Luận văn bài toán thác triển và bài toán cousin Đối với hàm chính quy nhận giá trị trong Đại số quaternion và Đại số clifford

Bài toán thác triển đối với nghiệm của hệ phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp một, hệ số hãng và các ứng dụng 1.3.. Y nghia to lén của hướng nghiên cứu này là mở rộng phạm vị ứng

MUC LUC

Trang

Chương 1 Bài toán thác triển đổi với nghiệm của hệ phương trình

1.1 Bài toán thác triển đối với nghiệm của hệ phương trình đạo

hàm riêng tuyến tính cấp một, hệ số hãng và các ứng dụng

1.3 Bài toán thác triển đối với nghiệm của hệ phương trình đạo

Chương 2 Bài toán thác triển và bài toán Dousin đối với hàm chính

quy nhận giá trị trong đại số Quaternion 52 2.0 Một số khái niệm và tính chất cơ bàn về đại số Quaternion B2

3.1 Bài toán thác triển đối với hàm chính quy 56

2.2 Bài toán kiểu Cousin đối với hàm chính quy phụ thuộc

2.8 Bài toán kiểu Cousin đổi với hàm song chính quy 76 Chương 8 Bài toán thác triển và bài toán Cousin đối với hàm chính

quy nhận giá trị trong dại số Clifford 85

3.1 Bài toán thác triển đối với hàm đa chỉnh quy 86 3.2 Bài toán kiểu Oousin đối với hàm chính quy phụ thuộc giải tích

3.3 Bai oán kiểu ousin đối với hàm chính quy phụ thuộc chỉnh

Rank D - hạng cia ma tran D

đet D - định thức của ma tran D

Á - toán Laplace

H - đại số Quaternion

A - dai 6 Clifford (thuc)

Ca - đại số Cliferd (phức)

H(&, R) - tap tét cA các hàm nhận giá wi thực, điều höa trong Ñ

T(Q,E) - tập tất cả các hàm chính quy trong Ô, nhận giá trị trong TT

Rar(Qy x Oz, H) - tp tét cả các hàm chính quy trong Ấ\, điều hồa trong N2,

nhận giá trị trong

(Ghi x Q¿, H) - tập tất cả các hàm chính quy (có kỳ đị) trong fhị, điều hòa

trong Ô¿, nhận giá trị trong E

Ra(O,H) - tap tất cả các hàm song chính quy trong $2, nn gid tri trang H

C?°(Q,H) - tập tất cả gác hàm thuộc lớp C© od gid tri compact wrong Q, nhận giá trị trong HH

sm+) - điện tích mặt cầu đơn vị Š” trong không gian +1

Ra(Qy X Wz, A) - tap tất cả các hàm chính quy trong f\, giải tích thực trong

Ø;, nhận giá tri trong A

RQ, x Ne, A) - tập tất cả các hàm chính quy (có kỳ đị) trong thà, giải Lich

thực trong Â?a, nhận giá trị trong A

®z(Œị x Qạ,C) - tập tất cả các hàm chính quy trong fh, chỉnh hình trong

A(O,R) - tập tất cả các hàm nhận giá thực, giải tích thực trong ©

Ð,, Ð- các dạng vi phân trong đại số Quaternion

do,,, du ~ cdc dang vi phn trong dai s8 Clifford 4 (hoặc C„„)

3

MỞ ĐẦU

Từ hai thập kỷ gần đây, việc nghiên cứu toán từ Cauchy- Riemann suy

rong va loan ti Dirac đã trở thành đẻ tài trung tâm của nhiều ngành toán học

lich Clifford ([6]-[10] [13]-[15]) Giải tích CHifford là sự mở rộng của giải

tích phức cho lớp hàm nhận giá trị trong một đại số kết hợp, không giao hoán,

bao hàm những đại số quan trọng trong ứng dụng của vật lý lý thuyết, lý

thuyết hạt cơ bản và lý thuyết trường lượng tử như: Đại số Quaremion, Đại s6 Dirac, Dai s6 Pauli,

Những kết quả của F Brackx, R Delanghe, R Gilbert, B Goldschmidt,

V P Palamodov, D Pertici, W Pincket, G B, Rizza, J Ryan, F Sommen,

Le Hung Son, D C Struppa cho thấy nhiều tính chất quan trọng của hàm

chỉnh hình một và nhiều biến phức, cũng như hàm giải tích suy rộng (theo

nghĩa I N Vekua) đã được mở rộng cho các hàm chính quy và chính quy suy

rộng, nhận giá trị trong mot dai s6 Clifford Y nghia to lén của hướng nghiên

cứu này là mở rộng phạm vị ứng dựng của giải tích phức cho một lớp rong hon các hệ phương trình đạo hàm riêng, bao gồm những hệ phương trình quan trọng nhất trong vật lý lý thuyết, cơ học lượng tử, lý thuyết trường và ứng

dụng kỹ thuật như : hệ Maxwell, hệ Riesze, hệ phương trình biết dién Soliton,

hệ biểu điễn các trường Gaugc và Yang — MiHs, trong lý thuyết chuyển pha và

khảo sát phân bố của những hat Quard (hạt siêu vật chấU Nó cũng mở ra những phương pháp mới giúp cho việc giải các bài loấn biên của hệ phương

biên của hàm chỉnh hình nhiều biến phức trở nên dé dang hon

Tuy nhiên, việc nghiên cứu lý thuyết hàm nhận giá trị trong một đại số

Chiford cũng có những hạn chế do tính chất quá tổng quát của nó Trong một

số năm gần đây, nhiều nhà toán học như R Delanghe Gentili, D Pertici,

F Sammen, Le Hung Son, V Soucék, A Sudbery, di bat đầu xây dựng lý thuyết hàm nhận giá trị trong một đại số hep hon dai sé Clifford nhưng đủ mở rộng cho các đại số quan trọng như đại số Quaternion, đại số Panli và đặc biệt

là sự mở rộng của các nhóm quay và nhóm Spin, thường gặp Irong các ứng dụng vật lý và kỹ thuật Đó là nội dung cơ bản của hướng nghiên cứu mang tên

“Hình học và giải tích Spinor” Đây là hướng nghiền cứu mới ra đời, kế thừa những đối tượng và phương pháp của nhiều Inh vực nghiên cứu quan trọng khác

nhau của toản học hiện đại như giải tích phức một và nhiều biến, giải tích điều

hoà, giải tích Chfford, tý thuyết đông điều, hình học Yang - Mills,

Lý thuyết hàm trên trường Quaternion được nghiền cứu lần đầu tiên bởi

Hamilton ([29]) vào cuối thế kỷ 19 Ban than Hamilton và những người kế tục

chính của ông là Tait ([71]) va Jolly ([33]) chỉ phát triển lý thuyết hàm một

biến Quatermion bằng các phương pháp chung của lý thuyết hàm số

Năm 1935, R Fueter ({19]-[22]) đã đưa ra khái niệm hàm chính quy, là

nghiệm của hệ phương trình tương tự hệ Cauchy - Riemann Ông chỉ ra ring,

hàm chính quy có những tính chất tương tự hàm chỉnh hình như định lý

Cauchy, công thức tích phân Cauchy, sự khai triển Laurent, định lý đuy nhất

Mười hai năm sau, Fueter và các cộng sự đã phái triển các kết quả trên và xây

dựng lý thuyết giải tích Quatcrnion và đã đạt được nhiều kết quả sâu sắc Tuy

nhiên, có một số điểm khòng trọn vẹn trong lý thuyết này Nhiễu định lý nói

trên hoặc không tổng quất, hoặc không được chứng minh chặt chẽ như các

chuẩn mực thông thường về sự trình bày mà giải tích phức đòi hỏi

Những năm gần đây, giải tích Quatemion đã có những bước phát triển mới

nhờ các công trình nghiền cứu cha W W Adams, C A Berenstein, P

5

Loustaunau, I Sabadini, D C Suuppa ((1]-[2]), S Adler ((4]), Deavours ([16])

V P Palamodov ([42]), D Pertici ({43]), Salamon ([50]-[51]), Lé Hing Son

(57)! A Sudbery ([68])

Năm 1978, A Sudbery đã bổ sung một số kết quả mới về hàm chính

quy một biến Quaterniơn được định nghĩa bởi R Fueter Sử dụng phép tinh vi

phân ngoài, A.Sudbery đã đưa ra những cách chứng minh mới và đơn giản cho

hầu hết các định lý cơ ban và có thể xác định được rõ ràng mổi quan hệ giữa giải tích Quaternion và giải tích phức

Gan đây, D Pertici (|43J) đã nghiên cứu lý thuyết hàm chính quy nhiều

biến Quaternion và khái quất một số định lý từ giải tích phức nhiều biến cho

lớp hàm này như công thức Bochner - Matinelli, định lý thác triển kiểu

Hartogs,

Một dạng đặc biệt của hàm chính quy nhận giá trị trong đại sé Clifford

là hàm song chính quy cũng được nghiên cứu bởi F Brackx, W Pincket và Là

Hùng Sơn Trong ([55]), Lê Hùng Sơn đã đưa ra khái niệm hàm đa chính quy

Đá là sự tổng quái của hàm chính quy trong không gian nhiêu chiều Bên cạnh

đó, khái niệm hàm song chính quy suy rộng cũng được xét trong ([55]) Một

số kết quả quan trọng của lớp hàm này như công thức tích phân Cauchy, định

lý duy nhất, nguyên lý modu] cực đại, định lý thác triển kiểu Hartogs, da

được chứng minh ([55])

Một trong những vấn đề quan trọng của hướng nghiên cứu này là bài

toán thắc triển và bài toán Cousin đổi với các lớp hầm nói trên Các kết quả

chủ yếu được thể hiện trong các công trình của Lê Hùng Sơn ([54)-[67])

Một hướng nghiên cứu khác là mở rộng toán tử Cauchy-Ricmann cũng

đã được một số tác giả quan tâm Năm 1986 Đặng Văn Khải xét toán tử

SA.5A, +eA,BA, = 26g67 = 1k

và nhận được kết quả: mọi hình chính quy theo nghĩa 7ƒ = 0 cũng có những

tính chất tương tự như hàm chính quy theo nghĩa của R Delanghe ([9]) hay

cla F Sommen ([53])

Nam 1994, Trần Quyết Thắng đã xét phương trình dang

DW + £W —0 trong đó Ø, là toán tử Cauchy-Riemamn, „£ _.4—+ là toán tử ruyến tính và

đã mở rộng một số kết quả của lý thuyết I N Vekua về hàm giải tích suy rộng

một biến phức cho lớp nghiệm của phương trình nói trên Ngoài ra, tác giả đã

ching minh duoc định lý thác triển kiểu Hartogs trong trường hợp WŒ, ? là

hàm chính quy phải theo tham số ? và giải bài toán kiểu Cousin cho lớp hàm

nối trên

Tiếp theo, năm 1996, Nguyễn Cảnh Lương đã chỉ ra điểu kiện cản và đủ

để tồn tại hệ vectơ thoả mãn điều kiện liên hợp của toán tử 7 là

km+l và k=rs+1 khi và chỉ khí { m=3 (mod 4)

ch ¬

Mục tiêu của luận án là tiếp tục nghiên cứu lý thuyết hàm số trong lớp

các hàm chính quy, song chính quy nhiều biến Quaternion nhận giá trị trong đại số Quaternion và hèm chính quy, đa chính quy, nhận giá trị trong đại số Clifford, Khảo sát một số tính chất mới của toán tử Cauchy - Riemann suy

rộng và toán tử Dirac, giải quyết một số bài toán thác triển và bài toán kiểu

Cousin (mở rộng định lý Mittag- Leffler ) đối với hàm chính quy, song chính

quy, nhận giá trị trong đại số Quaternion đại sé Clifford va bi

toán thác triển

đối với nghiệm của hệ phương trình đạo hàm riêng nhiều biến tổng quát (mỡ

rộng định lý Hartogs).

7

Luận án được chia làm ba chương :

Chương 1 xết bài toán thác triển đối với nghiệm của một hệ phương

trình dạo hàm riêng tuyến tính cấp một tổng quát dạng:

c6 diém kj di cé 14p chang han ham W/z }) = z Day là hàm chỉnh hình tại

mọi điểm z # 0 nhưng không thể thác triển giải tích vào điểm z= 0 Nói cách

khác đây là mội hàm chỉnh hình có kỳ dị compact Hiện tượng này không còn đúng với hàm chỉnh hình nhiều biến phức (định lý thác triển Hartogs ([30]) đã

chỉ ra rằng, hàm chỉnh hình nhiều biến phức không có ky dj compact) Do

phân thực và phần ảo của hàm chỉnh bình là nghiệm của hệ Cauchy - Riemann

nên định lý thác triển Hartozs thực chất là định lý thác triển nghiệm của một

hệ phương trình đạo hàm riêng có dạng đặc biệt Vấn để được đặt ra một cách

tự nhiên là định lý nói trên có đúng đối với hệ phương trình đạo hàm riêng dạng (1.1) không? Với điều kiện nào thì việc thác triển nghiệm thực hiện

được? Điều này đã được Lê Hùng Sơn dé cập trong ([61])

Nội dung của Chương 1 là nghiên cứu khả năng mở rộng Định lý thác triển Hantogs đối với nghiệm của hệ (1.1)

Mục 1.1 sử đụng kết quả của Lê Hùng Sơn ([61]) để nghiên cứu hiện

tượng thác triển đối với nghiệm cuả một số hệ phương trình đạo hàm riêng quan

trọng như hệ Riesz, hệ Maxwell, hệ Vinogradov va hé Moisil-Theodorescu, déng

thời xây đựng một lớp ví đụ áp đụng

Định lý thác triển đối với nghiệm của hệ dạng

(1.32)

không nhất thiết phải là hằng số Đó là sự khác nhau cơ bản giữa kết quả này với kết quả trong ([61]) Mục 1.2 mỡ rộng định lý thác triển Hartogs đối với nghiệm

của hệ (1.1) với hệ số hàm

Chương 2 nghiền cứu bài toán thác triển đối với hàm chính quy biến

Quaternicn và bài toán kiểu Cousin đối với hàm song chính quy và hàm chính

quy phụ thuộc điều hòa vào tham số, nhận giá trị trong đại số Quaternion

Mục 2.0 trình bày một số khái niệm cơ bản của đại số Quatemicn

Mục 2.1 dé cập tới hiện tượng thác triển nghiệm của hệ phương trình

hàm chính quy nhiều biến Quaternion Điều khác biệt cơ bản vẻ phương

pháp so với Chương 1 là ở đây sử dụng công thức tích phân Cauchy - Fueter đối với hàm chính quy

Trong lý thuyết hàm chỉnh hình một biển phức, định lý Mittag - Leffler

đã khẳng định rằng, có thể xây dựng một hàm phân hình từ các cực điểm cho

trước Kết quả này đã được tổng quát cho hàm chỉnh hình nhiều biến Đó

chính là nội dung bài toán Cousin cộng tính, cho phép xây dựng một hàm phân hình với kì dị địa phương cho trước Tiếp tục ý tưởng đó, định lý Mittag

~ Leffler dugc m6 rộng cho hầm chính quy phụ thuộc điều hoà vào tham số

trong Mục 2.2 và cho hàm song chính quy trong Mục 2.3 Các bài toán trên đều dẫn tới việc giải hệ phương trình không thuần nhất Tuy nhiên, khác với

giải tích phức, Quatemion là đại số không giao hoán nên cắc phép tính thông

9

thường vẻ đạo hàm không còn đúng trong đại số Quaternion Vì lẽ đó, có nhiều bước trong phép chứng minh các định lý ở đây không thừa hường được cách chứng mỉnh truyền thống đã có trong giải tích phức

Chương 3 trình bày bài toán thác triển đối với hàm đa chính quy và bài

toán kiểu Cousin đối với hàm chính quy phụ thuộc tham số, nhận giá trị trong dai s6 Clifford

Mục 3.1 mở rộng định lý thác triển kiểu Hartogs đối với hàm đa chính

qny Phương pháp chứng minh định lý nói trên boàn toàn khác phương pháp

đã được sử dụng trong chương 2 Trường hợp này không thể áp dụng công

thức tích phân Cauchy đối với hàm đa chính quy (xem nhận xét 3.1) Vì tích

hai hàm chính quy nói chung không phải là một hàm chính quy nên tích hai

hàm đa chính quy nói chung cũng không phải là một hàm đa chính quy Chính

vì vậy, để giải quyết được vấn đẻ này phải giải được hệ phương trình không

thuần nhất dạng

Gi day cần phải sử dụng kỹ thuật hoàn toần mới trong việc chứng minh

các bổ để, định lý có liên quan, từ đó thu được định lý kiểu Hartogs Mục 3 2

nghiên cứu bài toán kiểu Cousin đối với hàm chính quy phụ thuộc giải tích

thực vào tham số Để phục vụ cho mục đích này, phải chứng minh định lý kiểu Runge đối với hàm chính quy phụ thuộc giải tích thực vào tham số Vì vậy,

cần xây dựng các hàm xấp xỉ mà định lý Runge đời hỏi Cách làm ở đây hoàn toàn khác với kỹ thuật đã sử dụng trong Chương 2

Bài toán kiểu Cousin đối với hàm chính quy phụ thuộc chỉnh hình vào

tham số, nhận giá trị trong dại số Clifford phức được xét trong Mục 3.3 Chú ý

Tầng, khái niệm hầm chính quy được nói đến ở đây hiểu theo nghĩa của F

Sommen, gần liền với toán tử Dirac, không hoàn toàn giống như khái niệm hàm

chính quy theo nghĩa của R Delanghe, là nghiệm của toán tử Cauchy - Riemann.

va dai s6 Clifford

Các kết quả chính của luận án đã được đăng và nhận đãng trong [1- 5]

và đã được báo cáo tại các hội nghị khoa học và các xemina sau:

- Hội nghị quốc tế lần thứ 7 “Finite or mfnite dimensional complex analysis and applications’’tai Nhật Bản, 8 - 1999 do PGS TSKH Lé Hing Son tinh bay

~ Hội nghị quốc té lén thit 9 “Finite or infinite dimensional complex analysis and applications“ tai Hà Nội, 8-2001

- Hội nghị phương trình đạo hàm riêng và ứng dụng, Viện Toán học,

12-1999

- Hội nghị vật lý lý thuyết toàn quốc lần thứ 24, 8 - 1999

- Hội nghị vật lý lý thuyết toàn quốc lần thứ 26, 8 - 2001

- Xemina phương trình đạo hàm riêng liên trường Đại học Bách khoa

Hà Nội và Đại học Khoa học Tự nhiên

- Xemina giải tích - đại số Khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa học

Tự nhiền, Đại học Quốc gia Hà Nội

- Hội nghị khoa học kỷ niệm 50 năm thành lập Đại học Sư phạm Hà Noi 1, 9 - 2001

- Hội nghị khoa lẹc kỷ niệm 45 năm thành lập Đại học Bách khoa Hà Nội

- Hội nghị ứng dụng toán hoc toàn quốc lần thứ nhất, 12-1999,

11

Chương 1

BÀI TỐN THÁC TRIỂN ĐỐI VỚI NGHIỆM

CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG

TUYỂN TÍNH CẤP MỘT

Như đã biết, trong Tốn học ứng dụng và trong Vật lý lý thuyết cĩ nhiều

bài tốn đẫn đến việc nghiên cứu hiện tượng thác triển nghiệm của một hệ

phương trình deo bàm riêng Tiêu chuẩn ma trận cho việc thác triển nghiệm

của hệ phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp một với hệ số hằng đã

được Lê Hùng Sơn chứng mình trong [61]

Phần mở đều của 1.1 trình bày các tiêu chuẩn đĩ đồng thời đưa ra một

số khái niệm và định nghĩa được sử dụng trong Chương 1

Sử dụng các tiêu chuẩn này, ta chứng mình định lý thác triển nghiệm

của các hệ phương trình Maxwell, hé Riesz, hé Moisil - Theodorescu va hé

Vinogrsdov trong mục 1.1.1 - 1.1.4 Mục 1.L5 trình bày định lý thác triển

dưới một dạng khác Cuối cùng, định lý thác triển cho trường hợp hệ số biến

thiên được mở rộng trong muc 1.2

1.1 BÀI TỐN THẮC TRIEW ĐỐI VỚI NGHIỆM CỦA HỆ

PHƯƠNG TRÌNH DAO HAM RIỀNG TUYẾN TÍNH CAP MỘT,

HE SO NANG VA CAC UNG DUNG CUA NO

Xét hệ phương trình đạo hàm riêng

thạc

trong dé u; = %4(đ, eu) là các hàm giải tích thực theo các biến #1, , tu

VÀ 1= (M1, m) TÀ hầm chưa biết, ƒ(Ĩ = Ƒ(Ơ(z1, ,e„) là các hàm giải

tích thực cho trước theo các biến z, ,z, - aÙ) là các hằng số thực hoặc các hàm giải tích thue theo 21, ,2n-

Định nghĩa 0.1 Giả sử œ = (aa(z), ,ạn(s)) về 8 = (Dn(œ), , đm(2))

là hai nghiệm của hệ (1.1) trong các miền tương ứng G và Ở trong đĩ GC CR” Nếu đ u trong Ở thì ø được gọi là (hác triển của u trong Ế

Giả sử u là mật nghiệm giải tích thực theo r zụ của hệ (1.1) trong miền G CR", œ là một tập mô khúc réng cia G Néu uw = 0 trong ø thì

u =0 trong toén G ({30))

Trong Chương 1, ta luôn sử dụng nhận xét sau

Nhận xét 0.1

1) Nếu nệ (1.1) là elliptic với hệ số giải tích thực thì mọi nghiệm thuộc

lớp C® đều là hàm giải tích thực ((31]) Trong trường hợp này, khi nói đến

nghiệm của hệ ts hiểu đó là các nghiệm đủ trơn

2) Nếu hệ (1.1) không phải là elliptic thì ta chỉ xét các nghiệm giải tíc

thực

Vi vậy, Định lý 0.1 đúng cho các nghiệm của hệ theo nghĩa nói trên Nói

cách khác, thác triển ö của u trong Ở nếu có là duy nhất

Giả sử Ở là một miền của RE", E là một lân cận mở bất kỳ của ôđ Ký

Định lý 0.2 (61) Gid sé m <n và tồn tại m tieetỡ Ây, ,X„, suo cho

1 Rank DƯ =1, i=1, ,m,

2 Rank B=m,

3 Rank C= m

Khi đó, mỗi nghiệm của hệ (L1) trong Ð đều thác triển thành một

Dinh ly 0.3 [61] Gid suit m, n bat by ve ibn tei m vecto Xy, , Xm sao cho

13

1, Rank D® =1, ¢=1, ,m

2, Rank B=m,

3 Rank C=1

Kh: 46, mỗt nghệm của hệ (L1) trơng E đều thúc triển thành mật

nghiệm của chính hệ đó trang toàn GŒ

Như đã biết, nghiệm của hệ Riesz, hệ MaxwelÔl hệ Moisil - Theodo- sescu hay hé Vinogradov néi chung là không thác triển được, chẳng hạn hàm

#= eraa() voir = Ft + af +23 1A mat nghiém cia hé Riesz

Guy Sup, Sug _

3m, ~ Oza t Bay”

trong lân cận mở bất kỳ của ØŒ với (7 là một miền tủy ÿ của MỞ có chứa

điểm 0 nhưng không thể thác triển (thậm chí thác triển liên tục) thành một

nghiệm của hệ trong toàn Œ

Te sé bổ sung vào mỗi hệ đó một số điều kiện thích hợp sao cho việc thác triển nghiệm thực hiện được

1.1.1 Bài toán thác triển đổi với nghiệm của hệ Riesz

Giả sử Œ là miền bất kỳ của #3, Ð là một lân cận mở của Ơ

với điều kiện bổ sung dang

Khi đó, mỗi nghiệm của hệ (1.6), (1.7) trong Ð đều thác triển được

thành một nghiệm của chính hệ đó trong toàn G

18

thi B* va C* twong img la ma tran con cia ma tran B vi C, xác định bởi

(1.5)

Ré rang Rank D® = Rank D® = Renk D®) = 1

Từ điều kiện (3) va (4), dé dang théy det B* #0, det C* #0

Ti dé, Rank B = Rank C = 3 =m Nbr vay, cdc điều kiện của Định

3, Tin tai, y théa man

a) +9) (+? + 1) + 2ey(2a®) — ml) = (eB + ga) (z2 + 1),

b) sat) + z2) ~ m2) + n8) — yØf9)(z? + 1) — 2 (xe? — m8),

trong đó 42, ¢2 1A nghiém cia phương trình

#— (of) = ab )# — apaia! + (ai? ~ af?) (af? - al?) =o

4 (oP PAO + (801)? m0) = a01g010),

Khi đó, mỗi nghiệm của hệ (1.6), (1.7) trong Ð điều thác triển được thành mật nghiệm của chính hệ đồ trang taàn G

'Từ các diều kiện của định lý, ta nhận được

Rank B ~- Rank B* — Rank C = Rank C* =3 =m

Ap dung Định lý 0.2, ta có điều phải chứng minh,

Nhận xét 1.1 Nếu bổ sung vào hệ (1.6) ba phương trình dạng

Khi đó, mỗi nghiệm của hệ (L8), (1.9) trơng Ð đều thắc triển được

thành một nghiệm của hệ trang toản Œ

Ve he

Ap dung Dinh ly 0.3, ta nhận được Định lý 1.4

Ví dụ 1.1, Xéi hệ phương trình (1.6) với điều kiện bổ sung

Suz , bug

Oz, 8x9 Ory dz

Khi dé hé (1.6), (1.11) có nghiệm, (chẳng han wy = —ỗz‡ — Z2 + Z4, trọ = —m +TẦ%g +ana, tạ =1 — ng + 2n)

Dễ dàng kiểm tra được rằng, hệ (1.6), (1.11) thỏa mãn Định lý 1.1 Do

đó, mỗi nghiệm của hệ (1.8), (1.11) trong Ð đều thác triển được thành một

nghiệm của chính hệ đó trong tàn Œ

Ví dụ 1.2 Nếu bể sung vào hệ (1.6) điều kiện

âm ôm 0

af? +039 #0, aff + of) £0

Khi đó, ta có một lớp ví dụ áp dụng Định lý 1.4 Chẳng hạn, chon điều

kiện phụ như sau:

của Định lý 1.4 Do đó, có thể áp dụng định lý này cho nghiệm của hệ (1.6) (1.13) hay chính hệ (1.6) (1.14)

1.1.2 Bài toán thác triển đối với nghiệm của hệ Maxwell

Giả sử Œ là một miền của không gian Mincopxki Aƒ, Ð là một lân cận

trong 6 F = (Ey, Fo, Es), TH = (Hị, Hà, Hà), Bi, Hi, $= 1,2,3 là các

hàm của 21,22, 23,t, nhận giá trị thực, xác định trong G

Ký hiệu tạ = Eị, trạ = E2, ug = Fy ug = Wy, us = Ho, ug = Hạ, tam

Hệ (1.15) tương đương với hệ

Gu, Ông - Ông

un, Ou, Buy

Oz, Ong Oxq

Ou, Oug Bus

Ôn ôm hôm

Ôðmy , Gun dug

“ân Tâm Tâm Ong dus Bug

a ue Sus | Oe a

Oz Ox, Ôz¿

a) all) wal! n® sale — af!

YO = ass 4

Ta có định lý

Định lý 1.5 Gúá sử các hệ số của (1.17) nà các số trong (1.18), (1.19) thủa

man che điều kiện sau

—af!) +m‘ =-afg) À8 — ~đãã = đả

Rank B*=6 sới

Khi đó, mỗi nghiệm của hệ (1.16), (1.17) trong Ð đều thác triển được

thanh một nghiệm của chính hệ đó trong toàn GC

Ma (= aff), Ra aff}, —al?, —af? + om 4) aff, -ajq'.0,0,0,1,0.0)

Xs = (- af, aig), — al}, all, -aff’, of? + 5m ®, -a), -a{%),0,0,0,0,1,0),

w=(-al all olf ~el0,-0f9 + Ar! —al?,-al.0,0,0,0,0,1)

Ro rang, Rank D =1, i=1,

Rank B= Rank B"=G=m, Rank C= Rank C7 =1

Các giả thiết của Định lý 0.3 đều được thỏa mãn

ae may) al? gội

trong đó als) + af! £0,

of) aÐ, ale tage #0

Hệ (1.17) với ma trận các hệ số A(), ,, Á{8) thỏa mãn tất cả các giả

thiết của Định lý 1.5 Như vậy, có thé áp dụng định lý này cho hệ (1.16),

1

Sau đây, ta xét một ví dụ cụ thể

Nếu = Ip = Jy = fO = = ƒ(8) = 0 thì hệ (1.16) với điều kiện

phụ (1.19) là trường hợp đặc biệt của lớp các ví dụ trên Dễ dàng chỉ ra một nghiệm của hệ này bằng cách chọn

OF a OFF ro OF On; "OE ñz;' “ôi oF Fe

1.1.8 Bài toán thác triển đối với nghiệm của hệ Moisil-Theodorescu

Giả sử Œ là một miền của R*, Ð là một lân cận mở của ØG

Xét bé Moisil - Theadoreseu

Sug, Bug, Sug

ôm On, Ox3 =0

Suz _ dus | Bus _

du, Buz _ Aus _ 640

Ôn Ôry Oa,

Ou Ôn Ông _ 9

Khi đó, mỗi nghiệm của hệ (1.20), (1.21) trong Ð đều thác triển được

thành một nghiệm của chính hệ đó trong todn G.

Ã\ = (— s‡P, —at), ~aŸ), =al),1,0.6,0),

Ấy = (~ af), aff), =aja), —ai2,0, 1,0,0), 3g = (- 089), =aŸ), a§), =aig v0.0, 1,0),

Ra = (— aff), al? -aff, =a{),0.0,0, 1)

thì B" và C? là các ma trận con tương ứng của ma trận B và C

Dé dang kiém tra được ring, Rank B = Rank B* = m=4va Rank C=

Rank C* =1

Như vậy, các giá thiết của Định lý 0.3 đều thỏa mãn

Định lý được chứng mình

Ví dụ 1.5 Ta xây dựng một lớp ví dụ áp dụng Định lý 1.6, bằng cách chon cdc ma trận các hệ số của (1.21) như sau:

với aft all), al) tal) 40,

b diy P= fd olf <4 oe = aff + aff — aff,

a Alf, all + all +

Dé dang kiểm tra ring, hé (1.21) durge cho béi oie ma tran AG),

1.1.4 Bài toán thắc triển đấi với nghiệm của hệ Vinogradov

Giả sử Œ là một miền trong Rf, Ð là một làn cận raở của ØG

Ba, Ôn lấn tôm

với điều kiện

Ou _

Sy uàn Tứ (1.27)

i=] jal trong dé al? = const, f là các hàm giải tích thực cho trước trong DUG,

t=1 „4

Khi đó, mỗi nghiệm của hệ (1.26), (1.27) trong 5

thành một nghiệm của chính hệ đồ trong toàn Œ

Chứng minh Chọn các vectơ

Br = (- af, -aff?, off), -al’, 1,0,0, 0),

R= (of al), -a?, 27,0, 1,0,0),

Ay — (abt -al?, -af}), 22 af ,0,0,1,0),

thì B* và C* là các ma trận con tương ứng của các ma trận B và C

TIễ dàng nhận thấy Rank D?) = 1, ¿—=1, ,4 và

Rank B = Rank B*=rm =4; Rank C= Rank C* = l1

Ap dung Binh ly 0.3, ta nhận được Định lý 1.7

ss aig 03 a + By: Us ayy — ag — aly tag,

ay? +a) #0, aly tal) + ayy — al sẽ,

aff #afÐ, al!) +o 40

De đàng kiểm tra được rằng, hệ (1.27) với ma tran cdc hés6 A™), ,

thỏa mãn Định lý 1.7 Ta có một lớp các ví dụ áp dụng định lý này

Sau đây, ta chọn một ví dụ cụ thể

Xét hệ

Ôua Ôua Juz , Jug , Gug , Oug , Ou, Ôuạ = 70)

Buz * Bes * Ge * Gzs * Gey * Bey * zy Ông CỬ

Our ep Gug ee Gug dug

= f(3)

Aug | Our, Jug | Jus

ñm Or4 Ôzy Ôn

Hệ (1.30) tương đương với hệ sau

dug 4, Gua Ors Be,

Gua ug Day * 0x4 Oug Oug

Cho fll = = ƒ) = 0 thì hệ (1.28), (1.31) có nghiệm (chẳng han

tị = —2# +2#ạ — 214, tạ — T4 — Tạ Uạ = Qn, + 532 +3 — đa,

tug = — Bary + Baty + 0a — đá)

1-1-5 Nhận xét Mục này trình bày một số tiêu chuẩn ma trận cho việc

thác triển nghiệm của hệ phương trình đạo hàm riêng tuyến tính có dang

i=l *

trong đó — Pị= (4), „ L>m, đa) — const hoặc là hàm giải tích

thực cho trước trong 2L! G,

DY LAM) D2 = A9, , DỮU = Ale),

Từ giá thiết (1) suy ra

Từ giả thiết (2) suy ra Rank B = Rank C =m

Như vậy, các giả thiết của Định lý 0.2 đều được thỏa mãn Định lý được

Rank AG) = Rank A® = 1,

Dễ dàng nhận thay, Rank B= Rank C=m=2

Rõ ràng, Rank Ẳ = Rank A2) = 1, Rank B = Rank C = 2 =m

Do đó, Định lý 1.8 áa dụng được cho hệ san

Guy, Gua | Sun _ Guy _ Gt _ Bus = fo

Ou „ 8u; — Ou, +—1— Oụ = fi

“Ba; Be, * Bn * Bag ge

hi đó, mỗi nghiệm của hệ (1.33) trong Ð đều thác triểu được thành

một nghiệm của chính hệ đồ trong toda G

Dé dang thay Rank A!) = Rank A®@ =1, RankB=2=m, RankC=

2=m nếu ỞạaT— —1 và Rank C= I nếu Œ; = 1

Vi vậy có thể áp dụng Định lý 1.8 (hoặc 1.8) cho hệ

Oy Ou Ôn — vay

Py Tia Ma _— r(

ôm Ôn Ông Ot Our _ Otis — vay

Bay * Bay + Bay tận Bey

Ot Be 7 lấp + See 7 “Ses _ 9 Bus Sus =/@ =f (1.39)

—=— ~?>—-2— de, âm lâm +4 + See os lâm Tâm côn Tử (1.40 “_

Nhận xét 1.8

ác hệ (1.3ñ), (1.86) là elliptie còn (1.87) - (1.40) không phải là hệ elliptic

“Tuy nhiên, da nhận xét Ø.] nên bài toán thác triển nghiệm văn được đặt,

một cách đúng din

12 BÀI TOÁN THÁC TRIỂN ĐỐI VỚI NGHIỆM CỦA

HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG

1 Với mỗi 3, tần igi df) #0 khdp noi trong DUG ud suo cho

49 = Bag, og scons; {=l, m Ê=1, m

Khi dd, méi nghiém cite hé (1.41) trong Ð đều thác triển được thành

mật nghiệm của chính hệ đó trong toàn G

Chứng mình Trude hét, xé ma tran DU),

Từ giả thiết (1) của định lý, tồn tại đệ) 4 0.véi Vx € DUG Không mất tính tổng quát, có thể giả thiết đ‡” + 0 Do điều kiện (1), đồng chứ nhất của

DÊ) có dạng

Íaiœ)eu, 8Ä (e)aa, e0(e)aaa] (146)

trong đó SH êm là các hằng số (lưu ý rg ở day ta đặt

di) = mal} (z)ay voi a =1, aM (a) =

[a gD a2] =P fo (e)aai, at) @)an, eÐ)(e)lam] (L4)

pat yal) = are thi dQ? = aya, vei oy,(z) là hàm giải tích Lhực,

J=L ,n

Như vay, t6n tai bd (a11(x),.-.,@1m(z)) cdc him giải tích thực và bộ

(o11,021, ,0n1) ce hiing số, sao cho

Do Rank B = m, da công thức xác định B (xem (1.45)) đồng thời do

Rank D‘ = 1, nên trong mỗi ma trận DÉ), tồn tại một cột sao cho khi ghép