Cho đến nữa đẳn của thế kỷ 20, các tích chập được tìm thấy là những tích chập không có hàm trọng cho một biến đổi tích phâm, và đối với nhiều biến đối tích phân quen biết vẫn chưa tìm đ
Định nghĩa và các tính chất cơ bản
Biển đổi Eourier và biến đổi Fourier ngược được định nghĩa như sau
(xem [8, 59]): ị fly)e "dụ, © ud Œ 10G) :— cây | 40c 4y
Với mỗi z = (Zi,đa, , #u), ta ký hiệu —£
Ta thấy rằng, ƒ € L'(R*) khi và chỉ khi ƒ € Z!(R®) Dễ dàng kiểm tra được
Doi khi, ta dùng ký hiệu (Ff)(x) — f(z)
8au dãy là biển déi Fourier của một số lhềm số
Vĩ dụ 1.1 rong không gian RY, xét hàm số
Theo (xem [ nại sẽ hồ (11)
+ JRe và đo đó ƒ e !(R?) Thực hiện phép đối biến bons, “ nan ta thụ được
Dé thay, trong vi du nay Ff € 71()
Ví dụ 1.2 Xét hàm số
E nên ƒ € £1(3), 'Pheo công thức biến déi Fourier, ta cd
IF fM=)| aml +i! Vin VT pa?
Nhu vay, tuy 1A f € ZAR), nhumg ế Ƒ*(R)
Vi du 1.3 Xét ham sé
TI(z) còn eó tên gọi hàm Reetangle (xem [35]) Vì
Tinh 1.2: Tx), (FT (2) foie xiên II € #1(R) Ta có
Nhận xét Ta thấy, nếu ƒ ¢ L1(R*) thi Không phải lúc nào cũng có Ệc T!(R#) Ta, có kết quả san đây
Dịnh lý 1.1 ([8, 52) F la một ảnh zạ tuyến tính liên tục ty L'(R*) vao
Trong Ví dụ 11, chúng ta xét các biến f thuộc tập hợp C(R) Ở Ví dụ 1.2 và 1.3, ta nhận thấy hàm số fj thuộc tập L4(R) Tuy nhiên, vẫn có trường hợp f thuộc C(R), nhưng không thuộc L4(R), chứng tỏ tính chất của các lớp tập hợp hàm số có sự phân biệt rõ ràng.
Hàn Hermite da chiều trong không gian IR? dược dịnh nghĩa như sau
{xem [8, 52]): © (2) = (lei? pee FP trong dé La ký hiệu a olel
7 Bet Bet là toán tử vi phan Dễ đàng kiểm tra được
Kết quả sau sẽ được sử dụng thường xuyên trong luận án
Dịnh lý 1.2 (|§, 52|) Biến đổi Fourier ctia ham Hermite ®¿(x) là hàm
Aug thức hàm ƒ(z) — nghĩa đấu bằng xảy ra tại hầu khắp nơi z € '8“, ‘Duy nhiên, La có kết luận
Từ phần sau, trong không giam Ƒ.(R®) có
Ménh dé 1.1 Néu f = g trong khong gian L'(R*) tà nếu ƒ,g liên tục tha f(x) = g(x) véi moi x c RY
Chiing minh GIÁ sử ngạo lại, tồn tại sọ € WR# sao cho ƒ(zo) # g(ra) Đặt
'Tữ tớnh liễu tục của ƒ và ứ, dẫu đến 3 ð > 0 thỏa món:
Diễu này mõu thuẫn với ||ƒ — g|| — 0 (do giả thiết ƒ — ứ trong khụng gian (R2), Vì vậy, diều gid eit trên là gai v la suy ra fc) — g(2) V xe TS,
Định lý 1.3 trình bày rằng biến đổi Fourier là một ánh xạ liên tục và là một toán tử đại số từ không gian Š vào không gian S, cho thấy tính chất song ánh của phép biến đổi này trong lý thuyết phân tích Fourier.
Dinh lý 1.3 (8, 59]) (a) Mẫn ƒ e 8 tà đa) on | 0706), Vẽ c Rế 1 ee (14)
{b) Bién déi Fouricr la mét song dnh tuyén tính liên tục từ 6 tào S va M=T irén 8
Dinh lý 1.4 ([8, 52|, định lý ngược) Nếu ƒ 6 /1(#*®, + ƒ œ L1(R') sà nêu 1
#)T———x | (Fƒ)(p)e!dy, Sola) (nye bed )(w)e "dụ thì ƒ(r) = fn(œ) nối hầu khdp noi x Rt
He qua 1.1 ((52|) Néu f ¢ L'UR*) va néu Pf = 0 trong LMR), thì f =0 trong L1(R®)
Kg higu 2 1& toan tit ding nb&t Wong L2(R4) Ts nb&e lai dinh ly
Plancherel cho biến đổi Femier Định lý này giúp ta chi ra tập phổ của toáu Lử mở rộng của Loán Lử #° trong 22(83),
Dinh lý 1.5 (|8, 52], định lý Plancherel) Tôổn fạ¿ duu nhất đẳng cự tuyến tính
PF: LR) PR) théa man
Hơn nữa, toán tử mũ rộng T` thỏa mãn đẳng thúc
Kđơ higu Lim lỏ giới hạn theo chuẩn, tức lỏ giới hạn theo chuẩn trong
Hệ quá 1.2 (8, 52|) Với ƒ © !2(9), Ahi dd php bidn doi F duoc định nghia nh seu:
(Pf P= Yin tg [cat 4006 )(x) = Li : Y fiy)dy (15) (1.5
Nếu điều kiện (1.5) được thỏa mãn, thì hàm số \(f(z) = \text{him} \; \text{ƒ} \; \text{PE Tlyldy}\) giữ nguyên tính chất gới và các đặc trưng cần thiết, phù hợp trong quá trình phân tích chức năng Định nghĩa 1.1 (52|) xác định rõ hơn về không gian tuyến tính định chuẩn trên trường số phức \(\mathbb{C}\), làm nền tảng cho việc nghiên cứu các phép biến đổi trong không gian này.
A:x+xX là toán tử tuyển tính liên tục
{) A € C là giá trị chính quy của 4 nến toán tử đẠ:=À!+A khả nghịch và liên tục trên X Tập tất cả các giá trị chính quy của ⁄1 ký hiện là 2(4)
(ii) Phộ cia toỏn tử Á được ký hiệu là ứ(4) và z(A) = Z\ứ(4) ý hiện r(4):= sup |ÀI
Arz(4) là bán kính phổ của tuáu Lử 4
Chỳng mỡnh, Giả sử A ứ {—1,1,—i.1} Dựa vào đẳng thie F* — 1, ta dộ dàng chứng mình được
Mặt khác, Định lý 1.9 chỉ ra mỗi hàm IIermite thuộc PR) là các hàm riêng của, toán tử #' tương ứng với các giá trị riêng -1 hoặc 1 hoặc í hoặc
—3 Do đú, cỏc toỏn tử —ù— 7", [+ F, iI+F, -iI+F khong là cỏc đơn ỏnh Suy ra bỗn toán tử đó không khả nghịch Vì vậy, z(F) = {—1,1,—¿,‡} Định lý được chứng minh u
'Tích chập, tích chập suy rộng với hàm trọng được xây đựng dựa trên đẳng thức nhân tử hóa
Cho ,,E7¿,Ù¿ là các không gian tuyển tính trên trường số K và V là một đại số giao hoán trên K Giả sử Kq € LV), Ka © L(V),
Ry & T(Us, V) la ede ton tit tuyén tinh vit (4, Ue, Us vie V tương ứng,
Goi J 1& mot phan tit cia dai sé ¥ Định nghĩa 1.2 ([14, 28]) Anh xa song tuyến tính
*: Ứn xa :— La dược gọi là tích chập suy rộng với trọng ð đối với Ra, Ky, Ấy (theo thứ tự đó) néu
Tà, đẳng thức nhãn tứ hóa của tích chập
22 Ảnh #(f,9) được kỹ hiệu là ƒ * „ ứ Khi ở là đơn vị của đại số V
Ky = K thì tích chập suy rộng đó được gọi ngắn gọn là ới biến đối K, và ký hiệu là ƒ r ứ và Ky = Ku tích chập đổi
"Trong suốt luận án này, ta xét U7) = Up = U; = ENR), và V là đại số tất cá các hàm do được Lebesgue trén R¢
0) = và ý | fŒ— 9)99)44 Đây là tích chập đối với phép biến đổi Fourier, và ta có đẳng thức nhân tủ hóa:
‘Tich chap d6 thoa min mot s6 tinh chất sau:
(i) ‘Vinh giao hoan feg-gel
(ii) Tính phân phối đối với phép cộng,
‘Ta xét méit sé vi du sau
'Ví dụ 1.4 Xét hai hàm số
A(x} cé vén goi là hàm Tritangle (xem |3ã|)
Vì boc ƒ_Ialle=1, co nên A € Ƒ!(R) và II € #!{R), Ta có
VỀ phải ciin (1.6) chi có thể khác 0 khí |y| < 1 và |z — g| < } Vì vậy,
Tĩnh L4: T( đi 0= lá, nếa =ÿSz 0 Chuẩn (0) và chuẩn (1) của ƒ € 71(R*) lần lượt được định nghĩa như sau:
Dịnh lý 2.1 Yếu ƒ,ứ€ 71{R#) thề mỗt biểu diộn tich phan (2.1), (2.2),
(3.3), (2.42 sau đâu vác dink mét tích chập, tich chap suụ rồng, kèm theo đó là bất đẳng thúc chuẩn nà đẳng thúc nhân tử hóa: ơ op
PF 28 oa) = Pa PANE) wh
Dy ` ¡| - Ứ VÃ 00) = ao |, | f6)46)8,(= w+ g)đuển, (03) pill © Llu: lle
TỰ D2) — Balt F Pe) (Fygh(a)s jlel
IF ppt paginS Iflla- Isle,
HE Ey Dla) — Mabe AA) E 9) 2)
Chứng mảnh, Ta sẽ chứng mình bất đẳng thức chuẩn của tích chap (2.1)
“nh I “role £ ,In)Mn [ I8.(2)áz ace ƒ ru) du | Iyte)]ate
Tloan toàn tương tự, ta chứng mính được các bất đẳng thức chuẩn cho các tích chập (2.3), (9.3) và (24),
Các bát đẳng thức chuẩn (2.1) (2.4) suy ra các hầm chập được xác định
50 bởi các tích phân (2.1)-{2.4) thuộc không gian 71(E'®)
Bay giờ, ta chứng mình các đẳng thức nhân tử hóa cho các tích chập
Chứng mình đẳng thúc nhân tử hóa của (9.1) Áp dụng đẳng thức
(2) = HP FO,)(z) = (AF, )(x) (xem Dinh lf 1.2), ta được f(r Jun
“na ff k Le wien OG, (1) f(v)y(ujdudedt ilel icy ya) Fly
= com de au ff eaty u—v)fle)g(ududy
— FU © 92) (2.5) Đẳng thức nhâm tử hóa củn (2.1) được chứng mỉnh
Chứng mảnh đẳng thức nhân từ bón của (2.2) Sử dụng tích chập (3.1), ta có
Pela ETM Ey) Ge) = Pale NM E (gl—u)) (a)
Bằng phép đổi biến —œ bởi ứ, La được
%a()0.09(ŒF—'9)) — PỤ FEE gì) Đẳng thức nhân Lữ hóa của (2.2) duge chitug mink, Dang thức nhân tử és rong, (2.3) dược chứng mình Lương tự
Chứng mình đẳng thúc nhân tử hóa của (2.4) Sử dụng tích chap (2.1), ta cá
Bằng phộp đổi biển —ứ bởi œ, —u bởi u, ta được
Ta chứng mính được đẳng thức nhãn tử hóa cửa (2.4) Định lý được chứng minh u
Chú ý 2.1 Các tích chap (2.1)-(2.4) trên độc lặp tuyến tính với nhau
Các tích chập trong hệ thống gồm các hàm Hermite có cấu trúc dạng \( R^{(+ + w + R)} \), \( Ê^{+u— t9} \), \( # St +ứ \) và \( (2 — — 0) \), và định thức các hệ số của chúng đóng vai trò quan trọng trong phân tích Mỗi tích chập được xem như một tổ hợp tuyến tính của bốn tích, giúp tối ưu hóa quá trình xử lý dữ liệu và nâng cao hiệu quả của các thuật toán liên quan Việc hiểu rõ các đặc điểm của các hàm Hermite trong các tích chập này là nền tảng để phát triển các phương pháp xử lý tín hiệu chính xác và ứng dụng rộng rãi trong lĩnh vực công nghệ thông tin.
‘Vi du 3.1 Với đ = 9, xét các hàm số
Fx) — gfx) — Bola) — oP sự
FUE Y (2) — 8a(G(Œf)8)(E2)@) — B82) —e ay, LUT * g) € 8 Lheo định lý ngược của biển đổi Eourier, ta nhận dược Paes va pee err \
UF ¥ ale) = FO (Gof FF 9}) (2)
Hoan toàn Lương tự, ự FRR do © 9, B we-
Vớ dụ 2.3 Với đ— 1, ứ — 1 thỡ đị(ứ) — 2xe Ÿ Xột cỏc hàm số
Khi đó, 7, g e 14(R) 'Pheo Định lý 1.3, ta có
Fue Ne) — MFP 9) (2) — Pe) Bin) — 342”, 2
Vi vay, FCF 9) € S Ap dung dinh lý ngược của biến đổi Fourier, ta suy ra là) „CS và gh sự 1 2
(f € g(x) = PT ˆ&i80)(2) ae 1 | fat 2 esdye ' dụ — evi2te 7 di hh eT SP Se
Bằng, Lĩnh toán tương tự, La tìm được đị os bh van ®ị 2z -2
FF pg MOH Ở uy, „90041 = Fa Fp 9) = ava
Vi du 2.3 Véid=1, œ = 3 thì ®z(z) = 2(22? — De® Xét các hàm số
Dễ thấy ƒ,ứ € L'(R) Theo Dinh ly 1.2, ta cú
(FOq)(x) = (Fo Ba)(x) = 8a(®), tà có
PU ox) = Sala) (F Px) Fo) e) = a(x) Olx) = 220" — Ye art
Vỡ vậy, FỰ Tổ g) € 8 Ấp dụng định lý ngược của biến đổi Rourier, tứ suy
Tinh 21: fla), oe) (f ¥ oe) raf ge S, va a
— cŠl2(3 — 1)e~Š ae đt — ete Sat
2.2 Tích chập suy rộng liên kết giữa các biến đổi Fourier và Hartley Ý trưởng xây đựng các tích chập suy rộng liên kết giữa các biến đổi
Fourier va Hartl Gi ham trong [A ham Hermite dite diya trên các tích ce bién ddi Fourier, Hartley va Weierstrass ‘Leutng
Trong bài báo "3" (tài liệu công trình khoa học đã biết), hiện tượng chập xuất hiện đặc biệt trong các học của tác giả liên quan đến các định lý về tích chập Khi |a| = 0, các tích chập trở nên trơ, góp phần làm rõ các luận điểm quan trọng về tính chất của hệ thống Điều này giúp nâng cao hiểu biết về các tích chập trong lý thuyết khoa học, qua đó thúc đẩy các ứng dụng trong thực tiễn.
Trong bài viết này, chúng tôi trình bày về cách biểu diễn tích phân xác định thành tích phân suy rộng, giúp rút ngắn và đơn giản hóa quá trình tính toán Phương pháp này bao gồm việc biến đổi tích phân thành dạng dễ dàng hơn bằng cách phân tích đẳng thức và nhân tử hóa các phần tử trong tích phân Việc áp dụng kỹ thuật này không chỉ tiết kiệm thời gian mà còn nâng cao độ chính xác trong các bài toán tích phân phức tạp.
FU, Mle) — Pale Vo Hale
— t#a¿(# — tr— 9| dudv, (2.7) lf gh < lý - lnh:
FF py M0) — Bala) HeLa) eg as be lel đền ae) sor hb FCajgte [eet out) 2
Be giel iF Pin 9)) — stony |, fb Fong (yee ulằ)
Maa "ôÔ tự Fat 8) — ®afz)(H f)6\(Tsn)()-
Chứng mánh, Trước tiên, ta chứng mính bất đẳng thức chuẩn của các tích chập trên
(an)? wh pat Hs ada ong fal ftealau (nt I |z(ứ)|4o
Hay lớ Fah Jh ally < l|ZIh-lứll-
Tiất đẳng thức chuẩn của tích chập (2.8) được chứng mính Các bất đẳng thức chuẩn của các tích chập còn lại được chứng minh tương tự
Sử dụng công thức (1.3), các đẳng thức e
