Luận văn dáng Điệu tiệm cận nghiệm của một số lớp phương trình Đạo hàm riêng ngẫu nhiên

Nghiên cửu tính ẩn định nghiệm của phương trình dạo hầm riêng ngẫn nhiền, Nói riêng là nghiền cứu sự lồn tại và lính ổn định cổa nghiệm dừng của hệ tất định tương ứng dưới ảnh hưởng c

DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA MỘT SỐ

LỚP PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HAM RIENG

NGẤU NHIÊN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2019

DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA MỘT SỐ

LỐP PHƯƠNG TRINH DAO HAM RIENG

NGAU NHIEN

Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân

Mã số: 9460101.03

LUAN AN TIEN Si TOAN TIỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PQS TS Cung Thế Anh

Hà Nội - 2018

LGI CAM DOAN

Toi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn của PGSL5 Cung hế Ảnh Các kết quả được phát biểu trong luận án là hoàn toàn trung thực và chưa từng được ai công bó trong bất cứ một công

trình nào khắp

Nghiên cứu sinh

Nguyễn Văn Thành

LỜI CẮM ƠN

Tmận án được hoàn thành đưới sự hướng dẫn nghiêm khắc, tận tình, cần

thận của POS.LS Cung Lhế Anh 1ác giả xin bày tổ lòng kính trọng và biết

ơn sâu sắc PC8.LS Cung 'Lhế Anh, người ‘Thay đã dẫn đất tác giả làm quen với nghiên cứu khoa học ti những ngày san khi tối nghiệp thạc xã Ngoài những

chỉ dẫn về mặt khaa học, sự động viên và làng tin tưởng câa Thầy dành cho

tác giả luõn là động lực lồn giúp tác giả say m& trong nghiên cửu và học tập

Tác giá xin trân trọng gửi lời cảm dn đến Ban Giám hiệu, Phòng Sáu Đại Tiọe, Bán Chủ nhiệm Khoa Toần - Oứ - Tìn học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, đặc biệt là GS.TS Nguyễn Hữu Dư và các

thầy cô giáo trong Bộ môn Phương trình ví phân và Hệ động lực của Khoa

“[oán - Cơ - 'Lĩn học đã luôn giúp đð, động viên, tạo môi trường học tập nghiên cứu thuận lợi cho tác giả Ngoài ra, tác giả xin câm ơn các thầy cõ giáo, đặc biệt là PG8.TB Trần Đình Kế, Bố mớn Giải tích, Khoa Toán - Tìn, Trường Dai hoc Sư phạm Hà Nội, và PG8.TSKH Đoàn Thái Sản, Viên Toán học, đã luôn động viên, chỉ bảo, hướng đẫn những kiến thức cơ sổ bổ ích cho hướng nghiên cứu của tác giả

The: gid xin được bày Lỗ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệu, các thầy cõ vì các anh chị đồng nghiệp công tác tại Tổ Tự nhiên, Trường THPT Chuyên Ngoại

ngữ, đã hiön tạo diền kiện thuận lợi, giúp đỡ và động viên tác già trong snét

quá trình học tập và nghiên cứu

Lili cam du san cùng, ấp giã xin dành cho gia dình, dặc biệt là người vợ yêu quý và hai bên nội ngoại, những người luôn yêu thương, chia sẻ, động viên

tác giả vượt qua khó khăn để hoàn thành luận án.

Một số kí hiệu dùng trong luận án

MỤC DÍCH, DỐI 'ƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CÚU

PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN

CẤU TRÚC CỦA LUẬN ẤN

1 MỘT SỐ KIÊN THỨC QHUẨN BỊ CÁO KHÔNG CIAN HÀM

1.11 Không gian Sobolev

X".¬ ẽ sẽ ằẰằ na

1.1.3 Khéng gian các hàm của biển thời gian

KHO

1.2.1

ING GIAN HILBERT

Mẹt số khái niệm co ban

MỘT SỐ KET QUÁ VẺ GIẢI TÍCII NGẪU NIÊN TRÔNG

21

1.22 Không gian hàm của các quá trình ngẫu nhiên 26 1.2.3 Tích phân ngẫu nhién trong khong gian Hilbert oF 124A, Công thức Ho trong không giản HilberL 30

1g MOL SỐ KHÁI NIỆM CO BAN Vib Jub DONG LUC NGẪU

14 MỘT SỐ KỂI QUÁ HỒ TRỢ 38

1.4.1 Mặt sỗ bắt dẳng thức thường dìng 33

Chương 2 DÁNG DIỆU TIỆM CAN NGHIÊM CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG

TRÌNH PARABOLIC NỬA TUYẾN TÍNH SUY BIỄN NGẪU NHIÊN 37

2.1 TINH TRON CUA TAP HUT NGAU NHIÊN 37

2.1.2 Sự bốn tại của tap hit ngdu nhién trong khong gian L7(O) 41

2.1.3 Sự tồn tại tạp hút ngẫn nhiên trong không gian ĐẢ(Œ,ø) 56

2.22 Ổn định hóa nghiệm dừng bằng nhiễu ngấu nhiên nhân

Chương 3 DÁNG DIỆU TIỆM CẬN NGIIỆM CỦA HIỆ NAVIER-STOKES-

VOIGT NGẪU NHIỄN àằ St cv te 74

3.1.2 Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm 7

32 TINH ON DINE MU CUA NGHIỆM DỪNG 97

3.3, GN DINH HOA NGHIEM 0 BANG DIBU KHIEN CO GIA DU

LỚN BÊN TRONG MIỄN 105

3.3.2 Sự ổn định của hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt

3.3.3 Ổn định hóa bằng điều khiển phân hỏi có giá đủ km bên

Chuong 4 DANG DLEU 'TLEM CAN NCHIEM CUA HE KELVLIN-VOICT-

BRIKKMAN-FORCHHEIMER NGAU NHIÊN 112

2 KIÊN NGHỊ MỘT BỐ VẤN Dit NOLEN CUU ‘TIER THEO 122

DANH MỤC CÁC CÔNG TRINH CONG BO DUGC 80 DUNG TRONG

“TÀI LIỆU THAM KHẢO SH» nk Hs nh nhe 194

không gian đối ngẫu của không gian V⁄

chuẩn trong không gian L?(O),p > 1 tích võ hướng và chuan trong khong gian 7

tích võ hướng và chuẩn Irong không gián VV

chuẩn trong không gian V*

đối ngẫu giữa V và W"

ánh xạ đồng nhất các toán tử dùng để nghiên cứu hệ Navicr-Stolees-

Vũigl, Kelvin-Voigt-Brinkman-Forehheimer miền xác định của toần bit A

hội tạ yếu (theo nghĩa giÃi tích hàm) bao đóng của ¥ trong X

nữa khoảng cách IIausdorff giữa hai tập A, B

không gian tất cả các các toán tử tuyến tính

Hilbert-Schmidt tiv Ky vao H.

thể trong sinh học khi mà sự tác động của ngoại lực là liên tuc và ngẫu nhiền

: nghiên cửu những lớp phương Lrinh này cổ ý nghĩa quan trọng trong khoa

học và công nghệ Chính vì vậy nó đã và đang thu hút được sự quan tâm của

nhiều nhà, khoa học trên thế giới

Một trong những vẫn dễ định tính quan trọng khí nghiên cứu những lp

phương trình dao hàm riêng ngẫu nhiên có ứng đụng là xét tính đặt đúng của

hài toán và sau đó nghiên cứu đáng điệu tiệm cận của nghiệm khi thài gian

t > oc Dây là một việc làm có ý nghĩa thực tiễn, vì nghiệm của phương trình

đạo hàm riêng ngẫu nhiên thường mỏ tả trạng thái của các mõ hình thực tế

Do đó, khi biết dáng điệu tiệm cận của nghiệm, a có thể dự đoán được xu thé

phát triển của hệ trong tương lai và đưa ra những đánh giá, điều chỉnh thích

nh

hợp để dạt dược kết quả mong muốn, Về mặt, toán học, ay lam nay

một hướng nghiên cứu mới, được phát triển mạnh mẽ trong khoảng vài thập

kỉ gần đây là lí thuyết về dáng điệu tiệm cận nghiệm của các phương trình

đạo hàm riêng ngẫu nhiên

Hai hướng nghiên cứu eơ bản về đáng điệu tiêm cận nghiệm của các phương

trình đạo hàm riêng ngẫu nhiên:

® Nghiên cửu dáng diệu tiệm cậu nghiệm cũ š động lực ngẫn nhiền

bằng cách sử dụng lí thuyết tập hút ngẫu nhiên Bài toán cơ bản của lí thuyết này là nghiên cứu sự tồn tại và các tính chất của tập hút ngẫu

nụ chẳng hạn tính Lrơn của tập hút, đánh giá số chiều cña tập hút,

nghiên cứu sự phụ thuộc lien tục cña tạp lút vào tham số,

Nghiên cửu tính ẩn định nghiệm của phương trình dạo hầm riêng ngẫn

nhiền, Nói riêng là nghiền cứu sự lồn tại và lính ổn định cổa nghiệm

dừng của hệ tất định tương ứng dưới ảnh hưởng của nhiễu ngẫu nhiên

Trong trường hợp nghiệm dừng này không ấn định, nghiên cứu bài toán

én định hóa nghiệm đững bằng cách sử dụng nhiễu ngẫu nhiên phù hợp

hoặc sử dụng điều khiểm phản hồi có giá trên biên hoặc bên trong miền

Dưới đây chúng tôi điểm qua một sé kết quả tiêu biểu của hai hướng nghiên

cứu nghiên cứu này, liên quan đến nội dung của luận án

Khái niệm tập hút ngẫu nhiên là một sự mở rộng của khái niệm tập hút

toàn cục cña hệ động lực tất định, được giới thiệu bởi H Crauel, Á Dehussche,

1" landoli trong [29, 30] 'Lữ khi ra đời đến nay, hướng nghiên cứu về tập hút

ngẫu nhiên và tính chất của nó đã thu hút được sự quan tâm của nhiễu nhà

toán học trên thế giới Sau hơn hai thập ki phát triển, sự tồn tại và các tính chat od ban cha Lap hat ngẫn nhiên da dược nghiền cfu chủ một, lập khá rộng

các phương trình đạo hầm riêng phi luyến Nổi riêng, rong {29, 3Ô| gác lác

giả đã xét lớp phương trình phan ứng khuếch tán với nhiễn ngẫu nhiên cộng

du = Audt — fu)dt +S hy(x)dWj,

ja

ở đó số hạng phi tuyến ƒ(u) tăng trưởng và tiêu hao kiểu đa thức, và đã chứng

ninh sự tổn tại tập hút ngẫu nhiên của hệ động lực ngẫu nhiên sinh bởi phương

nhiều nhà

trình Tiếp tục phát triển vẫu đề này, trong những nắm gần đi

toán học đã quau Lâm nghiền cứu sự tôu tại và tính chất của tap hút ngẫu

nhiên cho lớp phương trinh parabolic với nhiễn cũng tính 32”, h¡(z)4W; hoặc

nhiều nhân tính 3” ¡ b;c(z)uđW;, trong miền bị chặn (xem [11, 33, 54, 5ð])

và miền không bị chặn (xem [16, 71, 75Ì)

Một hướng khác để tìm hiểu đáng điệu tiệm cận nghiệm của các phương

trình ngẫu nhiên là nghiên cứu sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm và trong

trường hợp nghiệm không én định ta có thể ổn định hóa bằng điều khiển phù

al dain

hợp Ou định hóa phương trình tiến hóa bởi nhiều ngẫu nhiền dược

Lữ những năm 60 của thế kỉ trước với các kết quả dầu tiền cho hệ hữu hạn chiều và hiện nay là cho các hệ vô hạn chiều Có khá nhiều công trình nghiên

cứu ẩn định hóa về 0 của lớp phương trình vi phân hữu hạn chiều (xem, chẳng

hạn, [10, 38, 61]) và võ hạn chiều (xem [2ð], bài báo tổng quan [24] và cuốn

chuyên khảo [53]) Nói riêng, bài toán ổn định và ổn định hóa đã được nghiên

cứu cho một số lớp phương trình parabolic và một số lớp phương trình trong

năm 2000, T Caraballo, J Tanga và J Robinson

số kết quả gần dây theo hướng nghiên cứu thời sự này trong |8, 63, 64, 65|

“Tuy nhiên, theo như hiểu biết của chúng tôi, vẫn còn ít công trình nghiên cứu

ổn định háa các phương trình đạo hàm riêng phì tuyến trong không gian võ

hạn chiều với trường hợp nghiệm dừng khác 0

Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của một số lắp phương trình đạo hàm riêng

ngẫu nhiên trong cơ học chất lỏng, đặc biệt là các phương trình kiểu Navier-

Stokes, cing thu hút được sự quan tám của nhiều nhà khoa học trên thế giới

(xem, chẳng han, (13, 19, 20, 28]) 'Iuy nhiên, đối với nhiều lớp phương trình

10

ngẫu nhiên quan trọng trong cơ hoc chất lông, tinh đặt đúng vẫn là vấn đề mở cần được nghiên cứu

Tiên cạnh những kết quả đã đạt được ở trên, vẫn còn ít kết quả liên quan

đến dáng điệu tiệm cận nghiệm của lớp phương trình parabolic suy biến và một

số lớp phương trình ngẫu nhiên khác trong cơ học chất lông như hệ Navier-

SLokes-Voigl, hệ ICelvin=Vaigl-Brinkinan-Forchheimer, Chính vì vậy, chúng tôi chọn hướng nghiền cứu "Đáng diệu lim cữu nghiỆm của tuội số lớp phaiững

trình đọa ham riêng ngằu nhiên" để làm đề tài cho luận Án tiến sĩ của mình

z, TONG QUAN VAN ĐỀ NGHIÊN CỨU

Mot trong những lúp phương trình parabolie dược nghiền cửu nhiều trong

những năm gắn đây là lớp phương trình parabolic suy biến kiểu Caldiroli-

Musina cé dang

du | [-div(o(2) Pu) flu) | Auldd = gt | nhién ngdu nbién, x € O,L> 0,

ult 9 — Uo-

Trong trường hợp tất định, phương trình này có thể xem là mô hình đơn

gián của quá trình khuếch tán nơtrơn (điều khiến phản hồi của phản ứng hạt

nhân) (xem [33]) Trong trường hợp này, ø và ø tưởng ứng chỉ thông lượng

nữuron và hệ gỗ khuếch Lần ndtron Các điền kiện về lứp [rong ø được đưa ra

bởi Caldiroli-Musina trong bài báo |21|; nói riêng, hệ số khuếch tán ø là hàm

không âm, đo được và có thể bằng không tại hữu hạn điểm Một ví dụ điển

hành là ofx) —

,œ € (0,2), trong trường hợp miễn bị chặn Trong công

trình [21], Caldiroli và Musina đã giới thiệu không gian năng lượng tự nhiên

Ầ(O,z) được định nghĩa là bổ sung đủ của Œ§°(Ø) đối với chuẩn

12

lalsos = ( Ệ Ztz)IVs242) ,

II

và chứng mình một số định lí nhúng tương ứng Dựa trên những kết quá này, trong những nấm gần đây, đã có nhiều kết quả nghiên cứu về dáng điệu tiệm cặn nghiệm cña lớp phương trình này

« Năm 2006 và 2006, các tác giá N.1, Karachalios và N.H Zographopoulos

đã nghiên cứu sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận thông qua sự tồn tại của tập hút toàn cục của nghiệm bài toán Ơauchy-Dirichlet đối với lớp

phiưïng trình trên trong Lrường hợp đặc biết, (0) — Aut ul? ?u, ge) —

0với0< 3< — TC — (xem với D3 S Tra ca (xem |A0, |41) |4, Jf1)-

Năm 2008, các tác giả Ơ.T Anh và P.Q Hưng (xem [4]) đã chứng minh

sự tôn tai tập hút toàn cục đối với bài toán Cauchy-Dirichlet trong trường hợp dữ kiện ban din up € ĐẠ(O,ø).ø € 12(Ø) cho trước và / Unda man

điền kiện Tâpschitz địa phương và Lăng trưởng kiểu 8obolev Kết quả

này mở rộng đáng kế các kết quả trước đó của N.L Karachalios và N.H

Zographopoulos

Trong oe idan Lit 2010 đến 2013, các tác giả ©.T Anh, N.D Bình, T

Q Bão và L.T Thúy đã chứng minh được sự tồn tại và tính trơn của tap

hút, đánh giá số chiều fractal của tập hút của lớp phương trình parabolic

suy biển trên khi số hạng phì tuyển tiêu hao và tăng trưởng kiểu đa

thức, trong cả hai trường hợp ngoại lực không phụ thuộc và phụ thuộc

thời gian (xem [1, 3, 3]) Xem thém các kết quả liên quan gần day trong [18, 48, 49, 50

Trong trường hợp ngẫu nhiên, đối với phương trình parabolie suy biến ngẫu

năm 2011, các kác giả M Yang và P.E, Kloeden đã chứng mình được sự tồn

tại tạp hút ngẫu nhiên trong 72() vái Ó là một miễn bi chan {xem 72|) Một

12

số vẫn đề về tính trơn của tập hút ngẫu nhiên, sự tồn tại nghiệm dừng, tính

én định và ổn định hóa của nghiệm dừng đối với lớp phương trình (1) vẫn còn

ly vẫn đề mở và sẽ được chúng tôi nghiên cứu trong luãn ẩn nầy,

"Liếp theo, một lớp phương trình trong cơ học chất lông được nhiều nhà

toán học nghiên cứu trong những năm gần đãy là hệ phương trình Navier-

Stokes-Voigt có dạng

d(u — 0% Au) + [-vAu— (ue Vu + Vpldt

= f(z, t}dt + ahiéu nodu nhién, x € O,t > 0,

được, nhớt, dàn hồi (với tham số đặc trưng cho tính đàn hồi a) Chú ÿ rằng

khi œ — 0, hệ Navier-Stokes-Voigt trở thành hệ Navier-Stokes có điển và khi

vy — 0 ta dugc mô hình Dardina dạng đơn giản hóa, mô tả chuyển động của các chất lỏng không nhớt Hệ (2) đã được k8 'Liti và các cộng sự sử dụng như

là một chỉnh hóa của hệ Navicr-Stokos ba chiều, khi œ nhỏ, giúp mô phỏng số

› nghiệm của hệ Navier-Stokes trong cả Lrường hợp diễn kiện biên Luần

Tioàn và diễu kiện hiểu Dirichlel (xem [22]) Thực tế, hệ Navier-Btokee-Vuigl

thuộc lớp œ-mô hình trong cơ học chất lỏng (xem |39| cho các trường hợp khác của mô hình này)

Trong những năm gần đây, sự bồn lại và đáng diệu liệm cặn eũa nghiệm

của hệ Navier-Stokes-Voigt ba chiều tất định thu hút được sự chú ý của nhiều

nhà toán hoc (xem [8, 36, 42, 44, 62, 74]) Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm

được chứng mình đầu tiên bởi A.P Oskolkov trong [62] Sau đó, khi ngoại lực

chặn nhưng thưa mãn bất đẳng thức Poinearĩ (xem #]), kết quả này mở rộng,

kết, quả trước đĩ trong J36] khi miền xết, phương brink J bj chan

Trong trường hợp ngẫu nhiên, năm 2019, 1L Qao và Ở Sun đã chứng minh

sự tồn tại và đánh giá số chiếu Hausdorff của tập hút ngẫu nhiên đồi với lớp

nhién db (1) {xern [37|) Naun 2013, T.Q Ban

phưưng Lrình này với nhiễu ngã

đã chứng mình tỉnh trún và tính Bến tục cđa lập hút ngẫu nhiền với nhiễn

ngẫu nhiên dạng eh(z)4I(#) (xem [17])

Tuy nhiền, số hạng ngấu nhiều trong các bài báo này cịn khá đơn giản, nĩ

chỉ là nhiều sảng tính hữu hạn chiêu Da đố, sự tồn tại và dny nhất nghiệm

của mư hình này là đơn giản bởi vĩ nổ được suy ra từ kết quả của phương trình

tắt định tương ứng sau một phép biến đấi nhù hợp Tuy nhiên, khi nhiễu ngẫu nhiền là quá trình Wiener vẽ hạn chiều thì vấn để nghiên cứu sự tồn tại và

duy nhất nghiệm khĩ khăn hơn nhiều Khĩ khăn gặp phải lhả nghiên cứu (2),

trước hết, là sự xuất, hiện của số hạng —a?2Aø, làm mỗi, di tính chất parabolie

(giống như hệ Navier-Sokes bạn dầu) của hệ phương trình vi ap dung cong

thức Ito cũng khĩ khăn hơn Cụ thẩ, nghiệm của hẹ kháng tron hơn diễu kiện ban dần, tương tự tính chất của phương trinh hyperbolic và hẹ quả là hạ dong

lực tương ứng chỉ cĩ tính chất tiêu hao yêu Tiếp theo, đo xét lớp phương

trình đạo hàm riềng ngẫu nhiên nên các bổ đề compaet Aubin-Lions khơng sử

đụng được và do đỏ các phương pháp thường dùng cho hệ phương trình tất

14

định không còn thích hợp nữa Để khắc phục, chúng ta cần sử dụng kĩ thuật đánh giá tiên nghiệm bằng các bất đẳng thức Burkholder-Davis-Qundy, các bắt đẳng thức phi Luyển và quá trình dững,

Một số vấn đề về hệ Navicr-Stokos-Voigt ngẫu nhiên mà chúng tỏi quan tâm nghiền cứu trong luận án này là:

« Nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm

ø Nghiên cứu tính ổn định của nghiệm dừng của hệ tất định tương ứng,

dưới ảnh hưởng của nhiễu ngẫu nhiên (với giá thiết nghiệm đừng này yan là nghiệm của hệ ngẫu nhiên)

Một lớp hệ liên quan đến hệ Xavier-Stokes-Voiat ở trên là hệ phương trình Kelvin-Voigt-Brinkman-Eorchheimer trong miền @ C l3 với biến

u(x,0) — ugln), «EO,

6 day u = (uw), ue, ug) Ta hầm veets van We, p = p(œ, É) là hàm áp guất cần

tim, v > 0 là hệ số nhớt, œ > 0 là tham số đặc trưng cho tính đàn hồi của

cht lang, ug là vận tốc ban đầu, ƒ(œ, u) là hầm phi tuyển và nhiễu ngẫn nhiên

nhận giá trị trong không gian 7ƒ Ngoài những khó khăn do sự xuất hiện của

toán tử —a*.Aw như khi nghiên cứu hệ Navier-Sbokes-Voizt, sự xuất hiện của

số hạng phi tuyến ƒ(z,) cũng làm việc nghiên cứu hệ (3) trở nên phức tạp hơn, Tiúc này, trong hệ phương trình xuất, hiện cùng lúc hai số hạng phi tuyến (ø‹ V)m và ƒ{œ.w) cần xử Wí đòi hỏi chúng tá phải kết hợp khéo léo các kĩ

thuật đánh giá Chú ý răng khi ƒ = 0 ta.có hệ Navier-Stoles-Voigt ngẫu nhiên.

tương ứng, và khi œ = Ú ta có hệ Brinlanan-Forchhcimer đổi lưu (xem [4ð])

“trong trường hợp tất định, bài báo [7] của C.L Anh và P.L 1rang là công trình nghiền cứu đầu tiên về hệ (3), ở đó đã chứng mình các kết quá về sự tồn

tại đuy nhất của nghiệm yếu, sự tổn tại tập hút lùi và tính ấn dịnh mũ của

nghiệm đừng Cho đến nay, theo sự hiểu biết của chúng tôi, chưa có kết quả,

nào về bài toán này trong trường hợp có nhiễu ngẫu nhiên Trong luận án này,

chúng tôi sẽ nghiên cứu ảnh hưởng cña nhiễu ngẫu nhiên lên tính ổn định của

nghiệm dừng của hệ tắt định

MỤC ĐÍGCH, ĐỐI TƯỞNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

Mục đích luận án: Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của lớp phương trình parabolic suy biến ngẫu nhiên và một số lớp phương trình dao ham riêng ngẫu nhién trong cơ học chất lỏng, baơ gồm hệ Navier- Slokes-Voigh va hé Kelvin-Voigt-Brinkinan-Forchheimer

Đối tượng nghiên cứu: Dáng diệu tiệm cận nghiệm của lớp phương trình parabolie suy biến ngẫu nhiên, của hệ Navier-Stokes-Voizt ngẫu

nhiên và của hệ Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer ngẫu nhiên

Thạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu đáng điệu tiêm can théng qua su tén tại và tính chất của tập hút ngẫu nhiên, sự tôn tại và tính dn định cña

nghiệm đừng dưới ảnh hưởng của nhiễu ngẫu nhiền và vấn đề ổn định hóa nghiệm dừng bằng nhiễu ngẫu nhiên hoặc điều khiển phản hồi phù

hợp

ø Nội dụng 1: Phường trình parabolie guy biến ngẫu nhiên

du + = div(a(z)Vu) + Auddt = [f (2, u} + g(x)]|dt + h(a, t,u)4W 0),

4)

trén mién bj chan O c 2%, N > 2, vdi bien GO tron, A> 0.

16

% Trước tiên, chúng tôi xét nhiều ngẫu nhiên là ja

(z)4W;(Ð

với {W,}?"1,m > 1,m C Ñ là các quá trình Wiener độc lập hai

phía nhận giá trị rong Lập số thực Trong Lrường hợp này, nự tồn tại của tập hút ngẫu nhiên trong Z2() cho hé dong luc

ngẫu nhiên sinh bởi (4) đã dược nghiên cứu bởi P.E Kleeden

và M Yang trong [72] Mục đích của chúng tôi ở đây là nghiên

cứu tính trơn của tập hút ngẫu nhiên thu được trong [72], cụ

thể là chứng minh sự tồn tại sự tổn tại của tập lút ngẫu nhiên

trong các không gian /*() và ĐỊ(Ø, ơ)

* Tiếp theo, chúng tôi nghiên cứu sự tổn tại và đuy nhất của nghiệm đừng của phương trình tắt định Sau đó, với nhiễu ngẫu nhiên dạng h(t,u)4W/ (), ở đây là W (7) là quá trình Wicner một chiều nhận giá rỉ thực, chúng tối nghiên cứu sự ảnh hưởng của nhiễu ngẫu nhiêu này đối với sự ốu định của nghiệm dừng của

hài toán (4) Chúng tôi sẽ chỉ ra rằng một nhiễn ngẫn nhiên

nhãn tính với cường độ đã lớn sẽ ổn định hóa được nghiệm

đừng đã cho

ø Nội dụng 2 Hệ phương trình Navier-Stokes-Voigl ngẫu nhiên ba

chiều

d(u—a?Au) | [-vAui (u- Vu | Vpldt

— fla tt + h(t, u)dW (i), 2 € O,t > 0,

V-iu-0, 2€0,¢>0,

u(x,t) -—0, 2£€dO0,t>0,

u(r, 0) = wyle),

Trong phần này, lấy ý Lưởng Lí một số nghiền cứu gần đấy (xem [86 27 28]), chúng tối nghiên cứa sự tồn tại và duy nhất nghiệm,

tính ấn định và én dịnh hóa nghiệm dừng của hệ

Navier-Sbokes-Voigt ba chiều với nhiễu ngẫu nhiên dạng, h(¿,u)dW (‡) Những nội dung nghiên cứu của chúng tôi trong phẫn này gồm:

+ Nghiên cứu sự Lẫn tại và duy nhất nghiện;

+ Nghiên cứu tính ổn định của nghiệm dừng bao gồm ổn định theo nghĩa bình phương trung bình và ổn định hần chắc chắn;

+ Nghiên cứu sự ẩn dịnh hóa nghiệm dừng bằng điều khiển có giá

đủ lăn bên trong miền

ø Nội dung 3: Hệ phương trình Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer

ngẫu nhiên ba chiều

dịu — ø®A) L[TBA% | (6: V)n ¡ /( 5) 1 Vp|dL

= gla)di + A(t, u)dW (6), z € Ø,¿ > 0, V-u-0, reQt>d,

ufx,t)—0, 2€0O,t>0, 1rệm Ú) — tạ(#), 2 € OL

Những nội dung trong phan này là sự phát triển c%c kết quả về tính

én định của nghiệm dừng của hệ tắt định trong công trình [7] Cu

thể, chúng tôi nghiên cứu sự ảnh hưởng của nhiễu ngẫu nhiên lên tính én định của nghiệm dừng

4, PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨỬU

« Dé nghién cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm, chúng tôi sử đụng các

phương pháp và công cụ của Giải tích hàm và Giải tích ngẫu nhiên: phiting pháp xấp xỉ Galerkin, phương pháp hội vụ yếu lrong Giải tích

hắt, cña thời diểm dừng, các hỗ dề xử lí số hang

ham, sit dung 6

phi tuyến và các bất đẳng thức để xử lí nhiễu ngẫu nhiên

ø Để nghiên cứu sự bồn tại và tính tran của tập hút, ching toi sử dụng các

18

phương pháp của, lí thuyết hệ động lực võ hạn chiều, nói riêng là phương

pháp đánh giá tiên nghiệm tiệm cận

© Dé nghiên cứu tính ổn định nghiệm và vẫn đề dn định hóa nghiệm, chúng tôi sit dung các công cụ và phương pháp của Lí thuyết ổn định, Giải tích

ngẫu nhiên và các kĩ thuật của Lá thuyết điều khiển

5 KET QUA CUA LUAN AN

Tuan An dal dude nhing két qua chính sau đây:

« Dễi với lớp phương trình parabolic suy biến nửa tuyến tính ngẫu nhiên:

Chứng ninh được sự tổn tại của tập hút ngẫu nhiên trong các không gian J"(Œ) và 7Ø¿(Ó.ø) Thiết lập được điều kiên đủ cho sự tổn tại và

tính ồn định của nghiệm đừng của, phương Lrinh LẤI, định, và điều kiện để

ẩn định hóa nghiệm đừng bằng nhiễu ngẫu nhiền phù hụp trong Lrường

hợp nghiệm đừng này là không ổn định

Đối với hệ phương trinh Navicr-Stokes-Voigt ngẫu nhiên: Chứng minh được sự tồn tại và duy nhất nghiệm Thiết lặp được điều kiện đủ cho tính ñn định cña nghiệm đừng tất định đưới ảnh hưởng của nhiều ngẫu

nhiên và điều kiện ổn định hóa nghiệm đừng bằng điều khiển phản hồi

có giá bên trong miễn

Đôi với hệ phương trình Kelvin-Voigt-Brinkman-Eorchheimor ngẫu nhiên:

Th lap dược diều kiện dũ cho tính ổn dịnh của nghiệm dững cỗ phiting Irình tấu dịnh dưỡi tác động của nhiêu ngẫn nhiều

Các kết quã của luận án là mới, có ý nghĩa khoa học, và góp phần vào việc hoàn thiện việc nghiên cứu đáng điệu tiệm cận nghiệm của các phương trình

đạa hầm riêng ngẫu nhiều phi tuyến, cụ thể ở đây là phương trình parnbolie

suy biển nửa tuyễn Lính ngẫu nhiên, hệ phương trình Navier-StokeseVoigt nigấn

nhiền và hệ phương trình Kelvin-Voizt-Brinkman-Eorchheimer ngẫu nhiên.

I8

Các kết quả chính của luận án đã được công bồ trong U4 bài báo khoa học trên các tạp chí chuyên ngành quốc tế, U1 bài báo hoàn thiện đang gửi đăng

và đã được báo cáo Lại:

« Seminar của Bộ môn Giải tích, Khoa Toán-Tin, Trường Dại hạc Sư phạm Ha?

Seminar tại Viện Nghiên cứu cao cắp về loán, Hà Nội, 21/12/2017;

Hội nghị toàn quốc lần thứ V, “Xác suất — Thống kê: nghiên cứu, ứng dung và giáng dạy”, Đà Nẵng, 23-25/5/2015;

Hồi nghị toán học toàn quốc lần thứ 9, Nha Trang, 14-18/8/2018

TIntcrnational mini-workshop in CIMPA- IMH-VAST rcsearch school ơn

“Recent developments in stochastic dynamics and stochastic analysis",

Viện Toán học, Hà Nội, f-18/3/2018

6 CẤU TRÚC CUA LUAN AN

Ngoài phần mở đu, kết luận, danh mục các công trình được công bố và danh mục ti liệu tham khảo, luận ấn gỗm 4 chương:

* Chuong 1 Kiến thức chuẩn bị, Chương này trình bày các khái niệm và

lên Lhức cơ sở cần thiếu được sử dụng trong luận ẩn

«® Chương Ð Uáng điệu tiểm côn nghiệm của một lúp phương trình parabolic mia tuyén tink suy biến ngấu nhiên, Trình bày các kết quả về tính trơn của lập hút ngẫu nhiên; sự tồn Lại, tính ẫn định và ổn định hóa nghiệm

đừng bằng nhiễu ngẫu nhiên phù hợp

© Chương 3 Dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ Nauier-Stobes- Voigt ngẫu

nhiên Trình bày các kết quả về sự tồn tại và duy nhất nghiệm, sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm đừng theo nghĩa bình phương trung bình

20

và hấu chắc chắn Ổn định hóa nghiệm đừng bằng điều khiến phản hỏi

có giá đủ lớn bên trong miền

Chương { Dáng điệu biệm cận nghiệm cia hé Kelvin-Voigi-Brinkman-

turnhheimer mầu nhiên Tình hày các kết, quả về lĩnh ấn dịnh mũ cũa nghiệm dững theo nghĩa bình phương trung bình và lí

2I

Chương 1

MOT 86 KIEN THUC CHUAN BI

“Trong chương này, chúng tới nhắc lại các không gian hàm cằn dùng để nghiên cứu các phương tink trong luda du Chúng tới cũng trình bày một số khái

niệm và kết quả của Giải tích ngẫu nhiên trang không gian Hilbert, các kết

quả tổng quát về lí thuyết tập hút ngẫu nhiên, và một số kết quả bổ trợ sẽ

được dùng trong các chương sau

11 CÁC KHÔNG GIAN HÀM

1.1.1 Không gian Soboley

Cho Ở là một miễn bị chặn trong IR với biên trđn OO Sau day chúng tôi nhắc lại khái niệm không gian các hàm khả tích bậc p, không gian Sobolev

trên miền O:

® UP(),1 < p < ¬e, là không gian Banach bao gồm tất cả các hàm khả

tích Lehesgue bậc ø trên Œ với chuẩn, kí hiệu là | - |„»(ø; hoặc |- |›, được

định nghĩa như sau:

IInllrre:

= (f (ulPatr) ve

oO

Cha ý rằng 7?(Ø) là không gian Banach phản xạ khi 1 < p < cc

Dặc biệt, khi p — 2, £7(0) là không gian IHlbert với tích vô hướng

(uy) — { ued

oO

« L°() la khéng gian Banach bao gồm tất cả các hàm đo được và bị

Không gian Soboley

W*F(Ø) — {u 6 TP(Ó) + DĨu € E#(Ó) với mọi |j| < m}

là không gian Banach với chuẩn

lập lIellyr=z — I»l#› Ls

Ta cling thường kí hiện l#(Ø) — (2(@G))Ÿ, 9Ø) — (H"(Ø))X, và

H?P(Ø) — (HP(ØJ}X dễ xết các hàm vecld trong khong gian ÑN chiều,

1.1.2 Không gian Suholey có trọng

Cho @ Tà một miền bị chăn trong RỀ, Giả sử œ e (0,2) và ø: Ó —+ TẾ là hàm

đo được T.ebesgne, không âm và thỏa mãn điều kiện sau (xem thêm |21|):

(Ma) cơ © LL{O) va liming |x» 2|-So(a) > 0 với mọi z £ O

Khi dó tá định nghĩa không gián Đ}((Œ,Ø) là bổ sung dủ của không gian

C§°(Ø) đối với chuẩn

23 Khi đó, j(2,ø) là không gian Hilbert với tích vô hướng,

(Ứt,P))e = Jztivrvnnr

5

Kí hiệu /2~!(Œ,ø) là không gian đối ngẫu của Øj(C,ø) Kết thúc mục này, chúng tôi nhắc lại các kết quả về phép nhúng của không gian Dj(O,e) trong 17() Trước hết, ta định nghĩa

trong phép nhúng Sobolev liên quan đến không gian ØĐ¿(Ö, ø) Cu thể, ta có

bổ đề sau và chứng minh của kết quả näy có thể tìm thấy trong 21, Ménh dé

3,8-3/5]

Ba dé 1.1 Giá sử rằng Ó là miền bị chăn trong IRY, N > 2, nà ø thân man điều kiện (1„) Nhi đá ta có

fi) Phân nhúng ĐẠ(Œ, ø) = F2*(Ó) là lide tues

(ii) Phép nhúng D{(O, ø) => 12(Ø) là cơmpact nếu p € [L2A)

1.1.3 Không gian các bàm của biến thời gian

Giả sử X là không gian Banach thực với chuẩn ||: [x và không gian đối ngẫu của nó được kí hiệu là X' Giả sử [ø, b| C IR là một đoạn đóng, 'IYong mục này,

ta giới thiệu các không gian hàm sau:

« Không gian 12(a,b;X),1 < p < co gồm tất cä các hàm đo được +:

Je,b| — X với chuẩn

4) flullertaexy — (kr Is(9|⁄42) “Ễ & +œc với 1 Sp< se,

8 IIf|luee‡a,s:x) :— esssUPgczepllult}|lx < 20

24

Khi đó #?(a,b; X) là một khöng gian Hanach và nó là phản xạ nếu

1< p < oo Không gian liên hợp của /#(ø,b; X) là 2# (a,b; X') với

l/n | 1/p°' =1

& Không gian C(|a,b|; X) gốm LẤU cả các hàm % : Jab] +X liền tụ tít

je, bl vào X với chuẩn

|#llcgs,axyT— sup |IzŒ)[|x-

te [0,7]

Khi dé O(la, bX) ta mat khong gian Banach

« Khong gian 7ÿ (B3, X) là không gian các hàm y(s),s € B, voi gid tri trong X, khả tích địa phương bậc p (theo nghĩa Bochner), tức là

1.2.1 Một số khái niệm cơ bản

“Irong mục này chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản của không gian

xác suất, phần tử ngằu nhiên, quá trình ngẫu nhiên trong một khöng gian Banach tách được Ä Ta luòn kí higu BUX) la o-dai sé Borel trén X, tức là

@~Arfdng được sinh ra bởi cấc Lập mổ của Ä

Định nghĩa I.I XéL (Q,7,P) là không gian xác suÃI, với không gián mẫn

Ø, ơ-trường Ƒ và độ đo xác suất ÏP là một ø-hàm cộng tính từ Ƒ —> [D, I] Dặt

7 được gọi là liên tục phải nếu #¿ = ˆ;»¿#, với mọi £ € [0, +o<)

Trong luận án này, không gian xác suất (G, 7,P) luôn được giả thiết là dủ

và F; là liên tục phải

Định nghĩa 1.2 (Phần tử ngẫu nhiên) Một phần tử ngẫu nhiên trong X là

một ánh xa uw: X do duye Borel, tie la

% CADETS, vidi moi A € BCX)

Nhận xét 1.1 Giả sử u: Q -› X là một phần tử ngẫu nhiên trong không

gian Banach tách được XÃ Khi dé đnh xạ chuẩn |- ||: 9 — lR,e + |[u()|| tà

€ |0,7|, phần Lữ ngẫu nhiền (ft) Tà 7;¬do được, tìầ ø dược

(i) Quá trình ngẫu nhiên ø được gọi là đo được Tiên Lục (progressively mea-

surable) nếu vải mại £ e |0, 7|, ánh xạ

DO xD OX, (3,w) > uls.w)

1 B((0 4]) x Za-đo được, Lức là, với mọi tạp Borel Be B(X),

{(s,u) € [0.¢] x 0 u(s,w) € BY € B([0,t]) x Fi

Định nghĩa 1.4 (Thời điểm dừng) Một biến ngẫu nhiều r : 9 —‡ [Ú,oo] (có thé nhận giá trì oo) được gọi là thời điểm dừng nếu {eo : r4) < É} € 7š với

moi t > 0 va P(r < 90) — I

Xét u(d) la mot qua trinh ngau nhién nh§n gid trj trong X voi

sụp Jjw(Đ)|Ä$ < ao, với œ e 0, Phau chic chan

te[0,7]

Bề đề 1.2 [19| Với rực được dink nghia nhí trên, ta có

lim P{7 <⁄) —0, 0k lim 7ạ¿ —?, tới ø C Ó,P bầu chắc chắn

1.2.2 Không gian hàm của các quá trình ngẫu nhiên

Ký hiệu 7#(0, Ƒ,P, X),p e [1,©), là tập tất cả các lớp phần tử ngẫu nhiên tương đương nhận giá trị trong không gian Banach tách được X (với quan quan hệ tương đương ~ 0 © 1+2) = 0(6).et C Ô,P-hầu chắc chấn) Theo cách tương tự phần tử ngẫu nhiên thực, chúng ta có thể dễ dàng kiểm tra

T2(0.7, 9, X),p > 1, là mội, không gián Bamach (xem thêm Ï34]), tương ứng với chuẩn

fi lIaly — E(ul#)"

I=ÔÔÔỞÔ

“Lương tự, với các không gian Hanach #2(0,2; X), L°(0,7; X), ta có các định

nghĩa không gian shú, Các không gián này là không gián nghiệm của phương trình chúng tôi nghiền cứu ở Chương 3,

Định nghĩa 1.5 — ï) Kí hiện 72(0,71,P,F^(I,7) X)) (hoặc 1a sẽ đùng kí

hiện 7ÿ (0,7; X) trong ngữ cảnh (9, 7, T) được xác định) là không gian tất cả các quá trình ngẫu nhiên Ƒ x Ö{|0, 7])-đo được w : Ø x [0, 7] —+ X sao cho tương thích với bộ lọc (Z3); Inr| và thỏa mãn

We resensy 2 ( [ ) <a

ñ) Kí hiệu 1(0,74,P,/”(0/2;.X)) là không gian tất cả các quá trình ngẫu nhiên Ƒ x Ö(ƒ0.?]) đo được w: 8 x[U,?] + X sao cho tương

khít với bộ lee {22]šelpa và bị chân với (ø,1) hấu khắp ndi

iii) Ki hieu #(Q, Z/,P,C(0.7];X)) là không gián tất cả các quá trình

{u@);0 < £ < T} nhân giá trị trong X, liên tụe, 7¡-do dược lién tue

1.2.3 Tích phân ngẫu nhiên trong không gian Hilbert

Xét (0, 7,?) là một không gian xác suất và # là không gian Hilbert tách được

với tích võ hướng (-,-) Chúng ta xét một toán tử tuyến tính đối xứng xác định

đương Ợ: K -; & và 1r(@) < oo Khi đó tồn tại một cơ sở trực chuẩn đây

di {ex} ¡ của và dấy các số thực khõng ãm bị chặn /¿ sao cho

phương sai Q nễu

28

« W@) W(s),t > s, là biến ngẫu nhiên Causs trên không gian #{ với

trung bình Ö và phương sai (¢ s)Q, tức là với mỗi œ ¢ K,t > s, bién

ngấu nhiền vô hướng (BZ(/) — W(s),a} là mội, biến ngẫu nhiên Gauss vi

với mọi a,b € Ñ, ta cố

E(W(6 - W(s).a)=0,

E ({W(t) — W(s), a) (W(t) — W(s),b)) — (t— s) (Qa, 0)

Chong ta od Thể gọi quá trình này là quá trình Q-Wiener

Tiếp theo, chúng lối giới thiện một định lí quan trọng về biểu diễn của quá trình Wiener trong khong gian Hilbert

Định If 1.1 ((32]) Cho {en}22.1 1a mat od sd true chudn day đủ của không gian Hilbert tach duoc K Mét qué trinh Wiener nhan gid tri trong K có thể

được biểu điễn dưới dạng

là các chuyển déng Brown déc lap chuéin v6 hướng, tic li, Wa(t) ~ N(0,t),

EW, (t) = 0 EW, (6)? va E(Wa(E1Wp(s)) = mún{s,#) Chuỗi vô hạn (1.2)

hội tụ trong LẦ(D) nếu 1 r(Q) = XI? 1 uạ < co Tả biểu diễn này chúng ta

cũng có WÈ(L) là quá trình Wiener lương không giam Rụ = QU2K tà

lim ]|W(0||— 0, B—hdu chde cha

gina rIW0)|| — 9, âu chắc chắn

Kết thúc mục này, ta trình bày khái niệm về tích phân

T

ƒ B(i,w) AW), a

29

trong dộ W(t) 1a Q-Wicncr trờn khụng gian #a với bộ lọc tương thớch #‡ ;z= o(W(s): 8 <1) Ao dai sộ sinh bởi W(s),Ú < s < ‡ và đŒ,œ) là lớp hàm

được xỏc định như san:

đ Đặt Ko :—= Q12W, với Q1/? là một toỏn tử được định nghĩa bởi @1/2e„ = Vaen Khi đồ Kếạ là một khụng gian lHilbcrt với tớch vụ hướng

(m %)a — (Q !25Q 34) Van € Ko

Đặt || - lla là kớ hiệu chuẩn trong #ạ Một toỏn tử tuyến tớnh đ trong

ÊŒu, H) dược gui là Hilberl-fehmidi Lữ ẹụ vào H nếu, với mọi cd sỡ

trực chuẩn {e8} cia Ko,

3 JờePly < so

n=l

Khong gian tất cả cỏc toỏn tử tuyến tớnh IHlbert-Schmidt từ #q vào 77, được kớ hiệu bởi #”(Ko; #7) Khụng gian này là khụng gian Hilbert tỏch

được với tớch vừ hướng

(8,)2(wạ,ọ) = é (Đeh, Ứcj)g, — We (Ka, A)

nl

Hơn nữa, theo định nghĩa của Ko, co sd trite chudn day di cia Kp cộ

thể được biểu điễn dưới dạng {/unen} vi moi cd sộ true chudn day da {e,} của i1 Khi đú, chuẩn trong L?(Ka, M) là

I*llỦswu;m = Tr [(s2'“) (ô 412) l= x Vien Peal

* Bay gid ta xột @: [0,7] x Q— L*(Ko, H) thộa man cde tớnh chất sau:

ứ đ 3à do dudc va tudng thich vội b6 loc Fy;

o @ là khả tớch cấp hai theo nghĩa sau

T7

- ef’ Tr(đứ,391/2) (đ&, 195) |as < so.

30

“theo như kết quả trong Định lí 1.1, W (#) có biểu diễn

_> vWaWa(Ðen

với {W„} là các quá trình Wiener tiêu chuẩn, vô hướng và độc lập Khi đó, ta

có định nghĩa tích phân sau:

6 day b: H — If nà ®: 11 —+ LỀ(Kg,11) là khả tích cấp hai theo nghìa (13)

tà W'{Ð) là quá trình Wfiencr nhận giá Erị trong K Chả sử rằng £ là trơn tà rắc định

PF: (0.0) x FOR

Khả đó la có công thức Ho dạng tích phân

, F(,u()) —F(0, won + f Fu(s, u(s))

sự us) + Fals, u(s))(b(u(s)))

+ 5t [8,(s,1(9)1(4(9)929(800)16/ |}

G day Fy nà Fụy là đạo hàm Fréchet, Py la dav him riéng theo bin thai gian

tu + là kí hiệu của taán tử liên hợp

Nhận xét 1.2 Cho ảnh xạ không tuyến tính F': Ứ C H —¬+ f, khi đồ toán

tử đạo hàm TYéchet của nó u(u) là một toán tứ tuyến tính thuộc #(77, fŸ}

31

và #2„(ug) là một ánh xạ từ #f x #1 vào A Đặc biệt, xét hàm #*(œ) = |fall?,

ta có #u(ua)h = 9 (ua, hỳ và Pụuu(tua)(h, k) = 3{h k) và xét phương trình đạp

hầm riêng ngẫu nhiền

đụ — b(s)dt — B(u)dW (t), uD) — up,

trong khéng gian Hilbert H Khi đó ta có công thức Ito dạng vỉ phân như sau

Noi nom na, dé mé tả một hệ động lực ngẫu nhiền ta cẳn mô tá hai yếu tổ

ngẫu nhiên và động lực Ö đây, mõ hình hóa ngẫu nhiên được cho bởi khái

niệm lệ dộng lực melrio Cụ thể là, cho (6,2, P) Bà một không gian xác nuẤt

và {#,}¡cm là một đồng các ảnh xạ ngẫn nhiên Lit Ò vào chính nó và báo loàn

độ đo xác guất D, tức là đọ là đồng nhất trên Q, 6;,; — Ø,Ø, với mọi s,# € TY

và 6:(P) =P vai moi t € B Khi đề, (O,7,PP, (9;)se») được gọi là hệ động lực

metric

Tiấp theo tá có khái niệm hệ động lực ngẫu nhiên trên không gian nên là

hệ động lực metric và không gian pha là một không gian Banach tach được,

xem [11, Định nghĩa 1.1.1]

Dịnh nghĩa 1.7 (LIệ động lực ngẫu nhiên trên không gian Banach) Cho X

là một không gian Banach tách được Một hàm do duge 6: Rt x 2x X 3X được gọi là một hệ động lực ngẫu nhiễn trong X trên hệ đồng lực metric

(Ó,7.P, (0,)¡en) nếu với w € Q,I2—hầu chắc chắn,

« (0,6, -) là đồng nhất trên X;

© OE | 3.0.2) = oft, Ow, d(s,w,x)) voi moi ts ¢ Rt,2 © X,

Hữn nữa, ó được gọi Tà liên tục nến @(/,0ø,-) : Ä —t X là liên tue với mại

te R* vaw € 0, P—hau chac chấn

Trong việc nghiền cứn đáng điện Liêm cận của hệ động lực ngẫu nhién,

khái niệm tập hút ngẫu nhiên đóng vai trò rất quan trọng Khái niệm tập hút ngẫu nhiên được đưa ra và nghiên cứu sừ những năm 90 của thế kỉ trước bởi

các tác giả Schmalfuss, Orauel, Flandoli, Debussche Irong khuôn khổ của

luận án này, chúng tôi quan tâm đến tập bút ngẫu nhiên toàn cục Irước khi

đi đến khái niệm chính xác, chúng tôi trình bày lớp các Lập quan tâm là các tập ngẫu nhiên tăng châm

Dịnh nghĩa 1.8 Một tập ngẫu nhién bj chan {Biw}}wen cha X được gọi là

tăng chậm (tempcred) tương ứng với (8;);cg nếu với ¿ € Ø,IP hầu chắc chấn

jim e*d(D(0_qw)) — 0 voi mai 8 >> 0,

G day d(B) = sup,, p |z|[x-

Dịnh nghĩa 1.9 (lập hút ngẫu nhiên) Kí hiệu Ø là tập hợp các tập con

ngẫu nhiễn tăng chậm của X Một tập ngẫu nhiên (.Á(2)]«cœa € 2) được

gọi là D-tặp hút ngẫu nhiên của ở nếu các điều kiện sau được thỏa mãn với

œ € ©,I-hấu chắc chấn,

(3) AG) là compact, vi ảnh xạ es độn, 2Á) là do dược với mọi # € X; (1) {402)]ueo là bắt biến, tức là,

(E,W, A(w)) = A(8,ø) với mọi t > 0;

(ii) {A(w) }uen hiit moi tap trong D, tite 1a, với mọi {(0)}ueq £ 7,

Jim dist x (9(¢, 0w, BO_42)), Aw) — 9,

33

ở đây distx là nửa khoảng cách Hausdorff trong X,

dist x (A,B) — sup inf [jz — w|[x với 4, 8 C X

redyeR

Sự tồn tại một tập hút ngẫu nhiên của hệ động lực ngẫu nhiên thưởng được

chỉ ra bằng cách chứng mình sự tồn tại của tập hấp thụ ngẫu nhiên và lính

compael, L Cụ thể,

Định nghĩa 1.10 Một tập ngẫu nhiên {X(0)|luzq € ? được gọi là tập

Ø -hấp thụ ngẫu nhiên cho ó nếu với mọi — {J()]xca € ? và œ €

Ấ,P- hấu chắc chắn, tổn tại ty(w) > 0 sao cho

O(t, 812, B(9_yw)) C K(w) v6i moi t > tale)

Dinh nghĩa 1.11 Một hệ động lực ngẫu nhiên ¿ được gọi là ?-eompact tiệm

cận lùi trong X nếu mọi ¿ £ @,P—¬hầu chắc chắn, {(én, 01,0, %n)}nv1 06

mot dãy con hội tụ trong X với mọi ¿„ + oo,và za C Ở(0 ;„ú) với BE D Két quả tiếp theo dược chứng minh trong jL5, 29

Dinh lí 1.3 ([15, 29]) Giá sử rằng @ là một hệ động lực ngẫu nhiên liên tục

có mật tập D—hấp thụ ngẫu nhiên {(0)}¿eo Nếu ó là Tì-compaet tiệm cận

lai thì tên tại một lập kút ngẫu nhiên {A(e)]„ca tô

Bất, đẳng thức Gronwall dạng tích phân: Cho £() là một hầm khả lứe,

khong &m tren |0, 7| và thôa mãn vái hầu khắp # bắt dẳng thức tích phan

1.4.3 Một số bổ để quan trọng

Bồ để 1.8 (Hệ quả của Định lí điểm bất động Brouwer) (68, Chương 2, Bổ

đề 1.4]) Cho X là không gian Hibert lữu han chiều sói tich vé hudng [-,-] vd chuẩm ||, P là mmội ảnh xụ liên lục từ XÃ tùa chính né sun cha [P(),€ > Ú

uới mi [€] = k >> (l Khi đó, lần lại € € X sao cho || < k vd P(E) =0

Bố đề 1.4 (Dạng yếu của định lí hội tụ bị chặn) ([51, Bo dé 1.3) Giả sử

lò tập mở bị chăn trong RY va gid svt {gj} là mặt dãy các hầm trong LP(Ó)

tới

Igsllzeioy < C vdi mei j —1,2,

Nếu g € T(O\ tà tụ —y g hầu khẩp uới Ud gy y trong TF (O)

Bé dé 1.5 ([I8|) Nếu H,K là rác không gian Hilbert nà nếu {hạ} hãi tụ tiểu

đến h trong L?(0, 7;,B, £?(0,T: L?( Ko; H))), vdi mọi t € |0, TỊ, khá n > on,

ta có

Í hạ (3)4W/(s) — Í h(2)dWW(s) nà [ họ(s)ds — [ h(s\ds

Bổ để 1.6 (Burkholder-Davis Gundy) (|82, 34|) Cho p > 0 va T > 0 là một

thai điểm dừng bất là Khí đá tần tại mật hằng số dương cụ thân mẫn

Bổ để 1.7 (Bổ dé Borcl-Cantelli) (39, Bb dé 2.4)) Néu {Ay} CF va

WE, P(AR) < Loc, thi

PY tim sup Ar) — 0

Tite la, tần tại một lập tụ € 7 sói IP(Qụ) — 1 sà tuội biến ngẫu nhiêm nó giá trị nguyêu kụ sua cho sới mote Oy, ta ei os @ Ay nổi & > kụ(4)

udi W la mét qué trink Wiener déc lập 1 chiều

Bé dé 1.9 56, Định lí 7, trang 139] Cho X 1a mét qué trinh martingale dia

phudng khéng dm, tic la tén tai mét day khéng gidm các thời điểm dùng r„

Chương 2 DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA MỘT LỚP

PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC NỬA TUYẾN TÍNH SUY

BIEN NGAU NHIEN

Trang chitang nay, ching thi nghién em tinh tron ciia tap hit toAn cuc

tính én định của nghiệm dừng của phương trình tấu định và

định hóa nghiệm đừng bằng nhiễu ngẫu nhiên nhãn tỉnh phù hợp đối với một lớp phương trình

parabolic suy bién nửa tuyến tính ngẫu nhiền trên miền bị chặn Ø C RŸ, W >

2, với số hạng phi tuyến tiêu hao và táng trưởng kiểu đa thức

Nội dung của chương này được viết dựa trên các bài báo [1, 3] trong Danh

xnục công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án

21 TÍNH TRƠN CỦA TẬP HÚT NGẪU NHIÊN

2.1.1 THịt bài toán

Trong chương này, chúng tới nghiên cứu bài toán parabolic suy biến nữa

tuyên tính ngẫn nhiền trên miền bị chặn

du+ [-div(o(2)Vu) + fiu) + Au]dt — gái © xy h;4M;(,x © O,t > 0,

38

(Hạ) Hàm ø : Ø3 RR là một hàm đo được không âm thỏa mãn ø € L}„(Ø)

và œ C (0,3), liminf, 4, |z “øz(z) > 0 với mọi ø € Œ;

(F) Số hạng phi tuyến ƒ © ŒĐ(,Ñ) tiếu hao và táng trưởng kiểu đa thức,

le là, có 6 p> 2sao cho vdi moi a éR,

Nhận xét 2.1 Giả sử Ó là một miền bi chan trong RB” với bien trơn Dưới

điều kiến (/„), toán tử ,Á — —div(z(2)Vu) với miền xác đình (có thể xem

thêm [1])

Dom(A) = {u C Dậ(O,ø) :.Au C L2(Ø)}

là một toán tử tuyến tính, tự liên hợp, dương và có nghịch đảo compact, Vì

vậy, tồn tại mội, hệ các veckd ed sỡ, dầy đũ (ø¿, Az¿j) hôa maar