Geometric Inequalities Ultimate - Nguyễn Thanh Trà (Tiếng Việt) ppt

Trong các bàitoán đó, có một lớp các bài toán rất đẹp về các điểm bất kì trong tam giác và cácbất đẳng thức giữa chúng.. Trong chuyên đề này, tôi sẽ giới thiệu một số bất đẳngthức như vậ

Nguyễn Thanh Trà K42 Trường THPT Chuyên ĐHSP HN

F thanhtra1239@yahoo.com F Ngày 8 tháng 1 năm 2010

HAPPY BIRTHDAY MY BEST FRIEND

Mục lục

1 Bất đẳng thức hình học 4

1.1 Phương pháp vector 4

1.1.1 Phương pháp sử dụng tích vô hướng của hai vector 4

1.1.2 Phương pháp vector đơn vị 7

1.1.3 Khai thác bất đẳng thức a2 ≥ 0 11

1.2 Bất đẳng thức Finsler - Hadwiger 18

2 Tản mạn về các bất đẳng thức hình học 27 2.1 Sự biến hoá các bất đẳng thức hình học 27

2.2 Bất đẳng thức với hai biến 29

3 Các bất đẳng thức dạng nhỏ hơn hoặc bằng 34

Tóm tắt Bất đẳng thức hình học phần khá thú vị của hình học Trong các bàitoán đó, có một lớp các bài toán rất đẹp về các điểm bất kì trong tam giác và cácbất đẳng thức giữa chúng Trong chuyên đề này, tôi sẽ giới thiệu một số bất đẳngthức như vậy.

1 Bất đẳng thức hình học

1.1.1 Phương pháp sử dụng tích vô hướng của hai vector

Mở đầu phương pháp này, tôi xin giới thiệu bài toán

Bài toán 1 Cho tam giác ABC nhọn Tìm điểm M nằm trong tam giác sao cho:

T = M A + M B + M Cđạt giá trị nhỏ nhất

Lời giải Gọi N là điểm thoả mãn

Nhận xét Bằng phương pháp tương tự ta có thể giải được bài toán:

Bài toán 2 Cho tam giác ABC Tìm điểm M sao cho:

T = x · M A + y · M B + z · M Cđạt giá trị nhỏ nhất

Điểm M cần tìm là điểm thoả mãn x ·

Phương pháp giải trên có gì đặc biệt? Đó chính là việc chỉ ra điểm N thoả mãn mộtđiều kiện nào đó, sau đó chứng minh f (M ) ≥ f (N ) bằng công cụ vector Một lưu

ý nữa là bất đẳng thức −→a ·−→b ≤ |a| · |b| giúp ta đưa những độ dài đoạn thẳng vềdạng vector Ta có những bài toán giải bằng phương pháp tương tự

Bài toán 3 Cho tam giác ABC và một điểm N nằm trong tam giác Đặt \BN C =

α, \CN A = β, \AN B = γ Với mọi điểm M trong mặt phẳng Chứng minh rằng:

M A sin α + M B sin β + M C sin γ ≥ N A sin α + N B sin β + N C sin γ (3)Lời giải Ta có:

M A sin α + M B sin β + M C sin γ

Bài toán 4 Cho tam giác ABC với trực tâm H, bán kính đường tròn ngoại tiếp

R Với mọi điểm M bất kì trong mặt phẳng Tìm giá trị nhỏ nhất của:

1.1.2 Phương pháp vector đơn vị

Để thêm ứng dụng của phương pháp vector, tôi xin nhắc lại cách chứng minh bàitoán sau:

Bài toán 5 Cho tam giác đều ABC nội tiếp một đường tròn M là một điểm bất

kì trên cung nhỏ BC Chứng minh rằng M A = M B + M C

Lời giải Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Ta có:

Bài toán trên không phải là một bài toán bất đẳng thức Nhưng với một chút tinh

tế, bạn có thể dễ dàng nhận ra việc tính độ dài các đoạn M A, M B, M C theo tíchcác vector rất có lợi trong việc giải toán Vẫn với giả thiết M bất kì thuộc đườngtròn ngoại tiếp tam giác, ta có một bài toán bất đẳng thức hình học thú vị

Bài toán 6 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), ngoại tiếp đường tròn (I).

M là một điểm bất kì trên cung nhỏ BC của đường tròn (O) Chứng minh rằng:

M A + 2OI ≥ M B + M C ≥ M A − 2OILời giải Ta có:

−M O ·

(6.2)

Do M O = R nên ta sẽ tính

...

Từ (6.1), (6.2) (6.3) ta có bất đẳng thức:

M A + 2OI ≥ M B + M C ≥ M A + 2OINhư... C0)

= cosα

2,

= cosβ

2,... + P C)

1.1.3 Khai thác bất đẳng thức a2 ≥ 0

Bất đẳng thức a2