Luận văn một số phương pháp hiệu quả giải phương trình vi phân Đại số phi tuyến có cấu trúc

BANG CAC CHO VIET TAT Bài toán giá trị ban đầu Ổn định tuyệt đối Phương trình vi phân có chậm Phương trình vi phân đại số Phương trình vi phan đại số có chậm Phương trình vi phân thườn

DẠI HỌC QUỐC GIÁ HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYÊN DUY TRƯỜNG

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HIỆU QUA

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ

PHI TUYẾN CÓ CẤU TRÚC

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2019

ĐẠI HỌC QUỐC GIÁ HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN DUY TRƯỜNG

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HIỆU QUẢ

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ

PHI TUYỂN CÓ CẤU TRÚC

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 62460112

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TSKH Vũ Hoàng Linh

Hà Nội - 2019

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan những kết quả trình bảy trong luận án này, đưới sự hướng

dẫn của PGS TSKH Vii Hoang Linh, la trung thực và chưa từng được công bổ

trong bắt kỳ công trình của ai khác Những kết quả viết chung với phó giáo

su Vai Hoang Linh và các cộng sự đã được đồng ý khi đưa vào luận án

Hà tội, tháng 3 năm 2019

Nghiên cứu sinh

Nguyễn Duy Trường

LỜI CẢM ƠN

Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới Thầy hướng dẫn, PGS TSKH Vũ Hoàng Linh Thấy là người đầu tiên đìu đất và hướng

dn t6i trên con đường nghiên cứu khoa hợc Trong suốt quá trình làm luận

an, Thay luôn quan tâm giúp đỡ, chỉ bảo tôi và động viên tôi những lúc gặp khó khăn trong nghiên cứu Nhờ những ý tưởng mà Thấy đã gợi ý, những góp ý, hướng dẫn của Thầy, những tài liệu bổ ích mà Thầy đã cung cấp, tôi đã hoàn thành để tài của mình

Toi xin chân thành cảm ơn các thay cô và anh chị em trong Bộ môn Toán

ứng dụng nói riêng và Khoa Toán - Cơ - Tìn học, trường ĐHIKHTN -ĐHQGHN

núi chung Những ý kiên quý báu của các thầy và các bạn ở các kỳ Xêmina bộ

môn cũng như sự tạo diều kiện của khoa và của bộ môn đã giúp tôi rất nhiều

trong việc hoàn thành luận án này

Tôi xin chân thành cảm ơn các anh chị cm trong khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Sĩ Quan Lục Quân 1 và Phòng Quản lý Học viên, Doàn 871, Tổng Cục Chính Tri Don vi da tao moi điều kiện thuận lợi cho tôi yên tâm học tập,

nghiên cứu và công tác, Sự quan tâm và những lời động viên, khích lệ của các anh chỉ em và các đồng nghiệp đã giúp tôi rất nhiều trơng việc hoàn thành

Tuận án của mình

Tôi xin gửi lời cảm ơn tới "Quỹ phát triển khoa học và công nghệ quốc gia -

Nafosted” Quy da dành nhiễu sự hỗ trợ hết sức quý báu giúp tôi có điều kiện tắt nhất để hoàn thành đề tài nghiên cứu của mình

Cuối cùng, luận án này sẽ không thể hoãn thành nếu như không có sự

động viên và hỗ trợ về mợi mặt của gia đình Qua dây, tôi gửi lời cảm ơn tới

động lực, tiếng cười và tạo điều ki

vợ, con tôi, những người luôn cho tôi

thời gian cho tôi học tập và nghiên cứu Luận án này, và những gì tôi dang cổ

gắng thực hiện, là để gửi tới cha mẹ, vợ con, anh chị em và những người thân

trong gia đình, với tắt cả lòng biết ơn sâu sắc nhất

1.11 Khái niệm và phân loại phương trình vi phân đại số 18

1.1.2 Phương trình vi phản có chậm và phương trình vỉ phân

1.23 Phương pháp Runge-Kutta đầu ra liên tục 3

124 Phương pháp đa bước 36 1.2.5 Phương pháp Rungc-Kutta với thác triển liên tục chơ

phương | trình vi phân có chậm - - 38 1.3 Phương pháp số chophương trình vi phân đại số dạng n nửa hiện

14 Mộtsố kết quả bổ trợ khác

2 Phương pháp số cho một lớp phương trình vi phân đại số

21 Một lớp phương trình vi phân đại sô không có tính lạ

2.11 Phântích cấu trúc của bài toán

2.1.2 Sự phụ thuộc của nghiệm vào dữ lị

2.2 Các phương pháp RungeKuta

22.1 Rời rạc hóa bằng phương pháp Runge-Kutta bán hiện

222 Rời rạc hóa bằng phương pháp Runge-Kuttaẩn

2.2.3 Sự hội tụ của phương pháp Runge-KuHa

2.24 Tinh én định tuyệt dối của phương pháp Runge-Kutta

225 SựHchlũy củasaisố co

2.3.1 Rodi rac hda bang phương pháp da bước ẩn và bán hiện

2.3.2 Sự tích lũy của sai số

2.33 Sự hội tụ của phương pháp da bước cờ

2.3.4 Tỉnh ổn định tuyệt đối của phương pháp đa bước

3 Phương pháp số cho một lớp phương trình vi phân đại số có chậm

3.1 Phân loại bài toán và phân tích sự phụ thuộc của nghiệm vào

HH

3.2 Phương pháp đa bước kết hợp với nội suy

3.2.1 Rời rạc hóa bằng phương pháp đa bước kết hợp với nội suy 104

3.2.2 Sự hội tụ của phương pháp đa bước kết hợp với nội suy 3.3 Phương pháp Runge-Kutfa bán hiện với thác triển liên tục

33.1 Roi rạc hóa bằng phương pháp Runge-Kutta ban ign

với thác triển liên tục các

3.3.2 Sự hội tụ của phương php Runge-Kutta bán hiện với

Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án 128

Không gian các hàm véc to m chiều khả vi liên tục cấp p

Không gian các hàm ma trận cỡ rưạ x zz¿ khả vi liên tục cấp p

Ma trận đơn vị kích thước k x &

Hang cua ma tran A

Tich Kronecker

Một hằng số nào đó

Võ cùng bé cùng bậc với h*

Kết thức chứng minh

BANG CAC CHO VIET TAT

Bài toán giá trị ban đầu

Ổn định tuyệt đối

Phương trình vi phân có chậm

Phương trình vi phân đại số

Phương trình vi phan đại số có chậm

Phương trình vi phân thường

Adams-Moulton

Runge-Kutta Runge-Kutta hién (Explicit Runge-Kutta)

Runge-Kutta 4n (Implicit Runge-Kutta)

Runge-Kutta lién tic (Continuous Runge-Kutta)

Thác triểi

lên tục tự nhiễn (Natural Continuous Extension)

Euler bán hiện (Half-explicit Euler)

Runge-Kutta ban hiện (Ilalf-explicit Rungec-Kutta) Runge-Kutta ban hiện với thác triển liên tục

(Half-explieit Runge-Kutta with Continuous Extension)

Runge-Kutta bán hiện với thác triển liên tục tự nhiên (Jalf-explicit Runge-Kutta with Natural Continuous Extension) Trung điểm bán hiện với thác triển liên tục tự nhiên

(Half-Explicit Midpoint with Natural Continuous Extcnsion)

Da bước bán hiện (I lalf-cxplicit Lincar Multistep}

Một chân bán hiện (Half-explicit Onc-I.cg)

Trung điểm bán hiện (Half-Explicit Midpoint)

Adams-Bashforth bán hiện (LJalf-Explicit Adams-Bashforth)

Trưng điểm an (Implicit Midpoint)

Hình thang (Trapezoidal)

Công thức vì phân lùi (Backward Diffcrcntiation Formula)

MỞ ĐẦU

Rat nhiều bài toán thực tế trong các lĩnh vực khoa học kĩ thuật như cư

học, hóa học, thiết kế mạch điện, điều khiển, v.v được mô hình hóa dưới đạng

một hệ hỗn hợp các phương trình vi phân kết hợp với ràng buộc đại số Các

hệ đá dược gọi là phương trình ví phân đại số (PTVPĐS) PTVPĐS có đạng

tổng quát

trong đó f € I— |0, TỊ, F: Tx R® x R™ = R*, n,m © IN Néu ma tran

Jacobian cua F theo x’ khéng suy bién thi tir phuong trinh (0.1) ta cé thé gidi

duc x’ theo £, x, do dé ching ta thu duge mét phuong trinh vi phân thường,

(PTVPT) Trong trường hợp tổng quát, ma trận Jacobian của F theo x’ cd thé

suy biến Khi đó chúng ta có một PTVPĐS, còn gọi là phương Hình ví phân

ẩn hay phương trình vi phân suy

Ví dụ 0.1 |38, Example 1.2| Bài toán mô tả sự tiêu hao điện năng trong một sạch điện gầm 1một điện lrở tà một tụ điện (xem Hình 0-1) Chúng !a sẽ ký hiệu

lái của rạch điện, U(0) li hiệu điện thể, R,C lần

xuÄ — 1,2,3 là điệu năng lại mỗi

lượt là trả kháng của diện trữ uà diện dung của tự diện

Trong trường hợp đơn giản chụn q(f) là hằng sỗ hoặc bằng 0 Đây là một PTVPĐS

trong đồ hằng số ạ là gia tắc trạng trường, (x, y) là tọa độ của con lắc trong hệ trục

toa độ Oxy tà tham sb Lagrange A đại điện cho sức căng của đây Bằng các đặt

Đây chính là một PTVPĐS chỉ số 3 nói các biển x,ụ, z,,Za, À

Một số ví dụ khác như phương trình Van đer Fol hay bài toán bán rời rạc

phương trình đạo hàm riêng Navier-Stokes, v.v cũng dẫn đến các PTVPĐS Khi nghiên cứu các PTVPT cũng như các PTVPĐS, chúng la thường quan

tâm tới hai bài toán là bài toán giá trị bạn đầu (BTGTĐ) và bài toán giá trị biên

10

Ở đây chúng tôi tập trung nghiên cứu BTGTD của PTVPDS, khi đó nghiệm của bài toán (0.1) thỏa mãn điều kiện đầu

với xụ © J#", Khác với PTVPFT, sự tên tại nghiệm và tính đuy nhất nghiệm của

BTGTĐ (0.1), (0.5) cũng, phụ thuộc vào giá trị ban đầu xạ, trong khi PTVPT

Tôn có nghiệm với bất kì một điễu kiện đầu cho trước Trong Ví dụ 0.1, điều

kiện đầu (xi(0),x2(0),xa(0}) thỏa mãn

Không những thể, điều kiên ban dầu của PTVPĐS có thể liên quan tới cả dạo

hàm của các ràng buộc tại thời điểm ban cẩu, xem |8]

Các PTVPĐS xuất hiện từ các bài toán thực tế thường là các hệ rắt phức tạp,

không có hy vọng giải đúng, trong khi nhiễu trường hợp chúng ta chỉ cần biết

những nghiệm số hay nghiệm gần ding với một mức dộ chính xác nhất dịnh

nào đó Ngày nay, sự phát triển của củng nghệ thông tin cũng như nhụ cầu giải các bài toán kích thước lớn và phức tạp cũng đặt ra yêu cầu phát triển các phương pháp số hiệu quả giải phương trình vi phân nói chung và PTVPĐS, phương trình vi phân đại số có chậm (PTVPĐSC) nói riêng Việc nghiên cứu

lý thuyết và các phương pháp số giải PTVPĐS phát triển mạnh trong giai đoạn từ năm 1980 dễn 2010 Các phương pháp số cho PTVPĐS và PTVPĐSC déu được mở rộng từ các phương pháp số cho PTVPT Thông thường, các phương pháp ẩn được sử dụng để giải số PTVPĐS và PTVPĐSC Tuy nhiên,

nhiều vỉ đụ cho thấy các phương pháp quen thuộc cho PTVPT khi áp đụng,

cho PTVPĐS gặp những khó khăn như: lời giải số không ổn định hoặc thậm

chí không tẳn tại, xảy ra hiện tượng giảm cấp chính xác, các hệ đại số tu được

có điểu kiện xâu, v.v Người đầu tiên đặt nền móng cho việc nghiên cứu các

"

phương pháp số cho PTVPĐS là C.W Gear năm 1971, tác giả đã nghiên cứu

áp dụng các công thức vi phân lùi (BDF) cho PTVPĐS nửa hiện chỉ số 1 Sau

đó, các phương pháp BDE, phương pháp một chân (One-leg), phương pháp

đa bước tuyến tính tổng quát được mở rộng cho PTVPĐS đạng ẩn chỉ số 1

bởi W Liniger [45], C.W Gear, B Leimkuhler và G Gupta [24], P Lötstedt, L

Petzold [47], R Marz |49] Các phương pháp một bước (phương pháp Runge- Kutta) dược nghiên cứu áp dựng cho PTVPĐS nửa hiện chỉ số 1, 2 và 3 bởi

nhóm tác giả E Hairer, C Lubich, M Roche từ những năm 1988, 1989 và được

tổng kết trong [30] Sau dó, M Arnold, K Strehmel va R Weiner [3, 4], V

Brasey va B Hairer [15] va A Murua [50] da cd nghién ctu mat cach hé thing

và mở rộng cách tiếp cận các phương pháp Runge-Kutta (RK) cho PTVPĐS

nửa hiện chi sé 1 va 2

Trong những năm cudi thế kỉ 20 và dầu của thế kỉ 21, các nghiên cứu tập

trung vào lớp PTVPĐS đạng ẩn Đầu tiên là các nghiên cứu của nhóm tác

giả I Higueras, B Garcia Celayeta, R Marz và C Tischendorf [34, 35] ở đây,

các tác giả đã nghiên cứu lớp PTVPĐS tuyến tỉnh chỉ sô 1 có cầu tric thea

hướng tiếp cận bằng phép chiếu để biến dối lại bài toán, sau đó áp dựng các phương pháp BDF để thu được nghiệm số Cùng thời gian này, P Kunkel và

V Mehrmann [3ó, 37,39] đã có những nghiên cứu một cách tương dối cú hệ

thông về PTVPĐS ẩn có đạng (0.1) có chỉ số tầy ý Các tác giả nghiên cứu chỉ

số lạ của bài toán và để xuất thuật toán đưa bài toán PTVPĐS (0.1) về dang chính tắc không có tính lạ, sau dó áp dụng các công thức rời rạc để thu được

nghiệm số của bài toán (0.1) Ngoài ra, các tác giá cũng nghiên cứu tính ổn

định của PTVPĐS (0.1), giới thiệu bài toán thử và định nghĩa hàm ổn dinh

tuyệt đối (OĐTĐ) của các phương pháp số cho PTVPDS

Gần dây, lớp các PTVPĐS dang thu hút sự quan tâm của các nhà toán học

đã được nghiên cứu trong [38| V.H Linh và V Mehrmann |43| đã nghiên cứu

tính chất của bài toán (0.6) và để xuất các phương pháp một chân bán hiện (HEOI), phương pháp đa bước bán hiện (HEI.M), phương pháp Runge-Kutta

n (HERK) giải hiệu quả các PTVPĐS (0.6) không cương, Các nghiên cứu của V.FL Linh và V Mehrmann |43] cũng chỉ ra PTVPĐS không có tính lạ

((È6) có chỉ số ví phân bằng 1 nhưng tương đương với một PTVPĐS đạng nửa

thiện chỉ số 2 Vì vậy, khi rỡi rạc hóa trực tiếp PTVPĐS (0.6) bằng công thức

một bước hay công thức đa bước thì thường gây ra hiện tượng giảm bậc hoặc

bán

yêu cầu chặt hơn cho sự ổn định của phương pháp

Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu một lớp PTVPĐS có câu trúc đạng

(t,x, E(t}x’} — 0,

gứ,x) =0, trên đoạn I — |0, 7|, cùng với một diéu kiện đâu tương thích x(0) — xo

Trong đó, hàm ma trận E € C(L,IR”) đủ trơn va cic ham f = f(t,u,v) :

Ix R™ x RE 4 RB, g — g(tu) x RY 4 R™, (mmm, € N,m — nity + tz) du tron va 6 cde dao ham riêng bị chặn Giá sử BTGTĐ có nghiệm đuy nhất x(£) và

Su

đọc theo quỹ đạo của nghiệm x(+) Day 1a mét lép nam trong lớp các PTVPDS

có đạng (0.6) Khác với cách tiếp cận bằng phép chiều trong ]35,40], chúng tôi

để xuất một phép biển đổi đơn gián để đưa bài toán (0.8) về đạng

ƒ(,z(),(ExY(S— El(0x(9) =0,

0.10

Sau đó áp dụng các phương pháp RK hay phương pháp đa bước (ẩn và bán

hiện) cho bài toán (0.10) để thu được nghiệm số cho bài toán (0.8)

Việc nghiên cứu các phương pháp số giải hiệu quả các PTVPĐS dạng (0.8)

trong dé X : 1 + IR", Frlx Re RL", va cac ma tran Ey : I>

Re", A, —¬ R22" thỏa mãn Ê() — £1 (t)? Ao(t)7|7 khong suy biến

trên I Việc giải số các PTVPĐS dạng (0.11) phát sinh trong quá trình phân

tích sự ổn định của PTVPĐS qua việc xấp xỉ số mũ Lyapunov hoặc khoáng phổ Sacker-Sell Các bãi toán này thường có kích thước lớn và khoảng lấy tích phan I dai nên các phương pháp ổn định bán hiện sẽ mang lại hiệu quả tốt

hơn các phương pháp ẩn

Từ các nghiên cứu về các phương pháp số cho TVPĐS không có tính lạ

(0.8), chúng tôi mở rộng nghiên cửu các phương pháp số cho một lớp các

TTVPĐSC phi tuyến dạng

ƒ(t,x0),xứ—+),E0)x'(8) =®

s(,x(),xl1~ *)) =0,

trên khoảng T — [0, T], và một trễ hằng z > 0 Ở đây, ta giả thiết rằng hàm ma

trận E € C(I,R”1) dủ trơn và các hàm ƒ(f,w,ø,iø) : I R™ x R™ x R™ >

TH, g(,u,ø) : II x RE x RE" — R*5%,zm + im — m là đủ trơn và có các đạu

(012)

hàm riêng bị chặn Cho trước một điểu kiện đầu

chúng ta giả thiết răng hàm ban dầu ® dủ trơn sao cho BTGTĐ (0.12), (0.13)

có dưy nhất nghiém x(t) én tuc va khả vi liên tục từng khúc Ngoài ra, ma

trận Jacobian

§u

l4

doc theo nghiém x(t)

Việc nghiên cứu mở rộng các phương pháp số cho PTVPC, PTVPĐSC nói

chung và lớp các PTVPDSC (0.12) nói riêng là một yêu cầu hết sức tự nhiên

và cẵn thiết Các phương pháp số giải PTVPC đã được nghiền cứu một cách

tương đối trọn vẹn và được trình bày đây đủ trong [12] Tuy nhiên van chưa

có một nghiên cứu hệ thống và đầy du vé PIVPDSC va các phương pháp

số cho PTVPDSC Nam 1995, U Ascher va L.R Petzold [7] đã nghiên cứu về

với trễ hằng + > 0 Các tác giả đã phân loại bài toán, phân tích cách áp dụng

và khảo sát sự hội tụ của nghiệm số các bài toán này bằng các phương pháp BDF va phương pháp RK ẩn R Hauber |33] đã nghiên cứu các PTVPĐS nửa

hiện chỉ số 1, 2 loại trễ với trễ phụ thuộc vào biến thời gian và biển trạng

thái Với lớp bài toán này, tác giả dã khảo sát sự hội tụ của các phương pháp

Collocation kết hợp với thác triển liên tục và một chiến lược truy bắt các điểm

gián đoạn H Liu và A Xiao |46] đã khảo sát sự hội tụ của

đa bước tuyển tính và các phương pháp một chân kết hợp với một công thức

ác phương pháp

nội suy Lagrange cho lớp các PTVPDSC nửa hiện chỉ số 2 với trễ phụ thuộc thời gian Gần đây, nhóm nghiên cứu V Mehrmann, H Phi và các cộng sự đã

nghiên cứu về nghiệm và phương pháp số cho các PTVPĐSC tuyến tinh hệ

số biến thién voi trễ hằng Các kết quả chính được trình bày trong Luận án

của HL Phi |54J năm 2015 Các tác giả đã để xuất một thủ Lục để biến đổi lại

bãi toán về dạng không có tính lạ lử đó xác định được các điều kiện tương,

thích của ham ban đâu Sự hội tụ của nghiệm số của bài toán biến đổi bằng

phương pháp Collocation kết hợp với một công thức nội suy Lagrange đã

được phản tích và chứng minh Có thé thay rằng, các nghiên cứu chủ yếu cho

15

bài toán nửa hiện hoặc tuyến tính Các phương pháp số được để xuất đều là các phương pháp ẩn Chưa có các nghiên cứu cho PTVPĐSC đạng ẩn và các phương pháp số hiện hoặc nửa hiện ap đụng cho các PTVTĐSC

Cách tiếp cận của chúng tôi ở đây là áp đụng các phương pháp đa bước và

các phương pháp RK bản hiện cho "TVTPĐSC được biến đổi lại có đạng

x0), xựt— +),(Fx}{() — F(0x0)) — 0,

sứ,x(),x(— 3) = 0

Trong tính toán, các giá trị của nghiệm tại các diểm quá khứ (hay các giá trị

(017)

trễ) có thể dược xắp xỉ bằng nội suy hoặc bằng công thức dẫu ra liên tục Các

phương pháp bán hiện mà chúng tôi để xuất có chỉ phí tính tuần thấp hơn

nhiều so với các phương pháp ẩn khi áp dụng cho các bài toán có kích thước

lớn và không cương

Luận án sẽ nghiên cứu và đề xuất một số phương pháp hiệu quả giải một lớp PTVPĐS phi huyến có cấu trúc Ngoài ra, chúng tôi mở rộng ấp

dụng các phương pháp da bước, các phương pháp RK bán hiện cho một lớp

các PTVPĐSC có cấu trúc Ngoài phần mở dâu, kết luận va tài liệu tham

khảo, luận án được chia thành ba chương Kết quả chính tập chung trong các

Chương 2 và 3

Trong Chương 1, chúng tôi trình bây một số kiến thức chuẩn bị và kết quả

bổ trợ được sử dụng trong luận án Cụ thể, chương này giới thiệu lại các khái niệm cơ bản vẻ PTVPĐS, PTVPC và PTVPĐSC Tiếp theo, chúng tôi nhắc lại

các khái niệm cắp chính xác, cắp hội tụ, tính ổn dịnh tuyệt đối,.v.v Đồng thời

chúng tôi cũng trình bày một số kết quả bổ trợ sẽ sử dụng ở các chương tiếp

theo Giữa các bài toán và một số kết quả được nếu ra, chúng tôi sẽ chỉ ra mối

quan hệ của chúng với các bài toán dược nghiên cứu trong luận án

Chương 2 để cập tới các PTVPĐS dạng không có tính lạ có cấu trúc (0.8)

Với PTVPĐS này, chúng tôi để xuất biền đổi bài toán (0.8) vé dang (0.10) sau

đồ rời rạc hóa bằng các phương, pháp RK hoặc phương pháp đa bước Hằng

cách tiếp cận này, chúng tôi xây dựng thuật toán, phân tích tính ổn định,

sự hội lụ của các phương pháp RK và phương pháp đa bước áp dụng cho PTVPĐS đã biển đổi (0.10).

Trong chương cuối của luận án, chúng tôi xét một lớp các "TVPĐSC đạng (0.12) Các phương pháp da bước, phương pháp RK bán hiện dã được mở

rộng áp dụng cho lớp các bài toán này Khi cài đặt, các giá trị trong quá khứ

được xấp xi bằng công thức nội suy hoặc bằng công thức thác triển liên tục Cuối mỗi phần, chúng tôi đưa ra một số thử nghiệm số để minh họa cho các kết quả lý thuyết đồng thời cũng so sánh với cách tiếp cận thông thường

Các kết quả trong hiện án này dã dược công bô trong 4 bài báo [1-4 (Danh mục các công trình khoa hợc của tác giả, trang 124) và cũng dược bảo cáo tại:

1 Xêmina của bộ môn Toán học tính toán và Toán ứng dụng, Khoa Toán - Ca- Tin học, Trường ĐH KHTN, giai đoạn 2014-2018

p Hội nghị khoa học Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học

Tự nhiên, Đại học Quốc Gia Hà Nội, năm 2014 và 2016

rr Hội thảo Tôi ưu và Tính toan khoa hoc lan thir 13, Ba Vi, 23-25/4/2015 va lân thứ 15, Ba Vì, 20-22/4/2017

a The 6th International Conference on High Performance Scientific Com-

puting Modeling, Simulation and Optimization of Complex Processes,

Hanoi, Vietnam, March 16-20, 2015

w Victnam-Korca Workshop on Selected Topics in Mathematics, Da Nang, Viet Nam, February 20-24, 2017

bài Hội nghị quốc tê về ứng đụng toán học lần thứ 2 (VIAMC2017), Sài gồn,

Chương 1

KIEN THUC CHUAN BI

Trong chương này, chúng ta nhắc lại một số khái niệm cơ bản và một số kết

quả bổ trợ sẽ được sử dụng trong Luận án Phần đầu tiên chúng ta sẽ giới

thiệu và mở rộng các khái niệm về PTVPDS, PTVPC và PTVPDSC Phần thứ hai chúng tôi trình bày tóm lược các khái niệm và một số kết quả về phương

pháp RK và phương pháp đa bước cho PTVPT và phương pháp RK với thác triển liên tạc (CRK) cho PTVPC Phần cuối của chương giới thiệu một số kết quả về phương pháp RK và phương pháp đa bước cho PTVPĐS đạng nửa hiện chỉ số 1 Các khái niệm và các kết quả trình bày trong chương này được

tham khảo chủ yêu trong các tài liệu [8, 12, 14,32,38, 54]

11 Giới thiệu phương trình vi phân đại số và phương trình vi phân

iii Mot diều kiện dầu (0.5) gọi là tương thích với PTVPĐS (0.1) nếu BTGTĐ

có ít nhất một nghiệm Khi dé, BTGTP (0.1) (0.5) gọi là giải dược

Cơ sở lý thuyết để nghiên cứu tính tương thích và sự tổn tại duy nhất

nghiệm của PTVPDS đều bắt nguồn từ PTVPT Tuy vậy, PTVPDS củng tất

khác với PTVPT cả về điều kiện đầu tương thích và các tính chất của nghiệm,

như đã được chỉ ra trong các ví dụ ở phần Mỡ đầu và trong các tài liệu [16,38]

18

Để phân loại các PIVPDS, thì một cách thô nhất là phân loại theo cầu trúc

ẩn hay bán hiện Một cách phân loại khác phản ánh được tính chất động lực của bài toán hay mức dộ phức tạp của bài toán là phân loại theo chỉ số

Trong lý thuyết phương trình vi phân đại số có nhiều cách định nghĩa chỉ số

của PTVPĐS khác nhau như chỉ số ví phân (đifferentiation index) bởi C.W

Gear, B Leimkuhler va G Gupta [24, 25], chi 56 nhiéu (perturbation index) bởi Hairer và các cộng sự |30], chỉ số lạ (strangeness index) béi P Kunkel va

V Mehrmann [36], chi số điểu khiển (tractability index) bởi E Griepentrog

và R Marz [26], chỉ số hình học (geometric index) bởi W.C Rheinboldt [56],

chỉ số cầu trúc (structural index) bởi Pantelides [52] Trong dó, hai khái niệm

chỉ số được sử đựng trong luận án này là chỉ số vi phân và chỉ số lạ

Định nghĩa 1.2 Chỉ số vi phản của PTVPĐS là số lần it nhất các phép lấy vi

phân một phần hoặc toàn bộ các phương trình của hệ ban đầu mà từ đó có

thể xác định được đạo hàm của biến trạng thái x' như là một hàm liên tục của

† và x (đưa về PTVPT)

Chi số vi phân như là một thước do vẻ khoảng cách giữa PTVPĐS với

TTVPT qua các phép lấy đạo hàm Thước do này đường như không phản ánh

được chính xác bản chất của PTVTĐS bởi trong đó chúng ta hẳu như chỉ quan tâm tới tính chất vi phân mà không để ý tới

số Thực tế, các ràng buộc đại số đôi khi làm cho bài toán trở nên phức tạp

lặc trưng của các ràng buộc đại

hoặc có khi làm cho bài toán trở nên hết sức đơn giản Tiếp theo, chúng ta sẽ

đề cập tới khái niệm về chỉ số lạ đã được Kunke] va V Mehrmann dua ra

nam 1998 da phản ánh được cả bản chất ví phân và các dặc trưng rang buộc

đại số của PTVPĐS, tham khảo tai liéu [36-38]

Để định nghĩa chỉ số lạ cho PTVPĐS (0.1), chúng ta xét hệ sau

Dat cic Jacobian

1 Tiên tập ILụ, xank Mụ(t, x,x”, ,xÚtP)) — (+ L}n — ä sao cho tôn tại một hàm ma trên trơn Z2 có cỡ (M + Lìn x a có hạng lớn nhất theo từng điển thỏa

Ta ed rank F(t, x, x") Te(l,x,27, ,20D) = d sao cho tn lai mal ham ma

trận tron Z, cécé nx d, d= —acé hạng lớn nhật theo từng điểm théa man

ET — d, trong dé By — 77 Ey

Định nghĩa 1.3 [38, Definition 4.4] Xét PTVPDS (0.1), giá trị nhỏ nhất ¡ € IN

sao cho Ï thỏa mãn Giả thiết 1.1 được gọi là chỉ số lạ của (0.1) Nếu w — 0 thì

PTVPĐS được gọi là không có tính lạ (strangeness-frec)

20

Nhận xét1.1 1 Äfục đích chữnh của chỉ số oỉ phân là ãưa ra khoảng cách để biển

đổi PTVPDS trẻ thành một PTVPT Tu nhiên, nghiệm của bài toán sau khí

biển đổi thường không trùng oứi nghiệm của bài loán ban đầu

b Mục dích chính của chỉ số lạ là đưa ra khoảng cách để biên dổi bài luân PTVPĐS

Lự thưyết vẻ chỉ số lạ cho PTVPĐS phi tuyến tổng quát (0.1) đã dược nghiên

cứu Ngoài ra, trong [38, Chapter 4] cũng chỉ ra có một thuật toán để biến đổi bài toán (0.1) về một PTVPĐS rút gọn cé dang (0.6) (dang không có tính lạ)

Sau đó, sự tồn tại duy nhất nghiệm của PTVPĐS rút gọn được chứng mửnh

trong [38, Theorem 4.13] Hơn nữa, nghiệm duy nhất của bài toán rút gợn là một nghiệm địa phương của PTVPĐS (0.1) ban dầu

Trong toàn bộ luận án, chúng ta quy ước rằng khi nói đến chỉ số của TTVPĐS mà không nói gì thêm thủ đó là chỉ số vi phân của bài toán Tiếp

theo, chúng ta sẽ giỏi thiệu thêm hai lớp PTVPĐS thường gặp sau:

(1) PTVPĐS chỉ số 1 dạng nửa hiện (Hessenberg index-1}

Giả thiết rằng, đạo hàm riéng G, có nghịch dao bi chan trong mét lan can cia

nghiệm chính xác Từ phương trình thứ 2 của (L5) và theo Định lí hàm ẩn, ta

có thể giải được z = 7(f,y) trong một lân cận của nghiệm, thế vào phương

trình thứ nhất của (1.5) ta thu được một PTVPT

Như vậy, có thể thầy PTVPĐS (1.5) có chỉ số vi phân bằng 1 nhưng có chỉ số

la bang 0 hay dạng không có tính lạ

2

(2) PTVPĐS chỉ số 2 dạng nửa hiện (Hessenberg index-2)

“'—=T(t,,z),

0—6G(,0), Wiel,

với một điều kiện đầu (0,yn,zạ) tương thích thỏa mãn

G(0, yo) =0, Gy(0, yo) F( yo, 20) = 0 (1.9) Giả thiết rằng, ma trận GÏ; có nghịch dảo bị chặn trong một lân cận của nghiệm chính xác Để cho đỡ phức tạp, các kí hiệu các hàm Ƒ,G được dùng chung và chúng có thể khác nhau đổi với từng lớp bài toán

Mộtsố dạng PTVPĐS cũng được xem xét trong một số tài liệu như: PTVPĐS nửa hiện chỉ số 3, PTVPĐS nửa tuyến tính, PTVPĐS nửa ẩn, PTVPĐS tựa tuyến tính, v:v Do sự phức tạp cũng như tính phổ biến của bài toán, nên chúng ta không phản tích các lớp PTVPĐS này

112 Phương trình vi phần có chậm và phương trình vì phân đại số

có chậm

Nghiên cứu về phương trình ví phân co cham (PTVPC) va các phương pháp

số giải PTVPC phát triển mạnh vào những năm 70-80 Tổng hợp các kết qu:

phương pháp số cho PTVPC được trình bày tương đối đây đủ và hệ thông boi

A Bellen va M Zennaro trong tai liệu [12] Các khái niệm và các phương pháp

số cho phương trình vi phân đại số có chậm (PTVPDSC) đều được mở rộng

từ PTVPC Đến nay vẫn chưa có một tài liệu nghiên cứu một cách hệ thống

về PTVPĐSC và các phương pháp số cho PTVPĐSC Không những thế, có

rat it nghiên cứu về phương pháp số giải PTVPUSC, trong đó chủ yêu là các

phương pháp ẩn và cho lớp các FTVPDSC nửa hiện

Dạng tổng quát các PTVPC và PTVPĐSC là

trong đó hàm ƒ đủ trơn với các đạo hàm riêng bị chặn, trễ z >> 0 có thể là hằng

số hoặc phụ thuộc vào thời gian í và biến trạng thái y Nễn fy — = không

22

suy biến, ta có trường hợp đơn giản hơn khi phương trình (1.10) có thể được

biến đổi thành một PTVDC đạng

Trường hợp đạo hàm riêng ƒ„ suy biển ta gợi phương trình (1.10) là đạng

tổng quát của PTVPĐSC

Sau đây, chúng ta sẽ mở rộng các khái niệm, phân tích và phân loại các

PTVPDSC Xét BTGTD cho PTVPDSC (1.10), khi đó điển kiện ban đầu được

cho bởi

Dinh nghia 1.4 [54, Definition 3.1] Xét PVPĐSC (1.10)

i Một hàm : I —; C* được gọi là nghiệm của (1.10) nếu 1 liên tye, khả vi liên tục từng khúc và thỏa mãn (1.10) hau khắp nơi

ii, Mét ham ban dau được gọi là tương thích nếu BTGTĐ (1.10), (1.12) có

Ít nhất một nghiệm

ii Bài toán (1.10) được gọi là giải được nếu nó có ít nhất một nghiệm; nó

được gọi là chính quy nêu kết hợp với một điều kiện đầu tương thích thì

đã tương đối phức tạp, nên đối với PTVPĐSC thì việc phân loại lại càng phức

tap hơn Chúng ta có thể phân loại theo lưại trễ (là trễ hằng, hay trễ phụ thuộc biển thời gian hay cả biển trạng thái), hoặc phân loại theo loại trễ, trung tính, sớm, hoặc có thể phân loại theo đặc trưng của PTVPĐS,v.v Có thể thấy rằng, việc xuất hiện các trễ trong các phương trình làm cho tính chất của nghiệm

lệc phân loại cho PTVPC và PTVPĐSC theo đặc trưng loại trễ là phù hợp hơn cả Trước hết, xét PTVPC vô hướng với một

bài toán bị thay đổi nhiều vì vậy

2

trễ hằng

ayy (£) — apy (t — 7) + h(Ð + bụŒ — +) — ƒ(Ð, (1.13)

voi cdc hang 84 a1, a2, by, bạ

Định nghĩa 1.5 PTVPC (1.13) được gọi là logi tré (retarded type) néu a 7 0

và aa — 0 Nó được gọi la loai trang tinh (neutral type) nếu ø 7 Ũ và øz 7 Ö

Nó được gọi là loại sớm (ađvanccd typc) nêu z¡ = Ú và a; z Ú

Với PTVPĐSC, luận án của H Phi |54| đã đưa ra định nghĩa để từ đó phân

loại cho PTVPĐSC tuyến tính có dạng

Tiến nay, vẫn chưa có một cách phân loại cho PTVPDSC tổng quát (1.10) Vì

vậy, chúng ta sẽ chấp nhận cách phân loại này

Dinh nghia 1.6 [54, Definition 3.6 PTVPĐSC (1.14) được gợi là

¡ thuộc loại trễ nêu tắt cả các ràng buộc của (1.14) dược viết đưới đạng rằng

buộc vô hướng

Theo định nghĩa này, phương trình (1.13) là loại sớm néu a, — 0,a; 7 ñ

và bị z2 Ú; là loại trung tinh néu a, 4 Ova a Z⁄ Ö hoặc ø, — ø — ÚJ và

bị 7 0,bạ # Ú; các trường hợp còn lại là loại trễ Như vậy, việc phân loại theo Định nghĩa 1.6 đã ch

1.5 chúng ta chủ yếu để cập tới thành phần vị phân, điều này là hợp lý với

ý cả tới rằng buộc đại số trang khi trong Định nghĩa

2

PTVPDSC Tuy nhiên việc phân tích đưới dạng các ràng buộc vô hướng (1.15)

chỉ thực hiện được trong trường hợp bài toán tuyến tinh dang (1.14)

U Ascher và L Pctzold [7] đã phân tích, phân loại và xác định số điều kiện

cho PTVPDSC phi tuyến dạng nửa hiện chỉ số 1 và 2 Sự phân tích này dua trên việc tách thành phần vi phân và thành phần đại số và xác định PTVPC

can ban (essential-underlying-delay ODE) Tir dé sé xdc định điều kiện tốt cho PTVPDSC ban dau Tuy nhiên với nhiing PTVPDSC phi tuyén dang (0.12) hoặc dạng tổng quát (1.10) thì cả hai cách phân loại như trên đều gặp rất nhiều khó khan Chứng ta sẽ để cập tới vẫn đẻ này trong Mục 3.1

1.13 Sự phụ thuộc của nghiệm vào đữ liệu

Khi giải số các BTGTĐ nói chung (cho PTVPT,PTVPC, PTVPĐS và PTVPĐSC),

sự nhạy cảm của nghiệm bài toán vào giá trị ban dẫu và hàm về phải sẽ ảnh

hướng lớn đến tính ổn định và độ chính xác của lời giải số Trong phần này,

chúng ta nghiên cứu sự phụ thuộc của nghiệm BTGTĐ vào giá trị ban đầu và

ham vé phải cho PTVPT và PTVPC tuyến tính Các kiến thức trình bầy trong phan nay được tham khảo trong [13, Chapter 10]

a) Xét "TVPT tuyến tính với hệ số biên thiên

với điều kiện đầu y(0) — yp Gid siz Y(4) IA nghiém cua phuong trinh ma tran

thuẫn nhất

với Ï là ma trận đơn vị có cùng số chiều với Y Khi đó, nghiệm của PTVPT

(1.16) được biểu diễn đưới đạng

y() — Y(e +Y(1 J YU s)a(s)ds (118)

Giả sử Ø() là nghiệm của bài toán nhiễu

25

với giá trị ban đầu bị nhiễu ÿụ Khi đó ta cũng có

4

He) — VO + Y0) Í Y-1)J86)ás, (20

Trừ phương trình (1.18) cho (1.20), ta nhận được

Ke l<s<i <eo sup |Y(9Y '{)|, JX6)|<= sp [yall te

Hang số £ dược gọi là số diễu kiện của BTGTĐ (1.16) Sự nhạy cảm của nghiệm BTGTĐ (1.16) với nhiễu giá trị ban dầu và hàm về phải phụ thuộc

vào số diễu kiện BTGTĐ (1.16) được gợi là diễu kiện tốt nếu số diểu kiện

K có đệ lớn vừa phải

b) Xét PTVPC tuyến tính hệ số biến thiên với một trễ hằng

y0) 1 A()y/0) I B()y(— r) =4), với E> 0, (1.22)

và một điều kiện ban dau cho bởi (1.12) Để xác dịnh số diều kién cho PTVPC

(1.22), ta gid st Y(s, t) là nghiệm của phương trình liên hợp

aus, 1) -Y(s,t}A(s) -¥(s+7TABis+7)—0, OSs<t (123)

với điều kiện đầu

Y(s,)—0, vwoit<s<t+7,

(1.24) Y(s—1 véis—t

với

t,(Ð — qŒ) — A()@(U0) — B)‡ữT— tr), với 0 <£ <T

Khi đó x(¿) là nghiệm của PTVPC (1.25) với điều kiện đầu x{t) = 0 với mọi

+€ |[—r, 0] Chúng ta có thể kiểm tra trực tiếp, như trong [13], răng công thức

llf) — yữ)J| < (1+ Ki: + Kig)llệ(0) — @(0)| + Kil| Ệ (8s) — q(s)) 4s||

+ Kikall [° @le— 1) —Hls—a))ash

Đặt K = max{, (L-+ X1X2 — KìX3)}, từ đó ta thu được

ee) — vl s #{Iêt® ~#)J+ll Ệ (Hs) — afs))as||

Hang số K được gọi là số diễu kiện của BTGTĐ (1.22) Số điểu kiện càng

lớn thì bài toán càng nhạy cảm với nhiễu của hàm ban đầu và hàm về phải BTGTĐ (1.22) gọi là điều

Tương tự, phương trình liên hợp và công thức nghiệm cho PTVPC với nhiều trễ và PTVPC loại trung tính cũng được xác định Sau đó, chúng ta cũng định nghĩa được số điều kiện của BTGTĐ cho các PTVPC loại này Đọc giả quan tâm có thể xem trong [13, Chapter 10]

(1.35)

tốt nêu số điều kiện Ấ có độ lớn vừa phải

1.2 Phuong phap số cho phương trình vi phân thường

1.21 Các khái niệm cơ bản

Trong nghiên cứu các phương pháp số giải BTGTĐ của PTVPT cũng như PTVPĐS, chúng ta sẽ thường sử đụng tối các thuật ngữ: Sơ đỗ rời rạc, tính

28

tương thích, cấp chính xác, tính ổn định, sự hội tụ Các khái niệm này được phát biểu cho PTVPT và mở rộng cho PTVPĐS được trình bày trong các tài

liệu [8,31,38] Các khái niệm đó sau này cũng dược mở rộng cho PTVPC và

TTVPĐSC

Các phương pháp số giải PTVTT dược chia thành hai lớp phương pháp

gồm: các phương pháp một bước và các phương pháp đa bước tuyến tính

(gọi tắt là các phương pháp đa bước) Các khái niệm sau dây được phát biểu

cho các phương pháp một bước và cũng dược định nghĩa tương tự cho các

phương pháp đa bước Xét TGTĐ cho PTVPT

y —p(ty) voi O<*ST,

y(0) = yo

Đặt một lưới z — {0 — fụ < ñ < lạ < : < Úy — T},kí hiệu yy, li) a

xAp xi va nghiệm chính xác của (1.36) tại điểm lưới í = t, Giả sử *

ii Sơ đỗ rời rạc (1.37) dược gọi hội tụ cấp p rếu sai số toàn cục

&n — y(ta) — Hn — OCH}, (1.39)

với mọi ứ — 1,2, ,N và h — maxnenew An

viii hy — tạ_1 — tụ Sử dụng công thúc khai triển TRuor tại điểm tạ, ta có

Weng) = y(t) Fy Caylee + 2# (tad +0(18),

‘Tit dé dé dang suy ra sai số chặt cụt địa phương của phương pháp Euler hiện là

- ,_1

dy = Nau(in) = 27 (bi): 1 O82) = (0u) (1.41)

Do dé phuong phap Euler hiện tương thích tà có cấp chính xác hằng 1

Định nghĩa 1.8 Sơ đỗ rời rạc (1.37) được gọi là ổn định zero (0-etable) nếu

tổn tại các hằng số đương hạ và £ sao cho với mọi hàm lưới *, 2" vii h < hạ

1a luôn có

Hứa — sa < C{lVe— + max IMø/#0) =AñZ#(II} — 049

với mọi 1< n<N

Một định ly quan trong sau day chỉ ra mỗi liền hệ giữa tính tương thích,

én dinh zero và sự hội tụ của một sơ đô rời rạc được đề cập trong nhiều tài

liệu chuyên khảo [8, 16, 31,38] là chia khóa để chứng minh sự hội tụ của các

trong đó À là một tham số phức có phần thực không đương Nếu giá trị ban

đầu được cho bởi (0) = c thì nghiệm chính xác của bài toán là /(?} = ce**

Định nghĩa 1.9 Miễn ổn định tuyệt đối (2ĐTĐ) của một phương pháp số là

một miễn của các số phức z — hA sao cho khi áp dụng phương pháp số cho phương trình thử trên lưới đều ta thu được dãy nghiệm xắp xỉ {w„} thỏa mãn

Điều kiện (1.44) được gọi là điễu kiện OĐTĐ

30

Các phương pháp một bước tiêu biểu là các phương pháp Runge-Kutta

(RK) có ưu điểm là don giản, dé lap trình, dé dang thay đổi và điều chỉnh

bước đi khi tỉnh loán Ngoài ra lớp các phương pháp một bước còn để đăng

mở rộng thành các phương pháp có đầu ra liên tục từ đó mở rộng áp dựng cho các bài toán có trễ Đặc trưng của các phương pháp da bước là giá trị xắp

xỉ của biến trạng thái được tính qua nhiều giá trị trước dé nhưng mỗi bước tích phân ta chỉ phải tính 1 lần hàm về phải Do đó, các phương pháp da bước giảm chỉ phí tính toán và thời gian máy Tuy nhiên, việc thiết kế thuật toán

cho phương pháp da bước khả phức tạp và có dé ổn dịnh kém hơn Một hạn chế lớn nhất của các phương pháp da bước la việc thay dổi và điều chỉnh bước

đi không đơn giản Một số phương pháp đa bước thường gặp là các phương pháp BDE, các phương pháp Adams, các phương pháp một chân, các phương

pháp đa bước tuyến tỉnh tổng quát

1.22 Phương pháp Runge-Kutta

Phương pháp Runge-Kutta (RK) được hai nhà toán học người Đức là Runge

và Kutta xdy dung tir 1895-1901 Trong phan này, chúng ta sẽ trình bày sơ đồ,

đa thức OĐTĐ, miễn OĐTĐ, sự ổn định zero và một số kết quả hội tụ của các

phương pháp RK

Xét BTGTĐ (1.36) và một lưới 7z Ta kí hiệu w¿ w{¡) là nghiệm xắp xỉ và

nghiệm chính xác của (1.36) tại điểm lưới í = 1, Một sơ đỗ RK s-nấc cho

PTVPT (1.36) được biểu diễn dudi dang

trong dé Fn = tigi — te, Yi y(fn + cin) la nghiém xấp xỉ tại diém nac

Ty — fy tet, i— 1,2, 5.Caché sé cba phương pháp RK thường được cho đưới dạng mot bang Butcher

c A

31

với A — [ay b — (hị,bạ, ,bạ)T, e — (et,ca, ,€;)T, Phương pháp RK hiện xiểu A là ma trận tam giác dưới c|

ất, tức là ay — 0 voi i < j Trong cdc trudng

hop còn lại thì phương pháp là ẩn Phương pháp RK cũng có thé được viết

1

Dé xét tính ổn định tuyệt đối cho các phương pháp RK, ta áp dụng sơ dé

RK (145) cho phương trình thử (1.43) thu được công thức lặp

Yor = R@)y = (1+zBŸ(T — z4) H) yn, (1.48)

trong đỏ z — hụA, 1 — (1,1, ,1)” Ta thu được hàm ổn định của sơ đã RK

(145) là R{z) — 1+ zbf(T— z4) 11 và miền OĐTĐ của phương pháp RK (14) là

S—{z C:[R(z) <1)

Việc xác định cấp chính xác cho các phương pháp RK s nắc với s > 2 không

đơn giản Chúng ta có một kết quả về cấp chính xác va sự hội tụ của các

phương pháp RK sau dây

Dinh ly 1.2 [38, Theorem 5.9] Nếu các hệ sỗ ap, bạ, c¡ của một phương pháp RK thôa mãn các diều kiện:

123 Phương pháp Runge-Kutta đầu ra liên tục

Thắc triển liên tục của các phương pháp số được nghiên cứu từ cuối những

năm 1980 và dầu những năm 1990 Các thác triển liên tục của phương pháp

Runge-Kutta (hay phuong phap RK dau ra lién tuc) mang lai nhiều thuận lợi trơng việc giải số các bài toán có trễ Sau dây chúng ta sẽ nhắc lại một số khái

niệm cư bản vã kết quả của thác triển liên tạc các phương pháp Runge-Kutta được dễ cập chí tiết trong [12, Chapter 5, 6]

Trong giới hạn của luận án, chúng tôi chỉ để cập tới các công thức nội suy thuộc lớp thứ nhất, tức là các công thức nội suy được xây dựng mà không dùng thêm các điểm nắc khác trong mỗi khoảng lưới Cho trước một phương, pháp RK s ndc ap dung che PTVPT (1.36) cé dang (1.45) Một thác triển liên

tục (công thức nội suy) z(f) của (145) dược xác định bằng công thức cầu

trong đó hạ — fzịi — bee Yn YEW), Te — bn boca, Ve VD) và Kị —

(Y2) v/() Ở đây, các hệ số b;(8) là các đa thức có bậc < s thích hợp

ít nhất thảa mãn b,(0) — 0, b;(1) — bạ Chúng ta sẽ kí hiệu (4,b(Ø)), được

xác định bởi (1.45) và (1.50), là phương pháp RK đầu ra liên tục (CRK) của

phương pháp RK gốc (.4,b)

Định nghĩa 1.10 [12, Definition 5.13] Xét phương pháp CRK (1.45), (1.50)

Ta nói rằng:

i Phương pháp CRK là tương thích cấp (hay có cấp rời rạc) &¿ nếu &¿ > 1

là số nguyên lớn nhất sao cho với moi hàm về phái # khả vi liên tục cấp

k¿ và một lưới bắt kì z ta luôn có

[nse 1) — Yn all — OG"),

3

là đầu theo y; trong tập con bất kì của IR” và ø — U,1, ,N — L, với

#u—1) là nghiệm của bài toán địa phương

Zag) = eb eel), ' be SES đại (152)

nite) = Yr

Công thức nội suy (1) xde dinh béi (1.50) 1d tuong thich va ¢6 cip déu

k„ nêu k„ > 1 là số nguyên lớn nhất sao cho với mọi hàm về phải :p khả

vi liễn tục cấp kụ và với mọi điểm lưới ta luôn có

aS Dinh ly 1.3 12, Theorem 5.1.4] Cho trước phương pháp RK (1.46) lương thích cấp kạ oà hàm vé phai khd vi liêu lục cắp kạ thì phương pháp CRK (1.45), (1.50)

hội tụ cắp (cấp rời rạc loàn cục) kạ trên bắt kì một khoảng bị chặn |0, TỊ, nghĩa là

28, Ivfs)—nll= 209),

trong để h — maXisw« hạ

Nếu công thức nội saw 1j(L) (1.50) có cấp đều kụ thà phương pháp CRK (1.48),

(1.50) hội lụ nới cắp đều (loàn cục) q = min[kạ,ku 1 1}, nghĩa là

cua ly — 7A = (89)

Định nghĩa 1.11 |12, Iefinition 5.2.4] Ta nói rằng công thức nội suy (1)

(150) với cấp đều k„ là một thác triển liên tục tự nhiên (NCE - natural con-

tinuous extension) của phương pháp RK (1.45) cắp (cấp rời rạc) k¿ nêu các da

thức b;(6),¡ = 1,2, ,s xác định công thức nội suy r(/) thỏa mãn thêm điều

kiện trực giao tiệm cận (asymptotic orthogonality condition)

với mọi hàm ma trận G đủ trơn và đều theo = Ú,1, ,N — 1, trong đó

Zn+1(1) la nghiệm của bài toán địa phương (1.52)

Để mở rộng các phương pháp NCE cho PTVPĐSC, ta sẽ chứng mình bổ đề

sau:

Bổ đề 1.1 Cho trước một công thúc nội suy 1J (1) xác định bởi (1.50) có cấp đầu kụ

là một NCE của phương pháp RK (1.45) có cấp rồi rac kg Néu Q(t) là một ma trận ham khả nghịch Hũ nội suy +(Ð) thỏa mãn (F) = Q)3(1] cũng là một NCE có cấp đều kụ của phương pháp RK (1.45) dp dung cho PTVPT duoc bién déi tuong ting

Chứng mính Xét bài toán địa phương (1.52), ta sử dụng một phép đổi biến

#u+1() = PỮ)z„¡ () và xý = (tu), trong đó P() = Q0) Bài toán

(152) trở thành

PỨ)„10) — 00,P(Dvy+1(Ð) — PA, fe SES tg,

(1.54)

xy (tn) = Xp

Sau đó (1.54) được viết dưới dang,

Xngt(te) = Xã,

với P(E 1D) = QPEL Pn 1) — QU) Pn id)

Từ diễu kiện (1.53), với mọi hàm ma trận H đủ trơn, bằng phương pháp

tích phân từng phần, ta suy ra

| Í "AO Bra) = (dt | = OCH) (1.56)

Theo bat dang thức tam giác, ta có

với mợi ma trận hàm dủ trơn G Ngoài ra, ta có

TH IxaT-iữ) — zŒ)|[— nek IQC@)zn41 - QE)

tạSt

oi)

Do đó, +(F) cũng là một NCE có cấp đều kự cho bài toán (1.55) L

12.4 Phương pháp đa bước

Ý tưởng chung của phương, pháp đa bước luyến tính (hay phương pháp đa

bước) là xắp xỉ giá trị của biển trạng thái dựa vào giá trị của nhiều bước trước

đó Xét ETGTĐ (1.36) và một lưới đều zr với bước lưới h —

các nghiệm xấp xÏ w, của (1.36) thu được trên lưới z, một sơ đỗ k bước tổng

quát áp dụng cho PTVPT (1.36) là một toán tử sai phân Z¿ˆ(t„) — 0 xác định bởi

„ Kí hiệu ## là tập

trong đó các hệ số thực ø¡„ Ø¡ thỏa mãn a? + đ? z Ú, ¡ = 0,1, ,È, xem trong

tai liéu [7,31] So dé (1.60) la hién néu fp — 0, là ẩn nêu 8 z Ú Sự ổn định

của phương pháp da bước phụ thuộc vào hai đa thức đặc trưng thứ nhất và thứ hai sau

p(§) =} miệt” và ơ(() = ) Biết (1.61)

Định nghĩa 1.12 Một phương pháp k bước (1.60) được gọi là ổn định Zero

(stable) nếu có các hằng số dương hạ và K để mà với mọi hàm lưới w*, z# và

Khi đó sai dỗ chặt cụt địa phương

dy — Cop ahPy? (ty) + OME),

trong đó

đụ —h—” Lyyltn) — i Lagu (trp) — So Beh (try y(t y))-

Dinh ly 1.5 [8, Theorem 5.1| (Tính ổn định oà sự hội tụ)

1 Phương pháp k bước (1.60) ẩm định sero nếu tọi nghiệm của da thức đặc Irưng

thứ nhất p(Ệ) thảa trân lũ; $1, uà nếu ế; — 1 thà g, phải là nghiệm don,

điều kiện nà còn dược gợi là điều kiện nghiệm

1 Phương pháp k buắc (L60) có cấp chính xác p, ẩn định zero va cdc gid tri ban

đều đều chính xác cấp p thì phương pháp đó hội tụ cấp p

Định nghĩa 1.13 Xét phương pháp & bước (1.60)

i So dé (1.60) ổn định mạnh (strongly stable) nễu tắt cả các nghiệm của

đa thức đặc trưng thứ nhất ø(Z) nằm ở phan trong hình tròn đơn vị trừ

nghiệm £ — 1

ii 8ơ đỏ (160) ổn định yếu (weakly stable) nêu nó ổn dịnh zero nhưng

không ổn định mạnh

ii Đa thức đặc trưng thứ hai z() của (1.60) ổn định chặt (strictly stable)

niếu tất cả các nghiệm của đa thức dó nằm ở phân trong hình đường tròn

đơn vị

Để xác dịnh đa thức ổn định tuyệt đối của phương pháp da bước, ta áp

dụng công thức đa bước (1.60) cho bài toán thử (143) thu dược

Do đó ta thu được đa thức ổn định của phương pháp đa bước

k

me(€) — Soi — 280"! — 0, (1.65)

mo

và miễn ổn dịnh tuyệt đối của phương pháp được xác định bởi

S—{zeEC| m;(g) thỏa mãn diều kiện nghiệm} (1.66)

1.2.5 Phương pháp Runge-Kutta với thắc triển liên tục cho phương trình

trong đó hàm về phải #(t, y, z) và ham ban dau (2) du tron sao cho nghiệm

đuy nhất y(7) tồn tại và khả vỉ liên tục từng khúc cắp ø Ta xét một lưới zr —

{0 — to < fy < by < +++ < ty — T} chia tat ca cdc điểm gián đoạn ð; —

it, i—1,2, , trong khang Il, Cho trước một phương pháp CRK (A, (8),

sơ dỗ CRK áp dung cho PTVPC (1.67) cé dang

4

Yị —n | hạ 3 ~ aP[T,Yu,ny— )), E=1,2, ,5, (1.68 a)

jl :

(ta + On) = Và + hụ 2 b(8)0(T,Yu,0(T¡— )), 0<8 <1, (1688)

i=l

trong đó lụ = teva — tn, Tr = te + city Chu ¥ rang, By(0) = 0, by(1) = bự da

6 Yaa — (u + hy)

Chúng ta thu được kết quả hội tụ sau đây cho sơ đồ CRK (1.68)

Định lý 16 [12, Theorem 6.2.1] Nếu phương pháp CRK sốc (A,b(0)) cổ cấp rời rac ka wi cp déu ky, thì sơ đồ CRK (1.68) hội tụ uà có cấp rồi rạc nà cấp liên tục ton cục ạ — mản{p, kạ, k„ ~ 1}, nghĩa là

a0 Vu] — Yl = OC), max ly) - ữ)||= 002),

trong đó h — maxocnen chục

Dinh ly 1.7 [12, Theorem 6.3.3] Xét một phương pháp CRK (1.68) tả một lưới

T

we

pháp CRK gốc (A, b(8)) có cấp rời rạc kg va n6t suy (2) la mot NCE có cấp đền kụ

đều m* uới bước lưới h — ©, trong đó v lầ một số nguyén dương Nêu một phương

Xét PTVPC loại trung tính với một trễ hằng:

v0 —9(,v0),vw—),y(L—r)), với Fel,

vữ) =¿@), với te [-z, 0]

Sơ đỗ RK với thác triển liên tục áp đụng cho PTVPC (1.69) có đạng

(169)

s Y¡ — t„ +Íu 38t, Y, Ÿ,, 2), ï— 1,24 5, (1.70a)

fl

s (ty + 0hụ) — yạ + lu 3” b(0)p(T,Y,Ÿ„ 2), 0<0 <1, (170b)

Chúng ta thu được kết quả hội tụ sau đây cho sơ đỗ (1.70)

Dinh ly 1.8 [12, Theorem 6.5.3] Xét PTVPDSC (1.69), giả thiết hàm t nà hàm ban đầu khả oi liên tục cắp p, vd mot hedi 7 chita tt cf ode điểm giản đoạn cấp

< p nằm trang khoảng T Nếu một phương pháp CRK sắc (A,b{0)) có cấp rồi rac

kụ, nội suy n(£) có cấp đều ky vd xdp xi A(t) od cẤp chính xác đều r thi so đồ (1.70)

hội tụ nà cổ cẤp rùi rọc, cắp đầu toàn cục bằng q' = mản{p,Kạ,kụ + 1,r + 1}, nghĩa

Ja nghiệm số liên tục q(t) thôn tấn

J88% |) — 7) | = Ø0), max |yữn) = iữz)| = Ø0),

trong đó h — maxocnen Fn.