Luận văn thạc sĩ phát triển năng lực giải quyết vấn Đề cho học sinh khá giỏi thông qua dạy học chuyên Đề bất Đẳng thức và cực trị dạng thuần nhất bậc hai

Phát triển năng lực giải quyết vấn để cho học sinh khá giỏi thông qua dạy học chuyên đề bất đẳng thức và cực trị dạng... Điều cần chú ý của phương pháp day học giải quyết vân để là làm s

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC

CHUYEN NGANH: LY LUAN VA PHUONG PHAP “DAY HOC

BO MON TOAN

Ma so; 8.14.01,11

Người hướng dẫn khoa học

GS TSKH NGUYEN VAN MAU

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn, tôi đã nhận được sự hướng dẫn, giúp đỡ và động viên của nhiễu cá nhẫn và tập

thể, tôi xin trần trọng cảm ơn tới tất cả các cá nhân và tập thể đã giúp đỡ

tôi trong thời gian qua

Trước tiên, em xin bày tỏ lòng biết ơn tới GS TSKH Nguyén Vin Mau Thay da giao dé tài và tận tình hướng dẫn, chỉ bảo em thực hiện, hoàn

thành luận văn này

Em xin gửi lời cảm ơn đến các thay cô giáo khoa Sư Phạm, Trường Đại học Giáo Dục - Đại học Quốc Gia Hà Nội, đã dem lai cho em những kiễn thức vô cùng có ích trong những năm học vừa qua

Tôi xin chân thành câm ơn Ban giảm hiệu, các thầy giáo, cô giáo và các em học sinh trường Trung học phổ thông Nguyễn Thị Minh Khai, Hà

Nội đã giúp đỡ và tạo điều kiện để tôi học tập và tổ chức thực nghiệm sư

phạm

Mặc dù cố gắng nhưng luận văn không tránh khỏi những thiểu sót Tôi mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thấy cô giáo, bạn bè

và đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện và phát triển hơn

Tôi xin chân thành cám ơn

Hà Nội, tháng 2 năm 2019

Tác giả

Tự Thị Hiên

DANH MỤC CÁC CHU VIET TAT

AM-GM Arithmetic Mean and Geometric Mean

DANH MỤC CÁC BẢNG, BIỂU, SƠ ĐỒ

Sơ đỗ 1.1: Quá trình tư duy giải quyết vẫn để 12

Bang 3.1: Phân phối tần số kết quả bài kiểm tra 78 Bảng 3.2: Phân phối tần suất kết quả của bài kiểm tra 78

Bảng 3.3: Phân phối tần suất lũy tích kết quả của bài kiểm tra 78

Bang 3.4: Tổng hợp phân loại kết quả của bài kiểm tra 78

Biểu đỏ 3.1: Tân suất học sinh dat diém X; trong bài kiểm tra 79

Biểu đỏ 3.2: Đường lũy tích phần trăm số học sinh dạt điểm X;

trở xuống trong bài kiểm tra sen 79 Biểu đồ 3.3: Phân loại kết quả học tập của học sinh 80

1.1.2, Nang luc todn hoc (Mathematical compelencE) 5 1.1.3 Năng lực giải loán : sae " §

1.2 Tổng quan về dạy học giải quyết vận đề 7

1.3.1 Các bai loin bit ding thite nà cực tri rang chương rình nà sách

1.3.2 Thực lễ dạy học các bài laân nè bắt đẳng thức nà cực lrị dạng

Chương 2 Phát triển năng lực giải quyết vấn để cho học sinh khá

giỏi thông qua dạy học chuyên đề bất đẳng thức và cực trị dạng

2.1 Phát triển năng lực giải quyết van dé cho hoc sinh khá giỏi

thông qua đạy học chuyên để vẻ bat đẳng thức dạng thuần

3.1.1 Nhắc lại một số tính đất cơ bản can dùng vé tam 1 th bachai 18

2.1.2 Hai bat ding thitc od didn 19

2.1.4 Một số kĩ thuật gửi bắt đẳng thúc thuần nhất bậc hai 22

2.2 Phát triển nắng lực giải quyết vẫn để cho học sinh khả giỏi

thông qua day học chuyên đẻ vẻ cực trị dạng thuần nhất bậc

41

41 2.3.2 Cực trị của biểu thúc đại sô chúa ba biến 49 2.3 Các đẻ thi học sinh giỏi và Olympic lên quan 58

2.4, Đẻ xuất biện pháp phát triển năng lực giải quyết vẫn đẻ cho

học sinh thông qua nội đung bất đẳng thức và cực trị dang

2.41 Biện pháp 1: Rền luyện cho học sinh giải quyết ấn đê mới ‘dua

2.42 Biện pháp 2: Xây dựng, thiết kế lị

phương phấp giả Lo cv ch kh ha hà 61 2.4.3 Bién phdp 3: Thiet ké tinh hudng van dé trong cấc bài tuần bat

2.4.4 Bign pháp 4: Khuyên khích học sinh tìm nhiều cách giải cho một

3.1 Khái quát thực nghiệm sư phạm 64

3.3 Nội dung thực nghiệm 65

3.3.1 Gitéo dn thuc nghifm oe nee 65

3.3.2 Dé kid tra sau khi tién hanh thucnghiém vua 75

3.4 Đánh giá kết quả cv 78

3.4.3 Kết qua dinh tink 0 ee 80 KET LUAN VA KHUYEN NGHỊ .-.- .- 82

PHỤ LỤC -.- S0 2Q cv ng kề

vi

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Toán học là bộ môn khoa học có liên hệ mật thiết với thực tiễn, có

nhiều ứng đụng quan trọng trong nhiều lĩnh vực khác nhau như khoa học, công nghệ cũng như trong đời sống Bởi thế cho nên, toán học trở nên

thiết yếu, ảnh hưởng đến hầu hết các ngành khoa học Hơn nữa, trong thời đại công nghệ 4.0 phát triển như vũ bão, yêu cầu năng lực của con người ngày càng phải phát triển hơn, nâng cao trình độ, hoàn thiện bản thân Vì thể, việc rèn luyện và phát triển năng lực vận dụng kiến thức toán học là điều rất cần thiết và phù hợp đối với mục tiêu giáo dục

Điều cần chú ý của phương pháp day học giải quyết vân để là làm sao thông qua quá trình gợi ý, gợi mở, đẫn dắt, vẫn dáp, giả định, giáo viên tạo điều kiện cho học sinh tranh luận, ầm tồi, phát hiện ra được vẫn để tổn tại

thông qua các tinh huỗng có vấn đề Dó là cái cốt yêu của việc dạy học giải

quyết van dé Cac tinh huông này được xuất hiện do nhiều nguyên nhân

khác nhau, có thể do giáo viên chủ động xây đựng, cũng có thể do logic

kiến thức của bài học tạo nên, cũng có thể do sai lầm từ các em học sinh

Trên thực tế, các bài toán về bắt đẳng thức và cực trị dạng thuần nhất

bậc hai là các bài toán hay và khó nằm ở nội dụng nâng cao và có mặt trong

nhiều kì thi như kì thi học sinh giỏi toán Quốc gia, thi Olympic toán khu vực và quốc tế, thi Olympic toán sinh viên giữa các trường dại học và cao

đẳng Qua quá trình học tập và day học, tôi nhận thấy đây là một nội dung khó, học sinh thường xuyên bề tắc, không định hướng được cách giải, còn

nhiều nhằm lẫn, sai lầm Vì vậy, giáo viên dạy cần phải biết tạo tình huỗng

gợi vấn để, có kĩ nâng thiết kế hệ thông câu hỏi trong dạy học bat đẳng thức và cực trị dạng thuan nhất bậc hai, giúp học sinh tích cực giải quyết

van dé, chủ động chiếm lĩnh kiến thức

Hiện nay, trong nhà trường, tạo tình huỗng có vấn dễ dối với dạng toán bất đẳng thức, cực trị thuần nhất bậc hai cồn nhiều hạn chế Không

những thế, tài liệu học tập, nghiên cứu các đạng toán này chưa đủ đáp ứng như cầu dạy học của giáo viên và học sinh, học sinh thiếu điều kiện

để tiếp cận và nâng cao nội đung đó Điều đó chứng tỏ, việc phát triển

năng lực giải quyết vấn để cho học sinh đối với dạng toán này là vấn để

cấp thiết

Với các lí do trên, tôi muốn phát triển năng lực giải quyết vấn dé trong

day hoc bat dang và cực trị dạng thuân nhật bậc hai theo hướng tích cực hóa giới hạn trong chương trình nâng cao bậc trung học phổ thông Hơn riữa, xuất phát từ đặc điểm, ý nghĩa của chuyên đễ và đối tượng thực nghiệm, tôi chỉ tập trung dạng hai biễn và ba biến Cho nên, tôi chon dé

tài Phát triển năng lực giải quyết vấn để cho hac sinh khá giỏi thông qua

dạy học chuyên để "Bất đẳng thức và cực trị đạng thuần nhất bậc hai"

2 Mục tiêu nghiền cứu

~ Nghiên cứu cơ sở lí luận và thực tiễn của vẫn để nâng cao năng lực giải quyết vân để vận đụng kiến thức toán học, từ đó tìm ra các phương

pháp tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh trung học phổ thông

- Xây dựng hệ thống bài tập sử dụng trong dạy học nội dung bất

đẳng thức và cực trị dạng thuần nhất bậc hai phù hợp với điều kiện đối

mới phương pháp dạy học ở Việt Nam hiện nay

3 Nhiệm vụ nghiền cứu

~ Nghiên cứu cơ sở lí luận của việc phát triển năng lực giải quyết vẫn

để liên quan đến nội dung toán học của đề tài

- Thiết kế, xây dựng và tổ chức các hoạt động dạy học gắn với nội dụng bắt dẳng thức và cực trị thuần nhất bậc hai chương trình nâng cao

~ Tiên hành thực nghiệm sư phạm để khảo sát thực trạng và dánh giá

sự phù hợp của dễ tài đối với diều kiện giáo dục toán học ở Viét Nam.

4 Phạm vi nghiên cứu

Đề tài giới hạn trong nội dung bắt đẳng thức và cực trị dạng thuần nhất bậc hai dạng hai bién và ba biến (chương trình nang cao)

5 Doi tượng, khách thể nghiên cứu

- Đỗi tượng nghiên cứu: Năng lực giải quyết vẫn dé cho hợc sinh kha giỏi cắp trung học phổ thông

~ Khách thế nghiên cứu: Quá trình dạy học môn toán, cụ thể là chuyên

đề bất đẳng thức và cực trị dạng thuần nhất bậc hai

- Mẫu khảo sát: Giáo viên và học sinh khá giỏi trường Trung học phổ

thông Nguyễn Thị Minh Khai, Hà Nội

6 Câu hỏi nghiên cứu

Dạy học nội dụng bất dẳng thức và cực trị dạng thuận nhất bậc hai

như thê nào để giúp học sinh phát triển năng lực giải quyết van dé va van

dụng vào thực tiễn ?

7 Giả thuyết khoa học

Theo quan điểm cá nhân, dạy học nội dung bắt đẳng thức và cực trị

theo hướng phát triển năng lực sẽ giúp học sinh phát triển năng lực giải quyết vẫn để toán học cũng như trong đời sống, từ đó, học sinh sẽ hứng

thủ học tập hơn và yêu thích môn toán hơn

8 Phương pháp nghiên cứu

~ Nghiên cứu, phân tích, hệ thông hóa, khái quát hóa các tài liệu về giáo dục học môn toán, tầm ly học, lí luận dạy học bộ môn toán

- Nghiên cứu các sách về bắt đẳng thức, về phương pháp đạy học giải

quyết van dé, các bài báo, các bài viết khoa học toán hỗ trợ cho đề tài, các

công trình nghiên cứu có các vấn để liên quan trực Hiếp tới để tài

- Điều tra giáo dục

- Quan sát, xây dựng tố chức thực nghiệm

- Thực nghiệm sư phạm: dạy học một số giáo án soạn theo hướng của

để tài, nhằm mục đích đánh giá tính khả thí và tính hiệu quả của đề tài

- Sử dụng các phần mềm thống kê toán học để xử lỉ số liệu sau khi

tiến hành thực nghiệm, điều tra khảo sát

9 Những đóng góp của luận văn

Gép phan cung cdp cơ sở lí luận vẻ giải quyết vấn đề, một số vẫn dé

thực tiễn xoay quanh đề tài

Hệ thống hóa các chủ đề và phương pháp giải về bất đẳng thức và cực trị dạng hai biến, ba biển cho học sinh khá giỏi cấp trung hoc

Luận văn có thể làm tài liệu tham khảo về phân bat đẳng thức và cực trị dạng thuân nhất bậc hai cho giáo viên và hoc sinh

10 Cầu trúc luận văn

Chương 1 Cơ sở lí luận và cơ sở thực tiến

Chương 2 Phát triển năng lực giải quyết vẫn dé cho học sinh khá giỏi thông qua day chuyên dễ bất đẳng thức và cực trị dạng thuần nhất bậc hai

2.1 Phát triển năng lực giải quyết vẫn dé cho học sinh khá giỏi thông qua đạy học chuyên đẻ về bất đẳng thức dang thuần nhất bậc hai

2.2 Phát triển năng lực giải quyết vấn dé cho học sinh khá giỏi thông qua dạy học chuyên dé vé cực trị đạng thuần nhất bậc hai

2.3 Các đạng toán nâng cao có liên quan

Chương 3 Thực nghiệm sự phạm

3.1 Khai quát thực nghiệm sự phạm

3.2 Kế hoạch và nội dung thực nghiệm

3.3 Tổ chức thực nghiệm

3.4 Đánh giá kết quã thực nghiệm.

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ CƠ SỞ

'THỰC TIỄN CỦA DE TAI

1.1 Năng lực và năng lực toán

1.1.1 Năng lực (Cortpeteuce}

Quan niệm về năng lực phụ thuộc sự lựa chợn dấu hiệu, dấu hiệu

khác nhau thì quan niệm khác nhau Tuy nhiên, đa số các tài liệu định

nghĩa năng lực đều quy vào phạm trù khả năng ("competence”, "ability",

“capability")

Năng lực là sự kết hợp của các kiến thức kĩ năng và thái độ có sẵn

hoặc ở dang tiểm nắng của một cá nhân, là tổng hợp dặc diểm thuộc tinh tam lí của cá nhân phù hợp với yêu cầu đặc trưng của một hoạt động nhất định nhằm có hiệu quả cao

Nói như thế, chúng ta cũng có thể hiểu năng lực là khả năng thực hiện

thành công hoạt động trong một hoàn cảnh nhất định nào đó dựa vào sự

huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng của mỗi người, cùng với thuộc

tính khác như hứng thú, niềm tín, ý chí

Với quan riệm năng lực như trên, có thể chia năng lực ra thành hai nhóm như sau: nhóm một là nhóm năng lực chung và nhóm hai là nhóm

năng lực chuyền biệt Năng lực chưng là năng lực cơ bản, thiết yếu để mọi

cá nhân có thể sống, làm việc và tham gia hiệu quá các hoạt động của đời sống xã hội Trên cơ sở năng lực chưng theo hướng chuyên sâu, riêng biệt thì hình thành năng lực chuyển biệt của mỗi cá nhân Nhóm các năng lực chuyên biệt được hình thành, phát triển thông qua đạy học các bệ môn, đáp ứng yêu cầu riêng biệt của một lĩnh vực hoạt động

Nang lực nói chung là tổ hợp các thuộc tính sinh học, tâm lí và xã hội

của cá nhân, cho phép cá nhân thực hiện thành công hoạt dộng nhất dịnh,

đạt kết quả mong muốn trong điều kiện cụ thể và theo yêu cầu cụ thể

1.1.2 Nang luc todn hoc (Mathematical competence)

Khai niém ning luc (literacy) trong Chuong trình đánh giá học sinh

toàn câu (PISA) bao hàm cả hai khái niệm, khái niệm về kiến thức và cả

khái niệm vẻ kĩ năng PISA quan tâm tới bốn đạng năng lực: đọc hiểu, toán học, khoa học và giải quyết vẫn dé

Năng lực để học tập toán là những đặc điểm tâm lý cá nhân, bắt đầu

từ hoạt động trí não, phục vụ yêu cẩu hoạt động học toán Từ đó, người

học ghỉ nhớ kiến thức nhanh, để dàng và sâu sắc hơn; kĩ năng, kĩ xảo cũng,

phát triển tốt hơn

Có nhiều quan niệm khác nhau về năng lực toán học nhưng có thể

hiểu năng lực toán học là tổ hợp các kĩ năng của cá nhân đảm bảo thực

hiện các hoạt động toán học Các kỹ năng cá nhân vừa là sản phẩm của sinh ly con người vừa là sản phẩm của tâm lý con người Các kỹ năng này được chỉ phối bởi cả tâm sinh Tý, hoàn toàn không tách rỡi Nàng lực toán học bao gồm một số năng lực thanh phan sau:

~ Thu thập lại các thông tin liên quan và tiền hành xử lý thông tin toán

học là năng lực toán học cơ bản

~ Tiếp theo là năng lực tính toán, giải bài toán

~ Khả năng phân tích, tổng hợp, lập luận logic, phản biện và sáng tạo

đó là các yếu tổ thành phần tạo nên năng lực tư đuy toán học

- Năng lực ngôn ngữ toán học; cách điễn đạt ngôn từ toán học

- Khả năng vận dụng toán học vào thực tiễn của mỗi người là hoàn

1.1.8 Năng lực giải toán

Các thành tố của năng lực giải toán được cầu thành bởi:

- Hiểu rõ và giới hạn phạm vi của bài toán, xác định rõ vẫn để trong các tình huỗng cần giải quyết, luôn nhìn bài toán ở nhiều góc độ và tìm tòi thêm hướng giải nếu có thể.

- Xác dịnh mới liên hệ mật thiết giữa các thanh phan chính trong dẻ bài,

và từ đó làm sao xử lý sự liên kết, va phối hợp các tình huỗng vấn để bởi cách thức xầu chuỗi các vẫn để với nhau

~ Người học có khả năng dự đoán trước được một số tình huồng nào đó sẽ xảy ra và các chiến lược giải, sau đó lựa chọn phương pháp giải thích hợp

Để có được khả năng này, đòi hỏi chủ thể phải có vốn kiên thức nhất định

cùng với kinh nghiệm do bồi dưỡng rèn luyện trong quá trình học tập

Đặc trưng chính của năng lực giải toán:

- Đó là dạng năng lực hoạt động cá nhân được nãy sinh khi có những nh

huéng van dé, có nhu câu hay mâu thuẫn can giải quyết, dó cũng là biểu hiện của nãng lực phát hiện và giải quyết van dé

- Năng lực giải toán được đặc trưng bởi hoạt động tư duy tích cực, sảng tạo, độc lập của học sinh, nhiệt tình huy động tri thức và kinh nghiệm

trong tiến trinh giải toán để đi đến lời giải, dựa vào bài toán ban đầu để

Tìm hướng giải quyết của bài toán đã cho

~ Một đặc trưng nữa là tính hướng đích và tính kết quả cao

Nói tóm lại, để hình thành nang lực giải toán cho học sinh, phụ thuộc

nhiều điểu kiện Điều kiện bên ngoài, nhân mạnh tác động khách quan

của người giáo viên và môi trường Điều kiện bên trong, nội lực của quá trình hình thành, tự giác, chủ động, có ý thức ứng đụng kiến thức và kĩ

năng thu nhận được từ các tình huống của học sinh

1.2 Tổng quan về dạy học giải quyết vẫn để

1.2.1 Cơ sử khoa học

Cơ sở biết học

Triết học duy vật biện chứng cho rằng:"Mâu thuẫn là động lực thúc

đầy quá trình phát triển, phương pháp dạy học giải quyết vẫn đẻ dựa trên

cơ sở đó” [5] Nếu giải quyết mâu thuẫn thì người học sẽ có thêm kiến thức

mới Và như thể, hoc sinh hình thành thới quen tự hoàn thiện bản thân,

sẵn gàng tiếp nhận mâu thuẫn khác ở mức đệ ca hơn.

Phương pháp dạy học giải quyết van dé chu ý đến nguồn gốc, động

lực của sự phát triển, cơ chế phát triển như thế nào Tuy nhiên thời điểm nào có sự phát triển đó thì chưa giải quyết một cách thỏa đáng Đây cũng

Tà một trong những nguyên nhân thể hiện sự hạn chế của phương pháp đạy học giải quyết van da

Cơ chế của sự phát triển nhận thức tuân theo quy luật lượng đổi chat đối, lượng là số lượng vấn để được lĩnh hội qua việc học theo phương pháp giải quyết vấn đề, chất chính là nãng lực phát hiện và giải quyết vẫn

dẻ Sự biến dối về chất sẽ dược diễn ra khi thay dối nhất dịnh về lượng

Cách tốt nhất dé dam bao cho sự biển đổi là sử dụng phương pháp giải

quyết vẫn dé mỗi khi có thể bằng cách thiết kế quy trình day học hợp lý,

cùng với các biện pháp sư phạm tương ứng với quy trình đó

Cơ sở tâm lý học

Tỷ thuyết hoạt động là cơ sở của phương pháp dạy học giải quyết van

dé Các nhà tâm lý học cho rằng con người chỉ bắt đầu tư duy tích cực khi nảy sinh nhu cầu tư duy, có nghĩa là khi đối điện với tình huỗng gợi vấn

để, đứng trước chướng ngại vật, thì bản thân mỗi người sẻ mong muốn

làm sao khắc phục hay giải quyết được vấn đề Quá trình nhận thức luôn

thực hiện nhờ tư duy, bản chất của tư duy là từ nhận thức đến giải quyết

các nhiệm vụ của mỗi người

Ta có thể mô phỏng lại như sau: Giáo viên đưa học sinh đến tình

huống vân để, tình huống phải gây cảm xúc ngạc nhiên, háo hức, hứng thú, tò mò, học sinh càng tích cực suy nghỉ thì càng để đàng giải quyết

được tình huống Hoặc cũng có thể, chính học sinh độc lập suy nghĩ, tự

tìm con đường vượt qua khó khăn, trở ngại, dẫn đến kết quả nào đó hoặc nhờ sự dẫn dất của giáo viên để vượt qua

Ngoài ra, theo quan điểm của tâm lý học kiến tạo, phương pháp đạy học giải quyết van để đáp ứng được yêu cầư quá trình học tập của mỗi người chính là quá trình người học tự xây dựng trí thức nhờ sự liên kết

giữa kinh nghiệm và kiến thức dã biết từ trước

Cơ sử giáo đục học

Phương pháp dạy học giải quyết van dễ kích thích dược hoạt động học tập của người học, giúp tạơ dộng cơ trong quá trình phát hiện và giải

quyết vấn để Bởi vậy cho nên, day hoc giải quyết vẫn để phù hợp với

nguyên tắc tự giác, nguyên tắc tích cực trong đạy học Kiểu day hoc nay thể hiện tác đựng phát triển năng lực, trí tuệ ở việc học sinh được học cách

tìm hiểu, khám phá, khai thác thông qua cách thức phát hiện, bám sắt và

tìm giải pháp giải quyết vấn đề một cách hệ théng, logic

Biểu hiện của dạy học phát hiện và giải quyết vấn đẻ là sự thông nhất giữa giáo đưỡng và giáo dục, rèn luyện cho học sinh cách thức phát hiện, tiếp cận và giải quyết vần dễ một cách khoa học, bồi dưỡng đức tính chủ

dộng, sáng tạo, tích cực, kiên trì, vượt khó, có kế hoạch,

1.2.2 Các khái niệm oÈ dạy học giải quyết van dé

Theo Nguyễn Bá Kim 6, tr.185], hệ thống là một tập hợp gồm những phần tử cùng với những quan hệ giữa những phân tử của tập hợp đó

Một tình huồng gồm có chủ thể - người và khách thể - hệ thông nào

đó, được hiểu là một hệ thang phức tạp Và chỉ cần í† nhất một phân tử

của hệ thống nào đó mà người học vẫn chưa biết thủ tình huống này được gọi là tỉnh huỗng bài toán

Một bài toán được xét trong tình huống bài toán, khi mà người học đặt ra mục tiêu tìm yêu tố chưa biết đựa vào yêu tố đã dược cho trước của khách thể Vẫn đã là một khái niệm tương đổi, tùy thuộc vào hoàn cảnh cu thể, cũng có thể hiểu vẫn đề là bài toán mà người học hoàn toàn chưa có

cách giải để tìm yếu tố chưa xác định được

Chúng ta quan tâm tới tình huông cổ chứa đựng một bài toán mà người học ý thức được nó và tiếp nhận nó để giải quyết

- Với kiến thức sẵn có được trang bị từ trước, chủ thể hoàn toàn cố thể

giải quyết dược bài toán một cách thuận lợi, không có khó khăn nào.

- Trường hợp chú thể - người học chưa hẻ biết một thuật giải, hay một

phương pháp giải nào giải quyết bài toán, khi đó, phát sinh như cầu, từ

mô hình kiến thức đã biết tích cực suy nghĩ, biễn đổi sao cho phù hợp nhất

có thể

Khi bài toán là một vẫn để với người học, hai khái niệm bài toán và chủ thể không giếng nhau Bài toán là có vẫn để còn tùy thuộc vào đối tượng chủ thể cụ thể cùng với thời điểm xuất hiện bài toán Muôn một bai toán trở thành vẫn để đối với người học, thì bản thân người học phải ý thức dược về bài toán cũng như nhu cẫu tiếp nhận bài toán

Tinh huéng goi van dé (tinh huéng van dé), theo Nguyễn Bá Kim |6, tr.187] là một lĩnh huống gợi ra cho học sinh những khó khăn về lí luận

hay thực tiến mà họ thấy cần thiết và có khả năng vượt qua, nhưng không

phải ngay tức khắc nhờ một quy tắc tính chất toán, mà phải trải qua một

quá trình tích cực suy nghĩ, hoạt động để biến đối đỗi tượng hoạt động

hoặc điều chỉnh kién thức sẵn có

~ Chứa đựng ít nhất một van dé: Tình huỗng phải biểu hiện được mâu

thuẫn giữa thực tế với khả năng nhận thức hiện tại

- Kích thích mong muốn, nguyện vọng muốn dược nhận thức: Học

sinh phải cảm thấy cần thiết, họ phải thấy có nhu cầu giải quyết vấn dé dé

Nếu người học không quan tâm, hoặc thờ ơ thì tình huỗng mà giáo viên đưa ra chưa đạt yêu cầu về sự gợi nhu cầu nhận thức

- Tạo đựng niềm tin ở chính bản thân người học: Người dạy cần làm cho học sinh thấy rõ tuy họ chưa có ngay lời giải nhưng đã có các kiến thức, kĩ năng liên quan và nếu tích cực suy nghĩ thì sẽ giải được bài toán

dó

- Mục tiêu của quá trình dạy học ngoài việc làm cho học sinh lĩnh hội,

tiếp nhận kết quả của quá trình giải quyết vấn để mà quan trọng hơn là phat triển năng lực tự tiễn hành những quá trình như vậy Nói cách khác,

Ja rèn luyện để học sinh hình thành thói quen tự học

1.2.3 Phân chia cấp 46 day học giải quyết nâu dé

10

Từ các đặc điểm của phương pháp dạy học giải quyết vẫn dẻ, tôi xin

được trình bày những hình thức và cắp độ được sắp xếp theo thứ tự đựa

trên phương điện mức độ độc lập của học sinh trong quá trình phát hiện

và giải quyết vấn đẻ dưới đây:

Giáo viên thuyết trình giải quyết vẫn đề

Với hình thức này, mức độ độc lập của học sinh là thắp nhất Bởi vì, giáo viên là người tạo ra tình huỗng có vấn dễ và sau dó chính bản thân người dạy giải quyết vấn dễ thông qua quả trình trình bảy suy nghĩ cách

giải, lời giải Người dạy tim tồi, đự đoán, có khi thành công, có lúc thắt bại phải điều chỉnh phương hướng giải khác Như vậy, các hoạt động học rút

ngắn hoặc hạn chế sự tự khám phá của học sinh

Giáo viên - Học sinh hợp tác cùng giải quyết vấn để

Phương tiện để thực hiện là những câu hỏi của giáo viên và câu trả lời của học sinh hoặc những hoạt dộng học tập Có vẻ dạy học giải quyết van

dé cé phan giống với dạy học vân đáp, nhưng thực ra hai cách day hoc nay

khác nhau Bởi nét quan trọng của day hoc giải quyết vẫn để nằm ở tình

huồng gợi vẫn để chứ không phải ở câu hỏi Chẳng han, trong một giờ học nào đó, giáo viên đặt nhiều câu hỏi song chỉ mang tính chất tái hiện trí

thức đã học thì giờ học đó không phải là dạy học phát hiện và giải quyết

van dé Rö ràng, hình thức này có nhiều ưu điểm hơn sơ với hình thức giáo

viên thuyết trình giải quyết vấn đề, bởi vì học sinh dược hoạt dộng nhiều hơn và nhận sự gợi ý, dẫn dất chỉ khi cân thiết,

Học sinh độc lập giải quyết vấn đề

Dây là hình thức đạy học làm cho tính độc lập của học sinh được đẩy

mạnh, tăng cường Giáo viên sử dụng các biện pháp sư phạm của mình chỉ tạo ra tình huỗng vấn đẻ, học sinh tự phát hiện và tự giải quyết vần dé

do giáo viên xây dựng Như vậy, với hình thức này, học sinh hầu như hoàn

11

toàn thực hiện quá trình học tập, phát triển năng lực tự học, tự giải quyết

van dé Hoặc cùng lắm, người dạy chỉ hướng học sinh phát hiện vấn để

Tóm lại, trong hình thức này tất cả các khâu cơ bản của quá trình nghiên

cứu, học sinh độc lập nghiên cứu vẫn đề và trực tiếp thực hiện

1.2.4 Quụ trình dạy học giải quyết vin dé

Điều cốt yêu của dạy học giải quyết vấn đề là giáo viên điều khiển

học sinh tự thực hiện hoặc hòa nhập vào quá trình nghiên cứu vấn để Để

thực hiện quá trinh day học theo phương pháp giải quyết vấn để, chúng

†a có thể phân chia trình tự gồm bổn bước sau day:

Bước 1: Phát hiện vẫn dễ là gì hoặc di sâu, kỉ hơn vào vần dé đó

- Từ một tình huỗng vẫn để trong bài toán, người học phát hiện được vẫn

đề, vẫn để thường đo giáo viên tạo ra

~ Sau khi phát hiện vẫn đề, phải giải thích và chính xác hóa tỉnh huồng khi cần thiết để người học hiểu đúng vẫn để đang được đặt ra

- Phát biểu vẫn để theo ngôn ngữ toán học và đặt ra mục đích giải quyết

vấn để như thể nào hợp lý nhất có thể

Bước 2: Tìm ra được ít nhất một giải pháp

- Trước tiên, chúng ta cần tìm một cách giải quyết vấn để Sơ đỗ dưới dây

thể hiện dây đủ quá trình tư đuy tìm ra giải pháp từ lúc bắt dầu cho đến khi kết thúc

Sơ đô 1.1 Câu lrúc quá trình tu duy gidi quyél vin dé

Khi phân tích, xem xét dẻ bài toán cần chỉ rõ những mối quan hệ giữa

cái đã biết và cái phải thiết lập, xây dựng, thường đựa vào tri thức đã học, liên tưởng đến định lí, tính chất thích hợp

Khi đưa ra một hướng giải quyết, đẳng thời sử dựng kiến thức sẵn có, những kĩ năng tính toán để suy xét xem hướng đang đi đã phù hợp hay chưa Nếu đã phù hợp thì sẽ tiếp tục triển khai, nêu không sẽ từ bỏ, xem

xét lại từ đầu Khâu này có thé lam nhiều lần đến khi nào tìm được hướng

đi đúng, đến cuỗi cùng, chúng ta phải hình thành được một giải pháp

Tiếp theo, ta cần kiểm tra giải pháp xem có dúng dẫn hay không, Giải pháp dúng thì sẽ kết thúc Trường hợp giải pháp chưa dúng thì phải thực

hiện lại bắt đầu từ khâu phân tích cho đến khi nào tìm được giải pháp

chính xác thì hoần thành bước 2

- Sau khi đã tìm ra một biện pháp giải quyết thành công, chúng ta vẫn có thể tìm thêm các giải pháp khác, một số vần dé không chỉ có duy nhất một cách xử lý và có Khể có cách hợp lý hơn, sau đó thực hiện so sánh

chúng với nhau để tìm ra giải pháp nào là tôi ưu

Bước 3: Trình bày giải pháp đả tìm ra ở bước 2

Sau khi vẫn để đã được giải quyết, người học cần trình bay lại toàn

bộ từ phát biểu van dé cho tới hình thành giải pháp như thế nào Trường

hợp đặc biệt và thuận lợi là khi vẫn đề đã được cho sẵn thï có thể không

cần phát biểu lại Bước 2 là bước khó nhất, nhưng bước 3 không kém phẩn

quan trọng, bởi vì tư duy trình bay thể hiện lại ý tưởng giải toán đời hỏi

sự chính xác, khoa học và thật sự cẩn thận Có như vậy thì người học mới hoàn thiện quá trình giải quyết một bài toán được trọn vẹn, rèn luyện các

phẩm chất tốt dẹp khác

Bước 4: Tìm hiểu kĩ hơn giải pháp đã tìm ra

- Các kết quả mà chúng ta đã tìm ra được có tình hiệư quả như thế não, ứng đụng ra sao, cần nghiên cứu tìm hiểu kĩ để hiểu rö hơn về vần để đang

quan tâm

~ Dễ xuất vấn đề mới có liên quan dựa vào xét tương tự, khái quát hóa sau

13

đó giải quyết (nếu có thể)

- Trong tiên trình giải toán, sự sáng tạo là một loại suy điễn và quy nạp

nổi tiếp nhau để bài toán mới được hình thành trên cơ sở kiến thức đã học Kiến thức trong quá trình tư duy của học sinh được chia thành hai loại,

một là học sinh thu nhận trực tiếp từ bước tiếp nhận, phân tích bài toán,

hai là kiến thức đã có sẵn trong kinh nghiệm của học sinh

~ Các thủ thuật làm mẫu: Giáo viên thực hiện một phần tiền trình, học sinh

làm tiếp ra kết quả, giáo viên làm mẫu một ví dụ đặc trưng sau đó học sinh

áp dụng giải bài tương tự hoặc liên quan

1.3 Xu hướng dạy học hiện nay

- Xu hướng dạy học hiện nay là lầy học sinh làm trung tâm, người day tim

cách để học sinh được hoạt động nhiều nhất

~ Vận dụng các phương pháp dạy học tích cực, day hoc thông qua tổ chức

các hoạt động, tạo điều kiện để học sinh chủ động chiếm lĩnh tri thức, có

cơ hội trải nghiệm, tích lũy kinh nghiệm

- Day hoc theo hướng tiếp cận năng lực đang là xu hướng tất yếu trong

xã hội ngày nay Người đạy cần chú trọng hơn nữa việc rèn luyện phát huy tính tự học cho học sinh Trong thời đại công nghệ 4.0, khi mà khoa

học kĩ thuật dã lên một tầm cao mới, thì phong cách học truyền thông dã bộc lộ những hạn chế cần thay đối để theo kip xu hướng Người thầy càng

ngày càng phải trau đời, nâng cao chuyên môn và kiến thức xã hội, tổ chức

những hoạt động học phong phú hơn, kích thích tiểm năng của học sinh,

dạy theo những gì các em có thể tiếp nhận được, chứ không phải dạy hắt những gì chúng ta muốn dạy Khi giáo viên khơi dậy được niễm đam mê

của các em học sinh, tính tự giác, chủ động sẽ được nâng cao dẫn lên

1.8.1 Các bài toán bat dang thie vd cực trị trong chương trình va sách

giáo khoa phổ thông

- Học sinh được học vẻ bất đẳng thức và giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

từ chương trình lớp 8 thông qua nội đung giá trị biểu thức và được biết

khái niệm, cách tìm giá trị lớn nhất, giả trị nhỏ nhất ở lớp 9

14

~ Các bát đẳng thức Cauchy, Bunyakovski hoc sinh được học từ chương trình lớp 9 Trong sách giáo khoa trình bày về bát dang thie Cauchy, cn bat đẳng thức Bunyakovski được giới thiệu trong một số sách tham khảo hoặc được giới thiệu thêm Học sinh biết, đễ nhớ, quen sử dụng bắt đẳng thức Cauchy hơn là bat dang thttc Bunyakovski

- Tam thức bậc hai, xét đầu tam thức bậc hai và các tỉnh chất nằm trong

tap nhỏ lẻ, thiêu hệ thống Điều nay gay khó khăn trong cả việc day và học

của giáo viên, học sinh

- Nội dung bắt đẳng thức trong sách giáo khoa đại số 10 nâng cao khá cơ

bản, thiếu phân dạng và phương pháp giải, bài tập rèn luyện thì có phần

khiêm tốn Hơn nữa, nội đưng này được coi là rất khó, thuộc câu điểm 10 trong các bài kiểm tra nên hằu như không được chứ trọng

~ Tài liệu liên quan về bất đẳng thức và cực trị dạng thuần nhất bậc hai có

sử dụng dịnh lí, tính chất của tam thức bậc hai để giải thực sự hạn chế 1.3.2, Thực tễ day hoc cac bai toan ve bat dang thức uà cực tri dang thuần nhật bậc hai

Về phía giáo viên

Để hiểu rõ hơn vẻ thực tế dạy học chuyên đề bất đẳng thức, cực trị tác giả đã tiền hành khảo sát, thăm dõ ý kiến các thầy cô giáo dạy bộ môn Toán và các em học sinh tại trường trung học phổ thông Nguyễn Thị Minh

Khai, Hà Nội, từ đó tác giả có một số nhận xét như sau:

~ Bat dang thức và cực trị là mảng kiến thức rộng lớn trong toán học và +†hực sự khó đối với học sinh Bat đẳng thức và cực trị dạng thuần nhất bậc

15

hai là một phẫn nhỏ trong thế giới bắt đẳng thức, cũng vì phạm vi của nó

Tà sự quan tâm từ phía người đạy cũng như người học chưa thực sự được

thudng xuyên và đúng mực

~ Đa số giáo viên đểu đồng ý với quan điểm các bài toán vẻ bất đẳng thức

và cực trị phải có phương pháp dạy phù hợp với học sinh, tạo tiền dé, nên tảng cho việc theo học bậc học cao hơn sau này Với mỗi ndi dung todn học

khác nhau đòi hỏi phương pháp dạy học khác nhau sao cho việc học đạt

được hiệu quả cao nhất Có nhiều phương pháp dạy học tích cực nhưng theo tôi, dạy học giải quyết van dé phat huy được tính chủ động, sang tao

của học sinh trong mảng kiến thức bất đẳng thức và cực

- Cac thay cô đều đồng ý, day là những bài toán khó đối với học sinh các lớp đại trả, do đó giáo viên dạy các lop đại trà thường không chú trọng, thậm chí bỏ qua cho học sinh Ớ các lớp chọn, trường chuyên, giáo viên mới đạy kĩ, bài bản, hệ thông

- Do tai liệu các dạng toán về bắt đẳng thức và cực trị đạng thuần nhất bậc hai khá khiêm tốn nên giáo viên mắt nhiễu công sức để sưu tắm, chọn lọc

và hệ thống sao cho phù hợp với học sinh

- Có khá nhiều giáo viên chú trọng đến phát triển nắng lực sáng tạo cho

học sinh nhưng chưa thực sự hiệu quả

- Thời gian học theo phân phối chương trình không đủ để giáo viên bôi dưỡng, phát triển chuyên dẻ cho học sinh Giữa những nội dung toán học khác, thì thời gian dành cho bat dẳng thức nhỏ hẹp, gây khó khăn trở ngại cho giáo viên khi dạy học kiến thức này

'Về phía học sinh

- Xét học sinh ở các lớp đại trà thi phần đông là hoàn toàn không biết giải

bài tập về bất đẳng thức hay cực trị Từ cấp trung học cơ sở, các em hầu

như không được tiếp cận chuyền sâu các bắt đẳng thức cổ điển, các dạng

bat dang thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Có nhiều em xác định

bỏ phần này trong đề thi lên lớp 10 néu cd

~ Bên cạnh đó, nhiều em biết làm các bài tập dạng đơn giản Các bài này

16

phải giống hoặc tương tự các bài tập các em dã từng dược làm Như thể,

năng lực phát hiện vẫn đề và giải quyết vẫn để của đối tượng học sinh này còn yêu

~ Học sinh chưa được trang bị các phương pháp tiếp cận và giải các bài

toán bất đẳng thức và cực trị dang thuần nhất bậc hai Qua trao đổi, phiếu

khảo sát, tôi nhận thầy, nhiều em học sinh hoàn toàn mơ hồ hoặc không hiểu khái niệm "thuần nhất bậc hai" và hoàn toàn không định hướng được cách giải quyết một bài toán bát đẳng thức thuẫn nhất bậc hai

- Một số ít có thế giải được nhiều dang bài tập hơn, tuy nhiền bài tập các

em giải chưa có dịnh hướng cụ thể về phương pháp, da số chỉ giải dược các bài tương tự, không quả mới mẻ, lạ lẫm

- Hầu hết học sinh sau khi giải xong bài toán không có thới quen khai thác lời giải, tìm thêm lời giải khác, chọn lời giải hay hơn

- Gặp bài toán mới, học sinh thường bị lúng túng, chưa biết cách giải thường đọi sự gợi ý hoặc lời giải từ giáo viên

Tiểu kết chương 1

Trong chương 1, tôi da trình bày khá cụ thé cơ sở lí luận của dé tài

bao gồm các khái

ém vẻ năng lực, năng lực toán, năng lực giải toán; tống

quan về phương pháp dạy học giải quyết vẫn đề Cơ sở thực tiễn từ xu hướng đạy học hiện nay đến thực tế đạy học bắt đẳng thức và cực trị, làm

rõ được vai trò quan trọng của việc rèn luyện, phát triển cho học sinh năng

luc giải quyết vấn để thông qua day hoc bất đẳng thức và cực trị

Tắt cả nội dung nêu trên là cơ sở để tôi xây dựng biện pháp phát triển

năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh khá giỏi thông qua day hoc bat đẳng thức và cực trị thuần nhất bậc hai Trong chương 2, tôi thiết kể, phân loại bất đẳng thức, cực trị phạm vi đại số, giải tích, đa thức Đồng thời, tôi

cũng để xuất một số biện pháp sư phạm dỗi với hoc sinh trong việc hình

thành và phát triển năng lực phát hiện, giải quyết vấn dé

17

CHƯƠNG 2 PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN DE CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI THÔNG QUA DẠY HỌC CHUYÊN DE BAT DANG THUC VA CỰC TRỊ DANG

THUẦN NHẤT BAC HAL

2.1 Phát triển năng lực giải quyết vẫn đề cho hoc sinh khá giỏi thông qua dạy học chuyên để về bắt đảng thức dạng thuần nhất bậc hai

3.1.1 Nhắc lại một số tính chất cơ bản can ding vé tam thức bậc hai

Trong mục nay, ta nhac lai cdc tinh chat co bản của tam thức bậc hai quen thuộc f(x) — ax*+bx +c (a # 0) và phương trình bậc hai tương tứng a3? + bx +c — 0 đã dược trình bày trong sách giáo khoa toán lớp 10

Nhận xét rằng, bất đẳng thức +? > 0,¥x ¢ IR la dang bac hai don giản nhất mã học sinh đã làm quen ngay từ cấp trung học cơ sở Các bài tập

c hai (định lí thuận và định lí đảo) là những phương tiện hữu hiệu giải nhiều dạng toán quen biết ở bậc

i) af (x) > 0, ứng với mọi z e R nếu A < 0

ii) af (x) > Uứng với mợi x € R.nếu Á = 0 Dấu đẳng thức xảy ra khi

va chi khi x — ¬

ii) Nếu A > 0 thì luôn có øƒ(x) — a2(x — x)(% — x;) với

b VA

HA — Tag + 2|a|ˆ Trong trường hợp này, zƒ(x) < 0 khi x trong khoảng hai nghiệm và

af (x) > U khi x nằm ngoài khoảng hai nghiệm

Dinh lí 2.2 (Định lí đảo, xem [8]) Điều kiện cần và dui dé tỏn tại số 8 sao

cho aƒ(B) < 0 là A > 0 và xị < B < xp, trong dó xị¿ là các nghiệm của

†am thức bậc hai f(x)

18

2.1.2 Hai bất đẳng thức cổ điển

Sau đây, tác giả trình bày hai bắt đẳng thức cổ điển nổi tiếng Đó là bắt

đẳng thức AM-GM (Inequality of Arithmetic Mean and Geometric Mean)

mà sách giáo khoa gọi là bất đẳng thức Cauchy và bat dang thức Cauchy- Schwarz hay còn có tên là bất đẳng thức Bunyakovski hay còn gọi là bắt dẳng thức Cauchy

Bat dang thie AM-GM (Arithmetic Mean and Geometric Mean)

Bat dang thire Arithmetic Mean and Geometric Mean cho 2 sé

Gid stra, b la cdc sé thuc khéng am (0 < a,b € IR) Khidé

# TP 3 VN coat b> ab

alb

2 Bat dang thire Arithmetic Mean and Geometric Mean cho 3 sé

Giả sử a,b,e là các số thực không âm (0 < a,b,c € IR) Khi đó

— Xab <>ä — b

—

T—ẾTE Yak oa —b—e

Chitng minh Dat Ya — x, ŸB — y, Ye — z Khi đó bất đẳng thức AM-GM

cho 3 86 a,b,c c6 dang

x2+ệ+z” > 3xwz,

Ta có biểu thức x2 | yŸ | zŸ— 3xyz được viết lại thành

(œx+y+z)G?2+W®S+z2 xy yz zx) >0

Từ đây, ta để đàng suy ra ngay điều cần chứng mình

Trong ấp dựng để giải bài tập, chúng ta cồn có thể sử dụng dạng khác

tương đương của bat đẳng thức quen thuộc này là

abe < (179

< 3 :

19

Chứng minh tương tự, bằng phương pháp quy nạp toán học, ta thụ

được bất đẳng thức AM-GM cho k số không âm tùy ý

Bat đẳng thức Arithmetic Mean and Geometric Mean cho k số

Gid st rang 0 < my, mg, ms, ., my € R, khi dé

7H TH Trì T7

k

my + m2 + Mg + +My

k = 1 H2THẠH € my = Myo = + + = Hy

Bat dang thức Bunyakovski-Cauchy-Schwarz (bắt đẳng thức Cauchy)

Trường hợp 1: Giả sử z,b không đồng thời bằng 0 và z, ør là số thực tùy

(at— x)? + (bt—y)? + (et— z)? > 0, VieIR

«© (22+b2+ c?)P2— 2(ax + bụ + cz)†-E (x2 +w2+z2) > 0, VEER (23)

20

Theo dịnh lí 2.1 thì

(2.3) = (2.2),

Dầu đẳng thite xay ra khi va chi khi (a — x)? = (bt—y}? = (el— z)? = Ú

hay (x,y-z) — t(a,b,c)

Từ dó, ta dé dàng chứng minh được các hệ quả sau:

Trường hợp tổng quát: Giả sử P4, Pa Par Gis 92r-+-, 9x la cdc 86 thue tity

(pag | pega | | Pag S (PEL PELL meg aR LL a

Chứng tính Ta có

(pix — 91)? + (pox — gp)? + + + (Put — qu)? 2 0, ¥x € R

Khai triển theo hằng đẳng thức ta có được diéu sau

(Pit Pat + Pn)x? —2( Pig — pega t+ Paga)x + (ap tah + + Gq) 2 O

Bất đẳng thức có được khi và chỉ khi

2 mom me " tHẠ — (+ Ha + 1a + + Tạ)

P") bo b bạ by — by +b + + + bn

HH ty 3 — Ty

2.1.3 Hàm số thuận nhất

Định nghĩa 2.1 (xem [1]) Hàm số ƒ(zi,ạ, ,a„) được gọi là thuần nhất

bậc k với các biển trên miễn J2 nêu hàm ƒ thỏa mãn điều kiện

F tty ta, By) — ʃ(Aụ tạ, ca Am)

với mọi É, #1, đạ, ,a„ thuộc Ð và k là hằng số không phụ thuộc vào Í,2, 82, , 8y

Dịnh nghĩa 2.2 (xem |1[) Hàm số ƒ(1,ø2, 4„) được gọi là thuần nhất

bậc 2 với các biến trên miễn D nêu hàm ƒ thỏa mãn điều kiện

(tái, 8a, lên) = Ê Ƒ (41,83, 8n)

voi moi £,ø,a, ,a„ thuộc D

Một bất dang thức dược gọi là thuần nhất dồng bậc nêu hai về của bắt

đẳng thức đều là những biểu thức thuần nhất đông bậc (gọi tắt là thuần

nhất)

2.1.4, Một số kĩ thuật giải bất đẳng thức thuần nhất bac hai

Việc chia các kĩ thuật giải chỉ mang tính tương đối, với mỗi bài chứng

minh bât đẳng thức, chúng ta có thể cần một, hai hoặc nhiều kĩ thuật khác

nhau để giải và cũng có thể không chỉ có một cách giải cho một bài toán

Sử dụng định lí về tam thức bậc hai để chứng minh bat đẳng thức

Thương pháp chung là trong mỗi biểu thức có nhiễu biến, ta thực hiện

biễn dối, sau đó dưa về dạng tam thức bậc hai theo một biên dé áp dụng

dịnh lí vẻ dâu của tam thức bậc hai,

Bài toán 2.1 Chứng mỉnh rằng với mọi số thực a,b,c tùy ý, thì

2a? +b? + 8c? > 2(2be — ab)

22

Lời giải Bắt đẳng thức cần chứng minh tương đương với

f(a) = 2a? — 2ab +b? + 8c? — Abe > 0

TacéA,— 6? 2(8+8c? 4be)— (b 4c)? <0, Vb,c

Theo định lí 2.1 suy ra ngay điều cần chứng minh

Bài toán 2.2 Giả sử rằng Vø,b,e C IR Hãy chứng mính

282 + 13? + 26c? > 2(nb — 17bc + 4ca)

Lời giải Sắp xếp bắt đẳng thức trên về đạng bậc hai theo biển ø, khi đó ta được điều cần chứng mính tương đương với

ƒ{(A) :— 2a? — 2(b | 4c)a | 132 26c? | 34òc > 0

Xét biệt thức A theo biến a ta có

AR— (b+ 4e)? — 2(13t2 — 26c? + 34be) — —(5b + 6c)2 <0, b,c

Vì hệ số của ø? bằng 2 nên áp dụng định lí về tam thức bậc hai suy ra ngay

điều phải chứng minh

Bài toán 2.3 Cho ý > z > ! và x € R Chứng minh rằng

Lời giải Bắt đẳng thức 3m2 | 2n2 5p? > ?(m | n)(m | p) tương đương với bắt đẳng thức

f(m) :— mề + 2n” + 5p? — 2(mm + p — pm) > 0

Ta xét biểu thức về trái là một tam thức bậc hai theo biến m Ta có

A’ (np) (Qn? 1 5pŠ— 2np) — —(n— 2p) <0,

2m

Do vay, f(m) > 0, dẳng thức xảy ra khi và chỉ khi = 2p = >

Phân tích Để giải bài toán trên, ta cũng có thể giải theo hai hướng khác

Khi đó ta có

A=(n+p+aq+?—4{n°+ p? + +12)

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có được A < 0 Suy ra fli) > 0

THẺ + nÊ + pỀ + g2 + l2 = mẮn + p—q + L) © m = 2n = 2p = 2 = 21

Phân tích Ta cũng có thể chứng mình bắt đẳng thức này theo cách khác,

đó là sử đụng kĩ thuật biến đổi tương đương như sau Xét hiệu về trái và

vé phai, dé duac cdc tich mn, mp, nq, mé vao trong bình phương, ta sẽ ghép

m vin, p,q, t ¥ tudng la

worse +e +P > mnt ptatt)

<o(m — kn)? + (mm — kp)? + (mm — kg? + (m — Kt)? 20, với k— 2 Lời giải ta có

(m —2n)? + (m — 2p)* + (m — 2q)? + (m — 2)? >0

Dén day chứng minh hoàn tắt

Bài toán 2.6 Cho a,b,c € R va a? | 2 | ¿2 — 1 Chứng minh rằng

5(2+1) >2{a bye

Lời giải Ta có

5(c? + 1) > 2(a — 7b)c

Ẩ©5(a? | b2 | c? | c°) >2(a—7b)e

35a? — 2ac | 5b? | 14be | 10c? > 0

<o(5a c+ (5b+7c)? > 0 (uônđúng vớimợi 4,b,c

Nhận xét 2.1 Ta cũng có thể giải bài toán 2.6 tương tự như bài toán 2.3 và

bài toán 2.4 với Af, — (3a + 7c)2,

Khi hiểu dược cách giải chung, bằng cách tương tự hóa, học sinh dễ dàng giải quyết được các bài toán trên

25

Bài toán 2.7 Cho 5 số thực a, b,c, d,e Chứng minh rằng

6(ø2 + bˆ~ €? + để + 2) + (a+ b+~c+d~ e)2 > 12(ab + bị ¬+ cả)

Lời giải Đặt x — a— b và ý = d — c Việt lại bất đẳng thức như sau

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 — 2đ — b — c

Bài toán 2.8 Cho m,n, p là các số thực thỏa man diéu kién m,n, p € [—1;2]

Dom +n+p = 0 nên bất đẳng thức được chứng minh

Bài toán 2.9 Giá sử rằng các số thực m„n, p luôn thỏa mãn điều kiện

m+rn+p=T

26

Voi A’ — —176(3n — 1)* < 0 Theo định lí 2.1 (dầu tam thức bac hai) ta suy

ta bat dang thức cân chứng minh

(3m -+ 4n + 5p)? = 41[mm - np-E pm) + 1? = sana P= be

Sử dụng kĩ thuật cơ bản: Biến đổi tương đương

Dưới đây là một số ví dụ chứng minh bắt đẳng thức quen thuộc mà học sinh đã được làm quen từ lớp 8 (nâng cao) và được rèn luyện nhiều

hơn từ lớp 9

Bài toán 2.10 Giả sử r, n, p là các số thực tùy ý Hãy chứng tỏ rằng

m | nẺ pe mn onp | pm

Phân tích Đây là bắt đẳng thức cơ bán, vô cùng quen thuộc, bằng cách xét

hiệu về trái và về phải, thực hiện biến đổi, đễ dàng chứng minh được

Lời giải Xét hiệu về trái và về phải của bắt đẳng thức ta có

Từ điều này, dẫn đến bật đẳng thức cần chứng minh mu | 2wp | 3pm < 0

min | 2np | Špm = Ù @ m = n = p = Ù

Bài toán 2.13 Cho các số thực x, Chứng minh rằng ứng với mọi số thực

† ta luôn có

(xy yb | ix)? > Sxytlx by 1)

Loi gidi Ung voi méi t, ta dat xy — a, yt — b, fx — c Khi đó bắt đẳng thức

Bài toán 2.14 Xét các số ø, b, c trong đoạn |0; 2] có tổng bằng 3 Hãy chứng

tỏ rằng

ae <5,

Loi giai Data 1—x,b 1— yvàc — z, ta thu được x,y,z ¢[ 1:1]

với tổng bằng D Do +,,z thuộc đoạn từ —1 đến 1 nên

24 2(xy+yz+zx) > 0

ott P+ <2,

Dau dang thức có xảy ra, chẳng hạn khi ø — 2,b — 1,c — 0

Str dung hai bất dẳng thức cổ điển Arithmetic Mean and Geometric

Lời giải Sử dung bat ding thttc Arithmetic Mean and Geometric Mean,

ta dé dang thu duge

Bài toán 2.16 Cho các số thực không âm z„,z và không có hai số nào

đồng thời bằng không Hãy chứng minh rằng

Lời giải, Tách 2xw -E yz-E zx = x(wT— z) — y( + +) và sử dụng bat dang

Bai toán 2.18 Cho các số thực không âm +,,z và không có hai số nào

đồng thời bằng không Hãy chứng minh rằng

—$# („+ z)2

2(x—y) x(y +z) y(z +x)? `

30

Lời giải, Vận dụng Cauchy-Schwarz, đễ dàng có điểu sau dây

Vì thế cộng về theo về ta được điển phải chứng mỉnh

Bài toán 2.19 (Vietnam 1991) chứng minh rang ¥x > y > 2 > O thi

Do x > ý > z > 0 suy ra bất đẳng thức cuối không âm, ta được điều cần chứng minh

x= y =z + dau dang thitc ton tai

Ta cũng có thể chứng minh theo cách biến đổi tương đương như sau:

Cách 2: Bất dẳng thức đã cho tương đương với

19w? +22? +r3y? > x3wz + 0Šzx +z2xy

x3 z)+w2z2@w z)+z1@w } 20x++x?) xyz? z2) >0

oly z)(z— z)|xˆw + w=(x— y)| +z(#— y}Ÿ > 0

Vix > y > znén bat đẳng thức này hiển nhiên đúng, từ đó suy ra điều phải chứng minh,

x— ÿ — z thì dầu đẳng thức sẽ xây ra

Bài toán 2.20 Cho zu, n, p lần lượt là độ dài 3 cạnh của một tam giác Chứng

tỏ rằng

— ——+— + ntpom | ptmon mìn=p >3(m2+n2+p) (mẾ +n^+ p2) 2 2(mm-+np + pm) ì lời giải Áp dụng Arithmetic Mean and Geometric Mean, ta có