Lớp 10: Chuyên đề 4.1: Bất phương trình bậc hai một ẩn

Câu hỏi – Trả lời đúng/sai

ằ Cõu 23 Cho đồ thị hàm số bậc hai y  f x   và y  g x   Khi đú:

(a) Đồ thị hàm số y  f x   cắt trục hoành tại hai điểm (2 0; ) và ( ; )2 0

(b) Đồ thị hàm số y  g x   cắt trục hoành tại hai điểm ( ; ) và 3 0 ( ; )4 0

Tam thức bậc hai f x   có bảng xét dấu:

(b) Bảng xét dấu của biểu thức là:

 ;   ;  x thì f x    0 ằ Cõu 25 Cho biểu thức   2

Bảng xét dấu của biểu thức là:

S ằ Cõu 28 Cho phương trỡnh mx 2   4 m  1  x  4 m   2 0   1 với m là tham số

(a) Phương trình   1 có 2 nghiệm trái dấu khi và chỉ khi 1

(b) Không tồn tại giá trị m để phương trình   1 có 2 nghiệm âm

(c) Phương trình   1 có 2 nghiệm x x 1 , 2 thỏa x 1  1 x 2 khi   2 m 0

(d) Phương trình   1 có 2 nghiệm x x 1 , 2 thỏa x 1 x 2 3 khi

Câu hỏi – Trả lời ngắn

ằ Cõu 29 Cú bao nhiờu giỏ trị nguyờn dương của tham số m sao cho:   x 2 2  m  1  x m  2   m 0 với mọi x

 Điền đáp số: ằ Cõu 30 Tập nghiệm của bất phương trỡnh:  x 2  3 x  2    x 2 5 x  6   0 cú bao nhiờu giỏ trị nguyên?

 Điền đáp số: ằ Cõu 31 Cú bao nhiờu giỏ trị nguyờn dương của tham số m 0 10;  để phương trỡnh

2  1 3  5 0 x m x m có hai nghiệm phân biệt

 Điền đáp số: ằ Cõu 32 Cú bao nhiờu giỏ trị nguyờn của tham số m  10 10;  để phương trỡnh

  x x m  m  có hai nghiệm trái dấu

 Điền đáp số: ằ Cõu 33 Cú bao nhiờu giỏ trị nguyờn của tham số m để hàm số

 (  )  y x m x có tập xác định là

Bộ phận nghiên cứu thị trường của doanh nghiệp xác định tổng chi phí sản xuất Q sản phẩm theo công thức: \(Q^2 + 300Q + 200.000\) nghìn đồng Giá bán mỗi sản phẩm ra thị trường là một yếu tố quan trọng để xác định lợi nhuận và chiến lược kinh doanh của doanh nghiệp Phân tích chi phí và giá bán giúp doanh nghiệp tối ưu hóa sản xuất, tăng lợi nhuận và cạnh tranh trên thị trường.

1200 nghìn đồng Gọi a;b lần lượt là số sản phẩm tối thiểu và tối đa mà xí nghiệp cần sản xuất để không bị lỗ Tính S a b  

 Điền đáp số: ằ Cõu 35 Cú bao nhiờu giỏ trị nguyờn dương của tham số m để: f x     m  1  x 2  2  m  1  x m   3 không dương với mọi x

Quả bóng búng từ mặt đất và đạt chiều cao tối đa là 21 mét sau 3 giây, theo một hàm số bậc hai theo thời gian t Sau khi đạt đỉnh, quả bóng bắt đầu rơi xuống và vẫn duy trì độ cao trên 10 mét so với mặt đất Thời điểm tối đa của t để quả bóng vẫn còn trên 10 mét là khi quả bóng còn chưa rơi xuống dưới mốc này, tức là trước hoặc tại thời điểm nó duy trì độ cao trên 10 mét, tính đến thời điểm rơi xuống thấp hơn.

 Điền đáp số: ằ Cõu 37 Cú bao nhiờu giỏ trị nguyờn của tham số m  10 10;  để hệ bất phương trỡnh sau cú nghiệm:

2( 2) 8  1 0 x m x m có hai nghiệm phân biệt

 Điền đáp số: ằ Cõu 39 Tổng chi phớ P (đơn vị: nghỡn đồng) để sản xuất x sản phẩm được cho bởi biểu thức

Giá bán của một sản phẩm là 170 nghìn đồng, và nhà sản xuất cần xác định số lượng tối thiểu (a) và tối đa (b) để không bị lỗ Để đảm bảo lợi nhuận, nhà sản xuất phải tính toán số lượng sản phẩm phù hợp, trong đó tổng sản phẩm sản xuất từ a đến b sẽ tạo ra doanh thu đủ trang trải chi phí và đạt lợi nhuận mong muốn Tìm giá trị của tổng S = a + b nhằm xác định phạm vi sản xuất tối thiểu và tối đa phù hợp với điều kiện không lỗ, giả sử tất cả các sản phẩm đều được bán hết.

Trong bài tập này, chúng ta cần xác định số các giá trị nguyên của biến x để diện tích của khung hình chữ nhật tăng lên sau khi uốn Ban đầu, khung có kích thước 30 cm x 20 cm, sau khi uốn, kích thước mới là (30 - x) cm và (20 + x) cm Diện tích ban đầu của khung là 30 × 20 = 600 cm², còn diện tích sau khi uốn là (30 - x)(20 + x) Để diện tích tăng lên, ta xét phương trình (30 - x)(20 + x) > 600 Nhờ đó, ta xác định khoảng giá trị của x trong đoạn (a, b), trong đó tất cả các giá trị nguyên của x thỏa mãn điều kiện đã cho.

 Điền đáp số: ằ Cõu 43 Cho phương trỡnh x 4  2 x 2    2 m 0 1   Cú bao nhiờu giỏ trị nguyờn õm của tham số m để phương trình   1 phương trình có đúng 2 nghiệm

 Điền đáp số: ằ Cõu 44 Cú bao nhiờu giỏ trị nguyờn của tham số m để bất phương trỡnh

  x x x mx nghiệm đúng với mọi x

 Điền đáp số: ằ Cõu 45 Cú bao nhiờu giỏ trị nguyờn của tham số m    20 20 ;  để x 2  2 x   1 m 2  0 nghiệm đỳng với mọi x[ ; ]1 2

 Điền đáp số: ằ Cõu 46 Tớnh tổng cỏc giỏ trị nguyờn của tham số m để hàm số y (m10)x 2 2(m2)x1 cú tập xác định D

1 Bất phương trình bậc hai

2 Giải bất phương trình bậc hai

3 Phương trình dạng ax 2 bx c  dx 2 ex f

BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI & PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI A Lý thuyết 1 Bất phương trình bậc hai

Phương trình dạng ax 2  bx c   dx 2  ex  f

BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Bài 2

& PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Lý thuyết Định nghĩa ằ Bất phương trỡnh bậc hai ẩn là bất phương trỡnh dạng

Trong đó là những số thực đã cho,

Giải bất phương trình bậc hai ằ là tỡm cỏc khoảng mà trong đú cú d ấ u khụng õm

Trong thống kê, khoảng tin cậy là các khoảng mà trong đó chứa đựng tham số thực tế với xác suất nhất định, thường là lớn hơn hoặc bằng 0 Các khoảng này được xác định dựa trên dữ liệu mẫu để ước lượng các tham số của tổng thể Khoảng này giúp cung cấp một phạm vi an toàn để đưa ra các dự đoán hoặc kết luận về tổng thể dựa trên dữ liệu mẫu Việc xác định các khoảng có thể chứa các giá trị dương hoặc không dương nhằm đảm bảo độ chính xác và độ tin cậy của các phân tích thống kê Chúng ta thực hiện các bước tính toán để xác định các khoảng này, từ đó hỗ trợ đưa ra các quyết định dựa trên dữ liệu một cách chính xác và tin cậy hơn.

▪ Bướ c 1: Bình phương hai vế, rút gọn rồi giải phương trình bậc 2 hoặc bậc nhất

▪ Bướ c 2: Thử lại các giá trị tìm được có thỏa phương trình ban đầu hay không?

Sau đó kết luận nghiệm

Phương trình dạng ax 2  bx c   dx e

▪ Bướ c 2: Thử lại các giá trị tìm được có thỏa phương trình ban đầu hay không?

Sau đó kết luận nghiệm

Một số dạng phương trình chứa ẩn dưới dấu căn khác

Nếu phương trình có dạng bình phương của hai vế, ta có thể biến đổi thành phương trình tương đương Sau đó, đưa phương trình về dạng chuẩn để dễ dàng giải quyết Tiếp theo, bình phương hai vế của phương trình, tìm nghiệm rồi thử lại để chọn nghiệm đúng Việc này giúp xác định chính xác nghiệm của phương trình và đảm bảo tính chính xác của kết quả.

⑷ ằ Lập phương hai vế ta được: ằ Sau đú thay thế: vào phương trỡnh, ta được:

Chú ý: sự thay thế này có thể dẫn đến nghiệm ngoại lai, vì vậy phải thử lại nghiệm

 D ạ ng 1 Giải bất phương trình bậc hai

Các dạng bài tập ằ Để giải bất phương trỡnh bậc hai ta dựa vào việc xột d ấ u tam th ứ c b ậ c hai

Bước 1 Xét dấu tam thức bậc hai ở vế trái

Bước 2 Chọn những giá trị của làm cho vế trái dương hoặc âm tùy theo chiều của bất phương trình

Giải các bất phương trình sau:

 D ạ ng 2 Tìm tham số để tam thức bậc hai luôn âm – dương

Cho tam thức bậc hai Đặt ằ ằ ằ ằ ằ vụ nghiệm ằ vụ nghiệm ằ vụ nghiệm ằ vụ nghiệm

⁂ Lưu ý: Khi giải bất phương trình mà chứa tham số , thì xét 2 trường hợp : ằ Trườ ng h ợ p 1: hệ số ằ Trườ ng h ợ p 2: hệ số

Với giá trị nào của thì

Tìm giá trị của tham số để các biểu thức sau đây luôn dương với mọi

 D ạ ng 3 Giải phương trình quy về phương trình bậc hai

▪ Bướ c 2: Thử lại các giá trị tìm được có thỏa phương trình ban đầu hay không? Sau đó kết luận nghiệm

A Câu h ỏ i – Tr ả l ờ i tr ắ c nghi ệ m ằ Cõu 1 Gọi S là tập nghiệm của bất phương trỡnh x 2 8x 7 0 Trong cỏc tập hợp sau, tập nào không là tập con của S?

A    ; 0 B    6 ;  C    8 ;  D     ; 1 ằ Cõu 2 Tập nghiệm của bất phương trỡnh 2x 2 14x200 là

C S    2 5 ; D S     2 5 ;  ằ Cõu 3 Tập nghiệm của bất phương trỡnh x 2 25 0 là

C   5 x 5 D S      ; 5   5 ;   ằ Cõu 4 Tập nghiệm của bất phương trỡnh x 2 3x 2 0 là

A   1 2 ; B   ; 1    2 ;    C  ; 1  D  2 ;   ằ Cõu 5 Tập nghiệm S của bất phương trỡnh x 2   x 6 0

C 3 2;  D     ; 3     2 ;   ằ Cõu 6 Bất phương trỡnh  x 2 2x 3 0 cú tập nghiệm là

A     ; 1   3 ;   B   1 3 ;  C    1 3 ;   D   3 1 ;  ằ Cõu 7 Tập xỏc định của hàm số y  x 2 2x3 là:

C 1 3;  D     ; 1     3 ;   ằ Cõu 8 Tập nghiệm của bất phương trỡnh    x 2 x 12 0 là

   y x x x có tập xác định là

C    ; 3    3 ;     \     7 4 D    ; 3     3 ; 7 4    ằ Cõu 10 Tỡm tập xỏc định của hàm số y 2x 2 5x2

 ;  ằ Cõu 11 Tập nghiệm của bất phương trỡnh x 4 5x 2  4 0 là

Luyện tập ằ Cõu 12 Giải bất phương trỡnh x x   5   2  x  2 

A x1 B 1 x 4 C x    ; 1      4 ;   D x  4 ằ Cõu 13 Gọi S là tập nghiệm của bất phương trỡnh

 x x x Khi đó S    2 2 ;  là tập nào sau đây?

A    2 ; 1  B   1 2 ;  C  D     2 ; 1 ằ Cõu 14 Tập nghiệm S của bất phương trỡnh

A Hai khoảng B Một khoảng và một đoạn

C Hai khoảng và một đoạn D Ba khoảng ằ Cõu 15 Tập nghiệm của phương trỡnh 2x  1 2 x là:

A S    1 5 ; B S    1 C S    5 D S    2 3 ; ằ Cõu 16 Tập nghiệm của phương trỡnh 2x   1 x 2 5 là

A S    1 5 ; B S    1 C S    5 D S  . ằ Cõu 17 Số nghiệm của phương trỡnh 4 3 x 2 2x1là:

A 0 B 1 C 2 D 3. ằ Cõu 18 Số nghiệm của phương trỡnh  x  3  4  x 2  x 2  4 x  3 là:

A 0 B 1 C 2 D 3. ằ Cõu 19 Tổng cỏc nghiệm của phương trỡnh  x  1  10  x 2  x 2  3 x  2 là:

A 4 B 1 C 2 D 3. ằ Cõu 20 Tập nghiệm S của phương trỡnh 2x  3 x 3 là

A S  B S    2 C S    6 2 ; D S    6 ằ Cõu 21 Tỡm số giao điểm giữa đồ thị hàm số y 3x4 và đường thẳng y x 3

A 2 giao điểm B 4 giao điểm C 3 giao điểm D 1 giao điểm ằ Cõu 22 Tổng cỏc nghiệm (nếu cú) của phương trỡnh: 2x  1 x 2 bằng:

A 6 B 1 C 5 D 2 ằ Cõu 23 Số nghiệm của phương trỡnh 3x 2 x là

A 2 B 1 C 3 D 0 ằ Cõu 24 Nghiệm của phương trỡnh 5x  6 x 6bằng

A 15 B 6 C 2 và 15 D 2 ằ Cõu 25 Tớch cỏc nghiệm của phương trỡnh x 2   x 1 x 2  x 1 là

A 3 B 3 C 1 D 0 ằ Cõu 26 Số nghiệm của phương trỡnh  x  2  2 x   7 x 2  4 bằng:

A 1 B 2 C 3 D 0 ằ Cõu 27 Tập nghiệm của phương trỡnh 3 x x2 là

S ằ Cõu 28 sSố nghiệm của phương trỡnh x 2 2x 5 x 2 2x3là

A 2 B 3 C 1 D 0 ằ Cõu 29   3 1; là tập xỏc định của phương trỡnh nào sau đõy? 

C      x 2 x 6 x 2 3x4 D 1    x x 2 x 6 ằ Cõu 30 Số nghiệm của phương trỡnh 3x 1 2 x 1 là

A 3 B 0 C 1 D 2 ằ Cõu 31 Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của tham số m để phương trỡnh x 2 mx 4 0 cú nghiệm

C m 2 hay m2 D   2 m 2 ằ Cõu 32 Tỡm m để phương trỡnh   x 2 2  m  1  x m    3 0 cú hai nghiệm phõn biệt

A   1 2 ;  B     ; 1   2 ;   C    1 2 ;   D     ; 1     2 ;   ằ Cõu 33 Giỏ trị nào của m thỡ phương trỡnh  m  3  x 2   m  3   x  m   1  0   1 cú hai nghiệm phân biệt?

 ;  m ằ Cõu 34 Phương trỡnh  m 2  4  x 2  2  m  2  x   3 0 vụ nghiệm khi và chỉ khi

m m ằ Cõu 35 Cỏc giỏ trị m để tam thức f x    x 2   m  2  x  8 m  1 đổi dấu 2 lần là

C 0 m 28 D m0. ằ Cõu 36 Xỏc định m để phương trỡnh mx 3  x 2 2x8m0 cú ba nghiệm phõn biệt lớn hơn 1

7 m D m0 ằ Cõu 37 Phương trỡnh 2 x 2   m 2   m 1  x  2 m 2  3 m   5 0 cú hai nghiệm phõn biệt trỏi dấu khi và chỉ khi

  m ằ Cõu 38 Tỡm giỏ trị thực của tham số m để phương trỡnh  m  1  x 2  2 mx m    2 0 cú hai nghiệm phân biệt x x 1 , 2 khác 0 thỏa mãn

C 2 m 6 D   2 m 6. ằ Cõu 39 Tam thức f x    x 2  2  m  1  x m  2  3 m  4 khụng õm với mọi giỏ trị của x khi

A m3 B m3 C m 3 D m3 ằ Cõu 40 Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của tham số m để bất phương trỡnh 2 2 5

  x x x mx nghiệm đúng với mọi x

C m      ; 2     2 ;   D m     2 2 ;   ằ Cõu 41 Cú bao nhiờu giỏ trị nguyờn của tham số m để hàm số y x 2 2mx2m3 cú tập xỏc định là

A 4 B 6 C 3 D 5 ằ Cõu 42 Cho hàm số f x      x 2 2  m  1  x  2 m  1 Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của tham số m để

A   3 m 6 B   3 m 6 C m 3 D m6. ằ Cõu 44 Cho phương trỡnh 2x 2 6x m  x 1 Tỡm m để phương trỡnh cú một nghiệm duy nhất

A m4 B 4 m 5 C 3 m 4 D m4 ằ Cõu 45 Tỡm m để phương trỡnh 2x 2  x 2m x 2 cú nghiệm Đỏp số nào sau đõy đỳng?

  8 m ằ Cõu 46 Tập hợp cỏc giỏ trị thực của tham số m để phương trỡnh x 2 2x2m 2x1 cú hai nghiệm phân biệt là S   a b ;   Khi đó giá trị P a b là

3 ằ Cõu 47 Tỡm m để phương trỡnh  5 m 2  2 m    2 m 1   x  1  3  x 2    x 3 0 cú ớt nhất một nghiệm thuộc khoảng   1 0 ; , ta được điều kiện m  a b;  Giá trị của biểu thức P a  2 2b bằng

A P10 B P12 C P20 D P15 ằ Cõu 48 Phương trỡnh 3 x   1 x   1 m x 2   1  cú nghiệm thỡ m    a b ;  \   0 , tớnh giỏ trị của

A 0 B 3 C 2 D 4. ằ Cõu 49 Tỡm m để phương trỡnh 2x 2 2x2m  x 2 cú nghiệm

A m1 B m    1 ;  C m  2 D m  2 ằ Cõu 50 Cho phương trỡnh x 2 8x m 2x1 Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của tham số để phương trỡnh đã cho vô nghiệm

 ;  m ằ Cõu 51 Số cỏc giỏ trị nguyờn của m để phương trỡnh x 2 2x m  1 2x1 cú hai nghiệm phõn biệt là

B Câu h ỏ i – Tr ả l ờ i đúng/sai ằ Cõu 52 Cho phương trỡnh 2 x 2      x 3 x 5   * Khi đú:

(a) Bình phương 2 vế của phương trình ta được x 2 9x220

(b) Phương trình 2x 2     x 3 x 5và phương trình x 2 9x220 có chung tập nghiệm

(c) x11;x 2 là nghiệm của phương trình (*)

(d) Tập nghiệm của phương trình (*) là S  ằ Cõu 53 Cho phương trỡnh x 2 2x 4 2x (*) Khi đú:

(b) Bình phương 2 vế phương trình (*) ta được x 2 3x 1 0

(c) Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt

(d) Các nghiệm của phương trình (*) thuộc ằ Cõu 54 Cho 2 phương trỡnh 5 x  10   8 x   1 và 3 x 2  9 x    1 x 2 2   Khi đú:

(c) Phương trình (1) và (2) có chung tập nghiệm

(d) Tổng các nghiệm của phương trình (1) và (2) bằng 6 ằ Cõu 55 Cho phương trỡnh (x2) 2x 2  4 x 2 4 Khi đú:

(c) Tổng các nghiệm của phương trình bằng 5

(d) Các nghiệm của phương trình là các số chẵn ằ Cõu 56 Cho phương trỡnh x 2 2x  3 2x 2  5 0 (3) Khi đú:

(a) Bình phương hai vế phương trình (3), ta được: 2x 2 2x 3 0

(b) Phương trình (3) có chung tập nghiệm với phương trình

(c) Phương trình (3) có một nghiệm

(d) Phương trình (3) có các nghiệm là các số nguyên âm ằ Cõu 57 Cho phương trỡnh 3x  2 1 x7 (1) Khi đú:

(b) Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt

(c) Phương trình (1) có chung tập nghiệm với phương trình  x  9  2  0

(d) Tổng các nghiệm của phương trình (1) bằng 11 ằ Cõu 58 Cho phương trỡnh (x2) 2x 7 x 2 4 (3) Khi đú:

(c) Tổng các nghiệm của phương trình (3) bằng 3

(d) Các nghiệm của phương trình (3) là các số tự nhiên ằ Cõu 59 Cho phương trỡnh 2x 1 x 2 3x 1 0 (4) Khi đú:

(c) Phương trình (4) có nghiệm lớn nhất là một số tự nhiên

(d) Tổng các nghiệm của phương trình (4) bằng 3 2 ằ Cõu 60 Cho phương trỡnh x x(  1) x x( 2) 2 x 2 Khi đú:

(a) x0 là nghiệm của phương trình

(b) Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

(c) Tổng các nghiệm của phương trình bằng 9

(d) Nghiệm lớn nhất của phương trình nhỏ hơn 2 ằ Cõu 61 Cho phương trỡnh (x3 10) x 2 x 2  x 12 Khi đú:

(b) x 3 là nghiệm của phương trình

(c) Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

(d) Tổng các nghiệm của phương trình bằng 3 ằ Cõu 62 Cho phương trỡnh x 2  x 5 5 Khi đú:

Phương trình tương đương với phương trình

(d) Tích các nghiệm của phương trình là một số dương ằ Cõu 63 Cho phương trỡnh 2x 2 6x10 5 (x2) x 1 0 Khi đú:

(c) x0 là nghiệm của phương trình

(d) Tổng các nghiệm của phương trình bằng 11 ằ Cõu 64 Cho phương trỡnh 4x 2  2x 3 8x1 Khi đú:

(d) Phương trình có một nghiệm dương lớn hơn 3

C Câu h ỏ i – Tr ả l ờ i ng ắ n ằ Cõu 65 Cho tam giỏc ABC vuụng tại A cú BC6cm Điểm D nằm trờn tia AB sao cho

DB cm DC cm (xem hình vẽ) Đặt AC x Tính diện tích tam giác BCD (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)

Vào lúc 8 giờ sáng, hai ô tô xuất phát từ hai vị trí A và B cách nhau 100 km, hướng về thành phố T Vận tốc của ô tô xuất phát từ vị trí A là 55 km/h, trong khi ô tô từ vị trí B có vận tốc khác, và họ cùng nhau chạy nhằm đến thành phố T Thời gian và vận tốc của hai xe sẽ quyết định điểm gặp nhau, giúp tính toán quãng đường đã đi của mỗi xe Điều này phù hợp với các quy tắc của toán học và giúp giải quyết bài toán về chuyển động nhanh chóng và chính xác.

45 km h/ Biết rằng tại thời điểm ô tô đi từ vị trí A đến địa điểm D cách thành phố T

14 km thì ô tô đi từ vị trí B đến địa điểm C cách thành phố T là 6 km Thời điểm đó là a giờ b phút? Tính a b

 Điền đáp số: ằ Cõu 67 Tớnh tổng cỏc phần tử trong tập nghiệm của phương trỡnh x 2 4x 1 2x 1 1 Kết quả làm tròn đến hàng phần mười

 Điền đáp số: ằ Cõu 68 Tập nghiệm phương trỡnh 2x 2     x 3 x 5 cú bao nhiờu phần tử nguyờn?

 Điền đáp số: ằ Cõu 69 Tớnh tổng cỏc phần tử trong tập nghiệm của phương trỡnh 3x 2 9x  1 x 2

 Điền đáp số: ằ Cõu 70 Phương trỡnh 3 x  7 1 x cú bao nhiờu nghiệm dương?

 Điền đáp số: ằ Cõu 71 Tập nghiệm phương trỡnh 2x x 2  6x 2 12x 7 0 cú bao nhiờu phần tử dương?

 Điền đáp số: ằ Cõu 72 Tập nghiệm phương trỡnh x 4 x 4 2x12 2 x 2 16 cú bao nhiờu phần tử dương?

Trong bài tập này, chúng ta xét nửa đường tròn có đường kính MN dài 10 và điểm B di động trên nửa đường tròn sao cho hình chiếu của B trên đoạn MN là điểm A Hình thành hình chữ nhật ABCD với điểm C cũng nằm trên nửa đường tròn, giúp xác định mối liên hệ giữa các điểm và các kích thước của hình học Dựa trên dữ liệu về chu vi hình chữ nhật là 22 và độ dài IA là một số nguyên, ta có thể tìm ra độ dài của IA một cách chính xác Bài toán yêu cầu tính độ dài IA dựa trên các yếu tố hình học đã cho, đồng thời sử dụng các kiến thức về hình học để tối ưu hóa quá trình giải.

Trong đề bài này, ta có tam giác ABC với cạnh BC bằng 10 và góc ABC bằng 60 độ Điểm M được xác định trên cạnh AB sao cho đoạn AM bằng 3 Đề bài yêu cầu tính độ dài đoạn thẳng BM Để giải, ta cần sử dụng các kiến thức về lượng giác trong tam giác để xác định các chiều dài cần thiết, từ đó tìm được độ dài của BM một cách chính xác.

CM CA và BM8 (đáp số gần đúng đến hàng phần mười)

 Điền đáp số: ằ Cõu 75 Một chỳ thỏ ngày nào cũng ra bờ suối ở vị trớ A, cỏch cửa hang của mỡnh tại vị trớ B là

Chú thỏ chạy từ vị trí A đến vị trí D để tìm cà rốt rồi trở về hang trong tổng thời gian 30 giây, bỏ qua thời gian tìm cà rốt Trên đoạn AD, thỏ chạy với vận tốc 13 m/s, còn trên đoạn BD, thỏ chạy với vận tốc 15 m/s Vị trí C cách vị trí D bao nhiêu mét là câu hỏi chính của bài toán, dựa trên dữ liệu về quãng đường và vận tốc để tính khoảng cách giữa C và D theo các công thức chuyển động.

DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI

Tam thức bậc hai là biểu thức dạng \(ax^2 + bx + c\), trong đó \(a\), \(b\), và \(c\) là những hệ số Nghiệm của phương trình bậc hai được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai.

ằ và theo thứ tự được gọi là biệt thức và biệt thức thu gọn của tam thức bậc hai

Dấu của tam thức bậc hai:

Cho ằ Nếu thỡ luụn cựng dấu với hệ số , với mọi ằ Nếu thỡ luụn cựng dấu với hệ số , với mọi ằ Nếu thỡ luụn:

▪ Cùng dấu với hệ số khi

▪ Trái dấu với hệ số khi

Trong đó là hai nghiệm của ằ Khi , dấu của và là: “ Trong trỏi ngoài cựng ” x 1 x 2

≫ B ướ c ⑴ : Tính và xác định dấu của biệt thức ;

≫ B ướ c ⑵ : Xác định nghiệm của (nếu có);

≫ B ướ c ⑶ : Xác định dấu của hệ số ;

≫ B ướ c ⑷ : Xác định dấu của

▶ Chú ý: Khi xét dấu của tam thức bậc hai, ta có thể dùng biệt thức thu gọn thay cho biệt thức

Chú ý Xét dấu tam thức bậc hai ta làm các bước:

Cho tam thức bậc hai

 Dạng 1 Tìm nghiệm và biệt thức của tam thức bậc hai

Nên tam thức có hai nghiệm phân biệt x 1 =1;x 2 =2

Nên tam thức có hai nghiệm phân biệt 1 1 2 2

Tam thức f x ( ) = 2 x 2 − 3 x có ∆ = 1, nên tam thức có hai nghiệm phân biệt 1 3 2 0

Tam thức f x ( ) = − − x 2 2 2 x − 4 có ∆ = − 8, nên tam thức vô nghiệm

Nên tam thức có hai nghiệm phân biệt 1 1 7 2 1 7

Các dạng bài tập liên quan đến tam thức bậc hai thường liên quan đến việc biểu diễn các biểu thức dạng ax² + bx + c, trong đó a, b, c là các hệ số Nghiệm của phương trình tam thức bậc hai được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai, giúp xác định giá trị của biến thỏa mãn phương trình Việc nắm vững cách giải các dạng bài tập này là rất quan trọng trong việc nâng cao kỹ năng giải toán và làm rõ các mối liên hệ trong các biểu thức bậc hai.

ằ và theo thứ tự được gọi là biệt thức và biệt thức thu gọn của tam thức bậc hai

Tìm biệt thức và nghiệm của các tam thức bậc hai sau

Nên tam thức có hai nghiệm phân biệt x 1 = −2;x 2 =2

Nên tam thức có hai nghiệm phân biệt x 1 = −1 m x; 2 = +1 m

Nên tam thức có hai nghiệm phân biệt x m x 1 = ; 2 = +1 m

Nên tam thức có hai nghiệm phân biệt 1 2 4 2 2 4

Nên tam thức có hai nghiệm phân biệt

Tìm biệt thức và nghiệm (nếu có) của các tam thức bậc hai sau:

 Dạng 2 Xét dấu tam thức bậc hai

Ta có ′ = − 3 0 Suy ra 3x 2 −2x+ > ∀ ∈1 0 x 

Tam thức bậc hai f x ( ) = 4 x 2 + 4 1 x + có  = 0, nghiệm kép 0 1 x = −2 và hệ số a= >4 0 nên f x ( ) > 0 với mọi x ∈  \ − 1 2 

Cho ằ Nếu thỡ luụn cựng dấu với hệ số , với mọi ằ Nếu thỡ luụn cựng dấu với hệ số , với mọi ằ Nếu thỡ luụn:

▪ Cùng dấu với hệ số khi

▪ Trái dấu với hệ số khi

Trong đó là hai nghiệm của ằ Khi , dấu của và là: “ Trong trỏi ngoài cựng ”

Xét dấu của các tam thức sau:

Xét dấu các biểu thức sau:

( ) 2 3 2 1 f x =x − x− có hai nghiệm phân biệt 1 1 2 2

Ta có, bảng xét dấu:

( ) ( 1 2 ) 2 2 1 2 f x = − x − x+ + có hai nghiệm phân biệt 1 1 2 1 2 3 2 2

( ) 2 ( 5 1 ) 5 f x =x + − x− có hai nghiệm phân biệt x 1 =1,x 2 = − 5, hệ số a= >1 0

( ) 3 2 ( 3 1 ) 1 f x = x + + x+ có hai nghiệm phân biệt 1 1 2 1

Xét dấu các biểu thức sau:

( ) f x không xác định khi và chỉ khi x= −3

( ) f x không xác định khi và chỉ khi x= −2;x=2

Từ bảng xét dấu ta thấy ( ) ( ) ( )

− + + dương khi và chỉ khi x ∈ − − ∪ ( 2 1 ; ) ( ) ( 1 3 ; ∪ 4 ; +∞ ) ,

− + + âm khi và chỉ khi x ∈ −∞ − ∪ − ( ; 2 ) ( 1 1 ; ) ( ) ∪ 3 4 ;

 Dạng 3 Điều kiện của tham số để tam thức bậc hai có dấu không đổi

Ta có a m= 2 + > ∀ ∈2 0, x  và ′ = ( m + 1 ) 2 − ( m 2 + 2 ) = 2 m − 1 Để f x ( ) > ∀ ∈ 0, x  thì  < ⇔ 0 m < 1 2

Với m≠ −2, để f x ( ) ≥ ∀ ∈ 0, x  thì điều kiện là

Với m≠0, để f x ( ) < ∀ ∈ 0, x  thì điều kiện là 0

Cho tam thức bậc hai Đặt ằ ằ ằ ằ

Tìm các giá trị của tham số để luôn dương với mọi

Tìm các giá trị của tham số để với mọi giá trị của

Với m≠4, để f x( )≤0, ∀ ∈x  thì điều kiện là

Tìm các giá trị của tham số để với mọi giá trị của

Tìm các giá trị của tham số để

, khi đó, điều kiện để f x ( ) ≤ 0 , ∀ ∈ x  là

Với m≠ −4, để f x ( ) < 0 , ∀ ∈ x  thì điều kiện là

A Câu h ỏ i – Tr ả l ờ i tr ắ c nghi ệ m ằ Cõu 1 Cho tam thức f x ( ) = ax bx c a 2 + + , ( ≠ 0 )  = b 2 − 4 ac Ta cú f x ( ) ≤ 0 với ∀ ∈ x khi và chỉ khi:

Chọn A Áp dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai ta có: f x ( ) ≤ 0 với ∀ ∈ x  ⇔  0\), có hai nghiệm phân biệt Trong trường hợp tam thức luôn cùng dấu với hệ số \(a\) cho mọi \(x \in \mathbb{R}\), thì hệ số \(\Delta\) phải có dấu phù hợp để đảm bảo tính chất này của hàm số Cụ thể, khi tam thức luôn cùng dấu với hệ số \(a\), thì \(\Delta \leq 0\), đảm bảo hàm số không đổi dấu.

DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI

* Theo định lý về dấu của tam thức bậc hai thì f x ( ) luôn cùng dấu với hệ số a với mọi x∈ khi  0, thể hiện đồ thị quay lên trên Đồng thời, đồ thị cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt, điều này đảm bảo rằng Δ > 0 Với đề bài cho tam thức f(x) = x² − 8x + 16, ta có thể xác định các khẳng định đúng về tính chất của hàm số dựa trên các đặc điểm này.

A phương trình f x ( ) = 0 vô nghiệm B f x ( ) > 0 với mọi x ∈ 

Ta có f x ( ) = x 2 − 8 16 x + = ( x − 4 ) 2 Suy ra f x ( ) ≥ 0 với mọi x ∈  ằ Cõu 8 Tam thức nào sau đõy nhận giỏ trị õm với mọi x y x x x x x x (Chọn D) ằ Cõu 9 Tam thức − −x 2 3x−4 nhận giỏ trị õm khi và chỉ khi

Cách 1: y= − −x 2 3x−4 nhận giá trị âm khi 2 3 4 0 2 2 3 9 7 0

x  , x  ằ Cõu 10 Tam thức y x= 2 −12 13x− nhận giỏ trị õm khi và chỉ khi

= − − y x x nhận giá trị âm tức là x 2 − 12 13 0 x − < ⇔ ( x + 1 )( x − 13 0 ) 3 ) 0

ằ Cõu 12 Với x thuộc tập hợp nào dưới đõy thỡ đa thức f x ( ) = x 2 − 6 x + 8 khụng dương?

Chọn C Để f x ( ) không dương thì x 2 − 6 x + ≤ ⇔ 8 0 ( x − 2 )( x − 4 ) ≤ 0

Lập bảng xét dấu f x ( ) ta thấy để f x ( ) ≤ ⇔ ∈   0 x  2 4 ;  ằ Cõu 13 Với x thuộc tập hợp nào dưới đõy thỡ đa thức f x ( ) = x 2 + − 9 6 x luụn dương?

Vậy x ∈  \ { } 3 ằ Cõu 14 Với x thuộc tập hợp nào dưới đõy thỡ f x ( ) = x 2 − 2 x + 3 luụn dương?

Ta có x 2 − 2 x + = 3 ( x − 1 ) 2 + ≥ ∀ ∈ 2 2 , x  Vậy x ∈  ằ Cõu 15 Bảng xột dấu nào sau đõy là bảng xột dấu của tam thức f x ( ) = − + x 2 6 x − 9 ?

Ta có − +x 2 6x− = ⇔ =9 0 x 3 và a= − 0 thì f x ( ) luôn cùng dấu với hệ số a, với mọi x∈

B Nếu ∆ 0, nghiệm của phương trình là x₁ = -1/m và x₂ = 1/m, với tập nghiệm là S = [- (1/m); 1 + m] Để phương trình có nghiệm phù hợp với mọi x thuộc đoạn [x₁; x₂], thì đoạn này phải nằm hoàn toàn trong khoảng [- (1/m); 1 + m], tức là [x₁; x₂] ⊂ [- (1/m); 1 + m].

Suy ra tập nghiệm của bpt là S= +[1 m;1−m] Để bpt nghiệm đúng với mọi x∈[ ; ]1 2 khi và chỉ khi [ ; ] [1 2 ⊂ +1 m;1−m]

Khi đó m ∈ − ( 20 20 ; ) có 19 + 19 = 38 giá trị nguyên của tham số m ằ Cõu 46 Tớnh tổng cỏc giỏ trị nguyờn của tham số m để hàm số y= (m+10)x 2 −2(m−2)x+1 cú tập xác định D=

Hàm số có tập xác định D= khi và chỉ khi (*) đúng với ∀ ∈x  ằ m= −10 (*) trở thành: 24 1 0x+ ≥ khụng đỳng với ∀ ∈x 

Suy ra m= −10 loại ằ m≠ −10 (*) đỳng với 0 10 0 2

Vậy với − ≤ ≤1 m 6 thì hàm số đã cho có tập xác định D=

Khi đó tổng các giá trị nguyên = 20