bị cất nhành Các biển tồn cục được khai báo trong Fhuật fốn 2.2 gồm UB, K, va Cy Trong lất cả các thủ tục, mỗi hành trình được biểu điễn bằng một đành sách „ đình T— (tụ, vs, vụ vị), với vụ là định thử & trong đanh sách
Độ phức lạp thời gian tới nhất của thuật lộn đứng dễ xuất là Oữu) trong trường hợp khi các kỹ thuật cắt nhánh để xuất khơng thể tu hẹp khơng gian lời giải của bài tồn Bây
giờ, chúng ta tiến hành so sánh thời gian chạy của thuật tốn đề
với thuật toan cia Wu et
al [49, 50] Trong cng tinh cha Wu et al, [49], (hudl loan thời cĩ độ phức tạp thời gian O(n") là qui hoạch động khơng sử đụng được bất cứ thơng tin về cần dudi va can trén va phải chay đền tân cùng mới cho lời giải Vì thể, Wu et aL [S0] cũng đã đề xuất cải biên thuật tốn, trong đĩ áp đụng kỹ thuật cắt nhánh để giãm bớt khỏi lượng tính tốn Thuật tốn trong trường hợp cái biên này cĩ độ phức tạp thời gian là O027), trong dỏ 7 lá số lượng hành trình
mà thuật tốn phải duyệt, mà trong tình huống tơi nhất khi 7'= ø! Như vậy, độ phức tạp thuật
tỉnh cả nhân cỏ cùng cấu hình véi may tink ma Wu et al di st dung 18 intel pentiwn 2.4Ghz
va Ram 256 MB Dữ liệu đầu vào bao gồm ba bộ đữ liệu ngẫu nhiên và một bộ dữ liệu thực Trongr các thực nghiệm, thuật lốn được thực thì với hai cận trồn: Cận trên 7Ø, được tạu bối
thuật tốn lên cận gầu nhất [37], trong khi cận trên UR duce kyo ra bởi thuật tốn ACO-GA
28
Trang 39© Bộ dứ liệu ngẫu 'Bồ dữ liệu ngẫu
Hình 2 1 Thời gian chạy trung bình các ñle dữ liệu @= 30) trong các bộ đữ liêu
Hình 2 2 Thời gian chạy trung bình các file đữ liệu (ø = 35) trong các bộ dữ liêu
Bộ dữ liệ iu Bộ dữ liệu ngẫu -
nhiên e nhiên 2 Bộ dữ liệu thực 2
Hình 2 3 Thời gian chay trung binh các ñle đữ liệu (» = 40) trong các bộ đữ liệu
Trang 40Hình 2 6 Thời gian chạy trung bình các file dữ liệu nhỏ trong bộ dữ liệu thực 2
(xem chỉ tiết trong chương 4) Chúng tôi cũng sử dụng kết quả thực nghiệm để so sánh với
kết quả thực nghiệm của Wu et al [50]
Ký hiệu EA; và EA› là thuật toán đề xuất với cân trên lần lượt lả U/B; và UB› và BA
là thuật toán của Wu et al [50] Từ Bảng 2.1 đến 2.5, cột 1 và 2 lưu trữ thông tin về các file
dữ liệu và kich thước của chúng; cột 3 là giả trị tôi ưu (Ø7); cột 4 và 5 tương ứng với lời
giải và thời gian chay của thuật toán EA; và EA: Thời gian chạy 7 của các thuật toán từ
Bảng 2.1 đến 2.3 tính theo phút, trong khi, từ Bảng 2.4 đến 2.6 thì tỉnh theo giây Thời gian chạy của thuật toán BA trong Bảng 2.6 được lây từ kết quả thực nghiệm trong [50]
2.3.1 Thực nghiệm bộ dữ liệu ngẫu nhiên
Ba bộ dữ liệu ngấu nhiên gồm các file dữ liệu Euelidean vả phí Euelidean được lây tử các bộ
dữ liệu ngẫu nhiên từ 1 đến 3 Riêng bộ dữ liệu ngẫu nhiên 3, chúng tôi chọn các ñle dữ liệu
có số đỉnh ø = 10 và 20 Mỗi ñle dữ liệu được chạy 10 lần và kết quả được hiện thị từ Bảng 2.1 đến 2.4 là kết quả trung bình của 10 lần chạy Hình 2.1 đến 2.4 là thời gian chay trung
bình của thuật toán trong mỗi bộ dữ liệu
Tir Hinh 2.1 dén 2.4, ching tối thây rằng với cân trên tốt hơn, thì thuật toán cắt nhánh
30
