Luận văn về các bài toán không elliptic của phương trình Đạo hàm riêng

FHAN _MO_ ĐAU Mục đích của bên lugn vin ny gianh cho việc nghiên cứu các bằi toán biên không elliptÍe đổi với một vềi lớp yhương tuÌnh về hệ phương trình đạo hầu riêng tuyển tỉnh.. lồ v

_*® i

* Gingn văn Thổ tiến sĩ Toán ~ lý) “PP

Chương II Bồi toán biên đổi với ghương tràn

e11iptic sty biển tôn biên của niền

£4 +hương trình elliptic sty biến

$2 Dãng điệu eùa hềm C(t) với È gần O

83 vi ape Chương III Che bbi toán khéng elliptic a6i voi

hộ phương tình Bixetze

Ñ4 Đặt bầi toán

82 Điều kiện elliptic của bầi toán

85 Hồi toán không eltiy%ic thứ nhất

84 Bài toán không elliptic thử hei

Tềi liêu then khảo ;

FHAN _MO_ ĐAU

Mục đích của bên lugn vin ny gianh cho việc nghiên

cứu các bằi toán biên không elliptÍe đổi với một vềi lớp yhương tuÌnh về hệ phương trình đạo hầu riêng tuyển tỉnh

thước hết chúng tôi xin trình bầy một cách vn tết

quế trình nghiên cứu và đưa vào những định nghiã về khái

niệm on học eơ bàn mà chứng be sẽ sử đụng về sau

Gia sử @ lồ một niền kín, giổi nội tửong không gian

Ocelit R”, với biên f' 18 mét da tep ah tron (n-4) chiều

Ky higu x = GA 9000 935,) lồ tọa độ của các điềm trong R”,

x' lồ bea độ các điển trôn P

thong G ba xết phương trình đạo hồm ziâng tuyến

tỉnh cấp 2m với cắc hệ sổ trơn vô hạn ;

L@o) = 2 |@ ue) = fe

‘Mats amv

trong a6" or, Đ

Kl zs hye t on

Tuôn biên f cho m điều kiện biên tuyển tính

B Duc’) = hin ©) Due) = 4) (.3)

G = 4a")

„ Tuong đỗ B,(x,D) lồ các biểu thức vi phân tuyến tỉnh cấp

asics oma} với hệ số đủ trơn trên biên F

Ehương trình (o-1) được gọi lầ thuộc loại ellép

tại điền xé R” nếu ;

1„(xy š) 2 a, 3% 40 (3)

|; 2m

với nại véetd § = ( đnrrees 5) khắc không, trong đồ

Gia sử phương trình (o1) thuộc loại gulfp tại

điểmgthuậc biên P „ Te thực hiện Liên tiếp cốc phốp biển

aba tọa độ ¡ chuyển gốc toa a> dén điền, €? sau đố quay cốc trục boạ độ để sao cho trụe x hướng Ko phương cùa

Yếctơ phốp tuyến trong đổi vei? tei dims Ta chú ý

xing tinh elliptic cla hg phtong trinh (0-1) "không thay

đổi sau cốc phếp biến đổi tọa độ trên đây Sau đây để đơn

giản cếc ký hiệu ta cổ thŠ gia thiết ngay rằng phương trình (o-4) về các điều kiện biên (o-2) được viết trong hệ tọa độ địa phương tai điển,

Bây giÈ trong nửa không gian Tỳ = $xạ x,>o Ệ

fa xét bai toán biên sau đây ;

L 4) Dua) 20

Kle2m

che tẹa độ của céc dim trén siéu phing x, = 0, Seu khi

thực hiện phép biển đồi đourier theo các biến x' =

Gt —» ¥), mgt céch hình thức be đưa bồi toắn biên (o-¿) =

(0-5) v8 b’i toán trên nửa đường thẳng x>© ¡

ễ đu) Xết,, ốm ne G)x,) = 0

sim

Ego BSP” Dh AGlo)= $.6) lột: )„ `

Gs tes m)

trong đổ Â&Œjxs) lồ biến đổi Íoumier của hầm u(x',x,)

theo biến x' = (Xqses«sX,_.4)

Ký hiệu Ế lồkhông gian cấc nghiện của phương trình

(0-6) giổi nội khi x—> © (Với X, ý o) Tyong trường

hợp n 5 thi từ điều kiện ellipbie cua phương trình (0-1)

suy ta chiều củeỞ bằng m (xem [17] chương X) Cồn đổi

vối trường hợp n =,2 thì phai giả thiết bỗ sung thém điều

kiện lầ ¡ chiều cua ý phai bằng m (tức lồ bằng số cấc điều

„ kiện biên)

Me n6i rằng bồi toắn (0-1) - (0-2) thoa man điều kiện Sepirô - Lôpatinski tei điềnS,€P , néu bal toin (0-6) = (0-7) voi mei Wý O và với mọi véoctơ

ST Tố oe atthe dy oly tring

Tụong những trường hợp khác nhau; điều xziệu

Sepird ~ Lôpatineki cố thổ được uô th dưới những đạng

tương đương khác nhau Điều kiện nầy đặc trưng cho một

lốp cốc bồi toán biên đổi với phương trình (hoặc hệ phương

trình) loại ellip được goi lầ ;ưbầi tủấn elliptic"“(xen

W6] ¿ U17) )

ã : Bhi toa (0-1) - ,(9=2) được gpá

Định nghị o1

1ầ bồi toắn ellip to trong niền @ nếu thoa Ban các điều

kiện sau đây ;

4) Tiến tử vi phân L(x,D) lồ elliptie đều bại mọi

điềmx € @

1i) BBi toắn (01) = (0-2) thoa mạn điều kiện 8apirô = Lôpatinski tei mại điển $éP `

Những ví dụ đơn gian về wầi toán elliptÍíc lầeác

Dai toán Đirichbe và Nôi man đổi vối phương trÌnh *oắt-xông

Bồi toắn đạo hồm nghiêng đổi với phương trÌnh này

trong „`

du =f đong

mg ng ‘ee

véi w># y vàY1Ề hưởng tiếp xúc với biên f, không thde

man điềukiện Sapird - Lopatinski tei mẹi điÖm biên ,

nếù n = 2 thì bầi toán nầy luôn luôn lồ bồi voán elliptie

sao cho ¿ với mẹi uœ)e CS} thì

Uue) <= (Lư, Bulp os Bute)

OO (e) x CU) x * cur)

Dong thi toin te Ucd thề mở rộng thinh một toán

tử tuyến tỉnh giổi nội tỲ không øisn Sél6lep H°(G) vio

tÍch trực tiếp cốc không gian 8ô1lôlếp ¿

thuộc

Xen) + HQ)» EME GG ave ES)

trong đổ 8> Bạ = max(2m, mttyeoey m, + 1)

Äeu bầi toắn (0-4) - (0-2) 1d elliptic thi U được goi 18 toan t% elliptic

Ket qua eg ban cus lố thuyết bầi toán biên elliptic

lồ việc chứng minh sự tương đương của cốc kết luận sau

Wall yames @y $e iow We) ne Nae ana Som,-t tý Cle

voi mọi we 8””*⁄(c) s ~ lồ hằng số không phụ thuộc

AL

Việc sử dụng các phương phép giei tich nm a nghiên cứu lý thuyết phương trình elliptic cd thé xem _ như được bắt đầu vào rhững nờm thứ ba sượi, sau sự re dvi

của lý thuyết các không gien S6161ép wy S), lý thuyết

đồ đã mỜ xa khổ năng ấp dạng cốc phương phấp cùa toán học

hiên đại để giøi quyết các bồi toển được đặt ra cha phương

trình đeo hần ziêng nối chung và của lý thuyết phương trần

về hệ phương trình loai elÍÍp nối riéng

Năm 4957; 1.G Pétropski đã đưa ra định nghiã tống quất

của hệ phương trình loại ellÍp về đã chứng ninh được

tĨnh giai tÍch của nghiện trơn cua nb

= 9=

Nem 1948, A.V Bixeze đa xây đựng được mật vỉ dụ ¡ mật

hệ elliptie theo nghia ‡êtzổpsii, nhưng đổi với nố bài

toắn Đirichlê không cổ tính Nête VỀ sau nhồn mục đích

khai thắc thêu Ý nghia cue vấn đồ do Bixatse đồ ray tắc

giả Sắc.ReÐ MO) ge chấn, tỏ xằng nếu bồ sung thôm những

điệu kiện nào số đổi với các hệ sổ của đạo hầm bộc thấp eùa hệ phương trình thì bồi toán Dixichblê cổ tỉnh Nẽte Ế,

€ n6] >

Đồng gốp nhiều công lao trong việc phất triển lý

thuyết bồi toán vi phân elliptic hai chiều đồ lầ những

nhà toán học I.N,VêKua, B.V Boieoski,; A.I« Vonpees»ss

Việc nổ: iên cứu bầi toán elliptic nhiều chiều

tổng quất bất đầu %ỳ cấc công trình của Sapirô, Lôpa

tiuski ông lao của các tác gia aby lầ đa đưa ra điều

kiện đù để bài toán of tinh Nate, mb sau nầy người te

đã 1ẩy điều kiện đố lầm đặc trưng cho một lốp bầài toắn

biển đồi vổi phương txÌnh về hộ phương trình loại ellÍp

~ đồ 1ầ bài toán biên elliptic đã được định nghiệ ở trên

Hiếp sau những công trình của 8apirô ~ Lôpetinski,

nhiều tắc gia khắc (enẵng hgn Hf man der « ) đã tiếp

tye di sau nghidn cứu các tỉnh chất cùa các bồi boắn tổng quất, Kết qua đẳng 1ưu ý Lầ họ đã đưa ra những ước 1ượng

đổi với nghiệm của bài toán, trong đồ đắng kê nhẩt là

ước lượng trên nghiện đổi với bầi toán elliptie trong hệ

không gian 8ôlôlớp dạng (o-6)« (Xem [17] ; [16] ; [15] )

UỐc lượng (0-8) cho phếp xãe định được tỉnh trơn của

nghiệm cùe bồi toán theo vŠ ph&i củe phương trình về

điều kiện biên, đồng thừi cụng suy ra được tính hữu hen x

chiều cua KerU, tỉnh đồng của TnU

Gho đến bây giỀ việc ngàiên cứu cấo bằầi toán

biên ellipbie cố thŠ xen như hoần hao với những kết quà

đẹp đe không những đổi với bằi toắn vi phân mồ o8 đổi

vối bài toán gìa vi phêân (Xem Aggenơbkc 6) , [17] » [18

Hiên nay, vấn đề đang được nghiên cứu nhiều lầ cấc

bồi toán khéng elliptic Việe nghiên cứu các bầi toán

không ellipbie nầy người ta thường xót theo hai xu hưởng s

Xu hướng thứ nhất là x6b các bồi toán biên đồi

với cốc phương trÌnh hoặc hệ phương trình 1oai ellip

trong wi8n G, svy biển tzôn tết đa tep con rồố đố của

xhiền, hoặc trên mộ» phần nào đố của biên cus miền, Về

các bồi tóán biển đồi với phương trÌnh loai ellÍp cấp

hai suy biến cố bhể xem trong cuốn sách cùa M.M.Buirnốp

8 Nhưng đặc bảêt lưu ý lề những kết qua nghiên cứu

cha O;A,Öleinhie, Ratsiôvich về phương trÌnh đạo hầm

riêng cấp hai với đøng đặc trưng không âm (xen F279

GÉo thương trình elliptic cấp cao suy biển mổ4

cage cht F trong những năm sấu mươi trở lại đây, trong

đổ cố các kết qua củe liel.Visic và V.V.Grusin [4) ,

A.V FuBexikop [5) Cốc tắc gia nby 42 xét mot vbi lép

phương trinb elliptic efp 2m suy biển trén bién cha mitn

theo phương phắp ghấp tuyển; trong đố đa chi ra nhing

~11~

điều kiện cụ thồ đồ cho tốn tử cùa bồi toắn cổ tỉnh

Nêtestrong những khơng gian hầu đương Ứng = đố là những khơng gian 8ơlơlớp - 8l6ưbơdeĐski cổ trọng lượng được

chẹn mật cách thích hợp tÌy thuộc vào dạng phương trình

Ngoồầi ¥a ta cũng chủ ý đến cơng tưÌnh của G-Geymonat và PoGrisverd (xem [6] ), xét vai tốn biên đối vổi phương

tưình ellÍpbÍo suy biến với phầu chỉnh óa phương trình

chữa thừa số (Œ) , O«< 6< 34; (@)- 15 him ch tron, triệt tiêu cấy 4 trên biên ella uiền

Xu hướng thứ hai ta thường thấy lồ xét cấc bài

tốn biên đổi với phương trÌnh hoặc hệ bhương trình

Logi elip nhung kh6ng thog man di8u kiện Sapirơ=Lơpatin=

ski tại những điểm biên nồo đố; hoặc toần bộ biên của miền, Những kết quả trong lĩnh vực nầy đồng chú ý nhất 1a che cơng trình của To hang - V.¥, Gausin nghién cứu lốp các "bầi tốn khơng elip' ắc đều" trong khơng

gien 8ơbơlếp, (xen) 4) ), cùa N.E.Tổpnaxian [11] , hal » U2] )› cha RS.Ske ( W0] )¿ «+++ nghién ei

c&e hé phrong trinh eliiptic e@p hei trong Lốp hầm đủ tron hương pháp cha các tấc gia này nĩi chung lồ đưa

bầi tốn đang xét về cáo phương tnình Zwedhohm ; cấc

phương trình tính phân Ky ai, hoặc phương tuÌnh vì ghâm tích phân Xỳ dj %rơn biên cha mitn

Nhần chung trong cổo lĩnh vực được nghiên cứu

về các bầi toắn khơng elliptic cồn nhiều vấn đề cần phải

giai quyết:

Kuầm sốp thần vào việc giai quyết các vấn đề trén, trom bạn luận ấn nầy trình bầy các kết qua nhận được về việc nghiên c#u một vầi lốp bềi tốn khơng ellip-

tich

-42~-

Nội dung công trình gồmba chương :

T„yong chương 1¿ xé% bồi toén (o-1)-(o-2) trong

miền giổi nêi Gy với gia thiết như sau +

Tuong miền giới nôi @„ cha mập n họ uiền {Gy}

với biên {f\ VÌ phụ thuộc trớn vào thau số t€ [oy1] theo

nghi? $.G.Krein [4] sao cho G =G nghĩa là khi t—+> ©

thi @,—> G Đồng thời trương mỗi miền'G,; %€ (oy4] Đa

git sử bad toán

(i = 1,2;s««sH)

1B elliptic vi đơn trị (với mei + € (0,1) chỉ trừ bại

% = 0 thi bas ton khong được gia thiét 18 eliptie

Như vậy %a cố thể xét bằầi toán (o-4)—(o-2) (tức lầ bầi

toÉn (o~9).(o-10) long G,)nhự 1Ề "g3ổi hạn" cua một họ

cấc bầi toán elliptic (o~9) (o~10) phụ thuộc vào tham số

t€(@/4} Khit—ro 1e cung chứng uinh được vằng với

sis thiết như trên đối với bài tboán (o=9) '(e~26) thì bài

foam (0-1) + „(e-2) cũng Se giai được đơn trả về trong

trường hợp về phai ŸŒ) va g.x) (j = 1s2;:««sạm) thuộc trong những *hông gion Sdbélep xáo định nềo đồ thì nghiệm

eùe bồi toán cũng được - tầm trong môt không gian Sôbô1lốp,

tương ứng 6 aay ta cing chú ý xẰng tỉnh chất nghiệm cua

họ cấc bềi boán (o=9).(o-49) với te (o;1] đã được nghiên

cứu ảo cắc bắc giả 8.&.Krein, L.A„ấotlto, LeÀ»Ivenổp (xem Ư1 › [2] va [3] )-

Nội dung chương I1, ta xét bỀi toán biên đối với

mệt lốp phương trình elliptie cấy 2n đẹng (0-1); suy

“42~

biển trên biên cụa miền, Te cổ thổ xen bồi boán xết tron chương nầy như mật ví dự ứng đwng lý ý thuyết nhận được tror

chương T,

Nei dung chương TII1; xếb mệt lốp cấc "bầi toán

không ellfptie đều" đổi với hệ phưỡng trình Bixaze mà c&c tác gi trong [9] , [10] đã từng nghiên cứu Bằng

phương ghấp đưa bầi toán đeøng xét về các bầi toán ellÍptic

sau đố sử dụng lý thuyết ellipbie cŠ điển ta se đứa za

những điều kiện đù đầu bao cho bồi toến od tinh Néte trong

những không gian 86bôlép tương Ứng Xháo với rhựng điều kiện đù mà các tốc gia trước đây đưa »a, Ù đây tà nhện

được một hệ thức đầy đụ mô bả sự liên hệ giữa tốt ca cốc

hệ số (kŠ cả các hệ sổ của các đạo hầm bộc thấp) cua phư

tưình và các điều kiên biên đầu bão cho bầi toắn không

elliytie có tính Wôte Bài boốn đưa xe ở đây 06 thé xếp vào lốp các "bầi toán không clliptie đều nồ Veibepg - wa

“pusin d& xét trong WA) -

Nội dưng chương 11T cố thể xét téch rdi voi

chương Iva II, buy rhiên phương phấp beo tzÌi trong toần

bộ cả be chương lồ "#hương phấp elliptic hoá", sử đụng

kết quà cua lý thuyết elliptic cể điển vì các kết qua

mổi nhận được cố thệ xem rhư lầ các hệ quà cùa lý thuyết

này

Néi dung cơ ban cus chương, 1 được công bố thong

cấc công fuình [20] và [22] 9 của chương I1 được công

bổ trong [21] về [23] « cùa tốc giả

Để kết luận phần mơ đầu của bèn luôn văn này;

tắc gig ban luận văn cuân thành côn ơn những thầy học

eữ của uồnh đã từng giảng đay È khoa Moan trường Đại

hẹc lồng hợp Hồ-nội Đšo biêt lồ một người học trồ,

táo giả vô cằng biết cn thầy học cù cua mình, Fhd giáo sư

Nguyễn Thửc Hợp đã đạy cho mình những bài học đầu tiên

cua lý thuyết, phương trình đao hồm riêng và những bầi toán cơ bên cha nb, đố 1ầ cơ sở ởề tốc giá hoần thnh nội dung của chương TIT của bạn luận vừn Mc gié bist om

sâu she thầy hee; yhố giốo sư Ehgu Hzg2 Thao người đ? dạy

cho nỀnh cấc phương phấp hiện đại của lý thuyết elliptiey

đổ lầ cơ sợ đỗ tác gia hoần tuồnh về sổn công bổ co kết

quả trình bầy trong chương 1 về 111 của bán luên văn

tiếc gia cồm ơn các nhồ boán hẹc bien xô, giỗo sư toắn học

8.G Krein vi L.A Kotko @ chan tink gitp 46, va cộng tắc công bổ những kết qua èơ ban của tắc gia trong lý

thuyết các bềi toán ellipbic tronz thiền biến thiên,

Cuối cùng tắe giá tò lồng con ơn nhốm nghiên cứu

phương trình đeo hồn xiêng khoa Toán, trường Đại học tỒng

hợp HỀ nội, ,°ếc bão thầy học và bạn bè xa gần đã giúp đỡ ủng hộ đỗ tắc gic gốm hoần thằnh bạn luận văn nầy

+

+#t

+

81

BAI TOÁN BIRWV THONG MIN

GIOT HAN

NHUNG KÝ HIEU VA KET QUA CAU VJIET ;

4, Hp miền phụ thuộc than sf ;

Gia sử @ lồ miền giới nội trong không gian

R”, chỬa bên trong nổ một họ miền con déng |G, (os ts 1)

với biên Ï, , ogo cho G>=G, f, =P Giả thiết rồng

với mỗi +€[e,3] các mặt Í, phụ thuộc trcn vào thamgổ t

theo ngh ia cha Krein hon [1] :

đi (qsssssB a) 1Ề hệ toạ đô đỉa phương của cấc

diese fs tại nỗi didn ø ef, ta ding véeto phấp

tuyến trong đổi với mặt; P va tex độ cùa cắc điển nỀm trên truc nầy được ký hiệu lần Như vậy hệ thống cốc số (EAsssssBp.sD)y 8 = (8xssesyPp 4) €Ỉ: ; nl<ng; lậpnên

hệ tọa độ trong nệ% lân cận U nàođồ, oye met fy $ Dong ibd

ta gia thiết zing” che bọa độ này là phi hần đù trơn của

các tọa độ ĐÈ các với Jakobien tương ứng thọa nếu bất

đăng thức ;

o<ag JGn) A SHO @=1)

Gia sử at với latlđù bố ceo cho mt Mayo U

fe giá thiết vồng trong hộ top độ Œác khương (syn), mặt

Peat — 9c xác đính bi phương ĐưỀnh ;

n= * Gt at) , I| « ClAt| ca

ong đổ (stat) 12 nim du tron tueo cốc biển số

cue nổ; đồng thời tồn tai giới han :

lim LxGeat) = dG)

Atso

1Ề hin ah teon theo (6,4), thoa win ước lượng

io %ŒÐ| < ct (ds 54,2 )

đều với noi sem khi b—yx o

hong những kXẾ% qua sau đẩy %a chẦ cần quan tâm

đến những miền @, với đù bế về hồàa

Œ,t,At) >o ,š€f, Atvo (4-5)

Ta ky hiệu ; > Gry , lath ed

Khi đố ta cố bổ đồ sau ;

BỒ đồ 4,4 ¡ Sis sử #Œ) là nền số thuộc lốp

(WG) bằng O cùng vổi mei dgo bầu của nổ cho tổi cấp

Ñ trên { (hoặc trên lát + Khi đố cổ ước lượng

sau đây : s>è4

-17-

VOL mei 1¢s¢N, C- 18 hing 58

mgt vây, với s nguydn thì ước lượng (4-6) wố

được do b đỀ 5 chương 4 [2] ¿ cồn với ø bổt Kỳ thì (1-6) được suy ma tỳ định lý nậi suy (xen đính lỷ nội suy 8+

29,oán tứ A§ (ÀAv) + xen [1] và chương 4 [2] )

Gia sử Ý@&) lồ hầm cố thuộc tếp €®Œ ) Với

mội hầm ÝŒ) như véy ta Lập được một họ cấc hần Aat #G)

php thuge vio thstisé at xác định trên i (với te[o;41 ) theo công thức sau :

= 46) - Ge)

Như vậy với nỗi at cổ định, Rạẹ nhớ một toắn tử

Ảnh xe hầm s6 f@) xáè đảnh trên & vào *hông gian các hầm

trên Ít

Te,cổ bổ đề sau + (XembÖ đồ 2 chương 4 [3] ) ey

~48~

BỀ đề 4:5 ; Toấn tử Á4 cố thê mờ xông thành toán

% liên tục tì Hết (©) vào HECK) với nọ 5>£

Céc him cế trơr xác định trong điều Gy

%€ [0,1] of th8 my rgngthinh mgt hims6 xde ajnh trong

toần bê miỀp @ bào toần tỉnh trôn Te ký hiệu Ry› t€ [9;4]

lồ toáñ tử mở rộng cố bnh chất nối trên Tuong [3] » cée

tắc gia đc xếy dựng được toán tử Ry bằng cách mơ rộng sơ

#ồ xây dựng toần tử mử xạng của M.Ñ.Hesbenes trước đây,

êồng thù3 đã chứng to rằng luôn luôn cổ thể chẹn cấc toắn

te Ry giới nội đều tề HP(G¡) vào H”(@) với nei t€ (oạ4]

VỀ o4 s «4 W¿ trong đồ W đu lớn nềo đồ ïhi§ lồ tồn tại

hỀng số Ơ không phụ thuộc t € [0,1] vA os e<N sao cho;

Bây giÈ ta gi 8, lầtoán tỉ hạn shổ hồn số xác định trên @ thành hồi sổ xắc đỉnh tờôn G, với té fort] +

RO nồng 6, lồ toán tử giới nêi đều theo % t? H”(G) vềo

HP(3,)s Hơn nữa we chủ ý 1Ề”; S¿Ry = I 1Ồ tiến tử đơn vị

trong H°(G,) KÝ hiệu F, = RyS, „ khi đố Ey lằ mât toắn

tổ giới nội trong H°(@) ) YẾT o & ø «W „ về cổ bất động

thức ; “

5

Weegee Pew sos eM sea eg

VOL o«<v «+, 220, 2+eý <4 N đó

0-lồ hồn, số (xen định lý 4 vì hệ qua 4 ÊZ chương 1 [5]

4° BỀi toắn biên trong hp miền biến thiên :

Gia sử 1L(x,Ð) lồ toán tử vi phên eẾp 2m với

hề số trơn trong G, vi {Bj GoD) ] (3 = 12ss«sym) lồoẩg

biểu thức v4 phan cấp my tượng ứng; my 2-1 (B= 14,2506

với hệ sổ trơn xác đánh thong G ‹ Trong mễi miền Gye

%€ [6,1] ta xết bồi toán biên cau đây ;

1ầ hồn x6c đảnh trong G, trong a6 R, 1h toán bk mg

xông đã nhắc đến trong 2® 4 Nhe vey {,(t,x) như mộ

hầm xếe đánh trong [0,1] x G

yong các công trình [1] ; [2] và [3] voi

mọi %€ [0¿1j ; bỀi toán (4-40)~(1~14) được gia thiểt là

bei toan elliptic, don ted, dBng thdi trong ước lượng

tiên nghiệm ;

Wel ns Gy § ca) [Mate + 2 AB gesssm-E(c) }

(1-12)

(vổi $©o , wen") ), c(t) 1thdn of phụ thuộc

t€ {o;1] ¿ giới nội đều Nhập te fo;1] 3 Che t&e gia

S.Gelwein, LeAsivendp vi L«á„Kðthô đã nghiên edu tinh liên tục, bÍnh khã vi theg t, đáng điệu của hầm 4 (t;x) trong [0,1] + ding điệu cụo phể cha bầ¿ toán (1-10)=(4-11) zhụ thuộc t€ [0,1] - Những kết qua trên đây +wrfm được

ng đụng để rghiên eƒu bầi vefn hỗn hơp của phương trình

Logi Farebén trong mitn không phai hình trụ; bềi toán

chứa đạo hằu theo biển "thỳi gian" ở điều kiện biên, «

Đặc biệt trong [2] ; với những gia thiết như

trên, LeA«1venÕp đã nghiên cổu trường hợp khi với moi

giế t‡ t€ [e,1]x{b¿| ; bề toán (1-10)+(t=31) lầ eLlip-

tíc, đen trả, đồng thời 0(b) giới nội đều theo te Toot ft,

WwẾp giả đã chứng winh duge ring ngey cé voi t 2 tạ bài

toán (4=4D)~(1-11) cũng tồn tai duy nhất nghiệm

%Œœ) € n""*#~” (Q) » ty , $3 vO

vii Fee WO), Gaen™ri (6) Ty mhidn

Xết qua nầy chte cho ta bidt ring vbi todn (4~10)-(1-11)

trong witn G, 06 phgilh bai toán elliptic hey không Ị

Mục đch chương này x6 bồi toán đ#ge đặt xe trong

[2] ¿ những không gia thiểt 0(%) là giới nội đều theo

t Bai toÉn nầy se được ứng dụng đồ ngaiên cu các lốp phương trình elliptic suy biển néi chung

tong Š2, giá thiết mồng khi t—w o dang điểu của

G(t) cổ uốc lượng ; (6 đây xent, = © !)«

C&) 2 OWN) ,o««<«<+ (1-45)

Xhâ đố bà toán trong siỀn 8ạ được xét như là "giới hen"

của họ cốc bồi toán elliptic (4-10)- (4-4) khi t—»> o,

nổ cũng tồn tel, duy nhốt xghiện trorg không gien &ôb6lếp

xác đính với éáe hầu f(x) va 9 (x) (j = 4ys«esm) cũng thuộc “nhgxg không sian Sôoôlếp nào đồ brên G„

tuong Ê2p ta xét bai toắn trong witn @, trong tưường hợp Về rhai f(x) của phương t»ình thuộc eating

gian H6°9%)(G) (ego xfy đựng seu đây 1) ch¥a khéng gien

#°(@) v& ca những hầu không b>ơn bzong lân cộn biên của

6

Tu lại nẹi dung chương I nghiên cứu sự tồn %ai,

duy nhất về tỉnh trơn cue nghiệm cua bầi toán (o=3)(o<2)

(tic 1B bầi toán (4~40)-(4-14) trong mitn G) Với những

gia thiết đưa xe sau đêy, lớp bầá toán nầy bào hằnnột, lốp

cếc bồi toán khong elliptic VÌ vây những kết qua mà

ching te nhận được cho phép ta nghiên cấu bài toắn biên

đối với mit lốp nào đồ eñc phương trình lo£i elip suy biển trên biên của min mb trong chương I1 eha bạn luận

vin ta se 48 cép đến,

Ñ2, Bồi toán biện tro: or 1

Ta nhắc Lại + Tuong nụo dềy sẽ xé bồi toán

trong miền G„ = ö sau đây +

hxy0) uG) = f(x)

By (sD) uŒœ) = 6,0

G = 4s2yss«gm)

Vếi LỆc,D) về B,(x¿D) 1ồ cấc toán tử vi phên với h số

trơn võ hạn teong ở, cấp 2m và a (j = 3s2sexsm)

M,& 20-4 “ahi da néi trong Bi

Ching voi bồi toán (2-1)(2-2) , trong mỗi miền Gụ

Ệt€ (0,1) ), ta xết bầi todn :

Me gin thitt mỀng với dối té (o;1] bềi toán

(2-5)-(2~a) lầ bài toán biên elliptic, dom tri vi od

ưổc lượng tiển nghiệu (4-42) với G(t) lồ hầu» số phụ thuộc vào ty o<tb«4; đỒng thời xui bt=*+> o thì hồn sổ C(t)

dồn ma vô hẹn thổa mạn gốc lượng:

`

trong đổ 4 1À hồng sổ ; 0&4< 4 (2-6)

Gảa sử f(x) và g,Œ) (j = 1,2;-.‹yn) 18 những

hầm thuậc không ¿ian GP (3) Khi đố với mei 0,

#G) € H”(Gy), g;GÒ € ute") (G1) vid mọi te Toy1]-

fạ ký hiệu u(£,x) Lầ nghiêu (áuy nhất) eùa bầi

toán (2-3) ~ (2-4) trong uiền G, Ứng với các hồn số f(x)

và 8Œ) (j= 1/2usssy8) nối trộn,

Vi Ge HCG.) » ade HẾ®””) (œ2) (j = 4,2s‹-«,m) nôn nghiệnu(tyx)€ HẾ 5g) — (với s > o)

tong đồ R„ là toển bử mở rộng hầu số tŸ HỂ #5 (0g)

lên H“S(œ) ; giổi nôi đều theo t€[o;1j VỀ o«ø«M (Xen Ñ1)

Hon nila ta goi +

- 8=

Ta thy vi fe) CHG), 4 6H) Far@) EWG) + Đồng thồi bố cố ¡

tim Fae) = 0 vii oti re G& (2-8)

ve (44) | = WECM) I =

(6@)

`

xa “Pht Go) XC Nig Fle ey ‹

đồ tỉnh giổi nội đều của các toán bử Ry vù bì ước lượn; tiên nghiện (4-32) suy ra :

ON igs cltvat) | NFU e 2 NgjN am45-5 (4) {

BDI, = Nae 4; - Ne Beat }

Khi đố vếi s >4, 2m: Ì.= 4>o „ ĐỀ bỗ đề 868

(xen 4-6) ta số ; =

aie

VE Myton tk oy «+ {U8 erat V game sm 1 2 aed

+ What 9) W aan Sem tak ws ‹ cy WB; Meat Hames +

i (9,4 Cai on TẾ : < ¢ { Me aN anes &) + NH2 my ()}

1 đố, nhề đơc lượng tiểu nghiện (4-12) suy ma ;

Ale « cŒrat) wa văI I

- 6=- trong đổ Ce pat) = 0 C(teat)™)

& €@).cŒ«x4t) { KH + a V9; game s= my iol

Mệnh đề ching minh xong

có bẩ+ đỶng thie +

is Wms gy ican Wh sth N9;M ames-my (¢) ‡

(2-12)

Tuong đố cœ) z O(“) (t+ô)

Ching minh ; Thạc vậy tacd :

We W meses @) VR i Ware) (6) + I (1-%&) :

he a Names () + a W Chae - Pe) Ue pat Wy zmesen @&)

trong đố Fy = RS,

™ tỉnh giới nội đều của toán 1È Ry và bết đồng thức (1-9) khi đỗ te nhận được :¡

`

Ve ee @) ‹c lạc nme" (Gg) 2° Wesel ames cgy

€€ (C6 69 C6xs0|{ Bà 2 Me Ệ

đề đồ với t > ö; đủ b6 về lưu ý đến dáng điệu cha

C(t) ta nhậu được đơc lượng (2-12)

$94 ; ba cổ ước lượng biên

nghiệm sau đây ;

Rese

Hal xe du) 649 HN, 2 ĐÁ mesma (ots)

ong đố ;

€@ xo“) nứt

og) = 6GxÊQ 94m £ néu 4-2 yO

với Ê(-*“) 1b gid tej cha nim $-irhe tei 4-«

Chứng ninh ;

Véi te(o2] te chia deen [t,4]} thành 1 phần

bằng uhau boi che dibm test ,tyyeesty = 1 ve AY nigu

ty - ty, = at khả để ;

Cổ cñc tỉuh chất đồi hoi Mệnh đề chứng xách xong

@ mệnh đồ 2.2 %ø thấy đối với aghiệ» ủ(t,x) của bầi toán (1~20)~(1-21) có ước lượng (2-12) tương tự như ước lượng tiên nghiga (1-12) BYi vay nếu đợi lượng i-ze cồn không đương tfc lề ©, (t) đồn Ýô lẹn ihìi 9 —> o, thi ta se ti€p tuo 1f luận như sau :

VGi moi S>2 , Sp ding ude lượng tiền nghiệm (1=12)

cho „ be cổ ;

»

VE H yemet cay § CW IL SE Vet coy? Fat hs

lặp 1gi lý luện như khi chíag mình mệnh đề 2-1 $a

gẽ viện được cức ước lượng sau đây ¢

ˆ

Đối với đại lượng Wael yin") ta sẽ sỈ dựng ước

lượng (2-12); vì vậy cuối cùng te cổ ;

#Ốc lượng (2-15) đối với a Hong tự như ước lượng

(2-12) Dao đố lšp lei ching winh minh a2 2.2 ta lai cé woe

lượng tiên nghiệm đổi với rghiện 1(tyx) cue bài toan (4-10)

(1~44) nh# san :

Mệnh đồ 2.2 : VOi moi $32 %n có bẾt đồng thức s

MM me) ‹t,&) { WE We O} + Ễ (4; Ì, 2, s- mỹ ) Ì (2-16) Myong @6 C(t) 1Ề dại lượng thôa men ước lượng sau :

C4) = 9 we") nể 2-34 <o đá) = 0045 G-x) mt

Ching minh ; fs chi ¥ ving khi cù: minh mệnh đề 2

2x2 te nử đụng ước lượng (2~1 thì xhi chỉng ninh mệnh đề

2.2! ta se lip lai hot toàn lý luận nhứ hi chẳng tình mệnh

đŠ 2.2, nề trong đồ thay cho ước lượng ) ts ct sf dyng

ước lượng (2-25) VỀ vộy thay cho tồng Ễ c6.).c@) at;

$a se sở dụng tông seu dốy :

er! tưrốr đopn [t,:] ‹ VỀ vậy khi

ðng này sẽ đền tới giới hạn ;

ii tố”

VÌ vậy với 1 ¿ù lớn bù cổ chọn được 0-(t) tho’

Ban ve luryns (2-76)

WẾu đại lượng 2-30 a lei titp tye 1y

luận nhữ trên; cuỗi cùng dổn bướ ta st nhện được ước lượng tiên nghiện thứ 1 đối với i (ya) che bBi boán

(1~40)=(2~14) trong tiền 3, & thử sau ; sz&

Mel meecS Cute) { NEW ie Ễ MỊN mg } (97)

trong đố Q(0x o(t 4-04) nếu - 4.404 <o

về = O14 8(#,-%) fot

néu k-(s4) 4 vo

Wi o¿ 4< 4, nôn nhất định với k ởủ lớn te sẽ cố

= 32i—

«tk, rte lh &k-Œ«)x vo „

+:

“i đổ hầu sỐ phụ thuộc w 6,.(¢) trong ước Lượng (2 173

se giới nội đều trong (0,7) |

Guổi cằng do tính g12i nội đều cụa toán t? Ry và

vổi k đủ lên : osx< ễ „ te sẽ chọn được hỀng số 0

ạt

sao cho: $3

»

Re He) se} Weg) Mã M9; Ñ, 2mys-mj @) Ì (228)

Bat ting thite (2-18) nhận được với git thiết cáo

hồn £(x) về ø¡(x) thuộc (*(ð) „ Hồ đố bồng cách chuyển

qua giới hạn bat đằng thức (2-18) cimg thos aan voi mpi

lượng (2-18), vei 2G) € (a) , 5

XI (vs) như một ham của b€ (Gy sil H8 (0), giới nội đều teo chuẩu: trong

với Y$ o bé tùy ý sao cho s-*-YWy o , va nh tinh comphe

pemronk egy,

cha Énh xạ zhúng HP ~*(Q) vào HỮ“#5-E-Ý (\), tần $ại một

đẩy {%,ÌCÊ(o/1] ; ty —> 6 Œé>+@) cao cho đấy hầm

fats, 29} hội tụ đến him 4, G:) twong MEET (Q) afe

khi đố với nọi S> k , thì bầi toán ¿ (Z-1)(2-2)

1‹;Ð)U = £ x€ &

Giải được trong không gian JPPP9-K~“Ý (2) và nghiệm

cus nd thoa nen woe legs :

Well pemas 9 G) <¢ { Tư) tễ Ugg W zones -my ey (2-20) trong 46 ¢ = 1% b! 5 Too, 3.&-W>o-

Ghứng Mảuh : Teething uinh ring 4, 1b nghign cue bai tog

chor—> + @ thi nhờ (2-19) sỐ hwng thứ 1 din ve O con số

hạng thể lei dồn về O do Lu,-fen**-*G,) va mesg) +0

Nor véy : ĐH, = f trong Gy

Eon nia’

( G - 4Â amus.m 6t cơ) Š ẤÕ 0,4, 2mys-ms~ He cụ _

+ WA, we - 4" Âm +s-m -Â } 4m)

< UAL (Bue -95) xe -erg rộ ¬

cho 2542 (ts0) thi s6 heng th? sn%t trong vé phai

gần về o do (2-39), cồn số hang thứniêt dần về o nhờ tỉnh

chết của toán bể se, ®

Nhe véy : 5t, “8

tẾc lồ #Ị, 1À nghiền củc bồi toán (Z~1)~(2=Z)-

% ta chéng wink wé tợng (20) đổi với Ae

Muto let te cd :

:

` Mel me soba ue Wo

> Oo & Ste a nhényduve ude lugng (220)

ý : Voi gia thiết của định lý 244; bồi toãn (2-1)~(24) duy nhất nghiệm

Chứng ninh ; búà sử bø tÌn được nghiệu

ew MỸ(@) của DRA tomn s Lu, so) 245 Bugzo , 26% -

Ấp đụng ước lượng tiên nghiệm đổi với Ð, trong miền

Ge ‹

~25~

nh 4-1 @) $6 1 NLusl s.&.y-: &)* 2 nh

VỀ 1(x,D)Uạ= o trong GQ ; sồ Gạc 3„ nôc L(x,D)„= 0 cỗ

trons G, (tb€ (0¿1) ) ¿ cho nếu cuối cùng ; nhờ (1<7),(1=8)

HỒ đây cho bẴ+o tiÌ vì <4¿2e HO” h”cG ) nan

VE phải dần về 0, cồn về trối đầu đến Re, smys-k-r-+ on

situ 46 {b lỀ Ủy x o⁄ Định lý chỉng minh xongs

Định lý 2:2 : gi: s? f@)€ CC), qiœ)e c®(Œ&) Xhi đó nghiện d, của bồi toán (2-4)-(2-2) thuộc c°(&)

Đánh lý này cố thŠ xen nhứ hệ quả cua hai định ly

trên

Thật vậy gia sử 1 lầ số nguyễn đương bất ky Ta

chen s du lén seo cho: m+s-k-Ý > W + vì

€G), 4)@)€ €®C&) nên cổ thŠ xen f@)€ HẺ(G)

gy ent?" (6) + Khi đồ bồi toán (2-4)=(2=-2)

6ổ nghiên duy nHẾt «ve H25 #“Ý(6,}, Nhưng vì

am ese es > Bel nén wm ® Faye CẾCS)

nên uoe CÍCễ,) „ VÀ 1 bñĐ kỳ nên 4€ C^Cổ)

Tưước hẾ% te lưu ý ring trong muc nby te lai

nghiên cẩu bồi toén (2-1)-(2-2) trong niền q„ day a6 đơn giản ta gia thiết thôn ring các niền G,(t€ Tosi] ) với

# đu bế, lêp thỀnh nô họ riền con {G,| té (L6,8] tăng đến

T= —

Xhả xết dến ước lượng tiên nghiệm (4-12) của bồi toán

(1-10) (4-11) te thấy ; d¿ng điệu của him c(t) khi ©—> o

hoần toòn ghỳ tuuộc vồo dềng điệu cỦa các hệ số của cấc biểu

thie vi phan L(a,d) về 5,(x;D) (j = 1;2,- ym) Ÿ t>ong lân

đ#@n biên =F, cua witn G Tong 82 tô đa xót trường hợp Khi t~» o 1 c(t) se đần xe vô hen cần; sốp với tY „

1 oga< 41, với về phai #() của phương xÌnh và 6

G & 1,2.+0+5m) cue các điều ki§u biên thuộc vào ;hỡng không gian 8ôbĐ1Ép tương ứng

Tương mạc này cau khi đưa vồo không ⁄ien: H““QJvới

» %>0 » te mẽ nghiên cứu tỉnh ;i2i được của bầi

(10-2) trong trường hợp f@)€ PC” *“%)(3), Te cht

vắng không gian HÀ 9%) (G) mage xếy đựng sau đây bao hầu

gian HG) về ch nhing him khOng tron trons lân cện

vn niền sạc Vi viy không giøn IẦ°*%4) (4) sẽ được

nghiên oểu c6c pb#ơr¿ trÌnh loại clÍp trong niền

cổ hệ 86 18 nhing hha khong tron trong lên cện biên [„

ma" :

Be Không gian HEI) ý

-Z?~

Ta gọi C2„,(G,) là tâp hẹp cốc hầm ƒ@œ)€ C”(@,)

seo cho đai lượng ;

giổi nội, thong đồ 4, 12 mot 36 a

do đố %n cố bao hồn thíc ;

CG) Cia, Go) C Ge) -

06 thé ching to as ng đ tượng xắc đánh bởi

ding thie (3-1) 1à nôt “"chuân" trong Ga G) + Tethys

b) Với mọi số %hức A ta đều có

MF CAG yee WaFl, wey = Veer BA Xu SpA WFIU con)

ots)

wei fy5 ECS CG) te cd:

VEU Gade) + VON GAG, °

Rhư vậy ch ba tiên đồ về chuẩn au duge thos wan, va Ga, ()

trở thành không siøna tuyển tính định đuẩn với chuồn xắc d4nh

bởi G~1)

Ta gọi HOG) 1Ề không sian Be nfe nhgn ae

b&ng céer bd sung a, () theo chuir (~4)«

Gis of f(x) € Hs 9G), hi @6 theo dinh nghia

khong gion 1 1G) (a0), en ted mot dey {4y d6 4984

của Ca, (6) — 640 cho ý

oe eo Fal coe) @) *°

tức là ;

4x Supt HỆ-ƒ =

Hồ đồ suy re vbas voi mpi te (oy1] thi tin ¢* e- fll

Nae

Mang vi #ạ €C2„ C6) BL #%cC°Œœ) „ mồ mọi

miền @„ cùng với biên Ï+ cuø nế nầu trong G, cho nén

fr € °C 6) » Voi mod t€ (041) ‹ Te ad, nhÈ (2-2)

~59—

ta sty zø hẹn chế DyŸ của một hồn £Ó2 € HỆ?) (œ2) trên Hiền ö„ , £€ (0/1J lồ giới hạn trong HP(3„) cua mệt đấy hầm 2660 thuộc C4) vay S/£ € HẰŒ) VOL mei te Con’

Nếu fx) € #°(G,) thì hiển hiên đei lượng xác định bởi về vhềi của (3-4) ie tei hTu han, nghie 18 Faye HOG,

Nn vay ta cổ :

HG) < He) 1&0 | $%0-

Myobi =s te cồn cố các bao hầu thie hiên nhiên ;

HỆ “)() c D hóc), %xi5, >O-

nỀ (4) và đánh ugh không giun HẾ®* %)(g,)

(83 $30 4 4,50) e thẩy rồng š do gio tiết khi tê ° thẦ họ niền G, là he witn con ting ¢fn G,, cho nin néu

faye HOG.) ml fae wg) voi med te Cot]

về khi b—> o tuì đai lượn lỆ( WG) cổ thể đầu ra

vô cÌng không nhụnh bơn t^*“ (z,vo) nghỉ lồ +

Neu wey *& t (440)

G-3)

Mat viy khong sien HO*%) (5°) veo gbu ch nbing hin fe)

không trơn trong lên cân biên 77, , thoe man ước lượng(2-2)

2« BBi togn bien trong mitn gidi hen ;

Gia st ø lồ mộ% số khôn; ôu bŠt kỳ nào đố; te

ký hiên ø° là 4 sỐ dương cố 6øng s* = ø tế trong dd ¢

lồ số đương cố tuẻ lấy bề ty ý

= 40:=

'

Giệ thiểt £(x) là hồn số thuộc 4°) ce)

Ï4jŒ) 1à cốc hồn ø6 thuộc HÊ* “Mi (ạ) (3e)

tương Ứng, trong đố 4= lồ uêt số đong nào đố Tụ xết bài tộn trong miền G„ ;

L@nua = Fa) với =€6 (3-4)

trong đồ L(x,D) và By (x,D) 14 cite boắn ti vi phin đã xét

trong 82

,

Nat ten ba đã nĩ và foe HQ), >9

eho rên f(x) 6© thuộc” H Fe) với mọi t€(0,1) ‹ Do (x)

nổi chung khơng thuộc WG.) cho non nghiéa ote DRA tốn &

được hiểu theo nghe seu đây ;

a Dyn 3~1 : Hầm U(x) thugc Hrsg, ) 1ầ nghiệm

cus bồi tốn (Z¬4)-(ð-5) nếu ttn tel apt day {th |} (ust ,2,000) giow din ve 0 xii p—> + œ sao cho hạn chế 3a cba u(x)

tuần a thoa sạn điều xiện sau :

fin VL(S4)-f{

WB; u “j Ï (p2 s~ mg ~} „5° Geter)

7)

HẶ (2-6) ta chú ý vỲng thong trường hợp f(x) thuge

H°G.) — thì rghiệ: u32) của bi tofm (4-4)-(5-5) thos man

hệ thíc thơng thường :

Wee - Flay “°

vi do @6 né 1% nghigm cla Di tofn (5-4)-(3-5) theo nshia