Lớp 10: Chuyên đề 2: Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Biểu diễn nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn

BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Bài 1

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát là:

Trong đó là những số thực, ; là nghiệm của Định nghĩa

Trong mặt phẳng , tập hợp các điểm có toạ độ là nghiệm của được gọi là miền nghiệm của nó Đường thẳng chia mp thành hai nửa mp, khi đó:

Nửa mp (A) (kể cả bờ) là miền nghiệm của

Nửa mp (B) (kể cả bờ) là miền nghiệm của

≫ B ướ c ⑵ : Lấy một điểm không thuộc (thường lấy gốc tọa độ )

≫ B ướ c ⑶ : Tính và so sánh với 0

Nếu thì nửa mp bờ chứa là miền nghiệm của

Nếu thì nửa mp bờ không chứa là miền nghiệm của

▶ Chú ý: Miền nghiệm của bỏ đi đường thẳng là miền nghiệm của bất phương trình

Quy tắc Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình

 D ạ ng 1 Tìm nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn

≫ Cho cặp số và bất phương trình

Thay cặp số vào ta được biểu thức

Khi đó: ằ Nếu thỡ cặp số là nghiệm của ằ Nếu thỡ cặp số khụng là nghiệm của

Cho các điểm và các bất phương trình Kiểm tra các điểm đã cho, điểm nào nằm trong miền nghiệm của bất phương trình

⑴ Các điểm: , , , và bất phương trình

⑵ Các điểm: , , , và bất phương trình

⑶ Các điểm: , , , và bất phương trình

⑷ Các điểm: , , , và bất phương trình

Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa điểm nào trong các điểm: , , , ?

Ví dụ 1.3 Điểm không nằm trong miền nghiệm của bất phương trình nào dưới đây?

 D ạ ng 2 Biểu diễn hình học miền nghiệm

≫ B ướ c ⑵ : Lấy một điểm không thuộc (thường lấy gốc tọa độ )

≫ B ướ c ⑶ : Tính và so sánh với 0

Nếu thì nửa mp bờ chứa là miền nghiệm của

Nếu thì nửa mp bờ không chứa là miền nghiệm của

▶ Chú ý: Miền nghiệm của bỏ đi đường thẳng là miền nghiệm của bất phương trình

Xác định miền nghiệm của các bất phương trình:

Biểu diễn hình học tập nghiệm của các bất phương trình:

Xác định miền nghiệm của bất phương trình 2 ẩn

A Câu h ỏ i – Tr ả l ờ i tr ắ c nghi ệ m ằ Cõu 1 Trong cỏc mệnh đề sau, mệnh đề nào đỳng?

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình \(ax + by + c \leq 0\) không được gọi là miền nghiệm của bất phương trình đó Đây là khái niệm quan trọng trong hình học và đại số, giúp phân biệt rõ ràng giữa các tập hợp điểm thoả mãn điều kiện vế bất phương trình Các hệ số \(a, b, c\) là các số thực, trong đó \(a\) và \(b\) không đồng thời bằng 0, đảm bảo bất phương trình đúng nghĩa và có tính xác định trên mặt phẳng tọa độ Việc xác định miền nghiệm giúp phân tích và giải quyết các bài toán liên quan đến hình học, tối ưu hoá và các lĩnh vực liên quan đến tọa độ trong toán học.

B Biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình 2x3y 1 0 trên hệ trục Oxy là đường thẳng 2x3y 1 0

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c ≤ 0 là tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình này, trong đó các hệ số a, b, c là những số thực, với điều kiện a và b không đồng thời bằng 0.

Nghiệm của bất phương trình ax + by + c ≤ 0 là tập rỗng khi không tồn tại giá trị (x, y) thỏa mãn điều kiện đó Miền nghiệm của bất phương trình \(x^2 + 2(x - 2)(y - 2) < 2(1 - x)\) là một nửa mặt phẳng chứa điểm xác định dựa trên hệ số và điều kiện của bất phương trình.

A   0 0 ; B   1 1 ; C   4 2 ; D   1 1 ;  ằ Cõu 3 Cõu nào sau đõy đỳng?

Miền nghiệm của bất phương trình 4  x   1   5 y   3  2 x  9 là nửa mặt phẳng chứa điểm

A   0 0 ; B   1 1 ; C    1 1 ; D   2 5 ; ằ Cõu 4 Miền nghiệm của bất phương trỡnh3 x  2  y   3   4 x    1  y 3 là phần mặt phẳng chứa điểm nào?

A   3 0 ; B   3 1 ; C   1 1 ; D   0 0 ; ằ Cõu 5 Miền nghiệm của bất phương trỡnh 5  x    2  9 2 x  2 y  7 là phần mặt phẳng khụng chứa điểm nào?

A   2 1 ;  B   2 3 ; C  2 ;  1  D   0 0 ; ằ Cõu 6 Trong cỏc cặp số sau đõy, cặp nào khụng là nghiệm của bất phương trỡnh 2x y 1?

A   2 1 ;  B  3 7 ;   C   0 1 ; D   0 0 ; ằ Cõu 7 Trong cỏc cặp số sau đõy, cặp nào khụng là nghiệm của bất phương trỡnh x4y 5 0?

A   5 0 ;  B   2 1 ;  C  1 3 ;   D   0 0 ; ằ Cõu 8 Trong cỏc bất phương trỡnh sau, bất phương trỡnh nào là bất phương trỡnh bậc nhất hai ẩn?

A 2x5y3z0 B 3x 2 2x 4 0 C 2x 2 5y3 D 2x3y5 ằ Cõu 9 Điểm nào sau đõy thuộc miền nghiệm của bất phương trỡnh 2x y  3 0?

P ằ Cõu 10 Miền nghiệm của bất phương trỡnh    3x y 2 0 khụng chứa điểm nào sau đõy?

C D D   3 1 ; ằ Cõu 11 Miền nghiệm của bất phương trỡnh 3  x   1   4 y  2   5 x  3 là nửa mặt phẳng chứa điểm

A   0 0 ; B   4 2 ;  C   2 2 ;  D   5 3 ;  ằ Cõu 12 Miền nghiệm của bất phương trỡnh x 3 2 2( y 5) 2 1( x) khụng chứa điểm nào sau đây?

B C C  0 ;  3  D D   4 0 ;  ằ Cõu 13 Miền nghiệm của bất phương trỡnh 2x y 1 khụng chứa điểm nào sau đõy?

A A   1 1 ; B B  2 2 ;  C C  3 3 ;  D D   1 ;  1  ằ Cõu 14 Miền nghiệm của bất phương trỡnh  1  3   x   1 3  y  2 chứa điểm nào sau đõy?

A A  1 ;  1  B B   1 ;  1  C C   1 1 ;  D D   3 ; 3  ằ Cõu 15 Miền nghiệm của bất phương trỡnh x   3 2 2  y   5   2 1  x  là nửa mặt phẳng chứa điểm

A    3 ; 4  B    2 ; 5  C    1 6 ;  D   0 0 ; ằ Cõu 16 Miền nghiệm của bất phương trỡnh x   2 2  y   1  2 x  4 chứa điểm nào sau đõy?

A A   1 1 ; B B   1 5 ; C C  4 3 ;  D D  0 4 ;  ằ Cõu 17 Miền nghiệm của bất phương trỡnh 2x 2y 2 2 0 chứa điểm nào sau đõy?

A A   1 1 ; B B   1 0 ; C C  2 ; 2  D D  2 ;  2  ằ Cõu 18 Cho bất phương trỡnh2x4y5cú tập nghiệm là S Khẳng định nào sau đõy là khẳng định đúng ?

A   1 1 ;  S B   1 10 ;  S C   1 1 ;   S D   1 5 ;  S ằ Cõu 19 Cho bất phương trỡnh x2y 5 0cú tập nghiệm là S Khẳng định nào sau đõy là khẳng định đúng?

A   2 2 ;  S B   1 3 ;  S C   2 2 ;   S D   2 4 ;   S ằ Cõu 20 Miền nghiệm của bất phương trỡnh 3x2y 6 là

C D ằ Cõu 21 Miền nghiệm của bất phương trỡnh 3x2y6 là

C D. ằ Cõu 22 Miền nghiệm của bất phương trỡnh 3x2y 6 là

C D ằ Cõu 23 Cho bất phương trỡnh 2x 3y 20cú tập nghiệm là S Khẳng định nào sau đõy là khẳng định đúng?

 ;  S C  1 2 ;    S D   1 0 ;  S ằ Cõu 24 Cặp số  x y 0; 0  nào là nghiệm của bất phương trỡnh 3x3y4

A  x y 0; 0   2 2;  B  x y 0; 0    5 1; C  x y 0; 0   4 0;  D  x y 0; 0    2 1; ằ Cõu 25 Cho tam giỏc ABC cú A   1 2 ; , B    3 1 ;  và C  3 4 ;   Tỡm điều kiện của tham số m để điểm 5

M m nằm bên trong tam giác ABC?

B Câu h ỏ i – Tr ả l ời đúng/sai ằ Cõu 26 Điểm O   0 0 ; thuộc miền nghiệm của bất phương trỡnh

(d) 2x y 0 ằ Cõu 27 Cho bất phương trỡnh: x4y 5 0 Khi đú:

(a)   5 0 ;  là một nghiệm của bất phương trình

(b)    2 ; 1  là một nghiệm của bất phương trình

(c)   0 0 ; là một nghiệm của bất phương trình

(d)   1 3 ; là một nghiệm của bất phương trình ằ Cõu 28 Xỏc định tớnh đỳng, sai của cỏc khẳng định sau:

(a) Miền nghiệm của các bất phương trình 6x y 1 chứa điểm O

(b) Miền nghiệm của các bất phương trình2x3y5 chứa điểm O

(c) Miền nghiệm của các bất phương trình  3x y 0 chứa điểm M   0 1 ;

(d) Miền nghiệm của các bất phương trìnhx y 7 chứa điểm O ằ Cõu 29 Xột tớnh đỳng, sai của cỏc mệnh đề sau:

(a) 2x 2 3y0 là bất phương trình bậc nhất hai ẩn

(b) x 2 y 2 2 là bất phương trình bậc nhất hai ẩn

(c) x y 3z0 không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn

(d) x y 0 là bất phương trình bậc nhất hai ẩn ằ Cõu 30 Cho bất phương trỡnh bậc nhất hai ẩn: x2y 2 0 Khi đú:

(a) Miền nghiệm của bất phương trình x2y 2 0 là nửa mặt phẳng kể cả bờ d x: 2y 2 0, không chứa gốc tọa độ O

(b)   1 4 ; là nghiệm của bất phương trình x2y 2 0

(c)   0 3 ; không là nghiệm của bất phương trình x2y 2 0

An có hai loại trái cây để mua là cam và xoài, mỗi tuần mẹ dành 200.000 đồng để mua trái cây Giá của một kilogram cam là 15.000 đồng, trong khi đó giá của một kilogram xoài là 30.000 đồng Gọi x là số kilogram cam và y là số kilogram xoài mà An có thể mua trong một tuần, thì tổng chi tiêu của An không vượt quá 200.000 đồng, tức là: 15.000x + 30.000y ≤ 200.000.

(a) Trong tuần, số tiền An có thể mua cam là 15000x, số tiền An có thể mua xoài là 30000y x y( , 0)

(b) Bất phương trình bậc nhất cho hai ẩn x y, là 3x6y40

(c) Cặp số   5 4 ; thỏa mãn bất phương trình bậc nhất cho hai ẩn x y,

Một công ty viễn thông tính phí 1 nghìn đồng mỗi phút gọi nội mạng và 2 nghìn đồng mỗi phút gọi ngoại mạng Trong một tuần, khách hàng có thể mua tối đa 4kg cam và 5kg xoài Câu hỏi liên quan yêu cầu xác định số phút gọi nội mạng (x) và ngoại mạng (y) dựa trên các mức phí và hạn mức mua hàng này.

Bình trong một tháng và Bình muốn số tiền phải trả cho tồng đài luôn thấp hơn 100 nghìn đồng Khi đó:

Chi phí hàng tháng cho cuộc gọi nội mạng là x nghìn đồng, trong khi đó, chi phí cho cuộc gọi ngoại mạng là 2y nghìn đồng Điều kiện áp dụng cho biến x và y là x thuộc tập hợp các số thực, y thuộc tập hợp các số thực.

(b) Bất phương trình bậc nhất gồm hai ẩn số x y, đã cho là x2y100

(c) x50,y20 nghiệm của bất phương trình bậc nhất gồm hai ẩn số

Miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất gồm hai ẩn số x và y, được biểu diễn là một hình vuông, thể hiện các giới hạn về số lượng sản phẩm mà đội sản xuất có thể hoàn thành trong thời gian quy định Một đội sản xuất cần 3 giờ để hoàn thành một sản phẩm loại I và 2 giờ cho một sản phẩm loại II, với tổng thời gian sản xuất không vượt quá 18 giờ, đặt ra các giới hạn về số lượng sản phẩm x và y làm được trong thời gian này Gọi x và y lần lượt là số sản phẩm loại I và loại II mà đội sản xuất có thể làm trong khoảng thời gian cho phép, các ràng buộc này xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình liên quan đến năng suất và thời gian làm việc.

(a) Tổng thời gian làm xong sản phẩm loại I là 2x, tổng thời gian làm xong sản phẩm loại II là 3y

(b) Bất phương trình bậc nhất hai ẩn theo x y, với điều kiện x y,  là

(c)   3 4 ; là một nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn theo x y, với điều kiện x y, 

Trong trò chơi chọn chữ đơn giản, người chơi có khả năng nhận được các điểm số khác nhau dựa trên lựa chọn của mình Nếu người chơi chọn được chữ A, họ sẽ được cộng 3 điểm, trong khi chọn chữ B sẽ bị trừ 1 điểm Người thắng cuộc là người đạt được số điểm tối thiểu đã đặt ra Điều kiện của sự lựa chọn và điểm thưởng điểm quan trọng trong việc xác định kết quả cuối cùng của trò chơi.

20 Gọi x y, theo thứ tự là số lần người chơi chọn được chữ A và chữ B Khi đó:

(a) Tổng số điểm người chơi đạt được khi chọn chữ A là 3x, tổng số điểm người chơi bị trừ khi chọn chữ B là y

(b) Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x y, trong tình huống người chơi chiến thắng là 3x y 18

(c) Người chơi chọn được chữ A 7 lần và chọn được chữ B 1 lần thì người đó vừa đủ điểm dành chiến thắng trò chơi

(d) Người chơi chọn được chữ A 8 lần và chọn được chữ B 3 lần thì người đó vừa đủ điểm dành chiến thắng trò chơi

C Câu h ỏ i – Tr ả l ờ i ng ắ n ằ Cõu 35 Nghiệm của bất phương trỡnh 1 0

2  3y x có dạng   x y ; trong đó x y , là các số nguyên dương Tính giá trị S x y 

 Điền đáp số: ằ Cõu 36 Cú bao nhiờu giỏ trị nguyờn của tham số m trong đoạn 10 10;  sao cho 1

 x y là nghiệm của bất phương trình  1  2 0

 Điền đáp số: ằ Cõu 37 Cho tam giỏc ABC cú A    0 3 ; ; B  1 2 ;    ; C 2 1 ; Điều kiện của tham số m để điểm

M m nằm bên trong tam giác ABC có dạng 7

8a  m b với ;a b là các số tự nhiên Tính giá trị S ab a 

Bạn Lan có 150.000 đồng để mua sổ sách, trong đó mỗi quyển tập có giá 8.000 đồng và mỗi cây bút có giá 6.000 đồng Sau khi mua 10 cây bút, số tiền còn lại của bạn Lan là 150.000 - (10 x 6.000) = 90.000 đồng Với số tiền còn lại này, bạn Lan có thể mua tối đa bao nhiêu quyển tập là 90.000 ÷ 8.000 = 11 quyển tập Do đó, bạn Lan có thể mua tối đa 11 quyển tập sau khi mua 10 cây bút.

Trong một ngày, một người phụ nữ cần tối thiểu 46g protein để duy trì sức khỏe Protein trong thịt bò và cá rô phi được tính dựa trên lượng tiêu thụ, với mỗi 100g thịt bò chứa khoảng 26g protein và mỗi 100g cá rô phi chứa khoảng 20g protein Gọi x là số lạng thịt bò và y là số lạng cá rô phi mà một người phụ nữ nên ăn trong ngày, thì bất phương trình bậc nhất hai ẩn với dạng ax + by ≥ 46 mô tả lượng protein cần thiết, trong đó a và b là các số nguyên dương Giá trị S được tính bằng hiệu S = a - b để xác định mối quan hệ phù hợp giữa lượng tiêu thụ các loại thực phẩm này nhằm đảm bảo đủ chất dinh dưỡng.

 Điền đáp số: ằ Cõu 40 Nhu cầu canxi tối thiểu cho một người đang ở độ tuổi trưởng thành trong một ngày là

Trong một ngày, lượng canxi cần thiết cho người trưởng thành có thể được biểu diễn bằng bất phương trình bậc nhất hai ẩn x và y, với x là số lạng đậu nành tiêu thụ và y là số lạng thịt tiêu thụ Cụ thể, một lạng đậu nành cung cấp 165mg canxi trong khi một lạng thịt chỉ cung cấp 15mg canxi, trong tổng số 1300mg canxi cần thiết hàng ngày Bất phương trình thể hiện yêu cầu này có dạng bx + 15y ≥ 1300, trong đó b là hệ số liên quan đến lượng đậu nành cần thiết để đáp ứng nhu cầu canxi hàng ngày của người trưởng thành.

; a b là các số nguyên dương Tính giá trị 3

1 Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

2 Biểu diễn nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn

3 Bài toán tối ưu (Quy hoạch tuyến tính)

HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Bài 2

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là tập hợp các bất phương trình bậc nhất có hai ẩn và chúng ta cần tìm nghiệm chung của toàn bộ hệ Một nghiệm chung của hệ chính là nghiệm cùng thoả mãn tất cả các bất phương trình trong hệ đó Nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất giúp xác định phạm vi và tập hợp các giá trị thoả mãn các điều kiện đã cho Đây là kiến thức cơ bản trong lý thuyết giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, rất quan trọng trong các bài toán tối ưu và lập luận logic.

Cách biểu diễn hình học miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là xác định giao của các miền nghiệm của từng bất phương trình trong hệ Để biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình, ta thực hiện việc xác định và vẽ các miền nghiệm riêng lẻ rồi tìm giao của chúng để có hình ảnh trực quan và rõ ràng về tập nghiệm của hệ Việc này giúp hiểu rõ hơn về phạm vi áp dụng và giải pháp của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, góp phần nâng cao kỹ năng lập sơ đồ, hình học và phân tích toán học.

Trong cùng hệ toạ độ, biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình trong hệ bằng cách gạch bỏ phần không thuộc miền nghiệm của nó

Phần không bị gạch là miền nghiệm cần tìm, giúp xác định khoảng chứa các nghiệm phù hợp của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các biểu thức dạng này là yếu tố quan trọng, vì chúng phản ánh phạm vi nghiệm đúng của hệ Việc xác định các giá trị cực trị này giúp nắm rõ miền nghiệm chính xác và hiệu quả trong quá trình giải hệ bất phương trình.

Vẽ miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho

Miền nghiệm nhận được thường là một đa giác (Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của đạt được tại một trong các đỉnh của miền đa giác)

Tính giá trị của ứng với là tọa độ các đỉnh của miền đa giác này

So sánh các kết quả vừa tính được, từ đó suy ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

 D ạ ng 1 Biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Các dạng bài tập ằ Để biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trỡnh ta làm như sau:

Trong cùng hệ toạ độ, biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình trong hệ bằng cách tô màu phần không thuộc miền nghiệm của nó

Phần không bị tô là miền nghiệm cần tìm

Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình:

Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình:

Xác định miền nghiệm của các hệ bất phương trình 2 ẩn

Xác định miền nghiệm của các hệ bất phương trình 2 ẩn

 D ạ ng 2 Gía trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất, bài toán tối ưu

▶ Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức với nghiệm đúng một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn cho trước.

≫ B ướ c ⑴ : Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho Kết quả thường được miền nghiệm là đa giác

≫ B ướ c ⑵ : Tính giá trị của tương ứng với là tọa độ của các đỉnh của đa giác

Giá trị lớn nhất của là số lớn nhất trong các giá trị tìm được

Giá trị nhỏ nhất của là số nhỏ nhất trong các giá trị tìm được

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của

⑴ với là nghiệm của hệ bất phương trình

⑵ với là nghiệm của hệ bất phương trình

Tìm trị lớn nhất của biểu thức

Cho hệ bất phương trình Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình trên Trong , tìm giá trị lớn nhất của hàm số

HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN A Lý thuyết 1 Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn