Luận văn phép biến Đổi tích phân dạng fourier và Ứng dụng giải một số phương trình vi phân và tích phân

1998 công bố xem [31, 33l về phương xây dưng chập suy rong thì một loạt œ trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân vì những lý do sau xem ˆIB]: trước tiên, các phương trình đó được

PHUGNG TRINH VI PHAN VÀ TÍCH PHẦN

LUAN AN TIEN SI TOAN HOC

Hà Nội-2012

LUẬN ÁN TIÊN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA LOC

PGS TS NGUYEN MINH TUAN

Hà Nội-2012

Chương 1 Phép biến đối Hartley

1.11 Phép bién dai Fouvier tran RA ee

1.1.2 Phép bién đổi Fourier trên đoạn hữu hạn

1.9 Phép biến đối Hartiley ch

1.3.1 Phép biển đổi Hartley trên R”

1.22 Thép biển đổi Hartley trên đoạn hữu hạn

Chương 23 Phép biến đối tích phân dạng Fouricr đối xứng

3.1 Giải phương trình viphân

3.1.1 Giải phương trình vì phân thường

3.12 Giải phương trình đạo hàm riêng

3.2 Giải phương trình tích phản ¬

3.2.1 Phương trình tích phan dạng chập với nhân Hermite

3.22 Phương trình tích phân với nhân Toeplitz - Ilankel

không gian các hàm ƒ bình phương khả tích Lebesgue trên l8,

với đuẩn |ƒlÄ = [If(e)fáx, và (iá) = Í /020g)áe

không gian các hàm ƒ liên tục trên IR# và triệt tiên tại vô cũng,

với chuẩn ||ƒ | = sup |ƒ()|

xe Bế

không gian các dãy số œ = {an}ucz thỏa, mãn

3 lan|? < +so với chuẩn |la|| — Ð ˆ |an|

không gian các dãy số bì chặn ø = {a„}„ez thỏa mãn

lim a, = 0 với chuẩn ||a|| = sup |aa|-

nce

InÌ>a=

a

da thtic Iermite xéc định bởi

BY tho! = We), co <2 cox (01)

Khi nghiên cứu các đao động của dây, màng mỏng, sóng âm, sóng tạo

ra do thủy triển, sóng đàn hồi, sống điện trường, dần đến giải phương

trình truyền sóng sau (xem |10, 15, 47 )

Trong co hoc lượng tử, xung lượng của các hạt cơ bản được biểu diễn qua

phương trình tích phân Iredholm sau (xem [1, 12])

2g) = [ Ko)eb)4 (03)

Mot vin dé dit ra 1A di tìm lời giải cho các phương trình vi phân, tích

phân do các vấn đề của khon học và công nghệ đưa đến, Có rất nhiều

"hướng tiếp cân dựa trên nhiền lý thuyết toán học khác nhau trong vide

giải quyết vấn để trên như: chỉ ra điều kiên vồn tại và đuy nhất nghiệm,

sự ổn định nghiệm; giải tìm nghiêm đúng, nghiệm gần đúng, nghiệm suy

rong, v.v lYong số đó, việc sử dụng các biến đổi tích phân để giải các

phương trình kể trên ra đời rất sóm và liên tục phát triển cho đến tân

ngày nay Có vai trò đác biệt quan trong trong lý thuyết này phải kể đến tric hét 1A bién déi Fourier, Fourier sine, Fourier cosine, Hartley, tiếp theo là biến đổi Laplace, biến adi Mellin, sau đó là các biến đổi Hankel,

thế kỉ trước, không eó nhiều chập liên kết với các biến đổi tích phan được xây dựng Cho đến khi những kết qmả của Kakichev V.A (1967)

và Kakichev V.A., Thao N X (1998) công bố (xem [31, 33l) về phương

xây dưng chập suy rong thì một loạt œ

trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân vì những lý do sau (xem

ˆIB]): trước tiên, các phương trình đó được thay thế bởi các phương trình

đại số đơn giảu, cho phép chúng La tầm nghiệm là các biến đối Kourier của hàm Nghiệm của phương trình ban đầu sẽ thu dược thống qua biến

dỗi Fourier ngược Thứ hai, biếu dải Rourier là nguồn gốc ban đầu để xác

định nghiện cơ bản, mmắnh họa cho ý Lưởng xây dựng hàm Green sau này

Thứ ba, biển đối Pourier của nghiệm kết hợp với dịnh lý chập cung cấp

mặt cách hiển diễn nghiệm tường minh cho bài toán biên ban dầu

Các biếu dổi Fourier cosine, Fourier sine trén R¢, Fourier, Fourier ngược và các biến dối Hartley lin lugt duge dink ughia troug khong

gian 1¡#“) như sau (xem [6, 7, 39, 41, 47]):

đổi Fourier cosine và Pourier sine trên IRỶ là,

F=T,—iT, FAUST, | #12,

HHTTc—1;, Hạ— 1,— Tạ,

Hiéu này đã đưa đến cha chúng tôi ý tưởng xét các biến đổi tích phân

Tay — aT, | bT,, a,bE€ C,

gọi là các biến đổi tích phân dang Fouricr Trong số này, các biến đổi Tlartley có một số ưu điểm nhất định như: Chúng đóng vai trò quan trong trong xử lý tín hiệu, xử Iý ảnh, xử lý âm thanh (xem |6, 7 8, 38, 37, 52|)

Thí tính toán số với hàm nhận giá trị thực thì các biến đổi Hartlcy nhanh

hơn biến đổi Fourier vì biến déi Iartley của một hàm nhận giá trị thực

là một hầm nhận giá trị thực, trong khi biến đổi Fouricr của một hàm

nhận giá trị the có thể là một hàm nhận giá trị phức Theo Vĩ dụ 1.9,

(Ai fy) — Par (Ha f)(a) — ear

So với các biểu di Fourier cosine, Fourier sine thi các biến đổi Hartley là

khả nghịch trong khi các biến đổi Fonrier eosine, Fourier sine lại không khả nghịch rong cuốn sách về phếp biếu dỗi tích phân eta mink (xem 39]), Olejniceak K J đã viết: "có lẽ một trong những đóng góp giá trị nhất, của Hartley là một biến đổi tích phân đối xứng được phát triển khởi

dầu Lừ những vấn đề truyền Lãi sống điệm thoại Mặc dù biến đối này bị

lăng quên gần 40 năm, nhưng nay nỗ dã dược nghiêu cứu lại trong thập

ký qua bởi hai nhà toán học Wang và Bracewell - những người dã tạo ra

lý thuyết hấp dẫn về dễ tài này".

Với những lí đo trên, chúng tôi hựa chọn đề tài "Phep bién déi tích phan dụng Fourier nà tứng dụng giải một số phương trình vì phân uà tích phan"

2 Mục đích, đối tượng và phạm ví nghiên cứu

Mục đích của luận án là đi nghiên cứu những tính chất toán tử, xây đựng chập sny rông liên kết với các hiến đổi Hartley cùng với hàm trọng Hermite va khong só ham trong Sit ding chúng để giải một số phương

trình ví phân và tích phân trên miền võ bạn Song song với các phương,

trình xác định trên miền võ hạn là các phương trình xác định trên miền

3 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu các đặc trưng đại số của các biến đổi tích phân Từ đó, tìm ra biến đổi ngược và đi ngược từ đắng thức nhân tử hóa để xây dựng chập, chập suy rộng liên kết với các biễn đổi tích phân Đối với mỗi biến

đổi tích phân chúng tôi xây dựng bộ bốn chập mà nhân của chúng có dang

[+ 1) + fŒ — ) + ÍT# +) — —#)|ø(0),

[ƒ(œ +) + ƒ(— 9) — ƒ= ae — lot),

[/(w + w) — fle-g) + f-e +9) + f-2—- glow),

[Feta + flr wt fee +a) + fe Mew)

Do đó, các tích phần có dạng

THd+£ 080080

đều biểu diễn được qna các chập trên Nhờ vậy, chúng tôi đã đưa phương

trình tích phân với nhân Toeplitz-Hankel về hệ phương trình tuyến tính

"Từ kết quả của đại số tuyến tính và biến đổi ngược, chúng tôi đưa ra điền

kiên cần và đủ để phương trình có nghiệm và công thức nghiệm tường minh.

4 Cấu trúc l

Luan ấu gồm phầu mở dầu, ba chương, kết luậu và phụ lục:

m án và các kết quá

Chương 1 trình bày một số tích chất cơ bản của biến đổi Eourier Lrên I#

và biếu đổi Fourier trêu doan hitu han Xay dung chap, chập suy rộng liên kết với các biến đổi Hartley cùng với hàm trọng Hermite và không

có hàm trọng, Định nghĩa các biến đổi Haruley trên đoạn hữu hạu và xây

dựng chập, chấp suy rộng liên kết với các biển đổi Lích phân này

Chương 2 dưa ra một déi tich phan dang Fourier méi T Ching minh

mật số đặc Lrưng đại số của nó như:

+ 7 là biểu đối đối xứng và không uniua

+ 7! có đã thức đặc trưng là (0) — 5 +4

+ 7 không thỏa mãn dẳng thức Parseval

+ T thỏa mẫu hệ thức bất dịnh Heisenberg

+ 7 biến một hàm nhận giá trị thực thành một hàm nhậu giá trị thực

+ T la todn Lữ khả nghịch với toán Lữ ngược

TO) = re folly Xây dựng chập suy rộng liên kết với các biến đâi Hartley, T' cùng với hầm

cos(y€) 1 sin(w)|đỆ,

trong Hermite va khang cd ham trong

Chương 3 sử dụng các kết quả thu được ở Chương 1 và Chương 2 vào giải

một số phương trình vì phân và tích phân nhĩ: phương trình xác định độ

lệch đứng của dằm, phương trình xác định độ võng tĩnh của dầm, phương

trình truyền sóng, phương trình khuếch tán, phương trình 5chrödingcr,

phương trình tích phân dang chặp với nhân Tocplitz - Hankel, nhan chita các hàm Hermite Hên cạnh đó, chúng tôi còn sử dụng phần mém Maple

để giải nghiệm tường mình cho một số phương trình đã xét Đặc biệt, với

công cụ là chập suy

ông liên kết với các biến đổi Hartlcy hữu han mà

một lớp phiơng trình tích phân Toeplitz-Hamkel san (xem [48]}

Ap(x) | if [p(z — 9) 1 q(œ 1 viledy = Fla), (0.5)

có thể giải và thu được nghiệm ở dạng chuỗi Phương trình này có rất nhiễn ng dung trong các lĩnh vie khác nhau như lý thuyết tấn xa, lý

ant

thuyết động lực hạc chất lỏng, lý thuyết lọc tryến tính, trong nghiên cứu

các va chạm đàn hồi, tán xa khí quyển, động lực học khí loãng, (xem

1, 2, 5, 12, 17, 18, 30, 39, 47, 48]) Ngoại trừ một số trường hợp đặc biết đối với nhân “Toeplitz ø và nhân Hankel ø, bài toán tìm nghiệm đóng cho

phương trình (U.5) tổng quát cho đến nay vẫn là bài toán mổ,

5 Ý nghĩa của các kết quả

Luận án đưa ra một cách tiếp cận khác trong việc nghiên cứu các biển đổi tích phân Đó là dựa vào các đặc trưng đại số của các biến đổi tích phân Theo cách tiếp cận này thì các biến đổi tích phân được phân loại

đựa theo đặc trưng đại số của nó Nhờ đó, luận án đã đưa ra một biến

đổi tích phân mới 7' có một số đặc trưng đại số khác với các biến đổi tích

phân đã biết Hy vọng, chúng ta sẽ tìm được các ứng dụng mới cho biến

đổi này Với chap liên kết với các biến đổi Hartley hữu hạn, luận án đã

trả lời được một phần của bài toán mở (0.5) Các kết quả của luận án

góp phần làm phong phú thêm lí thnyễt về phép biến đổi tích phân và

phương trình tích phân

Nội dung chính của luận án dựa trên các công trình khoa học đã công,

bó, liệt kê ở mục "Danh mục công trình khoa học của tác giả liên

quan đến luận án", các kết quả này đã được báo cáo tại:

+ §eminar Giải tích-Dại số, Trường Dại học Khoa học Tự nhiên - Dại

học Quốc Gia Hà Nội

+ Seminar ba mon Giai tích, Trường Đại học Khoa học 'Dự nhiên - Đại

học Quốc Gia Hà Nội

I Semimar bộ mồn Toán hoc tính toán, Trường Đại học Khoa học Tự

nhiên - Đại học Qnắc Gia Hà Nội.

Chương L

PHEP BIEN DOI HARTLEY

1.1 Phép biến đổi Fourier

“Trong mục này, luận ấn trình bày lại một số kết quả liên quan của

biến đổi Fourier Các kết quả này đã được chứng minh chỉ tiết trong các

tài liệu trích dẫn Bởi vậy, luận án chỉ nêu kết quả mà không trình bày chứng minh

1.1.1 Phếp biến đối Fonrier trên Rf

Định nghĩa 1.1 ((41, 47]) Biên đổi Fourier của hàm ƒ được ký hiệu {P) và được xác định như sau:

FI) — of Hine hay, (1)

(2a): ¿m4

trong đó, ƒ là hàm thực hoặc phíc xác định trên I4,

Điều kiện đủ để tích phân (1.1) tồn tại là hàm ƒ thuộc 7¡(I#?) và Khi

dé anh Fourier cha ham f được miêu vã thông qua định lý sau

Dinh ly 1.1 (41, 47) Néu f © Li(R4) tha (Ff) 6 Cạ(R2) va

rõ rùng f thuộc F+(R), những ảnh Fourier của ham f

Khi xét, biến déi Fourier trong không gian 8 thì nó là ánh xạ liên tục

từ 8 vào 8 và có ánh xạ ngược dược chỉ ra trong dịnh lý dưới

(ii) Bién đổi Fourier la ánh xạ tuyến tính, liên tục, 1 — 1 từ § lên 8,

F4— } tà ứnh zạ ngược của nó cũng liên tục

"Trong không gian £,(IR“), không phải biển đổi Fourier của hàm ƒ nào cũng tồn tại biến đổi ngược Định lý 1.3 đưới đây sẽ đưa ra điều kiện tôn

tại biến đổi ngưde đổi với biến đổi Fonrier của một hàm trong ”¡(R°)

Định ly 1.3 ((41, 47)) Néu f € £)(B"), (Ff) © £,(R4) va

fala) = ont [pte iy, er,

thi f(x) = f(a) hdu khdp noi trén 2",

Biến đổi tích phân

1

G zf g(ye™dy = ứng) bu

gọi là biến đổi Fourier ngược của hàm g

Định lý 1.4 (41, 4ï) Nếu Ƒ,g € (a(R9) Hà tiếu đẪ: Hel, phân (1⁄2) súc dịnh chấp liên kết edi hiếu đổi Fburier uà (hỗa mấu dũng thúc nhân

Nhan xét 1.1 Ta biết tập các hàm Herinite {®a} là cơ sỞ trực giáo của LAR), va 8 uit mat trong ña(R2), Những điều này và Dịnh lý 12 gợi ý cho việc mổ rộng biếu đổi Eourier lên 22(182), và vấu để dược thực hiện

ở Dịnh lý 1.5 sau day

Định lý 1.5 (41, 47|) Tên tại duy nhất một đẳng cụ tuyén tinh PF:

Tạ(R®) + Lo(R*) théa man (Ff) — (Ff) với mọi ƒ € §

Phép mé réng F duve gợi là biến đổi Fouricr của ƒ € Fa(°) và ký

hiệu (Fƒ) vẫn được dùng để thay thể cho (Fƒ) Nhờ tính duy nhất của toán tử mỡ rộng #' nên ta có thể phát biểu lại định tý Plancherel một

Khi dé, khi k > +00,F(e,k) hoi bu theo chuẩn lối hàm (Fƒ)(+) của

La(R”) uà tương ứng ta cũng có

hội tụ theo chuẩn tới ƒ(x)

Sam đây là một số tính chất cơ bản của biến đối Fourier

Tính chất 1.1 (41, 47|) Biến đối Fourier của céc ham Hermite B(x)

1a (al, (a), nghia là

1.1.2 Phép biến đổi Eourier trên đoạn hữu hạn

Mục này sẽ trình bày khái niệm và một số tính chất liên quan của biển

đổi Fourier trên đoạn hữu hạn Đây là một công cụ để tìm nghiệm của

các bài toán biên ban dẫu xác định trên miền hữu hạn Biến đổi Fourier

sine hữu hạn được đưa ra bởi Doetsch (1985) Sau đó, một số tác giả

đã quan tâm và trình bày một cách tổng quất hơn như Rneitz (1938),

Koschmieder (1941), Brown (1944) va Roettinger (1947) (xem [15])

Định nghĩa 1.2 (bién déi Fourier hữu hạn, [3, 15, 43]) Biến déi Fourier hữu hạn của hầm /(z) dược ký hiệu #{ƒ(2)} và xác dịnh bai

217();(n) = of fale ™ dex = fla), n eZ, (14)

Điền kiện đủ để tích phan (1.4) tắn tại là ƒ € 74[—x,x] Theo bổ

dé Lebesgue - Riemann thi ảnh Fourier hữu hạn của hàm ƒ được mô tá

thông qua định lý sau đây

Dinh lý 1.6 (bổ (bể dé Lebesgue - Riemann, [3, 15 43) Nếu ƒ € 7|[—m, |

thi fn) € ca(Z).

“Ta hiết các hàm

là cơ sở trực chuẩn của E;|—z, z] nên nếu ƒ € Ly —7, x] thi chudi Fourier

của hàm ƒ hội tụ về hàm ƒ trong La|—x.m| (3, 15, 43|) Nhưng khi

ƒ€ Li[—r,r] thì không phải lúc nào chuỗi Iourier của hàm ƒ cũng hội

tụ và khi hội tụ cũng chưa hẳn hội tụ về bàm f

Định lý 1.7 (J3, trang 88|) Cho ƒ € Là[—m, +] nà m„(ƒ) là tổng Ceaàro

của chuỗi lourier của hàm Ƒ Khi dé

TIệ quả sau suy trực tiếp từ Định lý 1.7

Hệ quả 1⁄2 (tính duy nhất) Nếu ƒ € Lạ[—m,m] va Ệ(n) — Ú sới mại

ne Z Ua Ƒ — 0 trong Eị[—n, ]

Khi ƒ là hàm Lrơn từng khúc thì định lý DirichleL dưới đây cho ba mối

Tiên hệ giữa hàm ƒ và chuỗi Fomicr của nó

Định lý 1.8 ([3, định lý Dirichletl) Giả sử ƒ là hàm tuần hoàn tới ch

kỳ 2m uà trơn từng khúc trên đoạn |—m, mỊ thi chudi Fourier cia ham ƒ

hội tụ đến

2l) Iƒ(z-]]-

Dinh lý 1.8 (chập Eourier hữu hạn, |3|) Giá sứ hàm ƒ, g ade dink trên

R uà tuần hoàn oới chủ kỳ 2m Nếu Ƒ,g khả tích Lebesgue trên |—, n]

thì biến đổi tích phân (1.5) la chập liên kết uới biến đổi Fourier hitu han cting udt bat ding thúc chuẩn uà đẳng thúc nhân từ hóa

(fe 9)(a) = x [ ƒŒ — u)g(u)du, (1.8)

Wegh < If alg bs #fƯ gø))109) — 70)8(5)-

17

Khi f 1A ham chin thi

—ạc Í_ fÉe)lens(na) — isin(ns)|dr— — Ƒ_ f(v)cos(ng)dz, my zy

và chuỗi Fourier của hàm ƒ được viết lại dưới dang

Tai trường hợp trên của hàm ƒ đã gợi ý cho việc đưa ra hai biến đổi

Tourier cosine và, sine hữu hạn như sau:

Định nghĩa 1.3 ([15, wang 408]) Cho ƒ là hàm khả tích Lebesgue trên

gọi là chuỗi Fouricr cosinc của hàm ƒ trên [0, ]

Dinh nghia 1.4 ([15, trang 408]) Cho f 14 ham kha tich Lebesgue trén

(ii) Téng vé han

oo

ee {n) sin(n2),

nl

gọi là chuỗi Fourier sine ciia ham f trén 0,7]

Mệnh đề 1.1 ([15, trang 410)) Cho ham ƒ có dạo hầm, đến cấp hai khả

tich Lebesgue trén doan [0,7] Khi dé

Chấp trong Định lý 1.9 xác định với ƒ, ợ là hai hàm tuần hoàn với chu

kỳ 2z Do đó, ta đưa ra hai mở rộng tuần hoàn với chu kỳ 2z cho một

ham xác định trên Ũ < z < x như sau:

Dịnh nghĩa 1.5 ([lã, trang 411]) Hàm fi(x) gọi là mở rộng tuẫn hoàn

lê của hàm ƒ(£) với chủ kỳ 3m nếu

hŒ) = f2), 0< #< my h(=z) = —ñ(4),

điệ | 9z) — fi(ø), với mại se TR

Tương tự, hàm mở rộng tuần hoàn chẵn fo{x) của hàm ƒ{z) xác định bởi

Ja(đ) — f(®), 0< #z<m híc?») — fale),

và

{ole + 2n) — fale), voi moi x € 1

Định lý 1.10 ([15, trang 418|) Nếu fi, gi la hai mô rộng tuần hoàn lễ

tà ƒs, gy là mở rộng tuần hoàn chân của ƒ,g trên 0 < œø < T thì

#(ñ tm)6)1Me) — =2 (l8),

21+ )3) Án) = „nâu,

19

3s(h +ø)) Ấm) — Ía(n)8e(n),

3® * ø)(#)Ì(m) = ae

Nhận xét 1.3 Hệ số Fourier của một hàm nhận giá tri thực có thể là

đãy số phức trong khi hệ số Fourier cosine, Fourier sine cla mot him

nhận giá trị thực là một dãy số thực Do đó, khi cần tính toán số thì ta

sử đụng chuỗi Fourier cosine, Fourier sine sẽ thuận lợi hơn Tuy nhiên,

*khi sử dụng chập hữu hạn thì các biễn đổi Fourier cosine, Fourier sine

phải dựa trên các hàm mở rộng tuần hoàn Nên việc sử dụng biến dễi

Eourier hữu hạn hoặc các biến déi Fourier cosine, Fourier sine hữu hạn là

tùy vào từng bài toán

1.2 Phép biến đổi Hartley

1.3.1 Phép biến déi Hartley trén 14

Định nghĩa 1.6 (|6, 28|) Các bién déi Ilartley cha him f dugc k¢ hiệu

ŒIƒ),(T:ƒ) và được xác đỉnh tương ứng bởi

(2r)2 Spe

EU) = I _ fly) casey lan, tai

trong đó ƒ là hầm thực hoặc phức xác định trên R? va cas x = cosa—sin x

Nhận xét 1.4 Khi ƒ là hàm nhận giá trị thực thì ảnh Hartley của nó là

hàm nhận giá trị thực TYong khi, ảnh Fonrier của ƒ có thể là hàm nhận

giá trị phức

ñng như hiến đổi Fourier, điển kiên đủ để các tích phân (1.6), (1.7)

tồn tại là hàm ƒ thuộc E;(W°) và ta có kết quả tương tự với Định lý 1.1

mbit san:

Dinh ly 1.11 Nếu ƒ © L(R%) thi (Hif) © CofR*), (@ — 1,2) va

I4Dleo S Wilh Cheng minh ‘Vit | vas(zy)| < /2, suy ra edi mọi ƒ € 1A #9)

JUBA (fll: (véi moi 2 € RY) (1.9)

Mặt khác, do § trù mật trong £1(R®) nên với mỗi f ¢ L4(R) tén tai day

fn € 6 sao cho ||#„ — ƒ||i — 0 Từ (ñ;ƒ„) € 6 C Cạ(R?) và (1.9) suy ra

(Hƒ.) hồi tụ đều đến (H,/ƒ) trén R* Dinh lý đã được chứng minh

"Trong không gian 8 các biến đổi Hartley cũng nhận kết quả tương tự trong Định lý 1.2 của biến đổi Fourier

Dịnh lý 1.12 (định lý ngược) Các biến đổi Hartlep là ánh xạ tuyến tính,

liên lục, 1— 1 lữ§ lên 8 uà biển đổi ngược của nó là chính nó, nghĩa là

HỆT— 1, Hệ — Ì

31

Cng mình Khi các biến đối F, F—L, Hị và Hạ clng xét trên không gian

Tit Dinh lý 1.2 và (1.10) suy ra H), Hy 18 các ánh xạ tuyến tính, liên tục,

1— 1 từ 8 vào 8 Cuối cùng, ta đi chứng minh

fala) — Đa I (Aa fIy) easl—ny\y,

thi fil) — f(x) hdu khép noi trén RF, (i — 1,2)

Chúng mình, Cho g € §, với giả thiết ƒ, (1hƒ) © L1(R") nén ap dung

định lý Fubimi cho tích phần sau

Bo

pa J Rt

1a uhan dude daug thic

Tit Pinh ly 1.12, ta có

[ (fala) — fle) Wla)da — 0, voi moi We 8

Mà ð trù mật trong 7: (E2) nên fi(z) = f(x) hau khap nai trén R* Ching

minh hoan toan tuong tu cho Hy Dinh ly da dude ching minh I

Hệ quả 1.3 (tính đuy nhất) Nếu ƒ € 21 (R*) va (Ai f) = 0 hoặc (Haƒ) — 0 trong T(R*) thi f — 0 trong F(R)

Định lý 1.14 Nếu ƒ,g € PI(E') thì mỗi biến đổi tich phan (1.13), (1.14), (1.15), (1.16) (à chấp, chap suy rong liệu kết tới các biển đổi Hartley vd théa man đẳng Uuác nhân bừ húa lưỡng ứng

4.910) = sag f [fe tos fea)

Chring minh Tnitée tién, ta di ching minh chap (1.13) Ta chi ra

“an [locales Ƒ U09 < +36

Bây giờ ta đi chứng mỉnh đẳng thức nhân tử hóa 'Th có

Chứng minh phần dần của eác chập (1.14), (1.15), (1.16) tương tự với

phép chứng minh chập (1.13) Ta chỉ cần chứng minh đẳng thức nhân tử

hóa

Chứng mảnh chấp (1.14) Ta có

(Aafia) (Fag)

2A

“oh | cas(-zu) cas(- xv) f(u)g(vjdudu

a dee

aR [ LI — casx(u + 1) +casxlu— 1)

my! frge fee

{ casa(—u { v) | casz(—w ~ 2) F(ujg(e}dude

(Hi f ya) (Hag)

“pm | Le cas(cu) in cas(—we) f(u)g(e)dude

~vony fe fol casx(ut 0) + cas r(u—v)

— Ga tÍ—w + 0) + Can pÍ—g — *)] S(w)gle)dude

35

Lf costen| re Fel fe-2)

lành 18: (Ƒ + g)(ø) Hình 14: ( F 5, dia, OM) fo 2 ga)

Hé qua 1.4 Néu f,g € Li(R4) thi mdi biếu dối tích phân (117), (1.18), (1.19), (1.20) ià chập, chếp suụ rộng liên kết uái cée bién déi Hartley va

36

Half Hy, A Ty a(x) — (af Y(a) Hag (2)

CF init HO= weak kL [ie wi te-n

kem đây là một chập nhưng thda mãn hai

dita theo dang thite nha

Bé dé 1.1 (xem [19]) Cho lal =r (nod 4), khé dd

“ hy I ceas(ul tb, (Dal k lš can zÍu — 0)Ƒ(4)g(0)duển

“tt Sef Lf nt xt)casz(u 5 + v)®a(t) f(ulg(vjdidudy

Dinh ly 1.15 G sử |a| =r (mod 4) Nến Ƒ g6 T(4) thà mãi biến,

đổi tích phân dưới đâu là một chap suy ring liên kết uới biến đổi Hartley cừng uới hầm trong Hermiile nà thân mãn đẳng thúc nhân từ hôn tưởng ứng

«© Trường hợp r © {0,2}

cf ° g)(r) — af FOQ9@)_- Pale | ute) 1 O(a tev)

Re Jee + Bgl — ua) + Oa(u— wv) dude, (1.21)

+#a( Gua) 4®, St w— đun (124)

29

FS gE SH) — ola A Ae) Hag Vo

® Trường hợp r € {1,3}

ƯỸ 0) = oe LE /(0)a(9)[fu 1119) 1 8yG 1 - sộ

+®a(Œ=w+ø)— đạ(6— &— 0) dude, (1.25)

THỰ 3 8)(3) = ala) Uh f(a) Tig) 2)

8 ate) = CĐ No ae ule) 1 Bele u-e)

Hy He, Hy 2(2m)4

+ + — 6) + 0Ạ(£— — ð) dudõ, (1.26)

TRỢ vật 2 90) — Bale) Heh (eV Fa)

On tm Me) — oO [ l Fog) [Bula 1 9) Pale nme)

+ Ogle — uu) + Bae — wv) dudv, (1.27)

TỰ vệ a) = ®,,(a)( Hef (2) (Hig) (2)

_

‘eo tr—9) +¿(£— %— 0} dudv, (1.28)

AE „9)0) — dla) (Ai f)(a}( Hog) (a)

Ching minh ø Trường hợp r € {0,2} Chimg minh chap (1.21) 'Irước

+ cas z(—u + 0) — casx(—u — v) dudv

s | caste) f Ị fodo@)[— Gey bate) | Bay uv}

minh tưởng tự như phép chứng mình chận (1.21) Do đó, các chập san ta

chỉ chứng minh đẳng thức nhân tử hóa

+ casZ(—u + 1) + cas zÍ— — 0) đưển

= [ easton) [ [ Lla}g(o) [Baty —u tv) + Galy tue) Jee Be JRE

Ð Đa(y — 4 |v) — Bayly —u— ny dududy

+ case(—u + v) + casu(—u—v) dude

sen Ƒ | 1600986 wlv)t Gly bu- +)

— 6,(y—ute)+ &,(y—u—v) dudvdy

Sale) : Cun Up) Cas ble v) CASALE U

— Face Lf {atu lew alat gì peau 9)

—casa(—u +) + cas a(—u— 1} dudv

) n [ canton) [ [ flw}g(v) Paty — u+ v) - Poly tue)

Ta có (xem Hình 1.5, 1.6)

Uf # ate) =) a? — 9a)e Để

Ưu 3,06 Dan my

Tĩnh 1.5: (ƒ * aye) Hình 16 Uae En)

Tig qua 1.5 Gid sd lal = r (mod 4) Néu f.g © L1(R*) Đà mỗi biến

đổi tích phân đưới đôu là chap suy rong lién kết với các biến dét Hartley

cling wi ham trong Hermite va théa mâm đừng thúc nhân từ hồn tương

ứng

® Trường hợp r € {0,9

+ Ogle — uv) + Ogle — u— v} dudy, (1/29)

TRỤ 8ø) = 8ala)(IfJ(s)(lig) (2)

Ớy, Ễ th ø)() a L [fae [S.(z ule) | Bye | wav)

+ Pyle — ut v) = P(e — uv) dua, (1.30)

BT „ị 900) — ®a(2)017)0)(12)0).

oe

Vat tn ne) — —T (v) |So(atute)+@,(2-+u-v)

—đa(z— w— 9) + g(a — w— vy dude, (1.31)

FAS Fy, ME) = Sol) Aa) Fagy(a).-

Ty OM! LL F(}g() [Bola |v bv) — {x | u—v)

+ u(e— uv) +0,(e— ur vy dude, (1.32)

Tự ge] — S.(4) Ee) Aig)

Ae, a Hy

e Truong Agp r © {1,3}

Sau l |, f6)a0)[~ 8a(@++ t)~ 8a@z+ 6= rộ

~ ®a(% ST %) | Ôa(œ— w— 0) duđn, (1.33)

Chứng mình ® Trường hợp r € {0,9} Tit chap (1.21) và

HALE ae) — #a(0)05110)009)03

‘Thay x béi —, str dung (1.8) va

B.(2) = —Bal-z),

ta thu được (1.33) Dằng cách nay, ta chứng minh được các chập (1.30),

(1.31), (139), (1.34, (1.35) và (1.36) từ các chập (1.22), (123), (1.29,

Xét hàm #® là tổ hợp tuyến tính của các hàm ®„ mà các |a| ding du

với nhau theo modun 4, nghĩa là

Dinh lý 1.16 Những chap trong Dinh hj 1.15 nà Hệ quả Lš nấu đúng

khi thau ham ©, bdt ham ®

Vi du 1.5 Xét céc ham

(x) — p(x) + ale) — —(1642 + 11062,

Fe) — (we) — 5e”, g(a) — Pole) — (42? — 2)”

35

Ching mink Ta chi chứng mình cho ?f còn f„ được chứng mỉnh tương tat Néu f,g € 8 thì theo định lý ngược ta có

I lle = dE les (vớ mới f € 8) (1.38)

‘Ta biét § trù mật trong không gian 2(I”) và § cũng trù mật trong không gian J(R2) Từ (1.38) suy ra ánh xạ ƒ (Fy f) la một đẳng cự từ không

36

gian cơn trù mật 8 của 7a(#') lên 8 De vậy, ánh xạ ƒ + (ị ƒ) có đny nhất một, thác triển liên tục Hị : /a(I92) — 1a(R2) là một đẳng củ tuyết

Nhờ tính duy nhất của toán tứ mở rộng nền định lý Plancherel cho

Ay, H¿ có thể phát biểu mộc cách rõ hơn như sau:

TIệ quả 1.6 (định lý Plancherel cho 771) Cid sử ƒ là ham thực hoặc phúc

thuậc không gian La(R) uà

(2m)? Jiyisk

Nhi đó, khik + +00, Hy(x, k) hai tạ theo chuẩn trén R¢ tới hầm (Hy f)(0)

etia L2(R*) va tuong ting ta ciing 66

(2m) Jlsk

hội tụ theo chudn toi f(x)

Hệ quả 1.7 (dịnh lý Plancherel cho #›) Giá sử ƒ là hàm thực hoặc phúc

thuộc không gian L¿(R“) uà

Thí E) = Fly) cas(~- ay)dy

(2m)? JiuI<sk

Khả đó, khả k — +oo, Ha(k, k) hội lạ Heo chuẩu trên RẺ tới hâm (tÍa /)(£)

của Lạ(Ñ“) oà lưỡng ting le cũng có

37

Chưông mánh Khi xót trên cùng không gian thì

=lpy tay Tim! Tự

Nhận xét 1.6 Từ đẳng thức Parseval câa bién di Hartley, suy ra If), Hp

là các toán tit unita trong khong gian Hilbert r;(R*) Mặt khác, 7, J7;

là các toán tử đối xứng Thật vậy

[ unsieraedae- f atarae fstypeasteviay

-ƒ Sig yey ‘es

1.2.2 Phép bién déi Hartley trén đoạn hữu hạn

"Ix biết lập cáo hàm (xem “14])

Điều này dẫn đến ý tưởng đưa ra biến đổi Ilartley hữu hạn sau day

Dịnh nghĩa 1.7 Cho ƒ là hàm khá tích Lebesgue trên [0, 2z] Khi dé

() Các biến đổi Hartlay hữu hạn của hầm ƒ được ký hiên 2{ƒ(z)}, '2{ƒ(z)} và xác định nhữ sau:

on Tut fle) Hn) = a 2n Jn f{z) cas(na)de = hẳn), n€ (145)

là tổng riêng thứ W của chuỗi Hartlcy của hàm ƒ Ta có đồ thi minh hoa

sự hội tụ của chuỗi Hartley san (xem Hình 1.10, 1.11):

Finh 1.10: ffx) Hinh LLL: Sa(/), Samal Hy)

Ghuỗi (1.47) có thể được viết lại dưới dạng

Dinh ly 1.18 (bd dé Riemaun-Lebesgue) Nếu ƒ là hàm khả lích Lebesgue

Chứng mình, Dùng phương pháp tích phân từng phần, ta có

30{/7'0)} — m [| ñoseeaie

=s_ [ƒ@)sasínz)] DI ft ƒÁœ) cas(—nz]dm

=2 in) — fo) — nace sia)

Như vậy, đắng thức đầu tiên đã được chứng minh Tương tự